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椭圆的相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1、F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1、F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴，长轴的一半a称为椭圆的半长轴。
椭圆的短轴的长度为2b，短轴的一半b称为椭圆的半短轴。
椭圆上到焦点的距离等于常数2a的性质可以用数学语言表示为：|PF1|+|PF2|=2a。
椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c是焦点到中心的距离。
显然，0<e<1，当e=0时，椭圆退化为一条线段；当e=1时，椭圆退化为一个圆。
二、椭圆的性质1. 焦点离心率椭圆的离心率大于0小于1。
2. 焦点公式椭圆长轴长度为2a，半短轴长度为b。
其中a、b分别是半长轴和半短轴的长度。
焦点坐标为(f1,0)和(-f1,0)。
其中f1=\sqrt{a^2-b^2}。
3. 针焦直线椭圆的焦点圆椭圆的大小只和a、b两轴有关，与焦点的远近无关。
4. 椭圆的直径垂直于直径的直线，称为轴；椭圆的两条轴相互垂直，且它们的交点是中心。
三、椭圆的方程1. 标准方程椭圆的标准方程为(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1，其中a、b分别为半长轴和半短轴的长度。
2. 一般方程椭圆的一般方程为Ax^2+By^2+Cx+Dy+E=0，其中A、B、C、D、E为常数。
一般方程的椭圆可以通过平移和旋转变换为标准方程。
四、椭圆的焦点椭圆的焦点离中心的距离c=\sqrt{a^2-b^2}。
五、椭圆的参数方程设椭圆的焦点为(f,0)和(-f,0)，半长轴为a，半短轴为b，则椭圆的参数方程为：x=a\cos t,y=b\sin t,其中0\leq t\leq 2\pi。
六、椭圆的极坐标方程椭圆的极坐标方程可以表示为：r=\frac{a(1-e^2)}{1+e\cos\theta},其中e为椭圆的离心率。
七、椭圆的图形椭圆的图形是一种闭合的曲线，形状类似于椭子。
椭圆的长轴和短轴分别是轴、横轴。
椭圆是关于两条坐标轴对称的曲线。
椭圆的认识知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点F1和F2的距离之和等于常数2a（a＞0）的点P的轨迹。
这两个固定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴。
椭圆上距离F1和F2的距离之差等于2b（b＞0），其中b称为椭圆的短半轴。
椭圆的离心率e定义为e=c/a，其中c是焦距。
二、椭圆的性质1. 椭圆的长轴和短半轴椭圆的长轴是通过两个焦点的直线，而短半轴是垂直于长轴并且通过椭圆中心的直线。
椭圆的长轴和短半轴的长度分别为2a和2b。
2. 椭圆的离心率椭圆的离心率e决定了椭圆形状的“扁平程度”，e的取值范围是0<e<1。
当e=0时，椭圆的形状是一个圆；当e→1时，椭圆的形状趋近于一个长而狭窄的椭圆。
3. 椭圆的焦点和焦准线椭圆上任何一点到两个焦点的距离之和是一个常数2a，这个定理称为定义定理。
椭圆的长轴是两个焦点之间的直线，称为主轴。
两个焦点之间的直线称为焦准线。
4. 椭圆的轴线方程椭圆的长轴和短半轴分别平行于坐标轴，可以通过坐标轴和焦点的位置来确定椭圆的轴线方程，通常有(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1和(x-h)²/b²+(y-k)²/a²=1两种形式。
5. 椭圆的参数方程和焦点方程椭圆的参数方程是一对参数方程x=a*cosθ，y=b*sinθ。
椭圆的焦点方程是通过焦点和参数θ来表示椭圆上的点的坐标方程。
6. 椭圆的面积椭圆的面积可以通过长轴和短半轴的长度计算得出，通常为πab。
7. 椭圆的周长椭圆的周长可以通过参数方程和积分计算得出，通常为4aE(e)，其中E(e)是第二类椭圆积分。
8. 椭圆的方程椭圆的方程可以通过焦点、焦准线、长轴和短轴的长度来表示，通常为(x-h)²/a²+(y-k)²/b²=1。
三、椭圆的应用1. 天体运动椭圆的轨迹方程在天文学中有广泛的应用，例如行星的轨道运动就可以用椭圆轨迹方程描述。
(完整版)椭圆知识点归纳总结1. 椭圆的定义椭圆是平面上到两个给定点的距离之和等于常数的点的集合。
这两个给定点称为焦点，而常数称为离心率。
椭圆的形状由焦点之间的距离决定，离心率的大小则决定了椭圆的扁平程度。
2. 椭圆的基本性质- 椭圆的长轴是焦点之间的距离，短轴是长轴的垂直中垂线。
- 椭圆的离心率介于0和1之间，且离心率为0时为圆。
- 椭圆有两个对称轴，分别是长轴和短轴的中垂线。
- 椭圆的焦点和任意一点的距离和等于离心率与该点到椭圆两个焦点的距离之和。
- 椭圆的面积为π * a * b，其中a和b分别是长轴和短轴的一半。
3. 椭圆的方程普通椭圆的方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
4. 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = h + a * cos(t)y = k + b * sin(t)其中(h,k)是椭圆的中心坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半，t是参数。
5. 椭圆的焦点与直径- 焦点到定点的距离等于椭圆的常数离心率。
- 椭圆的两个焦点与椭圆的直径的交点相同。
6. 椭圆与其他几何图形关系- 椭圆与直线的关系：给定一条直线，椭圆上离直线距离之和最小的点在直线的垂直线上。
- 椭圆与双曲线的关系：双曲线可以看作是离心率大于1的椭圆。
- 椭圆与抛物线的关系：抛物线可以看作是离心率等于1的椭圆。
7. 椭圆的应用椭圆在现实生活中有广泛的应用，例如：- 天体运动：行星、卫星等的轨道可以近似看作是椭圆。
- 椭圆滤波器：在信号处理中用于清除噪音。
- 光学器件：如折射球面镜、椭圆镜等。
以上是关于椭圆的常见知识点的归纳总结，希望能对你有所帮助。
高二椭圆知识点总结一、椭圆的基本概念1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个固定点的距离之和等于常数的点的轨迹。
具体来说，设两点为F₁和F₂，距离之和为常数2a，那么椭圆E的定义：E = {P∈R² | |PF₁| + |PF₂| = 2a}其中，P为椭圆上的点，F₁和F₂为两个固定点，a为椭圆的半长轴。
1.2 椭圆的几何性质椭圆有如下几何性质：（1）椭圆的离心率：椭圆的形状由离心率e来表征。
（2）椭圆的焦点：椭圆的两个焦点分别为F₁和F₂。
（3）椭圆的半长轴和半短轴：半长轴为椭圆的长轴的一半，半短轴为椭圆的短轴的一半。
1.3 椭圆和圆的关系可以看到，当两个焦点重合时，椭圆变成了圆。
这也说明圆是椭圆的一种特殊情况，也就是说圆是椭圆的特例。
二、椭圆的方程和性质2.1 椭圆的标准方程椭圆的标准方程为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1其中，a为椭圆的半长轴，b为椭圆的半短轴。
2.2 椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a*cosθy = b*sinθ其中，θ为参数，a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴。
2.3 椭圆的性质椭圆有许多重要的性质，如焦点、离心率、长轴、短轴等。
椭圆的性质对于解析几何的学习非常重要。
在实际应用中，我们可以利用这些性质进行问题的求解和分析。
2.4 椭圆的参数方程与标准方程的转化椭圆的参数方程与标准方程可以相互转化，通过参数方程与三角函数之间的关系，我们可以得到椭圆的标准方程。
三、椭圆的相关计算3.1 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的面积公式为：S = πab其中，a和b为椭圆的半长轴和半短轴。
3.2 椭圆的周长椭圆的周长也可以通过参数方程和积分来计算，最终可以得到椭圆的周长公式为：L = 4aE(e)其中，a为椭圆的半长轴，E(e)为椭圆的第二类椭圆积分，e为椭圆的离心率。
3.3 椭圆方程的化简对于一些复杂的椭圆方程，我们可以通过一些方法对椭圆方程进行化简，使得问题的求解变得更加简单。
椭圆知识点笔记一、椭圆的定义平面内与两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之和等于常数（大于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
用集合语言表示为：＄P ＝＼｛ M ｜｜MF_1| ＋｜MF_2| ＝ 2a,2a ＞｜F_1F_2| ＼｝＄，其中$｜F_1F_2| ＝ 2c$。
当$2a ＝ 2c$时，动点的轨迹是线段$F_1F_2$；当$2a ＜ 2c$时，动点无轨迹。
二、椭圆的标准方程1、焦点在$x$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），其中$a$表示椭圆的长半轴长，＄b$表示椭圆的短半轴长，＄c$满足$c^2 ＝ a^2 b^2$，焦点坐标为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄。
2、焦点在$y$轴上的椭圆标准方程：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ b ＞ 0$），焦点坐标为$F_1(0, c)＄，＄F_2(0, c)＄。
三、椭圆的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的椭圆$＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，有$a ＼leq x ＼leq a$，＄b ＼leq y ＼leq b$；对于焦点在$y$轴上的椭圆$＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，有$b ＼leq x ＼leq b$，＄a ＼leq y ＼leq a$。
2、对称性椭圆关于$x$轴、＄y$轴和原点对称。
3、顶点焦点在$x$轴上的椭圆，顶点坐标为$A_1(a, 0)＄，＄A_2(a, 0)＄，＄B_1(0, b)＄，＄B_2(0, b)＄；焦点在$y$轴上的椭圆，顶点坐标为$A_1(0, a)＄，＄A_2(0, a)＄，＄B_1(b, 0)＄，＄B_2(b, 0)＄。
椭圆的知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一种特殊曲线，它的定义可以有多种方式。
在解析几何中，我们通常采用焦点－直线之和等于常数的定义来描述椭圆。
具体而言，椭圆定义为到两个固定点（焦点）的距离之和等于常数的点的集合。
这个常数被称为椭圆的长轴长度。
另外，椭圆还有一个短轴，它垂直于长轴且通过长轴的中点。
椭圆的长轴和短轴的长度决定了椭圆的形状。
二、椭圆的性质1. 焦点性质：椭圆有两个焦点，它们位于长轴上，且椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
2. 直径性质：椭圆的直径是经过焦点的直线段，并且它恰好与椭圆相交于椭圆上的两点。
3. 周长性质：椭圆的周长可以用椭圆的半长轴和半短轴的长度来表示，即2πb+4aE(e)，其中a和b分别为椭圆的长轴和短轴的长度，E(e)为第二类椭圆积分。
4. 质心性质：椭圆的质心位于椭圆的中心，且与椭圆的几何中心重合。
椭圆的质心满足椭圆上所有点到该质心的距离之和等于椭圆的长轴长度。
5. 对称性质：椭圆具有关于长轴和短轴的对称性，且同时具有关于两个焦点的对称性。
6. 离心率性质：椭圆的离心率e是一个重要的参数，它刻画了椭圆的形状。
椭圆的离心率满足0<e<1，且e=√(1-b²/a²)。
7. 焦点和直角坐标系的关系：椭圆在直角坐标系中的方程形式可以用来描述椭圆的形状，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
三、椭圆的方程椭圆的方程通常以长轴和短轴的长度来表示，其一般方程为(x²/a²)+(y²/b²)=1。
在给定长轴和短轴的情况下，可以通过椭圆的方程来确定椭圆的形状和位置。
四、椭圆的焦点椭圆有两个焦点，它们分别位于长轴的两端。
椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特性，它们的位置决定了椭圆的形状和方向。
五、椭圆的参数方程椭圆还可以用参数方程来描述。
椭圆知识点汇总一、椭圆的定义平面内与两个定点 F₁、F₂的距离之和等于常数（大于|F₁F₂|）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距。
若 M 为椭圆上任意一点，F₁、F₂为椭圆的焦点，则有|MF₁| ＋｜MF₂| ＝ 2a（2a ＞ 2c，其中 2c 为焦距）。
二、椭圆的标准方程1、焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为椭圆的长半轴长，＼（b\）为椭圆的短半轴长，＼（c\）满足\（c^2 ＝ a^2b^2\），焦点坐标为\（（＼pm c, 0)＼）。
2、焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），焦点坐标为\（（0, ＼pm c)＼）。
三、椭圆的性质1、对称性椭圆关于 x 轴、y 轴和原点都是对称的。
2、范围对于焦点在 x 轴上的椭圆\（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）；对于焦点在 y 轴上的椭圆\（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\），有\（b ＼leq x ＼leq b\），＼（a ＼leq y ＼leq a\）。
3、顶点焦点在 x 轴上的椭圆顶点坐标为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上的椭圆顶点坐标为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。
4、离心率椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度。
＼（e\）越接近0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。
数学椭圆知识点总结椭圆是数学中有着许多重要性质和应用的一个图形。
下面是对椭圆的一些基本概念、性质和应用的总结。
一、基本概念：1.椭圆的定义：椭圆是平面中到两个给定点距离之和等于常数的点的集合。
2.椭圆的元素：椭圆的两个给定点叫做焦点，连接两焦点的线段长度叫做主轴；主轴的中点叫做椭圆的中心；主轴的一半长度叫做半轴长度；椭圆中心到焦点的距离叫做焦距。
3.椭圆的方程：标准椭圆的方程形式为：(x/a)²+(y/b)²=1其中，a是椭圆的半长轴长度，b是椭圆的半短轴长度。
二、性质：1.对称性：椭圆是关于x轴和y轴对称的。
2.焦点性质：椭圆上的任意一点到两个焦点的距离之和等于椭圆的长轴长度。
3.离心率：椭圆的离心率是一个衡量椭圆圆度的量。
离心率e的取值范围是0到1之间，当e=0时，椭圆退化成一个圆；当e=1时，椭圆退化成一个抛物线。
4.焦半径性质：椭圆的焦半径性质是指在椭圆上取一点P，以焦点为中心，过点P作圆的切线，切点和焦点之间的距离等于焦距。
5.弦长性质：椭圆上取一点P，过点P作两直线段与椭圆相交，分别与圆交于A、B两点，则线段AB的长度等于弦长。
6.空间对称性：椭圆的三维空间图形是椭球，具有空间对称性。
三、应用：1.天体运动：开普勒的椭圆轨道定律描述了行星运动的椭圆轨道特性。
2.光学：反射和折射定律中的焦点性质和弦长性质可以用来解决光学问题。
3.通信：在无线通信中，椭圆是天线和信号传播路径的数学模型，用于研究无线信号的覆盖范围和传播特性。
4.机械工程：在机械零件的设计中，椭圆齿轮和椭圆齿条可以用来实现转动和直线运动的转换。
5.地理测量学：地球的纬度和经度构成的网格是一种椭圆形状的二维曲面，用于定位和测量地球上的位置。
6.统计学：椭圆是多元统计分析中用来表示数据分布形状的图形，如椭圆的主轴和离心率可以用来描述数据的差异和相关性。
总结起来，椭圆是数学中一个重要的图形，具有许多特殊的性质和应用。
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
复习椭圆相关知识点总结一、椭圆的定义椭圆是平面上的一条封闭曲线，其定义为到两个给定点的距离之和等于常数（椭圆的长轴）。
即设两点F1（-c, 0）、F2（c, 0）（c为常数）,过F1、F2点分别作两条互相垂直的直线，这两条直线交于一点O，任意取一点M，连接M到两点的距离之和是常数，即|MF1| + |MF2| = 2a(常数)，则点M的轨迹称为椭圆。
二、椭圆的性质1.椭圆的离心率椭圆的离心率是指椭圆焦点到中心点的距离与长轴之比，其数值范围在0到1之间。
2.椭圆的焦点和直径椭圆有两个焦点，分别位于椭圆的长轴上，并向短轴的对称位置。
而椭圆的长轴和短轴之间的距离称为椭圆的直径。
3.椭圆的参数方程椭圆的参数方程为：x = a * cos(t)，y = b * sin(t)。
其中，a和b分别为椭圆的长短轴长度，t为参数。
4.椭圆的切线和法线椭圆上的切线与法线分别垂直于轨迹曲线，在切点处切线的斜率等于轨迹曲线的斜率，法线的斜率是切线斜率的相反数。
5.椭圆的焦点位置椭圆的焦点位置可以通过以下公式计算得出： c = sqrt(a^2 - b^2)。
三、椭圆的应用椭圆在数学和物理学中都有着广泛的应用，例如在天文学中，椭圆常用来描述行星、卫星和彗星的运动轨迹；在工程学中，椭圆常用来描述电子束的运动轨迹；在通信领域中，椭圆常用来描述无线信号的传播路径等。
四、椭圆的计算1.椭圆的面积椭圆的面积可以通过以下公式计算得出：S = π * a * b。
2.椭圆的周长椭圆的周长可以通过以下公式计算得出：C = 4a * E(e)。
其中，E(e)是椭圆的第二类完全椭圆积分，e是椭圆的离心率。
3.椭圆的焦距椭圆的焦距可以通过以下公式计算得出：f = 2a * e。
五、椭圆的变换椭圆可以通过平移、旋转、缩放等变换来得到新的椭圆，这些变换可以通过矩阵运算来表示，从而方便进行计算和分析。
综上所述，椭圆是一种经典的几何图形，在数学和物理学中有着广泛的应用。
椭圆知识点总结【知识概要】1. 椭圆的定义：（1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+by a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程，其中ϕ为参数），焦点在y 轴上时2222bx a y +＝1（0a b >>）。
方程22Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。
2. 椭圆的几何性质：（1）椭圆（以12222=+by a x （0a b >>）为例）：①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2a x c=±； ⑤离心率：c e a=，椭圆⇔01e <<，e 越小，椭圆越圆；e 越大，椭圆越扁。
⑥通径22b a（2）点与椭圆的位置关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外⇔2200221x y a b+>；（2）点00(,)P x y 在椭圆上⇔220220b y a x +＝1；（3）点00(,)P x y 在椭圆内⇔2200221x y a b+<3. 椭圆的第二定义：平面内与一个定点的距离和它到一条定直线的距离之比是常数 e cae M =<<()01的动点的轨迹叫做椭圆，定点为椭圆的一个焦点，定直线为 椭圆的准线，常数e 是椭圆的离心率。
注意：①对对应于右焦点，的准线称为右准线，x a y b a b F c 22222100+=>>()()方程是，对应于左焦点，的准线为左准线x a c F c x a c=-=-2120()②e 的几何意义：椭圆上一点到焦点的距离与到相应准线的距离的比。
4. 焦半径及焦半径公式：椭圆上一个点到焦点的距离叫做椭圆上这个点的焦半径。
对于椭圆，设，为椭圆上一点，由第二定义：x a y ba b P x y 222102+=>>()()左焦半径∴·左左r x ac c a r ex c a a c a ex 02020+==+=+ 右焦半径右右r acx c a r a ex 200-=⇒=- 5.焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题：20tan||2S b c y θ==，当0||y b =即P 为短轴端点时，m ax S 的最大值为bc ；6. 直线与椭圆位置关系：（1）相离①相离无解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221②求椭圆上动点P （x ，y ）到直线距离的最大值和最小值，（法一，参数方程法；法二，数形结合，求平行线间距离，作l '∥l 且l '与椭圆相切）（2）相切①相切有一解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b 22221②过椭圆上一点，的椭圆的切线方程为P x y xx a yy b00002021()+=()312222相交有两解⇔+==+⎧⎨⎪⎩⎪x a y b y kx b弦长公式： ||()()AB x x y y =-+-122122 =++-14212212k x x x x ()=+-1212k x x ||=+12k a ·∆||7.圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。
在椭圆12222=+b y a x 中，以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=－0202y a x b ；【典例解析】例1.直线10y kx --=与椭圆2215x y m+=恒有公共点，则m 的取值范围是_______（答：[1，5）∪（5，+∞））；例2.已知椭圆2212516x x +=上一点P 到椭圆左焦点的距离为3，则点P 到右准线的距离为____（答：10/3）；例3. 已知直线1y x =-+与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线L ：20x y -=上，则此椭圆的离心率为_______（答：22）；例4.已知，，是椭圆的右焦点，点在椭圆上移动，当A F x y M ()-+=231612122|MA|＋2|MF|取最小值时，求点M 的坐标。
解：设直线是椭圆的右准线，⊥，垂足为，则，l MP l P MF MP e MP e||||||==1||||||MF a b c e MP eMF ，由已知方程得，，∴，，由此得======42321212||MF ，从而得|||||||||'|MA MF MA MP AA M A P M AP +=+≥2，即当点、、三点共线且是内分点 时，等号成立，此时取得最小值，点的坐标为，||||()MA MF M +2233例5. 椭圆的焦点为、，点为其上的动点，当∠为钝角x y F F P F PF 221212941+=时，点P 横坐标的取值范围是_______________。
分析：可先求∠F 1PF 2＝90°时，P 点的横坐标。
解：法一 在椭圆中，，，，依焦半径公式知，a b c PF x ====+3253531|| ||||||||PF x F PF PF PF F F 2121222122353=-⇔+<⇔，由余弦定理知∠为钝角 ()()()353353259535352222++-<⇔<-<<x x x x ，应填 法二 设，，则当∠°时，点的轨迹方程为，P x y F PF P x y ()1222905=+=由此可得点的横坐标±，点在轴上时，∠；点在轴上P x P x F PF P y ==35012时，∠为钝角，由此可得点横坐标的取值范围是F PF P x 123535-<<例6. 过椭圆内一点，引一条弦，使弦被点平分，求这条x y M M 22164121+=() 弦所在的直线方程。
解：法一 设所求直线方程为，代入椭圆方程并整理，得y k x -=-12()()()()4124211602222k x k k x k +--+--=，又设直线与椭圆的交点为A x yB x y x x x x k k k ()()()11221212228241，、，，则、是方程的两个根，于是，+=-+ 又为的中点，∴，解之得，故所求直线方M AB x x k k k k 122224241212+=-+==-()程为x y +-=240法二 设直线与椭圆的交点为，、，，，为的中点，A x y B x y M AB ()()()112221∴，，又、两点在椭圆上，则，x x y y A B x y x y 121212122222424164+=+=+=+ =-+-=164012221222，两式相减得()()x x y y∴y y x x x x y y 12121212412--=-++=-()即，故所求直线为k x y AB =-+-=12240法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A （x ，y ），由于中点为M （2，1），则另一个交点为，B x y ()42--∵、两点在椭圆上，∴有①，②A B x y x y 222241644216+=-+-=()() ①②得：-+-=x y 240由于过、的直线只有一条，故所求直线方程为A B x y +-=240例7. 已知椭圆，在椭圆上求一点，使到直线：x y P P l x y 228840+=-+= 的距离最小并求出距离的最小值（或最大值）？解：法一 设，由参数方程得P (cos sin )()22θθ则d =-+=--|cos sin ||sin()|2242342θθθϕ 其中，当时，tan min ϕθϕπ=-===2221222d 此时，cos sin sin cos θϕθϕ=-=-==22313即点坐标为，P P ()-8313法二 因与椭圆相离，故把直线平移至，使与椭圆相切，则与的距离，l l l l l l '''即为所求的最小值，切点为所求点最大('')l →设：，则由消得l x y m x y m x y x '-+=-+=+=⎧⎨⎩0088229280449802222y my m m m -+-==--=，令×∆() 解之得±，为最大，由图得m m =-=-333()此时，，由平行线间距离得P l ()min -=831322例8. 已知椭圆：，，是椭圆上一点E x y P x y 2225161+=() ()122求的最大值x y +（2）若四边形ABCD 内接于椭圆E ，点A 的横坐标为5，点C 的纵坐标为4，求四边形ABCD 的最大面积。
解：()()125161161252222法一由得，x y y x +==- 则，x y x x x 2222216125169251625+=+-=+∈()[] ∴的最大值为，最小值为x y 222516+法二：令，x y ==⎧⎨⎩54cos sin θθ则，x y 2222225161691625+=+=+∈cos sin cos []θθθ 法三令，则数形结合得，x y r r 22221625+=∈[]（2）由题意得A （5，0），C （0，4），则直线AC 方程为：4x ＋5y －20=054，又设，，则点到直线的距离B B AC (cos sin )θθd 120202041202420412022041=+-=+-≤-|cos sin ||sin()|θθθπ同理点到直线的距离D AC d 22022041≤+ ∴四边形的最大面积S AC d d =+=||()12202【巩固练习】1. 已知椭圆x a y ba b 222210+=>>()的焦点坐标是F c F c P x y 120000()()()-，和，，，是椭圆上的任一点，求证：||||PF a ex PF a ex e 1020=+=-，，其中是椭圆的离心率。
2. 在椭圆x y 222591+=上求一点P ，使它到左焦点的距离是它到右焦点距离的两倍。
3. 椭圆()()||x y x y ++-=--1143331022的长轴长是___________。
4. 椭圆a b a b F c F c c 221210000+=>>->()()()()的两焦点为，，，，离心率e =32，焦点到椭圆上点的最短距离为23-，求椭圆的方程。
