数学建模2

实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。

二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。

其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。

（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。

中国人口增长预测数学建模引言中国作为世界上人口最多的国家之一，人口增长一直是一个备受关注的问题。

人口数量的增长对于国家的经济、社会、环境等方面都有着重要的影响。

因此，预测中国人口的增长趋势对于未来的发展规划具有重要意义。

本文将介绍一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。

方法数据收集为了进行人口增长预测的数学建模，我们需要收集一系列历史人口数据。

这些数据可以从各种统计年鉴、人口普查、政府发布的数据等渠道获取。

通常，我们需要收集的数据包括中国的总人口数量、出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。

建立数学模型基于收集到的数据，我们可以建立一个数学模型来描述中国人口的增长情况。

常用的数学模型包括指数增长模型、Logistic增长模型等。

在本文中，我们以Logistic增长模型为例。

Logistic增长模型基于以下假设： 1. 人口增长率与当前人口数量成正比； 2. 当人口数量接近一定的上限时，人口增长率会逐渐减小。

Logistic增长模型的公式可以表示为：dP/dt = r*P*(1-P/K)其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率，K表示人口的上限。

参数估计为了应用Logistic增长模型进行人口预测，我们需要估计模型中的参数。

参数估计可以通过拟合历史数据来完成。

常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。

模型验证一旦完成参数估计，我们可以使用模型预测未来的人口变化情况。

为了验证模型的准确性，我们可以将预测结果与实际观测数据进行比较。

如果预测结果与实际观测数据较为接近，说明模型具有较好的预测能力。

预测未来人口增长利用建立的数学模型和参数估计，我们可以进行未来人口增长的预测。

通过不同的假设和参数值，我们可以探讨不同因素对人口增长的影响。

例如，我们可以考虑不同的出生率和死亡率情况下的人口增长，或者研究不同人口政策下的人口增长趋势。

结论本文介绍了一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。

数学建模模型解题法引言数学建模是一种通过建立数学模型描述和解决实际问题的方法。

在数学建模中，模型的构建是一个关键的步骤，而解题则是将模型应用于具体问题并得出有意义结论的过程。

本文将介绍一些常用的数学建模模型解题方法。

一、数值解法数值解法是一种基于数值计算的解决方法，适用于无法用解析方法求解的问题。

常见的数值解法有以下几种：1. 近似解法近似解法是通过对原方程进行近似处理，得到一个近似解的方法。

常见的近似解法有牛顿法、二分法和割线法等。

牛顿法牛顿法是一种通过迭代计算逼近方程根的方法。

它利用泰勒级数展开对函数进行逼近，并使用切线与x轴的交点作为下一个近似解。

具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0； 2. 计算函数f(x)在x0处的导数f′(x0)； 3. 计算切线方程，即f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0； 4. 解得x1为切线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x1； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。

二分法二分法是一种通过将区间等分并缩小区间范围的方法求方程根。

具体步骤如下：1. 选取区间[a, b]，其中a和b分别是方程根的近似解； 2. 计算区间中间点c=(a+b)/2； 3. 判断c是方程根的左侧还是右侧； 4. 缩小区间范围： - 若c是方程根的左侧，则将c作为新的区间右端点，即令b=c； - 若c是方程根的右侧，则将c作为新的区间左端点，即令a=c； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。

割线法割线法是一种通过使用割线近似切线的方法求解方程根。

具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0和x1； 2. 计算割线方程，即通过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))计算割线斜率，并与x轴求交； 3. 解得x2为割线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x2；4. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。

2. 插值法插值法是一种通过已知数据点构建一个拟合曲线，并使用该曲线来估算未知数据点的方法。

数学建模训练题1、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km 的大沙漠。

除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。

该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L ，车载油箱及油桶总共只能装载250L 汽油。

请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。

试根据实际情况进行推广和评价。

2、由于军事上的需要，需将甲地n 名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m 辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。

设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。

3、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg ，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r 的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。

伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用3C 为200元。

r 2 2.5 3 3.5 4 C1651703506601000降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。

为了确定阻力系数，用的半径3r m =，载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x ，见下表。

t(s)0 36 9 12 15 18 21 24 27 30 x(m) 500470425372317264215160108551试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

4、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒5、空气通过盛有CO 2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO 2的量与CO 2的百分浓度及吸收层厚度成正比。

数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。

自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。

数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。

我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。

N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。

结论：PB=PA 。

模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。

求证：AP 平分∠BAC 。

热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。

求证：∠BAD+∠BCD=180°。

2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。

模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。

结论：△OPB ≌△OPA 。

图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。

利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。

高中数学教案：解决实际问题的数学建模一、引言数学建模是解决实际问题的一种重要方法，旨在将现实中复杂的问题转化为数学模型，并利用数学工具进行分析和求解。

在高中数学教学中，通过引入数学建模的概念和方法，可以帮助学生更好地理解数学知识，并将其应用于解决实际问题。

本教案将介绍如何设计一个针对高中生的数学建模课程，以帮助他们掌握解决实际问题的数学建模技巧。

二、目标设定1. 激发兴趣：通过有趣的实例和案例，激发学生对数学建模的兴趣。

2. 理论指导：介绍基本的数学建模理论，包括问题定义、变量选择、模型构建等。

3. 实践操作：组织学生参与真实场景下的数学建模项目，并进行实践操作，锻炼他们运用所学知识解决实际问题的能力。

三、教学步骤1. 导入环节：通过给出一个有趣而富有挑战性的问题，引起同学们思考并讨论。

例如：“如何确定最佳送外卖路线？”2. 理论讲解：（1）问题定义：引导学生理解问题的背景和要解决的核心问题，并培养他们抽象和概括问题的能力。

（2）变量选择：说明在建立数学模型时如何选择相关的变量，以及不同变量之间可能存在的关系。

（3）模型构建：介绍常用的数学建模方法，如函数关系、统计分析等，并指导学生根据实际情况构建合适的数学模型。

三、实践操作1. 案例分析：将学生分组，每个小组选择一个现实场景下的问题进行分析与解决。

例如：“如何提高高铁列车动车组安全性？”2. 数据收集：引导学生收集必要的数据并整理，培养他们运用统计方法处理数据的能力。

3. 模型构建：指导学生根据所给问题和数据构建相应的数学模型，并进行合适的简化和假设。

4. 模型求解：通过运用数学工具（如图形计算软件、统计软件等），帮助学生求解模型并得出结论。

5. 结果评价与优化：引导学生对结果进行评价和验证，并提出改进措施。

四、讨论交流1. 学术报告会：每个小组向全班进行学术报告，分享他们的研究成果和解决方案。

2. 思维拓展：鼓励学生对其他小组的解决方案进行思考和提问，帮助他们拓展思维和交流能力。

2022年秋季-福师《数学建模》在线作业二-0003
试卷总分:100 得分:100
一、判断题 (共 40 道试题,共 80 分)
1.最小二乘法估计是常见的回归模型参数估计方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
2.样本平均值和理论均值不属于参数检验方法
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
3.量纲齐次原则指任一个有意义的方程必定是量纲一致的<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
4.对实际问题建模没有确定的模式
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
5.数学建模以模仿为目标
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A
6.利用乘同余法可以产生随机数
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:B
7.大学生走向工作岗位后就不需要数学建模了
<-A.->错误
<-B.->正确
【正确答案】:A。

数学建模简明教程第二版课程设计一、前言数学建模是一项极具挑战性的任务，需要融合数学、自然科学和计算机技术的知识。

本文将介绍第二版《数学建模简明教程》的课程设计内容，帮助读者更好地理解和应用数学建模的方法和技巧。

二、课程设计概述本次课程设计主要涉及以下内容：1.数学模型的建立和求解2.模型的验证和评估3.应用模型进行数据分析和预测课程设计的目的是通过实践操作，帮助学生掌握数学建模的方法和技巧，并培养其对真实问题的建模能力和解决问题的能力。

三、课程设计任务任务一：建立目标函数和约束条件模型需要满足以下要求：1.目标函数必须为线性函数2.约束条件必须为线性不等式3.模型所用数据必须为真实数据任务二：求解模型模型需要使用一种数值方法进行求解，如单纯形法或对偶单纯形法等。

任务三：验证和评估模型模型需要按照实际问题的情况进行验证和评估，包括模型的精度、稳定性、使用效果等方面。

任务四：应用模型进行数据分析模型需要对实际问题进行数据分析，包括数据清洗、数据处理、数据可视化等方面。

四、课程设计流程步骤一：选择实际问题选择一个实际问题，确定问题的背景、目的和数据来源。

步骤二：建立数学模型根据实际问题的特点和数据，建立数学模型，确定目标函数和约束条件。

步骤三：求解模型使用一种数值方法对模型进行求解，得到最优解或者可行解。

步骤四：验证和评估模型对模型进行验证和评估，确定模型的精度、稳定性和使用效果。

步骤五：应用模型进行数据分析对实际问题进行数据分析，包括数据清洗、数据处理和数据可视化等方面，获得有用的信息和结论。

五、课程设计要点1.选题应具有实际意义和一定的难度，能够挑战学生的智力和能力。

2.数学模型的建立和求解是本次课程设计的核心内容，要求学生深入理解这一过程，掌握各种数值方法。

3.模型的验证和评估是重要的一步，需要学生将模型与实际情况进行比较，评估模型的准确性和稳定性。

4.应用模型进行数据分析是将数学模型应用到实际问题中的关键，需要学生掌握数据分析的基本方法和技巧。

数学建模训练题1、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km 的大沙漠。

除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。

该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L ，车载油箱及油桶总共只能装载250L 汽油。

请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。

试根据实际情况进行推广和评价。

2、由于军事上的需要，需将甲地n 名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m 辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。

设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。

3、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg ，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r 的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。

伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用3C 为200元。

积的乘积成正比。

为了确定阻力系数，用的半径3r m =，载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x ，见下表。

试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。

4、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒5、空气通过盛有CO 2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO 2的量与CO 2的百分浓度及吸收层厚度成正比。