定积分的数值计算方法[文献综述]

定积分计算方法总结定积分是微积分中的一种重要概念，用于计算曲线与x轴之间的面积、曲线的弧长、质量、质心等物理量。

本文将总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、换元积分法、分部积分法等。

一、基本定积分的计算基本定积分是指形如∫f(x)dx的定积分，其中f(x)为已知函数。

基本定积分的计算方法主要包括常数法、分段法和凑微分法。

1. 常数法：当被积函数为常数函数时，可以直接利用积分性质计算。

如∫kdx=kx+C，其中k为常数，C为积分常数。

2. 分段法：当被积函数在不同区间上有不同的表达式时，可以将积分区间划分为不同的子区间，在每个子区间上分别计算积分，然后再求和得到整个区间上的积分值。

3. 凑微分法：当被积函数可以通过凑微分的方式转化为已知函数的微分形式时，可以利用凑微分法进行计算。

凑微分法的关键是找到合适的凑微分项，使得被积函数可以表示为一个函数的微分。

例如，对于∫x^2dx，可以将其转化为∫(x^2+1-1)dx，然后利用积分性质计算。

二、换元积分法换元积分法是一种常用的定积分计算方法，通过引入新的变量进行替换，将原来的积分转化为更容易计算的形式。

换元积分法的关键是选择合适的换元变量和适当的换元公式。

1. 一般换元法：当被积函数中存在形如f(g(x))g'(x)的部分时，可以选择g(x)作为新的变量进行替换。

然后利用链式法则计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

2. 三角换元法：当被积函数中存在形如sin(x)或cos(x)等三角函数时，可以选择三角函数的反函数作为新的变量进行替换。

然后利用三角函数的导数和反函数的导数计算新的微分形式，将原来的积分转化为新变量的积分。

三、分部积分法分部积分法是一种常用的定积分计算方法，通过将积分中的乘积拆解为两个函数的乘积，利用分部积分公式进行计算。

分部积分法的关键是选择合适的分部函数和求导函数。

分部积分公式为∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx。

文献综述信息与计算科学无穷限广义积分的数值计算一．前言部分定积分的数值近似称为数值求积.[1]它起源于古代用铺贴小方块近似计算不规则图形或曲边形的面积．在近似积分中，主要从定义积分的黎曼和出发，用被积函数在积分区间上有限个点上值的加权和来近似计算积分．我们一般使用牛顿-科茨求积公式，梯形公式及其复合公式，辛普森公式及其复合公式，Gauss 求积公式，切比雪夫求积法，三次样条函数求积法，自适应积分法等方法来进行数值求积．在讨论积分时有两个最基本的限制：积分区间的有穷性和被积函数的有界性．但在很多实际问题中往往需要突破这些限制，考虑无穷区间上的“积分”．根据函数的变化率，利用定积分我们可以计算函数在指定区间上的增量，利用变限定积分可以把握函数变化区间上增量的变化，为了把握函数在无穷区间上增量的变化，我们还需要引进并讨论无穷限积分[2]．比如现在人类要发射人造地球卫星或发射完成星际航行的飞行器，就要摆脱地球强大的引力，那如何离开地球呢?地球上的物体要脱离地球引力成为环绕太阳运动的人造行星，需要的最小速度是第二宇宙速度．第二宇宙速度为11．2公里/秒，是第一宇宙速度的2倍．地面物体获得这样的速度即能沿一条抛物线轨道脱离地球．我们可以运用无穷限广义积分解决第二宇宙速度问题．在黎曼积分的定义中，被积函数和积分区间都是有界的．若被积函数或积分区间无界，则称为广义积分．对无界区间，如[)∞，a ，如果对任何有限的b ，f 在区间[]b a ,上可积，并且下列极限存在且为有限数，则广义积分的定义为()()⎰⎰∞∞→=alim bab dx x f dx x f ．对无界的积分区间，可以使用有限区间上的标准求积程序计算广义积分，具体方法如下：•用有限的积分区间代替无限的积分区间．选择积分范围时要注意所截掉的部分应是极小的，另外应对这一部分在整个积分中所占的份额作出估计．同时这个有限区间也不应太大，以免在利用自适应求积程序时，陷入无休止的积分函数调用之中．•通过适当的变换将无界区间变成有界区间．典型的变换包括，t x ln -=或者()t tx -=1．但是在变换的时候一定要注意不要引入新的奇异点或产生其它问题． 还有一种方法就是采用专门计算无界区间积分的求积公式，比如说高斯-拉盖尔（Gauss-laguerre ）或者高斯-艾尔米特求积公式．一般采用变量替换，无穷区间的截断，无穷区间上的高斯求积公式，极限过程等方法去解决无穷限广义积分的数值计算．二．主题部分2．1数值积分的一般方法许多定积分都无法用解析方法求出．对于那些并不知道函数()f x 的表达式只能通过实验得到()f x 在一系列点上的值的积分问题也只能用数值方法．[3]2．1．1梯形法则[4]把以曲线()f x 为曲边的曲边梯形分解成小曲边梯形以后，估计小曲边梯形面积的一个方法是用左矩形或右矩形面积代替小曲边梯形面积；但是这时误差会比较大．事实上，这种方法相当于用一系列的水平线逼近曲线()f x ．我们可以把这些水平线看成是函数的零次插值多项式．一个更好的方法就是用一条折线逼近曲线()f x ；事实上，我们让小矩形的上边连续倾斜直到最好地拟合曲线．得到相应的求积公式是()()()2bab af x dx f a f b -≈+⎡⎤⎣⎦⎰, ()2.1.1 对所有1f ∈∏（即次数最多是1次的全体多项式）公式精确成立．此外，它的误差项是()()31''12b a f ξ--, 其中(),a b ξ∈．通过多项式逼近中的误差()()()()()1''x f x p x f x a x b ξ-=--积分，再利用积分中值定理，可以确定梯形法则的误差项． 2．1．2复合梯形法则如果划分区间[],a b 为：01n a x x x b =<<⋅⋅⋅<=.那么在每个子区间上可应用梯形法则．这时结点未必是等距的．这样，我们得到复合梯形法则()()()()()1111112ii nnbx i i i i ax i i f x dx f x dx x x f x f x ---==-=≈-+⎡⎤⎣⎦∑∑⎰⎰.()2.1.2 对等间距()h b a n =-及结点i x a ih =+，复合梯形法则具有形式()()0''nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰， ()2.1.3其中求和符号上的两撇表示求和式中的第一项和最后一项都被减半.复合梯形法则的误差项是()()21''12b a h f ξ--, 其中(),a b ξ∈．对于每个子区间上的误差项求和并利用以下事实：在[],a b 内存在一点ξ使得()()()1''1''nii f n f ξξ==∑，其中()1,i i i xx ξ-∈以及()1n b a h =-，即平均值，这样便得到总误差项． 2．1．3辛普森法则[5]对任意区间[],a b 的类似计算可得到熟悉的辛普森法则：()()()462bab a a b f x dx f a f f b -⎡+⎤⎛⎫≈++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰. ()2.1.4 从它的推导过程可知，对于所有次数2≤的多项式辛普森法则是精确成立的．出乎意料的是， 对于所有次数3≤的多项式它也精确成立．与辛普森法则联系在一起的误差项是： ()()()541290b a f ξ--⎡⎤⎣⎦, 其中(),a b ξ∈． 2．1．4 Gauss 公式[6]设有计算()()baI f f x dx =⎰ ()2.1.5的求积公式()()0nn kkk I f A f x ==∑， ()2.1.6其中求积节点()0,1,k x k n =，求积系数()0,1,k A k n =.如果其代数精度为()21n +，则称为求积公式为Gauss-Legendre 公式（简称Gauss 公式），称相应的求积节点为Gauss 点．由代数精度的定义知，式()2.1.6为Gauss 公式的充分必要条件是求积节点{}0nk k x =和求积系数{}0nk k A =满足下列方程组：0220212101n b k a k n b k k a k nb k k ak nbn n k k ak A dx x A xdxx A x dx x A x dx===++=⎧=⎪⎪⎪=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪⎪⎪⎪=⎪⎩∑⎰∑⎰∑⎰∑⎰. ()2.1.7 Gauss 积分不但具有高精度，而且是稳定的，其原因是由于它的求积系数具有非负性．Gauss 公式()()0nbkkak f x dx A f x =≈∑⎰的求积系数()0,1,kA k n =全是正的．高斯求积公式,[7]它不但具有最高的代数精度，而且收敛性和稳定性都有保证．因此是高精度的求积公式，高斯公式的主要缺点是节点和系数无规律，所以不便编程实现，在实际应用中，可以把低阶高斯公式进行复化． 2．2 无穷积分的敛散性判别[8]无穷积分的基本问题就是敛散性的判别问题，是求解无穷积分近似值的一个先决条件．由定义知道，无穷积分()af x dx +∞⎰收敛与否，取决于函数()()uaF u f x dx=⎰在u →+∞时是否存在极限．因此可由函数极限的柯西准则导出无穷积分的柯西准则．无穷积分()af x dx +∞⎰收敛的充要条件是：任给0ε>，存在G a ≥，只要1u 、2u G >，便有()()()2121u u u aau f x dx f x dx f x dx ε-=<⎰⎰⎰．()2.2.1 我们知道，[9]无穷限反常积分和数项级数两者之间有很多结论是相似的．在数项级数里面，当数项级数收敛时，其通项是收敛于零的．那么在无穷限反常积分里是不是也有相似的结论呢．首先我们看看无穷限反常积分在收敛时的几何意义：()af x dx +∞⎰收敛时的几何意义：若()f x 是[),a +∞上的非负连续函数，则()af x dx +∞⎰是介于曲线()y f x =，直线x a =以及x 轴之间那一块向右无限延伸的阴影区域的面积J ．从而可知：()af x dx +∞⎰实际上是表示曲线()y f x =与坐标轴所围成的面积的代数和．而当()af x dx +∞⎰收敛时，是否()f x 在无穷远处的极限一定为零时，图形的面积才可以计算呢?如果回答否定，那么在哪些情况下，被积函数在无穷远处的极限才等于零呢?经过对若干例子的研究，我们得出结论：上述第一个问题的回答是否定的，并且有这样的事实：()af x dx +∞⎰收敛时()f x 在无穷远处的极限并不一定为零．被积函数在无穷远处极限为零的充分条件： 当()af x dx +∞⎰收敛时，在无穷远处的极限为零．以下就是经过对()f x 作某些限制而得出的几个结论，而这些结论就是对引言中的问题的回答．定理1． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()lim x f x →+∞存在，则有()lim 0x f x →+∞=；定理2． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 单调，则()lim 0x f x →+∞=；定理3． 若()a f x dx +∞⎰收敛且()f x 一致连续，则有()lim 0x f x →+∞=；定理4． 若()af x dx +∞⎰收敛且导函数()f x 有界，()lim 0x f x →+∞=．2．3无穷区间上的积分的计算方法考虑无穷区间上的积分 ()()aI f f x dx ∞=⎰, ()2.3.1其中a 为有限值或-∞．常用的无穷区间上的积分的求解方法:[10]2．3．1变量替换对于式()2.3.1，作变量替换xt e -=，可将区间[)0,+∞变为区间()0,1．因此有()()()110001ln g t f x dx f t dt dt t t∞=-=⎰⎰⎰. ()2.3.2这样就把无穷区间上的一个积分化成为了有限区间上的积分．若()g t t在0t =的邻域内有界，那么式()2.3.2的右边是一个正常积分，反之，积分是一个反常积分，上述变换只是把一种困难装换成另一个困难．变量替换还有很多不同类型． 例 计算积分22111sin dx x x∞⎰． 解 令1y x=，那么有12221011sin sin dx y dy x x∞=⎰⎰， 对2sin y 泰勒级数展开，有122210111111sin sin 342132075600dx y dy x x ∞==-+-+⎰⎰0.310268≈．2．3．2无穷区间的截断将被积函数的“尾巴”略去，可使无穷区间化为一个有限区间，此方法要求事先用某种简单的解析方法估算出尾部的量值．选取R a >，使()0f x dx ε∞<⎰, ()2.3.3其中ε为允许误差，那么无穷区间上的积分()2.3.3可以用()Raf x dx ⎰来近似．例 计算2x e dx ∞-⎰．解：当x R ≥时有2x Rx ≥，所以有估计式221x Rx R RRedx e dx e R∞∞---≤=⎰⎰． 对于4R =，则28110R e R--≈．因此对于允许误差为710-来说，只要计算240x e dx -⎰就可以了．2．3．3无穷区间上的高斯求积公式无穷区间上的积分．高斯-拉盖尔求积公式和高斯-艾尔米特求积公式是最广泛实用的．下面作些补充．将插值型求积公式()()()()()()00,,nbk k a k n bi k a i k i i k x f x dx A f x x x A x dx x x ρρ==≠⎧≈⎪⎪⎨-⎪=∏⎪-⎩∑⎰⎰ ()2.3.4 中的[],a b 换为半无穷区间[)0,+∞，权函数()xx e ρ-=，并取节点()0,1,,k x k n =为1n +次拉盖尔多项式()()1111n xn xn n d L x e x e dx ++-++=的零点，称这样的高斯求积公式为高斯-拉盖尔求积公式，其表示形式为()()0,nxk k k e f x dx A f x +∞-=≈∑⎰()2.3.5系数k A 为()()122'1!n k k k n A x L x ++⎡⎤⎣⎦=⎡⎤⎣⎦()0,1,2,,k n =，()2.3.6 截断误差为[]()()()()2221!22!n n R f f n ζ++⎡⎤⎣⎦=+， ()0,ζ∈+∞. ()2.3.7 高斯-艾尔米特求积公式是全无穷区间上的高斯型求积公式()()2nx k k k ef x dx A f x +∞--∞=≈∑⎰， ()2.3.8其中节点()0,1,,k x k n =为(),-∞+∞上带权()x x e ρ-=正交的1n +次艾尔米特多项式()()()2211111n n x x n n d H x e e dx++-++=-的零点，系数k A 为 ()()22'121n k n k n A Hx +++=⎡⎤⎣⎦， ()2.3.9截断误差为[]()()()()2211222!n n n R f f n ζ+++=+，(),ζ∈-∞+∞. ()2.3.10 在实际应用中有时希望一个或几个节点预先固定，然后确定其他节点和系数以使求积公式具有尽可能高的代数精度，这种固定部分节点的高斯型求积公式理论上总是可以按代数精度的等价定义[11]．2．3．4极限过程()()0lim r f x dx f x dx ∞∞→∞=⎰⎰,提供了极限过程．令010r r <<<是趋向于∞的数列．记()()()()0121r r r r r f x dx f x dx f x dx f x dx ∞=+++⎰⎰⎰⎰,右端每个积分都是正常积分，当()1n nr r f x dx ε+<⎰时，计算终止．2．4无穷限广义积分的新方法最近提出了一种基于进化策略算法的广义积分计算新方法，[12-15]该方法根据被积函数的变量区间任意选取分割点，作为进化策略的初始的群体，通过进化策略算法来优化这些分割点，最终可得到一些最优的分割点，然后再求和，再根据和函数定义适应度函数，在给定的终止条件下，可获得精度较高的积分值．最后，以广义积分(无穷限广义积分)为例，仿真结果表明，该算法相比传统的一些方法，具有计算精度高，自适应性强等特点．三、总结部分定积分的积分区间是有限的，但在实际问题中，往往需要突破这个限制，把积分区间从有限的推广到无限区间，形成了无穷限广义积分，因此，无穷限广义积分的基本性质、计算方法与定积分相类似[16]．在工程计算中也会遇到广义积分的数值计算问题，尤其是在近代物理等领域中会经常遇到广义积分(无穷限广义积分)的数值计算问题，不同的理论和方法的难易程度不同，我们应该注意观察总结，举一反三、巧妙地应用这些方法．同时也应该积极探索更新更有效的理论和方法去解决这些问题．四、参考文献[1]Michael T．Health．Scientific Computing: An Introductory Survey[M]．第2版影印版．北京 :清华大学出版社,2001．10:297-311．[2]李国莹,姜诗章,杨平,王国清．应用数学基础[M]．第2版．上海:复旦大学出版社,2003．2:97-97．[3]Leader J．J．Numerical Analysis and Scientific Computation[M]．影印版．北京:清华大学出版社,2008．5:314-314．[4]Curtis F．Gerald Partrick O．Wheatley著,吕淑娟译．应用数值分析[M]．第7版．北京:机械工业出版社,2006．9:22-223．[5]David Kincaid,Ward Cheneny著,王国荣,俞耀明,徐兆亮译．数值分析[M]．第3版．北京:机械工业出版社,2005．9:385-386．[6]孙志忠,袁慰平,闻震初．数值分析[M]．第2版．南京:东南大学出版社,2002．1:203-211．[7]李桂成．计算方法[M]．北京:电子工业出版社,2005．10:186-186．[8]华东师范大学数学系．数学分析上册[M]．第3版．北京:高等教育出版社,2001．6:264-270．[9]戴培亮．无穷限积分的被积函数在无穷远处的极限[J]．常熟理工学院学报．2006．11,20(6) :1-4．[10]《代应用数学手册》编委会．现代应用数学手册-计算与数值分析卷[M]．北京:清华大学出版社,2005．1:227-230．[11]封建湖,车刚明,聂玉峰．数值分析原理[M]．北京:科学出版社,2001．9:118-118．[12]郭德龙,周永权．基于进化策略的广义积分计算方法研究[J]．计算机工程与设计． 2008．10,29(19):5026-5028．[13]张艳红．一种工程实用的数值积分方法[J]．工程力学报．2005．6,22(3):39-45．[14]陈泽文,朱玉灿．高阶奇异积分的小波逼近及数值计算[J]．数学物理学报．2002．6,22(2):281-288．[15]张新育,杨松华．矩形域上非正常积分的一种数值算法[J]．郑州工业大学报． 1999．3,12(4):101-102．[16]李承家,胡晓敏．数学分析导教．导学．导考[M]．第3版．陕西:西北工业大学出版社,2003．6:234-234．。

定积分的计算⽅法定积分的计算⽅法摘要定积分是积分学中的⼀个基本问题，计算⽅法有很多，常⽤的计算⽅法有四种：（1）定义法、（2）⽜顿—莱布尼茨公式、（3）定积分的分部积分法、（4）定积分的换元积分法。

以及其他特殊⽅法和技巧。

本论⽂通过经典例题分析探讨定积分计算⽅法，并在系统总结中简化计算⽅法！并注重在解题中⽤的⽅法和技巧。

关键字：定积分，定义法，莱布尼茨公式，换元法Calculation method of definite integralAbstractthe integral is the integral calculus is a fundamental problem, its calculation method is a lot of, (1)definition method,(2)Newton - Leibniz formula, (3)integral subsection integral method, (4) substitute method.This paper, by classic examples definite integral analysis method, and in the system of simplified, summarized the approximate calculation method! And pay attention to problem in using the methods and skills.Key words:definite integral ,definition method, Newton - Leibniz, substitute method⽬录⽬录 (2)1绪论 (3)1.1定积分的定义 (3)1.2定积分的性质 (4)2 常⽤计算⽅法 (5)2.1定义法 (5)2.2⽜顿-莱布尼茨公式 (6)2.3定积分的分部积分法 (7)2.4定积分的换元积分法 (7)3 简化计算⽅法............................................................................................. 错误！未定义书签。

数值计算方法与算法综述数值计算方法和算法是计算机科学和应用数学领域中的重要内容，广泛应用于科学计算、数据分析、工程仿真等领域。

本文将对数值计算方法和算法进行综述，介绍其基本概念、常用方法及其应用。

一、概述数值计算方法是通过数学模型和数学算法来计算数值结果的一种方法。

其基本目标是利用数值方法解决现实生活中无法用解析方法求解的数学问题。

数值计算方法与传统的解析方法相比，具有计算精度高、适用范围广、结果可靠等优点，因此在科学计算和工程应用中得到广泛应用。

二、数值计算方法的分类根据解决问题的性质和算法的特点，数值计算方法可以分为以下几类：1. 插值和拟合方法：通过已知数据点之间的插值或拟合关系来估计中间位置的数值。

常用的插值方法有拉格朗日插值法和牛顿插值法，拟合方法有最小二乘法等。

2. 方程求解方法：通过数值迭代的方式求解方程的数值解，主要包括二分法、牛顿迭代法、割线法等。

3. 数值积分方法：通过数值逼近来计算定积分的数值结果，常见的方法有梯形法、辛普森法、龙贝格法等。

4. 常微分方程数值求解方法：用数值方法求解常微分方程的初值问题，常用的方法有欧拉法、龙格-库塔法、改进欧拉法等。

5. 偏微分方程数值求解方法：用数值方法求解偏微分方程的边值问题，常见的方法有有限差分法、有限元法等。

三、常用数值计算算法除了数值计算方法的分类，还有一些常用的数值计算算法，包括以下几个方面：1. 线性方程组求解算法：常用的算法有高斯消元法、LU分解法、雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法等。

2. 矩阵特征值和特征向量求解算法：常用的算法有幂法、反幂法、QR算法等。

3. 最优化算法：用于求解函数的最优值，常见的算法有梯度下降法、牛顿法、拟牛顿法等。

4. 最小二乘问题算法：用于求解超定方程组的最小二乘解，常用的算法有QR分解法、SVD分解法等。

5. 数值优化算法：用于求解非线性优化问题，常见的算法有遗传算法、粒子群算法、模拟退火算法等。

咸阳师范学院毕业论文(设计)文献综述题目：定积分及其应用学生姓名：马永升系别：数学与信息科学学院专业：应用数学年级：2008级学号：0806014322本(专) 科：本科指导教师：李艳艳定积分及其应用摘要：定积分在几何、物理、初等数学以及在其他方面的应用。

讨论了应用定积分在图形面积、立体图形体积、求数列极限、求变速直线运动的路程、求变力所做的功的方法。

关键词：定积分；几何；物理；初等数学极限是数学分析的一个重要概念，若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和，那么计算此数列的极限科以转化为计算定积分，这是计算这类数列极限的一个简便、有效的方法。

例如：求]1sin 2sin[sin 1lim n n n n n n -+++∞→的值。

解 ]1sin 2sin[sin 1lim nn n n n n -+++∞→= ()1.1)(lim sin 1lim ]1sin 2sin sin 0[sin 1lim 11n f n in nn n n n n n i i n n i n n ∑∑-=∞→-=∞→∞→==-++++ξ（1） 式是函数f （x ）=sinx 在区间[a,b]上的一个积分和，它是把[0,1]分成n 等份。

ξi 取[],1n i n i -的左端点（即ξi = n i f n i i 1sin )(,1-=-ξ）构成的积分和，由定积分定义可得]1sin 2sin[sin 1lim nn n n n n -+++∞→=2]cos 1[)(sin 1sin sin 1lim 10101010=-===⎰⎰∑-=∞→x x xd xdx n in n i n 许多教师在讲此内容时将例题一带而过，导致大部分学生做习题不知从何下手，基础较好的学生也只是模仿例题，但对该方法理解不深。

一 定积分在数学中的应用 1利用定积分求平面图形的面积。

一般地，有上、下两条连续曲线 y=f 2(x)与y=f 1(x)以及两条直线 x=a 与x=b （a<b ）所围的平面图形如图（所示，它的面积计算公式为 A=.)]()([12dx x f x f ba -⎰。

几种定积分的数值计算方法摘要:本文归纳了定积分近似计算中的几种常用方法,并着重分析了各种数值方法的计算思想,结合实例,对其优劣性作了简要说明.关键词:数值方法;矩形法;梯形法;抛物线法;类矩形;类梯形Several Numerical Methods for Solving Definite Integrals Abstract:Several common methods for solving definite integrals are summarized in this paper. Meantime, the idea for each method is emphatically analyzed. Afterwards, a numerical example is illustrated to show that the advantages and disadvantages of these methods.Keywords:Numerical methods, Rectangle method, Trapezoidal method, Parabolic method, Class rectangle, Class trapezoid1. 引言在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用. 在科学研究和实际生产中,经常遇到求积分的计算问题,由积分学知识可知,若函数)(x f 在区间],[b a 连续且原函数为)(x F ,则可用牛顿-莱布尼茨公式求得积分.这个公式不论在理论上还是在解决实际问题中都起到了很大的作用.另外,对于求导数也有一系列的求导公式和求导法则.但是,在实际问题中遇到求积分的计算,经常会有这样的情况:(1)函数)(x f 的原函数无法用初等函数给出.例如积分 dx e x ⎰-102, ⎰10sin dx xx等,从而无法用牛顿-莱布尼茨公式计算出积分。

定积分的计算方法与技巧定积分是高等数学中重要的一部分，它在数学、物理学、工程学等领域都有广泛应用。

本文将介绍定积分的基本概念和计算方法，以及一些常用的技巧。

一、定积分的基本概念定积分是对连续函数在一定区间上的面积进行求解的方法。

设f(x) 在区间 [a,b] 上连续，则它在该区间上的定积分为：∫(b,a) f(x) dx其中，∫是积分符号，f(x) 是被积函数，dx 表示积分变量。

二、定积分的计算方法1. 基本积分公式对于一些常见的函数，有一些基本积分公式可供使用。

比如：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C (n≠-1)∫e^x dx = e^x + C∫sinx dx = -cosx + C∫cosx dx = sinx + C等等，使用这些基本积分公式可以简化复杂的计算过程。

2. 函数的分段积分对于一些在区间上不连续的函数，可以尝试将区间划分成几个子区间，然后在每个子区间上分别进行积分计算。

这个方法被称为分段积分。

3. 反常积分对于某些函数，其在一定区间上可能无法被积分，这时需要使用反常积分的方法进行计算。

反常积分分为两种情况：无穷积分和间断积分。

无穷积分是对于某些函数在无穷区间上的积分。

间断积分是对于某些函数在一定区间上存在间断点的积分。

三、定积分的技巧1. 积分中的代换对于一些复杂的积分式，可以使用代换的方法将其转化成一些已知的积分式，从而简化计算。

例如，对于∫cos(x^2)dx ，可以使用代换 y=x^2 ，将积分式转化成∫cos(y)dy 。

2. 微积分基本定理微积分基本定理指出，对于连续函数 f(x) ，其在区间 [a,b] 上的定积分可以表示成其原函数 F(x) 在区间 [a,b] 上的值之差，即：∫(b,a) f(x) dx = F(b) - F(a)这个定理可以用来简化一些定积分的计算。

3. 奇偶对称性对于一些奇偶对称的函数，其在区间 [a,b] 上的定积分可以简化为：∫(b,a) f(x) dx = 2∫(b,a/2) f(x) dx （偶函数）∫(b,a) f(x) dx = 0 （奇函数）例如，对于 f(x) = sin(x) ，其在区间 [0,π] 上的定积分可以简化为：∫(π,0) sin(x) dx = 2∫(π/2,0) sin(x) dx = 24. 积分中的分数分解对于一些积分式中含有分数的情况，可以使用分数分解的方法将其拆分成一些已知的积分式。

定积分计算的总结论文标题：定积分的计算方法总结摘要：定积分是微积分学中的重要内容，该文通过总结定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识，探讨了定积分在实际问题中的应用，总结了定积分的计算方法，为读者提供了一种关于定积分计算的综合信息。

关键词：定积分；计算方法；面积；体积；变量替换1.引言定积分是微积分学中的重要工具，用于求解一条曲线所围成的面积、计算一些曲面的体积等。

在物理、经济学和工程学等领域，定积分的应用广泛。

本文主要总结并归纳定积分的计算方法，以及定积分在实际问题中的应用。

2.定积分的基本计算方法2.1基本不定积分首先，我们需要了解基本不定积分的常用公式，如幂函数积分、三角函数积分、指数函数积分等。

基本不定积分是求解定积分的基础，需要熟练掌握。

2.2基本定积分的计算基本定积分的计算可以通过牛顿-莱布尼茨公式进行求解，即通过求解不定积分的差来得到定积分的值。

此外，还可以通过分部积分法等方法来简化计算。

3.利用定积分计算面积和体积3.1曲线围成的面积通过定积分的计算方法，可以求解一条曲线所围成的面积。

常见的曲线有直线、抛物线、三角函数曲线等。

通过将曲线用函数表达式表示，并确定积分上下限，可以通过定积分的计算求解面积值。

3.2曲面的体积利用定积分的计算方法，可以计算曲面围成的体积。

例如，通过确定边界曲线的函数表达式，设置积分上下限，可以通过定积分计算出曲面体积的值。

4.变量替换求解定积分变量替换是定积分计算中常用的方法之一，可以将复杂的定积分转化为简单的形式。

通过选择适当的变量替换，使被积函数形式简单化，从而更容易计算定积分。

5.定积分的应用定积分在实际问题中有广泛的应用，如物体质量、质心的计算、平均值的求解、几何问题的解决等。

本文还介绍了一些实际问题，并利用定积分的计算方法得到解答。

6.结论本文总结了定积分的计算方法，包括基本定积分的计算、利用定积分计算面积和体积、变量替换求解定积分等方面的知识。

计算定积分的方法定积分是微积分中的一个重要概念，用来描述曲线下方的面积。

计算定积分的方法通常包括几何法、零散法、换元法和分部积分法等。

一、几何法几何法是通过几何图形的性质计算定积分。

常用的几何法计算定积分的方法有：1. 面积法：将曲线下方的区域分割成许多个简单几何形状，如矩形、三角形等，然后计算每个几何形状的面积，并将所有面积相加得到总面积。

2. 折线法：将曲线下方的区域近似地用折线连接起来，然后计算每段折线的长度，并将所有长度相加得到总长度。

二、零散法零散法是将曲线下方的面积进行分割求和的方法。

常用的零散法计算定积分的方法有：1. 矩形法：将曲线下方的区域分割成若干个矩形，然后计算每个矩形的面积，并将所有面积相加得到总面积。

2. 梯形法：将曲线下方的区域分割成若干个梯形，然后计算每个梯形的面积，并将所有面积相加得到总面积。

3. 辛普森法则：将曲线下方的区域分割成若干个小区间，在每个小区间上使用二次多项式逼近曲线，然后使用辛普森公式进行近似计算。

三、换元法换元法是通过变量替换的方式将复杂的积分转化成简单的积分，从而简化计算。

常用的换元法计算定积分的方法有：1. 对换元法：将被积函数中的自变量替换成新的自变量，通过求出新的积分变量和原积分变量的关系，将原来的积分变量带入进行计算。

2. 三角换元法：将被积函数中的自变量表示成三角函数形式，通过选择合适的三角变换，将原函数转化成更简单的形式进行计算。

四、分部积分法分部积分法是微积分中的一个重要定理，可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，从而简化计算。

常用的分部积分法计算定积分的方法有：1. 正比换元法：将被积函数中的一项作为导数，另一项作为原函数，通过求出原函数和导数的关系，将积分变换为另一个积分。

2. 对数换元法：将被积函数中的一项取导数，另一项取倒数，通过求出导数和倒数的关系，将积分变换为另一个积分。

以上是计算定积分的常用方法，通过几何法、零散法、换元法和分部积分法可以解决各种类型的定积分计算问题。

几种定积分的数值计算方法一、梯形法则（Trapezoidal Rule）：梯形法则是一种常见的确定积分的数值计算方法。

它的基本思想是通过将函数曲线上的曲线段看作是一系列梯形，然后计算这些梯形的面积之和来近似表示定积分的值。

具体来说，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每个小区间内的梯形面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。

梯形法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/2 * (f(a) + 2f(a+h) + 2f(a+2h) + ... + 2f(a+(n-1)h) + f(b))梯形法则的优点是简单易懂，容易实现，并且对于一般的函数都能达到较好的近似效果。

然而，它的缺点是精度较低，需要较大的划分数n才能得到较准确的结果。

二、辛普森法则（Simpson's Rule）：辛普森法则是一种比梯形法则更高级的确定积分方法，它通过将函数曲线上的曲线段看作是由一系列抛物线组成的，然后计算这些抛物线的面积之和来近似表示定积分的值。

与梯形法则类似，我们将定积分区间[a,b]均匀地划分为n个小区间，每个小区间的宽度为h=(b-a)/n，然后计算每两个相邻小区间内的抛物线面积，再将这些面积相加即可得到定积分的近似值。

辛普森法则的公式如下：∫(a to b) f(x) dx ≈ h/3 * (f(a) + 4f(a+h) + 2f(a+2h) +4f(a+3h) + ... + 2f(a+(n-2)h) + 4f(a+(n-1)h) + f(b))辛普森法则相较于梯形法则具有更高的精度，尤其对于二次或更低次的多项式函数来说，可以得到非常准确的结果。

但是，辛普森法则在处理高次多项式或非多项式函数时可能会出现误差较大的情况。

三、高斯求积法（Gaussian Quadrature）：高斯求积法是一种基于插值多项式的数值积分方法。

求定积分的方法范文定积分是微积分中的重要概念，其概念和方法常用于计算曲线下的面积、求函数的平均值和无穷小量之和等问题。

在本文中，我将介绍定积分的基本概念和求解方法，并结合一些实例进行讲解。

一、定积分的基本概念定积分是指求解函数在一个区间上的面积的过程。

数学上，设函数f(x)在区间[a, b]上有定义，我们将区间[a, b]划分成n个子区间[a0,a1],[a1, a2],...,[an-1, an]，其中a = a0，b = an。

然后，在每个子区间上取一个任意点ξi，i = 1, 2, ..., n。

将这些子区间的长度加起来，得到一个数Δx = (b-a)/n。

类似地，我们将函数f(x)在每个子区间上取一个任意点ξi，然后计算出相应的函数值f(ξi)，并将这些函数值乘以子区间的长度Δx。

最后，将这些乘积相加，即可得到函数在区间[a, b]上的定积分。

用数学符号表示为：∫[a, b] f(x)dx = lim(n->∞) Σ f(ξi)Δxi其中lim表示当n趋向于无穷大时的极限。

二、定积分的求解方法求解定积分的方法有多种，下面将介绍几种常用的方法。

1.几何解法对于一些特殊的函数，我们可以通过几何解法来求解定积分。

例如，若要求解函数y=f(x)在区间[a,b]上的面积，可以先画出函数图像和区间[a,b]，然后根据图像中的几何形状确定面积的表达式，最后利用几何性质计算出面积。

2.隐含积分法有时，我们可以将要求解的定积分转化为一些函数的原函数，从而通过求导的逆过程求得定积分。

这种方法叫做隐含积分法。

例如，要求解函数y=f(x)在一些区间[a,b]上的定积分，可以首先试图找到一个函数F(x)，使得F'(x)=f(x)，然后计算函数F(x)在区间[a,b]上的值的差，即得到所求定积分。

3.分部积分法分部积分法是求解定积分的另一种常用方法。

它通过将积分运算符应用于两个函数的乘积，将一个函数的导数和另一个函数的积分相互转换。

定积分的计算方法及其在几何物理等领域的应用定积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、几何和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍定积分的计算方法，并探讨其在几何物理等领域中的应用。

一、定积分的计算方法定积分是通过将函数在一个闭区间上的取值进行累加来计算的。

可以分为以下几种常见的计算方法：1. 函数图像分析法通过观察函数图像的特点，我们可以确定定积分的上下限和积分区间，并求解出函数在该区间上的定积分。

例如，对于连续函数而言，可以通过求解曲线下方的面积来计算定积分。

2. 函数积分法定积分与函数的不定积分存在紧密的联系，可以通过函数的不定积分来计算定积分。

通过积分的基本公式和求导与积分的逆关系，可以推导出定积分的计算公式。

3. 数值逼近法对于某些函数，无法通过解析的方式求得其定积分，这时可以借助于数值逼近方法来近似计算。

常用的数值逼近方法包括矩形法、梯形法和辛普森法等。

二、定积分在几何领域的应用1. 曲线长度计算定积分可以用来计算曲线的长度。

对于平面曲线，可以将曲线划分为无数个微小的线段，并对其长度进行累加，最终得到曲线的总长度。

2. 曲线包围的面积计算定积分可以用来计算曲线所包围的面积。

通过将曲线所在的区域分割成无数个微小的矩形或三角形，并对其面积进行累加，可以得到所求的面积。

3. 旋转体的体积计算定积分可以用来计算旋转体的体积。

当平面图形绕某条轴线旋转一周形成旋转体时，可以通过定积分计算旋转体的体积。

三、定积分在物理领域的应用1. 质量、密度和体积计算定积分可以应用在质量、密度和体积的计算中。

通过将物体分割成无数个微小的部分，并对其进行累加，可以计算出质量、密度和体积的值。

2. 能量和功的计算定积分可以用来计算能量和功。

对于一定范围内的力和位移，可以通过定积分计算功；而能量也可以通过积分的方式计算。

3. 力学问题的求解定积分在力学领域的应用非常广泛。

例如，通过对速度-时间曲线进行定积分可以计算物体的位移；通过对加速度-时间曲线进行定积分则可以计算物体的速度。

定积分的计算方法及其性质证明定积分是微积分中重要的概念之一，它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

本文将介绍定积分的计算方法，并证明一些与定积分相关的性质。

一、定积分的计算方法1. 首先，我们介绍定积分的定义。

对于函数f(x)在[a, b]上的定积分可以用下面的极限形式表示：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) ∑[i=1 to n] f(xi)Δx其中，xi是[a, b]上的一系列划分点，Δx是每个子区间的长度。

2. 一种常用的计算定积分的方法是使用定积分的几何意义。

对于非负函数f(x)，它在[a, b]上的定积分表示f(x)与x轴之间的面积。

当f(x)是负函数时，定积分可以表示为x轴与f(x)之间的绝对值的面积。

例如，计算函数y = x^2在[1, 2]上的定积分可以通过计算由y = x^2, x = 1, x = 2和x轴所围成的区域的面积来完成。

3. 常用的定积分计算方法之一是基于牛顿-莱布尼兹公式，也称为微积分的基本定理。

该定理表明，如果函数F(x)是f(x)的一个原函数，则有：∫[a, b] f(x) d x = F(b) - F(a)这意味着我们可以通过求解函数f(x)的原函数，并使用原函数在区间的端点处的值来计算定积分。

4. 对于一些特定的函数，我们可以使用一些基本的公式和性质来计算定积分。

例如，对于多项式函数和三角函数，我们可以利用它们的导数和基本积分表来计算定积分。

5. 对于一些复杂的函数，我们可以将其进行分解成更简单的函数，然后分别计算它们的定积分，最后将结果进行合并。

这种方法常用于计算不可积函数的定积分。

二、定积分的性质证明1. 定积分的线性性质对于函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有以下等式成立：∫[a, b] (af(x) + bg(x)) dx = a∫[a, b] f(x) dx + b∫[a, b] g(x) dx这个性质可以通过定积分的定义和极限运算的性质进行证明。

定积分计算方法总结定积分计算方法总结定积分计算方法总结 1一、定积分的计算方法1. 利用函数奇偶性2. 利用函数周期性3. 参考不定积分计算方法二、定积分与极限1. 积和式极限2. 利用积分中值定理或微分中值定理求极限3. 洛必达法则4. 等价无穷小三、定积分的估值及其不等式的应用1. 不计算积分，比较积分值的大小1) 比较定理：若在同一区间[a,b]上，总有f(x)>=g(x),则 >= ()dx2) 利用被积函数所满足的不等式比较之 a)b) 当0<x<兀/2时，2/兀<<12. 估计具体函数定积分的值积分估值定理：设f(x)在[a,b]上连续，且其最大值为M，最小值为m则M(b-a)<= <=M(b-a)3. 具体函数的定积分不等式证法1) 积分估值定理2) 放缩法3) 柯西积分不等式≤ %4. 抽象函数的定积分不等式的证法1) 拉格朗日中值定理和导数的有界性2) 积分中值定理3) 常数变易法4) 利用泰勒公式展开法四、不定积分计算方法1. 凑微分法2. 裂项法3. 变量代换法1) 三角代换2) 根幂代换3) 倒代换4. 配方后积分5. 有理化6. 和差化积法7. 分部积分法（反、对、幂、指、三）8. 降幂法定积分计算方法总结 2定积分1、定积分解决的典型问题（1）曲边梯形的面积（2）变速直线运动的路程2、函数可积的充分条件●定理设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。

●定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积。

3、定积分的若干重要性质●性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。

●推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx。

●推论|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx。

●性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m（b-a）≤∫abf(x)dx≤M（b-a）,该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。

几种定积分的数值计算方法数值计算定积分是计算定积分的一种近似方法，适用于无法通过代数方法求得精确解的定积分。

本文将介绍几种常见的数值计算定积分的方法。

1.矩形法（矩形逼近法）：矩形法是最简单的数值计算定积分方法之一、它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取一个样本点，将每个小区间上的函数值乘以小区间的宽度，得到小矩形的面积，最后将这些小矩形的面积相加即可得到定积分的近似值。

矩形法有两种主要的实现方式：左矩形法和右矩形法。

左矩形法使用每个小区间的左端点作为样本点，右矩形法则使用右端点。

2.梯形法（梯形逼近法）：梯形法是另一种常见的数值计算定积分方法。

它将定积分区间划分为若干个小区间，然后在每个小区间上取两个样本点，分别作为小区间的端点。

接下来，计算每个小区间上的函数值，然后将每个小区间上的函数值与两个端点连线所构成的梯形的面积相加，得到所有梯形的面积之和，最后得到近似的定积分值。

3.辛普森法：辛普森法是一种更为精确的数值计算定积分方法。

它将定积分区间分为若干个小区间，然后用二次多项式逼近每个小区间上的函数曲线。

在每个小区间上，辛普森法使用三个样本点，将函数曲线近似为一个二次多项式。

然后，对于每个小区间，计算该二次多项式所对应的曲线下梯形区域的面积，并将所有小区间的面积相加，得到近似的定积分值。

4. 龙贝格法（Romberg integration）：龙贝格法是一种迭代的数值计算定积分方法，通过进行多次计算，逐步提高近似的精确度。

龙贝格法首先使用梯形法或者辛普森法计算一个初始近似值，然后通过迭代的方式进行优化。

在每次迭代中，龙贝格法先将区间划分成更多的子区间，并在每个子区间上进行梯形法或者辛普森法的计算。

然后，利用这些计算结果进行Richardson外推，从而得到更精确的定积分近似值。

通过多次迭代，龙贝格法可以逐步提高逼近的精确度。

上述介绍的四种数值计算定积分的方法都有各自的优势和适用范围。

定积分求解方法总结
定积分是微积分中的一个重要概念，用于求解曲线所围成的面积或者曲线下方
的区域的面积。

在求解定积分时，我们可以采用多种方法来得到准确的结果。

首先，最常用的方法是使用基本积分公式。

这些基本积分公式包括多项式函数、三角函数和指数函数的积分公式。

通过熟练掌握这些公式，我们可以将原函数转化为定积分的形式，并进行积分运算。

其次，我们可以利用换元法来求解定积分。

换元法是一种将变量变换为新的变
量的方法，从而简化积分运算的技巧。

通过选择适当的变换，我们可以将复杂的被积函数转化为简单的形式，从而更容易求解定积分。

另外，分部积分法也是解决定积分问题的一种常用方法。

当被积函数是乘积形
式时，我们可以通过分部积分法将问题转化为求解两个函数的积分的形式。

这种方法可以将原来的积分式子进行分解，从而得到更简单的形式，进而求解定积分。

还有一种方法是使用几何意义来理解定积分。

定积分可以看做是曲线下方区域
的面积，通过将区域划分为一系列无穷小的矩形，我们可以估计曲线下方的面积，并通过求和的方法得到准确的结果。

总之，求解定积分的方法有很多种，我们可以根据具体的问题选择合适的方法。

通过熟悉基本积分公式、掌握换元法、分部积分法以及理解几何意义，我们可以准确地求解各种形式的定积分。

这些方法不仅在理论上具有重要意义，也在实际问题的求解中起到关键的作用。

定积分常用的计算方法一、牛顿莱布尼茨公式法。

1.1 这可是定积分计算的一个“王牌方法”呢。

如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且F(x)是f(x)的一个原函数，那么∫_a^bf(x)dx = F(b)-F(a)。

就像是找到了一把万能钥匙，能直接打开定积分计算的大门。

比如说，计算∫_1^2x^2dx，我们都知道x^2的一个原函数是(1)/(3)x^3，那根据牛顿莱布尼茨公式，就直接是(1)/(3)×2^3-(1)/(3)×1^3=(8)/(3)-(1)/(3)=(7)/(3)，简单又直接，真的是“得来全不费工夫”。

1.2 不过呢，这个方法的难点就在于要先找到原函数。

有些函数的原函数可不是那么好找的，就像捉迷藏一样，得费一番功夫。

像∫(sin x)/(x)dx这种，它的原函数就不能用初等函数表示出来，这时候牛顿莱布尼茨公式就有点“英雄无用武之地”了。

二、换元积分法。

2.1 这是个很巧妙的方法。

当被积函数比较复杂的时候，我们就可以通过换元，把复杂的函数变得简单一些。

比如说∫_0^1√(1 x^2)dx，我们令x = sin t，那么dx=cos tdt。

当x = 0时，t = 0；当x = 1时，t=(π)/(2)。

这样原积分就变成了∫_0^(π)/(2)cos^2tdt，是不是一下子就感觉简单多了呢？这就像是给一个难题来了个“偷梁换柱”，把不好解决的问题转化成好解决的。

2.2 但是换元的时候可得小心了，要注意换元后的积分上下限也要跟着变，就像穿衣服要配套一样。

要是忽略了这一点，那可就“差之毫厘，谬以千里”了。

2.3 而且换元也不是随便换的，要根据函数的特点来选择合适的换元方式。

这就需要我们多做练习，积累经验，就像学骑自行车，骑得多了自然就熟练了。

三、分部积分法。

3.1 分部积分法也很有用。

公式是∫_a^bu(x)dv(x)=u(x)v(x)mid_a^b-∫_a^bv(x)du(x)。

毕业论文文献综述信息与计算科学定积分的数值计算方法一、 前言部分在科学与工程计算中，经常要计算定积分()()().baI f f x dx a b =-∞≤≤≤∞⎰ （1．1）这个积分的计算似乎很简单，只要求出f 的原函数F 就可以得出积分（1．1）的值，即()()().I f F b F a =- （1．2）如果原函数F 非常简单又便于使用，那么式（1．2）就提供了计算起来最快的积分法．但是，积分过程往往将导出新的超越函数，例如，简单积分1dx x ⎰可引出对数函数，它已不是代数函数了；而积分2x edx -⎰，将引出一个无法用有限个代数运算、对数运算或指数运算组合表示的函数．有些积分虽然容易求解，并且原函数仍然是一个初等函数，但可能过于复杂，以致于人们采用（1．2）来计算之前还得三思而行[1]．例如411dx C x =++⎰， （1．3） 采用式（1．3）这种“精确”表达式时，所需运算次数是个根本问题．由式（1．3）看出，需计算对数和反正切，因此只能计算到一定的近似程度．因此可以看出，这类表面上是“精确”的方法，实际上也是近似的．因此，我们常常需要探讨一些近似计算定积分的数值方法[2]．通过人们的研究和发现，得出了很多数值计算的方法，比如利用牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式，切比雪夫求积法等来解决定积分的数值计算问题．构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式．特别在节点分布等距的情形称为牛顿-柯茨公式，例如梯形公式与抛物线公式就是最基本的近似公式．但它们的精度较差．龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式．当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分[3]．二、 主题部分2．1 牛顿-科茨求积公式[4]2．1．1 公式的一般形式[4]将积分（1．1）中的积分区间[],a b 分成n 等分，其节点k x 为1,()k x a kh h b a n=+=- (0,1,,)k n =L ． 对于给定的函数f ，在节点k x (0,1,,)k n =L 上的值()k f x 为已知．那么f 在n+1个节点01,,,n x x x L 上的n 次代数插值多项式为00()().n nj n kk j k j j k x x p x f x x x ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ 如果记x a th =+，则上式可以写为00()().n nn kk j j k t j p x f x k j ==≠⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦∑∏ （2．1） 在积分（1．1）中的被积函数f 用其n+1个节点的代数插值多项式()n p x 来代替，可 得 ()()()()bbn n aaI f f x dx I f p x dx =≈=⎰⎰．多项式的积分是容易求出的，因此把上式写为()()()nn n k k I f I f A f x =≈=∑， （2．2）其中 ()00(),n n n k k j j kb a t j A dt b ac n k j=≠--==--∏⎰ (2．3) ()00(1)().!()!n kn n n kj j kct j dt k n k n -=≠-=--∏⎰ (2．4) 公式（2．2）称为牛顿-科茨求积公式或称为等距节点求积公式，k A 称为求积公式系数，()n k c 称为科茨求积系数．牛顿-科茨求积公式的误差估计()n E f ()()n I f I f =-，由下面定理给出 定理2．1 (1) 如果n 为偶数，(2)n f +在[],a b 上连续，则有[]3(2)()(),,n n n n E f c hf a b ηη++=∈， （2．5）其中 201(1)(2)()(2)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． (2) 如果n 为奇数，(1)n f+在[],a b 上连续，则有[]2(1)()(),,n n n n E f c h f a b ηη++=∈， （2．6）其中 01(1)(2)()(1)!n n c t t t t n dt n =---+⎰L ． 定义2．1 如果求积公式()()nbk k ak f x dx A f x =≈∑⎰对所有次数不高于n 的代数多项式等式精确成立，但存在n+1次的代数多项式使等式不成立，则称上式求积公式具有n 次代数精度．由定理2．1可知，牛顿-科茨求积公式（2．2）的代数精度至少是n 次，而当n 是偶数时，（2．2）的代数精度可达n+1次．2．1．2 梯形公式[5]在牛顿-科茨公式（2．2）中，取n=1时(1)(1)011,2c c ==所以有 []1()()()().2b aI f I f f a f b -≈=+ （2．7） 公式（2．7）称为梯形公式，如果用连接(),()a f a 和(),()b f b 的直线来逼近f ，并对这线性函数进行积分可得到1()I f ．再用1()I f 来逼近()I f ． 定理 2．2 若[]2,f Ca b ∈，则梯形公式（2．7）的误差为[]3111()()()()''(),,.12E f I f I f b a f a b ηη=-=--∈ 2．1．3 辛普森公式[6]在牛顿-科茨公式（2．2）中,取n=2，则有220011(1)(2),46c t t dt =--=⎰221014(2),26c t t dt =--=⎰ 222011(1),46c t t dt =-=⎰有此得到2()()()4()().32h a b I f I f f a f f b +⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦（2．8） 其中1()2h b a =-．式（2．8）称为辛普森公式． 定理2．3 若[]4,f Ca b ∈，则辛普森公式（2．8）的误差为[]5(4)221()()()(),,.90E f I f I f h f a b ηη=-=-∈2．2 复化求积公式[7]上面已经给出了计算积分()()baI f f x dx =⎰的3个基本的求积公式：梯形公式，辛普森公式，牛顿-科茨公式，并给出了它们误差的表达式．由这些表达式可知其截断误差依赖于求积区间的长度．若积分区间的长度是小量的话，则这些求积公式的截断误差是该长度的高阶小量．但若积分区间的长度比较大，直接使用这些公式，则精度难以保证．为了提高计算积分的精度，可把积分区间分为若干个小区间，()I f 等于这些小区间上的积分和，然后对每个小区间上的积分应用上述求积公式，并把每个小区间上的结果累加，所得到的求积公式称为复化求积公式．将积分区间[],a b 作n 等分，并记,,0,1,,k b ah x a kh k n n-==+=L ，于是 11()()k kn x x k I f f x dx +-==∑⎰．2．2．1 复化梯形求积公式[8]如果需要求出一个已知函数()f x 在一个很大区间[],a b 上的积分，那么我们可以把区间分成n 个长度为x h ∆=的小区间，对每一个小区间用梯形法则，然后再把这些小区间上的积分值相加．于是就得到了计算定积分的复化梯形公式：1101210()()(222)22n bi i n n ai h hf x dx f f f f f f f -+-=≈+=+++++∑⎰L (2．9)整体积分误差等于n 个小区间上的积分误差之和：整体误差= []312''()''()''()12n h f f f ξξξ-+++L ，其中i ξ是第i 个小区间上的某一点．如果''()f x 在区间[],a b 上连续，那么由连续函数的性质可知，在区间[],a b 上存在点ξ使得''()i f ξ的平均值等于()f ξ．于是由于nh b a =-,有整体误差= 322''()''()()1212nh b a f h f O h ξξ--=-=， 局部误差是3()O h ，整体误差是2()O h ．2.2.2 复化辛普森求积公式[9]对于积分()baf x dx ⎰，将[],a b 等分，每个小区间长度b ah n-=，节点记为 (0,1,2,,)k x a kh k n =+=L ，第k 个小区间记为[]1,(1,2,,)k k x x k n -=L ．记[]1,k k x x -的中点为1121()2k k k xx x --=+，则复化辛普森公式为 1112()()()4()()6n bk k ak k h f x dx S h f x f x f x --=⎡⎤≈=++⎢⎥⎣⎦∑⎰．2．3 龙贝格积分[10]现在要介绍用龙贝格（Romberg ）命名的一个算法，龙贝格首先给出了这种算法的递推形式，假设需要积分()baI f x dx =⎰ （2．10）的近似值．在讨论过程中函数()f x 和区间[],a b 将保持不变．2．3．1 递推梯形法则[10]设()T n 表示在长度是()/h b a n =-的n 个子区间上积分I 的梯形法则．根据()''()nbai f x dx h f a ih =≈+∑⎰，我们有 00()()''()''()nn n i i b a b a T h f a ih f a i n n ==--=+=+∑∑， （2．11） 这里求和符号中的两撇表示和式中第一项和最后一项减半． 2．3．2 龙贝格算法[10]在龙贝格算法中使用上述公式．设(,0)R n 表示具有2n个子区间的梯形估计，我们有[]1211(0,0)()()()21(,0)(1,0)((21))2n n n i R b a f a f b R n R n hf a i h -=⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-++-⎪⎩∑ ， （2．12） 对于一个适度的M 值，计算(0,0),(1,0),(2,0),,(,0)R R R R M L ，并且其中没有重复的函数值的计算．在龙贝格算法的其余部分中，还要计算附加值(,)R n m ．所有这些都可以被理解为积分I 的估计．计算出(,0)R M 后，不再需要被积函数f 值的计算．根据公式[]1(,)(,1)(,1)(1,1)41m R n m R n m R n m R n m =-+-----， （2．13）对于1n ≥和1m ≥构造R 阵列的各列．定理 2．4（龙贝格算法收敛性定理）[10]若[],f C a b ∈，则龙贝格阵列中每一列都收敛于f 的积分．因此，对每个m ，lim (,)()baR n m f x dx =⎰．2．4高斯求积[11]前面研究的求积公式都是事先确定了n 个节点，然后按使求积公式阶数达到最大的原 则选取最佳权．由于自由参数为n 个，所以阶数一般为n-1，但如果节点的位置也自由选择，则自由参数的个数将变为2n ，因此求积公式的阶数可达到2n-1．高斯求积公式就是通过选择最佳的节点和权，使求积公式的阶数最大化．一般地，对每个n ，n 点高斯公式都是唯一的，而且阶数为2n-1．因而，对一定的节点个数，高斯求积公式的精度是最高的．但它的求得比牛顿—柯特斯公式要困难得多．虽然它的节点和权也可由待定系数法确定，但得到的方程是非线性的．2．4．1 高斯求积公式[11]为说明高斯求积公式，推导区间[]1,1-上的两点公式1112221()()()()()I f f x dx w f x w f x G f -=≈+=⎰，其中的节点1x 、2x 及权1w 、2w 按使求积公式阶数最大化的原则选取．令公式对前四个单项式精确成立，得力矩方程组112111122112221122113331122112,0,2,30.w w dx w x w x xdx w x w x x dx w x w x x dx ----⎧+==⎪⎪+==⎪⎪⎨⎪+==⎪⎪+==⎪⎩⎰⎰⎰⎰这个非线性方程组的一个解为12121,1,x x w w =-===另一个解可通过改变1x ，2x 的符号而得到．这样，两点高斯求积公式为2()(G f f f =-+，阶数为3．另外，高斯求积公式的节点也可以由正交多项式得到．若p 是n 次多项式，且满足()0,0,,1,bk ap x x dx k n ==-⎰L 则p 与[],a b 区间上所有次数小于n 的多项式正交，容易证明：1． p 的n 个零点都是实的、单的，且位于开区间(,)a b ．2． 区间[],a b 上以p 的零点为节点的n 点插值型求积公式的阶数为2n-1，是唯一的n 点高斯公式．定义2．2[12] 如果1n +个节点的求积公式()()()nbk k ak x f x dx A f x ρ=≈∑⎰（2．14）的代数精度达到21n +，则称式（2．14）为高斯型求积公式，此时称节点k x 为高斯点，系数k A 称为高斯系数．定理2．5[12] 以01,,,n x x x L 为高斯点的插值型求积公式具有21n +次代数精确度的充要条件是以这些节点为零点的多项式101()()()()n n x x x x x x x ω+=---L与任意次数不超过n 的多项式()p x 带权()x ρ均在区间[],a b 上正交，即1()()()0bn ax p x x dx ρω+=⎰． （2．14）定理2．6 高斯公式()()nbi i ai f x dx A f x =≈∑⎰（2．15）的求积系数k A 全为正，且 2()(),0,1,,bbk k k aaA l x dx l x dx k n ===⎰⎰L ． （2．16）定理2．7 对于高斯公式（2．14），其余项为 (22)211()()()()(22)!b n n a R f f x x dx n ξρω++=+⎰ ， （2．17） 其中[]101,,()()()().n n a b x x x x x x x ξω+∈=---L2．4．2 高斯—勒让德（Gauss-Legendre ）公式[13] 对于任意求积区间[],a b ，通过变换22a b b ax t +-=+，可化为区间[]1,1-，这时11()()222bab a a b b af x dx f t dt --+-=+⎰⎰． 因此，不失一般性，可取1,1a b =-=，考查区间[]1,1-上的高斯公式 11()()ni i i f x dx A f x -==∑⎰． （4．5）我们知道，勒让德多项式1211111()(1)2(1)!n n n n n d L x x n dx+++++⎡⎤=-⎣⎦+， （4．6） 是区间[]1,1-上的正交多项式，因此，1()n L x +的n+1个零点就是高斯公式（4．5）的n+1个节点．特别地，称1()n L x +的零点为高斯点，形如（4．5）的高斯公式称为高斯—勒让德公式．以上这些公式中的节点和求积系数可查表得到． 2．4．3 高斯—哈米特求积公式（Gauss-Hermite ）[14] Gauss-Hermite 求积公式2()0()()nx n k k k ef x dx f x ω∞--∞=≈∑⎰， （4．7）其余项为(22)1(().2(22)!n n n n R f f n ξ+++=+ （4．8）2．4．4 高斯—切比雪夫（Gauss-Chebyshev ）求积公式[15] 区间为[]1,1-，权函数()x ρ=Gauss 型求积公式，其节点k x 是Chebyshev多项式1()n T x +的零点，即21cos (0,1,,)2(1)k k x k n n π⎡⎤+==⎢⎥+⎣⎦L ，而(0,1,,)1k A k n n π==+L于是得到1021cos 12(1)nk k f n n ππ-=⎡⎤+≈⎢⎥++⎣⎦∑⎰（4．9） 称为Gauss-Chebyshev 求积公式，公式的余项为 (22)2(1)2()(),(1,1)2(22)!n n n R f f n πηη++=∈-+ ， （4．10） 这种求积公式可用于计算奇异积分．2．5 递推型高斯求积[10]高斯求积公式不具有递推性：当节点个数一定时，如果自由选择所有的节点和权以达到最高的阶数，则节点个数不同的公式一般没有公共节点，这意味着与一组节点对应的积分值，在用另外一组节点计算积分值时不能被利用．Kronrod 求积公式避免了这种工作量的增加，这类公式是对称的，n 点高斯公式n G 与2n+1个点Kronrod 公式21n K +对应．21n K +节点的约束条件为：以n G 的节点作为21n K +的节点，按求积公式达到最高阶数的要求确定21n K +中剩下的n+1个节点及2n+1个权（其中包括n G 的节点的权）．这样，求积公式的阶数可达到3n+1，而真正2n+1个点高斯公式应该是4n+1阶的，所以精度和效率是一对矛盾．使用两个节点个数不同的求积公式的主要原因是可以用它们的差估计积分近似值的误差．使用Gauss-Kronrod 公式对时，若以21n K +的值作为积分的近似值，则一半基于理论，一半基于经验，可以得到关于误差的保守估计： 1.521(200)n n G K +-．Gauss-Kronrod 公式不仅有效地提供了较高的精度，还给出了可靠误差估计，所以它被认为是最有效的求积公式之一，并且构成了主要软件库中求积程序的基础，特别地，公式715(,)G K 已被普遍使用．三、 总结部分因为一些定积分的求解比较复杂，所以数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题．各种定积分的数值计算方法的出现和发展，加快和简化了求解定积分的效率和步骤．以上主要介绍了各种数值积分的方法——牛顿-科茨求积公式，复合求积公式，龙贝格积分法，高斯求积公式等．每种方法都有各自的优缺点，针对不同的积分函数采用不同的方法，所以在实际计算时，要做适当的采取．相信随着理论分析和研究的日益深入，求定积分的数值计算方法将更加简单和完善，为我们的计算带来前所未有的方便，在数学领域也将会更上一层楼．四、参考文献[1] 孙志忠，吴宏伟，袁慰平，闻震初．计算方法与实习（第4版）[M]．南京：东南大学出版社，2009,(2)： 128~129．[2]Micheal T ．Heath ． 张威，贺华，冷爱萍译．科学计算导论（第2版）[M]．北京：清华大学出版社，2005，(10)： 396~297．[3]李桂成．计算方法[M]．北京：电子工业出版社，2005，(10)：186．[4] 现代应用数学手册编委会． 现代应用数学手册——计算与数值分析卷[M]． 北京：清华大学出版社，2005，(1)： 163~168．[5] 林成森． 数值计算方法（上）[M]． 北京：科学出版社，2004，(5)： 220~221．[6]冯康．数值计算方法[M]．北京：国防工业出版社，1978，(12)： 45~47．[7]孙志忠，袁慰平，闻震初．数值分析（第2版）[M]．南京：东南大学出版社，2002，(1)： 191~194．[8] （美）柯蒂斯F ．杰拉尔德 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1、牛顿—莱布尼)()(x F dx x f b aba==⎰2、定积分的换元法：设10 )('),(t t ϕϕ在[],βα 20 b a ==)(,)(βϕαϕ 30 )]([t f ϕ在[],βα则⎰⎰=βαϕf dx x f ba[)( 注：条件3值域不超出],[b a 来代替。

实际上代换)(t ϕ的值域可以超出],[b a ，如上图。

3、定积分的分部积分法：⎰⎰-=babab a vdu uv udv ][注意事项：1、被积函数含绝对值记号。

例1：dx x ee ⎰1ln解：当x x x x eln |ln |,0ln ,11-=<<<时；当 x x x e x ln |ln |,0ln ,1=≥<≤时。

edx x dx x dx x eeee22ln )ln (ln 1111-=+-=∴⎰⎰⎰（分界点x=1处0ln =x ） 例2：⎰-4|3|dx x解：5)3()3(|3|4334=-+-=-⎰⎰⎰dx x dx x dx x例3：⎰-π53sin sin dx x x解：⎰⎰=-ππ23053|cos |sin sin sin dx x x dx x x⎰⎰=-+=πππ223202354)cos (sin cos sin dx x x xdx x 2、广义积分有推广的牛顿－莱布尼兹公式（1）如果)(x f 在),[b a 上连续，∞=-)0(b f ,原函数)(x F 在],[b a 上连续，则仍有⎰--==-bab a a F b F x F dx x f )()0()()(0（2）如果)(x f 在),[+∞a 上连续，)(x f 的原函数)(x F 适合)(lim x F x +∞→存在记为)(+∞F 则仍有⎰+∞∞+-+∞==aa a F F x F dx x f )()()()(。

例1：计算⎰≤≤-=aa x x dx a I 12)31(|2|)(解：① 当21<<a 时，在),1[a 上2222x x x x -=-，⎰-=-=-=aaa x xx dx a I 112)1arcsin()1arcsin(2)(。