广西省桂林市2020年高二(下)数学期末调研试题含解析

2020-2021学年广西桂林市高二（下）期末数学试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知f(x)=e x，则f′(0)=()A. 0B. 1eC. 1D. e2.设复数z=2−i，则z的实部为()A. −1B. 2C. −2D. i3.用反证法证明“√2是无理数”时，正确的假设是()A. √2不是无理数B. √2是整数C. √2不是有理数D. √2是无理数4.5个人排成一排照相，其中的甲乙两人要相邻，则有不同的排法种数为()A. 24种B. 36种C. 48种D. 72种5.1+3x+3x2+x3=()A. (x+1)3B. (x−1)3C. (x+1)4D. x46.在样本频率分布直方图中，各小长方形的高的比从左到右依次为2：4：3：1，则第2组的频率是()A. 0.4B. 0.3C. 0.2D. 0.17.向量a⃗=(2,4，5)，向量b⃗ =(1,2，t)，若a⃗⊥b⃗ ，则实数t=()A. 52B. 1 C. −2 D. −858.从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A：“取到的2个数之和为偶数”，事件B：“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)=()A. 18B. 14C. 25D. 129.若随机变量X的分布列为则a 的值为( )A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.410. 正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，BB 1与平面ACD 1所成角的余弦值为( )A. √23B. √33C. 23D. √6311. 已知随机变量X 服从正态分布N(3,1)，且P(2≤X ≤4)=0.6826，则P(X >4)=( )A. 0.0799B. 0.1587C. 0.3D. 0.341312. 若函数f(x)=e x −2ax 2+1有两个不同的极值点，则实数a 的取值范围是( )A. a >e4B. 0<a <e4C. a <−e4D. −e4<a <0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 某校有学生4500人，其中高三学生1500人．为了解学生的身体素质情况，采用分层抽样的方法，从该校学生中抽取一个300人的样本，则样本中高三学生的人数为______ ．14. 已知i 为虚数单位，则(2−3i)(i +1)=______． 15. ∫1x e 1dx =______．16. 在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =6，AC =8，D 是斜边上一点，以AD 为棱折成二面角C −AD −B ，其大小为60°，则折后线段BC 的最小值为______． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 在(x 2+1x )6的展开式中，求：(1)含x 3的项； (2)展开式中的常数项．18.已知函数f(x)=x3+ax2−9x+10(a∈R)．(1)当a=0时，求f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设x=−1是f(x)的极值点，求f(x)的极小值．19.如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．(1)证明：BE⊥平面EB1C1；(2)若AE=A1E，AD=1，求二面角B−EC−C1的余弦值．20.已知数列{a n}的前n项和S n=2n−a n．(1)计算a1，a2，a3，a4，并猜{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．21. 在某校组织的一次篮球定点投篮比赛中，两人一对一比赛规则如下：若某人某次投篮命中，则由他继续投篮，否则由对方接替投篮．现由甲、乙两人进行一对一投篮比赛，甲和乙每次投篮命中的概率分别是13，12.两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．假设每人每次投篮命中与否均互不影响． (Ⅰ)求3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率；(Ⅱ)若投篮命中一次得1分，否则得0分．用ξ表示甲的总得分，求ξ的分布列和数学期望．22. 已知函数f(x)=lnx −ax ．(1)若f(x)在(0,+∞)单调递增，求实数a 的取值范围；(2)若ℎ(x)=x ⋅f(x)，且ℎ(x)只有一个极值点x 0，求实数a 的取值范围，并证明：ℎ(x 0)≥−1e ．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵f′(x)=e x，∴f′(0)=e0=1．故选：C．先求出导函数f′(x)=e x，然后代入x=0即可．本题考查了基本初等函数的求导公式，已知函数求值的方法，考查了计算能力，属于基础题．2.【答案】B【解析】解：∵复数z=2−i，∴z的实部为2．故选：B．利用复数的定义直接求解．本题考查复数的实部的求法，考查复数的定义等基础知识，是基础题．3.【答案】A【解析】解：用反证法证明“√2是无理数”时，最恰当的证法是先假设√2不是无理数，即√2是有理数，故选：A．反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，根据实数分为有理数和无理数解答．本题考查反证法，考查反证法中反设的方法，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：根据题意，将甲乙两人看成一个整体，与其他三人全排列即可，则有A22A44=48种排法，故选：C．根据题意，将甲乙两人看成一个整体，与其他三人全排列即可，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：1+3x+3x2+x3=(13+x3)+3x(1+x)=(1+x)(1−x+x2)+3x(1+x)=(1+x)(1+2x+x2)=(1+x)3．故选：A．利用因式分解，能求出结果．本题考查代数式化简，考查因式分解等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.【答案】A【解析】解：∵小长方形的高的比等于面积之比，∴从左到右各组的频率之比为2：4：3：1，∵各组频率之和为1，∴第2组的频率为1×410=25．故选：A．根据已知条件，结合频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1，即可求解．本题主要考查频率分布直方图的性质，属于基础题．7.【答案】C【解析】解：∵向量a⃗=(2,4，5)，向量b⃗ =(1,2，t)，若a⃗⊥b⃗ ，则a⃗⋅b⃗ =2×1+4×2+5⋅t=0，求得t=−2，故选：C．由题意利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，求得t的值．本题主要考查两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式，属于基础题．8.【答案】B【解析】【分析】此题考查条件概率的计算公式，属于基础题．用列举法求出事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件的个数，求P(A)，同理求出P(AB)，根据条件概率公式P(B|A)=P(AB)P(A)即可求得结果．【解答】解：事件A=“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：(1,3)、(1,5)、(3,5)、(2,4)，∴P(A)=4C52=25，事件B=“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有(2,4)，∴P(AB)=1C52=110，∴P(B|A)=P(AB)P(A)=14．故选：B．9.【答案】B【解析】解：∵0.2+a+3a=1，∴a=0.2．故选：B．根据概率之和等于1计算．本题考查了离散型随机变量的分布列的性质，属于基础题．10.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查直线与平面所成的角．正方体上下底面中心的连线平行于BB1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，在直角三角形OO1D1中，利用边角关系求出此角的余弦值．【解答】解：如图，设上下底面的中心分别为O1，O，设正方体的棱长等于1，易得O1O//BB1，则O1O与平面ACD1所成角就是BB1与平面ACD1所成角，即∠O1OD1，直角三角形OO1D1中，cos∠O1OD1=O1OOD1=√62=√63，故选：D．11.【答案】B【解析】解：∵X服从正态分布N(3,1)，∴P(X>4)=P(X<2)，∵P(X>4)=12×[1−P(2≤X≤4)]=12×(1−0.6826)=0.1587．故选：B．根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查了正态分布的对称性，掌握正态分布的对称性是解决正态分布概率的关键，属于基础题．12.【答案】A【解析】解：由题意可得，f′(x)=e x−4ax=0有2个不同的实数根，且不为0，即a=e x4x有2个不同的实数根，令g(x)=e x4x ，则g′(x)=ex(x−1)4x2，令g′(x)>0，可得x>1，令g′(x)<0，可得x<1，所以g(x)在(−∞,0)，(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，当x∈(−∞,0)时，g(x)<0，当x∈(0,+∞)时，x→0时，g(x)→+∞，x→+∞时，g(x)→+∞，且在x=1时取得极小值为g(1)=e4，所以要使a=e x4x有2个不同的实数根，则a>e4，故选：A．由导数与极值的关系知可转化为方程f′(x)=0在R上有两个不同根，结合函数的性质可求．本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值，考查转化思想的应用，属于中档题．13.【答案】100【解析】解：由分层抽样的方法可设样本中有高三学生人数为x人，则x300=15004500解得：x=100，故答案为：100．根据分层抽样的方法，由已知中某学有学生4500人，其中高三学生1500人及样本容量300代入不难得到答案本题考查的知识点是分层抽样，分层抽样的方法步骤为：首先确定分层抽取的个数．分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，其中按比例是解决本题的关键14.【答案】5−i【解析】解：(2−3i)(i+1)=2i+2−3i2−3i=2i+2+3−3i=5−i．故答案为：5−i．根据已知条件，结合复数的乘法原则，即可求解．本题考查了复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．15.【答案】1【解析】解：∫d e 1x 1x=lnx|1e=lne −ln1=1，故答案为1先求出1x 的原函数，再根据定积分的运算法则求出该函数的定积分即可．本题主要考查了定积分的运算，定积分是一种“和”的极限，蕴含着分割、近似代替，求和、取极限的思想方法，属于基础题．16.【答案】2√7【解析】解：如图，过C ，B 作AD 的垂线，垂足分别为E ，F ， 故BF ⊥EF ，EC ⊥EF ， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 以AD 为棱折叠后，则有BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 故BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(BF ⃗⃗⃗⃗⃗ +FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +EC⃗⃗⃗⃗⃗ )2 =BF⃗⃗⃗⃗⃗ 2+FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ +2⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+FE ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2⋅BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 因为以AD 为棱折成60°二面角C −AD −B ， 所以BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120°， 令∠BAD =α，则∠CAE =90°−α，在Rt △ABF 中，BF =AB ⋅sinα=6sinα，AF =ABcosα=6cosα，在Rt △ACE 中，EC =AC ⋅sin(90°−α)=8cosα，AE =AC ⋅cos(90°−α)=8sinα， 故FE =AE −AF =8sinα−6cosα，所以|BC ⃗⃗⃗⃗⃗|2=(6sinα)2+(8sinα−6cosα)2+(8cosα)2+2⋅6sinα⋅8cosα×(−12) =36(sin 2α+cos 2α)+64(sin 2α+cos 2α)−144sinαcosα =100−72sin2α，故当α=45°时，|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2有最小值28，故线段BC 最小值为2√7． 故答案为：2√7．过C ，B 作AD 的垂线，垂足分别为E ，F ，从而得到BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅EC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，然后将BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 用BF ⃗⃗⃗⃗⃗ ,FE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 表示，求出|BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的表达式，再设∠BAD =α，利用边角关系求出所需向量的模，同时利用二面角的大小得到向量BF ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角，利用同角三角函数关系和二倍角公式化简|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |2的表达式，再利用正弦函数的有界性分析求解即可． 本题考查了翻折问题，涉及了空间向量基本定理的应用、数量积的应用、模的求解、同角三角函数关系以及二倍角公式的应用，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．17.【答案】解：(1)由题意知T r+1=C 6r (x 2)6−r (1x)r =C 6r x 12−3r，r =0，1，2，3，4，5，6；令12−3r =3，得r =3，所以含x 3的项为T 4=C 63x 3=20x 3．(2)由(1)知由12−3r =0，得r =4，所以常数项为T 5=C 64=15．【解析】(1)求出展开式的通项公式，令x 的次数为3进行求解即可． (2)令x 的次数为0进行求解即可．本题主要考查二项式定理的应用，求出展开式的通项公式是解决本题的关键，是中档题．18.【答案】解：(1)当a =0时，f(x)=x 3−9x +10，f′(x)=3x 2−9，则k =f′(2)=3，f(2)=0，故所求切线方程为y =3(x −2)，即y =3x −6． (2)f′(x)=3x 2+2ax −9，由题知f′(−1)=0， 解得a =−3，则f(x)=x 3−3x 2−9x +10，f′(x)=3x 2−6x −9=3(x +1)(x −3)， 当−1<x <3时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x >3时f′(x)>0，f(x)单调递增， 所以当x =3时f(x)取极小值f(3)=−17．【解析】(1)根据题意可得f(x)=x 3−9x +1，求导得f′(x)，由导数的几何意义可得图象在(2,f(2))处的切线的斜率为k =f′(2)，又f(2)=0，进而可得切线方程． (2)求导得f′(x)=3x 2+2ax −9，由题知f′(−1)=0，解得a ，进而可得f(x)的单调性，即可得出答案．本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．19.【答案】解：(1)证明：由已知得，B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，BE ⊂平面ABB 1A 1， 故B 1C 1⊥BE又BE ⊥EC 1，B 1C 1∩EC 1=C 1，B 1C 1、EC 1⊂平面EB 1C 1， 所以BE ⊥平面EB 1C 1．(2)由(1)知∠BEB 1=90°.由题设知Rt △ABE≌Rt △A 1B 1E ， 所以∠AEB =45°， 故AE =AB ，AA 1=2AB以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ， 则C(0,1，0)，B(1,1，0)，C 1(0,1，2)，E(1,0，1)， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,0)，CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,−1,1)，CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,2)， 设平面EBC 的法向量为n⃗ =(x 1,y 1,z 1)， 则{CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x 1=0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =x 1−y 1+z 1=0，取y 1=−1，得n⃗ =(0,−1,−1)， 设平面ECC 1的法向量为m⃗⃗⃗ =(x 2,y 2,z 2)， 则{CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =z 2=0CE ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ =x 2−y 2+z 2=0，取x 2=1，得m⃗⃗⃗ =(1,1,0)， 于是cos〈n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ 〉=n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=−12， 所以，二面角B −EC −C 1的余弦值为−12．【解析】(1)推导出B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，从而B 1C 1⊥BE ，再由BE ⊥EC 1，能证明BE ⊥平面EB 1C 1．(2)由题设知Rt △ABE≌Rt △A 1B 1E ，从而∠AEB =45°，AE =AB ，AA 1=2AB 以D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴正方向，建立空间直角坐标系D −xyz ，利用向量法能求出二面角B −EC −C 1的余弦值．本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题．20.【答案】解：(1)根据题意，S n=2n−a n．当n=1时，a1=S1=2−a1，∴a1=1；当n=2时，a1+a2=S2=2×2−a2，∴a2=32；当n=3时，a1+a2+a3=S3=2×3−a3，∴a3=74；当n=4时，a1+a2+a3+a4=S4=2×4−a4，∴a4=158．由此猜想a n=2n−12n−1；(2)证明：①当n=1时，a1=1，猜想成立．②假设n=k(k≥1且k∈N∗)时，猜想立，即a k=2k−12k−1，那么n=k+1时，a k+1=S k+1−S k=2(k+1)−a k+1−2k+a k=2+a k−a k+1，∴a k+1=2+a k2=2+2k−12k−12=2k+1−12k．∴当n=k+1时，猜想成立．由①②知猜想a n=2n−12n−1(n∈N∗)成立．【解析】(1)根据题意，在S n=2n−a n中，令n=1、2、3、4，计算可得a1，a2，a3，a4的值，归纳{a n}的通项公式可得答案；(2)根据题意，由(1)的结论，利用数学归纳法证明可得答案．本题考查数学归纳法的运用，涉及数列的前n项和公式，属于基础题．21.【答案】解：(Ⅰ)由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，记“3次投篮的人依次是甲、甲、乙”为事件A．由题意，得P(A)=13×23=29．即3次投篮的人依次是甲、甲、乙的概率是29．(Ⅱ)解：由题意，ξ的可能取值为0，1，2，3，∴P(ξ=0)=23×12+23×12×23=59，P(ξ=1)=23×12×13+13×23=13，P(ξ=2)=13×13×23=227，P(ξ=3)=13×13×13=127．∴ξ的分布列为：∴ξ的数学期望Eξ=0×59+1×13+2×227+3×127=1627．【解析】(Ⅰ)由题意知两人共投篮3次，且第一次由甲开始投篮．每人每次投篮命中与否均互不影响，本题是相互独立事件同时发生的概率，由公式可得到结果．(2)用ξ表示甲的总得分，因为共投篮三次，所以变量的取值是0、1、2、3，结合变量对应的事件，做出概率，写出分布列和期望．本题考查离散型随机变量的分布列和期望即相互独立事件的概率，考查运用概率知识解决实际问题的能力，相互独立事件是指，两事件发生的概率互不影响，注意应用相互独立事件同时发生的概率公式．22.【答案】解：(1)f′(x)=1x−a(x>0)，∵f(x)在(0,+∞)上单调递增，∴f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立，∴a≤1x在(0,+∞)上恒成立，∴a≤0，即a的取值范围是(−∞,0]．(2)ℎ(x)=xlnx−ax2，所以ℎ′(x)=lnx+1−2ax，设g(x)=ℎ′(x)=lnx+1−2ax，g′(x)=1x−2a，①当a>0时，令g′(x)=0，解得x=12a，x∈(0,12a)，g′(x)>0，g(x)单调递增，x∈(12a,+∞)，g′(x)<0，g(x)单调递减，若g(12a)≤0，ℎ′(x)≤0恒成立，ℎ(x)无极值；若g(12a )>0，ℎ′(12a)>0，而ℎ′(1e)=−2ae<0，ℎ′(1a 2)=−2lna +1−2a <0，此时函数ℎ(x)有两个极值点， 故a >0不符合题意；②a =0时，x ∈(0,1e )，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减， x ∈(1e ,+∞)，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以函数ℎ(x)有唯一的极小值点1e ，ℎ(1e )=−1e ，符合题意； ③当a <0，g′(x)>0恒成立，g(x)=ℎ′(x)单调递增， 取b 满足0<b <−12a ，且0<b <1e 2时，ℎ′(b)<0，而ℎ′(1e )=−2a e>0，此时由零点存在定理知：ℎ′(x)=0有唯一的零点x 0， ℎ(x)只有一个极值点x 0，且x 0∈(0,1e )，符合题意； 故a 的取值范围是(−∞,0]； 下面证明ℎ(x 0)≥−1e ：由题知ℎ(x 0)=x 0lnx 0−ax 02，又ℎ′(x 0)=1+lnx 0−2ax 0，∴ax 0=12(1+lnx 0)，∴ℎ(x 0)=x 0lnx 0−12x 0(1+lnx 0)=12x 0lnx 0−12x 0， 设u(x)=12xlnx −12x ，∴u′(x)=12lnx ，当x ∈(0,1e )，u′(x)<0，u(x)单调递减，∴u(x)≥u(1e )=−1e ， ∴ℎ(x 0)≥−1e成立， 综上：函数ℎ(x)只有一个极值点x 0，a 的取值范围(−∞,0]，且ℎ(x 0)≥−1e ．【解析】(1)求出函数的导数，问题转化为a ≤1x 在(0,+∞)上恒成立，求出a 的取值范围即可；(2)求函数ℎ(x)的导数，且ℎ′(x)=0只有一个根，且定义域内根的两边区间的符合相反，求出根x 0，并证明ℎ(x 0)的最小值大于等于−1e 即可．本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．。

桂林市名校2020年高二第二学期数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为930，下雨的概率为1130，既吹东风又下雨的概率为830.则在下雨条件下吹东风的概率为（ ） A ．25 B ．89 C ．811D ．911【答案】C 【解析】 【分析】在下雨条件下吹东风的概率=既吹东风又下雨的概率÷ 下雨的概率 【详解】在下雨条件下吹东风的概率为8830=111130，选C【点睛】本题考查条件概率的计算，属于简单题．2．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D3．已知双曲线的焦距是虚轴长的倍，则该双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】，，渐近线方程为，即，故选A.4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（）A．123 5πB．1243πC．1534πD．1615π【答案】D【解析】由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是一个底面是边长分别为３,３,４的等腰三角形，高是４的三棱锥，如图，将其拓展成三棱柱，由于底面三角形是等腰三角形，所以顶角的余弦为99161cos2339B+-==⨯⨯，则2145sin1()9B=-=，底面三角形的外接圆的半径452529r==⨯，则三棱锥的外接球的半径228116142020R d r=+=+=，其表面积1611614205Sππ=⨯=，应选答案D 。

桂林市名校2020年高二(下)数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知函数()2sin(2)(0)f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位后关于y 轴对称，则下列结论中不正确．．．的是 A ．56πϕ= B ．(,0)12π是()f x 图象的一个对称中心C ．()2f ϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴 【答案】C【解析】函数()()2sin 2f x x ϕ=+的图象向右平移6π个单位，可得()2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭,() 2sin 23g x x πϕ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称，所以32k ππϕπ-+=+, 0k =时可得5=6πϕ，故5()2sin(2)6f x x π=+，555()=2sin()2sin 2362f πππϕ+==，()2f ϕ=-不正确，故选C. 2．已知i 为虚数单位，则复数1z i i =+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】A【解析】分析：利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数z ，从而可得结果. 详解：：由于复数，1i z i =+()()()i 1i 1+i 11i 1i 1i 222-===++-， 在复平面的对应点坐标为11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴在第一象限，故选A.点睛：复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.3．若随机变量X 的分布列：A ．10,3a b ==B ．3,10a b ==C ．5,6a b ==D ．6,5a b ==【答案】C【解析】【分析】 先根据随机变量X 的分布列可求m 的值，结合()10E Y =，()4D Y =，可求a 与b 的值.【详解】因为0.21m +=，所以0.8m =，所以()00.210.80.8E X =⨯+⨯=,()0.20.80.16D X =⨯=； 因为()10E Y =，()4D Y =，所以22()0.810,()0.164aE X b a b a D X a +=+=== 解得5,6a b ==，故选C.【点睛】本题主要考查随机变量的期望和方差，注意两个变量之间的线性关系对期望方差的影响.4．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度 【答案】B【解析】【分析】 由三角函数的诱导公式可得sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭，再结合三角函数图像的平移变换即可得解.【详解】 解：由sin 2cos(2)cos 2()6623y x x x ππππ⎛⎫=-=--=- ⎪⎝⎭， 即为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象向右平移3π个单位长度， 故选：B.【点睛】 本题考查了三角函数图像的平移变换及三角函数的诱导公式，属基础题.5．在用反证法证明命题“三个正数a ，b ，c 满足6a b c ++≤，则a ，b ，c 中至少有一个不大于2”时，下A．假设a，b，c都大于2 B．假设a，b，c都不大于2C．假设a，b，c至多有一个不大于2 D．假设a，b，c至少有一个大于2【答案】A【解析】【分析】否定结论，同时“至少有一个”改为“全部”【详解】因为“a，b，c至少有一个不大于2”的否定是“a，b，c都大于2”，故选A.【点睛】本题考查反证法，在反证法中假设命题反面成立时，结论需要否定的同时，“至少”，“至多”，“都”等词语需要改变．6．用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中比40000大的偶数共有A．144个B．120个C．96个D．72个【答案】B【解析】试题分析：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；进而对首位数字分2种情况讨论，①首位数字为5时，②首位数字为4时，每种情况下分析首位、末位数字的情况，再安排剩余的三个位置，由分步计数原理可得其情况数目，进而由分类加法原理，计算可得答案．解：根据题意，符合条件的五位数首位数字必须是4、5其中1个，末位数字为0、2、4中其中1个；分两种情况讨论：①首位数字为5时，末位数字有3种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有3×24=72个，②首位数字为4时，末位数字有2种情况，在剩余的4个数中任取3个，放在剩余的3个位置上，有A43=24种情况，此时有2×24=48个，共有72+48=120个．故选B考点：排列、组合及简单计数问题．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a=1，B=45°，S△ABC=2，则△ABC的外接圆的直径为（）A．5 B．C．D．【答案】C分析：由三角形面积公式可得c ，再由余弦定理可得b ，最后结合正弦定理即可得结果.详解：根据三角形面积公式得，11sin4522c ⋅⋅⋅︒=，得c =则2222cos 25b a c ac B =+-=，即5b =，2R == C. 点睛：此题主要考三角形面积公式的应用，以及余弦定理、正弦定理在计算三角形外接圆半径的应用等有关方面的知识与技能，属于中低档题型，也是常考考点.此类题的题型一般有：1.已知两边和任一边，求其他两边和一角，此时三角形形状唯一；2.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，此时三角形形状不一定唯一.8．已知某次数学考试的成绩服从正态分布2(102,4)N ，则114分以上的成绩所占的百分比为（ ） （附()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9544P X μσμσ-<≤+=，(33)0.9974P X μσμσ-<+=≤）A ．0.3%B ．0.23%C ．0.13%D ．1.3%【答案】C【解析】分析：先求出u,σ,再根据(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=和正态分布曲线求114分以上的成绩所占的百分比.详解：由题得u=102,4,σ=3114.u σ∴+=因为(33)0.9974P X μσμσ-<≤+=， 所以10.9974(114=0.00130.13%2P X ->==）. 故答案为：C. 点睛：（1）本题主要考查正态分布曲线和概率的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方法.(2)利用正态分布曲线求概率时，要画图数形结合分析，不要死记硬背公式.9．方程ln 40x x +-=的实根所在的区间为（ ）A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(4,5)【答案】B【解析】【分析】构造函数()ln 4f x x x =+-，考查该函数的单调性，结合零点存在定理得出答案．构造函数()ln 4f x x x =+-，则该函数在()0,∞+上单调递增，()130f =-<Q ，()2ln 220f =-<，()3ln310f =->，由零点存在定理可知，方程ln 40x x +-=的实根所在区间为()2,3，故选B.【点睛】本题考查零点所在区间，考查零点存在定理的应用，注意零点存在定理所适用的情形，必要时结合单调性来考查，这是解函数零点问题的常用方法，属于基础题．10．己知为坐标原点，设、 分别是双曲线的左、右焦点，为双曲线左支上任一点，过点作的平分线的垂线，垂足为，则（ ）A ．B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】【分析】 根据中位线性质得到得到答案.【详解】 如图所示：延长交于的平分线为，为中点 在中，是中点， 为中点故答案选C本题考查了双曲线的性质，利用中位线性质将是解题的关键.11．函数()y f x =的图象如图所示，下列数值排序正确的是（ ）A ．()()()()1221f f f f ''<<-B ．()()()()1212f f f f ''<-<C ．()()()()2211f f f f ''<-<D ．()()()()2121f f f f ''<<-【答案】B【解析】【分析】根据已知条件可以把()()21f f -转化为()()2121f f -- 即为函数()y f x =在x 为1和2对应两点连线的斜率，且()1f '，()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率，再结合图像即可得到答案.【详解】()1f '，()2f '是x 分别为1,2时对应图像上点的切线斜率，()()()()212121f f f f --=-Q ， ()()21f f ∴-为图像上x 为1和2对应两点连线的斜率，（如图）本题考查了导数的几何意义以及斜率公式，比较斜率大小，属于较易题.12．一个盒子里有支好晶体管，支坏晶体管，任取两次，每次取一支，每次取后不放回，已知第一支是好晶体管时，则第二支也是好晶体管的概率为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：由题意，知取出一好晶体管后，盒子里还有5只好晶体管，4支坏晶体管，所以若已知第一支是好晶体管，则第二支也是好晶体管的概率为，故选D ．考点：等可能事件的概率．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在的展开式中常数项等于___【答案】1【解析】【分析】 先求出二项式展开式的通项，然后根据分类讨论的方法得到常数项．【详解】 二项式的展开式的通项为， ∴中的常数项为．故答案为1．【点睛】对于含有两个括号的展开式的项的问题，求解时可分别求出每个二项式的展开式的通项，然后采用组合（即“凑”）的方法得到所求的项，解题时要做到细致、不要漏掉任何一种情况．14．若曲线221x y +=在矩阵2001⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为____ . 3在曲线221x y +=上任取一点(),x y ''，得出221x y ''+=，由变换得出2x x y y =⎧⎨=''⎩，代入方程221x y ''+=可得出椭圆方程，由此可计算出椭圆的离心率.【详解】在曲线221x y +=上任取一点(),x y ''，得出221x y ''+=，① 设点(),x y ''经过变换后对应的点的坐标为(),x y ，由题意可得2001x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则有2x x y y =⎧⎨=''⎩，即2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'， 代入②式得2214x y +=，则2a =，1b =，c =因此，椭圆的离心率为2e =【点睛】本题考查坐标变换，考查相关点法求轨迹方程，同时也考查了椭圆离心率的求解，解题的关键就是利用相关点法求出轨迹方程，考查运算求解能力，属于中等题.15．已知奇函数()(R y f x x =∈且0)x ≠，'()f x 为()f x 的导函数，当0x >时，'()()0xf x f x ->，且(2)0f =，则不等式()0f x ≤的解集为_____．【答案】(](]--20,2∞U ，【解析】【分析】 构造函数()()f x F x x =，2'()()'()xf x f x F x x -=，根据条件可知，当0x >时，'()0F x >，(2)0F =，根据单调性可得2(]0,x ∈时()0F x ≤，则有()0f x ≤；当0x <时，同理进行讨论可得.【详解】 由题构造函数()()f x F x x =，求导得2'()()'()xf x f x F x x -=， 当0x >时，'()0F x >, 所以()()f x F x x=在()0,∞+上递增，[)2,x ∈+∞时()0F x ≥，那么此时()0f x ≥；当0x <时，()f x 为奇函数，则()F x 是偶函数，根据对称性，(],2x ∈-∞时()0F x ≥， 又因()()f x F x x=，故当(,2]x ∈-∞-时，()0f x ≤； 综上()0f x ≤的解集为(,2](0,2]-∞-⋃.【点睛】本题考查求不等式解集，运用了构造新函数的方法，根据讨论新函数的单调性求原函数的解集，有一定难度.16．记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30a =，6714a a +=，则7S =____．【答案】2【解析】【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出a 1=﹣4，d=2，由此能求出S 1．【详解】∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=0，a 6+a 1=2，∴111205614a d a d a d +=⎧⎨+++=⎩， 解得a 1=﹣4，d=2，∴S 1=1a 1+762d ⨯=﹣28+42=2． 故答案为：2．【点睛】本题考查等差数列的前1项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知函数()1()xf x e ax a R =++∈.若0x =是()f x 的极值点. (1)求()f x 在[2,1]-上的最小值；(2)若不等式()'1xkf x xe <+对任意0x >都成立,其中k 为整数,()'f x 为()f x 的函数,求k 的最大值. 【答案】（1）2；（2）2.【解析】分析：（1）求出函数的导数，求出a 的值，根据函数的单调性求出函数的最小值即可；围即可.详解：（1）()'xf x e a =+，由0x =是()f x 的极值点，得()'00f =，1a ∴=-. 易知()f x 在[]2,0-上单调递减，在[]0,1上单调递增，所有当0x =时，()f x 在[]2,1-上取得最小值2.(2)由(1)知1a =-，此时()'1x f x e =-， ()()'111x x x kf x xe k e xe ∴<+⇔-<+10,10,1x x x xe x e k e +>∴->∴<-Q ， 令()1(0)1x x xe g x x e +=>-，()min k g x ∴<， ()()2'(0)1x x x e e x g x x e --=>-， 令()2x h x e x =--，()'10x h x e =->，()h x ∴在()0,+∞单调递增，且()10h <，()20h >，()h x ∴在()0,+∞时，()'0g x >，()()0000min 11x x g x g x x e +∴==+-， 由000'()02x g x e x =⇒=+，()()0012,3g x x ∴=+，又()0k g x Q <，且k Z ∈，所以k 的最大值为2.点睛：本题考查了函数的单调性、最值问题，考查了导数的应用以及函数恒成立问题，是一道综合题.18．设:p 关于x 的不等式1(01)x a a a >>≠且的解集为{|0},:x x q <函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R .若“p q 且”为假命题,“p q 或”为真命题,求实数a 的取值范围． 【答案】102a <≤或1a ≥. 【解析】试题分析：先分别求出命题p 和命题q 为真命题时a 的取值范围,然后根据“p q 且”为假命题,“p q 或”为真命题,得出p q 、一真一假,再求出a 的取值范围.试题解析：由不等式1(01)x a a a >>≠且的解集为{|0}x x <,得:01p a <<; 由函数()2lg y ax x a =-+的定义域为R ,∴20140a a >⎧⎨=-<⎩n ,解得12a >. ∵“p q 且”为假命题,“p q 或”为真命题, ∴p q 、一真一假,∴0112a a <<⎧⎪⎨≤⎪⎩或112a a ≥⎧⎪⎨>⎪⎩∴102a <≤或1a ≥. 点睛：由含逻辑连结词的命题的真假求参数的取值范围的方法： （1）求出当命题,p q 为真命题时所含参数的取值范围； （2）判断命题,p q 的真假性；（3）根据命题的真假情况，利用集合的交集和补集的运算，求解参数的取值范围． 19．设函数2()sin cos f x x x x a ωωω=++（其中0.)a R ω>∈）, 且()f x 的图像在y 轴右侧的第一个最高点的横坐标为6π （1）求ω的值； （2）如果()f x 在区间5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，求a 的值． 【答案】 (1) 12ω= (2)12a =【解析】试题分析：(1)f(x)＋12sin2ωxa＝sin 23x πω⎛⎫+ ⎪⎝⎭a. 依题意得2ω·6π＋3π＝2π，解得ω＝12.(2)由(1)知，f(x)＝sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭a. 又当x ∈5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，x ＋3π∈70,6π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故12-≤sin 3x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤1，从而f(x)在5,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上取得最小值12- a.由题设知12-a a . 考点：和差倍半的三角函数，三角函数的图象和性质．点评：中档题，本题较为典型，即首先利用和差倍半的三角函数公式，将三角函数式“化一”，进一步研究函数的图像和性质．本题（2）给定了自变量的较小范围，应注意确定x ωϕ+的范围，进一步确定函数的最值．20．在考察黄烟经过药物处理和发生青花病的关系时，得到如下数据：在试验的470株黄烟中，经过药物处理的黄烟有25株发生青花病，60株没有发生青花病；未经过药物处理的有185株发生青花病，200株没有发生青花病．试推断药物处理跟发生青花病是否有关系．【答案】在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的． 【解析】 【分析】先完成列联表，计算2K 的观测值，对照表格数据即可得结论 【详解】由已知条件得22⨯列联表如下：提出假设0H ：经过药物处理跟发生青花病无关系． 根据列联表中的数据，可以求得2K 的观测值()2247025200185609.78821026085385K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯.因为当0H 成立时，27.879K ≥的概率约为0.005，而此时9.7887.879k =>，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为药物处理跟发生青花病是有关系的．【点睛】本题考查独立性检验，考查计算能力，是基础题21．已知椭圆2222:1(0)C bb x a a y +>>=的上、下焦点分别为12,F F ，上焦点1F 到直线43120x y ++=的距离为3，椭圆C 的离心率12e =. （1）求椭圆C 的方程；（2）椭圆22223:116y x E a b+=，设过点(0,1)M 斜率存在且不为0的直线交椭圆E 于,A B 两点，试问y 轴上是否存在点P ，使得()PA PBPM PA PBλ=+u u u u v u u u vu u u u v u u u v u u uu v ？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】 (1) 221.43y x +=(2) 存在点(0,4)P 使得()PA PBPM PA PBλ=+u u u v u u u vu u u u v u u u v u u u u v . 【解析】分析：（1）根据已知列方程组，解方程组即得椭圆的方程. (2)先假设存在()0,P t ，再化简已知得到4t =，所以存在.详解：（1）由已知椭圆C 方程为22221(0)y x a b a b+=>>，设椭圆的焦点()10,F c ，由1F 到直线43120x y ++=的距离为3，得31235c +=，又椭圆C 的离心率12e =，所以12c a =，又222a b c =+， 求得24a =，23b =.椭圆C 方程为22143y x +=.（2）存在.理由如下：由（1）得椭圆22:1164x y E +=，设直线AB 的方程为()10y kx k =+≠，联立2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理得()22418120k x kx ++-=.()()22844112k k ∆=++⨯ 2256480k =+>.设()11,A x y ，()22,B x y ，则122841k x x k +=-+，1221241x x k =-+. 假设存在点()0,P t 满足条件，由于||PA PB PM PB PA λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u u v u u u u v u uu v ，所以PM 平分APB ∠. 易知直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，∴0PA k +=. 即12120y t y tx x --+=，即()()21120x y t x y t -+-=.（*） 将111y kx =+，221y kx =+代入（*）并整理得()()1212210kx x t x x +-+=， ∴()()221812204141t k k k k -⨯--⋅+=++，整理得()310k k t +-=，即()40k t -=， ∴当4t =时，无论k 取何值均成立. ∴存在点()0,4P 使得PA PB PM PA PB u u u v u u u v u u u u v u uu v u u u v λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭. 点睛：（1）本题主要考查椭圆的方程，考查直线和椭圆的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力及分析推理计算能力. (2)解答本题的关键是对||PA PB PM PB PA λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭u u u v u u u v u u u u vu u u uv u u u v 的转化，由它画图可得PM 平分APB ∠，所以直线PA 与直线PB 的倾斜角互补，所以0PA k +=.22．（1）已知矩阵1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，矩阵B 的逆矩阵111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，求矩阵AB . （2）已知矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的一个特征值为3，求10M . 【答案】（1）51401⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦;（2）29525295242952429525⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（1）依题意，利用矩阵变换求得11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，再利用矩阵乘法的性质可求得答案． （2）根据特征多项式的一个零点为3，可得x 的值，即可求得矩阵M ，运用对角化矩阵，求得所求矩阵． 【详解】（1）解：111202B -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥⎣⎦Q ，11112124()221010222B B --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥∴===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦，又1202A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 1202AB ⎡⎤∴=⎢⎥-⎣⎦15114410102⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦． （2）解：矩阵122M x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的特征多项式为12()(1)()42f x x λλλλλ--==-----， 可得2(3)40x --=，解得1x =，即为1221M ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦.由()0f λ=可得13λ=，21λ=-， 当13λ=时，由12321x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即23x y x +=，23x y y +=，即x y =，取1x =， 可得属于3的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥⎣⎦；当11λ=-时，由1221x x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即2x y x +=-，2x y y +=-，即x y =-，取1x =， 可得属于1-的一个特征向量为11⎡⎤⎢⎥-⎣⎦.设1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，则111221122P -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦，13001M P P -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， 101115904905904912952529524220159049111295242952522M P P -⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦． 【点睛】本题考查逆变换与逆矩阵，考查矩阵乘法的性质，考查了特征值与特征向量，考查了矩阵的乘方的计算的知识.。

桂林市2020～2021学年度下学期期末质量检测高二年级数学（文科）（考试时间120分钟，满分150分）说明：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．2．请在答题卷上答题（在本试卷上答题无效）第Ⅰ卷 选择题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．函数()x f x e =的导函数()f x '=（ ）A ．1xB ．x eC ．ln xD ．1x xe -2．设复数2z i =-，则z 的实部为（ ）A ．1-B ．2C ．2-D ．i3．曲线231y x =+在1x =处的切线的斜率为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．34．某产品生产厂家的市场部在对4家商场进行调研时，获得该产品的售价x （单位：元）和销售量y （单位：百个）之间的四组数据如下表：用最小二乘法求得销售量y 与售价x 之间的线性回归方程ˆ 1.417.5y x =-+，那么表中实数a 的值为（ ）A ．4B ．4.7C ．4.6D ．4.55．用反证法证明“若3a b c ++=，则a ，b ，c 中至少有一个数不小于1”时，正确的假设为（ ）A ．a ，b ，c 中至多有一个数大于1B ．a ，b ，c 中至多有一个数小于1C ．a ，b ，c 中至少有一个数大于1D ．a ，b ，c 都小于16．()()14i i -+=（ ）A ．35i +B ．35i -C ．53i +D ．53i - 7．如果根据性别与是否爱好运动的列联表得到2 3.852 3.841K ≈>，所以判断性别与运动有关，那么这种判断犯错的可能性不超过（ ）A ．5%B ．2.5%C ．1%D ．0.5%8．因为对数函数log a y x =（0a >，且1a ≠）是增函数，而12log y x =是对数函数，所以12log y x =是增函数．上面的推理错误的是（ ）A ．大前提B ．小前提C ．推理形式D ．以上都是9．如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”，执行该程序框图，若输入a ，b 分别为14，18，则输出的a =（ ）A ．0B ．2C ．4D ．1410．甲、乙、丙、丁四位同学被问到谁去过长城时，甲说“我没去过”，乙说：“丁去过”，丙说：“乙去过”，丁说：“我没去过”．假定四人中只有一人说的是假话，由此可判断一定去过长城的是（ ）A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁11．已知函数()f x 的导函数()f x '的大致图象如图所示，则()f x （ ）A ．在(),0-∞单调递减B ．在0x =处取极小值C ．在()1,2单调递减D ．在2x =处取极大值12．已知()f x '为函数()f x 的导函数，当0x >时，有()()0f x xf x '->恒成立，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．()1212f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭B ．()1212f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭C ．()1212f f ⎛⎫< ⎪⎝⎭D ．()1212f f ⎛⎫>⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷 非选择题二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．设24z i =+，则z =______．14．已知函数()321f x x x =++，则()1f '=______． 15．在平面内，点()00,x y 到直线0Ax By C ++=的距离公式为d =，通过类比的方法，点()000,,x y z 到平面0Ax By Cz D +++=的距离为______．16．已知函数()xf x ax e =+没有极值点，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应给出文字说明、证明过程及演算步骤．17．（本小题满分10分）>18．（本小题满分12分）当今社会，手机已经成为人们生活中不可缺少的学习、交流的工具。

桂林市名校2020年高二第二学期数学期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知实数,a b 满足cos cos a b a b ->-，则下列说法错误．．的是（ ） A ． cos cos a b a b +>+ B ．cos cos a b b a ->- C ．sin sin a b a b ->-D ．sin sin a b b a ->-2．对于复数123、、z z z ，给出下列三个运算式子：（1）1212z z z z +≤+，（2）1212z z z z ⋅=⋅，（3）123123()()z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅.其中正确的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．33．己知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点B 为抛物线的焦点，P 在抛物线上且满足PA m PB =，当m 取最大值时，点P 恰好在以A 、B 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为A ．21+ B ．21+C ．51- D ．51-4．曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2B ．2πC ．πD ．45．在《九章算术）方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至不能割，则与圆周合体而无所失矣．”注述中所用的割圆术是一种无限与有限的转化过程，比如在2+2+2+...中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值x ，这可以通过方程2x x +=确定出来2x =，类似地，可得112122...+++的值为（ ）A ．21+B ．21-C ．23+D ．32-6． “”是“”的 （ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件7．在某项测量中测量结果()2~3,(0)X N σσ>，若X 在(3,6)内取值的概率为0.3，则X 在(0,)+∞内取值的概率为（ ） A ．0.2B ．0.4C ．0.8D ．0.98．集合{}22A x x =-≤≤，{}0,2,4B =，则A B =（ ）A ．{}0B ．{}02，C ．[]0,2D ．{}012，，9．设0,0a b >>，若3是33a b 与的等比中项，则11a b+的最小值为（ ） A ．8B ．14C ．1D ．410．抽查10件产品，设事件A ：至少有两件次品，则A 的对立事件为（ ） A ．至多两件次品 B ．至多一件次品 C ．至多两件正品D ．至少两件正品11．命题“2,x x R e x ∀∈>”的否定是( ) A ．2,x x R e x ∀∈≤ B ．0200,x x R ex ∃∈>C ．0200,x x R ex ∃∈≤D ．2,x x R e x ∀∈<12．设函数f （x ）在定义域内可导，y=f （x ）的图象如图所示，则导函数y=f ′（x ）的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．直角坐标系下点(2,2)--的极坐标为(0,[,])ρθππ>∈- ______.14．已知曲线F （x ，y ）=0关于x 轴、y 轴和直线y=x 均对称，设集合S={（x ，y ）|F （x ，y ）=0，x∈Z，y∈Z}．下列命题：①若（1，2）∈S，则（-2，-1）∈S； ②若（0，2）∈S，则S 中至少有4个元素； ③S 中元素的个数一定为偶数；④若{（x ，y ）|y 2=4x ，x∈Z，y∈Z}⊆S ，则{（x ，y ）|x 2=-4y ，x∈Z，y∈Z}⊆S ． 其中正确命题的序号为______．（写出所有正确命题的序号）15．类比初中平面几何中“面积法”求三角形内切圆半径的方法，可以求得棱长为a 的正四面体的内切球半径为__________． 16．已知,0a b >，则4b aa a b++的最小值为________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()30f x x x a a =++->. （1）当1a =时，求不等式()4f x >的解集；（2）若不等式()7f x <的解集包含[],3a ，求a 的取值范围.18．2018年6月14日，第二十一届世界杯尼球赛在俄罗斯拉开了帷幕，某大学在二年级作了问卷调查,从该校二年级学生中抽取了90人进行调查,其中女生中对足球运动有兴趣的占40%，而男生有12人表示对足球运动没有兴趣.（1）完成22⨯列联表,并回答能否有99.9%的把握认为“对足球是否有兴趣与性别有关”？（2）若将频率视为概率,现再从该校二年级全体学生中,采用随机抽样的方法每饮抽取1名学生,抽取3次，记被抽取的3名学生中对足球有兴趣的人数为X ，若每次抽取的结果是相互独立的，求X 的分布列和数学期望. 附:()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++19．（6分） “初中数学靠练，高中数学靠悟”.总结反思自己已经成为数学学习中不可或缺的一部分，为了了解总结反思对学生数学成绩的影响，某校随机抽取200名学生，抽到不善于总结反思的学生概率是0.6. （1）完成22⨯列联表（应适当写出计算过程）；（2）试运用独立性检验的思想方法分析是否有99.9%的把握认为学生的学习成绩与善于总结反思有关. 统计数据如下表所示：参考公式：22(),()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++其中.n a b c d =+++20．（6分）已知函数ln ()()x af x a R x+=∈在x e =处取得极值. （1）求()f x 的单调递增区间；（2）若关于x 的不等式2ln (3)x b x >-至少有三个不同的整数解，求实数b 的取值范围. 21．（6分）选修4-5：不等式选讲已知函数()212f x x x a =-++，()3g x x =+， （Ⅰ）当2a =-时，解不等式：()()f x g x <； （Ⅱ）若1a >-，且当1,22a x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()()f x g x ≤，求a 的取值范围． 22．（8分）已知函数3()4f x ax bx =++，当2x =-时，函数()f x 有极大值8.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若不等式()0f x mx +>在区间[1,3]上恒成立，求实数m 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】设()cos f x x x =-，证明()f x 单调递增，得到a b >，构造函数根据单调性到BCD 正确，取1a =，1b =-，则cos cos a b a b +>+不成立，A 错误，得到答案. 【详解】设()cos f x x x =-，则()'1sin 0f x x =+≥恒成立，故()f x 单调递增，cos cos a b a b ->-，即cos cos a a b b ->-，即()()f a f b >，a b >. 取1a =，1b =-，则 cos cos a b a b +>+不成立，A 错误；设()cos g x x x =+，则()'1sin 0g x x =-≥恒成立，()g x 单调递增， 故()()g a g b >，就cos cos a b b a ->-，B 正确； 同理可得：CD 正确. 故选：A .【点睛】本题考查了根据函数的单调性比较式子大小，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 2．D 【解析】分析：根据复数的几何意义可得（1）正确；根据复数模的公式计算可得到（2）正确；根据复数乘法运算法则可判断（3）正确，从而可得结果.详解：根据复数的几何意义，由三角形两边之和大于第三边可得1212z z z z +≤+，（1）正确；设12z a biz c di =+=+，则()()12z z ac bd ad bc i =-++，12z z ===12z z =⋅，（2）正确；根据复数乘法的运算法则可知()()123123z z z z z z ⋅⋅=⋅⋅，（3）正确，即正确命题的个数是3，故选D.点睛：本题主要考查复数模的公式、复数的几何意义、复数乘法的运算法则，意在考查基础知识掌握的熟练程度，以及综合运用所学知识解决问题的能力，属于难题. 3．B 【解析】 【分析】根据题目可知，过P 作准线的垂线，垂足为N ，则由抛物线的定义，结合PA m PB =，可得1PN PAm=，设PA 的倾斜角为α，当m 取得最大值时，sin α最小，此时直线PA 与抛物线相切，即可求出的P 的坐标，再利用双曲线的定义，即可求得双曲线得离心率。

桂林市2019~2020学年度下学期期末质量检测高二年级 数学（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的.1. 23A =（ ）A. 3B. 6C. 9D. 12【答案】B 【解析】 【分析】直接根据排列数公式计算即可得答案.【详解】解：根据排列数公式()()()121mn A n n n n m =---+得：23326A =⨯=.故选：B.【点睛】本题考查排列数公式的计算，是基础题. 2. i （1+i ）=（ ） A. 1i -+ B. 1i -- C. 1i + D. 1i -【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算得到结果.【详解】根据复数的乘法运算得到：原式i （1+i ）=i-1． 故选A ．【点睛】这个题目考查了复数的乘法运算，题目简单基础. 3. 函数()ln f x x =的导数是（ ） A. x B.1xC. ln xD. x e【答案】B 【解析】 【分析】根据导数公式直接计算即可得答案. 【详解】解：因为()1ln 'x x=， 所以()1'f x x=. 故选：B.【点睛】本题考查导数的公式，是基础题. 4.212xdx =⎰（ ）A. 3B. 2C. 1D.32【答案】A 【解析】 【分析】直接利用微积分基本定理求解即可．【详解】222112|413xdx x ==-=⎰． 故选：A ．【点睛】本题考查微积分基本定理的应用，考查计算能力，属于基础题． 5. 5(12)x +的展开式中的常数项为（ ） A. -1 B. 1C. 92D. 93【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为0，求出r ，可得展开式的常数项．【详解】5(12)x +的展开式的通项为155(2)2r r r r rr T C x C x +==， 当0r =时，可得5(12)x +的展开式中的常数项为00521C =．故选：B ．【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是熟练掌握二项式定理，正确写出其通项，属于基础试题6. 用反证法证明命题“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时，应假设（ ）A. a b <B. a b ≤C. a b >D. a b ≥【答案】B 【解析】 【分析】直接利用命题的否定，写出假设即可．【详解】用反证法证明命题“在ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”时， 假设就是命题“ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定， 命题“ABC 中，若A B ∠>∠，则a b >”的结论的否定是：a b ． 故选：B ．【点睛】本题考查反证法的定义以及命题的否定，基本知识的考查． 7. 关于函数3()f x x x =+，下列说法正确的是（ ） A. 没有最小值，有最大值 B. 有最小值，没有最大值 C. 有最小值，有最大值 D. 没有最小值，也没有最大值【答案】D 【解析】 【分析】 利用()'fx 研究函数()f x 的最值.【详解】依题意()'2310f x x =+>，所以()f x 在R 上递增，没有最小值，也没有最大值.故选：D【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的最值，属于基础题. 8. 已知随机变量X 的分布列是则a b +=（ ） A.23B.32C. 1D.34【解析】 【分析】直接根据离散型随机变量的分布列的性质求解即可得答案.【详解】解：根据离散型随机变量的分布列的概率和为1得：113a b ++=， 所以23a b +=. 故选：A.【点睛】本题考查分布列的性质，是基础题. 9. 已知随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，且(4)0.68P ξ≤=，则(2)P ξ≤=（ ）A. 0.84B. 0.68C. 0.32D. 0.16【答案】C 【解析】 【分析】直接利用正态分布的应用和密度曲线的对称性的应用求出结果． 【详解】解：根据随机变量ξ服从正态分布()23,N σ，所以密度曲线关于直线3x =对称， 由于()40.68P ξ≤=，所以()410.680.32P ξ≥=-=， 所以()20.32P ξ≤=． 故选：C.【点睛】本题考查正态分布的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．10. 在正方体ABCD ­-A 1B 1C 1D 1中，E 是C 1C 的中点，则直线BE 与平面B 1BD 所成角的正弦值为( )A 5-B.5C. 5- D.5【解析】 【分析】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线BE 与平面1B BD 所成角的正弦值．【详解】以D 为坐标原点，以DA 为x 轴，以DC 为y 轴，以1DD 为z 轴，建立如图空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则()000D ，，，()220B ，，，()1222B ，，，()021E ，，，∴() 220BD =--，，，()1 002BB =，，，() 201BE =-，，，设平面1B BD 的法向量为(),,x n y z =， ∵ n BD ⊥，1 n BB ⊥， ∴22020x y z --=⎧⎨=⎩，令y 1=，则()110n =-，，， ∴10cos ,5n BE n BE n BE⋅==⋅， 设直线BE 与平面1B BD 所成角为θ， 则10sin cos ,5n BE θ==，故选B ． 【点睛】本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，准确得到面的法向量是解题的关键，是中档题．11. 根据上级扶贫工作要求，某单位计划从5名男干部和6名女干部中选出1名男干部和2名女干部组成一个扶贫小组，派到某村开展“精准扶贫”工作，那么不同的选法有（ ）A. 60种B. 70种C. 75种D. 150种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，先在5名男干部中任选1人，再从6名女干部中选出2人，由分步计数原理计算可得答案．【详解】根据题意，先在5名男干部中任选1人，有155C =种选法， 再从6名女干部中选出2人，有2615C =种选法，则有51575⨯=种不同的选法； 故选：C ．【点睛】本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．12. 定义域为R 的可导函数()y f x =的导函数为()f x '，满足()()f x f x '>，且()02f =，则不等式()2xf x e <的解集为（ ）A. (),0-∞B. (),2-∞C. ()0,∞+D. ()2,+∞【答案】C 【解析】【详解】构造函数()()x f x g x e=，根据()()f x f x '>可知()0g x '<，得到()g x 在R 上单调递减；根据()()002f g e==，可将所求不等式转化为()()0g x g <，根据函数单调性可得到解集.【解答】令()()x f x g x e =，则()()()()()20x x x xf x e f x e f x f xg x e e ''--'==< ()g x ∴在R 上单调递减 ()02f = ()()002f g e∴== 则不等式()2xf x e >可化为()2xf x e<等价于()2g x <，即()()0g x g < 0x ∴> 即所求不等式的解集为：()0,∞+ 本题正确选项：C【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性求解不等式，关键是能够构造函数()()xf xg x e =，将所求不等式转变为函数值的比较，从而利用其单调性得到自变量的关系． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知i 是虚数单位，复数2z i =+，则z =__________.【解析】 【分析】直接根据复数的模的计算公式计算即可得答案.【详解】解：根据复数模的计算公式得：z =【点睛】本题考查复数模的计算，是基础题. 14. 已知()12P B A =，3()10P AB =，则()P A =__________. 【答案】35【解析】 【分析】直接根据条件概率公式计算即可得答案. 【详解】解：根据条件概率公式()()()P AB P B A P A =和已知条件()12P B A =，3()10P AB =， 所以()()()3310152P AB P A P B A ===. 故答案为：35【点睛】本题考查条件概率公式的应用，是基础题.15. 经过圆221x y +=上一点()00,x y 的切线方程为001x x y y +=，则由此类比可知：经过椭圆22221x y a b+=上一点()00,x y 的切线方程为______. 【答案】00221x x y ya b+= 【解析】 【分析】根据圆的切线方程形式，类比推理出椭圆的切线方程．【详解】解：圆的性质中，经过圆上一点()00,M x y 的切线方程就是将圆的方程中的一个x 和y 分别用()00,M x y 的横坐标与纵坐标替换，故可得椭圆22221x y a b +=类似的性质为：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y ya b+=. 故答案为:00221x x y ya b+=.【点睛】考查了类比推理的数学思想，是基础题．16. 函数()cos f x x x =-在区间[0,]π上的最大值为__________. 【答案】1π+ 【解析】 【分析】求出导函数()f x '，[0x ∈，]π，利用导数研究函数()f x 的单调性，根据单调性可得结果． 【详解】数()cos f x x x =-， ()1sin f x x '=+， [0x ∈，]π，()0f x ∴'>，当[0x ∈，]π时，函数()f x 单调递增；∴函数()f x 在区间[0，]π上的最大值为：()1f ππ=+．故答案为：1π+．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分解答应给出文字说眀、证明过程及演算步骤.17. 在91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，求： （1）含x 的项； （2）含3x 的项的系数.【答案】（1）126x ；（2）84-. 【解析】 【分析】（1）写出二项展开式的通项，令x 的指数为1，求得参数的值，代入通项可求得结果；（2）写出二项展开式的通项，令x 的指数为3，求得参数的值，进而可求得展开式中含3x 的项的系数.【详解】（1）91x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式的通项为()99219911rr r rr r r T C xC x x --+⎛⎫=-=- ⎝⋅⋅⋅⋅⎪⎭， 令921r -=，得4r =，所以含x 的项为()4491126C x x -=⋅；（2）由（1），令923r -=，得3r =，所以含3x 的项的系数为()339184C ⋅-=-.【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项或指定项的系数，考查计算能力，属于基础题. 18. 已知函数1()ln 2f x x x ax =++在(1, (1))f 处的切线方程为2210x y --=. （1）求实数a 的值；（2）求()f x 的单调区间.【答案】（1）0a =；（2）减区间为10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【分析】（1）求导得()1f x lnx a '=++，利用f '（1）1=，列出关于a 的方程，解之即可． （2）由（1）可知，()1(0)f x lnx x '=+>，令()0f x '=，则1=x e，然后根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系判断即可得解．【详解】（1）1()2f x xlnx ax =++，()1f x lnx a '∴=++， ()f x 在点(1，f （1）)处的切线方程为2210x y --=，f '∴（1）1=，即011a ++=，解得0a =．（2）由（1）可知，1()2f x xlnx =+，()1(0)f x lnx x '∴=+>， 当1(0,)∈x e时，()0f x '<，()f x 单调递减；当1(x e ∈,)+∞时，()0f x '>，()f x 单调递增，故()f x 的单调递减区间为1(0,)e，单调递增区间为1(e ,)+∞．【点睛】本题考查利用导数研究函数的切线方程、单调性，理解原函数的单调性与导函数的正负性之间的联系是解题的关键，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题． 19. 在数列{}n a 中，已知11a =，112nn na a a +=+.（1）计算2a ，3 a ，4a ；（2）根据计算结果猜想出{}n a 的通项公式n a ，并用数学归纳法证明你的结论. 【答案】（1）213a =，315a =，417a =；（2）121n a n =-，证明见解析.【解析】 【分析】（1）利用()*11112nn na a a n N a +==∈+，，n 分别取234，，可求出234,,a a a ，并由此猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式；（2）根据计算结果猜想数列{}n a 的通项公式n a 的表达式，用数学归纳法证明①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立；②假设n k =成立，利用()*112n n n a a n N a +=∈+，可证得当1n k =+时猜想也成立，故可得结论.【详解】（1）∵111,(1,2,3,)12nn a a a n a+===⋅⋅⋅+， ∴1211123a a a ==+，同理可得：315a =，417a =. （2）由（1）计算结果猜想121n a n =-， 下面用数学归纳法证明： ①当1n =时，111211a ==⨯-，猜想成立，②假设当()*1n k k N=+∈时，猜想成立，即：121kak =-. 则当()*1n k k N =+∈时，111121212212(1)1121k k k a k a a k k k +-====+++-+-，所以，当1n k =+时，猜想成立. 根据①②可知猜想对任何*n N ∈都成立.【点睛】本题主要考查了以数列递推式为载体，考查了数列的通项的猜想与证明，解题的关键是利用数学归纳法证明，尤其第二步的证明.属于中档题． 20. 在四棱锥P ABCD -中，已知底面ABCD正方形，PA ⊥底面ABCD ，且2PA AD ==，E 为PD 中点.（1）求证：//PB 平面ACE ； （2）求二面角A BE C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）105- 【解析】 【分析】(1)由中位线可知//OE BP ，结合线面平行判定即可证明//PB 平面ACE ；(2)以A 为原点构建空间直角坐标系，写出对应点的坐标并求出面ABE 、面BCE 的法向量，根据法向量夹角与二面角的关系求它们的夹角的余弦值【详解】（1）证明:连接AC 、BD ，AC BD O = ，连接EO∵在BPD △中，BO OD =，PE ED = ∴//OE BP又∵BP ⊄平面ACE ，OE ⊂平面ACE ∴//BP 平面ACE（2）由题，易知PA ，AD ，AB 两两互相垂直，2PA AD == 故可建立如图的空间直角坐标系A xyz -，则(0,0,0)A ，(2,2,0)C ，(0,1,1)E ，(2,0,0)B ，有(0,1,1)AE =，(2,0,0)AB =，(0,2,0)CB =-，(2,1,1)CE =--设(,,)m x y z =为平面ABE 的一个法向量，有020y z x +=⎧⎨=⎩令1y =-，1z =，得(0,1,1)m =-同理若(,,)n x y z =是平面BCE 的一个法向量，有2020y x y z -=⎧⎨--+=⎩令1x =，2z =，得(1,0,2)n = 则10cos ,||5|,|25m n m n m n ⋅〈〉===⨯∴由图知，二面角A BE C --(钝角)的余弦值为10-【点睛】本题考查了线面平行的判定证明平行，利用空间向量求二面角的余弦值，由题意构建空间坐标系并根据二面角所在的两个面确定各点坐标，可得面的法向量，进而求二面角的余弦值21. 东方商店欲购进某种食品（保质期两天），此商店每两天购进该食品一次（购进时，该食品为刚生产的）.根据市场调查，该食品每份进价8元，售价12元，如果两天内无法售出，则食品过期作废，且两天内的销售情况互不影响，为了了解市场的需求情况，现统计该产品在本地区100天的销售量如下表：（视样本频率为概率）（1）根据该产品100天的销售量统计表，记两天中一共销售该食品份数为ξ，求ξ的分布列与期望（2）以两天内该产品所获得的利润期望为决策依据，东方商店一次性购进32或33份，哪一种得到的利润更大？【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得ξ的取值为30,31,32,33,34,35,36，计算相应的概率值即可确定分布列和数学期望；（2）分别求解当购进32份时的利润和购进33份时的利润即可确定利润更高的决策. 【详解】（1）根据题意可得()111305525P ξ==⨯=，()13331251025P ξ==⨯⨯=，()123313225510104P ξ==⨯⨯+⨯=，()11327332251010525P ξ==⨯⨯+⨯⨯=，()31221134210105550P ξ==⨯⨯+⨯=， ()21235251025P ξ==⨯⨯=，()111361010100P ξ==⨯=，ξ的分布列如下：()131711213031323334353632.825254255025100E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （2）当购进32份时，利润()()2131324314830416252525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 107.5213.92 4.16125.6=++=， 当购进33份时，利润为()()()591313343248314163042410042525⨯⨯+⨯-⨯+⨯-⨯+⨯-⨯ 77.883012.96 3.84124.68=+++=， 125.6124.68>可见，当购进32份时，利润更高.【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望的计算，概率统计的预测作用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 22. 已知函数()ln 2()f x m x x m =-∈R . （1）当6m =时，试确定()f x 的零点的个数；（2）若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，求证：2m ≤. 【答案】（1）2；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导函数的符号得到()f x 的单调性和极大值、计算1()f e，2()f e 的符号，由零点存在定理，即可判断零点个数；（2）由题意可得[(1)]2(1)x m ln x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，设(1)y ln x x =+-，求得导数和单调性，得到2(1)(1)x x e m ln x x+-<+-对任意的0x >恒成立，再由此不等式的右边与2作差比较，再求出m 的范围．【详解】（1）当6m =时，知()6ln 2(0)f x x x x =->，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∵当03x <<时，()0f x '>；当3x >，则62(3)()2x f x x x-'=-=， ∴()f x 在区间()0,3是单调递增，在区间(3,)+∞单调递减. ∴max ()(3)6ln 360f x f ==->. 又∵1260f e e⎛⎫=--< ⎪⎝⎭，()221220f e e =-<. ∵()f x 在区间1,3e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，在区间()23,e 各有1个零点.综上，函数()f x 零点的个数为2.（2）函数()ln 2f x m x x =-，若不等式(1)2xf x mx e +>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，即为ln(1)2(1)2xm x x mx e +-+>-对任意(0,)x ∈+∞恒成立 即有()(ln(1))21xm x x x e +->+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立，设ln(1)y x x =+-，1111x y x x -'=-=++，0x >时，0y '<，函数y 递减， 可得ln(1)0y x x =+-<，则()21ln(1)x x e m x x+-<+-对任意(0,)x ∈+∞恒成立.由()211ln(1)22ln(1)ln(1)x x x e x e x xx x x x+-+--++-=⋅+-+-， 设()1ln(1)(0)xg x x e x x x =+--++>，1()21xg x e x '=--+，21()(1)x g x e x ''=-+，由()y g x ''=在0x >递减，即有()0g x ''<，可得()y g x '=在0x >递减，即有()0g x '<，可得()g x 在0x >递减，可得()0g x <，而ln(1)0x x +-<，可得1ln(1)20ln(1)x x e x xx x+--++⋅>+-. 则由()212ln(1)x x e x x+->+-，所以2m ≤.【点睛】本题考查函数的零点个数和函数恒成立问题解法，零点存在定理和分离参数法、以及构造函数法，考查化简运算能力、推理能力，属于难题．。

广西省桂林市2019-2020学年数学高二第二学期期末考试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理( )A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误【答案】A【解析】【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论．【详解】对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误，故选A ．【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．2．已知离散型随机变量X 的分布列为表格所示，则随机变量X 的均值为（ ）A ．3B ．3C ．3D ．6【答案】C【解析】详解：由已知得11111636P +++=，解得：113P = ∴E （X ）=11115012363633⨯+⨯+⨯+⨯= 故选：C点睛：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查离散型随机变量的基本性质，是基础题. 3．用数学归纳法证：11112321n n ++++<-…（*n N ∈时1n >）第二步证明中从“k 到1k +”左边增加的项数是（ ）A ．21k +项B ．21k -项C ．12k -项D ．2k 项 【答案】D【解析】【分析】分别写出当n k =，和1n k =+时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果.【详解】 当n k =时，左边11112321k =++++-…，易知分母为连续正整数，所以，共有21k -项； 当1n k =+时，左边111112321k +=++++-…，共有121k +-项； 所以从“k 到1k +”左边增加的项数是121(21)2k k k +---=项.故选D【点睛】本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型.4．在区间[0,2]上随机取两个数，，则的概率是（ ）． A ． B ． C ． D ．【答案】C【解析】试题分析：由题意所有的基本事件满足，所研究的事件满足，画出可行域如图，总的区域面积是一个边长为2 的正方形，其面积为4，满足的区域的面积为，则的概率为考点：几何概型5．已知集合{}22(,)1A x y x y =+=，{}(,)B x y y x ==，则A B I 中元素的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0【答案】B【解析】试题分析：集合中的元素为点集，由题意，可知集合A 表示以()0,0为圆心，1为半径的单位圆上所有点组成的集合，集合B 表示直线y x =上所有的点组成的集合，又圆221x y +=与直线y x =相交于两点2222⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，22,22⎛-- ⎝⎭，则A B I 中有2个元素.故选B. 【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件.集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性.6．用数学归纳法证明不等式：11111231n n n +++>+++L ，则从n k =到 1n k =+时，左边应添加的项为（ ） A ．132k + B ．134k + C ．11341k k -++ D ．11113233341k k k k ++-++++ 【答案】D【解析】【分析】将n k =和1n k =+式子表示出来，相减得到答案.【详解】n k =时：11111231k k k +++>+++L 1n k =+时：11111112331323334k k k k k k ++++++>++++++L 观察知： 应添加的项为1111++-【点睛】本题考查了数学归纳法，写出式子观察对应项是解题的关键.7．七巧板是我国古代劳动人民的发明之一，被誉为“东方魔板”.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A．516B．38C．716D．12【答案】B【解析】【分析】设出大正方形的面积，求出阴影部分的面积，从而求出满足条件的概率即可．【详解】设“东方魔板”的面积是4，则阴影部分的三角形面积是1，阴影部分平行四边形的面积是1 2则满足条件的概率113248 P+==故选：B【点睛】本题考查了几何概型问题，考查面积之比，是一道基础题．8．若函数2,1()(1)1,1x x xf xf x x⎧->=⎨+-⎩，，…则(0)f=（）A．-1B．0C．1D．2 【答案】B【解析】【分析】利用函数的解析式，求解函数值即可．【详解】2,1x x x⎧->，∴2(0)(1)1(2)22220f f f =-=-=--=，故选B.【点睛】本题考查分段函数的应用，函数值的求法，考查计算能力，属于基础题.9．执行如图所示程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．14B ．13C ．3D ．4【答案】B【解析】分析：根据判断框的条件确定退出循环体的k 值，再根据框图的流程确定算法的功能，利用约分消项法求解．详解：由题可知：3343453458log 2,3log 2log 3,4log 2log 3log 4,5......log 2log 3log 4...log 7,8S k S k S k S k ===⋅==⋅⋅==⋅⋅= 此时输出S=345881log 2log 3log 4...log 7log 23⋅⋅==故选B.点睛：本题考查了循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能以及对对数公式的准确运用是关键．属于基础题.10．过点(4,5)且与2230x y -+=平行的直线l 与圆C ：2242110x y x y +-+-=交于M ，N 两点，则||MN 的长为（ ）A 2B ．22C ．32D ．42【答案】D【解析】由题意可得直线:10l x y -+=，求得圆心到直线距离，再由弦长公式222MN r d =-即可求解 【详解】 设直线:220l x y D -+=过点(4,5)，可得2D =，则直线:10l x y -+=圆C 的标准方程为()()222116x x -++=，∴圆心为()2,1-，4r = ∴圆心到直线距离()2112211d --+==+， ()()22222242242MN r d ∴=-=-=，故选D【点睛】 本题考查用设一般方程求平行直线方程以及几何法求圆的弦长问题11．如图，在三棱锥A BCD -中，侧面ABD ⊥底面BCD ，BC CD ⊥，AB AD 4==，BC 6=，BD 43=，直线AC 与底面BCD 所成角的大小为( )A ．30oB ．45oC ．60oD ．90o【答案】A【解析】【分析】 取BD 中点,可证AE BCD 面⊥，ACE ∠为直线AC 与底面BCD 所成角。

2020年广西省桂林市数学高二第二学期期末联考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图的上半部分均为半圆，下半部分为等腰直角三角形，则该几何体的表面积为（ ）A ．(2042)π+B ．(2022)π+C ．(4042)π+D ．(4082)π+【答案】A 【解析】 【分析】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体，计算表面积得到答案. 【详解】根据三视图知：几何体为半球和圆柱和圆锥的组合体.(2123114243224204222S S S S ππππ=++=⨯⋅+⨯+⨯=+.故选：A . 【点睛】本题考查了根据三视图求表面积，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.2．若346m m A C =，则m 等于( )A ．9B ．8C ．7D ．6【答案】C 【解析】分析：根据排列与组合的公式，化简得出关于m 的方程，解方程即可.详解：346m m A C =Q ，()()()()()1231264321m m m m m m m ---∴--=⨯⨯⨯⨯，点睛：本题主要考查排列公式与组合公式的应用问题，意在考查对基本公式掌握的熟练程度，解题时应熟记排列与组合的公式，属于简单题. 3．在复平面内，复数221z i i=+-+所对应的点在第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】D 【解析】 【分析】化简复数，找到对应点，判断象限. 【详解】 复数2212321z i i i i i=+-=-+-=-+ 对应点为：(3,2)- 在第四象限 故答案选D 【点睛】本题考查了复数的计算，属于简单题.4．已知(1)n x +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ） A ．92 B ．102 C ．112 D ．122【答案】A 【解析】由题意可得：46,4610n n C C n =∴=+= ，由二项式系数的性质可得：奇数项的二项式系数和为1091222⨯= . 本题选择A 选项.点睛：1．二项展开式的通项1C k n k kk n T a b -+=是展开式的第k ＋1项，这是解决二项式定理有关问题的基础．在利用通项公式求指定项或指定项的系数要根据通项公式讨论对k 的限制．2．因为二项式定理中的字母可取任意数或式，所以在解题时根据题意，给字母赋值，是求解二项展开式各项系数和的一种重要方法．3．二项式定理的应用主要是对二项展开式正用、逆用，要充分利用二项展开式的特点和式子间的联系．5．在平行四边形ABCD中，2AB AD ACAB AD AC λλ⎤+=∈⎦u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，，则cos ∠ABD 的范围是（ ）【答案】D 【解析】 【分析】利用2AB AD AC AB AD ACλ+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 可得边之间的关系，结合余弦定理可得cos ∠ABD 的表达式，然后可得范围. 【详解】因为2AB AD ACAB AD ACλ+=u u u r u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ，所以::1:2:AB AD AC λ=u u u r u u u r u u u r ； 不妨设1AB =uu u r ，则2,AD AC λ==u u u r u u u r， 把2AB AD AC AB AD AC λ+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 两边同时平方可得254cos A λ+=，即25cos 4A λ-=； 在ABD ∆中，2255cos 44BDA λ--==u u u r ，所以2210BD λ=-u u u r；2214cos 2BD ABD BD +-∠==u u u r u u u r；令t =t ∈，则233cos 222t t ABD t t-∠==-，易知322t y t =-，t ∈为增函数，所以cos 48ABD ∠∈. 故选：D. 【点睛】本题主要考查平面向量的运算及解三角形，构造目标表达式是求解的关键，涉及最值问题经常使用函数的单调性或基本不等式来求解.6．某车间加工零件的数量x 与加工时间y 的统计数据如图：现已求得上表数据的回归方程ˆˆa y bx=-中的ˆb值为0.9，则据此回归模型可以预测，加工100个零件所需要的加工时间约为( )A ．112分钟B ．102分钟C ．94分钟D ．84分钟【答案】B由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程求得a ，取100x =求得y 值即可。

桂林市名校2020年高二下数学期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知函数()22ln f x x ax =-，若α，β均在［1，4］内，且1βα-=，()()f f αβ=，则实数a 的取值范围是（） A ．ln 20,4⎛⎤⎥⎝⎦B ．24ln 2ln ,734⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．ln 22,ln 243⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．242ln ,ln 2733⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D 【解析】 【分析】先求导，利用函数的单调性，结合()()f f αβ=，确定0a >;再利用1βα-=，即()2ln 2ln 0a αβαβ-++=，可得()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈，设()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈，确定()h x 在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，即可求实数a 的取值范围． 【详解】解：()()2220ax f x x x'-=>，当0a ≤时，()0f x '> 恒成立，则f （x ）在（0，+∞）上递增，则f （x ）不可能有两个相等的函数值．故0a >；由题设()()f f αβ=， 则222ln 2ln a a ααββ-=- 22ln a αα- ＝22ln a ββ-考虑到1βα-=，即()2ln 2ln 0a αβαβ-++=()()2ln 2ln 1210a ααα∴-+++=，[]1,3α∈设()()()2ln 2ln 121h x x x a x =-+++，[]1,3x ∈， 则()22201h x a x x ++'=-> 在[]1,3上恒成立， ()h x ∴在[]1,3上递增，()h x 在[]1,3有零点，则()()1030h h ⎧≤⎪∴⎨≥⎪⎩，2ln 2302ln32ln 470a a -+≤⎧∴⎨-+≥⎩ ，242ln ln 2733a ∴≤≤ 故实数a 的取值范围是242ln ln 2733a ≤≤．【点睛】本题考查了通过构造函数，转化为函数存在零点，求参数取值范围的问题，本题的难点是根据已知条件()()f f αβ=，以及1βα-=，变形为()()2ln 2ln 1210a ααα-+++=，[]1,3α∈，然后构造函数转化为函数零点问题.2．已知集合M 满足{}1,2M ⊆{}1,2,3,4，则集合M 的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1【答案】B 【解析】 【分析】利用列举法，求得集合M 的所有可能，由此确定正确选项. 【详解】由于集合M 满足{}1,2M ⊆{}1,2,3,4，所以集合M 的可能取值为{}{}{}1,2,1,2,3,1,2,4，共3种可能. 故选：B 【点睛】本小题主要考查子集和真子集的概念，属于基础题.3．已知点P 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>右支上一点，点F 1，F 2分别为双曲线的左右焦点，点I 是△PF 1F 2的内心（三角形内切圆的圆心），若恒有121222IPF IPF IF F S SS -≥成立，则双曲线的离心率取值范围是（ ）A ．（1）B ．（1，）C ．（1，]D ．（1]【答案】D 【解析】 【分析】根据条件和三角形的面积公式，求得,a c 的关系式，从而得出离心率的取值范围，得到答案． 【详解】设12PF F ∆的内切圆的半径为r ，则12121212111,,222IPF IPF IF F S PF r S PF r S F F r ∆∆∆=⋅=⋅=⋅，因为1212IPF IPF IF F S S ∆∆∆-≥，所以1212PF PF F -≥, 由双曲线的定义可知12122,2PF PF a F F c -==，所以2a ≥，即c a ≤又由1ce a=>，所以双曲线的离心率的取值范围是， 故选D ． 【点睛】本题考查了双曲线的几何性质——离心率的求解，其中求双曲线的离心率(或范围)，常见有两种方法：①求出,a c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于,,a b c 的齐次式，转化为,a c 的齐次式，然后转化为关于e 的方程，即可得e 的值(范围)．4．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，将函数()y f x =的图象向左平移3π个单位，得到的图象关于y 轴对称，则（ ） A ．函数()f x 的周期为2πB ．函数()f x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 C ．函数()f x 图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称轴之间的距离，求得周期，再根据周期公式求得ω；再平移后，根据关于y 轴对称可求得ϕ的值，进而求得解析式。

2020年桂林市名校数学高二第二学期期末经典试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意x ∈R 都有()2f x '>，(1)3f =，则不等式()210f x x -->的解集为（ ）A ．(,1)-∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(,0)-∞【答案】B 【解析】 【分析】先构造函数()()21g x f x x =--，求导得到()g x 在R 上单调递增，根据函数的单调性可求得不等式的解集. 【详解】构造函数()()21g x f x x =--， (1)3f =， (1)(1)210g f x ∴=--=.又任意x ∈R 都有()2f x '>.∴()()20g x f x '='->在R 上恒成立. ∴()g x 在R 上单调递增.∴当()(1)g x g >时，有1x >，即()210f x x -->的解集为{}|1x x >.【点睛】本题主要考查利用函数的单调性解不等式，根据题目条件构造一个新函数是解决本题的关键.2．如图，P 是正四面体V ABC -的面VBC 上一点，点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，则动点P 的轨迹是( )A ．直线B ．抛物线C 22的椭圆 D ．离心率为3的双曲线【答案】C 【解析】分析：由题设条件将点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等转化成在面VBC 中点P 到V 的距离与到定直线BC 的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其轨迹的形状．详解：∵正四面体V ﹣ABC ∴面VBC 不垂直面ABC ，过P 作PD ⊥面ABC 于D ，过D 作DH ⊥BC 于H ，连接PH ，可得BC ⊥面DPH ，所以BC ⊥PH ，故∠PHD 为二面角V ﹣BC ﹣A 的平面角令其为θ 则Rt △PGH 中，|PD|：|PH|=sinθ（θ为V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小）． 又点P 到平面ABC 距离与到点V 的距离相等，即|PV|=|PD|∴|PV|：|PH|=sinθ＜1，即在平面VBC 中，点P 到定点V 的距离与定直线BC 的距离之比是一个常数sinθ，又在正四面体V ﹣ABC ，V ﹣BC ﹣A 的二面角的大小θ有：1， 由椭圆定义知P 点轨迹为椭圆在面SBC 内的一部分． 故答案为：C ．点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义. 3．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∀≤，有12a a +≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃>，有12a a+≥成立D ．0a ∃>，有12a a+>成立 【答案】B 【解析】 【分析】特称命题的否定是全称命题。