方差分析的若干模型

方差分析专题单因素试验的方差分析（一）单因素试验在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。

例如，在化工生产中，有原料成分、原料剂量、催化剂、反应温度、压力、溶液浓度、反应时间、机器设备及操作人员的水平等因素。

每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。

有些因素影响较大，有些较小。

为了使生产过程得以稳定，保证优质、高产，就有必要找出对产品质量有显着影响的那些因素。

为此，我们需进行试验。

方差分析就是根据试验的结果进行分析，鉴别各个有关因素对试验结果影响的有效方法。

在试验中，我们将要考察的指标称为试验指标。

影响试验指标的条件称为因素。

因素可分为两类，一类是人们可以控制的（可控因素）；一类是人们不能控制的。

例如，反应温度、原料剂量、溶液浓度等是可以控制的，而测量误差、气象条件等一般是难以控制的。

以下我们所说的因素都是指可控因素。

因素所处的状态，称为该因素的水平（见下述各例）。

如果在一项试验中只有一个因素在改变称为单因素试验，如果多于一个因素在改变称为多因素试验。

例1设有三台机器，用来生产规格相同的铝合金薄板。

取样，测量薄板的厚度精确至千分之一厘米。

得结果如表9.1所示。

表9.1铝合金板的厚度这里，试验的指标是薄板的厚度。

机器为因素，不同的三台机器就是这个因素的三个不同的水平。

我们假定除机器这一因素外，材料的规格、操作人员的水平等其它条件都相同。

这是单因素试验。

试验的目的是为了考察各台机器所生产的薄板的厚度有无显着的差异。

即考察机器这一因素对厚度有无显着的影响。

例2下面列出了随机选取的、用于计算器的四种类型的电路的响应时间（以毫秒计）。

表9.2电路的响应时间这里，试验的指标是电路的响应时间。

电路类型为因素，这一因素有4个水平。

这是一个单因素试验。

试验的目的是为了考察各种类型电路的响应时间有无显着差异。

即考察电路类型这一因素对响应时间有无显着的影响。

例3一火箭使用了四种燃料，三种推进器作射程试验。

统计学方差分析方差分析（Analysis of Variance，缩写为ANOVA）是一种常用的统计学方法，广泛应用于数据分析中。

它的主要目的是用于比较多个样本群体之间的均值是否存在显著差异。

通过方差分析，可以确定因素对于不同组之间的差异程度有无显著影响。

方差分析的基本原理是将数据进行分解，并据此计算各部分之间的均方差（mean square），然后通过比较这些均方差的比值，得出各部分对总体的贡献程度，并进行显著性检验。

在方差分析中，数据通常被分为几个不同的组别，每个组别称为一个因素（factor）。

每个因素可以有不同的水平（level），例如性别因素可以有男和女两个水平。

而一个水平下的所有观测值构成一个处理（treatment）或条件（condition）。

方差分析的基本模型是一种线性模型，假设因变量与自变量之间存在线性关系。

对于单因素方差分析，它的模型可以表示为：Y=μ+α+ε其中，Y表示因变量，μ表示总体的平均值，α表示组别之间的差异，ε表示组内误差。

方差分析的目标是判断组别之间的差异（α）与组内误差（ε）的比值是否显著。

方差分析的核心思想是通过计算均方差，评估不同因素水平之间的差异是否显著。

均方差是方差与其自由度的比值，用于度量数据的离散程度。

通过计算组间均方差（MSTr）和组内均方差（MSE），我们可以得出F值，进而进行显著性检验。

F值是组间均方差与组内均方差的比值F = (MSTr / dfTr) / (MSE / dfE)其中，dfTr表示组间自由度，dfE表示组内自由度。

在统计学中，F值与显著性水平相关。

当F值大于显著性水平对应的临界值时，我们可以拒绝原假设，认为组别之间存在显著差异。

否则，我们不能拒绝原假设，即组别之间的差异不显著。

方差分析不仅可以应用于单因素情况，还可以扩展到多因素情况。

多因素方差分析可以用于研究多个自变量对因变量的影响，并评估这些自变量之间是否存在交互作用。

方差分析固定效应模型随机效应模型混合效应模型方差分析（ANOVA）是一种统计分析方法，用于比较两个或以上组之间的差异是否显著。

在方差分析中，根据实验设计的不同，可以采用不同的模型，包括固定效应模型、随机效应模型和混合效应模型。

固定效应模型是最简单的方差分析模型之一、在固定效应模型中，我们将不同的组视为独立的因素水平，其效应是固定的且不可变的。

这意味着我们只关注不同组之间的差异，而不考虑组内个体之间的差异。

固定效应模型的一个常见应用是单因素方差分析，它用于比较多个组的均值是否存在显著差异。

随机效应模型是一种更复杂的方差分析模型。

在随机效应模型中，我们认为组内个体之间的差异是随机的，而不是固定的。

这意味着我们关注不同组之间的差异，并且还要考虑组内个体之间的差异。

随机效应模型可以用于多因素方差分析，可以研究不同因素及其交互作用对组间差异的影响。

混合效应模型是固定效应模型和随机效应模型的结合。

在混合效应模型中，我们认为不同组之间的差异是固定效应，而组内个体之间的差异是随机效应。

混合效应模型可以考虑组间和组内的差异，同时还可以研究不同因素及其交互作用对组间差异的影响。

选择何种模型取决于研究的目的和假设。

如果我们只关注不同组之间的差异，并且组内个体之间的差异可以忽略，那么固定效应模型是恰当的选择。

如果我们还要考虑组内个体之间的差异，并且研究不同因素及其交互作用对组间差异的影响，那么随机效应模型或混合效应模型可以提供更全面的分析。

总之，方差分析可以通过不同的模型来研究组间差异的原因和影响。

根据研究的目的和假设，可以选择固定效应模型、随机效应模型或混合效应模型进行分析。

这些模型提供了一种系统的方法来比较不同组之间的差异，并帮助我们理解组间差异的产生机制。

【统计】⽅差分析中⼏个模型⽅差分析主要有三种模型：即固定效应模型（fixed effects model），随机效应模型（random effects model），混合效应模型（mixed effects model）。

所谓的固定、随机、混合，主要是针对分组变量⽽⾔的。

固定效应模型 表⽰你打算⽐较的就是你现在选中的这⼏组。

例如，我想⽐较3种药物的疗效，我的⽬的就是为了⽐较这三种药的差别，不想往外推⼴。

这三种药不是从很多种药中抽样出来的，不想推⼴到其他的药物，结论仅限于这三种药。

“固定”的含义正在于此，这三种药是固定的，不是随机选择的。

随机效应模型 表⽰你打算⽐较的不仅是你的设计中的这⼏组，⽽是想通过对这⼏组的⽐较，推⼴到他们所能代表的总体中去。

例如，你想知道是否名牌⼤学的就业率⾼于普通⼤学，你选择了北⼤、清华、北京⼯商⼤学、北京科技⼤学4所学校进⾏⽐较，你的⽬的不是为了⽐较这4所学校之间的就业率差异，⽽是为了说明他们所代表的名牌和普通⼤学之间的差异。

你的结论不会仅限于这4所⼤学，⽽是要推⼴到名牌和普通这样的⼀个更⼴泛的范围。

“随机”的含义就在于此，这4所学校是从名牌和普通⼤学中随机挑选出来的。

总结 从上述的分析可以发现，固定效应模型和随机效应模型之间最⼤的不同就在于其基本假设，即个体不随时间改变的变量是否与所预测的或⾃变量相关。

固定效应模型认为包含个体影响效果的变量是内⽣的；⽽与此相反，随机效应模型是假设全部的包含个体随机影响的回归变量是外⽣的。

在模型中变量的引⼊上，固定效应模型默认了那些不随时间变化⽽变化的⾃变量不会对因变量造成影响，因⽽不允许这类变量出现在模型之中；随机效应模型则认为表⽰某些个体特征的但不随时间变化⽽变化的⾃变量能够对因变量造成影响，允许这类变量引⼊到模型之中。

在假定了解释变量是外⽣性的情况下，固定效应模型中的估计量是⽆偏的。

与⼀阶差分法⼀样，固定效应通过⼀个变换 把⾮观察效应消除掉了 也正是其允许与任意时期内的解释变量随意相关 才导致任何不随时间变化⽽变化的解释变量也会随之消除。