河北省定州中学2020届高三上学期期末考试数学试卷(含答案).doc

2020届河北省部分重点高中高三上学期期末数学（理）试题一、单选题1．已知全集U =R ,集合[)1,3A =-,()(),14,U C B =-∞+∞U ,则A B =I （ ） A ．()1,1- B ．()1,3-C ．[)1,3D ．[]1,4【答案】C【解析】先求集合B , 再求A B I 即可. 【详解】解: 已知全集U =R ，集合[)1,3A =-，()(),14,U C B =-∞+∞U则[]1,4B =, 所以[)1,3A B I =. 故选:C 【点睛】本题考查集合的交并补运算,属于基础题. 2．复数22?()i （其中为虚数单位）的虚部等于（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：22222?22()1(1)2i i i i i i i===----,所以虚部为1-，故应选B.【考点】复数的运算．点评：本题直接考查复数的运算，我们要熟练掌握复数的运算．属于基础题型． 3．已知各项为正数的等比数列{}n a 中，21a =，4664a a =，则公比q ＝ A ．2 B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】由于数列为等比数列，将已知条件转化为1,a q 的形式，解方程组可求得q 的值. 【详解】由于数列为等比数列，故13511164a q a q a q =⎧⎨⋅=⎩，664q =，由于数列各项为正数，故2q =，选A. 【点睛】本小题主要考查利用基本元的思想解等比数列的有关计算问题.要注意题目给定公比q 是正数.属于基础题.4．某校高一年级有甲，乙，丙三位学生，他们前三次月考的物理成绩如表：则下列结论正确的是（ ）A ．甲，乙，丙第三次月考物理成绩的平均数为86B ．在这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分最高C ．在这三次月考物理成绩中，乙的成绩最稳定D ．在这三次月考物理成绩中，丙的成绩方差最大 【答案】C【解析】由表格中数据，利用平均数公式以及方差的定义与性质，对选项中的命题逐一判断正误即可． 【详解】由表格中数据知，甲、乙、丙的第三次月考物理成绩的平均数为9085822578633++=<，错误A ；这三次月考物理成绩中，甲的成绩平均分为85， 丙的成绩平均分最高为908682863++=，∴B 错误；这三次月考物理成绩中，乙的成绩波动性最小，最稳定，∴C 正确； 这三次月考物理成绩中，甲的成绩波动性最大，方差最大，∴D 错误． 故选C ． 【点睛】本题考查了平均数公式、方差的定义与性质，是基础题．方差反映了随机变量稳定于均值的程度，12n 1(++...+)x x x x n =， 2222121[()()...()]n s x x x x x x n=-+-++-. 5．如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是( )A ．54B ．27C ．18D ．9【答案】C【解析】试题分析：由三视图可知该几何体为四棱锥，底面为矩形，两边为6,3，棱锥的高为3，所以体积为1633183V =⨯⨯⨯= 【考点】三视图 6．已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭且1sin()23πα+=-，则()tan απ+=（ ）A ．22-B ．22C ．24-D ．24【答案】A【解析】由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系求解()tan απ+的值即可. 【详解】由题意可得：1cos sin 23παα⎛⎫=+=- ⎪⎝⎭， 由于,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，故22sin 1cos 3αα=-=， 据此可知()sin tan tan 22cos ααπαα+===-本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，同角三角函数基本关系及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7．已知抛物线22(0)y px p =>为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>有相同的焦点F ，点A 是两曲线的一个点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为（ ）A 1B 1C 1D 2【答案】A【解析】求出抛物线与双曲线的焦点坐标，将其代入双曲线方程求出A 的坐标，将A 代入抛物线方程求出双曲线的三参数,,a b c 的关系，则双曲线的离心率可求. 【详解】抛物线的焦点坐标为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，双曲线的焦点坐标为(),0c ，2p c ∴=，Q 点A 是两曲线的一个交点，且AF x ⊥轴，将x c =代入双曲线方程得到2,b A c a ⎛⎫⎪⎝⎭，将A 的坐标代入抛物线方程可得,422222444b pc c a b a===+，即4224440a a b b +-=，解得ba= 222222b c a a a -∴==+)22231c a=+=解得1ce a==，故选A . 【点睛】本题主要考查双曲线性质与双曲线的离心率，是中档题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．8．下列命题中真命题的个数是( )ABC V ①中，60B =o 是ABC V 的三内角A ，B ，C 成等差数列的充要条件；②若“22am bm <，则a b <”的逆命题为真命题；6xy ≠③是2x ≠或3y ≠充分不必要条件；lg lg x y >④A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】在①中ABC V 中，60B ABC =⇔o V 的三内角A ，B ，C 成等差数列；在②中，当0m =时不成立；在③中，6xy ≠是2x ≠或3y ≠的逆否命题是真命题；在④中，lg lg x y >【详解】ABC V ①中，60B ABC =⇔o V 的三内角A ，B ，C 成等差数列，故①正确；②若“22am bm <，则a b <”的逆命题“若a b <，则22am bm <”，当0m =时不成立，故若“22am bm <，则a b <”的逆命题为假命题，故②错误；6xy ≠Q ③是2x ≠或3y ≠的逆否命题是：若2x =且3x =，则6xy =，真命题，62xy x ∴≠⇒≠或3y ≠，6xy ∴≠是2x ≠或3y ≠充分不必要条件，故③正确；()lg f x x =④在定义域0x >范围内是单增函数：lg lg x y >可得到0x y >> ()g x 0x ≥>0x y >≥可见，lg lg x y >⇒>0y =lg lg x y >，lg0Q 不存在，lg lg x y ∴>④错误．故选B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意充分条件、必要条件、充要条件和四种命题的合理运用．9．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排两名学生，那么互不相同的安排方法共有（ ） A ．252种 B ．112种C ．70种D ．56种【答案】B【解析】因为7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，所以可以考虑先把7名学生分成2组，再把两组学生安排到两间不同的宿舍，分组时考虑到每个宿舍至少安排2名学生，所以可按一组2人，另一组5人分，也可按照一组3人，令一组4人分，再把分好组的学生安排到两间宿舍，就是两组的全排列． 【详解】分两步去做：第一步，先把学生分成两组，有两种分组方法，一种是：一组2人，另一组5人，有C 72＝21中分法； 另一种是：一组3人，另一组4人，有C 73＝35中分法， ∴共有21+35＝56种分组法．第二步，把两组学生分到甲、乙两间宿舍，共有A 22＝2种分配方法， 最后，把两步方法数相乘，共有（C 72+C 73）A 22＝（21+35）×2＝112种方法， 故选B ． 【点睛】本题主要考查了排列与组合相结合的排列问题，做题时要分清是分步还是分类，属于中档题．10．设222cos 4a x dx πππ-⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰，则二项式61()a x x -展开式中含2x 项的系数是（ ）A ．B ．193C ．D ．7【答案】A【解析】试题分析：由于()222222222cos cos sin cos sin |24a x dx x x dx xdx x πππππππππ----⎛⎫=+=-=== ⎪⎝⎭⎰⎰⎰则6()a x x-含2x 项的系数为,故选择A.【考点】积分运算、二项式定理 11．已知函数()f x 的定义域为R ，'()f x 为()f x 的导函数，且'()()2x f x f x xe -+=，若(0)1f =，则函数'()()f x f x 的取值范围为（ ） A ．[1,0]- B ．[2,0]-C ．[0,1]D ．[0,2]【答案】B【解析】分析：根据题意求得函数()f x 的解析式，进而得到()()'f x f x 的解析式，然后根据函数的特征求得最值．详解：由()()'2xf x f x xe -+=，得()()'2xxe f x e f x x +=，∴()'2x e f x x ⎡⎤=⎣⎦， 设()2xe f x x c =+（c 为常数），∵()01f =， ∴1c =，∴()21xx f x e +=，∴()()22221(1)x xxxxe x e x f x e e ---==-'， ∴()()222'(1)2111f x x x f x x x -=-=-+++， ∴当x=0时，()()'1f x f x =-；当0x ≠时，()()'211f x f x x x=-++，故当0x >时，12x x+≥，当1x =时等号成立，此时21101x x -<-+≤+； 当0x <时，12x x+≤-，当1x =-时等号成立，此时22111x x-≤-+<-+． 综上可得22101x x-≤-+≤+， 即函数()()'f x f x 的取值范围为[]2,0-．故选B ．点睛：解答本题时注意从所给出的条件出发，并结合导数的运算法则利用构造法求出函数()f x的解析式；求最值时要结合函数解析式的特征，选择基本不等式求解，求解时注意应用不等式的条件，确保等号能成立．12．已知O为直角坐标系的坐标原点，双曲线2222:1(0)x yC b aa b-=>>上有一点)P m（m>0），点P在轴上的射影恰好是双曲线C的右焦点，过点P作双曲线C 两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为A,B，若平行四边形PAOB的面积为1，则双曲线的标准方程是（）A．2214yx-=B．22123x y-=C．2216yx-=D．2213722x y-=【答案】A【解析】设平行线方程为(by m xa-=-，由({by xaby m xa==--，解得Ax=OA=P到直线by xa=的距离1d==，化简得：222512b a mab-=，又22222222515,2mb a m a b aba b-=⇒-=∴=，又c=1,2a b==，所以方程是2214yx-=，故选A.【方法点晴】本题主要考查双曲线的简单性质、双曲线的渐近线及待定系数法求双曲线方程，属于中档题.求解与双曲线性质有关的问题时要结合图形进行分析，既使不画出图形，思考时也要联想到图形，当涉及顶点、焦点、实轴、虚轴、渐近线等双曲线的基本量时，要理清它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系.二、填空题13．设,x y满足约束条件2121x yx yx y+≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩，则32z x y=-的最小值为__________．【答案】-5【解析】由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案． 【详解】由x ，y 满足约束条件2121,0x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩作出可行域如图，由图可知，目标函数的最优解为A ， 联立2121x y x y +=⎧⎨+=-⎩，解得A （﹣1，1）．∴z ＝3x ﹣2y 的最小值为﹣3×1﹣2×1＝﹣5． 故答案为：﹣5．【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14．()221cos x dx ππ-+=⎰ ．【答案】2π+【解析】试题分析：()()22221cos sin |2x dx x x πππππ--+=+=+⎰【考点】定积分15．已知函数()cos()(0,0,0)2f x A x A πωϕωϕ=+>><<的图象过点（0，12），最小正周期为23π ，且最小值为－1.若[,]6x m π∈ ，()f x 的值域是3[1,2-- ，则m的取值范围是_____. 【答案】25,918ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】根据题意易求1A =,3ω=，由图象过（0，12 ），02πϕ<<，可得3πϕ=，从而得函数解析式，由,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦可得533633x m πππ≤+≤+，由余弦函数性质及值域，可得7336m πππ≤+≤，求解即可. 【详解】由函数最小值为－1，0A >，得1A =，因为最小正周期为23π，所以2323πωπ==，故()cos(3)f x x ϕ=+，又图象过点（0，12 ）,所以1cos ,2ϕ= 而02πϕ<<，所以=3πϕ，从而()cos(3)3f x x π=+，由,6x m π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，可得533633x m πππ≤+≤+．因为5()cos66f ππ==,且7cos 1,cos 6ππ=-=， 由余弦函数的图象与性质可知：7336m πππ≤+≤，解得25918m ππ≤≤，故填25[,]918ππ. 【点睛】本题主要考查了余弦型函数的解析式，图象与性质，重点考查了单调性，属于中档题. 16．数列{}n a 是首项10a ≠，公差为d 的等差数列，其前n 和为n S ，存在非零实数t ，对任意*n N ∈有(1)n n n S a n t a =+-⋅恒成立，则t 的值为__________． 【答案】1或12【解析】分类讨论0d =和0d ≠两种情况即可求得t 的值. 【详解】当1n =时，()1n n n S a n t a =+-⋅恒成立，当2n ≥时：当数列的公差0d =时，()1n n n S a n t a =+-⋅即()1111na a n t a =+-⋅，据此可得()()1111n a n t a -=-⋅⋅，则1t =，当数列的公差0d ≠时，由题意有：()1n n n S a n t a =+-⋅，()1112n n n S a n t a ---=+-⋅， 两式作差可得：()()1112n n n n n a a a n ta n ta --=-+---， 整理可得：()()()1111n n n n t a a t a ---⋅⋅-=-，即：()111n ta n d t-=-⋅-，① 则1n ta n d t=⋅-，② ②-①整理可得：11n n ta a d d t--==-恒成立， 由于0d ≠，故11tt =-，据此可得：12t =， 综上可得：t 的值为1或12. 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，数列的前n 项和与通项公式的关系，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题17．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足11n n S a +=-，且11a =，数列{}n b 中，11b =，59b =，112(2)n n n b b b n +-=+≥.（1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （2）若n n n c a b =⋅，求{}n c 的前n 项的和n T .【答案】（1）12n n a -=,21n b n =-；（2）()2323n nT n =-⋅+.【解析】（1）通过11n n S a +=-，当2n ≥时，可以求出1n S -的表达式，两式相减，得到12n n a a +=，这样可以判断出数列{}n a 是等比数列，再求出数列{}n a 的通项公式.（2）观察n n n c a b =⋅，它是一个等差数列乘以一个等比数列，这样可以采用错位相减法为求{}n c 的前n 项的和n T ． 【详解】（1）由11n n S a +=-得11n n S a -=-（2n ≥）．两式相减得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=（2n ≥）．又121S a =-得2122a a ==，所以数列{}n a 是等比数列，公比为2，首项为1，故12n n a -=．由()1122n n n b b b n +-=+≥，可知n b 是等差数列，公差5124b b d -==， 则21n b n =-．（2）()1212n n n n c a b n -=⋅=-⋅，()0121123252212n n T n L -=⋅+⋅+⋅++-⋅ ①， ()()12312123252232212n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅+-⋅L ②．①-②得()()()()121221222221212212323212nn nn nn T n n n ---=+⋅+++--⋅=+⋅--⋅=---⋅-L故()2323nn T n =-⋅+．【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式的求法、用错位相减法求数列和的方法. 18．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是菱形，120ADC =∠︒，AD 的中点M 是顶点P 在底面ABCD 的射影，N 是PC 的中点．（1）求证：平面MPB ⊥平面PBC ；（2）若MP MC =，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值． 【答案】(1)见解析（226【解析】【详解】试题分析：(1)根据菱形性质得MB ⊥BC ，再根据射影定义得PM ⊥平面ABCD ，即得PM ⊥BC ，由线面垂直判定定理得BC ⊥平面PMB ，最后根据面面垂直判定定理得结论，(2)先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，根据方程组解平面PMC 法向量，根据向量数量积求向量夹角，最后根据线面角与向量夹角互余关系求直线BN与平面PMC所成角的正弦值.试题解析: (1)证明∵四边形ABCD是菱形，∠ADC＝120°，且M是AD的中点，∴MB⊥AD，∴MB⊥BC.又∵P在底面ABCD的射影M是AD的中点，∴PM⊥平面ABCD，又∵BC⊂平面ABCD，∴PM⊥BC，而PM∩MB＝M，PM，MB⊂平面PMB，∴BC⊥平面PMB，又BC⊂平面PBC，∴平面MPB⊥平面PBC.(2)解法一过点B作BH⊥MC，连接HN，∵PM⊥平面ABCD，BH⊂平面ABCD，∴BH⊥PM，又∵PM，MC⊂平面PMC，PM∩MC＝M，∴BH⊥平面PMC，∴HN为直线BN在平面PMC上的射影，∴∠BNH为直线BN与平面PMC所成的角，在菱形ABCD中，设AB＝2a，则MB＝AB·sin 60°＝a，MC＝＝a.又由(1)知MB⊥BC，∴在△MBC中，BH＝＝a，由(1)知BC⊥平面PMB，PB⊂平面PMB，∴PB⊥BC，∴BN＝PC＝a，∴sin∠BNH＝＝＝.法二由(1)知MA，MB，MP两两互相垂直，以M为坐标原点，以MA，MB，MP所在直线为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系M－xyz，不妨设MA＝1，则M (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，，0)，P (0，0，)，C (－2，，0)，∵N 是PC 的中点，∴N，设平面PMC 的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 又∵＝(0，0，)，＝(－2，，0)，∴即令y 0＝1，则n ＝，|n |＝， 又∵＝，||＝，|cos 〈，n 〉|＝＝.所以，直线BN 与平面PMC 所成角的正弦值为.19．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，点P 是椭圆C 上的一个动点，且12PF F ∆3. （1）求椭圆C 的方程；（2）设斜率不为零的直线2PF 与椭圆C 的另一个交点为Q ，且PQ 的垂直平分线交y 轴于点1(0,)8T ，求直线PQ 的斜率.【答案】（1）22143x y +=（2）12或32【解析】（1）由题得到关于a,b,c 的方程，解方程组即得椭圆的标准方程；（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，线段PQ 的中点为()00,N x y ，根据1TN PQ k k ⋅=-，得222314381443k k k k k --+⋅=-+，解方程即得直线PQ 的斜率.【详解】(1)因为椭圆离心率为12，当P 为C 的短轴顶点时，12PF F △.所以22212122c a a b c c b ⎧=⎪⎪=+⎨⎪⎪⨯⨯=⎩，所以21a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，故椭圆C 的方程为:22143x y +=.（2）设直线PQ 的方程为()1y k x =-，当0k ≠时，()1y k x =-代入22143x y +=，得:()22223484120k x k x k +-+-=.设()()1122,,,P x y Q x y ，线段PQ 的中点为()00,N x y ，212024234x x k x k+==+，()1200231234y y k y k x k +-==-=+ 即22243,3434k k N k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭因为TN PQ ⊥，则1TN PQ k k ⋅=-，所以222314381443k k k k k --+⋅=-+，化简得24830k k -+=，解得12k =或32k =，即直线PQ 的斜率为12或32.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20．已知函数()2xe xf x a =-.（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥；（2）若()f x 在()0+∞，有两个零点，求a 的取值范围. 【答案】(1)证明见解析.(2) 2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.【解析】【详解】分析：（1）只要求得()f x 在0x ≥时的最小值即可证；（2）()0f x =在(0,)+∞上有两个不等实根，可转化为2x e a x =在(0,)+∞上有两个不等实根，这样只要研究函数2()xe h x x=的单调性与极值，由直线y a =与()y h x =的图象有两个交点可得a 的范围．详解：（1）证明：当1a =时，函数()2xf x e x =-.则()'2xf x e x =-，令()2xg x e x =-，则()'2xg x e =-，令()'0g x =，得ln2x =.当()0,ln2∈时，()'0h x <，当()ln2,∈+∞时，()'0h x >()()(ln 2)22ln 200g x g f x '∴≥=->∴> ()f x \在[)0,+∞单调递增，()()01f x f ∴≥=（2）解：()f x 在()0,+?有两个零点⇔方程20xeax -=在()0,+?有两个根，⇔ 2xe a x=在()0,+?有两个根，即函数y a =与()2x eG x x=的图像在()0,+?有两个交点．()()32'x e x G x x-=，当()0,2x ∈时，()'0G x <，()G x 在()0,2递增 当()2,x ∈+∞时，()'0G x >，()G x 在()2,+?递增所以()G x 最小值为()224e G =，当0x →时，()G x →+∞，当x →+∞时，()G x →+∞，()f x \在()0,+?有两个零点时，a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．点睛：本题考查用导数证明不等式，考查函数零点问题．用导数证明不等式可转化这求函数的最值问题，函数零点问题可转化为直线与函数图象交点问题，这可用分离参数法变形，然后再研究函数的单调性与极值，从而得图象的大致趋势．21．11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地-安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛（每人各投一次为一轮），在相同的条件下，每轮甲乙两人在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得-1分；两人都命中或都未命中，两人均得0分，设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响. （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率.①求,,p p p 123；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中,,p p p 123的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式.【答案】（1）分布列见解析；（2）①1231743,,636216p p p ===；②116177i i i p p p +-=+，11156n np ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 【解析】（1）经过1轮投球，甲的得分X 的取值为1,0,1-，记一轮投球，甲投中为事件A ，乙投中为事件B ，,A B 相互独立，计算概率后可得分布列；（2）由（1）得1p ，由两轮的得分可计算出2p ，计算3p 时可先计算出经过2轮后甲的得分Y 的分布列（Y 的取值为2,1,0,1,2--），然后结合X 的分布列和Y 的分布可计算3p ，由00p =，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，得两个方程，解得,a c ，从而得到数列{}n p 的递推式，变形后得1{}n n p p --是等比数列，由等比数列通项公式得1n n p p --，然后用累加法可求得n p ． 【详解】（1）记一轮投球，甲命中为事件A ，乙命中为事件B ，,A B 相互独立，由题意1()2P A =，2()3P B =，甲的得分X 的取值为1,0,1-， (1)()P X P AB =-=121()()(1)233P A P B ==-⨯=，(0)()()()()()()P X P AB P AB P A P B P A P B ==+=+12121(1)(1)23232=⨯+-⨯-=， 121(1)()()()(1)236P X P AB P A P B ====⨯-=，∴X 的分布列为：（2）由（1）116p =， 2(0)(1)(1)((0)(1))p P X P X P X P X P X ==⋅=+==+=111117()2662636=⨯+⨯+=， 同理，经过2轮投球，甲的得分Y 取值2,1,0,1,2--： 记(1)P X x =-=，(0)P X y ==，(1)P X z ==，则2(2)P Y x =-=，(1)P Y xy yx =-=+，2(0)P Y xz zx y ==++，(1)P Y yz zy ==+，2(2)P Y z ==由此得甲的得分Y 的分布列为：∴3111111131143()()3362636636636216p =⨯+⨯++⨯++=， ∵11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，00p =，∴1212321p ap bp p ap bp cp =+⎧⎨=++⎩，71136664371721636636a b a b c ⎧+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，∴6(1)717b a b c -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，代入11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠得：116177i i i p p p +-=+， ∴111()6i i i i p p p p +--=-， ∴数列1{}n n p p --是等比数列，公比为16q =，首项为1016p p -=， ∴11()6nn n p p --=．∴11210()()()n n n n n p p p p p p p ---=-+-++-L 111111()()(1)66656n n n -=+++=-L ． 【点睛】本题考查随机变量的概率分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查由数列的递推式求通项公式，考查学生的转化与化归思想，本题难点在于求概率分布列，特别是经过2轮投球后甲的得分的概率分布列，这里可用列举法写出各种可能，然后由独立事件的概率公式计算出概率．22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为2cos 22sin x y αα⎧=⎪⎨=+⎪⎩，（α为参数），直线2C的方程为y =，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线1C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线2C 与曲线1C 交于P ，Q 两点，求OP OQ ⋅的值. 【答案】（Ⅰ）2cos 4sin 30ρθρθ--+=（Ⅱ）3【解析】（Ⅰ）先把曲线1C 的参数方程转化为普通方程，进一步转化为极坐标方程． （Ⅱ）把直线方程转化为极坐标方程，与曲线1C 的极坐标方程联立，根据根与系数的关系，求得结果． 【详解】（Ⅰ）曲线1C 的普通 方程为(()2224x y -+-=，则1C 的极坐标方程为2cos 4sin 30ρθρθ--+= （Ⅱ）设()1P ρθ，，()2Q ρθ，，将6πθ=代入2cos ρθ- 4sin 30ρθ-+=，得2530ρρ-+=所以123ρρ=，所以3OP OQ ⋅=. 【点睛】本题考查的知识要点：直角坐标方程和极坐标方程的转化，参数方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根的应用，属于基础题型． 23．已知0,0a b >>，2 3.a b +=证明：（1）2295a b +≥； （2）33814.16a b ab +≤ 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）利用22a b +的几何意义证明，22a b +表示点(,)P A b 到原点O 的距离的平方，距离的最小值是原点到直线23a b +=的距离，由此可证；（2）先求出ab 的范围，然后334a b ab +可化为关于ab 的二次函数形式，再由二次函数的性质可得最大值，从而证明结论． 【详解】证明：（1）22a b +表示点(,)P A b 到原点O 的距离的平方，而原点到直线23a b +=的距离为35d ==，∴22295a b d +≥=；（2）∵0,0a b >>，∴32a b =+≥908ab <≤， 3322224(4)[(2)4](94)94()a b ab ab a b ab a b ab ab ab ab ab +=+=+-=-=-29814()816ab =--+，易知98ab =时，29814()816ab --+取得最大值8116．∴3381416a b ab +≤． 【点睛】本题考查不等式的证明，证明方法与一般证明不等式的方法不同，第（1）小题利用二次式的几何意义，表示两点距离的平方，由此得证法，第（2）小题由已知条件变形后代数式化为关于ab的二次函数，由二次函数性质证明．这两种方法具有一定的局限性，注意体会．第 21 页共 21 页。

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f(x)的图像的对称中心是（）A. (0, 0)B. (1, 0)C. (0, -3)D. (1, -3)2. 在三角形ABC中，AB=AC，角BAC=60°，则角ABC的度数是（）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°3. 已知数列{an}的通项公式为an = 3n - 2，则数列{an}的前10项和S10等于（）A. 145B. 150C. 155D. 1604. 下列命题中正确的是（）A. 函数y = log2(x - 1)的图像在y轴上对称B. 函数y = |x|的图像关于y轴对称C. 函数y = x^2的图像关于x轴对称D. 函数y = √x的图像关于y轴对称5. 已知复数z = 1 + i，则|z|^2等于（）A. 2B. 4C. 6D. 86. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于直线y = x的对称点Q的坐标是（）A. (3, 2)B. (2, 3)C. (1, 4)D. (4, 1)7. 若不等式x^2 - 4x + 3 > 0的解集为A，则A的补集是（）A. x ≤ 1 或x ≥ 3B. x < 1 或 x > 3C. x ≤ 3 或x ≥ 1D. x > 1 或 x < 38. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项a10等于（）A. 29B. 32C. 35D. 389. 在平面直角坐标系中，直线y = 2x - 1与圆x^2 + y^2 = 4相交于两点A、B，则弦AB的中点坐标是（）A. (1, 1)B. (1, -1)C. (-1, 1)D. (-1, -1)10. 已知函数f(x) = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(1, -2)，则下列选项中正确的是（）A. a > 0，b = 2，c = -2B. a > 0，b = -2，c = 2C. a < 0，b = 2，c = 2D. a < 0，b = -2，c = -2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 函数y = |x - 1| + 2的最小值是__________。

2025届河北省保定市定州中学数学高三第一学期期末统考试题请考生注意：1．请用2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。

写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．如图，在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别为棱 AB ，BC ，1CC 的中点，M 为棱AD 的中点，设P ，Q 为底面ABCD 内的两个动点，满足1//D P 平面EFG ，117DQ =，则PM PQ +的最小值为（ ）A ．321-B ．322-C ．251-D ．252-2．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（ ）A ．B ．C ．D ．3．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．函数()2ln xf x x x=-的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．5．设i 是虚数单位，复数1ii+=（ ） A ．1i -+B ．-1i -C ．1i +D ．1i -6．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点P 为抛物线上任意一点KPF ∠的平分线与x 轴交于(,0)m ，则m 的最大值为( )A ．322-B ．233-C ．23-D ．22-7．若复数z 满足(23i)13i z +=，则z =（ ） A ．32i -+ B ．32i +C ．32i --D ．32i -8．双曲线的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r 等于( )A ．B ．2C ．3D ．69．如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )A ．23B ．43C ．233D ．43310．已知b a bc a 0.2121()2,log 0.2,===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．a b c <<B ．c a b <<C ．a c b <<D ．b c a <<11．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线24y x =上任意一点，M 是线段PF 上的点，且PM MF =，则直线OM 的斜率的最大值为（ ） A ．1B ．12C ．22D ．5212．已知函数()2sin()(0,0)3f x x A ωωπ=->>，将函数()f x 的图象向左平移3π个单位长度，得到函数()g x 的图象，若函数()g x 的图象的一条对称轴是6x π=，则ω的最小值为 A ．16B ．23 C ．53D ．56二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

河北省保定市定州实验中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知O为原点，双曲线﹣y2=1上有一点P，过P作两条渐近线的平行线，交点分别为A，B，平行四边形OBPA的面积为1，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．参考答案：C考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出|OA|，P点到OA的距离，利用平行四边形OBPA的面积为1，求出a，可得c，即可求出双曲线的离心率．解答：解：渐近线方程是：x±ay=0，设P（m，n）是双曲线上任一点，过P平行于OB：x+ay=0的方程是：x+ay﹣m﹣an=0与OA方程：x﹣ay=0交点是A（，），|OA|=||，P点到OA的距离是：d=∵|OA|?d=1，∴||?=1，∵，∴a=2，∴c=，∴e=．故选：C．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．2. 一个几何体的三视图如图所示，则其外接球的表面积是（）A. B. C. D.参考答案：B略3. 在四面体中，底面，，，点为的重心，若四面体的外接球的表面积为，则（）A．B．2 C．D．参考答案：B4. 从抛物线图像上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM|=5，设抛物线焦点为F，则△MPF的面积为（）A.12B.10C.8D.4参考答案：B由，得，故三角形以PM为底边，高为4，面积为10；5. 某程序框图如下，当E0.96时，则输出的（▲）A. 20B. 22C. 24D. 25参考答案：C略6. (1－x)10展开式中x3项的系数为()A．－720 B．720 C．120 D．－120参考答案：D略7. 要得到函数的图像，只需将函数的图像（）A.向左平移个单位B. 向右平移个单位C. 向左平移个单位D. 向右平移个单位参考答案：A略8. 已知集合，则（）A． B． C． D．参考答案：A考点：集合运算【方法点睛】1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合．2．求集合的交、并、补时，一般先化简集合，再由交、并、补的定义求解．3．在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn图和数轴使抽象问题直观化．一般地，集合元素离散时用Venn图表示；集合元素连续时用数轴表示，用数轴表示时要注意端点值的取舍．9. 若函数y=2图象上存在点满足约束条件,则实数的最大值为（）A． B．1 C． D．2参考答案：B10. 设U为全集，对集合X，Y，定义运算“”，X Y＝C U (X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则( X Y )Z＝（A）(X∪Y)∩C U Z（B）(X∩Y)∪C U Z（C）(C U X∪C U Y )∩Z（D）(C U X∩C U Y )∪Z参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数.给出函数下列性质：⑴函数的定义域和值域均为；⑵函数的图像关于原点成中心对称；⑶函数在定义域上单调递增；(4)、为函数图象上任意不同两点，则.请写出所有关于函数性质正确描述的序号.参考答案：（2）考点：绝对值函数的图象与性质.【易错点睛】先求定义域，根据定义域化简函数解析式；根据函数的单调性、奇偶性的定义判断单调性、奇偶性、研究长度；解决本题的关键是求出定义域后化简解析式，要是直接研究其性质会很麻烦.函数的性质是高考的一重要考点，以选择题的形式出现也是常见现象，要求我们对基础函数的性质熟练，对图象熟练.12. 设，则函数的最大值是__________。

一、选择题1. 答案：C解析：由题意知，a > b > 0，所以a^2 > b^2，故选C。

2. 答案：A解析：利用排除法，将各选项代入原方程检验，发现只有A选项符合题意，故选A。

3. 答案：D解析：根据三角函数的性质，当x=π/2时，sinx=1，cosx=0，tanx不存在，故选D。

4. 答案：B解析：由题意知，函数f(x)在区间[0,1]上单调递增，故选B。

5. 答案：C解析：利用排除法，将各选项代入原方程检验，发现只有C选项符合题意，故选C。

二、填空题6. 答案：2π解析：由题意知，圆的半径为2，圆心角为π/3，故圆的周长为2π×2=4π，答案为2π。

7. 答案：1/3解析：由题意知，等差数列的前三项分别为1，3，5，所以公差为2，根据等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d，可得a7=1+(7-1)×2=13，故答案为1/3。

8. 答案：3解析：由题意知，三角形的三边长分别为3，4，5，根据勾股定理，可知该三角形为直角三角形，故答案为3。

9. 答案：-1解析：由题意知，函数f(x)在区间(-∞，0)上单调递减，在区间(0，+∞)上单调递增，故f(x)在x=0处取得最小值，即f(0)=-1，故答案为-1。

10. 答案：5解析：由题意知，函数f(x)的图像关于y轴对称，且在x=1处取得最大值，故答案为5。

三、解答题11. 解答：（1）根据题意，设a=3，b=4，c=5，由余弦定理可得cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=(4^2+5^2-3^2)/(2×4×5)=16/40=2/5；（2）由正弦定理可得sinB=(asinA)/(c)=(3×2/5)/(5)=6/25；（3）由题意知，三角形ABC为直角三角形，故sinC=1，cosC=0。

12. 解答：（1）设函数f(x)在区间[0,1]上的最大值为M，最小值为m，由题意知，f(x)在区间[0,1]上单调递增，故M=f(1)=2，m=f(0)=0；（2）由题意知，函数g(x)在区间[0,1]上的最大值为M=2，最小值为m=0，故g(x)在区间[0,1]上的值域为[0,2]。

河北省2020版高三上学期期末数学试卷（理科）（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2019·贵州模拟) 已知，则（）A . -2B . 0C . 1D . 22. （2分）(2018·遵义模拟) 若，则（）A .B . 2C .D .3. （2分） (2019高二下·长春期末) 已知，则“ ”是“ ”的（）A . 充分不必要条件B . 必要不充分条件C . 充要条件D . 既不充分也不必要条件4. （2分） (2016高三上·呼和浩特期中) 已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn ，已知S4﹣S1=7a2 ， a3=5，则Sn=（）A .B .C .D .5. （2分）(2019·随州模拟) 从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，若抽得的第一张卡片上的数小于第二张卡片上的数的概率为 ,抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为,抽得的第一张卡片上的数等于第二张卡片上的数的概率为,则有（）A .B .C .D . = =6. （2分）(2016·运城模拟) 运行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A . ﹣3B . ﹣2C . 4D . 87. （2分）已知斜率为2的直线双曲线交两点，若点是的中点，则的离心率等于（）A .B . 2C .D .8. （2分）(2018·百色模拟) 已知某三棱柱的三视图如图所示，那么该几何体的表面积为（）A . 2B .C .D .9. （2分）为了得到函数的图像，只要把函数图象上所有的点（）A . 向左平行移动个单位长度B . 向右平行移动个单位C . 向左平行移动个单位长度D . 向右平行移动个单位10. （2分） (2018高二下·双流期末) 为双曲线：上一点，，分别为双曲线的左、右焦点，，则的值为（）A . 6B . 9C . 18D . 3611. （2分）已知正△ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB 的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（）A .B . 2πC .D . 3π12. （2分）对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（）A . 2B . 1C . 0D . ﹣1二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）已知向量 =（1，2k）， =（1+k，1），若⊥ 则实数k等于________．14. （1分）在（1+x+ )10的展开式中，x2项的系数为________ （结果用数值表示）．15. （1分）(2019·恩施模拟) 若满足约束条件，则的最小值为________．16. （1分） (2017高三下·长宁开学考) 等比数列{an}的首项a1＞0，公比为q（|q|＜1），满足a2+a3+…+an+…≤ ，则公比q的取值范围是________．三、解答题 (共8题；共65分)17. （5分） (2019高二上·河南月考) 在中，角，，对应的边分别是，，，已知 .（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，分别为边上的高和中线，，，求的值.18. （10分）为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，对本班50人进行了问卷调查得到了如下列表：喜爱打篮球不喜爱打篮球合计男生5女生10合计50已知在全班50人中随机抽取1人，抽到喜爱打篮球的学生的概率为．下面的临界值表供参考：P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828（参考公式：K2= ，其中n=a+b+c+d）（1）请将上表补充完整（不用写计算过程）；（2）请问有多大的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由．19. （10分）(2020·吉林模拟) 在直四棱柱中，已知，， // ，为上一点，且．（1）求证： //平面；（2）求点到平面的距离．20. （10分）(2020·柳州模拟) 已知圆：经过椭圆：的左右焦点，且与椭圆在第一象限的交点为A，且三点共线，直线l交椭圆C于M， N两点，且（）.（1）求椭圆C的方程；（2）当三角形的面积取得最大值时，求直线的方程.21. （10分） (2017高二下·肇庆期末) 已知函数f（x）=ax3+bx在x=2处取得极值为﹣16（1）求a，b的值；（2）若f（x）的单调区间．22. （5分）如图所示，PA为圆O的切线，A为切点，PO交圆O于B，C两点，PA=20，PB=10，∠BAC的角平分线与BC和圆O分别交于点D和E．（1）求证：．（2）求AD•AE的值．23. （10分） (2019高三上·长沙月考) 曲线的参数方程为（为参数），曲线的直角坐标方程为 .以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程和曲线的极坐标方程；（2）若直线与曲线，的交点分别为，（，异于原点），当斜率时，求的取值范围.24. （5分）已知函数f（x）=|x﹣a|，其中a＞1．（1）当a=3时，求不等式f（x）≥4﹣|x﹣4|的解集；（2）若函数h（x）=f（2x+a）﹣2f（x）的图象与x、y轴围成的三角形面积大于a+4，求a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)答案：1-1、考点：解析：答案：2-1、考点：解析：答案：3-1、考点：解析：答案：4-1、考点：解析：答案：5-1、考点：解析：答案：6-1、考点：解析：答案：7-1、考点：解析：答案：8-1、考点：解析：答案：9-1、考点：解析：答案：10-1、考点：解析：答案：11-1、考点：解析：答案：12-1、考点：解析：二、填空题 (共4题；共4分)答案：13-1、考点：解析：答案：14-1、考点：解析：答案：15-1、考点：解析：答案：16-1、考点：解析：三、解答题 (共8题；共65分)答案：17-1、考点：解析：答案：18-1、答案：18-2、考点：解析：答案：19-1、答案：19-2、考点：解析：答案：20-1、答案：20-2、考点：解析：答案：21-1、答案：21-2、考点：解析：答案：22-1、考点：解析：答案：23-1、。

【关键字】数学高四第一学期第2次考试数学试题一、选择题1．已知函数为增函数，则的取值范围是（）2．定义为个正数的“均倒数”，若已知数列的前项的“均倒数”为，又，则（）A. B. C. D.3．若关于方程的一个实根小于-1，另一个实根大于1，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.4．直角梯形，满足,现将其沿折叠成三棱锥，当三棱锥体积取最大值时其表面积为A. B. C. D.5．已知定义域为R的函数f （x）的导函数为f'（x），且满足f'（x）﹣（x）＞4，若f （0）=﹣1，则不等式f（x）+2＞e2x的解集为（）A. （0，+∞）B. （﹣1，+∞）C. （﹣∞，0）D. （﹣∞，﹣1）6．设函数在上存在导数，，有，在上，若，则实数的取值范围为（）A. B. C. D.7．已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，平面，且，则球的表面积为（）A. B. C. D.8．已知是球的球面上两点，，为该球面上的动点，若三棱锥体积的最大值为，则球的体积为（）A. B. C. D.9．已知函数的两个零点满足，集合，则（）A. ∀m∈A，都有f(m＋3)>0B. ∀m∈A，都有f(m＋3)<. ∃m0∈A，使得f(m0＋3)＝0 D. ∃m0∈A，使得f(m0＋3)<010．已知是实数，关于的方程有4个不同的实数根，则的取值范围为（）A. B. C. D.11．已知若存在互不相同的四个实数0＜a＜b＜c＜d满足f（a）＝f（b）＝f（c）＝f（d），则ab＋c＋2d的取值范围是（）A. （，）B. （，15）C. [，15]D. （，15）12．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若（），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）A. [，]B. [，]C. [，]D. [，]二、填空题13．为圆上任意一点，异于点的定点满足为常数，则点的坐标为______．14．已知函数有且仅有2个零点，则的范围是________．15．在三棱锥中，，，，为的中点，过作的垂线，交、分别于、，若，则三棱锥体积的最大值为__________．16．已知为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的一条渐近线垂直，与双曲线的左右两支分别交两点，且，双曲线的渐近线方程为__________．三、解答题17．已知函数（, 是自然对数的底数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.18．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆G的中心为坐标原点，左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．（1）求椭圆G 的标准方程；（2）已知直线l1：y=kx+m1与椭圆G交于A，B两点，直线l2：y=kx+m2（m1≠m2）与椭圆G交于C，D两点，且|AB|=|CD|，如图所示．①证明：m1+m2=0；②求四边形ABCD 的面积S 的最大值．19．已知函数．（I）讨论函数的单调区间；（II）当时，若函数在区间上的最大值为3，求的取值范围．20．已知数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，求数列的前项和.参考答案ACDDA BCDAA11．D12．C 13． 14．或 15．33 16．512y x +=±17．（1）2y x =（2）12a ≥（Ⅰ）当1a =时，有()()224)2x f x x e x =-++（， 则()()'22)24'0242xf x x e x f =-++⇒=-+=（．又因为()0440f =-+=，∴曲线()y f x =在点()()0,0P f 处的切线方程为()020y x -=-，即2y x = （Ⅱ）因为()()'22)22xf x x e a x =-++（，令()()()'22)22xg x f x x e a x ==-++（有()'22x g x x e a =⋅+（0x ≥）且函数()'y g x =在[)0,x ∈+∞上单调递增当20a ≥时，有()'0g x ≥，此时函数()'y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增，则()()''042f x f a ≥=-（ⅰ）若420a -≥即12a ≥时，有函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上单调递增， 则()()min 044f x f a ==-恒成立； （ⅱ）若420a -<即102a ≤<时，则在[)0,x ∈+∞存在()0'0f x =， 此时函数()y f x =在()00,x x ∈ 上单调递减， ()0,x x ∈+∞上单调递增且()044f a =-，所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；当20a <时，有()'020g a =<，则在[)0,x ∈+∞存在()1'0g x =，此时()10,x x ∈上单调递减， ()1,x x ∈+∞上单调递增所以函数()'y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增． 又()'0240f a =-+<，则函数()y f x =在[)0,x ∈+∞上先减后增且()044f a =-．所以不等式不可能恒成立，故不符合题意；综上所述，实数a的取值范围为12 a≥18．（1）2212xy+=（2）①见解析②22（1）设椭圆G的方程为（a＞b＞0）∵左焦点为F1（﹣1，0），离心率e=．∴c=1，a=，b2=a2﹣c2=1椭圆G 的标准方程为：．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4）①证明：由消去y得（1+2k2）x2+4km1x+2m12﹣2=0，x1+x2=，x1x2=；|AB|==2；同理|CD|=2，由|AB|=|CD|得2=2，∵m1≠m2，∴m1+m2=0②四边形ABCD 是平行四边形，设AB，CD间的距离d=∵m1+m2=0，∴∴s=|AB|×d=2×=.所以当2k 2+1=2m 12时，四边形ABCD 的面积S 的最大值为219．（Ⅰ）当1a <-时， ()f x 在()(),1,a -∞-+∞和内单调递增， ()f x 在()1,a -内单调递减；当1a =-时， ()f x 在(),-∞+∞单调递增；当1a >-时， ()f x 在()(),1,a -∞-+∞和内单调递增，()f x 在(),1a -内单调递减；（Ⅱ）即m 的取值范围是3]-∞-（，．（I ）()()()2()=3+31331f x x a x a x x a --=-+'． 1分令()0f x '=得121,x x a ==-． 2分（i ）当1a -=，即1a =-时， ()2()=310f x x '-≥， ()f x 在(),-∞+∞单调递增． 3分（ii ）当1a -<，即1a >-时，当21x x x x 或时()0f x '>， ()f x 在()()21,,x x -∞+∞和内单调递增； 当21x x x <<时()0f x '<， ()f x 在()21,x x 内单调递减． 4分 （iii ）当1a ->，即1a <-时，当12x x x x 或时()0f x '>， ()f x 在()()12,,x x -∞+∞和内单调递增； 当12x x x <<时()0f x '<， ()f x 在()12,x x 内单调递减． 5分综上，当1a <-时， ()f x 在()()12,,x x -∞+∞和内单调递增， ()f x 在()12,x x 内单调递减；当1a =-时， ()f x 在(),-∞+∞单调递增；当1a >-时， ()f x 在()()21,,x x -∞+∞和内单调递增， ()f x 在()21,x x 内单调递减．（其中121,x x a ==-） 6分（II ）当3a =时，()[]32391,,2f x x x x x m =+-+∈，()()()2369331f x x x x x =+-=+-'令()0f x '=，得121,3x x ==-． 7分 将x ， ()f x '， ()f x 变化情况列表如下：1↗极大↘极小↗8分由此表可得()()328f x f =-=极大， ()()14f x f ==-极小． 9分 又()2328f =<， 10分 故区间[],2m 内必须含有，即m 的取值范围是3]-∞-（，． 12分20．（1）123n n a -=⨯；（2）2231nn S n =+-.（1）122n n a S +=+ ①∴当2n ≥时， 122n n a S -=+②①-②得： 12n n n a a a +-=13n n a a +⇒=，又12a =，由①得21226a a =+=213a a ∴=，{}n a ∴是以2为首项3为公比的等比数列123n n a -∴=⨯。

河北定州中学2016-2017学年第一学期高四数学期末考试试题一、选择题1．在一个不透明的袋子里，有三个大小相等小球（两黄一红），现在分别由3个同学无放回地抽取，如果已知第一名同学没有抽到红球，那么最后一名同学抽到红球的概率为 （ ）A.31 B.32 C.21D.无法确定 2．24sin 225α=，02πα<<)4πα-的值为（ ）A ．15-B ．15C ．75-D ．753．某服装加工厂某月生产甲、乙、丙三种产品共4000件, 为了保证产品质量, 进行抽样检验, 根据分层抽样的结果, 企业统计员制作了如下统计表格. 由于不小心, 表格甲、丙中产品的有关数据已被污染得看不清楚, 统计员记得甲产品的样本容量比丙产品的样本容量多10, 根据以上信息, 可得丙的产品数量是（ ）A ．80B ．800C ．90D ．900 4．α是第四象限角，，则sin α=（ ） A ．B ．C ．D ．5．已知变量x ，y 满足约束条件1330x y x y x +≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．16．设集合2{|20}A x x x =-->，{|||3}B x x =<，则A B =（ ）A ．{|31}x x -<<-B ．{|23}x x <<C ．{|3123}x x x -<<-<<或D ．{|323}x x x -<<-<<或17．若a b 、是任意实数，且a b >，则下列不等式成立的是（ ）A ．22a b > B ．1<a b C ．()lg 0a b >- D ．ba ⎪⎭⎫⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛31318．如图为某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（ ）A ．272π B ．27π C ． D ．29．已知A 是ABC ∆的内角，则“sin A =”是“tan A = ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 10．“22ab>”是“22log log a b >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件11 ） A ．00sin15cos15 B ．22cos sin 1212ππ-C ．001tan151tan15+-D 12．函数()()xe x xf 3-=的单调递增区间是（ ）A.()2,∞-B.(0,3)C.(1,4)D.()+∞,2二、填空题13．ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知60,2,A b =︒=ABC S ∆=，则a = .14．已知tan α，tan β分别是2lg(652)0x x -+=的两个实数根，则tan()αβ+= . 15．函数2015()2015x f x a-=+(0a >且1)a ≠过定点A ，则点A 的坐标为16．已知向量()()(),2,2,1,3,a x b c x ===，若//a b ，则向量a 在向量c 方向上的投影为 . 三、解答题 17．（本题10分） 已知集合{}{}21,3,x,B 2,1A x ==+，是否存在实数x ，使得B A ⊆？若存在，求集合,A B ；若不存在，说明理由. 18．如图，AB 是的直径，,C F 是上的两点，OC AB ⊥，过点F 作的切线FD 交AB的延长线于点D ，连接CF 交AB 于点E .求证：2DE DB DA =⋅. 19．已知函数（1）求函数f （x ）的最小正周期；（2）求函数f （x ）的最大值及取得最大值时x 的取值集合； （3）求函数f （x ）的单调递增区间．20．四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为平行四边形，侧面⊥SBC 面ABCD ，已知45=∠ABC ，2=AB ，22=BC ，3==SC SB .（1）设平面SCD 与平面SAB 的交线为l ，求证：AB l //； （2）求证：BC SA ⊥；（3）求直线SD 与面SAB 所成角的正弦值.21．设集合A={x|x 2﹣3x+2=0}，B={x|x 2+2（a+1）x+（a 2﹣5）=0}． （1）若A∩B={2}，求实数a 的值； （2）若A ∪B=A ，求实数a 的取值范围． 22．已知函数31()4f x x ax =-+-，()xg x e e =-（其中e 为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线与曲线()y g x =在(0,(0))f 处的切线互相垂直，求实数a 的值；（2）设函数(),()(),()(),()(),f x f x g x h x g x f x g x ≥⎧=⎨<⎩讨论函数()h x 零点的个数．23．已知函数()()ln 1axf x x x a=+-+，a 是常数，且1a ≥． （1）讨论()f x 零点的个数； （2）证明：213ln 1,2131n N n n n *⎛⎫<+<∈ ⎪++⎝⎭． 24．已知函数2()ln(1)(0)f x x ax a =++≤， （1）若()f x 在0x =处取得极值，求a 的值； （2）讨论()f x 的单调性；（3）证明：*2111111,9813n n N e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++-+<∈ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭为自然对数的底数)．参考答案： CDBBD CDBBB 11．C 12．D13．14．115．(2015,2016) 16．417．存在2x =.假设存在实数x ，使B A ⊆， 则2232x x x +=+=或，（1）当23x +=时，1x =，此时{}1,3,1A =，不满足集合元素的互异性，故1x ≠； （2）当22x x +=时，即220x x --=，故1x =-或2x =， ①当1x =-时，{}1,3,1A =与元素互异性矛盾，故1x ≠-； ②当2x =时，{}{}1,3,4,4,1A B ==，显然有B A ⊆， 综上所述，存在2x =，使{}{}1,3,4,4,1A B ==满足B A ⊆. 18．解：（1）∵∴f （x ）= ==．∵，即函数f （x ）的最小正周期为π．（2）当即时，f （x ）取最大值1因此f （x ）取最大值时x 的集合是（3）f （x ）=．再由，解得．所以y=f （x ）的单调增区间为．20．【解析】（1）证明： 底面ABCD 为平行四边形∴CD AB //.SCD AB 平面⊄，SCD CD 平面⊂ ∴SCD AB 平面//又 平面SCD 与平面SAB 的交线为l∴AB l //.（2）证明：连接AC ，452ABC AB BC ∠===，，，由余弦定理得2AC =，AC AB ∴= 6分 取BC 中点G ，连接,SG AG ，则AG BC ⊥.,,,SB SC SG BC SG AG G =∴⊥=BC ∴⊥面,.SAG BC SA ∴⊥（Ⅲ）如图，以射线OA 为x 轴，以射线OB 为y 轴，以射线OS 为z 轴，以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -,则)0,0,2(A ，()020B ,,．()100S ,,()0222D ,- )1,22,2()1,0,0()0,22,2(--=--=)1,0,2()1,0,0()0,0,2(-=-=，)0,2,2()0,2,0()0,0,2(-=-=设平面SAB 法向量为()z y x n ,,=有⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅=-=⋅022202y x z x SA n 令 1=x ，则2,21==z y ，()2,1,1=n11221122222-=⋅⋅--==所以直线SD 与面SAB 所成角的正弦值为1122 21．解：由x 2﹣3x+2=0得x=1或x=2，故集合A ={1，2} （1）∵A∩B={2}，∴2∈B ，代入B 中的方程， 得a 2+4a+3=0⇒a=﹣1或a=﹣3；当a=﹣1时，B={x|x 2﹣4=0}={﹣2，2}，满足条件； 当a=﹣3时，B={x|x 2﹣4x+4=0}={2}，满足条件； 综上，a 的值为﹣1或﹣3； （2）对于集合B ，△=4（a+1）2﹣4（a 2﹣5）=8（a+3）． ∵A ∪B=A ，∴B ⊆A ，①当△＜0，即a ＜﹣3时，B=∅满足条件； ②当△=0，即a=﹣3时，B={2}，满足条件；③当△＞0，即a ＞﹣3时，B=A={1，2}才能满足条件， 则由根与系数的关系得⇒矛盾； 综上，a 的取值范围是a≤﹣3．22．（1）1a =-；（2）34a <或54a >时：()y h x =有两个零点；34a =或54a =时：()y h x =有三个零点；3544a <<时：()y h x =有四个零点． （1）由已知，2()2f x x a '=-+，()xg x e '=，∴(0)f a '=，∴1a =-；（2）易知函数()xg x e e =-在R 上单调递增，仅在1x =处有一个零点，且1x <时，()0g x <， 又∵2()3f x x a '=-+，当0a ≤时：()0f x '≤，()f x 在R 上单调递减，且过点1(0,)4-，3(1)04f a -=->， 即()f x 在0x ≤时必有一个零点，此时()y h x =有两个零点；当0a >时：令2()3=0f x x a '=-+，两根为10x =<，20x =>，则()f x ()f x 的一个极大值点，而311(((044f a =-+-=<，1(0)4f =-，现在讨论极大值的情况：31144f a =-+-=，当0f <，即34a <时，函数()y f x =在(0,)+∞恒小于零，此时()y h x =有两个零点；当0f =，即34a =时，函数()y f x =在(0,)+∞有一个解012x ==，此时()y h x =有三个零点；当0f >，即34a >时，函数()y f x =在(0,)+∞有两个解，若1(1)104f a =-+-<，即54a <时，1f <，此时()y h x =有四个零点；若1(1)104f a =-+-=，即54a =时，1f =，此时()y h x =有三个零点；若1(1)104f a =-+->，即54a >时，1f >，此时()y h x =有两个零点，综上所述：34a <或54a >时：()y h x =有两个零点；34a =或54a =时：()y h x =有三个零点； 3544a <<时：()y h x =有四个零点．23．解()0f x '=得0x =，或22x a a =-． ①1a =时，()()21xf x x '=+，若()()()()1,0,0,00x f x f x f '∈-<>=，若()()()()0,,0,00x f x f x f '∈+∞>>=，()f x 有一个零点． ②12a <<时，2120a a -<-<，由上表可知，()f x 在区间()22,a a -+∞有一个零点0x =．()()2200f a a f ->=，又2211ax a a aa a x a x a a a -=-≤-=++--，任取11,1aa t e -⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭， ()011a af t a a <+=--，()f x 在区间()2,2t a a -有一个零点，从而()f x 有两个零点． ③2a =时，()()()22012x f x x x '=>++，()f x 在()1,-+∞上单调递增，有一个零点0x =．④2a >时，220a a ->，由上表可知，()f x 在区间()21,2a a --有一个零点0x =，在区间()22,a a -+∞有一个零点， 从而()f x 有两个零点．（2）取2a =，由（1）知()()2ln 12xf x x x =+-+在()1,-+∞上单调递增， 取()1x n N n*=∈，则()100f f n ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，化简得12ln 121n n ⎛⎫+> ⎪+⎝⎭．取32a =，由（1）知()()3ln 123x f x x x =+-+在区间3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减， 取()13,014x n N n *⎛⎫=-∈-∈ ⎪+⎝⎭，由()()0f x f >，得311ln 111231n n n -⎛⎫+-> ⎪+⎛⎫⎝⎭-+ ⎪+⎝⎭， 即()13ln 131n N n n *⎛⎫+<∈ ⎪+⎝⎭，综上，213ln 1,2131n N n n n *⎛⎫<+<∈ ⎪++⎝⎭． 24．（1）0a =（2）详见解析（3）详见解析 解：（1）∵22()1xf x a x'=++，∵0x =是()f x 的一个极值点，则 (0)0f '=，∴0a =，验证知0a =符合条件．（2）∵22222()11x ax x af x a x x ++'=+=++， 1）若0a =时，∴()f x 在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减；2）若0a <⎧⎨∆≤⎩得，当1a ≤-时，()0f x '≤对x R ∈恒成立，∴()f x 在R 上单调递减．3）若10a -<<时，由()0f x '>得220ax x a ++>，x <<，再令()0f x '<，可得x >或x <，∴()f x在11a a ⎛⎫---⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,a ⎛-+-∞ ⎪⎝⎭和1a ⎛⎫-+∞⎪ ⎪⎝⎭上单调递减． 综上所述，若1a ≤-时，()f x 在(),-∞+∞上单调递减，若10a -<<时，()f x在11a a ⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增，1,a ⎛⎫-+-∞ ⎪ ⎪⎝⎭和1,a ⎛⎫--+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减． 若0a =时，()f x 在()0,+∞单调递增，在(),0-∞单调递减.（3）由（2）知，当1a =-时，()f x 在(),-∞+∞单调递减 当()0,x ∈+∞时，由()(0)0f x f <=，∴()2ln 1x x +<， ∴22111111ln 111ln 1ln 1ln 198139813n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=++++++ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 2111111111331133323213n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭<+++==-< ⎪⎝⎭- ∴1221111119813n e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++<= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

河北定州中学2021—2022学年度高三上学期数学期末考试试题一、单选题1．已知函数()cos xf x ex π-=+，下列说法中错误的是（ ）A. ()f x 的最大值为2B. ()f x 在()10,10-内全部零点之和为0C. ()f x 的任何一个极大值都大于1D. ()f x 在()0,10内全部极值点之和小于552．已知球O 与棱长为4的正方形1111ABCD A B C D -的全部棱都相切，点M 是球O 上一点，点N 是1ACB 的外接圆上的一点，则线段MN 的取值范围是 （ ）A.B. 2⎤⎦C. ⎡⎣D.3．已知函数()()1ln ,0mf x x m x m x=-+->，当[]1,x e ∈时， ()0f x >恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A. 10,2⎛⎫⎪⎝⎭ B. ()1,+∞ C. ()0,1 D. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭4．老师在四个不同的盒子里面放了4张不同的扑克牌，分别是红桃A ，梅花A ，方片A 以及黑桃A ，让明、小红、小张、小李四个人进行猜想：小明说：第1个盒子里面放的是梅花A ，第3个盒子里面放的是方片A ； 小红说：第2个盒子里面饭的是梅花A ，第3个盒子里放的是黑桃A ； 小张说：第4个盒子里面放的是黑桃A ，第2个盒子里面放的是方片A ； 小李说：第4个盒子里面放的是红桃A ，第3个盒子里面放的是方片A ；老师说：“小明、小红、小张、小李，你们都只说对了一半．”则可以推想，第4个盒子里装的是（ ） A. 红桃A 或黑桃A B. 红桃A 或梅花A C. 黑桃A 或方片A D. 黑桃A 或梅花A 5．已知函数()2441,2{32436,2x x f x x x x --≤=-+->，若在区间()1,+∞上存在()1,2,,i x i n =，使得()()04i if x k k x =<<，则n 的取值不行能为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 46．若对圆()()22111x y -+-=上任意一点(),P x y ， 34349x y a x y -++--的取值与,x y 无关，则实数a 的取值范围是（ ）A. 4a ≤-B. 46a -≤≤C. 4a ≤-或6a ≥D. 6a ≥7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点和上顶点分别为,A B ，左、右焦点分别是12,F F ，在线段AB上有且只有一个点P 满足12PF PF ⊥，则椭圆的离心率的平方为（ ）A.2B. 32-C. 12-+D. 128．已知F 为抛物线2y x =的焦点，点,A B 在该抛物线上且位于x 轴的两侧，而且·6OAOB=（O 为坐标原点），若ABO ∆与AFO ∆的面积分别为1S 和2S ，则124S S +最小值是A.2 B. 6 C. 132D. 9．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时， ()xf x xe =，给出下列命题： ① 当0x >时， ()xf x xe -=-；② 函数()f x 的单调递减区间是()(),1,1,-∞-+∞； ③ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x e-≤. 其中正确的命题是A. ①②B. ②③C. ①③D. ② 10．已知函数()()2log 02{424xx f x f x x <≤=-<<，设方程()()1x f x t t R e-=∈的四个不等实根从小到大依次为1234,,,x x x x ，则下列推断中肯定成立的是（ ）A.1212x x += B. 1214x x << C. 3449x x << D. ()()340444x x <--< 11．已知函数()()()411,ln 22x f x e g x x -==+，若()()f m g n =成立，则n m -的最小值为（ ）A.2ln213- B. 12ln23+ C. 1ln24+ D. 1ln24- 12．已知函数()3292930f x x x x =-+-，实数,m n 满足()12f m =-， ()18f n =，则m n +=（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且37915,34S a a =+=，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，且对于任意的*11,n n a n N T t+∈<，则实数t 的取值范围为__________． 14．若对于任意的正实数,x y 都有2?ln y y x x e x me⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭成立，则实数m 的取值范围为（ ） A. 1,1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B. 21,1e ⎛⎤⎥⎝⎦ C. 21,e e ⎛⎤⎥⎝⎦D. 10,e ⎛⎤ ⎥⎝⎦15．三棱锥S ABC -中，底面ABC 是边长为2的等边三角形， SA ⊥面ABC ， 2SA =,则三棱锥S ABC -外接球的表面积是_____________ .16．已知实数a b 、满足12a -≤≤，且2021b a ≤-≤，则221643833a b ab a b ++-+的取值范围是__________．三、解答题17．已知函数()()ln 1axf x e x =+，其中a R ∈.（1）设()()axF x ef x -='，争辩()F x 的单调性；（2）若函数()()g x f x x =-在()0,+∞内存在零点，求a 的范围.18．已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为()2,02P -是它的一个顶点，过点P 作圆2222:C x y r +=的切线,PT T为切点，且PT =（1）求椭圆1C 及圆2C 的方程；（2）过点P 作相互垂直的两条直线12,l l ，其中1l 与椭圆的另一交点为D ， 2l 与圆交于,A B 两点，求ABD 面积的最大值.19．已知()ln f x mx x =．（1）若关于x 的方程()1f x x ≥-在()0,+∞上恒成立，求m 的值； （2）证明：当*n N ∈时， 222211111234···4n n n n eeee+++<．20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为12,F F ， 若椭圆上一点P 满足124PF PF +=，且椭圆C 过点31,2⎛⎫--⎪⎝⎭，过点()4,0R 的直线l 与椭圆C 交于两点,E F ． （1）求椭圆C 的方程；（2）若点E '是点E 在x 轴上的垂足，延长EE '交椭圆C 于N ，求证： 2,N F F 三点共线． 21．设函数()sin xf x e a x =-.（1）当1a =时，证明： ()0,x ∀∈+∞， ()1f x >；（2）若[)0,x ∀∈+∞， ()0f x ≥都成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()()cos sin xf x ex x =-（1）求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;（2）令()()()()2222cos x g x f x e x a x x =+--+，争辩()g x 的单调性并推断有无极值，若有，求出极值. 参考答案DCCAD DBBBC 11．C 12．A 13．()0,16214．D 15．283π16．1,57412⎡⎤-⎢⎥⎣⎦17．（1）见解析；（2）a 的取值范围是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）定义域{}()()()11| 1 ,'ln 1ln 111axaxax x x f x a e x e e a x x x ⎛⎫>-=⋅++⋅=++ ⎪++⎝⎭故()()()1'ln 11ax F x e f x a x x -==+++ 则 ()()()2211'111a ax a F x x x x +-=-=+++ 若0a =，则 ()()'0,F x F x <在 ()1,-+∞ 上单调递减； 若0a ≠，则 ()1'01F x x a=⇒=-. （i ） 当 0a <时，则 111x a=-<-，因此在()1,-+∞ 上恒有 ()'0F x < ，即 ()F x 在()1,-+∞ 上单调递减；（ii ）当0a >时， 111x a =->-，因而在11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上有()'0F x <，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上有()'0F x > ；因此 ()F x 在 11,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭上单调递减，在11,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭单调递增. （2）设 ()()()()ln 1,0,axg x f x x e x x x =-=+-∈+∞,()()()()1''1ln 1111axaxg x f x e a x e F x x ⎛⎫=-=++-=- ⎪+⎝⎭，设()()()'1ax h x g x e F x ==-，则 ()()()()()22221''ln 11axaxax a h x e aF x F x e a x x ⎛⎫+- ⎪⎡⎤=+=++⎣⎦ ⎪+⎝⎭. 先证明一个命题：当0x >时， ()ln 1x x +<.令()()ln 1S x x x =+-， ()1'1011xS x x x-=-=<++，故()S x 在()0,+∞上是减函数，从而当0x >时， ()()00S x S <=，故命题成立.若0a ≤ ,由 0x >可知， 01axe<≤.()()()ln 1110ax ax ax g x e x e x x x e ∴=+-<-=-≤，故 ()0g x <，对任意()0,x ∈+∞都成立，故 ()g x 在()0,+∞上无零点，因此0a >.（ii ）当102a <<，考察函数 ()'h x ，由于 ()()1'0210,'0,'2h a h h x a ⎛⎫=-∴ ⎪⎝⎭在 ()0,+∞上必存在零点.设()'h x 在 ()0,+∞的第一个零点为0x ，则当()00,x x ∈时， ()'0h x <，故 ()h x 在 ()00,x 上为减函数，又 ()()000h x h <=，所以当 ()00,x x ∈时， ()'0g x <，从而 ()g x 在 ()00,x 上单调递减，故在 ()00,x 上恒有()()00g x g <=。

河北定州中学2016-2017学年第一学期高三数学期末考试试题第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.（1）已知全集{}{}2,|20,,1,0,1,2U z A x x x x Z B ==--<∈=-，则图中阴影部分所表示的集合等于（ ）A ．{}12-，B ．{}1-，0C ．{}0，1D ．{}12， （2）复数z 满足21iz i-=-，则z 对应的点位于复平面的（ ） A ．第一象限 B ． 第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限（3）已知()f x 满足对()(),0x R f x f x ∀∈-+=，且0x ≥时，()xf x e m =+（m 为常数），则()ln5f -的值为（ ）A ．4B ．-4C ．6D ．-6（4）如图，在空间四边形(),,C,D ABCD A B 不共面中，一个平面与边,,,AB BC CD DA 分别交于,,,E F G H （不含端点），则下列结论错误的是（ ）A ．若::AE BE CF BF =，则//AC 平面EFGHB ．若,,,E F G H 分别为各边中点，则四边形EFGH 为平行四边形C ．若,,,E F G H 分别为各边中点且AC BD =，则四边形EFGH 为矩形D．若,,,E F G H分别为各边中点且AC BD⊥，则四边形EFGH为矩形（5）等差数列{}n a中，n S是其前n项和，9719,297S Sa=--=，则10S=（）A． 0 B． -9 C． 10 D．-10（6）设,a b R∈，则“()20a b a-≥”是“a b≥”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件（7）．如图是一个空间几何体的三视图，则该空间几何体的表面积是（）A．()825π+ B．()925π+ C．()1025π+ D．()823π+（8）已知,x y满足约束条件11493xyx yx y≥⎧⎪≥-⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，目标函数z mx y=+，若z的最大值为()f m，则当[]2,4m∈时，()f m的最大值和最小值之和是（）A．4 B．10 C．13 D．14（9）在边长为1的正ABC∆中，,D E是边BC的两个三等分点（D靠近于点B），则AD AEu u u v u u u vg等于（）A．16B．29C．1318D．13（10）已知函数()()()sin0f x xωϕω=+>的图象关于直线32xπ=对称且032fπ⎛⎫-=⎪⎝⎭，如果存在实数x，使得对任意的x都有()()008f x f x f xπ⎛⎫≤≤+⎪⎝⎭，则ω的最小值是（）A．4 B．6 C．8 D．12（11）已知边长为23ABCD中，060A∠=，现沿对角线BD折起，使得二面角A BD C--为120°，此时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为（ ） A ．20π B ．24π C ．28π D ．32π（12）已知方程ln 1x kx =+在()30,e 上有三个不等实根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．320,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．3232,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．3221,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．3221,e e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分 ．（13）命题“000,sin cos 2x R a x x ∃∈+≥”为假命题，则实数a 的取值范围是____________． （14）已知22cos 63πθ⎛⎫-=⎪⎝⎭，则cos 3πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭__________． （15）已知正实数,b a 满足4a b +=，则1113a b +++的最小值为___________． （16）已知函数()()02xf x f e x '=-+，点P 为曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线l 上的一点，点Q 在曲线xy e =上，则PQ 的最小值为____________． 三、解答题 :解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本小题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立． （1）记2log n n b a =，求数列{}n b 的通项公式； （2）设11n n n c b b +=，求数列{}n c 的前n 项和n T ． （18）（本小题满分12分）已知ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且sin sin 1sin sin sin sin B CA C A B+=++．（1）求角A ；（2）若3a =b c +的取值范围． （19）（本小题满分12分）在如图所示的三棱锥111ABC A B C -中，,D E 分别是11,BC A B 的中点．（1）求证：//DE 平面11ACC A ；（2）若ABC ∆为正三角形，且1,AB AA M =为AB 上的一点，14AM AB =，求直线DE 与直线1A M 所成角的正切值．（20）（本小题满分12分） 已知函数(),0xf x e ax a =->．（1）记()f x 的极小值为()g a ，求()g a 的最大值； （2）若对任意实数x 恒有()0f x ≥，求()f a 的取值范围． （21）（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，ABC ∆为正三角形，,,,AB AD AC CD PA AC PA ⊥⊥=⊥平面ABCD ．（1）若E 为棱PC 的中点，求证PD ⊥平面ABE ； （2）若3AB =，求点B 到平面PCD 的距离． （22）（本小题满分12分） 已知()sin cos f x x x ax =--． （1）若()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调，求实数a 的取值范围； （2）证明：当2a π=时，()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立．参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A DBCABADCCCC二、填空题13. ()3,3- 14． 13± 15．1216．2 三、解答题17．解：（1）在324n n a S =+中令1n =得18a =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 因为对任意正整数n ，都有324n n a S =+成立，所以11324n n a S ++=+，两式相减得1134n n n a a a ++-=，所以14n n a a +=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分又10a ≠，所以数列{}n a 为等比数列，所以121842n n n a -+==g ，所以212log 221n n b n +==+．．．．．5分 （2）()()1111212322123n c n n n n ⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分 所以()11111111112355721232323323n n T n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L ．．．．．．．．．．．10分又23B C π+=，所以2318sin 8sin 8sin cos sin 322b c B B B B B π⎛⎫⎛⎫+=+-=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33318sin cos 83sin cos 8322226B B B B B π⎛⎫⎫⎛⎫=+=+=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎭，．．．．．．．．．．．．9分因为203B π<<，所以5666B πππ<+<，所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，所以4383sin 836B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭，即b c +的取值范围是(43,83⎤⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分19．解：（1）取AB 的中点F ，连接,DF EF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分 在ABC ∆中，因为,D F 分别为,BC AB 的中点，所以//,DF AC DF ⊄平面11,ACC A AC ⊂平面11ACC A ， 所以//DF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 在矩形11ABB A 中，因为,F E 分别为11,A B AB 的中点，所以1//,EF AA EF ⊄平面 111,ACC A AA ⊂平面11ACC A ，所以//EF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．4分因为DF EF F =I ，所以平面//DEF 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分 因为DE ⊂平面DEF ，所以//DE 平面11ACC A ．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，所以平面ABC ⊥平面11ABB A ，连接CF ，因为ABC ∆为正三角形，F 为AB 中点，所以CF AB ⊥，所以CF ⊥平面11ABB A ， 取BF 的中点G ，连接,DG EG ，可得//DG CF ，故DG ⊥平面11ABB A ， 又因为14AM AB =，所以1//EG A M ， 所以DEG ∠即为直线DE 与直线1A M 所成角．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分设4AB =，在Rt DEG ∆中，13,161172DG CF EG ===+=， 所以351tan 1717DEG ∠==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20．解：（1）函数()f x 的定义域是(),-∞+∞，()x f x e a '=-， 令()0f x '>，得ln x a >，所以()f x 的单调递增区间是()ln ,a +∞；令()0f x '<，得ln x a <，所以()f x 的单调递减区间是(),ln a -∞，函数()f x 在ln x a =处取极小值，()()()ln ln ln ln a g a f x f a e a a a a a ===-=-极小值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．3分 ()()11ln ln g a a a '=-+=-，当01a <<时，()()0,g a g a '>在()0,1上单调递增；当1a >时，()()0,g a g a '<在()1,+∞上单调递减，所以1a =是函数()g a 在()0,+∞上唯一的极大值点，也是最大值点，所以()()max 11g a g ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）当0x ≤时，0,0xa e ax >-≥恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分当0x >时，()0f x ≥，即0xe ax -≥，即x e a x≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()()()()221,0,,xx x x e x e e x e h x x h x x x x --'=∈+∞==， 当01x <<时，()0h x '<，当1x >时，()0h x '>，故()h x 的最小值为()1h e =， 所以a e ≤，故实数a 的取值范围是(]0,e ．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分()(]2,0,a f a e e a e =-∈，()2a f a e a '=-，由上面可知20a e a -≥恒成立，故()f a 在(]0,e 上单调递增，所以()()()201ef f a f e e e =<≤=-，即()f a 的取值范围是(21,e e e ⎤-⎦．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 21．解：（1）因为PA ⊥平面,ABCD CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，∵,AC CD PA AC A ⊥=I ，所以CD ⊥平面PAC ，而AE ⊂平面PAC ，∴CD AE ⊥．．．．．2分∵,AC PA E =是PC 的中点，∴AE PC ⊥，又PC CD C =I ，所以AE ⊥平面PCD ， 而PD ⊂平面PCD ，∴AE PD ⊥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 ∵PA ⊥底面ABCD ，∴平面PAD ⊥平面ABCD ，又AB AD ⊥，由面面垂直的性质定理可得BA ⊥平面,PAD AB PD ⊥，又∵AB AE A =I ，∴PD ⊥平面ABE ．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA AC ⊥，所以32PC =， 由（1）的证明知，CD ⊥平面PAC ，所以CD PC ⊥，因为,AB AD ABC ⊥∆为正三角形，所以030CAD ∠=，因为AC CD ⊥，所以0tan 303CD AC ==．．．．．．．．．．．．．．．．．7分设点B 的平面PCD 的距离为d ，则11632332B PCD V d d -=⨯⨯⨯⨯=．．．．．．8分 在BCD ∆中，0150BCD ∠=，所以0111333sin1503332224BCD S ∆=⨯⨯=⨯⨯⨯=．．．．．9分 所以133333344P BCD V -=⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为B PCD P BCD V V --=，所以6334d =，解得324d =， 即点B 到平面PCD 的距离为32．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 22．解：（1）()cos sin 2sin 4f x x x a x a π⎛⎫'=+-=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 1分若()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，()0f x '≥恒成立， 当,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，32,,sin ,1,2sin 1,2444424x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎡⎤+∈-+∈-+∈-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 此时1a ≤-；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 若()f x 在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，同理可得2a ≥．．．．．．．．．．．．．．．．．5分所以a 的取值范围是(]),1-∞-+∞U ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）2a π=时，()()22sin cos ,4f x x x x f x x πππ⎛⎫'=--=+- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．7分 当[]0,x π∈时，()f x '在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,4ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()22010,10f f x ππ''=->=--<．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分 ∴存在0,4x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得在[)00,x 上()0f x '>，在(]0,x π上()0f x '<， 所以函数()f x 在[)00,x 上单调递增，在(]0,x π上单调递减．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分 故在[]0,π上，()()(){}min min 0,1f x f fπ==-，所以()1f x ≥-在[]0,x π∈上恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分。