面积与代数恒等式

1 10 图形面积与代数恒等式

代数恒等式：

2x（x+y+z）=2x2+2xy+2xz，

像上述这种不论字母取什么值，左边恒等于右边的式子叫做代数恒等式。

例1.写出下列图形的面积：

例2. 说出下列代数式的几何意义 ：

222(1)2ab(2)m(abc)(3)mambmc(4)(ab)(5)a2abb

例3.用多种方法表示图5的面积 ：

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由此可以得到一个代数恒等式为

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222()2abaabb 2 例4.仿照例3，写出由下列各图得出的代数恒等式：

图6：_____________________________________________________________________

图7：_____________________________________________________________________

图8：_____________________________________________________________________

图9：_____________________________________________________________________

例5. 根据下列图形写出一个代数恒等式：

a2 -b2a(a+b)(a-b）=平方差公式bababba-bab

代数恒等式____________________________________________________________________

例6.请先用整式乘法验证222(ab)2aabb是否成立，若成立，请画出可以验证该代数恒等式的图形。

图1aaaa图2bbaabbaa面积与代数恒等式

一、教学目标

知识目标：

1、通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；

2、根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；

3、体会数量关系与图形之间的内在联系，了解一些代数恒等式的几何背景，体会它们的几何意义。

能力目标：

1、培养学生的观察、归纳、探索和主动获取知识的能力；

2、培养学生的数学实验意识及渗透数形结合思想。

情感目标：

1、在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；

2、在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神。

二、教学重点 从图形面积到代数恒等式

难点 从代数恒等式到图形面积

三、教学方法与手段

教学方法：引导启发、自主探索、合作交流

教学手段：网络教学

四、教学过程

（一）引入：

前一阶段我们学习了整式的乘法和因式分解，无论是整式的乘法还是因式分解，我们都接触了一些幂的运算公式和乘法公式。其中有哪些乘法公式呢？

今天我们借用拼图的方式来验证它们的正确性。

（二）从图形面积到代数恒式：

1、有一个张长方形纸片，如果按此方法将它分成四小份，该如何表示它的总面积？

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

得出：从图形面积的不同表示方法可以列出一个代数恒式。

2、说一说

首先请同学们观察用硬纸片拼成的几幅图形：

这些图形面积的两种不同表示，可以用来解释什么等式？2242aa，2222bababa

厨房卫生间卧室卧室客厅3xx2yyy3、议一议

如图3，用4个长为a、宽为b的长方形拼成一个正方形，请你根据颜色部分

面积的不同表示方法写出一个代数恒等式。

请大家再想一想，利用我们学过的公式进行计算，能不能验证它的正确性呢？

4、做一做

请同学们利用制作的纸片拼出一些图形,并用拼成图形面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式.

《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》把每个学段的教学内容都分为四个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习。课题学习作为初中数学四大领域之一，是新课程标准的一大特色，它是一种新型的学习活动。在传统的数学活动中，不够重视与学生熟悉的现实生活的联系，因此，新课程标准在初中学段设置了“课题学习”这个领域，从而沟通了生活中的数学与课堂上数学的联系。它具有实践性、综合性、探索性和开放性，对于培养学生的创新意识与实践能力具有较强的促进作用 。 学生在课题学习的过程中，可以接触到一些有研究价值和探索价值的题材，有利于学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥更重要的作用。

在八年级数学第十四章《整式》中，就有一个课题学习----《面积与恒等式》。它是通过一些图形的面积来解释代数恒等式。我从备课、做教具、做课件到课堂实际授课，确实体验到了课题学习与以往的教学有着很大的不同，自己也得到了不小的收获。

一、设计情境 激发兴趣

苏联数学教育家奥加涅相曾指出：“数学教学的成就，很大程度上取决于学生对于数学课的兴趣是否能保持和发展”。良好的数学情境能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，从而为学生顺利完成学习任务打下一个心理基础。八年级年龄段的学生思维活跃，求知欲强，有比较强烈的自我意识，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇，要设置学生感兴趣的并且具有挑战性的内容，让学生感受到数学来源于生活又回归生活实际，无形中产生浓厚的学习兴趣和探索热情。

因而我利用课件的动画演示两个图形阴影面积的转化过程：让学生用含a、 b的代数式表示两个图形阴影部分的面积，再利用两部分面积相等得到一个代数恒等式（平方差公式）；从而引出课题-----面积与恒等式。

二、自主活动 实践感知

记得冰心老人说过一句话：“让孩子像野草一样自由生长。” 。只有给学生自由摸索的时间，自由发挥的舞台，自由展示的天地，他们的潜能才能最大地得到开发。运用数学知识与方法来解决问题，就是要培养学生的主体意识，尊重学生的主体地位，让学生动手操作，培养学生主动学习、自主探究的意识，使之真正成为课堂学习的主人。

八年级数学上册《面积与代数恒等式》教案、教学设计

一、教学目标

（一）知识与技能

1. 让学生掌握平面图形面积的计算方法，特别是三角形、四边形和圆的面积公式，并能够灵活运用这些公式解决实际问题。

2. 使学生理解代数恒等式的概念，掌握基本的代数恒等式，如平方差公式、完全平方公式等，并能运用这些恒等式进行简便计算和证明。

3. 培养学生运用代数方法解决实际问题的能力，特别是在面积计算中运用代数恒等式进行简化计算。

4. 培养学生通过观察、分析、归纳，发现数学规律，提高学生的数学思维能力。

（二）过程与方法

1. 通过引导学生自主探究、小组合作、讨论交流等方式，让学生在探索平面图形面积计算方法的过程中，培养他们的观察、分析和解决问题的能力。

2. 设计丰富多样的教学活动，如实际测量、估算、计算等，让学生在实际操作中感受数学知识，提高他们的实践操作能力。

3. 运用变式、拓展、对比等方法，帮助学生理解代数恒等式的本质，提高他们的数学抽象和逻辑推理能力。

4. 结合信息技术，如数学软件、网络资源等，辅助教学，让学生在多媒体环境下进行探索、验证和解决问题。

（三）情感态度与价值观

1. 培养学生热爱数学，树立正确的数学观念，认识到数学在生活中的重要作用。

2. 激发学生的学习兴趣，鼓励他们勇于探索、积极思考，培养他们的创新意识和合作精神。

3. 培养学生严谨、认真的学习态度，让他们在解决问题的过程中，体会数学的精确性和严谨性。

4. 引导学生关注社会、关注生活，将数学知识应用于实际，增强他们的社会责任感和使命感。

二、学情分析

八年级的学生在数学学习上已具备一定的知识基础和思维能力，他们对平面几何图形有一定的了解，掌握了基本的面积计算方法。但在代数恒等式的理解和运用上，可能还存在一定的困难。因此，在本章节的教学中，需要针对学生的实际情况，采取以下措施：

1. 对于基础较好的学生，可以引导他们通过自主探究、拓展练习等方式，提高他们在面积计算和代数恒等式运用上的能力。