下载文档原格式
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共12小题，共60.0分)1.巳知集合A={x |x 2＜1}，B=[0，1]，则A ∩B=（ ） A.（0，1） B.〔0，1] C.[0，1） D.[0，1] 【答案】 C【解析】解：由A 中的不等式变形得：（x +1）（x -1）＜0得：-1＜x ＜1， ∴A=（-1，1）， ∵B=[0，1]， ∴A ∩B=[0，1）． 故选：C ．求出A 中不等式的解集确定出A ，找出A 与B 的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键．2.已知复数z 1=a +bi 与z 2=c +di （a ，b ，c ，d ∈R ，z 2≠0），则z 1z 2∈R 的充要条件是（ ）A.ad +bc =0B.ac +bd ．=0C.ac -bd =0D.ad -bc =0 【答案】 D【解析】解：∵z 1z 2=a+bi c+di =(a+bi)(c−di)(c+di)(c−di)=ac+bd+(bc−ad)ic 2+d 2，∴则z 1z 2∈R 的充要条件ad -bc =0．故选：D ．根据复数的基本运算和充分条件和必要条件的定义即可得到结论．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用复数的有关概念是解决本题的关键，比较基础．3.已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，若a 2=2，2a 3+a 4=16，则a 5=（ ） A.4 B.8 C.16 D.32 【答案】 C【解析】解：∵数列{a n }是各项均为正数的等比数列， a 2=2，2a 3+a 4=16， ∴{a 1q =22a 1q 2+a 1q 3=16， 解得{a 1=1q =2，或{a 1=−12q =−4（舍），故选：C．由已知条件利用等比数列的通项公式，列出方程组求出首项和公比，由此能求出结果．本题考查等比数列的第五项的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等比数列的通项公式的合理运用．4.已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A.2 3cm3B.43cm3 C.13cm3 D.83cm3【答案】B【解析】解：由三视图可知，几何体为底面为底为2，高为2的三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，V=13×12×2×2×2=43，故选B．由三视图可知，几何体为底面为等腰三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，再求解即可．本题考查学生的空间想象能力，是基础题．5.已知函数y=f（2x）+x是偶函数，且f（2）=1，则f（-2）=（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】解：∵y=f（2x）+x是偶函数，∴f（-2x）-x=f（2x）+x，∴f（-2x）=f（2x）+2x，令x=1，则f（-2）=f（2）+2=3．故选：B根据函数是偶函数，结合函数，令x=1，即可得到结论．本题主要考查函数值的计算，利用函数的奇偶性的性质得到方程关系是解决本题的关键，注意要学会转化．6.阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A.3B.5C.10D.16【答案】B【解析】=3，i=1，满足继续进行循环的条解：进入循环前n=6．i=0，此时n为偶数，故n=n2件；当n=3．i=1，此时n为奇数，故n=3n+1=10，i=2，满足继续进行循环的条件；=5，i=3，不满足继续进行循环的条件；n=10．i=2，此时n为偶数，故n=n2故输出的n值为5故选：B分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出满足条件的i值，模拟程序的过程可得答案．本题考查的知识点是程序框图，其中程序的运行次数不多时，多采用模拟程序运行过程的方法进行解答7.若向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，且|a⃗ |=1，|b⃗ |=1，|c⃗ |=3，则|a⃗ +b⃗ +c⃗ |等于（）A.2B.5C.2或5D.√2或√5【答案】C【解析】解：由向量a⃗、b⃗ 、c⃗两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α=0°或α=120°则(|a⃗+b⃗ +c⃗|)2=|a⃗|2+|b⃗ |2+|c⃗|2+2（a⃗⋅b⃗ +a⃗⋅c⃗ +b⃗ ⋅c⃗）=11+2（|a⃗ |•|b⃗ |cosα+|a⃗ |•|c⃗ |cosα+|b⃗ |•|c⃗ |cosα）=11+14cosα所以当α=0°时，原式=5；当α=120°时，原式=2．故选C设向量所成的角为α，则先求出(|a⃗+b⃗ +c⃗|)2的值即可求出，考查学生会计算平面向量的数量积，灵活运用a⃗⋅b⃗ =|a⃗ |•|b⃗ |cosα的公式．8.已知⊙A 1：（x +2）2+y 2=12和点A 2（2，0），则过点A 2且与⊙A 1相切的动圆圆心P 的轨迹方程为（ ）A.x 23-y 2=1 B.x 23+y 2=1 C.x 2-y 2=2 D.x 212+y 28=1【答案】 A【解析】解：根据题意有||PA 1|-|PA 2||=2√3＜|A 1A 2|=4， ∴点P 的轨迹是以A 1（-2，0），A 2（2，0）为焦点，实轴长为2a =2√3的双曲线， ∴b =√c 2−a 2=1，∴点P 的轨迹方程为x 23-y 2=1．故选：A ．根据动圆圆心P 过点A 2且与⊙A 1相切可得到动圆圆心在运动中所应满足的几何条件，然后将这个几何条件坐标化，即得到它的轨迹方程．本题考查圆的基本知识和轨迹方程的求法，解题时要注意公式的灵活运用．9.将函数f （x ）=sin （2x +θ）（−π2＜θ＜π2）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g （x ）的图象，若f （x ），g （x ）的图象都经过点P （0，√32），则φ的值可以是（ ） A.5π3 B.5π6 C.π2 D.π6 【答案】 B【解析】解：函数f(x)=sin(2x +θ)(−π2＜θ＜π2)向右平移φ个单位，得到g （x ）=sin （2x +θ-2φ），因为两个函数都经过P （0，√32），所以sinθ=√32(−π2＜θ＜π2)，θ=π3，所以g （x ）=sin （2x +π3-2φ），sin （π3-2φ）=√32，φ＞1，所以π3-2φ=2k π+π3，φ=-k π，与选项不符舍去，π3-2φ=2k π+2π3，k ∈Z ，当k =-1时，φ=5π6． 故选B ．求出平移后的函数解析式，利用两个函数都经过P （0，√32），解出θ，然后求出φ即可．本题考查函数图象的平移，函数值的求法，考查分析问题解决问题的能力与计算能力．10.设a =log 0.10.2，b =log 0.20.4，c =log 0.30.6，则（ ） A.a ＞b ＞c B.a ＞c ＞b C.b ＞c ＞a D.c ＞b ＞a 【答案】【解析】解：∵log n 2n =1+1log 2n ，当0＜n 1 ＜n 2＜1时，有log 2n 1＜log 2n 2＜0， ∴0＞1log2n 1＞1log2n 2，∴当0＜n ＜1时，n 越大，log n 2n 的值越小， ∵a =log 0.10.2，b =log 0.20.4，c =log 0.30.6， 0.1＜0.2＜0.3， ∴a ＞b ＞c ． 故选：A ．利用对数的性质推导出当0＜n ＜1时，n 越大，log n 2n 的值越小，由此能比较a =log 0.10.2，b =log 0.20.4，c =log 0.30.6的大小．本题考查对数值大小的比较，是基础题，解题时要认真审题，注意对数运算性质的合理运用．11.从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（ ） A.4160 B.1927 C.3554 D.1954【答案】 D【解析】解：0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数， 所有的三位数的个数为A 103-A 92=648个．将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A 33=12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A 43-A 32=18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C 31•C 31•C 31•A 33=162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C 31•C 31•2•A 22=36个，这样能被3整除的数共有228个．故这个三位数能被3整除的概率是228648=1954，故选D ．由题意可得所有的三位数有A 103-A 92=648个，然后根据题意将10个数字分成三组：即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案．本题考查排列、组合及简单计数问题，以及等可能事件的概率公式，也考查分类讨论思想与正难则反的解题思想．古典概型要求能够列举出所有事件和发生事件的个数，本题可以借助于组合数列举出所有事件，概率问题同其他的知识点结合在一起，实际上是以概率问题为载体，主要考查的是被三整除的数字特点，属于中档题．12.若直线ax +by +c =0与抛物线y 2=2x 交于P ，Q 两点，F 为抛物线的焦点，直线PF ，QF 分别交抛物线于点M ，N ，则直线MN 的方程为（ ） A.4cx -2by +a =0 B.ax -2by +4c =0 C.4cx +2by +a =0 D.ax +2by +4c =0 【答案】 A【解析】解：设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），N （x 3，y 3）， 由PM 过焦点F ，得y 1y 2=-1，x 1x 2=14，则有P （14x 2，-1y 2），同理Q （14x 3，-1y 3），将P 点代入直线方程ax +by +c =0，有a •14x 2+b （-1y 2）+c =0，两边乘以4x 2，得a -4bx 2y 2+4x 2c =0，又y 22=2x 2，∴y 2=2x 2y 2，∴a -2by 2+4cx 2=0，同理a -2by 3+4cx 3=0故所求直线为a -2by +4cx =0． 故选：A ． 设P （x 1，y 1），M （x 2，y 2），N （x 3，y 3），确定P ，Q 的坐标，代入直线方程ax +by +c =0，即可求出直线MN 的方程．本题考查抛物线的性质，考查点与直线的位置关系，考查学生的计算能力，确定P ，Q 的坐标是关键．二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)13.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4=11，S 12=9，则S 20= ______ ． 【答案】 -25【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4=11，S 12=9， ∴{4a 1+6d =1112a 1+66d =9，解得a 1=72，d =-12， ∴S 20=20a 1+190d =-25． 故答案为：-25．由已知条件利用等差数列的前n 项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出S 20．本题考查等差数列的前20项和的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的前n 项和公式的合理运用．14.如图，矩形OABC 内的阴影部分由曲线f （x ）=sinx 及直线x =a （a ∈（0，2π）与x 轴围成．向矩形OABC 内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为12，则a = ______ ．【答案】 π【解析】解：根据题意，阴影部分的面积为∫s a0inxdx=−(cosx)|0a =1-cosa ， 矩形的面积为a ⋅4a =4， 则由几何概型的概率公式可得1−cosa 4=12，即cosa =-1， 又a ∈（0，2π）， ∴a =π， 故答案为：π根据几何概型的概率公式，以及利用积分求出阴影部分的面积即可得到结论．本题主要考查几何概型的概率的计算，根据积分的几何意义求出阴影部分的面积是解决本题的关键．15.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB=AC=AA 1=2，∠BAC=120°，则此球的表面积等于 ______ ． 【答案】 20π 【解析】解：在△ABC 中AB=AC=2，∠BAC=120°， 可得BC =2√3由正弦定理，可得△ABC 外接圆半径r =2， 设此圆圆心为O'，球心为O ，在RT △OBO'中， 易得球半径R =√5，故此球的表面积为4πR 2=20π 故答案为：20π通过正弦定理求出底面外接圆的半径，设此圆圆心为O'，球心为O ，在RT △OBO'中，求出球的半径，然后求出球的表面积．本题是基础题，解题思路是：先求底面外接圆的半径，转化为直角三角形，求出球的半径，这是三棱柱外接球的常用方法；本题考查空间想象能力，计算能力．16.已知直线x +y +1=0与曲线C ：y =x 3-3px 2相交于点A ，B ，且曲线C 在A ，B 处的切线平行，则实数p 的值为 ______ ． 【答案】 1【解析】解：由y =x 3-3px 2，得y ′=3x 2-6px ， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），∵曲线C在A，B处的切线平行，∴3x12−6px1=3x22−6px2，令3x12−6px1=3x22−6px2=m，∴x1，x2是方程3x2-6px-m=0的两个根，则x1+x2=2p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵x13−3px12+x23−3px222=(x1+x2)[(x1+x2)2−3x1x2]−3p[(x1+x2)2−2x1x2]2=8p3−12p32=−2p3，而(x1+x22)3−3p(x1+x22)2=(2p2)3−3p(2p2)2=-2p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2=2p，知线段的中点为（p，-p-1），∴-p-1=p3-3p•p2=-2p3，解得p=1．故答案为：1．求出原函数的导函数，设出A，B点的坐标，得到函数在A，B点处的导数值，由A，B点处的导数值相等得到3x12−6px1=3x22−6px2=m，把x1，x2看作方程3x2-6px-m=0的两个根，利用根与系数关系得到x1+x2=2p，进一步得到AB的中点坐标，然后再证明AB的中点在曲线C上，最后由AB中点的纵坐标相等求得实数p的值．本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，求解该题的主线是利用AB中点的坐标相等，关键是证明AB的中点在曲线C上，是中档题．三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)17.如图，已知OPQ是半径为√3，圆心角为π3的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP=x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y=f（x）+f（x+π4）的最大值及相应的x值．【答案】解：（1）在R t△OBC中，OB=OC•cosx=√3cosx，BC=OC•sinx=√3sinx，在R t△OAD中，DAOA=tan60°=√3，∴OA=√33BC=sinx，∵AB=OB-OA=√3cosx-sinx，∴f（x）=S=AB•BC=（√3cosx-sinx）•√3sinx=3sinx•cosx-√3sin2x=32sin 2x -√32（1-cos 2x ）=√3sin （2x +π6）-√32，x ∈（0，π3）…（6分）（Ⅱ）由x ∈（0，π3），x +π4∈（0，π3），得x ∈（0，π12）而y =f （x ）+f （x +π4）=√3sin （2x +π6）-√32+√3sin [2（x +π4）+π6]-√32=√3[sin （2x +π6）+cos （2x +π6）]-√3 =√6sin （2x +5π12）-√3， 由2x +5π12∈（5π12，7π12），故当2x +5π12=π2，即x =π24时，y 取最大值√6-√3…（12分）【解析】（1）先把矩形的各个边长用角x 表示出来，进而表示出矩形的面积；（2）先将函数y =f （x ）+f （x +π4）的解析式化为正弦型函数，进而根据正弦型函数的图象和性质得到答案．本题考查在实际问题中建立三角函数模型，解题关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的恒等式变换公式进行化简，属于中档题．18.如图在四棱锥P 一ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠BAD=90°．BC=2AD ，AC 与BD 交于点O ，点M ，N 分别在线PC 、AB 上，CMMP =BN NA =2．（Ⅰ）求证：平面MNO ∥平面PAD ；（Ⅱ）若平面PA ⊥平面ABCD ，∠PDA=60°，且PD=DC=BC=2，求二面角B-AM-C 的余弦值．【答案】证明（Ⅰ）在梯形ABCD 中，∵AD ∥BC ， ∴OC ：OA=BC ：AD=2， 又BN=2NA ， ∴NO ∥BC ∥AD在△PAD 中，∵OC ：OA=BC ：AD=2，CM=2MP ， ∴OM ∥AP∴OM ∥平面PAD ，∵NO ∥AD ，且ON ∩OM=0，ON⊂平面MNO ，OM⊂平面MNO ， ∴平面MNO ∥平面（Ⅱ）在△PAD 中，PA 2=PD 2+AD 2-2PD •AD cos ∠PDA=3∴PA 2+AD 2=PD 2，即PA ⊥AD ，又平面PDA ⊥平面ABCD ∴PA ⊥平面ABCD ，而∠BAD=90°故，如图，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，在梯形ABCD 中，CD=BC=2AD=2，∠BAD=90°， ∴AB=√3，则有A （0，0，0），B （0，√3，0），C （2，√3，0），D （1，0，0），P （0，0，√3）， 由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（23，√33，2√33）， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，√3，0），AC⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，√3，0）， 设平面ABM 的法向量为M 1=（a ，b ，c ），由{m 1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m 1⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3b =02a +√3b +2√3c =0，令c =-√3，解得b =0，a =3， ∴m 1=（3，0，-√3）同理，可得平面ACM 的法向量为m 2=（3，-2√3，0） 设二面角B-AM-C 的平面角为θ，易知0＜θ＜π2， ∴cos θ=|m 1m 2||m1|⋅|m 2|=3√714．【解析】（Ⅰ）在梯形ABCD 中，由已知AD ∥BC ，推断出OC ：OA=BC ：AD=2，进而可知NO ∥BC ∥AD ，在△PAD 中，根据OC ：OA=BC ：AD=2，CM=2MP ，推断出OM ∥AP 进而可证明平面MNO ∥平面PAD ．（Ⅱ）先由余弦定理求得PA ，推断出PA 2+AD 2=PD 2，可知PA ⊥AD ，又利用平面PDA ⊥平面ABCD 推断出PA ⊥平面ABCD ，进而建立如图，以点A 为坐标原点，分别以AD ，AB ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，求得AB ，则有A ，B ，C ，D ，P 的坐标可知，由PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13PC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，求得得AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的坐标，设平面ABM 的法向量为M 1=（a ，b ，c ），由{m 1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0m 1⋅AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，得{√3b =02a +√3b +2√3c =0，令c =-√3，解得a 和b ，得到m 1，同理可求得平面ACM 的法向量为m 2设二面角B-AM-C 的平面角为θ，利用平面向量的数量积的运算求得cos θ．本题主要考查了面面平行的判定，线面垂直的性质，空间向量的相关知识．考查了学生分析推理和运算的能力．19.袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球． （Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【答案】解：（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有C 74=35种情形，若取出的4个球都是黑色，共有C 84=70种情形， 故取出的4个球同色的概率为C 74+C 84C 154=113．…（6分）（Ⅱ）依题意知ξ=0，1，2，3，4，P （ξ=0）=C 80C 74C 154=139，P （ξ=1）=C 81C 73C 154=839，P （ξ=2）=C 82C 72C 154=2865，P （ξ=3）=C 83C 71C 154=56195，P （ξ=4）=C 84C 70C 154=239，∴ξ的分布列为：∴E ξ=0×139+1×839+2×2865+3×56195+4×239=3215．…（12分）【解析】（Ⅰ）利用古典概率计算公式结合排列组合的性质能求出取出的4个球同色的概率． （Ⅱ）依题意知ξ=0，1，2，3，4，分别求出P （ξ=0），P （ξ=1），P （ξ=2），P （ξ=3），P （ξ=4），由此能求出ξ的分布列和E ξ．本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.已知椭圆x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的焦点为F ，离心率为23，短轴长为2√5，过点F 引两直线l 1和l 2，l 1交椭圆于点A 和C ，l 2交椭圆于B 和D ． （Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|FA|•|FC|=|FB|•|FD|，试求四边形ABCD 面积的最大值．【答案】（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）根据题意有{ca=232b =2√5，又a 2=b 2+c 2，解得a =3，b =√5，c =2， ∴椭圆M 的方程为x 29+y 25=1．…（5分）（Ⅱ）不妨设F 为椭圆M 的右焦点（2，0），当直线l 1的斜率k 1存在时，l 1的方程为y =k 1（x -2）=k 1x +m ，（m =-2k 1） …（1）， 设A （x 1，y 1），C （x 2，y 2），把（1）代入椭圆的方程，得关于x 的一元二次方程： （5+9k 12）x 2+18mk 1x +9m 2-45=0，…（2） ∵x 1，x 2是方程（2）的两个实数解， ∴x 1+x 2=−18mk 15+9k 12，x 1•x 2=9m 2−455+9k 12， (3)又y 1=k 1（x 1-2），y 2=k 1（x 2-2），∴|FA|=√(x 1 −2)2+(y 1 −0)2=√1+k 12|x 1-2|， 同理|FC|=√1+k 12|x 2−2|，∴|FA|•|FC|=（1+k 12）|x 1x 2-2（x 1+x 2）+4|， (4)把（3）代入（4）得，|FA|•|FC|=（1+k 12）|9m 2 −455+9k 12 -2−18mk 15+9k 12+4|， (5)记θ1 为直线l 1的倾斜角，则k 1=tan θ1， 由（5）知|FA|•|FC|=259−4cos 2θ1， (6)当l 1的斜率不存在时，θ1=90°，此时A ，C 的坐标可为（2，53）和（2，-53）或（2，-53）和（2，53）， ∴|FA|•|FC|=259， (7)由（6）（7）知，当直线l 1的倾斜角为θ1时，|FA|•|FC|=259−4cos 2θ1， (8)同理，记直线l 2的倾斜角为θ2时，|FB|•|FD|=259−4cos 2θ2 (9)由|FA|•|FC|=|FB|•|FD|得，cos 2θ1=cos 2θ2，0＜θ1，θ2＜π，∴θ1=θ2或θ1=π-θ2， 依题意θ1≠θ2，∴θ1=π-θ2，当θ1≠90°时，|AC|=√(x 1−x 2)2+(y 1−y 2)2=√√1+k 2√(x 1+x 2)2−4x 1x 2 =√1+k 12√(−18mk 125+9k 12−49m 2−455+9k 12=30(1+k 12)5+9k 12=30(1+tan 2θ1)5+9tan 2θ1=309−4cos 2θ1， (10)当θ1=90°时，|AC|=2×53=103， (11)由（10）、（11）知当直线l 1的倾斜角为θ1时，|AC|=309−4cos 2θ1， (12)同理，|BD|=309−4cos 2(π−θ1)=309−4cos 2θ1， (13)由（12）、（13）知，四边形ABCD 的面积为S=12|AC|•|BD|sin 2θ1=450sin2θ1(9−4cos 2θ1)2，令g （θ）=sin2θ(9−4cos 2θ)2，∵cos 2θ=1+cos2θ2，∴g （θ）=sin2θ(7−2cos2θ)2， 则g ′(θ)=(sin2θ7−2cos2θ)2)′ =2(2cos2θ−1)(cos2θ+4)(7−2cos2θ)3，∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，当0＜2θ＜π3，或5π3＜2θ＜2π时，g ′（θ）＞0， g （θ）递增，当π3≤2θ≤5π3时，g ′（x ）≤0，g （θ）递减，∴当2θ=π3，即θ=π6时，g （θ）取最大值， 即g （θ）max =g （π6）=√372，∴当θ=π6时，四边形ABCD 的面积S max =25√34．…（12分）【解析】 （Ⅰ）根据题意有{ca=232b =2√5，由此能求出椭圆M 的方程．（Ⅱ）设F 为椭圆M 的右焦点（2，0），当直线l 1的斜率k 1存在时，推导出|FA|•|FC|=259−4cos 2θ1；当l 1的斜率不存在时，|FA|•|FC|=259，从而得到四边形ABCD 的面积为S=12|AC|•|BD|sin 2θ1=450sin2θ1(9−4cos 2θ1)2，由此能求出四边形ABCD 的面积的最大值．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形面积的最大值的求法，解题时要认真审题，注意三角函数、导数性质的灵活运用．21.已知函数f （x ）=x−1lnx ．（Ⅰ）求证：当x ＞1时，f （x ）＞1； （Ⅱ）令a n +1=f （a n ），a 1=√e ，求证：2n lna n ≥1．【答案】证明：（Ⅰ）令g （x ）=lnx -x +1，则g ′（x ）=1−x x当0＜x ＜1时，g ′（x ）＞0，∴函数y =g （x ）在0＜x ＜1时为增函数， ∴0＜x ＜1时，g （x ）＜g （1）=0，即lnx -x +1＜0；当x ＞1时，g ′（x ）＜0，∴函数y =g （x ）在x ＞1时为减函数，∴x ＞1时，g （x ）＜g （1）=0，即lnx -x +1＜0， 则当x ＞1时，0＜lnx ＜x -1，∴x−1lnx ＞1，即f （x ）＞1； …（5分）（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2n lna n ≥1ⅰ）当n =1时，a 1=√e ，知2lna 1=2ln √e =1，∴n =1时，命题成立ⅱ）假设n =k 时，命题成立．即2k lna k ≥1要证明n =k +1时，命题成立．即证明2k +1lna k +1≥1，只需证明a k +1≥e 12k+1 依题意知a k +1=a k −1lna k ，即证明：a k −1lna k ≥e 12k+1f ′（x ）=−ln 1x +1x −1(lnx)2x ＞1时，有0＜1x ＜1，由（Ⅰ）可知ln 1x -1x +1＜0，∴当x ＞1时，f ′（x ）＞0，∴函数x ＞1时为增函数 由归纳假设2k lna k ≥1，即a k ≥e 12k ＞1， ∴f （a k ）≥f （e 12k）=e 12k−112k (1)依题意知a k +1=f （a k ），故又只需证明f （e 12k ）＞e 12k+1， 构造函数h （x ）=e x -1-x e x2，h ′（x ）=e x2（e x2-1-x2）e x 2＞1，由（Ⅰ）知ln e x2-e x2+1＜0，即e x2-1-x2＞0，∴h ′（x ）＞0∴函数y =h （x ），x ＞0为增函数，∴h （12k ）＞h （0）=0， 则f （e 12k）=e 12k−112k＞e 12k+1 …（2），由（1）（2）及题意知a k +1≥e 12k+1，即2k +1lna k +1≥1综合（ⅰ）ⅱ）知，有2n lna n ≥1成立．【解析】（Ⅰ）令g （x ）=lnx -x +1，求导数，证明x ＞1时，g （x ）＜g （1）=0，即lnx -x +1＜0，即可证明当x ＞1时，f （x ）＞1；（Ⅱ）用数学归纳法证明2n lna n ≥1即可．本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用数学归纳法是关键．22.已知，在△ABC 中，D 是AB 上一点，△ACD 的外接圆交BC 于点E ，AB=2BE ．（Ⅰ）求证：BC=2BD ；（Ⅱ）若CD 平分∠ACB ，且AC=2，EC=1，求BD 的长．【答案】（Ⅰ）证明：连接DE ，因为四边形ACED 是圆的内接四边形， 所以∠BDE=∠BCA ， 又∠DBE=∠CBA ，所以△DBE ∽△CBA ，即有BEAB =BDBC ，又AB=2BE ，所以BC=2BD …（5分） （Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE ∽△CBA ，知BEAB =EDAC ， 又AB=2BE ，∴AC=2DE ， ∵AC=2，∴DE=1，而CD 是∠ACB 的平分线，∴DA=1，设BD=x ，根据割线定理得BD •BA=BE •BC即x （x +1）=12（x +1）[12（x +1）+1]，解得x =1，即BD=1． …（10分） 【解析】（Ⅰ）连接DE ，证明△DBE ∽△CBA ，即可证明BC=2BD ；（Ⅱ）先求DE ，利用CD 是∠ACB 的平分线，可得DA=1，根据割线定理求出BD ． 本题考查与圆有关的比例线段，考查割线定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．四、填空题(本大题共2小题，共10.0分)23.在平面直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为{x =√2+t y =t （t为参数），圆C 的极坐标方程是ρ=1．（Ⅰ）求直线l 与圆C 的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C 经过伸缩变换{x′=xy′=2y 得到曲线C ′，设M （x ，y ）为曲线C ′上一点，求4x 2+xy +y 2的最大值，并求相应点M 的坐标． 【答案】 解：（Ⅰ）直线l 的方程为x -y -√2=0，圆C 的方程是x 2+y 2=1； ∵圆心（0，0）到直线l 的距离为d =|0−0−√2|√12+(−1)2=1，等于圆的半径r ，∴直线l 与圆C 的公共点有1个；（Ⅱ）圆C 的参数方程是{x =cosθy =sinθ，（0≤θ＜2π）；∴曲线C ′的参数方程是{x =cosθy =2sinθ；∴4x 2+xy +y 2=4cos 2θ+cos θ•2sin θ+4sin 2θ=4+sin 2θ； 当θ=π4或θ=5π4时，4x 2+xy +y 2取得最大值5，此时M 的坐标为（√22，√2）或（-√22，-√2）．【解析】（Ⅰ）把直线l 的参数方程、圆C 的极坐标方程化为普通方程，根据圆心到直线的距离d 与圆半径r 的关系，判定直线l 与圆C 的公共点个数；（Ⅱ）由圆C 的参数方程求出曲线C ′的参数方程，代入4x 2+xy +y 2中，求出4x 2+xy +y 2取得最大值时对应的M 的坐标．本题考查了参数方程与极坐标方程的应用问题，解题时可以把参数方程、极坐标方程化为普通方程，以便正确解答问题，是基础题．24.已知函数f （x ）=|x -1|．（Ⅰ）解不等式f （x -1）+f （1-x ）≤2；（Ⅱ）若a ＜0．求证：f （ax ）-af （x ）≥f （x ）． 【答案】 解：（Ⅰ）∵f （x -1）+f （1-x ）=|x -2|+|x |． 因此只须解不等式|x -2|+|x |≤2．当x ≤0时，原不式等价于2-x -x ≤2，即x ≥0，所以x =0． 当0＜x ＜2时，原不式等价于2≤2成立，所以0＜x ＜2． 当x ≥2时，原不式等价于x -2+x ≤2，即x ≤2，所以x =2． 综上，原不等式的解集为{x |0≤x ≤2}．…（5分） （Ⅱ）∵f （ax ）-af （x ）=|ax -1|-a |x -1|，又a ＜0时，|ax -1|-a |x -1|=|ax -1|+|-ax +a |≥|ax -1-ax +a |=|a -1|=f （a ）， ∴a ＜0时，f （ax ）-af （x ）≥f （x ）．…（10分） 【解析】（Ⅰ）依题意，f （x -1）+f （1-x ）≤2⇔|x -2|+|x |≤2，通过对x ≤0与0＜x ＜2及x ≥2的讨论分析，去掉绝对值符号，即可求得原不等式的解集；（Ⅱ）利用绝对值不等式，a ＜0时，可得f （ax ）-af （x ）=|ax -1|-a |x -1|≥|ax -1-ax +a |=|a -1|=f （a ），从而可证结论．本题考查绝对值不等式的解法，通过对x ≤0与0＜x ＜2及x ≥2的讨论分析，去掉绝对值符号是关键，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．。
2014年新课标2卷理科数学高考真题及答案掌门1对1教育 高考真题2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N⋂=( )A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i=+，则12z z =（ ）A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b =( )A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( ) A. 5 5C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A. 1727 B. 59C. 1027D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2，则输出的S= （）A. 4B. 5C. 6D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=A. 0B. 1C. 2D. 39.设x,y满足约束条件70310350x yx yx y+-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y=-的最大值为（）A. 10B. 8C. 3D. 2 10.设F 为抛物线C:23yx=的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A. 33B. 93C. 6332D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1， 则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ）A. 110B. 25C. 30D.212.设函数()3xf x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m+<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）A. ()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞ D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案)14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221xy +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________. 三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知数列{}na 满足1a =1，131n na a +=+. （Ⅰ）证明{}12na +是等比数列，并求{}na 的通项公式； （Ⅱ）证明：1231112naa a++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3，求三棱锥E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份1 2 3 4 5 6 7代号t人均2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9纯收入y（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b ab+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2xx ee x---（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是e O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与e O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交e O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ； （Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线=+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，l y x:32确定D的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数()f x=1(0)++->x x a aa（Ⅰ）证明：()f x≥2；（Ⅱ）若()35f<，求a的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、 选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C（7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题（13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1-三、解答题 （17）解： （Ⅰ）由131n n aa +=+得 n 111a3().22n a ++=+又11322a +=，所以12n a⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
2014年新疆维吾尔自治区普通高考第二次适应性检测文科综合能力测试（历史部分）本试题卷分选择题和非选择题两部分，共页。
时量l50分钟，满分300分。
一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
24.夏朝，这个被称为中国第一个王朝的朝代是否存在，近代以来一直是中外历史学家争论的话题。
1936年顾颉刚、童书业曾联名发表《夏史三论》一文，即主张“我们不该用了战国以下的记载来决定商周以前的史实”，认为“夏代史本来只是传说的堆积”。
1999年美国出版由当代西方最主要汉学家联手完成的《剑桥中国上古史》全书不设“夏朝”一章。
这一争论表明A．中国上古历史都是传说故事的堆积B．后世文献记载中有关夏朝的内容是虚构C．西方史学的研究方法不适合研究中国历史D．夏朝的存在需要考古发现和科学研究进一步证明25.元朔五年（前124年），汉武帝采纳公孙弘的建议，为五经博士置弟子员，每年考试，凡能通一经以上者，可补文学掌故的官缺，成绩得甲等者可为郎官。
其目的是A．确立儒家学说的独尊地位 B．拓宽平民子弟做官的渠道C．充实和加强政府官僚机构 D．打破贵族世代为官的陈规26.宰相宋璟向唐玄宗建议恢复贞观年间史官公开记事的制度。
贞观时，中书、门下及三品官向皇帝奏事，史官随同，记录所奏内容，故大臣奏事不敢随心所欲，任意歪曲事实。
玄宗重视宋璟的意见，恢复了这种制度。
这一做法A．有利于限制三省宰相的权力 B．说明当时已出现民主思想萌芽C．体现了三省之间的相互制约 D．在一定程度上保证了吏治清明27．王夫之认为：“预定奕世（世代）之规，置天子于有无之处，以虚静而统天下，则不恃贵戚旧臣以夹辅。
”由此可知作者A．主张加强君权消弱贵戚旧臣 B．提出了限制君主权力的主张C．认为内阁限制了君主的权利 D．深受英国君主立宪制的影响28.对晚清时期清政府推行的洋务运动、戊戌变法、清末“新政”三者相同点的评述，正确的是 A．不同程度变革了政治体制 B．因为顽固势力的反对而失败C．与维新派有着一定的关联 D．促进了近代社会的发展进步29．《剑桥中华民国史》写到：“北京政府始终是中国国家主权和人民瞩望的统一的象征，虽然没有封建王朝，缺少强有力的人物和执政党，但北京政府仍旧代表着国家观念。
2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝[0，1]，则A∩B＝（）A．（0，1）B．〔0，1]C．[0，1）D．[0，1]2．（5分）已知复数z1＝a+bi与z2＝c+di（a，b，c，d∈R，z2≠0），则∈R的充要条件是（）A．ad+bc＝0B．ac+bd．＝0C．ac﹣bd＝0D．ad﹣bc＝0 3．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3+a4＝16，则a5＝（）A．4B．8C．16D．324．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．5．（5分）已知函数y＝f（2x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．56．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3B．5C．10D．167．（5分）若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或8．（5分）已知⊙A1：（x+2）2+y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A．﹣y2＝1B．+y2＝1C．x2﹣y2＝2D．+＝19．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．10．（5分）设a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 11．（5分）从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（）A．B．C．D．12．（5分）若直线ax+by+c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为（）A．4cx﹣2by+a＝0B．ax﹣2by+4c＝0C．4cx+2by+a＝0D．ax+2by+4c＝0二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝11，S12＝9，则S20＝．14．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sin x及直线x＝a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝．15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于．16．（5分）已知直线x+y+1＝0与曲线C：y＝x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B 处的切线平行，则实数p的值为．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y＝f（x）+f（x+）的最大值及相应的x值．18．（12分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°．BC ＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）若平面P A⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B﹣AM﹣C 的余弦值．19．（12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球．（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；（Ⅱ）令a n+1＝f（a n），a1＝，求证：2n lna n≥1．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE．（Ⅰ）求证：BC＝2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）﹣af（x）≥f（x）．2014年新疆乌鲁木齐市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（60分）1．（5分）已知集合A＝{x|x2＜1}，B＝[0，1]，则A∩B＝（）A．（0，1）B．〔0，1]C．[0，1）D．[0，1]【解答】解：由A中的不等式变形得：（x+1）（x﹣1）＜0得：﹣1＜x＜1，∴A＝（﹣1，1），∵B＝[0，1]，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．2．（5分）已知复数z1＝a+bi与z2＝c+di（a，b，c，d∈R，z2≠0），则∈R的充要条件是（）A．ad+bc＝0B．ac+bd．＝0C．ac﹣bd＝0D．ad﹣bc＝0【解答】解：∵＝＝，∴则∈R的充要条件ad﹣bc＝0．故选：D．3．（5分）已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，若a2＝2，2a3+a4＝16，则a5＝（）A．4B．8C．16D．32【解答】解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a2＝2，2a3+a4＝16，∴，解得，或（舍），∴．故选：C．4．（5分）已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A．B．C．D．【解答】解：由三视图可知，几何体为底面为底为2，高为2的三角形的三棱锥，且一面垂直于底面，V＝，故选：B．5．（5分）已知函数y＝f（2x）+x是偶函数，且f（2）＝1，则f（﹣2）＝（）A．2B．3C．4D．5【解答】解：∵y＝f（2x）+x是偶函数，∴f（﹣2x）﹣x＝f（2x）+x，∴f（﹣2x）＝f（2x）+2x，令x＝1，则f（﹣2）＝f（2）+2＝3．故选：B．6．（5分）阅读如图所示的程序框图，如果输入的n的值为6，那么运行相应程序，输出的n的值为（）A．3B．5C．10D．16【解答】解：进入循环前n＝6．i＝0，此时n为偶数，故n＝＝3，i＝1，满足继续进行循环的条件；当n＝3．i＝1，此时n为奇数，故n＝3n+1＝10，i＝2，满足继续进行循环的条件；n＝10．i＝2，此时n为偶数，故n＝＝5，i＝3，不满足继续进行循环的条件；故输出的n值为5故选：B．7．（5分）若向量、、两两所成的角相等，且||＝1，||＝1，||＝3，则|++|等于（）A．2B．5C．2或5D．或【解答】解：由向量、、两两所成的角相等，设向量所成的角为α，由题意可知α＝0°或α＝120°则＝+++2（++）＝11+2（||•||cosα+||•||cosα+||•||cosα）＝11+14cosα所以当α＝0°时，原式＝5；当α＝120°时，原式＝2．故选：C．8．（5分）已知⊙A1：（x+2）2+y2＝12和点A2（2，0），则过点A2且与⊙A1相切的动圆圆心P的轨迹方程为（）A．﹣y2＝1B．+y2＝1C．x2﹣y2＝2D．+＝1【解答】解：根据题意有||P A1|﹣|P A2||＝2＜|A1A2|＝4，∴点P的轨迹是以A1（﹣2，0），A2（2，0）为焦点，实轴长为2a＝2的双曲线，∴b＝＝1，∴点P的轨迹方程为﹣y2＝1．故选：A．9．（5分）将函数f（x）＝sin（2x+θ）（）的图象向右平移φ（φ＞1）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（），则φ的值可以是（）A．B．C．D．【解答】解：函数向右平移φ个单位，得到g（x）＝sin（2x+θ﹣2φ），因为两个函数都经过P（0，），所以，，所以g（x）＝sin（2x+﹣2φ），sin（﹣2φ）＝，φ＞1，所以﹣2φ＝2kπ+，φ＝﹣kπ，与选项不符舍去，﹣2φ＝2kπ+，k∈Z，当k＝﹣1时，φ＝．故选：B．10．（5分）设a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，则（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a【解答】解：∵，当0时，有log2n1＜log2n2＜0，∴0＞＞，∴当0＜n＜1时，n越大，log n2n的值越小，∵a＝log0.10.2，b＝log0.20.4，c＝log0.30.6，0.1＜0.2＜0.3，∴a＞b＞c．故选：A．11．（5分）从0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，这个三位数能被3整除的概率是（）A．B．C．D．【解答】解：0到9这10个数字中，任取3个数字组成一个没有重复数字的三位数，所有的三位数的个数为A103﹣A92＝648个．将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1，4，7}、被3除余2的有{2，5，8}，被3整除的有{3，6，9，0}．若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论：①三个数字均取第一组，或均取第二组，有2A33＝12个；②若三个数字均取自第三组，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有A43﹣A32＝18个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有C31•C31•C31•A33＝162个，④若三组各取一个数字，第三组中取0，有C31•C31•2•A22＝36个，这样能被3整除的数共有228个．故这个三位数能被3整除的概率是＝，故选：D．12．（5分）若直线ax+by+c＝0与抛物线y2＝2x交于P，Q两点，F为抛物线的焦点，直线PF，QF分别交抛物线于点M，N，则直线MN的方程为（）A．4cx﹣2by+a＝0B．ax﹣2by+4c＝0C．4cx+2by+a＝0D．ax+2by+4c＝0【解答】解：设P（x1，y1），M（x2，y2），N（x3，y3），由PM过焦点F，得y1y2＝﹣1，x1x2＝，则有P（，﹣），同理Q（，﹣），将P点代入直线方程ax+by+c＝0，有a•+b（﹣）+c＝0，两边乘以4x2，得a﹣+4x2c＝0，又，∴y2＝，∴a﹣2by2+4cx2＝0，同理a﹣2by3+4cx3＝0故所求直线为a﹣2by+4cx＝0．故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．共20分．13．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S4＝11，S12＝9，则S20＝﹣25．【解答】解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝11，S12＝9，∴，解得，d＝﹣，∴S20＝20a1+190d＝﹣25．故答案为：﹣25．14．（5分）如图，矩形OABC内的阴影部分由曲线f（x）＝sin x及直线x＝a（a∈（0，2π）与x轴围成．向矩形OABC内随机掷一点，该点落在阴影部分的概率为，则a＝π．【解答】解：根据题意，阴影部分的面积为＝＝1﹣cos a，矩形的面积为，则由几何概型的概率公式可得，即cos a＝﹣1，又a∈（0，2π），∴a＝π，故答案为：π15．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1的各顶点都在同一球面上，若AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC ＝120°，则此球的表面积等于20π．【解答】解：在△ABC中AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，可得由正弦定理，可得△ABC外接圆半径r＝2，设此圆圆心为O'，球心为O，在RT△OBO'中，易得球半径，故此球的表面积为4πR2＝20π故答案为：20π16．（5分）已知直线x+y+1＝0与曲线C：y＝x3﹣3px2相交于点A，B，且曲线C在A，B 处的切线平行，则实数p的值为1．【解答】解：由y＝x3﹣3px2，得y′＝3x2﹣6px，设A（x1，y1），B（x2，y2），则曲线C在A，B处的切线的斜率分别为，∵曲线C在A，B处的切线平行，∴＝，令＝＝m，∴x1，x2是方程3x2﹣6px﹣m＝0的两个根，则x1+x2＝2p，下面证线段AB的中点在曲线C上，∵＝＝，而＝﹣2p3，∴线段AB的中点在曲线C上，由x1+x2＝2p，知线段的中点为（p，﹣p﹣1），∴﹣p﹣1＝p3﹣3p•p2＝﹣2p3，解得p＝1．故答案为：1．三、解答题：第17～21题每题12分，解答应在答卷《答题卡}的相应各颐中写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）如图，已知OPQ是半径为，圆心角为的扇形，C是扇形弧上的动点，ABCD是扇形的内接矩形，记∠COP＝x，矩形ABCD的面积为f（x）．（Ⅰ）求函数f（x）的解析式，并写出其定义域；（Ⅱ）求函数y＝f（x）+f（x+）的最大值及相应的x值．【解答】解：（1）在Rt△OBC中，OB＝OC•cos x＝cos x，BC＝OC•sin x＝sin x，在Rt△OAD中，＝tan60°＝，∴OA＝BC＝sin x，∵AB＝OB﹣OA＝cos x﹣sin x，∴f（x）＝S＝AB•BC＝（cos x﹣sin x）•sin x＝3sin x•cos x﹣sin2x＝sin2x﹣（1﹣cos2x）＝sin（2x+）﹣，x∈（0，）…（6分）（Ⅱ）由x∈（0，），x+∈（0，），得x∈（0，）而y＝f（x）+f（x+）＝sin（2x+）﹣+sin[2（x+）+]﹣＝[sin（2x+）+cos（2x+）]﹣＝sin（2x+）﹣，由2x+∈（，），故当2x+＝，即x＝时，y取最大值﹣…（12分）18．（12分）如图在四棱锥P一ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°．BC ＝2AD，AC与BD交于点O，点M，N分别在线PC、AB上，＝＝2．（Ⅰ）求证：平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）若平面P A⊥平面ABCD，∠PDA＝60°，且PD＝DC＝BC＝2，求二面角B﹣AM﹣C 的余弦值．【解答】证明（Ⅰ）在梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴OC：OA＝BC：AD＝2，又BN＝2NA，∴NO∥BC∥AD在△P AD中，∵OC：OA＝BC：AD＝2，CM＝2MP，∴OM∥AP∴OM∥平面P AD，∵NO∥AD，且ON∩OM＝0，ON⊂平面MNO，OM⊂平面MNO，∴平面MNO∥平面P AD；（Ⅱ）在△P AD中，P A2＝PD2+AD2﹣2PD•AD cos∠PDA＝3∴P A2+AD2＝PD2，即P A⊥AD，又平面PDA⊥平面ABCD∴P A⊥平面ABCD，而∠BAD＝90°故，如图，以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，在梯形ABCD中，CD＝BC＝2AD＝2，∠BAD＝90°，∴AB＝，则有A（0，0，0），B（0，，0），C（2，，0），D（1，0，0），P（0，0，），由＝，得＝+＝（，，），＝（0，，0），＝（2，，0），设平面ABM的法向量为M1＝（a，b，c），由，得，令c ＝﹣，解得b＝0，a＝3，∴m1＝（3，0，﹣）同理，可得平面ACM的法向量为m2＝（3，﹣2，0）设二面角B﹣AM﹣C的平面角为θ，易知0＜θ＜，∴cosθ＝＝．19．（12分）袋中装有7个红球和8个黑球，一次取4个球．（Ⅰ）求取出的4个球同色的概率；（Ⅱ）设取出黑球的个数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望．【解答】解：（Ⅰ）若取出的4个球都是红色，共有种情形，若取出的4个球都是黑色，共有＝70种情形，故取出的4个球同色的概率为＝．…（6分）（Ⅱ）依题意知ξ＝0，1，2，3，4，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，∴ξ的分布列为：∴Eξ＝＝．…（12分）20．（12分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的焦点为F，离心率为，短轴长为2，过点F引两直线l1和l2，l1交椭圆于点A和C，l2交椭圆于B和D．（Ⅰ）求此椭圆的方程；（Ⅱ）若|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|，试求四边形ABCD面积的最大值．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）根据题意有，又a2＝b2+c2，解得a＝3，b＝，c＝2，∴椭圆M的方程为．…（5分）（Ⅱ）不妨设F为椭圆M的右焦点（2，0），当直线l1的斜率k1存在时，l1的方程为y＝k1（x﹣2）＝k1x+m，（m＝﹣2k1）…（1），设A（x1，y1），C（x2，y2），把（1）代入椭圆的方程，得关于x的一元二次方程：（5+9k12）x2+18mk1x+9m2﹣45＝0， (2)∵x1，x2是方程（2）的两个实数解，∴，x1•x2＝， (3)又y1＝k1（x1﹣2），y2＝k1（x2﹣2），∴|F A|＝＝|x1﹣2|，同理|FC|＝，∴|F A|•|FC|＝（1+k12）|x1x2﹣2（x1+x2）+4|， (4)把（3）代入（4）得，|F A|•|FC|＝（1+k12）|﹣2+4|， (5)记为直线l 1的倾斜角，则k1＝tanθ1，由（5）知|F A|•|FC|＝， (6)当l1的斜率不存在时，θ1＝90°，此时A，C的坐标可为（2，）和（2，﹣）或（2，﹣）和（2，），∴|F A|•|FC|＝， (7)由（6）（7）知，当直线l1的倾斜角为θ1时，|F A|•|FC|＝， (8)同理，记直线l2的倾斜角为θ2时，|FB|•|FD|＝ (9)由|F A|•|FC|＝|FB|•|FD|得，cos2θ1＝cos2θ2，0＜θ1，θ2＜π，∴θ1＝θ2或θ1＝π﹣θ2，依题意θ1≠θ2，∴θ1＝π﹣θ2，当θ1≠90°时，|AC|＝＝＝＝＝＝， (10)当θ1＝90°时，|AC|＝2×＝， (11)由（10）、（11）知当直线l1的倾斜角为θ1时，|AC|＝， (12)同理，|BD|＝＝， (13)由（12）、（13）知，四边形ABCD的面积为S＝|AC|•|BD|sin2θ1＝，令g（θ）＝，∵cos2θ＝，∴g（θ）＝，则＝，∵0＜θ＜π，∴0＜2θ＜2π，当0＜2θ＜，或时，g′（θ）＞0，g（θ）递增，当时，g′（x）≤0，g（θ）递减，∴当2θ＝，即时，g（θ）取最大值，即g（θ）max＝g（）＝，∴当时，四边形ABCD的面积S max＝．…（12分）21．（12分）已知函数f（x）＝．（Ⅰ）求证：当x＞1时，f（x）＞1；（Ⅱ）令a n+1＝f（a n），a1＝，求证：2n lna n≥1．【解答】证明：（Ⅰ）令g（x）＝lnx﹣x+1，则g′（x）＝当0＜x＜1时，g′（x）＞0，∴函数y＝g（x）在0＜x＜1时为增函数，∴0＜x＜1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0；当x＞1时，g′（x）＜0，∴函数y＝g（x）在x＞1时为减函数，∴x＞1时，g（x）＜g（1）＝0，即lnx﹣x+1＜0，则当x＞1时，0＜lnx＜x﹣1，∴＞1，即f（x）＞1；…（5分）（Ⅱ）下面用数学归纳法证明2n lna n≥1ⅰ）当n＝1时，a 1＝，知＝1，∴n＝1时，命题成立ⅱ）假设n＝k时，命题成立．即2k lna k≥1要证明n＝k+1时，命题成立．即证明2k+1lna k+1≥1，只需证明a k+1≥依题意知a k+1＝，即证明：≥f′（x）＝x＞1时，有0＜＜1，由（Ⅰ）可知ln﹣+1＜0，∴当x＞1时，f′（x）＞0，∴函数x＞1时为增函数由归纳假设2k lna k≥1，即a k≥＞1，∴f（a k）≥f（）＝ (1)依题意知a k+1＝f（a k），故又只需证明f（）＞，构造函数h（x）＝e x﹣1﹣x，h′（x）＝（﹣1﹣）＞1，由（Ⅰ）知ln﹣+1＜0，即﹣1﹣＞0，∴h′（x）＞0∴函数y＝h（x），x＞0为增函数，∴h（）＞h（0）＝0，则f（）＝＞…（2），由（1）（2）及题意知a k+1≥，即2k+1lna k+1≥1综合（ⅰ）ⅱ）知，有2n lna n≥1成立．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.选修4-1：几何证明选讲22．（10分）已知，在△ABC中，D是AB上一点，△ACD的外接圆交BC于点E，AB＝2BE．（Ⅰ）求证：BC＝2BD；（Ⅱ）若CD平分∠ACB，且AC＝2，EC＝1，求BD的长．【解答】（Ⅰ）证明：连接DE，因为四边形ACED是圆的内接四边形，所以∠BDE＝∠BCA，又∠DBE＝∠CBA，所以△DBE∽△CBA，即有，又AB＝2BE，所以BC＝2BD…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）△DBE∽△CBA，知，又AB＝2BE，∴AC＝2DE，∵AC＝2，∴DE＝1，而CD是∠ACB的平分线，∴DA＝1，设BD＝x，根据割线定理得BD•BA＝BE•BC即x（x+1）＝（x+1）[（x+1）+1]，解得x＝1，即BD＝1．…（10分）选修4-4：坐标系与参数方程23．在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是ρ＝1．（Ⅰ）求直线l与圆C的公共点个数；（Ⅱ）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线C′，设M（x，y）为曲线C′上一点，求4x2+xy+y2的最大值，并求相应点M的坐标．【解答】解：（Ⅰ）直线l的方程为x﹣y﹣＝0，圆C的方程是x2+y2＝1；∵圆心（0，0）到直线l的距离为d＝＝1，等于圆的半径r，∴直线l与圆C的公共点有1个；（Ⅱ）圆C的参数方程是，（0≤θ＜2π）；∴曲线C′的参数方程是；∴4x2+xy+y2＝4cos2θ+cosθ•2sinθ+4sin2θ＝4+sin2θ；当θ＝或θ＝时，4x2+xy+y2取得最大值5，此时M的坐标为（，）或（﹣，﹣）．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（Ⅰ）解不等式f（x﹣1）+f（1﹣x）≤2；（Ⅱ）若a＜0．求证：f（ax）﹣af（x）≥f（x）．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x﹣1）+f（1﹣x）＝|x﹣2|+|x|．因此只须解不等式|x﹣2|+|x|≤2．当x≤0时，原不式等价于2﹣x﹣x≤2，即x≥0，所以x＝0．当0＜x＜2时，原不式等价于2≤2成立，所以0＜x＜2．当x≥2时，原不式等价于x﹣2+x≤2，即x≤2，所以x＝2．综上，原不等式的解集为{x|0≤x≤2}．…（5分）（Ⅱ）∵f（ax）﹣af（x）＝|ax﹣1|﹣a|x﹣1|，又a＜0时，|ax﹣1|﹣a|x﹣1|＝|ax﹣1|+|﹣ax+a|≥|ax﹣1﹣ax+a|＝|a﹣1|＝f（a），∴a＜0时，f（ax）﹣af（x）≥f（x）．…（10分）。
掌门1对1教育 高考真题2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ）第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝，N={}2|320x x x -+≤，则M N ⋂=( ) A. ｛1｝B. ｛2｝C. ｛0，1｝D. ｛1，2｝2.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，12z i =+，则12z z =（ ） A. - 5B. 5C. - 4+ iD. - 4 - i3.设向量a,b 满足|a+b 10|a-b 6，则a ⋅b = ( ) A. 1B. 2C. 3D. 54.钝角三角形ABC 的面积是12，AB=1，2 ，则AC=( )A. 5B.5C. 2D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0.75C. 0.6D. 0.456.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ）,图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A. 1727 B. 59 C. 1027 D. 137.执行右图程序框图，如果输入的x,t 均为2，则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 78.设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ ）A. 10B. 8C. 3D. 210.设F 为抛物线C:23y x =的焦点，过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为（ ）A.33 B.938 C. 6332 D. 9411.直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成的角的余弦值为（ ） A. 110 B. 25C.30 D.2 12.设函数()3x f x m π=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ） A.()(),66,-∞-⋃∞ B.()(),44,-∞-⋃∞ C.()(),22,-∞-⋃∞D.()(),14,-∞-⋃∞第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题，每个试题考生必须做答.第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答. 二.填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a =________.(用数字填写答案) 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为_________.15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是__________.16.设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足1a =1，131n n a a +=+.（Ⅰ）证明{}12n a +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：1231112na a a ++<…+.18. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （Ⅰ）证明：PB ∥平面AEC ；（Ⅱ）设二面角D-AE-C 为60°，AP=1，3E-ACD 的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y b t t ∧==--=-∑∑，ˆˆay bt =-20. （本小题满分12分）设1F ,2F 分别是椭圆()222210y x a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N.（Ⅰ）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；（Ⅱ）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求a,b .21. （本小题满分12分） 已知函数()f x =2x x e e x --- （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >,求b 的最大值； （Ⅲ）已知1.41422 1.4143<<，估计ln2的近似值（精确到0.001）请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲如图，P 是 O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与 O 相交于点B ，C ，PC=2PA ，D 为PC 的中点，AD 的延长线交 O 于点E.证明： （Ⅰ）BE=EC ；（Ⅱ）AD ⋅DE=22PB23. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xoy 中，以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （Ⅰ）求C 的参数方程；（Ⅱ）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y =+垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x =1(0)x x a a a++->（Ⅰ）证明：()f x ≥2；（Ⅱ）若()35f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学试题参考答案一、选择题（1）D （2）A （3）A （4）B （5）A （6）C （7）D （8）D （9）B （10）D （11）C （12）C 二、填空题 （13）12（14）1 （15）()1,3- （16）[]1,1- 三、解答题 （17）解：（Ⅰ）由131n n a a +=+得 n 111a 3().22n a ++=+ 又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列。
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 由已知得{}12N x x=剟，因为{}0,1,2M =，所以{}1,2MN =，故选D.2. 解析 由题意得22z i =-+，()()12225z z i i =+--=-，故选A.3. 解析 由a b +22210a b a b ++⋅=， ①由a b -=2226a b a b +-⋅=， ②-①②得44a b ⋅=，所以1a b ⋅=，故选A.4. 解析 111s i n 2s i n 222ABC S AB BC B B =⋅=⨯=△，所以sin B =，若45B ∠=，则由余弦定理得1AC =，所以ABC △为直角三角形，不符合题意，因此0135B ∠=，由余弦定理得2222cos 12215AC AB BC AB BC B ⎛=+-⋅=+-⨯= ⎝⎭，所以AC = B.5. 解析 由条件概率可得所求概率为0.60.80.75=，故选A. 6. 解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2cm ，高是4cm ；另一个圆柱的底面半径为3cm ，高为2cm .设零件的体积()2231π24π3234πV cm =⨯⨯+⨯⨯=.而毛坯的体积()23π3654πV cm =⨯⨯=，因此切削掉部分的体积()32154π34π20πV V V cm =-=-=，所以220π1054π27V V ==.故选C. 评注 本题考查了三视图和圆柱的体积，考查了空间想象能力和运算求解能力，正确得到零件的直观图是求解的关键.7． 解析 1k =，1222351M S =⋅==+=；2k =，2222572M S =⋅==+=；3,k = 3t >，所以7S =，故选D. 8. 解析 11y a x '=-+，0x =时，12y a '=-=， 所以3a =，故选D.9. 解析 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由70,310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得，()5,2A .当直线2x y z -=过点A 时，2z x y =-取最大值.其最大值为2528⨯-=.故选B.10. 解析 易知直线AB的方程为34y x ⎫=-⎪⎝⎭，与23y x =联立并消去x得2490y --=.设()11,A x y ，()22,B x y，则12y y +=1294y y =-.12119224AB S OF y y =⋅-==△O .故选D.评注 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合和运算求解的能力.利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键.11. 解析 解法一：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知//BM QN ，则ANQ ∠即为所求，设12BC CA CC ===，则AQ AN QN所以222cos 2AN NQ AQ ANQ AN NQ +-∠===⋅，故选C.解法二：以1C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则C 1B 1A 1QN MCBA()2,0,2A ，()1,0,0N ，()1,1,0M ，()0,2,2B ，所以()1,0,2AN =--，()1,1,2BM =--，所以cos ,5AN BM AN BM AN BM⋅====，故选C.12. 解析 ()πx fx m'=，所以()f x 得极值点为0x ，所以()0f x '=，所以 0π0x m =，所以0πππ,2x k k m =+∈Z ，所以0m,2x mk k =+∈Z ，又因为 ()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，所以222m ππ22mk k m ⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦ ,k ∈Z ，即222132m k m ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，因为0m ≠，所以222132m k m -⎛⎫+< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，又因为存在0x 满足()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，即存在k ∈Z 满足上式，所以222min312m k m ⎡⎤-⎛⎫>+⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以222312m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2234m m ->，所以24m >，所以2m >或2m <-，故选C. 评注 本题考查了函数的极值问题，三角函数求值、恒成立等问题.考查分析问题、解决问题的能力.13. 解析 10110C r r r r T x a -+=，令107r -=，得3r =，所以3310C 15a =，即3109815321a ⨯⨯=⨯⨯，所以318a =，所以12a =. 14. 解析 ()()()s i n 2s i nc o s fx x x ϕϕϕϕ=⎡++⎤-+⎣⎦= ()()()sin cos cos sin 2sin cos x x x ϕϕϕϕϕϕ+++-+=()()sin cossin cos x x ϕϕϕϕ+-+=()sin sin x x ϕϕ+-=，所以()f x 的最大值为1.15. 解析 因为()20f =，()10f x ->，所以()()12f x f ->，又因为()f x 是偶函数且在[)0,+∞上单调递减，所以()()12f x f ->，所以12x -<，所以212x -<-<，所以13x -<<，所以()1,3x ∈-.评注 本题考查了偶函数的性质，利用()()f x f x =是求解的关键.16. 解析 解法一：当00x =时，()0,1M ，由圆的几何性质得在圆上存在点()1,0N -或()1,0N ，使045OMN ∠=.当00x ≠时，过M 作圆的两条切线，切点为A ，B .若在圆上存在N ，使得045OMN ∠=，应有045OMB OMN ∠∠=…，所以090AMB ∠…，所以010x -<…或001x <….综上，011x -剟.解法二：过O 作OP MN ⊥，P 为垂足，0sin 451OP OM =⋅…，所以01sin 45OM …，所以22OM …，所以2012x +…，所以201x …，所以011x -剟.评注 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力.17. 解析 （I ）由131n n a a +=+得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. 1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=.（II ）由（I ）知1231n n a =-.因为当1n …时，13123n n --⨯…，所以1113123n n --⨯….于是112111113131133232n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-< ⎪⎝⎭….所以1211132na a a ++⋅⋅⋅+<. 评注 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题，放缩求和是本题的难点.18. 解析 （I ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD 的中点，所以//EO PB .又EO ⊂ //PB ，PB ⊄平面AEC ，所以 //PB 平面AEC .（II ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()D，12E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，12AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设()(),0,00B m m >，则()C m，()AC m =.设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量，则110,0,AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即0,10,2mx y z ⎧+=+=可取1=-⎝n .又()21,0,0=n 为平面DAE的法向量，由题设121cos ,2=n n ，12，解得32m =.因为E 为PD 的中点，所以三角锥E ACD -的高为12.三角锥E ACD -的体积11313222V =⨯⨯=.评注 本题考查线面平行的判定，利用空间向量解二面角问题，考查了学生的空间想象能力. 19. 解析 （I ）由所给数据计算得()1123456747t =⨯++++++=，()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =⨯++++++=，()271941014928i i t t =-=++++++=∑，()()()()()()()()71=3 1.42110.7+00.1+10.5+20.9+3 1.6ii i tty y =---⨯-+-⨯-+--⨯⨯⨯⨯∑=14，()()()7127114ˆ0.528ii i ii tt y y btt ==--===-∑∑，ˆˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=，所求回归方程为ˆ0.5 2.3yt =+. （II ）由（I ）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（I ）中的回归方程，得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=千元，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元. 评注 本题考查了回归直线方程的求解，注意回归直线恒过点(),t y 是关键，考查了回归系数ˆb的几何意义.考查了学生的计算求解能力.20. 解析 （I）根据c 2,b M c a ⎛⎫⎪⎝⎭，223b ac =.将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =或c a =2-（舍去）.故C 的离心率为12. （II ）由题意，得原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =. ① 由15MN F N =得112DF F N =.设()11,N x y ，由题意知10y <，则()112,22,c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及c 代入②得()22941144a a a a-+=. 解得7a =，2428b a ==，故7a =，b =评注 本题考查了椭圆的几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识.21. 解析 （I ）()e e 20x x f x -'=+-…,等号仅当0x =时成立.所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增.（II ）（()()()()()2224e -e 4e -e 84x x x x g x f x bf x b b x --=-=-+-，()()()222e +e 2e +e 42x x x xg x b b --⎡⎤'=-+-⎣⎦()()2e +e 2e +e 22x x x x b --=--+. （i ）当2b …时，()0g x '…，等号仅当0x =时成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增. 而()g x =0，所以对任意0x >，()0g x >.（ii ）当2b >时，若x 满足2e +e 22x xb -<<-，即(0ln 1x b <<-+时，()0g x '<.而()00g =，因此当(0ln 1x b <<-时，()0g x <. 综上，b 的最大值为2. （III ）由（ii）知，(()3221ln 22g b =-+-.当2b =时，(36ln202g =->，ln 20.6928>>；当1b =+时，(ln 1b -=(()32ln202g =--<，n 20.6934<<.所以ln2的近似值为0.693.评注 本题考查了导数的应用，同时考查了分类讨论思想和运算能力. 22. 解析 （I ）连接AB ，AC ，由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠. 因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠， 所以DAC BAD ∠=∠，从而BE EC =.因此BE EC =.（ii ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以AD DE ⋅=22PB .评注 本题考查了圆的切割线定理，相交弦定理，考查了推理论证能力. 23. 解析（I ）C 的普通方程为()()221101x y y-+=剟.可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t=+⎧⎨=⎩(t 为参数，)0πt 剟.（II ）设()1c o s ,s i n D t t +.由（I ）知C 是以C ()1,0为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l的斜率相同，tan t =π3t =.故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即32⎛ ⎝⎭. 评注 本题考查了极坐标化平面直角坐标，普通方程化参数方程的方法，考查了数形结合思想.24. 解析（I ）由0a >，得()()1112f x x x a x x a a a a a=++-+--=+厖.EP所以()2f x ….（II ）()1333f a a =++-.当3a >时，()13f a a=+，由()35f <得3a <<当03a <…时()136f a a=-+，由()35f <3a <….综上，a 的取值范围是⎝⎭.评注 本题考查了含绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想.。
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1} B．{2} C．{0，1} D．{1，2}考点：交集及其运算．专题：集合．分析：求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．解答：解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5 B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．解答：解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：将等式进行平方，相加即可得到结论．解答：解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．点评：本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1考点：余弦定理．专题：三角函数的求值．分析：利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B 为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．解答：解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．点评：此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45考点：相互独立事件的概率乘法公式．专题：概率与统计．分析：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．解答：解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则有题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．点评：本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．解答：解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π．切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．点评：本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：根据条件，依次运行程序，即可得到结论．解答：解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．点评：本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故答案选D．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10 B．8C．3D．2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB 的面积为（）A．B．C．D．考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．解答：解：由y2=3x，得2p=3，p=，则F（）．∴过A，B的直线方程为y=，即．联立，得．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，．∴==．故选：D．点评：本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点：异面直线及其所成的角．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，找出BM与AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM与AN所成角的余弦值．解答：解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC 的中点为O，连结ON，，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，设BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===，在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO===．故选：C．点评：本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）考点：正弦函数的定义域和值域．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．解答：解：由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．点评：本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．解答：解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r+1=•x10﹣r•a r，令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．考点：三角函数的最值；两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．解答：解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．解答：解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1]．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：画出图形即可得到结果．解答：解：由题意画出图形如图：∵点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，∴圆心到MN的距离为1，要使MN=1，才能使得∠OMN=45°，图中M′显然不满足题意，当MN垂直x轴时，满足题意，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．故答案为：[﹣1，1]．点评：本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．考点：数列的求和；等比数列的性质．专题：证明题；等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．解答：证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+1+…+==＜．∴对n∈N+时，++…+＜．点评：本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱柱P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．考点：二面角的平面角及求法；棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．解答：（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AF至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AF=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．点评： 本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013年份代号t 1 2 3 4 5 6 7人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y 关于t 的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．考点：线性回归方程．专题：计算题；概率与统计．分析： （Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b 的值，再求出a 的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t 的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．解答：解：（Ⅰ）由题意，=（1+2+3+4+5+6+7）=4，=（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3， ∴===0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y 关于t 的线性回归方程为=0.5t+2.3； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得： =0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．点评： 本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F 1，F 2分别是C ：+=1（a ＞b ＞0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．（1）若直线MN 的斜率为，求C 的离心率；（2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|=5|F 1N|，求a ，b ．考点： 椭圆的应用．专题： 圆锥曲线中的最值与范围问题．分析： （1）根据条件求出M 的坐标，利用直线MN 的斜率为，建立关于a ，c 的方程即可求C 的离心率； （2）根据直线MN 在y 轴上的截距为2，以及|MN|=5|F 1N|，建立方程组关系，求出N 的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．解答： 解：（1）∵M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，∴M 的横坐标为c ，当x=c 时，y=，即M （c ，），若直线MN 的斜率为， 即tan ∠MF 1F 2=，即b 2==a 2﹣c 2， 即c 2﹣﹣a 2=0， 则， 解得e=． （Ⅱ）由题意，原点O 是F 1F 2的中点，则直线MF 1与y 轴的交点D （0，2）是线段MF 1的中点， 故=4，即b 2=4a ，由|MN|=5|F 1N|，解得|DF 1|=2|F 1N|，设N （x 1，y 1），由题意知y 1＜0，则，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．点评：本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数发是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g'（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．解答：解：（Ⅰ）由f（x）得f'（x）=e x+e﹣x﹣2，即f'（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f'（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g'（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x﹣2b+2）．①∵e x+e﹣x≥2，e x+e﹣x+2≥4，∴当2b≤4，即b≤2时，g'（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即时，g'（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）由（Ⅱ）知，．当b=2时，由，得；当时，有，由，得．所以ln2的近似值为0.693．点评：1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC 的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]．（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确定D的坐标．考点：参数方程化成普通方程；利用导数研究曲线上某点切线方程；圆的参数方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，可得半圆C的参数方程．（Ⅱ）由题意可得直线CD和直线l平行．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），根据直线CD和直线l的斜率相等求得cotα的值，可得α的值，从而得到点D的坐标．解答：解：（Ⅰ）半圆C的极坐标方程ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程为（x﹣1）2+y2=1，x∈[0，2]、y∈[0，1]．令x﹣1=cosα∈[﹣1，1]，y=sinα，α∈[0，π]．故半圆C的参数方程为，α∈[0，π]．（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，∴直线CD和直线l平行，故直线CD和直线l斜率相等．设点D的坐标为（1+cosα，sinα），∵C（1，0），∴=，解得tanα=，即α=，故点D的坐标为（，）．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程，把直角坐标方程化为参数方程，注意参数的范围，属于基础题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．考点：绝对值不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．解答：解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜≤3．综上可得，a的取值范围（，）．点评：本题主要考查绝对值三角不等时，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年普通高等学校招生全国统一考试 理科（新课标卷二Ⅱ)第Ⅰ卷一.选择题：本大题共12小题,每小题5分，在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合M=｛0,1,2｝,N={}2|320x x x -+≤,则M N ⋂=（ ） A 。
｛1｝B. ｛2}C. ｛0，1｝D 。
{1，2｝2。
设复数1z ,2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称，zxxk 12z i =+，则12z z =（ ) A 。
— 5 B. 5 C. — 4+ i D 。
- 4 - i3。
设向量a ，b 满足|a+b ｜10|a —b ｜6a ⋅b = （ ) A 。
1 B. 2 C 。
3 D 。
54。
钝角三角形ABC 的面积是12，2，则AC=（ ）A. 5 5 C. 2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0。
75，连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A. 0.8B. 0。
75C. 0。
6 D 。
0。
456。
如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm,高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为( ）A 。
1727 B. 59 C 。
1027 D. 137。
执行右图程序框图，如果输入的x ，t 均为2,则输出的S= （ ） A. 4 B. 5 C 。
6 D. 78。
设曲线y=a x —ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = A. 0 B 。
1 C. 2 D 。
39。
设x,y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩≤≤≥，则2z x y =-的最大值为（ )A. 10 B 。
8 C. 3 D. 2 10。
设F 为抛物线C ：23y x =的焦点,过F 且倾斜角为30°的直线交C 于A,B 两点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为( ） 33。
