龙贝格积分 python

3 龙贝格积分3.1 算法原理及程序框图龙贝格积分法是在复化梯形求积公式、复化辛普森求积公式和复化科茨求积公式关系的基础上，构造出的一种精度更高的数值积分方法。

对于复化梯形求积公式而言，近似积分为()2221[]41n n n n I f T T T T ≈+-=-.(11) 对于复化辛普森求积公式和复化科茨求积公式而言，也有类似的关系，如公式(12)和公式(13)。

()22221[]41n n n n I f S S S S ≈+-=- (12)()22231[]41n n n n I f C C C C ≈+-=- (13)通过对公式(11)~(13)做进一步分析，可得到公式(14)和公式(15)。

()22141n n n n S T T T =+--(14)()222141n n n n C S S S =+-- (15)根据公式(14)和公式(15)表现出来的规律，令龙贝格积分为()223141n n n n R C C C =+-- (16)其截断误差为c R h 8f (8)(η)，已经具有很高的精度。

龙贝格积分法是将区间[a , b ]逐次分半进行计算，因此，对已知函数f (x )在区间[a , b ]上的龙贝格积分法的计算公式的算法如下，程序框图如图13所示。

(1) 计算T 1：[]1()()2b aT f a f b -=+；(2) 逐次计算T 2k +1：()1211221121,0,1,2222kk k k k i b a b a T T f a i k +++=--⎛⎫=++-= ⎪⎝⎭∑；(3) 逐次计算S 2k 、C 2k 和R 2k ：()()()11111122222222232222141141141kk k k k k k k k k k k S T T T C S S S R C C C ++++++⎧=+-⎪-⎪⎪=+-⎨-⎪⎪=+-⎪-⎩；(4) 若122k k R R ε+-<，则取[]12k I f R +≈；否则，继续计算，直到满足精度为止。

python积分语句Python是一种功能强大、简洁易读的编程语言，它提供了许多用于数学计算的库和函数。

其中，积分是数学中重要的概念之一，用于求解函数的面积、曲线的弯曲程度等问题。

在Python中，我们可以使用不同的库和函数来实现积分运算。

以下是我整理的10个Python积分语句的例子，希望对您有所帮助。

1. 使用scipy库中的quad函数进行积分计算：```from scipy import integratedef f(x):return x**2result, error = integrate.quad(f, 0, 1)print(result)```这段代码使用quad函数计算了函数f(x)在0到1之间的积分，并将结果打印出来。

2. 使用numpy库中的trapz函数进行梯形法积分计算：```import numpy as npx = np.linspace(0, 1, 100)y = x**2result = np.trapz(y, x)print(result)```这段代码使用梯形法计算了函数f(x)在0到1之间的积分，并将结果打印出来。

3. 使用sympy库进行符号积分计算：```import sympy as spx = sp.symbols('x')f = x**2integral = sp.integrate(f, x)print(integral)```这段代码使用sympy库进行符号积分计算，将f(x)的积分表达式打印出来。

4. 使用scipy库中的simps函数进行辛普森法积分计算：```from scipy import integratex = np.linspace(0, 1, 100)y = x**2result = integrate.simps(y, x)print(result)```这段代码使用辛普森法计算了函数f(x)在0到1之间的积分，并将结果打印出来。

龙贝格积分1. 算法原理采用复化求积公式计算时，为使截断误差不超过ε，需要估计被积函数高阶导数的最大值，从而确定把积分区间[]b a ,分成等长子区间的个数n 。

首先在整个区间[]b a ,上应用梯形公式，算出积分近似值T1；然后将[]b a ,分半，对 应用复化梯形公式算出T2；再将每个小区间分半，一般地，每次总是在前一次的基础上再将小区间分半，然后利用递推公式进行计算，直至相邻两个值之差小于允许误差为止。

实际计算中，常用ε≤-n n T T 2作为判别计算终止的条件。

若满足，则取n T f I 2][≈；否则将区间再分半进行计算，知道满足精度要求为止。

又经过推导可知，∑=-++=ni i i n n x x f h T T 112)2(221，在实际计算中，取kn 2=，则k a b h 2-=，112)1*2(2++--+=+k i i ab i a x x 。

所以，上式可以写为∑=++--+-+=+kk i k k ab i a f a b T T 211122)2)12((2211k开始计算时，取())()(21b f a f ab T +-=龙贝格算法是由递推算法得来的。

由梯形公式得出辛普森公式得出柯特斯公式最后得到龙贝格公式。

根据梯形法的误差公式，积分值n T 的截断误差大致与2h 成正比，因此步长减半后误差将减至四分之一，即有21114n n T T -≈-将上式移项整理，知2211()3n n n T T T -≈-由此可见，只要二分前后两个积分值n T 和2n T 相当接近，就可以保证计算保证结果计算结果2n T 的误差很小，这种直接用计算结果来估计误差的方法称作误差的事后估计法。

按上式，积分值2n T 的误差大致等于21()3n n T T -，如果用这个误差值作为2n T 的一种补偿，可以期望，所得的()222141333n n n n n T T T T T T =+-=-应当是更好的结果。

2第二题 求数值积分11sin 3sin x dx x x -+⎰精确到610-。

龙贝格的算法思想：Romberg 方法也称为逐次分半加速法。

它是在复化梯形公式的基础上，利用Richardson 外推法，构造出一种高精度的数值积分方法。

在等距基点的情况下，用计算机计算积分值通常都采用把区间逐次分半的方法进行。

这样，前一次分割得到的函数值在分半以后仍可被利用,且易于编程 。

2.2.1程序设计关键步骤（1）准备初值aa[0][0]=(b-a)*(F(a)+F(b))/2.0来实现就算初值。

（2）用 for ( n=i,j=1; n>0;n--,j++)aa[j][n]=(pf(2*j+1)*aa[j-1][n+1]-aa[j-1][n])/(pf(j*2+1)-1) 来实现(2)(k )00T T 到的计算。

（3）用fabs(aa[i][1]-aa[i][0])判断数值的精度，如果fabs(aa[i][1]-aa[i][0]<e,则返回gcc(a,b,aa,i+1)进行计算下一个要用到得值； 如果fabs(aa[i][1]-aa[i][0]> e ，则根据aa[i+1][0]=(pf(2*i+3)*aa[i][1]-aa[i][0])/(pf(2*i+3)-1)而得到结果。

2.2.2程序运行结果如下图所示#include "stdafx.h"#include <iostream>#include <math.h>#define F(x) (sin(x)/(3*x+sin(x))) //函数举例。

using namespace std;//------------步长及4，16，64.......的实现----------double pf (int i){int s=1;for (int j=0;j<i;j++)s*=2;return s/2;}//---------定义一个求t1,t2......的函数-------------double gcc (double a, double b,double aa[][20],int i){double s,h,x;h=(b-a)/pf(i);s=0;x=a+h/3;do{s+=F(x);x+=h;}while (x<b);aa[0][i]=aa[0][i-1]/2+h/2*s;return 0;}//----------------------主函数---------------------------int main(){double aa[20][20]={0},e,a,b,h;int j,i,n;cout <<"请输入积分区间：\na= ";cin >>a;cout <<"b= ";cin >>b;cout <<"请输入精度：e=";cin >>e;aa[0][0]=(b-a)*(F(a)+F(b))/2.0;gcc(a,b,aa,1);aa[1][0]=(4*aa[0][1]-aa[0][0])/3;for (i=1;i<20;i++){gcc(a,b,aa,i+1);//求下一个要用的t。

实验题目2 Romberg 积分法摘要考虑积分()()b aI f f x dx =⎰欲求其近似值，可以采用如下公式： （复化）梯形公式 11[()()]2n ii i hT f x f x-+==+∑2()12b a E h f η-''=-[,]a b η∈ （复化）辛卜生公式 11102[()4()()]6n i i i i hS f x f x f x -++==++∑4(4)()1802b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭ [,]a b η∈ （复化）柯特斯公式 111042[7()32()12()90n i i i i hC f x f x f x -++==+++∑31432()7()]i i f xf x +++6(6)2()()9454b a h E f η-⎛⎫=- ⎪⎝⎭[,]a b η∈ 这里，梯形公式显得算法简单，具有如下递推关系121021()22n n n i i h T T f x -+==+∑因此，很容易实现从低阶的计算结果推算出高阶的近似值，而只需要花费较少的附加函数计算。

但是，由于梯形公式收敛阶较低，收敛速度缓慢。

所以，如何提高收敛速度，自然是人们极为关心的课题。

为此，记0,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化梯形积分结果，1,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化辛卜生积分结果，2,k T 为将区间[,]a b 进行2k等份的复化柯特斯积分结果。

根据李查逊（Richardson ）外推加速方法，可得到1,11,,0,1,2,40,1,2,41m m k m km k m k T T T m -+-=-⎛⎫=⎪=-⎝⎭可以证明，如果()f x 充分光滑，则有,lim ()m k k T I f →∞= （m 固定）,0lim ()m m T I f →∞=这是一个收敛速度更快的一个数值求积公式，我们称为龙贝格积分法。

在 Python 中进行格点数据的二重积分计算通常涉及到使用数值积分方法，例如采用 SciPy 库的quad函数。

假设你有一个二维函数f(x,y)，需要在给定的格点上进行二重积分，以下是一个详细的解答：
在上述代码中，my_function是你要进行积分的目标函数。

在这个例子中，函数是
f(x,y)=x2+y2。

dblquad函数用于执行二重积分，其参数为目标函数、第一个变量的下限和上限、第二个变量的下限和上限。

在这个例子中，积分区域是[0,1]范围内的正方形。

请根据实际问题和数据结构修改代码。

如果格点数据以 NumPy 数组的形式给出，你可能需要对数组进行插值，然后再进行积分。

这可以使用scipy.interpolate模块中的函数来实现。

如果有特殊的网格结构，可能需要编写一个自定义的积分函数来适应数据。

总的来说，SciPy 库是一个强大的数值计算库，提供了许多用于积分、插值和其他数学计算的工具。