面积与代数恒等式

1 10 图形面积与代数恒等式

代数恒等式：

2x（x+y+z）=2x2+2xy+2xz，

像上述这种不论字母取什么值，左边恒等于右边的式子叫做代数恒等式。

例1.写出下列图形的面积：

例2. 说出下列代数式的几何意义 ：

222(1)2ab(2)m(abc)(3)mambmc(4)(ab)(5)a2abb

例3.用多种方法表示图5的面积 ：

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由此可以得到一个代数恒等式为

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222()2abaabb 2 例4.仿照例3，写出由下列各图得出的代数恒等式：

图6：_____________________________________________________________________

图7：_____________________________________________________________________

图8：_____________________________________________________________________

图9：_____________________________________________________________________

例5. 根据下列图形写出一个代数恒等式：

a2 -b2a(a+b)(a-b）=平方差公式bababba-bab

代数恒等式____________________________________________________________________

例6.请先用整式乘法验证222(ab)2aabb是否成立，若成立，请画出可以验证该代数恒等式的图形。

４６　数学教学研究　第２７卷第９期２００８年９月　巧构图形面积妙证恒等式　

人教版高中数学第三册“数．　学归纳法及其应用举例”一节例　１用数学归纳法证明ｌ＋３＋Ｓ＋‘　…＋（　一１）＝ｎｚ完毕后指出：　本例所证明的等式可以用图１　１　表示．这实际上是构造图形用面　积法来证明代数恒等式的一种　直观证法．这一节的例题、练习　邹生书　湖北省阳新县高级中学４３５２００　ｌ　ｎ一】　５　；３　Ｉ　１　Ｉ　Ｉ　Ｉ　１　图１　题和习题中，不少代数恒等式的证明，除了用数学归纳　法证明外，都可构造图形用面积法证明．　１方法提炼　一般地。已知ａｋ＞０（忌一１，２，…，ｎ）。求证；ａ１＋　ｎ２＋口３＋…＋口　一Ｓ．　方法１（裂项相消法）若能证明ａ　＝Ｓ１，且当愚　≥２时，　一Ｓｋ一１＝口＾，则　ａｌ＋　＋口３＋…＋ｎ　－－Ｓ１＋（Ｓｚ－Ｓ１）＋（Ｓ３一Ｓｚ）＋…＋（Ｓｎ—Ｓ　１）　＝Ｓ＿．　方法２（面积法）　若能构造如图２所示的　ｎ个长方形ＯＡ＾ＢｌＣ　（矗　＝ｌ，２。”・，　），使得　ＳｍＩ　一　，且当忌一１　时，　Ｂｌ　ｃ１一Ｓｚ＝口１，当　≥２时，　图２　一１＾鼍Ｂ＾ＣｋＣｔ一１一　ｌ　ｃｔ一　¨　一１　—ｌ　一＆一＆一１一　．　于是　Ｓ　１　ｌＣ１＋ｓ＾ｌＡｚＢ２ｃ２ｑ＋Ｓ＾２＾３Ｂ３ｃ３　＋…　＋ｓ　—ｌ　Ｂ　ｃ—　一１　，　所以ｍ＋ｎ２＋ｍ＋…＋ｎ　＝　．　２应用举例　例ｌ证明：２＋４十６＋　＋２ｎ＝　＋ｎ．　解析设口＾＝２ｋ，Ｓｋ一　＋ｋ＝ｋ（ｋ＋１），则ｎ１＝　Ｓ１＝２。当点≥２时，ｓ＾一ｓ＾一ｌ：愚（愚＋１）一（矗一１）是＝　２ｋ＝ｍ，所以可构造如图３所示的，１个长方形　ＯＡ＾ＢｌＣｋ（忌一１，２＇．．・，，１），使长ＯＡｋ－－－ｋ，宽ＯＣｋ一是＋　１，即可证明．　

例２证明：１＋２－｛－３＋…＋　一　１　（　ｑ－１）．　解析ｉａ　一是，　＝专忌（志＋１）＝　・（　１宠十　１），则ｍ＝Ｓ１＝１，当五≥２时，　一　一ｌ－－￣－ｋ（ｋ＋Ｄ—Ｘｋ（ｋ一１）＝ｋ＝ａｋ．　所以可构造如图４所示的　个长方形ＯＡ＾Ｂ＾Ｃ・　（五一１，２，…，　），使长０　＝志，宽　一号　＋专即　可证明．　．　例３证明：　１　＋２。＋３。＋…＋　。＝÷　（　＋１）（２ｎ＋１）．　Ｏ　解析设口＾一七。Ｓｋ＝ｌｋ（ｋ－ｌ－１）（２ｋ－］－１），则　ａ１一Ｓｌ＝１，当五≥２时，　一　一　一吉忌　＋１）（２忌＋１）　一丢　一１）ｋ（２ｋ一１）＝五　一　．　Ｘ　ｓ￣＝ｌｋ（ｋｑ－１）（２ｋ＋１）　＝ｌｋ（ｋ－－Ｐ１）・（了２宠十　１）．　所以可构造如图５所示的　个长方形０Ａ。Ｂ　Ｃ＾　（是一１，２，…，　，使长０　＝专矗　＋１）一ｌ＋２＋３十　ｏ　１　…＋量，宽ＯＣｋ＝专忌＋专即可．

图1aaaa图2bbaabbaa面积与代数恒等式

一、教学目标

知识目标：

1、通过对几何图形的面积关系的观察、分析、研究，从中抽象、归纳出一些代数恒等式；

2、根据代数恒等式的特点，设计相应的图形验证其正确性；

3、体会数量关系与图形之间的内在联系，了解一些代数恒等式的几何背景，体会它们的几何意义。

能力目标：

1、培养学生的观察、归纳、探索和主动获取知识的能力；

2、培养学生的数学实验意识及渗透数形结合思想。

情感目标：

1、在学生解决问题的过程中，激发学生的创新意识，培养学生坚忍不拔、勇于探索的学习品质；

2、在合作学习及相互交流中，培养学生团队精神。

二、教学重点 从图形面积到代数恒等式

难点 从代数恒等式到图形面积

三、教学方法与手段

教学方法：引导启发、自主探索、合作交流

教学手段：网络教学

四、教学过程

（一）引入：

前一阶段我们学习了整式的乘法和因式分解，无论是整式的乘法还是因式分解，我们都接触了一些幂的运算公式和乘法公式。其中有哪些乘法公式呢？

今天我们借用拼图的方式来验证它们的正确性。

（二）从图形面积到代数恒式：

1、有一个张长方形纸片，如果按此方法将它分成四小份，该如何表示它的总面积？

(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

得出：从图形面积的不同表示方法可以列出一个代数恒式。

2、说一说

首先请同学们观察用硬纸片拼成的几幅图形：

这些图形面积的两种不同表示，可以用来解释什么等式？2242aa，2222bababa

厨房卫生间卧室卧室客厅3xx2yyy3、议一议

如图3，用4个长为a、宽为b的长方形拼成一个正方形，请你根据颜色部分

面积的不同表示方法写出一个代数恒等式。

请大家再想一想，利用我们学过的公式进行计算，能不能验证它的正确性呢？

4、做一做

请同学们利用制作的纸片拼出一些图形,并用拼成图形面积的不同表示方法,写出一个代数恒等式.

《全日制义务教育数学课程标准（试验稿）》把每个学段的教学内容都分为四个领域：数与代数、空间与图形、统计与概率、课题学习。课题学习作为初中数学四大领域之一，是新课程标准的一大特色，它是一种新型的学习活动。在传统的数学活动中，不够重视与学生熟悉的现实生活的联系，因此，新课程标准在初中学段设置了“课题学习”这个领域，从而沟通了生活中的数学与课堂上数学的联系。它具有实践性、综合性、探索性和开放性，对于培养学生的创新意识与实践能力具有较强的促进作用 。 学生在课题学习的过程中，可以接触到一些有研究价值和探索价值的题材，有利于学生全面认识数学、了解数学，使数学在学生未来的职业和生活中发挥更重要的作用。

在八年级数学第十四章《整式》中，就有一个课题学习----《面积与恒等式》。它是通过一些图形的面积来解释代数恒等式。我从备课、做教具、做课件到课堂实际授课，确实体验到了课题学习与以往的教学有着很大的不同，自己也得到了不小的收获。

一、设计情境 激发兴趣

苏联数学教育家奥加涅相曾指出：“数学教学的成就，很大程度上取决于学生对于数学课的兴趣是否能保持和发展”。良好的数学情境能够激发学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，从而为学生顺利完成学习任务打下一个心理基础。八年级年龄段的学生思维活跃，求知欲强，有比较强烈的自我意识，对观察、猜想、探索性的问题充满好奇，要设置学生感兴趣的并且具有挑战性的内容，让学生感受到数学来源于生活又回归生活实际，无形中产生浓厚的学习兴趣和探索热情。

因而我利用课件的动画演示两个图形阴影面积的转化过程：让学生用含a、 b的代数式表示两个图形阴影部分的面积，再利用两部分面积相等得到一个代数恒等式（平方差公式）；从而引出课题-----面积与恒等式。

二、自主活动 实践感知

记得冰心老人说过一句话：“让孩子像野草一样自由生长。” 。只有给学生自由摸索的时间，自由发挥的舞台，自由展示的天地，他们的潜能才能最大地得到开发。运用数学知识与方法来解决问题，就是要培养学生的主体意识，尊重学生的主体地位，让学生动手操作，培养学生主动学习、自主探究的意识，使之真正成为课堂学习的主人。