高中数学 1.1.1 任意角学案 新人教A版必修4(1)

课堂导学 三点剖析 1.任意角的概念和象限角的概念【例1】 若α是第四象限角，那么2α是第几象限角？ 思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定2α的范围. 解：∵α是第四象限角.∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k ∈Z ）,则有，135°+k·180°＜2α＜180°+k·180°(k ∈Z ). 当k=2n(n ∈Z )时，135°+n·360°＜2α＜180°+n·360°, ∴2α是第二象限角. 当k=2n+1(n ∈Z )时315°+n·360°＜2α＜360°+n·360°， ∴2α是第四象限角. 综上所述，2α是第二或第四象限角. 温馨提示准确表示第四象限角，再分k 为奇数、偶数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,2α是第二象限角.类似地，3α、4α都应分k 为奇数，偶数讨论. 2.把终边相同的角用集合和符号语言正确表示【例2】 用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为：S={β|β=45°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=225°+k·360°,k ∈Z }.={β|β=45°+2k·180°，k ∈Z }∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k ∈Z }.={β|β=45°+2k·180°，k ∈Z }∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k ∈Z }.={β|β=45°+n·180°，n ∈Z }(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x 轴对称，故所求集合为：S={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=330°+k·360°,k ∈Z }.={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k ∈Z}.={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k ∈Z }.={β|β=±30°+n·360°，n ∈Z }.(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y 轴对称，故所求集合为：S={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=150°+k·360°,k ∈Z }.={β|β=30°+k·360°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k ∈Z }.={β|β=30°+2k·180°，k ∈Z }∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k ∈Z }.={β|β=（-1）n ·30°+n·180°，n ∈Z }.3.任意角的概念【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N 等于( )A.{锐角}B.{小于90°的角}C.{第一象限角}D.以上均不对 解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N 由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.温馨提示（1）上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.（2）角的集合还常与集合的交、并、补运算联合起来命题，是知识点的交汇，欲引起注意. 各个击破类题演练1如果α是第三象限角，那么2α的终边落在何处？ 解：因为α是第三象限角，所以k·360°+180°＜α＜k·360°+270°，k ∈Z . 所以2k ·360°+90°＜2α＜2k ·360°+135°,k ∈Z . 当k 为奇数时，令k=2n+1，n ∈Z ,则n·360°+270°＜2α＜n·360°+315°，n ∈Z ,故2α是第四象限角； 当k 为偶数时，令k=2n,n ∈Z ,则n·360°+90°＜2α＜n·360°+135°，n ∈Z ,所以2α是第二象限角. 综上可知，2α是第二或第四象限角. 其终边分别落在第Ⅱ、Ⅳ象限.变式提升1若α是第二象限角，3α是第几象限角？ 解：因为α是第二象限角，则有：k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k ∈Z ，所以k·120°+30°＜3α＜k·120°+60°，k ∈Z. 当k=3m(m ∈Z )时，m·360°+30°＜3α＜m·360°+60°，m ∈Z ,所以3α是第一象限角.当k=3m+1(m ∈Z )时，m·360°+150°＜3α＜m·360°+180°，m ∈Z ,所以3α是第二象限角. 当k=3m+2(m ∈Z )时，m·360°+270°＜3α＜m·360°+300°，m ∈Z ,所以3α是第四象限角. 因此3α是第一、二、四象限角. 类题演练2已知α=1 690°，（1）把α改写成β+k·360°（k ∈Z ,0°≤β＜360°）的形式；（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.(2)∵θ与α终边相同，∴θ角可写成250°+k·360°.又∵-360°＜θ＜360°,∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k ∈Z .解得k=-1或0.∴θ=-110°或250°,∴θ是第三象限角.变式提升2（1）与-457°角终边相同角的集合是（ ）A.{α|α=k·360°+457°,k ∈Z }B.{α|α=k·360°+97°,k ∈Z }C.{α|α=k·360°+263°,k ∈Z }D.{α|α=k·360°-263°,k ∈Z }解法1：∵-457°=-2×360°+263°,∴应选C.解法2：∵-457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边相同，又263°角与k·360°+263°角终边相同，∴应选C.答案：C（2）已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（ ）A.x 轴的非负半轴上B.y 轴的非负半轴上C.x 轴的非正半轴上D.y 轴的非正半轴上解析：∵角α、β终边相同，∴α=k·360°+β,k ∈Z ,作差α-β=k·360°+β-β=k·360°，k ∈Z .∴α-β的终边在x 轴的非负半轴上.答案：A类题演练3用集合表示下列各角：“0°到90°的角”“第一象限角”“锐角”“小于90°的角”“0°—90°的角”. 解：0°到90°的角的集合为{α|0°≤α＜90°}第一象限角的集合为{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k ∈Z }锐角的集合为{α|0°＜α＜90°}小于90°的角的集合为{α|α＜90°}0°—90°的角的集合为{α|0°≤α≤90°}变式提升3下列命题中，正确的是（）A.终边相同的角一定相等B.锐角都是第一象限角C.第一象限的角都是锐角D.小于90°的角都是锐角解析：终边相同的两个角彼此相差360°的整数倍，它们可能相等也可能不等，所以排除A;第一象限的角是指{α|k·360°＜α＜k·360°+90°，k∈Z}，所以锐角组成的集合是第一象限的角所成集合的子集，故C错;小于90°的角也可以是负角，因此D错；因此正确的答案为B. 答案：B。

第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1.1.1任意角自主学习知识梳理1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内________________绕着________从一个位置________到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按______________________形成的角负角按________________形成的角零角一条射线________________，称它形成了一个零角2.象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是______________．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝____________}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与____________的和．4．终边落在坐标轴上角的集合终边所在的位置角的集合x轴正半轴x轴负半轴x轴y轴正半轴y轴负半轴y轴自主探究终边落在各个象限的角的集合.α终边所在的象限角α的集合第一象限第二象限第三象限第四象限对点讲练知识点一终边相同的角与象限角例1在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.回顾归纳 解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k ·360°，k ∈Z ，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角． 变式训练1 判断下列角的终边落在第几象限内： (1)1 400°； (2)－2 010°.知识点二 终边相同的角的应用例2 已知，如图所示，(1)写出终边落在射线OA ，OB 上的角的集合； (2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．回顾归纳 解答此类题目应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简．变式训练2 如图所示，写出终边落在阴影部分的角的集合．知识点三 角的象限的判断例3 已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．回顾归纳 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论．考查角的终边的位置．变式训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角，终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍．(4)k ∈Z 这一条件不能少.课时作业一、选择题 1．与405°角终边相同的角是( ) A ．k ·360°－45°，k ∈Z B ．k ·180°－45°，k ∈Z C ．k ·360°＋45°，k ∈Z D ．k ·180°＋45°，k ∈Z 2．若α＝45°＋k ·180° (k ∈Z )，则α的终边在( ) A ．第一或第三象限 B ．第二或第三象限 C ．第二或第四象限 D ．第三或第四象限 3．若角α与β的终边相同，则α－β的终边落在( ) A ．x 轴的正半轴 B ．x 轴的负半轴 C ．y 轴的正半轴 D ．y 轴的负半轴 4．若α是第四象限角，则180°－α是( ) A ．第一象限角 B ．第二象限角 C ．第三象限角 D ．第四象限角 5. 如图，终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是( )A ．{α|－45°≤α≤120°}B ．{α|120°≤α≤315°}C ．{α|k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z }D ．{α|k ·360°＋120°≤α≤k ·360°＋315°，k ∈Z }二、填空题6．经过10分钟，分针转了________度．7．下列命题：①第一象限角都是锐角；②锐角都是第一象限角；③第一象限角一定不是负角；④第二象限角大于第一象限角；⑤第二象限角是钝角；⑥小于180°的角是钝角、直角或锐角．其中判断错误的是______．(把有关命题的序号写上即可)8．若α＝1 690°，角θ与α终边相同，且－360°<θ<360°，则θ＝________.三、解答题9．在与角－2 010°终边相同的角中，求满足下列条件的角．(1)最小的正角；(2)最大的负角；(3)－720°～720°内的角．10．已知角x的终边落在图示阴影部分区域，写出角x组成的集合．第一章三角函数§1.1任意角和弧度制1．1.1任意角知识梳理1．(1)一条射线端点旋转(2)类型定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角3．α＋k·360°，k∈Z整数个周角4.终边所在的位置角的集合x轴正半轴{α|α＝k·360°，k∈Z}x轴负半轴{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}x轴{α|α＝k·180°，k∈Z}y轴正半轴{α|α＝k·360°＋90°，k∈Z}y轴负半轴{α|α＝k·360°＋270°，k∈Z}y轴{α|α＝k·180°＋90°，k∈Z}自主探究α终边所在的象角α的集合限第一{α|k·360°<α<k·360°＋90°，k∈Z}象限第二{α|k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z}象限第三{α|k·360°＋180°<α<k·360°＋270°，k∈Z}象限第四{α|k·360°－90°<α<k·360°，k∈Z}象限对点讲练例1解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．变式训练1解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．(2)－2 010°＝－6×360°＋150°，∴－2 010°与150°终边相同．∴－2 010°是第二象限角．例2解(1)终边落在射线OA上的角的集合是{α|α＝k·360°＋210°，k∈Z}．终边落在射线OB上的角的集合是{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}．(2)终边落在阴影部分(含边界)角的集合是{α|k·360°＋210°≤α≤k·360°＋300°，k∈Z}．变式训练2解设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成．(1){α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}．(2){α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}．∴角α的集合应当是集合(1)与(2)的并集：{α|k·360°＋30°≤α<k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α<k·360°＋285°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|2k·180°＋30°≤α<2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z}＝{α|k ·180°＋30°≤α<k ·180°＋105°，k ∈Z }． 例3 解 因为α是第二象限角， 所以k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z . 所以2k ·360°＋180°<2α<2k ·360°＋360°，k ∈Z ，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y 轴的非正半轴上． 因为k ·360°＋90°<α<k ·360°＋180°，k ∈Z ，所以k ·180°＋45°<α2<k ·180°＋90°，k ∈Z ，所以当k ＝2n ，n ∈Z 时，n ·360°＋45°<α2<n ·360°＋90°，即α2的终边在第一象限； 当k ＝2n ＋1，n ∈Z 时，n ·360°＋225°<α2<n ·360°＋270°，即α2的终边在第三象限．所以α2的终边在第一或第三象限．变式训练3 D [由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k 2·360°＋135°. 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角．]课时作业 1．C 2.A3．A [∵α＝β＋k ·360°，k ∈Z ， ∴α－β＝k ·360°，k ∈Z .]4．C [可以给α赋一特殊值－60°，则180°－α＝240°，故180°－α是第三象限角．]5．C [与边界终边相同的角为k ·360°＋120°或k ·360°－45°.故阴影部分的角为k ·360°－45°≤α≤k ·360°＋120°，k ∈Z .] 6．－607．①③④⑤⑥解析 ①390°角是第一象限角，可它不是锐角，所以①不正确．②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，所以②正确． ③－330°角是第一象限角，但它是负角，所以③不正确．④120°角是第二象限角，390°是第一象限角，显然390°>120°，所以④不正确． ⑤480°角是第二象限角，但它不是钝角，所以⑤不正确．⑥0°角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑥不正确． 8．－110°或250°解析 ∵α＝1 690°＝4×360°＋250°，∴θ＝k ·360°＋250°，k ∈Z .∵－360°<θ<360°， ∴k ＝－1或0. ∴θ＝－110°或250°.9．解(1)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与角－2 010°终边相同的最小正角是150°.(2)∵－2 010°＝－5×360°＋(－210°)，∴与角－2 010°终边相同的最大负角是－210°.(3)∵－2 010°＝－6×360°＋150°，∴与－2 010°终边相同也就是与150°终边相同．由－720°≤k·360°＋150°<720°，k∈Z，解得：k＝－2，－1,0,1.代入k·360°＋150°依次得：－570°，－210°，150°，510°.10．解(1){x|k·360°－135°≤x≤k·360°＋135°，k∈Z}．(2){x|k·360°＋30°≤x≤k·360°＋60°，k∈Z}∪{x|k·360°＋210°≤x≤k·360°＋240°，k∈Z}＝{x|2k·180°＋30°≤x≤2k·180°＋60°或(2k＋1)·180°＋30°≤x≤(2k＋1)·180°＋60°，k∈Z}＝{x|k·180°＋30°≤x≤k·180°＋60°，k∈Z}．。

河北省邯郸市馆陶县第一中学高中数学 1.1.1任意角导学案新人教A版必修4一、学习目标：1.理解并掌握任意角、象限角、终边相同的角的定义。

2.会写终边相同的角的集合并且会利用终边相同的角的集合判断任意角所在的象限。

二、重点、难点：任意角、象限角、终边相同的角的定义是本节课的重点，用集合和符号来表示终边相同的角是本节课的难点三、知识链接：1.初中是如何定义角的？2.什么是周角，平角，直角，锐角，钝角？四、学习过程:（一）阅读课本1-3页解决下列问题。

问题1、按方向旋转形成的角叫做正角，按 - 方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作____旋转，我们称它形成了一个零角。

零角的与重合。

如果α是零角，那么α= 。

问题2、任意角问题3、象限角与象限界角为了讨论问题的方便，我们总是把任意大小的角放到平面直角坐标系内加以讨论，具体做法是：（1）使角的顶点和坐标重合；（2）使角的始边和x轴重合.这时，角的终边落在第几象限，就说这个角是的角（有时也称这个角属于第几象限）；如果这个角的终边落在坐标轴上，那么这个角就叫做，这个角不属于任何一个象限。

问题4、在平面直角坐标系中作出下列各角并指出它们是第几象限角：（1）420o （2） -75o（3） 855o（4） -510o问题6、以上各角的终边有什么关系？这些有相同的始边和终边的角，叫做 。

把与-32o角终边相同的所有角都表示为 ，所有与角α 终边相同的角，连同角α 在内可构成集合为 .。

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。

例1. 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角： （１）︒480；（２）︒-760；（３）03932'︒.变式练习 1、 在0︒～360︒之间，找出与下列各角终边相同的角，并分别指出它们是第几象限角：(1)420 º (2)—54 º18′ （3）395º 8 ′ (4)—1190º 30′2、写出与下列各角终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式-720o β≤＜360o 的元素 写出来：（1）1303o 18， （2）--225o问题8、(1)写出终边在x 轴上角的集合(2) 写出终边在y 轴上角的集合变式练习 写出终边在直线y ＝x 上角的集合s,并把s 中适合不等式-3600≤β＜720o 元素β写出来。

2016高中数学 1.1.1任意角学案新人教A版必修4【学习要求】1．理解正角、负角、零角与象限角的概念．2．掌握终边相同角的表示方法．【学法指导】1．解答与任意角有关的问题的关键在于抓住角的四个“要素”：顶点、始边、终边和旋转方向．2．确定任意角的大小要抓住旋转方向和旋转量．3．学习象限角时，注意角在直角坐标系中的放法，在这个统一前提下，才能对终边落在坐标轴上的角、象限角进行定义.1．角的概念(1)角的概念：角可以看成平面内绕着从一个位置到另一个位置所成的图形．(2)角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：类型定义图示正角按形成的角负角按形成的角零角一条射线，称它形成了一个零角2．象限角角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝ }，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与的和.探究点一角的概念的推广我们在初中已经学习过角的概念，角可以看作从同一点出发的两条射线组成的平面图形．这种定义限制了角的范围，也不能表示具有相反意义的旋转量．因此，从“旋转”的角度，对角作重新定义如下：一条射线OA绕着端点O旋转到OB的位置所形成的图形叫作角，射线OA叫角的始边，OB叫角的终边，O叫角的顶点．问题1正角、负角、零角是怎样规定的？答按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．问题2根据角的定义，图中角α＝120°；β＝；－α＝；－β＝；γ＝ .问题3经过10小时，分别写出时针和分针各自旋转所形成的角．答经过10小时，时针旋转形成的角是－300°，分针旋转形成的角是－3 600°.问题4如果你的手表快了1.25小时，只需将分针旋转多少度就可以将它校准？答将分针旋转450°或－3 870°即可校准．探究点二终边相同的角今后我们常在直角坐标系内讨论角．为了讨论问题的方便，我们使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．根据终边相同的角的概念，回答下列问题：问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边相同的角，其中最小的正角是 .问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终边落在上．探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角问题1终边落在坐标轴上的角经常用到，下表是终边落在x轴、y轴各半轴上的角，请完成下表.问题2下表是终边落在各个象限的角的集合，请补充完整.问题3写出终边落在x轴上的角的集合S.答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．问题4写出终边落在y轴上的角的集合T.答T＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋180°＋2k·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝90°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝90°＋n·180°，n∈Z}．【典型例题】例1 在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们是第几象限角．(1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.解(1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在0°～360°范围内，与－150°角终边相同的角是210°角，它是第三象限角．(2)因为650°＝360°＋290°，所以在0°～360°范围内，与650°角终边相同的角是290°角，它是第四象限角．(3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在0°～360°范围内，与－950°15′角终边相同的角是129°45′角，它是第二象限角．小结解答本题可先利用终边相同的角的关系：β＝α＋k·360°，k∈Z，把所给的角化归到0°～360°范围内，然后利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角．跟踪训练1 判断下列角的终边落在第几象限内：(1)1 400°；(2)－2 010°.解(1)1 400°＝3×360°＋320°，∵320°是第四象限角，∴1 400°也是第四象限角．例2 写出终边落在直线y＝x上的角的集合S，并把S中适合不等式－360°≤β<720°的元素β写出来．解直线y＝x与x轴的夹角是45°，在0°～360°范围内，终边在直线y＝x上的角有两个：45°，225°.因此，终边在直线y＝x上的角的集合：S＝{β|β＝45°＋k·360°，k∈Z}∪{β|β＝225°＋k·360°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋2k·180°，k∈Z}∪{β|β＝45°＋(2k＋1)·180°，k∈Z}＝{β|β＝45°＋k·180°，k∈Z}．∴S中适合－360°≤β<720°的元素是：45°＋0×180°＝45°；45°＋1×180°＝225°；小结当角的集合的表达式分两种或两种以上情形时，能合并的尽量合并，注意，把最后角的集合化成简约的形式．跟踪训练2求终边在直线y＝－x上的角的集合S.解由于直线y＝－x是第二、四象限的角平分线，在0°～360°间所对应的两个角分别是135°和315°，从而S＝{α|α＝k·360°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋315°，k∈Z}＝{α|α＝2k·180°＋135°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°＋135°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋135°，k∈Z}．例3已知α是第二象限角，试确定2α，α2的终边所在的位置．解因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z.所以2k·360°＋180°<2α<2k·360°＋360°，k∈Z，所以2α的终边在第三或第四象限或终边在y轴的非正半轴上．因为k·360°＋90°<α<k·360°＋180°，k∈Z，所以k·180°＋45°<α2<k·180°＋90°，k∈Z，所以当k＝2n，n∈Z时，n·360°＋45°<α2<n·360°＋90°，即α2的终边在第一象限；当k ＝2n ＋1，n∈Z 时，n·360°＋225°<α2<n·360°＋270°，即α2的终边在第三象限． 所以α2的终边在第一或第三象限．小结 若已知角α是第几象限角，判断α2，α3等是第几象限角，主要方法是解不等式并对k 进行分类讨论，考查角的终边的位置．跟踪训练3 已知α为第三象限角，则α2所在的象限是 ( )A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限解析 由于k ·360°＋180°<α<k ·360°＋270°，k ∈Z ， 得k 2·360°＋90°<α2<k2·360°＋135°，k ∈Z . 当k 为偶数时，α2为第二象限角；当k 为奇数时，α2为第四象限角.课后小练1．－361°的终边落在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．下列各角中与330°角终边相同的角是( )A ．510°B ．150°C ．－150°D ．－390° 3．经过10分钟，分针转了________度． 4．写出终边落在坐标轴上的角的集合S . 课后小结1．对角的理解，初中阶段是以“静止”的眼光看，高中阶段应用“运动”的观点下定义，理解这一概念时，要注意“旋转方向”决定角的“正负”，“旋转幅度”决定角的“绝对值大小”．2．关于终边相同角的认识一般地，所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．注意：(1)α为任意角．(2)k ·360°与α之间是“＋”号，k ·360°－α可理解为k ·360°＋(－α)．(3)相等的角终边一定相同；终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍． (4)k ∈Z 这一条件不能少.。

§1.1.1 任意角1.理解任意角的概念，学会在平面内建立适当的坐标系讨论任意角.2.能在0º到360º范围内，找出一个与已知角终边相同的角，并判定其为第几象限角.3.能写出与任一已知角终边相同的角的集合.25体操跳水比赛中有“转体720º”，“翻腾转体两周半”这样的动作名称,720º在这里表示什么？二、新课导学※探索新知问题1：在初中我们是如何定义一个角的？角的范围是什么？问题2：（1）手表慢了5分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？（2）手表快了10分钟，如何校准，校准后，分针转了几度？问题3：任意角的定义（通过类比数的正负，定义角的正负和零角的概念）问题4：能以同一条射线为始边作出下列角吗？210º-150º-660º问题5：上述三个角分别是第几象限角，其中哪些角的终边相同.问题6：具有相同终边的角彼此之间有什么关系？你能写出与60º角的终边相同的角的集合吗？※典型例题例1：在0º到360º的范围内，找出与下列各角终边相同的角，并分别判断它们是第几象限角：（1）650º （2）-150º （3）-990º15¹变式训练：（1）终边落在x 轴正半轴上的角的集合如何表示？终边落在x 轴上呢？（2）终边落在坐标轴上的角的集合如何表示？例2:若α与240º角的终边相同（1）写出终边与α的终边关于直线y=x 对称的角β的集合.（2）判断2α是第几象限角.变式训练：若α是第三象限角，则-α，2α，2α分别是第几象限角.例3：如图，写出终边落在阴影部分的角的集合（包括边界）.变式训练：（1）第一象限角的范围____________.（2）第二、四象限角的范围是______________. x※动手试试1.已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（ ）A ．B=A ∩CB ．B ∪C=CC ．A ⊂CD ．A=B=C2.下列结论正确的是（ ）A.三角形的内角必是一、二象限内的角B ．第一象限的角必是锐角C ．不相等的角终边一定不同D ．{}Z k k ∈±⋅=,90360|οοαα= {}Z k k ∈+⋅=,90180|οοαα 3.若角α的终边为第二象限的角平分线，则α的集合为______________________．4.在0°到360°范围内，终边与角－60°的终边在同一条直线上的角为．三、小结反思本节内容延伸的流程图为：※当堂检测（时量：5分钟 满分：10分）计分：1、下列说法中，正确的是（ ）A ．第一象限的角是锐角B ．锐角是第一象限的角C ．小于90°的角是锐角D ．0°到90°的角是第一象限的角2、（1）终边相同的角一定相等；（2）相等的角的终边一定相同；（3）终边相同的角有无限多个；（4）终边相同的角有有限多个. 上面4个命题，其中真命题的个数是 （ ）A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（ ）A ．｛α∣90°<α<180°｝B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝4、与1991°终边相同的最小正角是_________,绝对值最小的角是_______________．5、若角α的终边为第一、三象限的角平分线，则角α集合是.6、将下列落在图示部分的角（阴影部分），用集合表示出来（包括边界）.7、角α,β的终边关于0=+y x 对称,且α=-60°，求角β.x。

1．1.1 任意角[新知初探]1．任意角(1)角的概念：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)角的表示：如图，OA是角α的始边，OB是角α的终边，O是角的顶点．角α可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”．(3)角的分类：名称定义图示正角按逆时针方向旋转形成的角负角按顺时针方向旋转形成的角零角一条射线没有作任何旋转形成的角[点睛] 对角的概念的理解的关键是抓住“旋转”二字：①要明确旋转的方向；②要明确旋转量的大小；③要明确射线未作任何旋转时的位置．2．象限角把角放在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．[点睛] 象限角的条件是：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．3．终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．[点睛] 对终边相同的角的理解(1)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同；(2)k∈Z，即k为整数这一条件不可少；(3)终边相同的角的表示不唯一．[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)－30°是第四象限角．( )(2)钝角是第二象限的角．( )(3)终边相同的角一定相等．( )2．与45°角终边相同的角是( )A．－45° B．225° C．395° D．－315°3．下列说法正确的是( )A．锐角是第一象限角B．第二象限角是钝角C．第一象限角是锐角D．第四象限角是负角4．将35°角的终边按顺时针方向旋转60°所得的角度数为________，将35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数________．任意角的概念[典例]A．终边与始边重合的角是零角B．终边和始边都相同的两个角一定相等C．在90°≤β<180°范围内的角β不一定是钝角D．小于90°的角是锐角理解与角的概念有关问题的关键关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可．如图，射线OA绕端点O旋转90°到射线OB的位置，接着再旋转－30°到OC的位置，则∠AOC的度数为________．终边相同角的表示[典例] 写出与080°范围内与75°角终边相同的角．1．终边落在直线上的角的集合的步骤(1)写出在0°～360°范围内相应的角；(2)由终边相同的角的表示方法写出角的集合；(3)根据条件能合并一定合并，使结果简洁．2．终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．[活学活用]分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合．象限角的判断[典例]作出下列各角，并指出它们是第几象限角．(1)－75°；(2)855°；(3)－510°.象限角的判定方法(1)根据图象判定．依据是终边相同的角的概念，因为0°～360°之间的角的终边与坐标系中过原点的射线可建立一一对应的关系．(2)将角转化到0°～360°范围内．在直角坐标平面内，在0°～360°范围内没有两个角终边是相同的．[活学活用]若α是第四象限角，则180°－α一定在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限角αn，nα(n∈N *)所在象限的确定 [典例] 已知α是第二象限角，求角2所在的象限．[一题多变]1．[变设问]在本例条件下，求角2α的终边的位置．2．[变条件]若角α变为第三象限角，则角α2是第几象限角？倍角、分角所在象限的判定思路(1)已知角α终边所在的象限，确定nα终边所在的象限，可依据角α的范围求出nα的范围，再直接转化为终边相同的角即可．注意不要漏掉nα的终边在坐标轴上的情况． (2)已知角α终边所在的象限，确定αn 终边所在的象限，分类讨论法要对k 的取值分以下几种情况进行讨论：k 被n 整除；k 被n 除余1；k 被n 除余2，…，k 被n 除余n －1.然后方可下结论．几何法依据数形结合思想，简单直观．层级一学业水平达标1．－215°是( )A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角2．下面各组角中，终边相同的是( )A．390°，690° B．－330°，750°C．480°，－420° D．3 000°，－840°3．若α＝k·180°＋45°，k∈Z，则α所在的象限是( )A．第一、三象限B．第一、二象限C．第二、四象限D．第三、四象限4．终边在第二象限的角的集合可以表示为( )A．{α|90°<α<180°}B．{α|90°＋k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z}C．{α|－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z}D．{α|－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z}5．将－885°化为α＋k·360°(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式是( )A．－165°＋(－2)×360° B．195°＋(－3)×360°C．195°＋(－2)×360° D．165°＋(－3)×360°6．在下列说法中：①时钟经过两个小时，时针转过的角是60°；②钝角一定大于锐角；③射线OA绕端点O按逆时针旋转一周所成的角是0°；④－2 000°是第二象限角．其中错误说法的序号为______(错误说法的序号都写上)．7．α满足180°<α<360°，5α与α有相同的始边，且又有相同的终边，那么α＝________. 8．若角α＝2 016°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．9．在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：(1)549°；(2)－60°；(3)－503°36′.10．已知角的集合M＝{α|α＝30°＋k·90°，k∈Z}，回答下列问题：(1)集合M中大于－360°且小于360°的角是哪几个？(2)写出集合M中的第二象限角β的一般表达式．层级二应试能力达标1．给出下列四个结论：①－15°是第四象限角；②185°是第三象限角；③475°是第二象限角；④－350°是第一象限角．其中正确的个数为( )A．1 B．2C．3 D．42．若角2α与240°角的终边相同，则α＝( )A．120°＋k·360°，k∈ZB．120°＋k·180°，k∈ZC．240°＋k·360°，k∈ZD．240°＋k·180°，k∈Z3．若α与β终边相同，则α－β的终边落在( )A．x轴的非负半轴上B．x轴的非正半轴上C．y轴的非负半轴上D．y轴的非正半轴上4．设集合M＝{α|α＝45°＋k·90°，k∈Z}，N＝{α|α＝90°＋k·45°，k∈Z}，则集合M与N的关系是( )A．M∩N＝∅ B．M N C．N M D．M＝N5．从13：00到14：00，时针转过的角为________，分针转过的角为________．6．已知角2α的终边在x轴的上方，那么α是第______象限角．7．试写出终边在直线y＝－3x上的角的集合S，并把S中适合不等式－180°≤α<180°的元素α写出来．8.如图，分别写出适合下列条件的角的集合：(1)终边落在射线OB上；(2)终边落在直线OA上；(3)终边落在阴影区域内(含边界)．参考答案[小试身手]1．答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．答案：D 3．答案：A4．答案：－25° 395°[典例][解析] 终边与始边重合的角还可能是360°，720°，…，故A 错；终边和始边都相同的两个角可能相差360°的整数倍，如30°与－330°，故B 错；由于在90°≤β<180°范围内的角β包含90°角，所以不一定是钝角，C 正确；小于90°的角可以是0°，也可以是负角，故D 错误． [答案] C [活学活用]解析：∠AOC ＝∠AOB ＋∠BOC ＝90°＋(－30°)＝60°. 答案：60° [典例][解] 与75°角终边相同的角的集合为 S ＝{β|β＝k·360°＋75°，k ∈Z}．当360°≤β<1 080°时，即360°≤k·360°＋75°<1 080°， 解得1924≤k<21924.又k ∈Z ，所以k ＝1或k ＝2.当k ＝1时，β＝435°；当k ＝2时，β＝795°.综上所述，与75°角终边相同且在360°≤β<1 080°范围内的角为435°角和795°角． [活学活用]解：(1)在0°～360°范围内，终边在直线y ＝0上的角有两个，即0°和180°，因此，所有与0°角终边相同的角构成集合S 1＝{β|β＝0°＋k·360°，k ∈Z}，而所有与180°角终边相同的角构成集合S 2＝{β|β＝180°＋k·360°，k ∈Z}，于是，终边在直线y ＝0上的角的集合为S ＝S 1∪S 2＝{β|β＝k·180°，k ∈Z}．(2)由图形易知，在0°～360°范围内，终边在直线y ＝－x 上的角有两个，即135°和315°，因此，终边在直线y ＝－x 上的角的集合为S ＝{β|β＝135°＋k·360°，k ∈Z}∪{β|β＝315°＋k·360，k ∈Z}＝{β|β＝135°＋k·180°，k ∈Z}. [典例][解] 作出各角，其对应的终边如图所示：(1)由图①可知：－75°是第四象限角． (2)由图②可知：855°是第二象限角． (3)由图③可知：－510°是第三象限角． [活学活用]解析：选C ∵α与－α的终边关于x 轴对称，且α是第四象限角，∴－α是第一象限角． 而180°－α可看成－α按逆时针旋转180°得到， ∴180°－α是第三象限角.[典例][解] 法一：∵α是第二象限角， ∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k 2·360°＋45°<α2<k2·360°＋90°(k∈Z)． 当k 为偶数时，令k ＝2n(n ∈Z)，得n·360°＋45°<α2<n·360°＋90°，这表明α2是第一象限角；当k 为奇数时，令k ＝2n ＋1(n ∈Z)，得n·360°＋225°<α2<n·360°＋270°，这表明α2是第三象限角．∴α2为第一或第三象限角． [一题多变]1．解：∵α是第二象限角，∴k·360°＋90°<α<k·360°＋180°(k∈Z)． ∴k·720°＋180°<2α<k·720°＋360°(k∈Z)． ∴角2α的终边在第三或第四象限或在y 轴的非正半轴上．2．解：如图所示，先将各象限分成2等份，再从x 轴正半轴的上方起，按逆时针方向，依次将各区域标上一、二、三、四，则标有三的区域即为角α2的终边所在的区域，故角α2为第二或第四象限角．层级一 学业水平达标1．解析：选B 由于－215°＝－360°＋145°，而145°是第二象限角，则－215°也是第二象限角．2．解析：选B ∵－330°＝－360°＋30°，750°＝720°＋30°， ∴－330°与750°终边相同．3．解析：选A 由题意知α＝k·180°＋45°，k ∈Z ，当k ＝2n ＋1，n ∈Z ，α＝2n·180°＋180°＋45°＝n·360°＋225°，在第三象限， 当k ＝2n ，n ∈Z ，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，在第一象限． ∴α是第一或第三象限的角．4．解析：选 D 终边在第二象限的角的集合可表示为{α|90°＋k·360°<α<180°＋k·360°，k ∈Z}，而选项D 是从顺时针方向来看的，故选项D 正确． 5．解析：选B －885°＝195°＋(－3)×360°，0°≤195°<360°，故选B.6．解析：①时钟经过两个小时，时针按顺时针方向旋转60°，因而转过的角为－60°，所以①不正确．②钝角α的取值范围为90°<α<180°，锐角θ的取值范围为0°<θ<90°，因此钝角一定大于锐角，所以②正确．③射线OA 按逆时针旋转一周所成的角是360°，所以③不正确．④－2 000°＝－6×360°＋160°与160°终边相同，是第二象限角，所以④正确． 答案：①③7．解析：5α＝α＋k·360°，k ∈Z ，∴α＝k·90°，k ∈Z.又∵180°<α<360°，∴α＝270°. 答案：270°8．解析：∵2 016°＝5×360°＋216°，∴与角α终边相同的角的集合为{α|α＝216°＋k·360°，k ∈Z}，∴最小正角是216°，最大负角是－144°.答案：216° －144° 9．解：(1)549°＝189°＋360°，而180°<189°<270°，因此，549°角为第三象限角，且在0°～360°范围内，与189°角有相同的终边．(2)－60°＝300°－360°，而270°<300°<360°，因此，－60°角为第四象限角，且在0°～360°范围内，与300°角有相同的终边．(3)－503°36′＝216°24′－2×360°，而180°<216°24′<270°，因此，－503°36′角是第三象限角，且在0°～360°范围内，与216°24′角有相同的终边．10．解：(1)令－360°<30°＋k·90°<360°，则－133<k<113，又∵k ∈Z ，∴k ＝－4，－3，－2，－1,0,1,2,3，∴集合M 中大于－360°且小于360°的角共有8个，分别是－330°，－240°，－150°，－60°，30°，120°，210°，300°. (2)集合M 中的第二象限角与120°角的终边相同， ∴β＝120°＋k·360°，k ∈Z.层级二 应试能力达标1．解析：选D ①－15°是第四象限角；②180°<185°<270°是第三象限角；③475°＝360°＋115°，而90°<115°<180°，所以475°是第二象限角；④－350°＝－360°＋10°是第一象限角，所以四个结论都是正确的．2．解析：选B 角2α与240°角的终边相同，则2α＝240°＋k·360°，k∈Z，则α＝120°＋k·180°，k∈Z.选B.3．解析：选A ∵α＝β＋k·360°，k∈Z，∴α－β＝k·360°，k∈Z，∴其终边在x轴的非负半轴上．4．解析：选C 对于集合M，α＝45°＋k·90°＝45°＋2k·45°＝(2k＋1)·45°，即M＝{α|α＝(2k＋1)·45°，k∈Z}；对于集合N，α＝90°＋k·45°＝2×45°＋k·45°＝(k＋2)·45°，即N＝{α|α＝(k＋2)·45°，k∈Z}＝{α|α＝n·45°，n∈Z}．∵2k＋1表示所有的奇数，而n表示所有的整数，∴N M，故选C.5．解析：经过一小时，时针顺时针旋转30°，分针顺时针旋转360°，结合负角的定义可知时针转过的角为－30°，分针转过的角为－360°.答案：－30°－360°6．解析：由题意知k·360°<2α<180°＋k·360°(k∈Z)，故k·180°<α<90°＋k·180°(k∈Z)，按照k的奇偶性进行讨论．当k＝2n(n∈Z)时，n·360°<α<90°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第一象限；当k＝2n＋1(n∈Z)时，180°＋n·360°<α<270°＋n·360°(n∈Z)，∴α在第三象限．故α是第一或第三象限角．答案：一或三7．解：终边在直线y＝－3x上的角的集合S＝{α|α＝k·360°＋120°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋300°，k∈Z}＝{α|α＝k·180°＋120°，k∈Z}，其中适合不等式－180°≤α<180°的元素α为－60°，120°.8.解：(1)终边落在射线OB上的角的集合为S1＝{α|α＝60°＋k·360°，k∈Z}．(2)终边落在直线OA上的角的集合为S2＝{α|α＝30°＋k·180°，k∈Z}．(3)终边落在阴影区域内(含边界)的角的集合为S3＝{α|30°＋k·180°≤α≤60°＋k·180°，k∈Z}．。

1.1任意角和弧度制 1.1.1任意角一、教学目标：1、知识与技能（1）推广角的概念、引入大于360︒角和负角；（2）理解并掌握正角、负角、零角的定义；（3）理解任意角以及象限角的概念；(4)掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；（5）树立运动变化观点，深刻理解推广后的角的概念；（6）揭示知识背景，引发学生学习兴趣.（7）创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度，强化学生的参与意识.2、过程与方法 通过创设情境：“转体720︒，逆（顺）时针旋转”，角有大于360︒角、零角和旋转方向不同所形成的角等，引入正角、负角和零角的概念；角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系，引入象限角、非象限角的概念及象限角的判定方法；列出几个终边相同的角，画出终边所在的位置，找出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具之前的学习使我们知道最大的角是周角,最小的角是零角.通过回忆和观察日常生活中实际例子,把对角的理解进行了推广.把角放入坐标系环境中以后,了解象限角的概念.通过角终边的旋转掌握终边相同角的表示方法.我们在学习这部分内容时,首先要弄清楚角的表示符号,以及正负角的表示.另外还有相同终边角的集合的表示等.教学用具:电脑、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】思考:你的手表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的手表快了1.25小时，你应当如何将它校准？当时间校准以后，分针转了多少度？[取出一个钟表,实际操作]我们发现，校正过程中分针需要正向或反向旋转，有时转不到一周，有时转一周以上,这就是说角已不仅仅局限于0360︒︒~之间，这正是我们这节课要研究的主要内容——任意角.【探究新知】1．初中时，我们已学习了0360︒︒~角的概念，它是如何定义的呢？[展示投影]角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.如图 1.1-1，一条射线由原来的位置OA ，绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到终止位置OB ，就形成角α.旋转开始时的射线OA 叫做角的始边，OB 叫终边，射线的端点O 叫做叫α的顶点.2.如上述情境中所说的校准时钟问题以及在体操比赛中我们经常听到这样的术语：“转体720︒” （即转体2周），“转体1080︒”（即转体3周）等,都是遇到大于360︒的角以及按不同方向旋转而成的角.同学们思考一下:能否再举出几个现实生活中“大于360︒的角或按不同方向旋转而成的角”的例子,这些说明了什么问题?又该如何区分和表示这些角呢?[展示课件]如自行车车轮、螺丝扳手等按不同方向旋转时成不同的角, 这些都说明了我们研究推广角概念的必要性. 为了区别起见，我们规定:按逆时针方向旋转所形成的角叫正角(positive angle),按顺时针方向旋转所形成的角叫负角(negative angle).如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角(zero angle).[展示课件]如教材图1.1.3(1)中的角是一个正角,它等于750︒；图1.1.3(2)中，正角210α︒=，负角150,660βγ︒︒=-=-；这样，我们就把角的概念推广到了任意角（any angle ）,包括正角、负角和零角. 为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可简记为α.3.在今后的学习中，我们常在直角坐标系内讨论角，为此我们必须了解象限角这个概念. 角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合。

1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。

它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。

它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。

并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。

二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。

三、教学重点难点1．判断已知角所在象限； 2．终边相同的角的书写。

四、学情分析 五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现数学的逻辑性、思想性比较强的课. 2．学案导学：见后面的学案。

3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备七、课时安排：1课时 八、教学过程 （一）复习引入：1．初中所学角的概念。

2．实际生活中出现一系列关于角的问题。

（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O ，从起始位置OA 旋转到终止位置OB ，形成 一个角α，点O 是角的顶点，射线,OA OB 分别是角α的终边、始边。

说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α∠”可以简记为α． 2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角； 负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。

说明：零角的始边和终边重合。

3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则 （1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。

例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。