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实验二： 微分方程模型Matlab 求解与分析一、实验目的[1] 掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析； [2] 熟悉MATLAB 软件关于微分方程求解的各种命令；[3] 通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程； [4] 熟悉离散 Logistic 模型的求解与混沌的产生过程。
二、实验原理1. 微分方程模型与MATLAB 求解解析解用MATLAB 命令dsolve(‘eqn1’,’eqn2’, ...) 求常微分方程（组）的解析解。
其中‘eqni'表示第i 个微分方程，Dny 表示y 的n 阶导数,默认的自变量为t 。
（1） 微分方程 例1 求解一阶微分方程 21y dxdy+= (1) 求通解 输入：dsolve('Dy=1+y^2')输出：ans =tan(t+C1)（2）求特解 输入：dsolve('Dy=1+y^2','y(0)=1','x')指定初值为1，自变量为x 输出：ans =tan(x+1/4*pi)例2 求解二阶微分方程 221()04(/2)2(/2)2/x y xy x y y y πππ'''++-=='=-原方程两边都除以2x ，得211(1)04y y y x x'''++-= 输入:dsolve('D2y+(1/x)*Dy+(1-1/4/x^2)*y=0','y(pi/2)=2,Dy(pi/2)=-2/pi','x')ans =- (exp(x*i)*(pi/2)^(1/2)*i)/x^(1/2) +(exp(x*i)*exp(-x*2*i)*(pi/2)^(3/2)*2*i)/(pi*x^(1/2))试试能不用用simplify 函数化简 输入: simplify(ans)ans =2^(1/2)*pi^(1/2)/x^(1/2)*sin(x) （2）微分方程组例3 求解 d f /d x =3f +4g ; d g /d x =-4f +3g 。
中国人口增长预测数学建模引言中国作为世界上人口最多的国家之一，人口增长一直是一个备受关注的问题。
人口数量的增长对于国家的经济、社会、环境等方面都有着重要的影响。
因此，预测中国人口的增长趋势对于未来的发展规划具有重要意义。
本文将介绍一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。
方法数据收集为了进行人口增长预测的数学建模，我们需要收集一系列历史人口数据。
这些数据可以从各种统计年鉴、人口普查、政府发布的数据等渠道获取。
通常，我们需要收集的数据包括中国的总人口数量、出生率、死亡率、迁入率和迁出率等。
建立数学模型基于收集到的数据，我们可以建立一个数学模型来描述中国人口的增长情况。
常用的数学模型包括指数增长模型、Logistic增长模型等。
在本文中，我们以Logistic增长模型为例。
Logistic增长模型基于以下假设： 1. 人口增长率与当前人口数量成正比； 2. 当人口数量接近一定的上限时，人口增长率会逐渐减小。
Logistic增长模型的公式可以表示为：dP/dt = r*P*(1-P/K)其中，P表示人口数量，t表示时间，r表示人口增长率，K表示人口的上限。
参数估计为了应用Logistic增长模型进行人口预测，我们需要估计模型中的参数。
参数估计可以通过拟合历史数据来完成。
常用的参数估计方法包括最小二乘法、最大似然估计等。
模型验证一旦完成参数估计，我们可以使用模型预测未来的人口变化情况。
为了验证模型的准确性，我们可以将预测结果与实际观测数据进行比较。
如果预测结果与实际观测数据较为接近，说明模型具有较好的预测能力。
预测未来人口增长利用建立的数学模型和参数估计，我们可以进行未来人口增长的预测。
通过不同的假设和参数值，我们可以探讨不同因素对人口增长的影响。
例如，我们可以考虑不同的出生率和死亡率情况下的人口增长，或者研究不同人口政策下的人口增长趋势。
结论本文介绍了一种基于数学建模的方法，用于预测中国人口的增长情况。
数学建模模型解题法引言数学建模是一种通过建立数学模型描述和解决实际问题的方法。
在数学建模中，模型的构建是一个关键的步骤，而解题则是将模型应用于具体问题并得出有意义结论的过程。
本文将介绍一些常用的数学建模模型解题方法。
一、数值解法数值解法是一种基于数值计算的解决方法，适用于无法用解析方法求解的问题。
常见的数值解法有以下几种：1. 近似解法近似解法是通过对原方程进行近似处理，得到一个近似解的方法。
常见的近似解法有牛顿法、二分法和割线法等。
牛顿法牛顿法是一种通过迭代计算逼近方程根的方法。
它利用泰勒级数展开对函数进行逼近，并使用切线与x轴的交点作为下一个近似解。
具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0； 2. 计算函数f(x)在x0处的导数f′(x0)； 3. 计算切线方程，即f(x0)+f′(x0)(x−x0)=0； 4. 解得x1为切线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x1； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
二分法二分法是一种通过将区间等分并缩小区间范围的方法求方程根。
具体步骤如下：1. 选取区间[a, b]，其中a和b分别是方程根的近似解； 2. 计算区间中间点c=(a+b)/2； 3. 判断c是方程根的左侧还是右侧； 4. 缩小区间范围： - 若c是方程根的左侧，则将c作为新的区间右端点，即令b=c； - 若c是方程根的右侧，则将c作为新的区间左端点，即令a=c； 5. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
割线法割线法是一种通过使用割线近似切线的方法求解方程根。
具体步骤如下： 1. 选取初始近似解x0和x1； 2. 计算割线方程，即通过(x0,f(x0))和(x1,f(x1))计算割线斜率，并与x轴求交； 3. 解得x2为割线方程与x轴的交点，作为下一个近似解x2；4. 若满足精度要求，则停止迭代；否则，返回第2步。
2. 插值法插值法是一种通过已知数据点构建一个拟合曲线，并使用该曲线来估算未知数据点的方法。
数学建模训练题1、某探险队驾驶一越吉普车穿行2000km 的大沙漠。
除起点能得到足够的汽油供应外，行车途中的燃料供应必须在沿途设立若干的储油点，依靠自己运输汽油来解决。
该车在沙漠中行车平均每公里耗油0.25L ，车载油箱及油桶总共只能装载250L 汽油。
请设计一个最优的行车方案，使行车耗油最少而通过沙漠。
试根据实际情况进行推广和评价。
2、由于军事上的需要，需将甲地n 名战斗人员（不包括驾驶员）紧急调往乙地，但是由于运输车辆不足，m 辆车无法保证每个战斗人员都能同时乘车，显然，部分战斗人员乘车，部分战斗人员急行军是可行的方案。
设每辆车载人数目相同，只有一条道路，但足以允许车辆，人员同时进行，请制定一个调运方案，能最快地实现兵力调运，并证明方案的最优性。
3、为向灾区空投一批救灾物资，共2000kg ，需选购一些降落伞，已知空投高度为500m ，要求降落伞落地时的速度不能超过20米每秒，降落伞的伞面为半径为r 的半球面，用每根长L 共16根绳索连接的重m 位于球心正下方球面处，如下图：每个降落伞的价格由三部分组成。
伞面费用1C 由伞的半径r 决定，见下表；绳索费用2C 由绳索总长度及单价4元/米决定，固定费用3C 为200元。
r 2 2.5 3 3.5 4 C1651703506601000降落伞在降落过程中除受到重力外，受到空气的阻力，可以认为与降落的速度和伞的面积的乘积成正比。
为了确定阻力系数，用的半径3r m =，载重300m kg =的降落伞从500m 高度作降落试验，测得各个时刻的高度x ，见下表。
t(s)0 36 9 12 15 18 21 24 27 30 x(m) 500470425372317264215160108551试确定降落伞的选购方案，即共需多少个伞，每个伞的半径多大(在给定的半径的伞中选)，在满足空投要求的条件下，使费用最低。
4、在家里,每天做饭后总会有一大堆油腻腻的盘子需要清洗,为清洗这些盘子,你准备了一大盆热的肥皂水,热水的温度足够洗掉盘子上的油腻而不烫手,随着洗涤过程的继续,盆中的水会漫漫地冷下来,一直到无法在清洗这些盘子,假设每个盘子重0.5KG,盆内水重15千克,盆内最初温度是60度最终无法清洗盘子的温度是40度,盆内水的表面积是0.1平方米,空气温度是20度,试建立模型分析使用这盆热水可以洗多少个盘子,已知盘子的热容量是600焦耳/千克,水的热容量是4200焦耳/千克,水到空气的热传导系数是100焦耳/米*秒5、空气通过盛有CO 2吸收剂的圆柱形器皿，已知它吸收CO 2的量与CO 2的百分浓度及吸收层厚度成正比。
数学建模作业(实验2微分方程实验)基本实验1．微分方程稳定性分析绘出下列自治系统相应的轨线，并标出随t 增加的运动方向，确定平衡点，并按稳定的、渐近稳定的、或不稳定的进行分类：,,,+1,(1)(2)(3)(4);2;2;2.dx dx dx dxx x y x dt dt dt dt dy dy dy dy y y x y dt dt dt dt ⎧⎧⎧⎧==-==-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎨⎨⎪⎪⎪⎪===-=-⎪⎪⎪⎪⎩⎩⎩⎩解答解：（1）由平衡点的定义可得，f （x ）=x=0，f （y ）=y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为1001A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=1=1λλ，；由根与系数的关系可得：1212()2010p q λλλλ=-+=-<==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（2）由平衡点的定义可得，f （x）=-x=0，f （y ）=2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-1002A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12=-1=2λλ，；由根与系数的关系可得：121210-(2<0)p q λλλλ=-+=-<==，，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（3）由平衡点的定义可得，f （x ）=y=0，f （y ）=-2x=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为0120A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，显然其特征值为121.4142=4142=-1.i i λλ，；由根与系数的关系可得：12120 1.41420()p q λλλλ=-+===>，，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是不稳定的。
自治系统相应轨线为：（4）由平衡点的定义可得，f （x ）=-x=0，f （y ）=-2y=0，因此平衡点为（0,0），微分方程组的系数矩阵为-100-2A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，显然其特征值为12==-12-λλ，；由根与系数的关系可得：1212()3020p q λλλλ=-+=>==>，且24p q >，由平衡点与稳定性的各种情况可知，平衡点（0，0）是稳定的。
数学建模论文题目：一个医药公司的新药研究部门为了掌握一种新止痛剂的疗效，设计了一个药物试验，给患有同种疾病的病人使用这种新止痛剂的以下4个剂量中的某一个：2 g，5 g，7 g和10 g，并记录每个病人病痛明显减轻的时间（以分钟计）. 为了解新药的疗效与病人性别和血压有什么关系，试验过程中研究人员把病人按性别及血压的低、中、高三档平均分配来进行测试. 通过比较每个病人血压的历史数据，从低到高分成3组，分别记作0.25，0.50和0.75. 实验结束后，公司的记录结果见下表（性别以0表示女，1表示男）.请你为该公司建立一个数学模型，根据病人用药的剂量、性别和血压组别，预测出服药后病痛明显减轻的时间.病人序号病痛减轻时间／min用药剂量／g性别血压组别1 352 0 0.252 43 2 0 0.503 55 2 0 0.754 47 2 1 0.255 43 2 1 0.506 57 2 1 0.757 26 5 0 0.258 27 5 0 0.509 28 5 0 0.7510 29 5 1 0.2511 22 5 1 0.5012 29 5 1 0.7513 19 7 0 0.2514 11 7 0 0.5015 14 7 0 0.7516 23 7 1 0.2517 20 7 1 0.5018 22 7 1 0.7519 13 10 0 0.2520 8 10 0 0.5021 3 10 0 0.7522 27 10 1 0.2523 26 10 1 0.5024 5 10 1 0.75一、摘要在农某医药公司为了掌握一种新止痛药的疗效，设计了一个药物实验，通过观测病人性别、血压和用药剂量与病痛时间的关系，预测服药后病痛明显减轻的时间。
我们运用数学统计工具m i n i t a b软件，对用药剂量，性别和血压组别与病痛减轻时间之间的数据进行深层次地处理并加以讨论概率值P （是否<0.05）和拟合度R -S q 的值是否更大（越大，说明模型越好）。
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
§3.2双因素方差分析一． 交互效应与数学模型在双因素试验中，设因素A 有r 个水平A 1，A 2，…，A r ，因素B 有s 个水平B 1，B 2，…，B s ，于是共有r ⨯s 个不同的水平组合（A i ×B j ）i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，如果在每一种水平的组合下都至少作一次试验，则称试验为完全的设计；否则为不完全的设计．如果在每一种水平的组合下的试验次数相等，称为平衡的设计．设在A i ×B j 水平组合下的试验结果为X j i i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，则X j i 是一个随机变量，可视为一个总体，这样共有r ⨯s 个不同的总体．设在A i ×B j 水平组合下独立重复t 次试验，试验结果为X ijk i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，k =1，2，…，t ，则可视为从总体X j i 中抽取的容量为t 的样本，并假定这r ×s 个样本相互独立．若假定X j i ～N (μij , σ2) i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，显然有X ijk ～N (μij , σ2) i =1，2，…，r ，j =1，2，…，k =1，2，…，t ，于是所有X ijk 相互独立。
称μij 为在A i ×B j 水平组合下的试验结果的理论总均值．令εijk = X ijk - μij为在A i ×B j 水平组合下第k 次试验的随机误差，显然εijk 是相互独立的随机变量，且同服从于N (0, σ2) i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，k =1，2，…，t ，于是可得⎩⎨⎧+=，且相互独立～),0(2σεεμN X ijk ijkj i ijk （3.2.1）（3.2.1）为双因素方差分析的数学模型．为进一步分析方便记 μ= rs 1∑∑==r i sj ji 11μ 称为总均值；μ∙i = s 1∑=sj j i 1μ i =1，2，…，r ，称为因素A 的第i 个水平的均值； μj ∙=r1∑=ri j i 1μ j =1，2，…，s ，称为因素B 的第j 个水平的均值；αi = μ∙i -μ i =1，2，…，r ，称为因素A 的第i 个水平的主效应； βj = μj ∙-μ j =1，2，…，s ， 称为因素B 的第j 个水平的主效应； 易见∑=r i i 1α= 0 ，∑=sj j 1β= 0，γj i = μij -μ-αi -βj i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，（3.2.2）A i ×B j 对指标值的总效应μij -μ，减去水平A i 的效应αi 及B j 的效应βj ，剩余的γj i 为A i ×B j 对指标值的交互效应．在双因素试验中因素A 取A i 水平，因素B 取B j 水平时，对试验指标值的影响，并不一定恰好等于因素A 取A i 水平时的主效应αi 与因素B 取B j 水平时的主效应βj 的迭加．现举一简单的例子来说明在实际中交互作用确实存在．例3.2.1 为研究氮肥量（因素N ）与磷肥量（因素P ）对大豆亩产量的影响，每个因素取两个水平，选择其它条件都相同的四块地，对同一品种的大豆进行种植试验，亩产量如表3-5．表3-5 大豆亩产量（单位：公斤）由表3-5的数据可以看出：既不施氮肥也不施磷肥的地大豆亩产只有300公斤；而仅施磷肥3公斤的地，大豆亩产为340公斤，显然，施3公斤磷肥对亩产量的增效为40公斤；而仅施氮肥5公斤的地，大豆亩产为330公斤，显然，施5公斤磷肥对亩产量的增效为30公斤；而即施磷肥又施氮肥的地，大豆亩产为440公斤，这比既不施氮肥也不施磷肥的地大豆亩产增加了140公斤，如果除去仅施磷肥的增效40公斤和仅施氮肥的增效30公斤，剩余的70公斤显然就是磷肥和氮肥对大豆亩产量的交互效应．在双因素方差分析中，通常把因素与因素的交互效应看作为一个单独因素的效应，这个因素记为A ×B ，称为因素A 与B 对试验指标的交互作用．由（3.2.2）可得μij = μ+αi +βj +γj i i =1，2，…，r ，j =1，2，…，s ，于是，双因素方差分析的数学模型（3.2.1）可以改写为如下形式：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧======+++=∑∑∑∑=+====相互独立且～，，，，，，，，，εσεγγβαεγβαμijk ijk s j ij r i ij s j j ri i ijk j i j i ijk N t k s j r i X ,),0(0,0,0,021,21,2121111（3.2.3）称其为有交互效应的方差分析模型．二．交互效应模型下的的方差分析在模型（3.2.3）下要检验因素A ，B 及A ×B 对试验指标的影响是否显著，就是分别对原假设H 01：α1=α2= …= αr = 0H 02：β1=β2= …= βs = 0H 03：γj i = 0， i =1，2，…，r ；j =1，2，…，s ．作显著性检验．推导检验H 01、H 02和H 03统计量的方法与推导单因素方差分析时的方法类似，若 记∑∑∑====r i s j tk ijk X rst X 1111 总均值X ij .=∑=tk ijk X t 11 水平A i ×B j 下的样本均值X i ..=∑∑==s j tk ijk X st 111 水平A i 下的样本均值 X j ..=∑∑==r i tk ijk X rt 111 水平B j 下的样本均值 可得到总偏差平方和的平方和分解公式：S t = S A +S B +S B A ⨯+S e （3.2.4）其中S t =∑∑∑-===ri sj tk X X ijk 1112)( 总平方和；S e =∑∑∑-===ri sj tk X X ij ijk 1112)(. 误差平方和；S A = st ∑-=ri X X i 12)(..因素A 的平方和；S B = rt ∑-=s j X X j 12)(.. 因素B 的平方和；S B A ⨯= t ∑∑+--==ri s j X X X X j i ij 112)(..... 因素A ×B 的平方和；在模型（3.2.3）下可求得：S E e = rs (t-1) σ2 S E A = (r-1) σ2+st ∑=ri i 12αS E B = (s-1)σ2+rt ∑=sj j 12βS E B A ⨯= (r-1) (s- 1)σ2 + t ∑∑==r i sj ij 112γ由此可见 S e 主要反映的是误差在数据波动中的作用；S A 除了反映误差的作用外，主要还反映了因素A 的不同水平的差异在数据波动中的作用；S B 除了反映误差的作用外，主要还反映了因素B 的不同水平的差异在数据波动中的作用；S B A ⨯除了反映误差的作用外，主要还反映了因素A ×B 的不同水平的差异在数据波动中的作用．同时，还可以看出 当H 01成立时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1r S E A =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(t rs S E e ，否则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1r S E A ＞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)1(t rs S E e ； 当H 02成立时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-1s S E B =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(t rs S E e ，否则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1s S E B ＞⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)1(t rs S E e ；当H 03成立时，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯)1)(1(s r E S B A =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-)1(t rs S E e ，否则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⨯)1)(1(s r E S B A ＞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-)1(t rs S E e ． 令 S A =1-r S A S B =1-s S B S B A ⨯=)1)(1(--⨯s r S B A S e = )1(-r rs S e由柯赫伦（Cochrom ）定理和F –分布的定义可建立如下统计量：当H 01成立时，F A = S A /S e ～F （r-1，rs (t -1)）； （3.2.5） 当H 02成立时，F B = S B /S e ～F （s-1，rs (t -1)）； （3.2.6） 当H 03成立时，F B A ⨯= S B A ⨯/S e ～F （(r-1) (s-1)，rs (t -1)）；（3.2.7） 以上统计量，在H i 0（i =1，2，3）不成立时都有偏大的趋势．对给定的显著性水平α若F A ＞F （r-1，rs (t -1)）则拒绝H 01，即认为在α水平上，因素A 对指标的作用显著．F B ＞F （s -1，rs (t -1)）则拒绝H 02，即认为在α水平上，因素B 对指标的作用显著．F B A ⨯＞F （(r-1) (s-1)，rs (t -1)）则拒绝H 03，即认为在α水平上，因素A ×B 对指标的作用显著．注意：当t =1时，误差平方和的自由度为0，这时，所构造的统计量无意义．因此，对有交互作用的双因素试验，在每一个水平下等重复试验的次数t 至少要大于1．在具体计算时可用如下记号： 记 W = ∑∑∑===ri sj tk X ijk 1112，T = ∑∑∑===ri sj tk ijk X 111T i .. = ∑∑==sj tk ijk X 11， T j ..= ∑∑==r i t k ijk X 11 ，T ij . = ∑=tk ijk X 1则 S t = W -T rst21 S A =∑=r i i T st 12..1-T rst21S B = ∑=sj j T rt12..1-T rst21 S B A ⨯=∑∑==r i s j ij T t 112.1-T rst21-S A -S BS e =S t -S A -S B -S B A ⨯与单因素方差分析类似，将上述计算结果以方差分析表的形式列出．表3-6双因素等重复试验的方差分析表例3.2.2 为了提高某种农作物的亩产量，选择较好的种子与肥料，某县农业科技推广站，选择了四个不同品种的种子A i (i = 1,2,3,4)与三种肥料B j (j = 1,2,3)，在其它条件相同的试验田里作试验，所得数据列于表8-7中．试分析种子、肥料及它们的交互作用对该农作物的亩产量是否有显著影响？（α=0.05）表3-7亩产量数据（单位:公斤）中，与单因素方差分析类似，可以证明进行这种变换，所有的平方和之值保持不变． 表3-8设 X ijk 表示采用第i 个品种的种子并使用第j 种施肥量的第k 快地的农作物的亩产量i = 1,2,3,4 ，j =1,2,3，k =1，2， 假定X ijk ～N (μij , σ2) 并所有X ijk 相互独立。
