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《椭圆的几何性质》教学设计第二课时1．掌握椭圆的几何性质，掌握a，b，c，e的几何意义及a，b，c，e之间的相互关系，提升学生的数学抽象素养．2．椭圆的几何性质的综合运用，提高学生的逻辑推理的素养．3．椭圆离心率的求解问题．提高学生的数学运算的素养．教学重点：椭圆的几何性质．教学难点：椭圆离心率的求解问题．PPT课件．一、整体概览问题1：阅读课本，回答下列问题：（1）本节将要研究哪类问题？（2）本节要研究的对象在高中的地位是怎样的？师生活动：学生带着问题阅读课本，老师指导学生概括总结本节的内容.预设的答案：（1）本节课主要学习椭圆的几何性质第二课时．（2）本节是在上一节的基础上继续学习椭圆的几何性质，而本节主要研究椭圆的几何性质的应用，是与上一节椭圆的几何性质相互呼应，将本节分成两课时讲解，是保证学生有充足的时间消化、理解椭圆的几何性质，能轻松解决椭圆的几何性质的应用．设计意图：通过章引言内容的预习，让学生明晰下一阶段的学习目标，初步搭建学习内容的框架.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆教学过程二、探索新知 1、探究新知问题2：（1） 根据椭圆离心率的定义，判断椭圆的离心率的取值范围；（2）猜想椭圆离心率的大小与椭圆的大小与椭圆的形状有什么联系，并尝试证明． 师生活动：根据椭圆的离心率的定义，学生自己尝试自己求解． 预设的答案:（1）因为0>>c a ，所以10<<e（2）22221e ac a a b -=-=，这说明e 越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁;反之，e 越趋近于0，则一的值越大，这时椭圆就越接近于圆．设计意图：让学生自主探索离心率的范围、离心率的作用，有利于培养学生分析问题能力、解决问题的能力和逻辑推理的核心素养．问题3：如果椭圆的标准方程是)0(12222>>=+b a bx a y ，那么这个椭圆的范围、对称性、顶点、离心率中，哪些与焦点在x 轴上的椭圆是有区别的？预设的答案:椭圆的范围是b x b a y a ≤≤-≤≤-,，长轴的两个端点是)0(),,0(21a A a A ，，-；短轴的两个端点是)0,(),0,(21b B b B -，除了这些之外，对称性、焦距、长轴长、短轴长、离心率等都与焦点在x 轴上的椭圆是一致的．问题4：通过问题3的讨论，大家尝试将椭圆的几何性质根据与坐标系有无关系分为两类？师生活动：尝试学生自己作答，并由教师给出答案．教师讲解：椭圆的几何性质可以分为两类:一类是与坐标系无关的性质，如对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率;另一类是与坐标系有关的性质，如范围，顶点、焦点、中心坐标(教材中只研究中心在坐标原点的情况)对于第二类性质，只要将)0(12222>>=+b a b y a x 的有关性质中的横坐标x 和纵坐标y 交换，就可以得出)0(12222>>=+b a b x a y 的相关性质． 设计意图：通过对焦点位置不同的椭圆的几何性质的比较区分，让学生更加容易接受． 三、初步应用例2.已知椭圆C 的焦点为21,F F ，短轴的一个端点为B ，且21F BF ∆是一个等边三角形，求椭圆C 的离心率.师生活动：学生自行解答，由老师指定学生回答．预设的答案：因为c F F a BF BF2||,||||2121===，所以依据题意可知c a 2=，从而有21==a c e 设计意图：根据几何性质，直接求离心率.可以让学生结合图像，求出a ，c 的关系式.本题目涉及过焦点的三角形问题，在解决此题的过程中，也可简单介绍有关焦点三角形的问题，让学生进行探究．例3：已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，且P 是椭圆上的一点，求||PF 的最小值与最大值.师生活动：学生根据所学知识解答．预设的答案：设椭圆的焦距为c 2，则)0,(c F -，而且22b a c -=，设),(y x P ，则,)(||22y c x PF ++=又因为P 为椭圆上一点，所以222222222,1x ab b y b y a x -==+即，因此，222222)(||x a b b c x PF -++=2222222)1(c b xc x ab +++-=2222242222)()2(c a x a c c a x c a x a c +=++=，注意到a x a ≤≤-，而且a a cac a -<-=-2，所以，当a x -=时，2||PF 最小，且最小值为c a ca a a c -=+-2222)(，当a x =时，2||PF 最大，且最大小值为c a c a a a c +=+2222)(，设计意图：实际上是求焦点在x 轴上的椭圆的焦半径的最大值和最小值，建议教师给学生足够的时间让学生推导化简公式，以培养学生数学运算的核心素养．例4：航天器的轨道有很多种，其中的“地球同步转移轨道”是一个椭:圆轨道，而且地球的中心正好是椭圆的一个焦点，若地球同步转移轨道的远地点(即椭圆上离地球表面最远的点)与地球表面的距离为m ，近地点与地球表面的距离为n ，设地球的半径为r ，试用m ，n ，r 表示出地球同步转移轨道的离心率．师生活动：学生先独立思考，不限定解决问题的方法，由老师指定学生回答． 预设的答案：设椭圆的半长轴长为a ，半焦距为c ，依照题意可知⎩⎨⎧+=++=-r m c a r n c a 解得：22r m n a ++=，2nm c -=，因此离心率 rm n nm a c e 2++-==设计意图：本例题考查椭圆实际应用，涉及近地点和远地点的概念，建议教师对学生稍加说明，引导学生阅读题目，理解题意，画出草图分析．考查学生数学建模的核心素养．问题5：方程12222=+by a x (其中b a ,是正的实常数)表示的一定是椭圆吗?当椭圆的焦距越来越小时，椭圆的形状将怎样变化?由此探讨椭圆与圆的关系．师生活动：小组讨论，学生自己先给出答案，教师总结．预设的答案：当0>≠b a 时，方程12222=+b y a x 表示椭圆;当0>=b a 时，方程12222=+by a x 表示圆.当焦距越来越小时，椭圆越来越圆;当两个焦点重合时，椭圆成为圆． 设计意图：通过例子探讨椭圆于圆的关系，教师要引起重视． 四、归纳小结，布置作业问题5：（1）离心率的范围是什么，离心率的大小与椭圆的形状的关系是怎样的？（2）椭圆的几何性质根据与坐标系有无关系分为两类？师生活动：学生尝试总结，老师适当补充.预设的答案：（1）因为0>>c a ，所以10<<e ，22221e ac a a b -=-=，这说明e 越趋近于1，则的值越小，因此椭圆越扁;反之，e 越趋近于0，则一的值越大，这时椭圆就越接近于圆．（2）椭圆的几何性质可以分为两类:一类是与坐标系无关的性质，如对称性、长轴长、短轴长、焦距、离心率;另一类是与坐标系有关的性质，如范围，顶点、焦点、中心坐标(教材中只研究中心在坐标原点的情况)对于第二类性质，只要将)0(12222>>=+b a b y a x 的有关性质中的横坐标x 和纵坐标y 交换，就可以得出)0(12222>>=+b a bx a y 的相关性质．设计意图：通过梳理本节课的内容，能让学生理解椭圆的几何性质的哦综合应用． 布置作业：教科书上的练习题 五、目标检测设计1若中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆的长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )A ．x 281＋y 272＝1B ．x 281＋y 29＝1C ．x 281＋y 245＝1D ．x 281＋y 236＝1设计意图：考查学生利用椭圆性质求椭圆方程．2若一个椭圆长轴的长度，短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是 ．设计意图：考查学生利用集合关系求椭圆离心率．3．椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m 的值为( ) A ．12B ．2C ．14D ．4设计意图：考查学生对椭圆的基本概念的理解 参考答案：1．A [由已知得a ＝9，2c ＝13×2a ，∴c ＝13a ＝3，b 2＝a 2－c 2＝72．又焦点在x 轴上，∴椭圆方程为x 281＋y 272＝1．]2．35 [由题意有2a ＋2c ＝2(2b )，即a ＋c ＝2b ， 又c 2＝a 2－b 2，消去b 整理得5c 2＝3a 2－2ac ， 即5e 2＋2e －3＝0，∴e ＝35或e ＝－1(舍去)．]3．C [椭圆x 2＋my 2＝1的标准形式为：x 2＋y 21m＝1． 因为焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的2倍，所以1m ＝4，所以m ＝14．]。
第2课时 椭圆的几何性质的应用学习目标 1.进一步巩固椭圆的几何性质.2.掌握直线与椭圆位置关系等相关知识．知识点一 点与椭圆的位置关系设P (x 0，y 0)，椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，则点P 与椭圆的位置关系如下表所示：位置关系 满足条件 P 在椭圆外 x 20a 2＋y 20b 2>1 P 在椭圆上 x 20a 2＋y 20b 2＝1 P 在椭圆内x 20a 2＋y 20b2<1知识点二 直线与椭圆的位置关系直线y ＝kx ＋m 与椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的位置关系的判定联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋m ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，消去y 得关于x 的一元二次方程.位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ＝0 相离无解Δ<0知识点三 直线与椭圆的相交弦 弦长公式：1．|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝1＋k 2|x 1－x 2|＝(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]； 2．|AB |＝ 1＋1k2|y 1－y 2|＝⎝⎛⎭⎫1＋1k 2[(y 1＋y 2)2－4y 1y 2] (直线与椭圆的交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，k 为直线的斜率)．其中，x 1＋x 2，x 1x 2或y 1＋y 2，y 1y 2的值，可通过由直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 后得到关于x 或y 的一元二次方程得到．1．若直线的斜率一定，则当直线过椭圆的中心时，弦长最大．( √ ) 2．直线x 2－y ＝1被椭圆x 24＋y 2＝1截得的弦长为 5.( √ )3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与点P (b,0)，过点P 可作出该椭圆的一条切线．( × )4．直线y ＝k (x －a )与椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1的位置关系是相交．( √ )题型一 直线与椭圆的位置关系命题角度1 直线与椭圆位置关系判断例1 直线y ＝kx －k ＋1与椭圆x 22＋y 23＝1的位置关系是( )A ．相交B ．相切C ．相离D ．不确定 答案 A解析 直线y ＝kx －k ＋1＝k (x －1)＋1过定点(1,1)，且该点在椭圆内部，因此必与椭圆相交． 反思感悟 直线与椭圆的位置关系判别方法(代数法) 联立直线与椭圆的方程，消元得到一元二次方程： (1)Δ>0⇔直线与椭圆相交⇔有两个公共点． (2)Δ＝0⇔直线与椭圆相切⇔有且只有一个公共点． (3)Δ<0⇔直线与椭圆相离⇔无公共点．跟踪训练1 在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0，2)且斜率为k 的直线l 与椭圆x 22＋y 2＝1有两个不同的交点P 和Q .求k 的取值范围．解 由已知条件知直线l 的方程为y ＝kx ＋2，代入椭圆方程得x 22＋(kx ＋2)2＝1.整理得⎝⎛⎭⎫12＋k 2x 2＋22kx ＋1＝0.直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于Δ＝8k 2－4⎝⎛⎭⎫12＋k 2＝4k 2－2＞0， 解得k ＜－22或k ＞22. 即k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－22∪⎝⎛⎭⎫22，＋∞.命题角度2 距离的最值问题例2 在椭圆x 24＋y 27＝1上求一点P ，使它到直线l ：3x －2y －16＝0的距离最短，并求出最短距离．解 设与椭圆相切并与l 平行的直线方程为y ＝32x ＋m ，代入x 24＋y 27＝1，并整理得4x 2＋3mx ＋m 2－7＝0，Δ＝9m 2－16(m 2－7)＝0⇒m 2＝16⇒m ＝±4， 故两切线方程为y ＝32x ＋4和y ＝32x －4，由图可知y ＝32x －4距l 最近，故最短距离d ＝|－16＋8|32＋(－2)2＝813＝81313，P 点为切点，即P ⎝⎛⎭⎫32，－74. 反思感悟 解此类问题的常规解法是直线方程与椭圆方程联立，消去y 或x 得到关于x 或y 的一元二次方程，则(1)直线与椭圆相交⇔Δ>0；(2)直线与椭圆相切⇔Δ＝0；(3)直线与椭圆相离⇔Δ<0，所以判定直线与椭圆的位置关系，方程及其判别式是最基本的工具．跟踪训练2 已知椭圆x 225＋y 29＝1，直线l ：4x －5y ＋40＝0.椭圆上是否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？解 如图，由直线l 的方程与椭圆的方程可知，直线l 与椭圆不相交．设直线m 平行于直线l ，则直线m 的方程可以写成4x －5y ＋k ＝0.①由方程组⎩⎪⎨⎪⎧4x －5y ＋k ＝0，x 225＋y 29＝1，消去y ，得25x 2＋8kx ＋k 2－225＝0.② 令方程②的根的判别式Δ＝0， 得64k 2－4×25×(k 2－225)＝0.③ 解方程③得k 1＝25或k 2＝－25.由图可知，当k ＝25时，直线m 与椭圆的交点到直线l 的距离最近，此时直线m 的方程为4x －5y ＋25＝0.直线m 与直线l 间的距离d ＝|40－25|42＋(－5)2＝154141. 所以，最小距离是154141.题型二 弦长与中点弦问题例3 已知椭圆x 236＋y 29＝1和点P (4,2)，直线l 经过点P 且与椭圆交于A ，B 两点．(1)当直线l 的斜率为12时，求线段AB 的长度；(2)当P 点恰好为线段AB 的中点时，求l 的方程． 解 (1)由已知可得直线l 的方程为y －2＝12(x －4)，即y ＝12x .由⎩⎨⎧y ＝12x ，x 236＋y 29＝1，消去y ，可得x 2－18＝0，若设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．则x 1＋x 2＝0，x 1x 2＝－18. 于是|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝ (x 1－x 2)2＋14(x 1－x 2)2＝52(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝52×62＝310. 所以线段AB 的长度为310.(2)方法一 当直线l 的斜率不存在时，不合题意． 所以直线l 的斜率存在．设l 的斜率为k ，则其方程为y －2＝k (x －4)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y －2＝k (x －4)，x 236＋y 29＝1，消去y ，得(1＋4k 2)x 2－(32k 2－16k )x ＋(64k 2－64k －20)＝0.若设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则x 3＋x 4＝32k 2－16k1＋4k 2，由于AB 的中点恰好为P (4,2)，所以x 3＋x 42＝16k 2－8k 1＋4k 2＝4，解得k ＝－12，且满足Δ>0.这时直线的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0.方法二 设A (x 3，y 3)，B (x 4，y 4)，则有⎩⎨⎧x 2336＋y 239＝1，x 2436＋y249＝1，两式相减得x 24－x 2336＋y 24－y 239＝0，整理得k AB ＝y 4－y 3x 4－x 3＝－9(x 4＋x 3)36(y 4＋y 3)，由于P (4,2)是AB 的中点，∴x 3＋x 4＝8，y 3＋y 4＝4， 于是k AB ＝－9×836×4＝－12，于是直线AB 的方程为y －2＝－12(x －4)，即x ＋2y －8＝0. 引申探究若P (4,2)恰是直线l ：x ＋2y －8＝0被椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)所截弦AB 的中点，求该椭圆的离心率．解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 21a 2＋y 21b 2＝1，x 22a 2＋y 22b 2＝1， ∴x 21－x 22a 2＝－y 21－y 22b2，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2)＝－b 2×8a 2×4＝－2b 2a 2＝－12，∴a 2＝4b 2.又c 2＝a 2－b 2＝3b 2， ∴e 2＝c 2a 2＝34，∴e ＝32. 反思感悟 处理直线与椭圆相交的关系问题的通法是通过解直线与椭圆构成的方程．利用根与系数的关系或中点坐标公式解决，涉及弦的中点，还可使用点差法：设出弦的两端点坐标，代入椭圆方程，两式相减即得弦的中点与斜率的关系．跟踪训练3 已知椭圆ax 2＋by 2＝1(a >0，b >0且a ≠b )与直线x ＋y －1＝0相交于A ，B 两点，C 是AB 的中点，若|AB |＝22，OC 的斜率为22，求椭圆的方程． 解 方法一 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，代入椭圆方程并作差， 得a (x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋b (y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0.① ∵A ，B 为直线x ＋y －1＝0上的点，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－1.由已知得y 1＋y 2x 1＋x 2＝k OC ＝22，代入①式可得b ＝2a .∵直线x ＋y －1＝0的斜率k ＝－1. 又|AB |＝1＋k 2|x 2－x 1|＝2|x 2－x 1|＝22， ∴|x 2－x 1|＝2.联立ax 2＋by 2＝1与x ＋y －1＝0，消去y ，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.且由已知得x 1，x 2是方程(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0的两根，∴x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，∴4＝(x 2－x 1)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝⎝⎛⎭⎫2b a ＋b 2－4·b －1a ＋b.② 将b ＝2a 代入②式，解得a ＝13，∴b ＝23.∴所求椭圆的方程是x 23＋2y 23＝1.方法二 由⎩⎪⎨⎪⎧ax 2＋by 2＝1，x ＋y －1＝0，得(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2ba ＋b ，x 1x 2＝b －1a ＋b ，且直线AB 的斜率k ＝－1， ∴|AB |＝(k 2＋1)(x 1－x 2)2 ＝(k 2＋1)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b.∵|AB |＝22，∴2·4b 2－4(a ＋b )(b －1)a ＋b ＝22，∴a ＋b －aba ＋b＝1.①设C (x ，y )，则x ＝x 1＋x 22＝b a ＋b ，y ＝1－x ＝aa ＋b .∵OC 的斜率为22， ∴y x ＝a b ＝22，将其代入①式得，a ＝13，b ＝23. ∴所求椭圆的方程为x 23＋2y 23＝1.题型三 椭圆中的最值(或范围)问题 例4 已知椭圆4x 2＋y 2＝1及直线y ＝x ＋m .(1)当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； (2)求被椭圆截得的最长弦所在的直线方程．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧4x 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，消去y ，得5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0，因为直线与椭圆有公共点，所以Δ＝4m 2－20(m 2－1)≥0，解得－52≤m ≤52. (2)设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点， 由(1)知5x 2＋2mx ＋m 2－1＝0， 所以x 1＋x 2＝－2m 5，x 1x 2＝15(m 2－1)，所以|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2 ＝2(x 1－x 2)2＝2[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2] ＝2⎣⎡⎦⎤4m 225－45(m 2－1)＝2510－8m 2. 所以当m ＝0时，|AB |最大，此时直线方程为y ＝x . 引申探究在例4中，设直线与椭圆相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，求△AOB 面积的最大值及△AOB 面积最大时的直线方程． 解 可求得O 到AB 的距离d ＝|m |2， 又|AB |＝2510－8m 2， ∴S △AOB ＝12|AB |·d＝12·2510－8m 2·|m |2＝25 ⎝⎛⎭⎫54－m 2m 2≤25·⎝⎛⎭⎫54－m 2＋m 22＝14，当且仅当54－m 2＝m 2时，上式取“＝”，此时m ＝±104∈⎣⎡⎦⎤－52，52. ∴所求直线方程为x －y ±104＝0. 反思感悟 解析几何中的综合性问题很多，而且可与很多知识联系在一起出题，例如不等式、三角函数、平面向量以及函数的最值问题等．解决这类问题需要正确地应用转化思想、函数与方程思想和数形结合思想．其中应用比较多的是利用方程根与系数的关系构造等式或函数关系式，这其中要注意利用根的判别式来确定参数的限制条件．跟踪训练4 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为________． 答案 6解析 由椭圆方程得F (－1,0)，设P (x 0，y 0)， 则OP →·FP →＝(x 0，y 0)·(x 0＋1，y 0)＝x 20＋x 0＋y 20.∵P 为椭圆上一点，∴x 204＋y 23＝1.∴OP →·FP →＝x 20＋x 0＋3⎝⎛⎭⎫1－x 204＝x 204＋x 0＋3＝14(x 0＋2)2＋2. ∵－2≤x 0≤2，∴OP →·FP →的最大值在x 0＝2时取得，且最大值等于6.转化化归思想在椭圆中的应用典例 已知椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，左、右焦点分别是F 1，F 2，若椭圆C 上的点P ⎝⎛⎭⎫1，32到F 1，F 2的距离和等于4. (1)写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)直线l 过定点M (0,2)，且与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，若原点O 在以线段AB 为直径的圆外，求直线l 的斜率k 的取值范围． 考点题点解 (1)由题意得2a ＝4，即a ＝2， 又点P ⎝⎛⎭⎫1，32在椭圆C 上， ∴14＋34b2＝1，即b 2＝1， ∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1，焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)．(2)由题意得直线l 的斜率存在且不为0， 设l ：y ＝kx ＋2，代入x 24＋y 2＝1，整理得(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0， Δ＝(16k )2－4(1＋4k 2)·12＝16(4k 2－3)>0， 得k 2>34.①设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝－16k 1＋4k 2，x 1x 2＝121＋4k 2. ∵原点O 在以线段AB 为直径的圆外， ∴∠AOB 为锐角，∴cos ∠AOB >0， 则OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0， 又y 1y 2＝(kx 1＋2)·(kx 2＋2) ＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4，∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)121＋4k 2＋2k⎝⎛⎭⎫－16k 1＋4k 2＋4 ＝4(4－k 2)1＋4k 2>0.∴k2<4，∴34<k 2<4， ∴直线l 的斜率k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－2，－32∪⎝⎛⎭⎫32，2.[素养评析](1)本例中点O 在以AB 为直径的圆外⇒∠AOB 为锐角⇒OA →·OB →>0⇒x 1x 2＋y 1y 2>0 利用根与系数的关系与判别式可得到直线斜率的范围．(2)逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式，本例从条件出发与已有知识结合，逐步推出相应的结论．对逻辑推理素养的培养有很好的帮助．1．点A (a,1)在椭圆x 24＋y 22＝1的内部，则a 的取值范围是( )A ．－2＜a ＜ 2B ．a ＜－2或a ＞ 2C ．－2＜a ＜2D ．－1＜a ＜1答案 A解析 由题意知a 24＋12＜1，解得－2＜a ＜ 2.2．若直线y ＝x ＋6与椭圆x 2＋y 2m 2＝1(m >0且m ≠1)只有一个公共点，则该椭圆的长轴长为( )A ．1 B. 5 C ．2 D ．2 5 答案 D解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋6，x 2＋y 2m 2＝1，消去y ，得(m 2＋1)x 2＋26x ＋6－m 2＝0， Δ＝(26)2－4(m 2＋1)(6－m 2)＝0， 即4m 2(m 2－5)＝0，∵m >0且m ≠1，∴m ＝5，故选D.3．设F 1，F 2为椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点，当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF 1→·PF 2→的值等于( ) A ．0 B ．2 C ．4 D ．－2 答案 D解析 由题意，得c ＝a 2－b 2＝3，又12122PF F PF QF S S 四边形＝△＝2×12×|F 1F 2|·h (h 为F 1F 2边上的高)，∴当h ＝b ＝1时，12PF QF S 四边形取最大值，此时∠F 1PF 2＝120°.∴PF 1→·PF 2→＝|PF 1→|·|PF 2→|·cos 120° ＝2×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－2. 4．过点P (－1,1)的直线交椭圆x 24＋y 22＝1于A ，B 两点，若线段AB 的中点恰为点P ，则AB所在的直线方程为________________．答案 x －2y ＋3＝0解析 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＋x 2＝－2，y 1＋y 2＝2.又⎩⎨⎧ x 214＋y 212＝1，x 224＋y 222＝1，两式相减得y 1－y 2x 1－x 2＝12. ∴AB 所在的直线方程为x －2y ＋3＝0.5．直线l ：y ＝kx ＋1与椭圆x 22＋y 2＝1交于M ，N 两点， 且|MN |＝423，求直线l 的方程． 解 设直线l 与椭圆的交点为M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 22＋y 2＝1，消去y 并化简， 得(1＋2k 2)x 2＋4kx ＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 1＋2k 2，x 1x 2＝0. 由|MN |＝423，得(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝329， 所以(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝329， 所以(1＋k 2)[(x 1＋x 2)2－4x 1x 2]＝329， 即(1＋k 2)⎝⎛⎭⎫－4k 1＋2k 22＝329， 化简得k 4＋k 2－2＝0，所以k 2＝1，所以k ＝±1.所以所求直线l 的方程是y ＝x ＋1或y ＝－x ＋1.1．直线与椭圆相交弦长的有关问题(1)当弦的两端点的坐标易求时，可直接求出交点坐标，再用两点间距离公式求弦长．(2)当弦的两端点的坐标不易求时，可用弦长公式．设直线与椭圆交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则有|AB |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2＝(1＋k 2)(x 1－x 2)2＝1＋k 2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝ ⎝⎛⎭⎫1＋1k 2(y 1－y 2)2 ＝ 1＋1k2·(y 1＋y 2)2－4y 1y 2(k 为直线斜率)． (3)如果直线方程涉及斜率，要注意斜率不存在的情况．2．解决椭圆中点弦问题的两种方法(1)根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决．(2)点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系．特别提醒：利用公式计算弦长时，要注意这两个公式的区别，切勿记错．3．最值往往转化为函数最值或利用数形结合思想．。
