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2022-2023学年辽宁省大连市高新区八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确)
1．（2分）下列垃圾分类标识的图案中，不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（2分）下列各项长度的木棒首尾相接可以组成三角形的是（）
A．1，2，3B．3，4，6C．2，3，5D．2，2，5
3．（2分）某种冠状病毒的直径约为0.00000012米，用科学记数法可将0.00000012表示为（）A．12×10﹣7B．12×10﹣8C．1.2×10﹣6D．1.2×10﹣7
4．（2分）已知a≠0，下列运算中正确的是（）
A．a2+a2＝a4B．（a3）2÷a2＝a4
C．（﹣a3）2＝﹣a6D．a2•a3＝a6
5．（2分）如图，要测池塘两端A，B的距离，小明先在地上取一个可以直接到达A和B的点C，连接AC并延长到D，使CD＝CA；连接BC并延长到E，使CE＝CB，则△ABC≌△DEC，那么判定△ABC和△DEC全等的依据是（）
A．SSS B．ASA C．SAS D．AAS
6．（2分）已知a2﹣b2＝16，a﹣b＝2，则a+b等于（）
A．﹣8B．﹣6C．4D．8
7．（2分）一个多边形的内角和比外角和大180°，则这个多边形的边数是（）
A．7B．6C．5D．4
8．（2分）如图，在四边形ABCD中，DE⊥BC，BD平分∠ABC，AB＝4，DE＝3，则△ABD的面积是（）。
辽宁省大连高新园区四校联考2023-2024学年八年级数学第一学期期末调研模拟试题学期期末调研模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）1．下列各数中是无理数的是（）A ．﹣1B ．3.1415C ．πD ．132．当x=－1时，代数式()22(1)1x x x x x --+-的结果是（）A ．－3B ．1C ．－1D ．－63．下列各数中，属于无理数的是（）A ．17-B ．1.414C D ．4．如图是根据某校学生的血型绘制的扇形统计图，该校血型为A 型的有200人，那么该校血型为AB 型的人数为（）A ．100B ．50C ．20D ．85．计算22222a b a b a ba b a b ab⎛⎫+---⨯ ⎪-+⎝⎭的结果是()A ．1a b-B ．1a b+C ．a －b D ．a ＋b6．将点(2,3)P --向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q ，则点Q的坐标是（）A ．(1,3)-B ．(2,1)-C ．(5,1)--D ．(5,5)-7．某村的居民自来水管道需要改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成，若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的1.5倍，如果由甲、乙两队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需5天．设这项工程的规定时间是x 天，则根据题意，下面所列方程正确的是（）A ．1151511.5x x x ⎛⎫+=+⎪⎝⎭B ．1151511.5x x x ⎛⎫-=+⎪⎝⎭C ．1151511.5x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭D ．1151511.5x x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭8．下列各式由左到右的变形中，属于分解因式的是（）A ．()a m n am an +=+B ．()()2222a b c a b a b c--=+--C ．()2105521x x x x -=-D ．()()168448x x x x x-+=+-+9．若实数,x y 满足2210x x +++=，则xy 的值是（）A ．2-B ．2C ．0D ．110．下列计算正确的是（）A ．（a 2）3＝a 5B ．（15x 2y ﹣10xy 2）÷5xy ＝3x ﹣2y C ．10ab 3÷（﹣5ab ）＝﹣2ab2D ．a ﹣2b 3•（a 2b ﹣1）﹣2＝66b a11．下列计算正确的是（）A ．224a a a +=B ．248a a a ∙=C ．352()a a =D ．624a a a ÷=12．下列各图中，a ，b ，c 为三角形的边长，则甲，乙，丙三个三角形中和左侧ABC 全等的是（）A ．甲和乙B ．乙和丙C ．甲和丙D ．只有丙二、填空题（每题4分，共24分）13．将点P （-1，2）向左平移2个单位，再向上平移1个单位所得的对应点的坐标为_____．14．化简：222222105x y ab a b x y+∙-的结果是_____．15．长、宽分别为a 、b 的长方形，它的周长为16，面积为10，则22a b ab +的值为____.16．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝50°，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，则∠DEF ＝______．17．如果一个正数的两个平方根分别为3m +4和2﹣m ，则这个数是__．18．如图，若△ABC ≌△ADE ，且∠B=65°，则∠BAD=．三、解答题（共78分）19．（8分）如图1，在等边△ABC 中，E 、D 两点分别在边AB 、BC 上，BE =CD ，AD 、CE 相交于点F ．（1）求∠AFE 的度数；（2）过点A 作AH ⊥CE 于H ，求证：2FH +FD =CE ；（3）如图2，延长CE 至点P ，连接BP ，∠BPC =30°，且CF =29CP ，求PFAF的值．（提示：可以过点A 作∠KAF =60°，AK 交PC 于点K ，连接KB ）20．（8分）小李在某商场购买,A B 两种商品若干次(每次,A B 商品都买)，其中前两次均按标价购买，第三次购买时，,A B商品同时打折．三次购买,A B商品的数量和费用如下表所示：购买A商品的数量/个购买B商品的数量/个购买总费用/元第一次65980第二次37940第三次98912、商品的标价各是多少元？（1）求A B、商品的折扣相同，则商场是打几折出售这两种商品的？（2）若小李第三次购买时A B、商品共花去了960元，则小李的购买（3）在（2）的条件下，若小李第四次购买A B方案可能有哪几种？21．（8分）（1）计算：（﹣2a2b）2+（﹣2ab）•（﹣3a3b）．（2）分解因式：（a+b）2﹣4ab．22．（10分）数学课上，同学们探究下面命题的正确性：顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形．为此，请你解答下列问题：（1）已知：如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，直线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，小乔发现：当∠A≠36°时，一些等腰三角形也具有这样的特性，即经过等腰三角形某一顶点的一条直线可以把该等腰三角形分成两个小等腰三角形．则∠A的度数为______（写出两个答案即可）；并画出相应的具有这种特性的等腰三角形及分割线的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．（3）接着，小乔又发现：其它一些非等腰三角形也具有这样的特性，即过它其中一个顶点画一条直线可以将原三角形分成两个小等腰三角形．请你画出一个具有这种特性的三角形的示意图，并在图中标出两个小等腰三角形的各内角的度数．23．（10分）如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°，P，Q分别在BC，CA上，AP ，BQ 分别是∠BAC ，∠ABC 的角平分线．求证：BQ +AQ =AB +BP ．24．（10分）如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）．（1）请画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）在y 轴上求作一点P ，使△PAC 的周长最小，并直接写出P 的坐标．25．（12分）计算：（x +3）（x ﹣4）﹣x （x +2）﹣526．已知一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,4)-.（1）若函数图象经过原点，求k ，b 的值（2）若点(,)P m n 是该函数图象上的点，当3m >时，总有4n <-，且图象不经过第三象限，求k 的取值范围.（3）点(1,),(6,)A m B n 在函数图象上，若126m -≤≤-，求n 的取值范围.参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【分析】根据有理数与无理数的定义求解即可．【详解】解：﹣1是整数，属于有理数，故选项A 不合题意；3.1415是有限小数，属于有理数，故选项B 不合题意；π是无限不循环小数，属于无理数，故选项C 符合题意；13是分数，属于有理数，故选项D 不合题意．故选：C ．【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．2、A【分析】把x=-1代入，根据有理数混合运算法则计算即可得答案.【详解】∵x=-1，∴()22(1)1x x x x x --+-=(-1)2×(-1-1)-(-1)[(-1)2+(-1)-1]=-2+(-1)=-3.故选：A.【点睛】本题考查代数式求值，熟练掌握有理数混合运算法则是解题关键.3、C【分析】无理数就是无限循环小数，依据定义即可作出判断．【详解】A.17-是有理数,错误B.1.414是有限小数,是有理数,错误C.是无限不循环小数,是无理数,正确D.是整数,错误故选C.【点睛】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为无理数．如π，6，0.8080080008…（每两个8之间依次多1个0）等形式．4、B【分析】根据A 型血的有200人，所占的百分比是40%即可求得被调查总人数，用总人数乘以AB型血所对应的百分比即可求解．【详解】∵该校血型为A型的有200人，占总人数为40%，∴被调查的总人数为200÷40%=500（人），又∵AB型血人数占总人数的比例为1-（40%+30%+20%）=10%，∴该校血型为AB型的人数为500×10%=50（人），故选：B．【点睛】本题考查的是扇形统计图的运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．5、B【分析】先算小括号里的，再算乘法，约分化简即可．【详解】解：2222a b a b a ba b a b ab⎛⎫+---⨯⎪-+⎝⎭=()()()2222a b a b a ba b a b ab+---⨯+-=1a b+故选B．【点睛】本题考查分式的混合运算．6、C【分析】根据平面直角坐标系中，点的平移与点的坐标之间的关系，即可得到答案．【详解】∵点(2,3)P--向左平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，∴点Q的坐标是(-5，-1),故选C.【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中，点的平移与点的坐标之间的关系，掌握点的平移与点的坐标之间的关系，是解题的关键．7、C【分析】设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，利用工作量=工作效率×工作时间即可得出方程．【详解】设这项工程的规定时间是x天，∵甲队单独施工恰好在规定时间内完成，乙队单独施工，完工所需天数是规定天数的1.5倍，∴甲队单独施工需要x天，乙队单独施工需要1.5x天，∵甲、乙队先合做15天，余下的工程由甲队单独需要5天完成，∴1151511.5x x x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，故选：C ．【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，找出等量关系是解题关键．8、C【解析】根据题中“属于分解因式的是”可知，本题考查多项式的因式分解的判断，根据因式分解的概念，运用因式分解是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，进行分析判断.【详解】A ．属于整式乘法的变形.B ．不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.C ．运用提取公因式法，把多项式分解成了5x 与（2x-1）两个整式相乘的形式.D ．不符合因式分解概念中若干个整式相乘的形式.故应选C 【点睛】本题解题关键：理解因式分解的概念是把多项式分解成若干个整式相乘的形式，注意的是相乘的形式.9、A【分析】根据题意由2210x x +++，变形可得2(1)0x +=，根据非负性进行计算可得答案．【详解】解：由2210x x +++，变形可得2(1)0x ++=，根据非负性可得：10,10,x x y +=+-=解得：1,2,x y =-=所以(1)22xy =-⨯=-．故选：A ．【点睛】本题考查平方和算术平方根的非负性，注意掌握和运用平方和算术平方根的非负性是解题的关键．10、B【分析】根据合并同类项、幂的乘方和积的乘方进行计算即可．【详解】A 、（a 2）3＝a 6，故A 错误；B 、（15x 2y ﹣10xy 2）÷5xy ＝3x ﹣2y ，故B 正确；C 、10ab 3÷（﹣5ab ）＝﹣2b 2，故C 错误；D 、a ﹣2b 3•（a 2b ﹣1）﹣2＝56ba，故D 错误；故选B ．【点睛】本题考查了整式的混合运算，掌握合并同类项、幂的乘方和积的乘方的运算法则是解题的关键．11、D【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘除运算可进行排除选项．【详解】A 、22242a a a a +=≠，故错误；B 、2468a a a a ⋅=≠，故错误；C 、6523()a a a =≠，故错误；D 、624a a a ÷=，故正确；故选D ．【点睛】本题主要考查合并同类项及同底数幂的乘除运算，熟练掌握合并同类项及同底数幂的乘除运算是解题的关键．12、B【分析】根据全等三角形的判定定理逐图判定即可．【详解】解：∵甲图为SSA 不能全等；乙图为SAS ；丙图为AAS ∴乙、丙两图都可以证明．故答案为B ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定定理，牢记AAS 、SAS 、ASA 、SSS 可证明三角形全等，AAA 、SSA 不能证明三角形全等是解答本题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、(-1，1)【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．【详解】原来点的横坐标是-1，纵坐标是2，向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到新点的横坐标是-1−2＝-1，纵坐标为2+1＝1．即对应点的坐标是(-1，1)．故答案填：(-1，1)．【点睛】解题关键是要懂得左右平移点的纵坐标不变，而上下平移时点的横坐标不变，平移变换是中考的常考点，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．14、4. (()ba x y-【解析】原式=2220()45()()()ab x y ba b x y x y a x y+=+--，故答案为4()ba x y-.15、80【解析】∵长、宽分别为a、b的矩形，它的周长为16，面积为10，∴a+b=16÷2=8，ab=10，∴a²b+ab²=ab(a+b)=10×8=80，故答案为80.16、25°【解析】试题分析：首先根据四边形的内角和我360°求出∠EDF=130°，则∠DEF+∠DFE=50°，根据题意得：∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，AD=AD，则△ADE≌△ADF，∴DE=DF，则说明△DEF为等腰三角形，则∠DEF=∠DFE=25°.考点：三角形全等的判定和性质.17、1．【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程求出m，再求出3m+4，然后平方计算即可得解．【详解】解：根据题意知3m+4+2﹣m＝0，解得：m＝﹣3，所以这个数为（3m+4）2＝（﹣5）2＝1，故答案为1．【点睛】本题主要考查了平方根的定义．解题的关键是明确一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．18、50°【解析】试题分析：由全等三角形的性质可知AB=AD ，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得到答案．∵△ABC ≌△ADE ，∴AB=AD ，∴∠B=∠ADB ，∵∠B=65°，∴∠BAD=180°﹣2×65°=50°考点：全等三角形的性质．三、解答题（共78分）19、（1）∠AFE =60°；（2）见解析；（3）75【分析】（1）通过证明 BCE CAD ≌得到对应角相等，等量代换推导出60AFE ∠=︒；（2）由（1）得到60AFE ∠=︒，CE AD =则在Rt AHF △中利用30°所对的直角边等于斜边的一半，等量代换可得；（3）通过在PF 上取一点K 使得KF =AF ，作辅助线证明ABK 和ACF 全等，利用对应边相等，等量代换得到比值.(通过将ACF 顺时针旋转60°也是一种思路.)【详解】（1）解：如图1中．∵ABC 为等边三角形，∴AC =BC ，∠BAC =∠ABC =∠ACB =60°，在BCE 和CAD 中，60BE CD CBE ACD BC CA =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，∴ BCE CAD ≌（SAS ），∴∠BCE =∠DAC ，∵∠BCE +∠ACE =60°，∴∠DAC +∠ACE =60°，∴∠AFE =60°．（2）证明：如图1中，∵AH ⊥EC ，∴∠AHF =90°，在Rt △AFH 中，∵∠AFH =60°，∴∠FAH =30°，∴AF =2FH ，∵ EBC DCA ≌，∴EC =AD ，∵AD =AF +DF =2FH +DF ，∴2FH +DF =EC ．（3）解：在PF 上取一点K 使得KF =AF ，连接AK 、BK，∵∠AFK =60°，AF =KF ，∴△AFK 为等边三角形，∴∠KAF =60°，∴∠KAB =∠FAC ，在ABK 和ACF 中，AB AC KAB ACF AK AF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ ABK ACF ≌(SAS )，BK CF=∴∠AKB =∠AFC =120°，∴∠BKE =120°﹣60°=60°，∵∠BPC =30°，∴∠PBK =30°，∴29BK CF PK CP ===，∴79PF CP CF CP =-=，∵45()99AF KF CP CF PK CP CP CP ==-+=-=∴779559CP PF AF CP ==.【点睛】掌握等边三角形、直角三角形的性质，及三角形全等的判定通过一定等量代换为本题的关键.20、（1）A 商品标价为80元,B 商品标价为100元.（2）商场打六折出售这两种商品.（3）有3种购买方案,分别是A 商品5个,B 商品12个;A 商品10个,B 商品8个;A 商品15个,B 商品4个.【分析】（1）可设A 商品标价为x 元,B 商品标价为y 元,根据图表给的数量关系列出二元一次方程组解答即可.（2）求出第三次商品如果按原价买的价钱,再用实际购买费用相比即可.（3）求出两种商品折扣价之后,根据表中数量关系列出二元一次方程4860960x y +=,化简后讨论各种可能性即可.【详解】解:（1）设A 商品标价为x 元,B 商品标价为y 元,由题意得6598037940x y x y +=⎧⎨+=⎩,解得80100x y =⎧⎨=⎩.所以A 商品标价为80元,B 商品标价为100元.（2）由题意得,9898081001520x y +=⨯+⨯=元,91215200.6÷=60%=,所以商场是打六折出售这两种商品.（3）A 商品折扣价为48元,B 商品标价为60元由题意得,4860960x y +=,化简得,4580x y +=,5204x y =-,由于x 与y 皆为正整数,可列表:x 15105y4812所以有3种购买方案.【点睛】本题考查了二元一次方程组解决问题,理解题意,找到数量关系是解答关键.21、（1）10a4b1；（1）（a﹣b）1．【分析】1）先根据幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则计算，再合并同类项即可；（1）先利用完全平方公式去括号合并同类项，进而利用完全平方公式分解因式即可．【详解】解：（1）原式＝4a4b1+6a4b1＝10a4b1；（1）原式＝a1+1ab+b1﹣4ab＝a1﹣1ab+b1＝（a﹣b）1．【点睛】本题考查整式的运算和完全平方公式分解因式．解题的关键是运用幂的乘方和积的乘方、单项式乘以单项式的运算法则去括号，及熟练运用合并同类项的法则．能够正确应用完全平方公式．22、（1）见解析；（2）90°或108°或1807；（3）见解析【分析】（1）根据等边对等角，及角平分线定义易得∠1＝∠2＝36°，∠C＝72°，那么∠BDC＝72°则可得AD＝BD＝CB∴△ABD与△DBC都是等腰三角形；（2）把等腰直角三角形分为两个小的等腰直角三角形即可，把108°的角分为36°和72°即可；（3）利用直角三角形的中线等于直角三角形斜边的一半可得任意直角三角形的中线把直角三角形分为两个等腰三角形；由（1），（2）易得所知的两个角要么是2倍关系，要么是3倍关系，可猜测只要所给的三个角中有2个角是2倍或3倍关系都可得到上述图形．【详解】（1）证明：在△ABC中，∵AB=AC，∠A=36°∴∠ABC=∠C=12（180°－∠A）=72°∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°∴∠1=∠A∴AD=BD∴△ABD是等腰三角形∵∠BDC=∠1+∠A=72°∴∠BDC=∠C=72°∴BD=BC，∴△BDC是等腰三角形（2）如下图所示：∴顶角∠A的度数为90°或108°或1807︒，故答案为：90°或108°或1807︒；（3）如图所示．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定；注意应根据题中所给的范例用类比的方法推测出把一般三角形分为两个等腰三角形的一般结论．23、证明见解析．【分析】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，由题意得：∠D=∠1=∠4=∠C=40°，从而得QB=QC，易证△APD≌△APC，从而得AD=AC，进而即可得到结论．【详解】延长AB到D，使BD=BP，连接PD，则∠D=∠1．∵AP，BQ分别是∠BAC，∠ABC的平分线，∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠1=∠2=30°，∠ABC=180°-60°-40°=80°，∠3=∠4=40°=∠C，∴QB =QC ，又∠D +∠1=∠3+∠4=80°，∴∠D =40°．在△APD 与△APC 中，21D C AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△APD ≌△APC （AAS ），∴AD =AC ．∴AB +BD =AQ +QC ，∴AB +BP =BQ +AQ．【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质定理，添加合适的辅助线，构造等腰三角形和全等三角形，是解题的关键．24、（1）详见解析；（2）图详见解析，P （0，74）．【分析】（1）根据轴对称的性质进行作图，即可得到△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1；（2）连接A 1C 交y 轴于P ，连接AP ，则点P 即为所求，再根据C （3，4），A 1（-1，1），求得直线A 1C 解析式为y=34x+74，最后令x=0，求得y 的值，即可得到P 的坐标．【详解】（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求；（2）连接A 1C 交y 轴于P ，连接AP ，则点P 即为所求．根据轴对称的性质可得，A 1P ＝AP ，∵A 1P +CP ＝A 1C （最短），∴AP +PC +AC 最短，即△PAC 的周长最小，∵C （3，4），A 1（﹣1，1），∴直线A 1C 解析式为y ＝34x +74，∴当x ＝0时，y ＝74，∴P （0，74）．【点睛】本题主要考查了运用轴对称变换进行作图，以及待定系数法求一次函数解析式的运用，解决问题的关键是掌握轴对称的性质．解题时注意：两点之间，线段最短．25、﹣3x ﹣1．【分析】先根据整式的乘法法则算乘法，再合并同类项即可．【详解】解：原式＝22431225x x x x x +-----＝317x --．【点睛】本题考查整式的混合运算，解题的关键是熟练掌握混合运算顺序以及相关运算法则．26、（1）k=43-，b=0；（2）k ≤43-；（3）-1≤n ≤8.【分析】（1）把(3,4)-，（0，0）代入(0)y kx b k =+≠，即可求解；（2）由一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,4)-，得到：b=-3k-4，即34(0)y kx k k =--≠，结合条件，得到：k<0且-3k-4≥0，进而求出k 的范围；（3）同（2）求出一次函数解析式为：34(0)y kx k k =--≠，把(1,),(6,)A m B n ，代入一次函数解析式，得到2434m k n k =--⎧⎨=-⎩①②，消去k ，得到m 关于n 的表达式，进而即可得到n 的范围.【详解】（1）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,4)-，∴-4=3k+b ，∵函数图象经过原点，∴b=0，∴k=43-，即k=43-，b=0；（2）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,4)-，∴-4=3k+b ，即：b=-3k-4，∴一次函数解析式为：34(0)y kx k k =--≠∵点(,)P m n 是该函数图象上的点，当3m >时，总有4n <-，且图象不经过第三象限，∴k<0且-3k-4≥0，即：k≤43-；（3）∵一次函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(3,4)-，∴-4=3k+b ，即：b=-3k-4，∴一次函数解析式为：34(0)y kx k k =--≠∵点(1,),(6,)A m B n 在函数图象上，∴34634m k k n k k =--⎧⎨=--⎩，即：2434m k n k =--⎧⎨=-⎩①②，由①×3+②×2得：3m+2n=-20，∴2023n m --=，∵126m -≤≤-，∴2021263n ---≤≤-，∴-1≤n≤8.【点睛】本题主要考查待定系数法求一次函数解析式，一次函数的图象和性质以及一次函数和不等式（组）的综合，熟练掌握待定系数法是解题的关键.。
2017-2018年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣32．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，33．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a2+a2＝a3D．a6÷a2＝a34．（3分）如图，已知△ABC≌△EDF，下列结论正确的是（）A．∠A＝∠E B．∠B＝∠DFE C．AC＝ED D．BF＝DF5．（3分）多边形每个外角为45°，则多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．56．（3分）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（）A．6ab B．12ab C．0 D．24ab7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED 的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝．11．（3分）如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠CBD＝．12．（3分）已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是．14．（3分）若（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为．16．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）（1）解方程：；（2）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．18．（9分）化简求值：，其中x＝3．19．（9分）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：AD＝CF．20．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．22．（9分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（11分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？25．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．26．（12分）如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．（1）若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为，BO与AD的位置关系为；（2）若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；（3）若两个三角形按图4方式放置，其中B、C（D）、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．2017-2018学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即x﹣3≠0，解得x的取值范围．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可．【解答】解：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意；5+6＝11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意；5+6＞10，则5，6，10能组成三角形，C符合题意；1+2＝3，则1，2，3不能组成三角形，D不合题意，故选：C．【点评】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a2+a2＝a3D．a6÷a2＝a3【分析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，即可解答．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故错误；B、（a2）3＝a6，正确；C、a2+a2＝2a2，故错误；D、a6÷a2＝a4，故错误；故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项．4．（3分）如图，已知△ABC≌△EDF，下列结论正确的是（）A．∠A＝∠E B．∠B＝∠DFE C．AC＝ED D．BF＝DF【分析】根据全等三角形的性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∴∠A＝∠E，A正确；∠B＝∠FDE，B错误；AC＝EF，C错误；BF＝DC，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．5．（3分）多边形每个外角为45°，则多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用多边形外角和除以外角的度数即可．【解答】解：多边形的边数：360÷45＝8，故选：A．【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握正多边形每一个外角度数都相等．6．（3分）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（）A．6ab B．12ab C．0 D．24ab【分析】由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．【解答】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，∴A＝24ab．故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a﹣b）2与（a+b）2展开式中区别就在于2ab项的符号上，通过加上或者减去4ab可相互变形得到．7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED 的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝12，根据直角三角形30度角的性质解答即可．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC＝12，∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，∴DE＝EB＝6，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x 千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣＝，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算：＝ 4 ．【分析】根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查负整数指数幂以及零指数幂，解题的关键是正确理解负整数指数幂以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．10．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣4y，＝y（x2﹣4），＝y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．11．（3分）如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠CBD＝100°．【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可．【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝60°，∴∠CBD＝∠A+∠C＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．12．（3分）已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为22 ．【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，②当三角形的三边是4，9，9时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．【解答】解：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，∵4+4＜9，∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；②当三角形的三边是4，9，9时，此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9＝22，故答案为：22．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2.3）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．14．（3分）若（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为 4 ．【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出﹣k+4＝0，求出即可．【解答】解：（x+2y）（2x﹣ky﹣1）＝2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y＝2x2+（﹣k+4）xy﹣2ky2﹣2y﹣x，∵（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，∴﹣k+4＝0，解得：k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为13 ．【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝7，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．16．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，时，OE＝CE，①当E在E1∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；点时，OC＝OE，②当E在E2则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；时，OC＝CE，③当E在E3则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）（1）解方程：；（2）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）去分母得：3+x﹣2＝3﹣x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解；（2）∵a+b＝3，ab＝2，∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝18．【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）化简求值：，其中x＝3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，当x＝3时，原式＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（9分）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：AD＝CF．【分析】根据平行线性质求出∠A＝∠FCE，根据AAS推出△ADE≌△CFE即可．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．20．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作点A关于y轴的对称点A′，再连接A′B，与y轴的交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）；（2）如图所示，点P即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数＝2，根据这个关系列出方程求解即可．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得．解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键．22．（9分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【分析】仿照题中的方法，得到十字相乘法的技巧，分别将各项分解即可．【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x﹣7）（x+1）；（3）原式＝（a﹣b）（a+5b）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；（2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；（3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t的值，即可解题．【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴点A（0，6），点B（3，0）；（2）连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；（t≥0）（3）作出图形，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB 是解题的关键．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（11分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10＝，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．25．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；（3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，即∠ABD＝30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，∴α＝30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．26．（12分）如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．（1）若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为AF＝CD，BO与AD的位置关系为BO⊥AD；（2）若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；（3）若两个三角形按图4方式放置，其中B、C（D）、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．【分析】（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题；（2）结论：FM＝MC，FM⊥CM．如图3中，延长FM交CA的延长线于H．想办法证明△FCH是等腰直角三角形，FM＝MH即可解决问题；（3）如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．想办法证明△BKJ≌△EKG即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，∵Rt△ABC≌Rt△DFE（已知），∴AB＝BD，BC＝BF，∴AF＝CD，∵∠AFO＝∠DCO＝90°，∠AOF＝∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS），∴OA＝OC，∵BA＝BD，∴BO垂直平分线段AD．∴BO⊥AD，故答案为：AF＝CD，BO⊥AD．（2）结论：FM＝MC，FM⊥CM．理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H．∵∠ACB+∠EFC＝180°，B，F，C共线，∴EF∥CH，∴∠EFM＝∠H，∵EM＝MA，∠EMF＝∠AMH，∴△EFM≌△AHM（AAS），∴FM＝MH，EF＝AH，∵∠FCH＝90°，∴CM＝FM＝MH，即FM＝MC，∵△Rt△ABC≌Rt△DFE（已知），∴BF＝AC，EF＝BC，∴BA＝AH，∴FC＝CH，∵FM＝MH，∴CM⊥FM．（3）如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．∵Rt△ABC≌Rt△DFE（已知），∴BC＝EF，AC＝CF，∵CH＝AH，CG＝GF，∴CH＝FG，∵∠BCH＝∠F＝90°，∴△BCH≌△EFG（SAS），∴∠CBH＝∠FEG，∵CH＝CG，∠GCH＝90°，∴∠CGH＝∠CHG＝45°，∴∠BHG＝180°﹣45°﹣∠GBH＝135°﹣∠GBH，∵∠CGE＝∠CGH+∠HGE＝90°+∠GEF，∴∠HGE＝45°+∠GEF，∴∠HGE+∠BHG＝180°，∵∠BJK+∠BJH＝180°，∠BJH＝∠BHJ，∴∠BJK＝∠HGE，∵GE＝BH＝BJ，∠BKJ＝∠GKE，∴△BKJ≌△EKG（AAS），∴BJ＝GE．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。
辽宁省大连市高新技术产业园区2023-2024学年八年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题．．．．．花粉的质量很小，一粒某种花粉的质量约为0.000103毫克，那么0.000103可用科学记数法表示为（）510.310-⨯．30.10310-⨯41.0310-⨯31.0310-⨯．在下列长度的各组线段中，能组成三角形的是（）1，2，3．2，3，63，3，63，4，5．下列运算正确的是（）()235y y =()224xy x -=222·2x x x =．623x x x ÷=．如图:AB DB BE BC =，，欲证ABE DBC △，则可增加的条件是（）．A ．ABE DBE ∠∠=A D ∠=∠C ．E C∠=∠．ABD EBC ∠=∠6．下列等式从左到右的变形一定正确的是（）A ．11b b a a +=+B ．2ab b a a=2b b =a a-=-7．已知53a b ab +==，，则22+a b 的值为（A ．31B ．8．甲乙两地相距400千米,结果提前1小时到达．设这辆汽车原计划的速度为A ．400x=40012x ++1A．2B．318．先化简，再求值：19．寒假前，某文具店用本的进价提高了20%，同样用(1)求文具店第一次购进的每本练习本的进价为多少元？(2)若两次购进的练习本售价均为每本总利润为多少元？20．马栏河是流经大连市内的一条河流，为了测量马栏河某段平行两岸的宽度，两个数学研究小组设计了不同的方案，如下表：课题测量马栏河的宽度工具测量角度的仪器，标杆，皮尺等分别根据第一小组，第二小组的测量方案，求出该段马栏河的宽度；除上述方法外，请你运用所学知识再设计1种方案对河宽进行测量出基本图形，写出测量方法，并说明方法的合理性）．21．2()x p q x pq +++型式子是数学学习中常见的一类多项式，如何将这种类型的式子进行因式分解呢？我们先看特殊情况，当q =时，上式就为完全平方式，则22)2(x px p x p ++=+，对于完全平方公式，我们既可以用整式乘法进行证明，也可以用图形的面积来说明．如图，就是说明222()px p x p +=+．同样，根据整式乘法，2()())x p x q x px qx x pq ++=++++，因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系，我们可得：)()()q x pq x p x q +=++，从而可以将2()x p q x pq +++型式子进行因式分解．(1)请你画出图形，利用图形面积来说明2()()()x p q x pq x p x q +++=++；(2)根据以上得到的方法，对下列多项式分解因式．①2215x x --；②221216x x ++．22．【项目学习】把一个二次式通过添项或拆项的方法得到完全平方式，再利用“20a ≥”这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法．配方法在今后的学习中有着广泛的应用．例如：求245a a ++的最小值．解：()2222245422521a a a a a ++=++-+=++，∵()220a +≥，∴()2211a ++≥，所以当()220a +=时，即当2a =-时，245a a ++有最小值，最小值为1．【问题解决】(1)当x 为何值时，代数式267x x -+有最小值，最小值为多少？(2)如图1，是一组邻边长分别为7，25a +的长方形，其面积为1S ；图2是边长为6a +的正方形，面积为2S ，0a >，请比较1S 与2S 的大小，并说明理由；(3)如图，物业公司准备利用一面墙（墙足够长），用总长度52米的栅栏（图中实线部分）围成一个长方形场地ABCD ，且CD 边上留两个1米宽的小门，设BC 长为x 米，当x 为何值时，长方形场地ABCD 的面积最大？最大值是多少？23．探究性学习(1)【问题初探】在数学活动课上，张老师给出如下问题：如图，在ABC 中，AB AC =．点D 在ABC外，连接AD BD CD ，，，且BDC BAC ∠=∠．过A 作AE BD 丄于点E ．求证：BE CD DE =+．①如图，小辉同学从结论的角度出发给出如下解题思路：在BD 上截取BF CD =，连接AF ，将线段BE CD DE ，，之间的数量关系转化为线段DE 与EF 之间的数量关系．②如图，小龙同学从AE BD ⊥于点E 这个条件出发给出另一种解题思路：过A 作AG CD ⊥交CD 延长线于点G ，将线段BE CD DE ，，之间的数量关系转化为线段BE 与CG 之间的数量关系．请你选择一名同学的解题思路，写出证明过程．(2)【类比分析】张老师发现之前两名同学都运用了转化思想，将证明三条线段的数量关系转化为证明两条线段的数量关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，张老师提出下面的问题，请你解答．如图，ABC 为等边三角形，ACD 是等腰直角三角形，其中90AC AD CAD AE=∠=︒，，(3)【学以致用】如图，在ABC 中，AC BC =线于点E ，延长EB 至点F ，连接223CE =，求EGF △的面积．。
A．100°．下列各式中，正确的个数是（ ）①x4•x2＝x8；②x3•x3＝A．1个A．AC＝DE B．∠．在△ABC中，AB＝AC，若∠A．72°B．．如图，点B，E，C，F为 ．．在平面直角坐标系内，原点为在坐标轴上取一点P，使得△．（8分）先化简，再求值：a−2a+1÷．（8分）如图，在△ABC中，∠B．（9分）（1）如图，在正方形网格上有一个△（不写作法）．．（9分）某超市用5000元购进一批新品种苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金第二次购进该品种苹果．但第二次的进货价比试销时每千克多了元，第二次购进苹果数量是试销时的（1）设试销时该品种苹果的进货价是含x的式子表示））规定图形表示运算，图形表示运算则+＝ （直接写出答案）．（2）证明：∵∠BAC＝60°，AD ∴∠BAD＝∠DAC＝30°，∵∠C＝90°，∴AD＝2CD，=a−2a +1⋅a +13−a 2+1=a−2(2+a)(2−a)，=−12+a 当a 2时，原式．=7−=−12+7−2=−7719．（1）证明：在△BDP 和△CPE 中，{BP =CE，∠B =∠C ，BD =CP ，∴△BDP ≌△CPE （SAS ），∴PD ＝PE ；（2）解：∵∠A ＝40°，∠B ＝∠C ，∴∠B ，=180°−∠A 2=180°−40°2=70°∴∠BDP +∠BPD ＝180°﹣∠B ＝180°﹣70°＝110°，由（1）知△BDP ≌△CPE ，∴∠BDP ＝∠CPE ，∴∠CPE +∠BPD ＝∠BDP +∠BPD ＝110°，∴∠DPE ＝180°﹣（∠CPE +∠BPD ）＝180°﹣110°＝70°．20．解：（1）分别作A 、B 、C 关于MN 的对称点A ′，B ′，C ′，顺次连接，如图△A ′B ′C ′即为所求作；（2）此三角形面积为：S △ABC ＝S 矩形DECF ﹣S △ABD ﹣S △ACF ﹣S △BEC ＝2×3﹣2×（1×2）1×3＝6﹣2；12×−12×−32=52故；52（3）如图：点P 即为所求作．．解：（1）设试销时该品种苹果的进货价是故；5000x （2）根据题意，得：11000x +0.5解之得：x ＝5，经检验：x ＝5是原方程的解，）+＝（．）解：∵|x﹣6|+（y﹣2）2＝0，则AF＝OG＝OB+BG∴∠BCG+∠CBG＝90∵∠ACB＝90°，∴∠BCG+∠ACF＝90同①得：△CBG≌△ACF ∴BG＝CF，CG＝AF＝∵CG+CF＝GF＝OA＝6∴BG﹣2+BG＝6，∴BG＝4，∵AE⊥BE，∴∠AEB＝90°，∵∠ACB＝90°＝∠AEB ∴∠CBD＝∠CAE，则∠BMC＝∠ANC＝90∵AE⊥BD，∴∠BEN＝90°，由①可知，∠CBD＝∠∴△BCM≌△ACN（AAS。
2021-2022学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷1.下列几何图形不一定是轴对称图形的是( )A. 线段B. 角C. 等腰三角形D. 直角三角形2.若(x−1)0=1成立，则x的取值范围是( )A. x=−1B. x=1C. x≠0D. x≠13.已知某细菌直径长约0.0000152米，那么该细菌的直径长用科学记数法可表示为( )A. 152×105米B. 1.52×10−5米C. −1.52×105米D. 1.52×10−4米4.点(3,−2)关于x轴的对称点坐标是( )A. (3,2)B. (−3,−2)C. (−3,2)D. (3,−2)5.下列计算正确的是( )A. x2+x2=x4B. x2⋅x4=x8C. (2x2)3=8x6D. x6÷x2=x36.等腰三角形的两边长分别为2和5，则这个等腰三角形的周长为( )A. 12B. 9C. 9或12D. 10或127.若x、y的值均扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是( )A. x y+1B. x+yx+1C. xy x+y D. 2x3x−y8.如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，DE垂直平分AC，若△ADC的面积为4，则△ABC的面积为( )A. 5B. 6C. 7D. 89.在学校组织的八年级春季登山活动中，某班分成甲、乙两个小组同时开始攀登一座600m高的山，乙组的攀登速度是甲组的1.3倍，乙组到达顶峰所用时间比甲组少20min.如果设甲组的攀登速度为xm/min，那么下面所列方程中正确的是( )A. 600x =600x+20+1.3 B. 6001.3x=600x−20C. 600x =1.3×600x+20D. 6001.3x=600x+2010.如图．在△ABC中，P、Q分别是BC、AC上的点，作PR⊥AB，PS⊥AC，垂足分别为R、S，若AQ=PQ，PR=PS，则下列结论：①PA平分∠BAC，②AS=AR；③QP//AR.正确的是( )A. ①②B. ①③C. ②③D. ①②③11.计算：(14)−1=______．12.若正多边形的内角和是540°，则该正多边形的一个外角为______°.13.如图，在△ABC和△BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使△ABC≌△BAD.你补充的条件是______(只填一个)．14.若(x−1)(x2+nx+2)的展开式中不含x2项，则n的值是______．15.如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠C=m°，则∠BAD的度数为______(用含m的代数式表示)．16.若a+b=5，ab=3，则a2−ab+b2=______．17.分解因式：(1)a2b−9b；(2)2x3−8x2y+8xy2．18.解方程：xx+1=2x3x+3+1．19.先化简，再求值2m−1+m2−4m+4m2−1÷m−2m+1，其中m=−2．20.点C、D都在线段AB上，且AD=BC，AE=BF，∠A=∠B，CE与DF相交于点G．(1)求证：△ACE≌△BDF；(2)若CE=10，DG=4，求EG的长．21.某小区为了排污，需铺设一段全长为480米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，需缩短施工时间，实际施工时每天的工作效率比原计划提高20%，结果提前2天完成任务.求原计划每天铺设多少米．22.乘法公式的探究及应用．(1)如图1，是将图2阴影部分裁剪下来，重新拼成的一个长方形，面积是______；如图2，阴影部分的面积是______；比较图1，图2阴影部分的面积，可以得到乘法公式______；(2)运用你所得到的公式，计算下列各题：①103×97；②(2x+y−3)(2x−y+3)．23.在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，FD⊥ED．(1)如图1，若点E在线段AB上，点F在线段AC上，求证BE=AF；(2)如图2，若点E在线段AB的延长线上，点F在线段CA的延长线上．请问(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．24.小王和小张的加油习惯不同，小王每次加油都说“师傅，给我加300元的油”(油箱未加满).而小张则说：“师傅，帮我把油箱加满！”，现实生活中油价常有变动，现以两次加油为例来研究，谁的两次加油平均单价低，谁的加油方式就省钱．设小王和小张第一次加油油价为x元/升，第二次加油油价为y元/升．(1)用含x，y的代数式表示分别表示小王和小张两次所加油的平均单价；(2)小王和小张的两种加油方式中，谁的加油方式更省钱？用所学数学知识说明理由．25.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AC=6，高AD，BE相交于点O，CE=1AE．2(1)求线段BO的长；(2)动点P从点O出发；沿线段OB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，动点Q从点A出发沿射线AC以每秒4个单位长度的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点B时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t秒，①设△POQ的面积为S.请用含t的式子表示S，并直接写出相应的t的取值范围；②点F是直线BC上一点，且CF=AO.当△AOP与△FCQ全等时，求t的值．26.△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AC、BC上，且AD=CE，连接AE、BD交于点F．(1)如图1，求∠BFE的度数；(2)如图2，连接CF，当CF⊥BD时，求AF的值；BF(3)如图3，点P在线段AE上，连接CP，且CP=AF，在图中找出与线段AP相等的线段，并证明．答案和解析1.【答案】D【解析】解：线段、角、等腰三角形一定为轴对称图形，直角三角形不一定为轴对称图形．故选：D．根据轴对称图形的概念求解．本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．2.【答案】D【解析】解：由题意可知：x−1≠0，x≠1故选：D．根据零指数幂的意义即可求出答案．本题考查零指数幂的意义，解题的关键是正确理解零指数幂的意义，本题属于基础题型．3.【答案】B【解析】解：0.0000152=1.52×10−5．故选：B．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．4.【答案】A【解析】解：点(3,−2)关于x轴的对称点坐标是(3,2)，故选：A．利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,−y)，进而求出即可．此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标关系是解题关键．5.【答案】C【解析】解：A、x2+x2=2x2，故原题计算错误；B、x2⋅x4=x6，故原题计算错误；C、(2x2)3=8x6，故原题计算正确；D、x6÷x2=x4，故原题计算错误；故选：C．利用合并同类项法则、同底数幂的乘法法则、积的乘方的计算法则、同底数幂的除法计算法则分别进行计算即可．此题主要考查了同底数幂的除法、合并同类项法则、同底数幂的乘法、积的乘方，关键是熟练掌握各运算法则．6.【答案】A【解析】解：①当2为底时，三角形的三边分别为2、5、5，因为2+5>5，所以可以构成三角形，周长为=2+5+5=12；②当2为腰时，三角形的三边分别为2、2、5，因为2+2<5，所以不能构成三角形，故舍去．综上所述，三角形的周长为12，故选：A．因为等腰三角形的两边分别为2和5，没有明确底边和腰，所以有两种情况，需要分类讨论．本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系，在条件中没有明确底和腰时，需进行分类讨论是解决问题的关键．7.【答案】D【解析】解：A．2x2y+1≠xy+1，故本选项不符合题意；B.2x+2y2x+1≠x+yx+1，故本选项不符合题意；C.2x⋅2y 2x+2y =4xy2(x+y)=2xyx+y≠xyx+y，故本选项不符合题意；D.2×2x3×2x−2y =4x2(3x−y)=2x3x−y，故本选项符合题意；故选：D．先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简，最后得出答案即可．本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．8.【答案】B【解析】解：∵DE垂直平分AC，∴DE⊥AC，AE=CE，∵∠B=90°，∴DB⊥AB，∵AD平分∠BAC，∴DB=DE，在Rt△ABD和Rt△AED中，{DB=DEAD=AD，∴Rt△ABD≌Rt△AED(HL)，∴AB=AE=CE，∴S△ACD=12AC⋅DE=12×2AB⋅BD=2S△ABD=4，∴S△ABD=2，∴S△ABC=S△ACD+S△ABD=6，故选：B．根据线段垂直平分线的性质和角平分线的性质证得DB=DE，根据”HL“定理证得Rt△ABD≌Rt△AED得到AB=AE=CE，由三角形的面积公式求得S△ACD=2S△ABD，即可求得△ABC 的面积．本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，根据全等三角形的性质和线段垂直平分线的性质证得AB=AE=CE是解决问题的关键．9.【答案】B【解析】解：设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.3x m/min，依题意得：6001.3x =600x−20．故选：B．设甲组的攀登速度为x m/min，则乙组的攀登速度为1.3x m/min，根据时间=路程÷速度，结合乙组到达顶峰所用时间比甲组少20min，即可得出关于x的分式方程，此题得解．本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．10.【答案】D【解析】解：∵PR⊥AB，PS⊥AC，PR=PS，∴点P在∠A的平分线上，故①正确；∴∠SAP=∠RAP，在Rt△ARP和Rt△ASP中，由勾股定理得：AR2=AP2−PR2，AS2=AP2−PS2，∵AP=AP，PR=PS，∴AR=AS，故②正确；连接AP．∵AQ=QP，∴∠QAP=∠QPA，∵∠QAP=∠BAP，∴∠QPA=∠BAP，∴QP//AR，故③正确；故选：D．根据角平分线性质即可判断①，根据勾股定理即可判断②，根据等腰三角形性质推出∠QAP=∠QPA，推出∠QPA=∠BAP，根据平行线判定可判断③．本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，平行线的性质和判定，角平分线性质的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．11.【答案】4【解析】【分析】本题考查了负整数指数幂，利用了负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数．根据负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，可得答案．【解答】解：(14)−1=114=4．12.【答案】72【解析】解：∵正多边形的内角和是540°，∴多边形的边数为540°÷180°+2=5，∵多边形的外角和都是360°，∴正多边形的一个外角=360÷5=72°．故答案为：72．根据多边形的内角和公式(n−2)⋅180°求出正多边形的边数，再根据多边形的外角和是固定的360°，依此可以求出正多边形的一个外角．本题主要考查了多边形的内角和与外角和之间的关系，关键是记住内角和的公式与外角和的特征，难度适中．13.【答案】AC=BD(或∠CBA=∠DAB)【解析】解：欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∠CBA=∠DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD(或∠CBA=∠DAB)．故答案是：AC=BD(或∠CBA=∠DAB)．根据已知条件在三角形中根据三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，有一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．本题考查了全等三角形的判定；题目是开放型题目，根据已知条件结合判定方法，找出所需条件，一般答案不唯一，只要符合要求即可．14.【答案】1【解析】解：(x−1)(x2+nx+2)=x3+nx2+2x−x2−nx−2=x3+(n−1)x2+(2−n)x−2，∵展开式中不含x2项，∴n−1=0，∴n=1，故答案为：1．根据多项式乘多项式法则展开，根据展开式中不含x2项，将x2项的系数等于0即可求出n的值．本题考查了多项式乘多项式，不含哪一项就合并同类项后将该项的系数等于0．15.【答案】(180−4m)°【解析】解：∵AD=DC，∠C=m°，∴∠DAC=m°，∴∠ADB=2m°，∵AB=AD，∴∠ADB=2m°，∴∠BAD=180°−∠ADB−∠ADB=(180−4m)°．故答案为：(180−4m)°．根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质可得∠ADB，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得∠BAD．本题考查了列代数式，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，关键是得到∠ADB的度数．16.【答案】16【解析】解：∵a+b=5，∴a2+2ab+b2=25，∵ab=3，∴a2+b2=19，∴a2−ab+b2=16．故答案为：16．首先把等式a+b=5的等号两边分别平方，即得a2+2ab+b2=25，然后根据题意即可得解．本题主要考查完全平方公式，解题的关键在于把等式a+b=5的等号两边分别平方．17.【答案】解：(1)原式=b(a2−9)=b(a+3)(a−3)；(2)原式=2x(x2−4xy+4y2)=2x(x−2y)2．【解析】(1)原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；(2)原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．18.【答案】解：方程两边都乘3(x+1)，得：3x=2x+3(x+1)，解得：x=−32，经检验x=−32是方程的解，∴原方程的解为x=−32．【解析】本题的最简公分母是3(x+1)，方程两边都乘最简公分母，可把分式方程转换为整式方程求解．当分母是多项式，又能进行因式分解时，应先进行因式分解，再确定最简公分母．分式方程里单独的一个数和字母也必须乘最简公分母．19.【答案】解：原式=2m−1+(m−2)2(m+1)(m−1)⋅m+1m−2=2m−1+m−2m−1=mm−1，当m=−2时，原式=−2−2−1=23．【解析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把m的值代入计算即可．本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．20.【答案】(1)证明：∵AD=BC，∴AD+DC=BC+DC，∴AC=BD，在△ACE与△BDF中，{AC=BD ∠A=∠B AE=BF，∴△ACE≌△BDF(SAS)；(2)解：由(1)得：△ACE≌△BDF，∴∠ACE=∠BDF，∴CG=DG=4，∴EG=CE−CG=10−4=6．【解析】(1)由“SAS”可证△ACE≌△BDF；(2)由全等三角形的性质可得∠ACE=∠BDF，可得CG=DG=4，即可求解．本题考查了全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．21.【答案】解：设原计划每天铺设x米，则实际每天铺设(1+20%)x米，480 x −480(1+20%)x=2，解得：x=40．经检验：x=40是原方程的解．答：原计划每天铺设40米．【解析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm.等量关系为：原计划完成的天数−实际完成的天数=2，根据这个关系列出方程求解即可．本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键．22.【答案】(a+b)(a−b)a2−b2(a+b)(a−b)=a2−b2【解析】解：(1)由拼图可知，图形1的长为(a+b)，宽为(a−b)，因此面积为(a+b)(a−b)，图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，由图形1，图形2的面积相等可得，(a+b)(a−b)=a2−b2，故答案为：(a+b)(a−b)，a2−b2，(a+b)(a−b)=a2−b2；(2)①103×97=(100+3)(100−3)=1002−32=10000−9=9991；②原式=(2x+y−3)[2x−(y−3)]=(2x)2−(y−3)2=4x2−(y2−6y+9)=4x2−y2+6y−9．(1)由拼图可知，图形1的长为(a+b)，宽为(a−b)，因此面积为(a+b)(a−b)，图形2的阴影部分的面积为两个正方形的面积差，即a2−b2，进而得出答案；(2)①将103写成(100+3)，将97写成(100−3)，利用平方差公式进行计算即可；②将y−3看成一个整体，利用平方差公式得出答案．本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，掌握图形中各个部分面积之间的关系是正确解答的关键，用代数式表示各个部分的面积是解决问题的前提．23.【答案】(1)证明：连接AD，∵AB=AC，∠BAC=90°，点D是BC的中点，∴∠B=∠C=45°，AD⊥BC，∠DAF=∠BAD=1∠BAC=45°，2∴∠B=∠DAF，∠ADB=90°，∴△ABD为等腰直角三角形，AD=BD，又∵FD⊥ED，∴∠EDF=90°，∴∠BDE=∠ADF，在△BDE与△ADF中，{∠B=∠DAFBD=AD∠BDE=∠ADF，∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE=AF，(2)解：成立，证明如下：连接AD，同(1)得：∠BDE=∠ADF，AD=BD，∠ABD=∠CAD=45°，∴∠DBE=∠DAF=135°，在△BDE与△ADF中，{∠BDE=∠ADF BD=AD∠DBE=∠DAF，∴△BDE≌△ADF(ASA)，∴BE=AF．【解析】(1)连接AD，利用等腰直角三角形的性质可得∠B=∠DAF，∠ADB=90°，则有∠BDE=∠ADF，再利用ASA证明△BDE≌△ADF，可得答案；(2)连接AD，由(1)同理可证明结论成立．本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．24.【答案】解：小王两次所加油的平均单价为：300+300300x +300y =2xy x+y (元/升)； 设小张油箱加满能加m 升．小张两次加油的平均单价为mx+my 2m=x+y 2(元/升)； (2)2xy x+y −x+y 2=4xy−(x+y)22x+2y =−(x−y)22(x+y)∵2(x +y)>0，−(x −y)2≤0，∴当x =y 时，取等号，即2xy x+y =x+y 2两种加油方式的平均单价相同；当x ≠y 时，−(x−y)22(x+y)<0，2xy x+y <x+y 2， ∴小王加油的平均单价低，小王的加油方式更省钱．【解析】(1)加油量=费用÷油的单价，平均单价=两次加油花的钱÷两次加油的总量，根据题意列代数式即可；(2)根据题意，先求出两人的平均价格，再用作差法比较两人平均油价的大小，可用小王的平均油价减去小张的平均油价，如果大于0则小张的省钱，如果小于0则小王的省钱，等于0则费用一样； 本题考查分式的混合运算，分式方程的实际应用；作差法比较两个实数的大小：对于任意两个实数a ，b ，若a − b >0则a > b ；若a − b =0则a = b ；若a − b <0则a < b.解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法以及作差法的使用．25.【答案】解：(1)∵∠ABC =45°，AD 为△ABC 的高，∴△ABD 是等腰直角三角形，∴BD =AD ，∵AD ，BE 为△ABC 的高，∴∠AEB =∠ADB =90°，∵∠AOE =∠BOD ，∴∠DBO =∠DAC ，又∵∠BDO =∠ADC =90°，BD =AD ，∴△BDO≌△ADC(ASA)，∴BO =AC =6；(2)①∵CE =12AE ， ∴AE =23AC =23×6=4，当点Q 运动到点E 时，t =AE4=44=1， ∵点P 到达点B 时，P 、Q 两点同时停止运动，∴t ≤OB1，∴t ≤6，当0<t <1时，如图1，S =12OP ⋅QE =12×t ×(4−4t)=−2t 2+2t ；当1<t ≤6时，如图2，S =12OP ⋅QE =12×t ×(4t −4)=2t 2−2t ；综上所述，S ={−2t 2+2t(0<t <1)2t 2−2t(1<t ≤6)； ②∵△BDO ≌△ADC ，∴∠BOD =∠ACD ，当点F 在线段BC 延长线上时，如图3，∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠ACF，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ(SAS)，此时，t=6−4t，解得：t=65；当点F在线段BC上时，如图4，∵∠BOD=∠ACD，∴∠AOP=∠FCQ，∵AO=CF，∴当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ(SAS)，此时，t=4t−6，解得：t=2；综上所述，当△AOP与△FCQ全等时，t的值为65或2．【解析】(1)证△ABD是等腰直角三角形，得BD=AD，再证△BDO≌△ADC(ASA)，即可得出BO= AC=6；(2)①当0<t<1时，由三角形面积公式得S=12OP⋅QE=−2t2+2t；当1<t≤6时，S=12OP⋅QE=2t2−2t即可；②分两种情况，点F在线段BC延长线上，当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ(SAS)，得t=6−4t，解得t=65；点F在线段BC上，当OP=CQ时，△AOP≌△FCQ(SAS)，得t=4t−6，解得t=2即可．本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形面积以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．26.【答案】解：(1)∵△ABC为等边三角形，∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，∵AD=CE，∴△ABD≌△CAE(SAS)，∴∠ABD=∠CAE，∴∠BFE=∠ABD+∠BAF=∠CAE+∠BAF=∠BAC=60°；(2)如图2，在BF上截取BH=AF，连接AH，由(1)知，∠ABD=∠CAE，∵AB=AC，∴△ABH≌△ACF(SAS)，∴∠BAH=∠ACF，∴∠AHF=∠EFC，∵CF⊥BD，∴∠BFC=90°，由(1)知，∠BFE=60°，∴∠EFC=30°，∴∠AHF=30°，∴∠HAF=30°=∠AHF，∴AF=HF，∴BF=2BH=2AF，∴AF BF =12；(3)BF=AP，证明：如图3，过点A作AG⊥BD交BD的延长线于G，过点C作CQ⊥AE交AE的延长线于Q，则∠P=∠G=90°，由(1)知，∠ABD=∠CAQ，∵AB=AC，∴△ABG≌△CAQ(AAS)，∴AG=CQ，BG=AQ，∵AF=CQ，∴Rt△AGF≌Rt△CQP(HL)，∴FG=PQ，∴BG−FG=AQ−PQ，∴BF=AP．【解析】(1)先判断出AB=AC，∠BAC=∠C=60°，进而判断出△ABD≌△CAE(SAS)，得出∠ABD=∠CAE，即可求出答案；(2)由(1)知，∠ABD=∠CAE，进而判断出△ABH≌△ACF(SAS)，得出∠BAH=∠ACF，再判断出∠BFC=90°，进而求出∠HAF=30°=∠AHF，得出AF=HF，即可求出答案；(3)过点A作AG⊥BD交BD的延长线于G，过点C作CQ⊥AE交AE的延长线于Q，则∠Q=∠G=90°，进而判断出△ABG≌△CAQ(AAS)，得出AG=CQ，BG=AQ，再判断出Rt△AGF≌Rt△CQP(HL)，得出FG=PQ，即可得出结论．此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，作出辅助线构造出全等三角形是解本题的关键．。
2019-2020年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣32．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，33．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a2+a2＝a3D．a6÷a2＝a34．（3分）如图，已知△ABC≌△EDF，下列结论正确的是（）A．∠A＝∠E B．∠B＝∠DFE C．AC＝ED D．BF＝DF5．（3分）多边形每个外角为45°，则多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．56．（3分）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（）A．6ab B．12ab C．0 D．24ab7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算：＝．10．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝．11．（3分）如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠CBD＝．12．（3分）已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是．14．（3分）若（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为．16．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）（1）解方程：；（2）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．18．（9分）化简求值：，其中x＝3．19．（9分）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：AD＝CF．20．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．22．（9分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（11分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？25．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．26．（12分）如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．（1）若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为，BO与AD的位置关系为；（2）若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；（3）若两个三角形按图4方式放置，其中B、C（D）、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC 的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．2019-2020学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）分式有意义，则x的取值范围是（）A．x＞3 B．x＜3 C．x≠3 D．x≠﹣3【分析】本题主要考查分式有意义的条件：分母≠0，即x﹣3≠0，解得x的取值范围．【解答】解：∵x﹣3≠0，∴x≠3．故选：C．【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．2．（3分）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．1，2，3【分析】根据三角形三边关系定理进行判断即可．【解答】解：3+4＜8，则3，4，8不能组成三角形，A不符合题意；5+6＝11，则5，6，11不能组成三角形，B不合题意；5+6＞10，则5，6，10能组成三角形，C符合题意；1+2＝3，则1，2，3不能组成三角形，D不合题意，故选：C．【点评】本题考查的是三角形三边关系定理，掌握三角形两边之和大于第三边是解题的关键．3．（3分）下列计算正确的是（）A．a2•a3＝a6B．（a2）3＝a6C．a2+a2＝a3D．a6÷a2＝a3【分析】根据同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，即可解答．【解答】解：A、a2•a3＝a5，故错误；B、（a2）3＝a6，正确；C、a2+a2＝2a2，故错误；D、a6÷a2＝a4，故错误；故选：B．【点评】本题考查了同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项，解决本题的关键是熟记同底数幂的乘法和除法、幂的乘方、合并同类项．4．（3分）如图，已知△ABC≌△EDF，下列结论正确的是（）A．∠A＝∠E B．∠B＝∠DFE C．AC＝ED D．BF＝DF【分析】根据全等三角形的性质对各个选项进行判断即可．【解答】解：∵△ABC≌△EDF，∴∠A＝∠E，A正确；∠B＝∠FDE，B错误；AC＝EF，C错误；BF＝DC，D错误；故选：A．【点评】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．5．（3分）多边形每个外角为45°，则多边形的边数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【分析】利用多边形外角和除以外角的度数即可．【解答】解：多边形的边数：360÷45＝8，故选：A．【点评】此题主要考查了多边形的外角，关键是掌握正多边形每一个外角度数都相等．6．（3分）设（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，则A＝（）A．6ab B．12ab C．0 D．24ab【分析】由完全平方公式（a±b）2＝a2±2ab+b2，得到（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab，据此可以作出判断．【解答】解：∵（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+4×2a×3b＝（2a﹣3b）2+24ab，（2a+3b）2＝（2a﹣3b）2+A，∴A＝24ab．故选：D．【点评】本题考查了完全平方公式．关键是要了解（a﹣b）2与（a+b）2展开式中区别就在于2ab 项的符号上，通过加上或者减去4ab可相互变形得到．7．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝12，则ED的长为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EB＝EC＝12，根据直角三角形30度角的性质解答即可．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC＝12，∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，∴DE＝EB＝6，故选：D．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质和直角三角形30度角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．8．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）A．﹣＝20 B．﹣＝20C．﹣＝D．﹣＝【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．【解答】解：由题意可得，﹣＝，故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）计算：＝ 4 ．【分析】根据负整数指数幂以及零指数幂的意义即可求出答案．【解答】解：原式＝3+1＝4，故答案为：4．【点评】本题考查负整数指数幂以及零指数幂，解题的关键是正确理解负整数指数幂以及零指数幂的意义，本题属于基础题型．10．（3分）分解因式：x2y﹣4y＝y（x+2）（x﹣2）．【分析】先提取公因式y，然后再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣4y，＝y（x2﹣4），＝y（x+2）（x﹣2）．故答案为：y（x+2）（x﹣2）．【点评】本题考查了提公因式法，公式法分解因式，利用平方差公式进行二次分解因式是解本题的难点，也是关键．11．（3分）如图，在△ABC中，D是AB延长线上一点，∠A＝40°，∠C＝60°，则∠CBD＝100°．【分析】根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和计算即可．【解答】解：∵∠A＝40°，∠C＝60°，∴∠CBD＝∠A+∠C＝100°，故答案为：100°．【点评】本题考查的是三角形的外角的性质，掌握三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键．12．（3分）已知等腰三角形的其中二边长分别为4，9，则这个等腰三角形的周长为22 ．【分析】分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，②当三角形的三边是4，9，9时，看看是否符合三角形的三边关系定理，符合时求出即可．【解答】解：分为两种情况：①当三角形的三边是4，4，9时，∵4+4＜9，∴此时不符合三角形的三边关系定理，此时不存在三角形；②当三角形的三边是4，9，9时，此时符合三角形的三边关系定理，此时三角形的周长是4+9+9＝22，故答案为：22．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系定理的应用，注意：要进行分类讨论，题目比较好，难度适中．13．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2.3）．【分析】根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可直接得到答案．【解答】解：点P（2，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣2，3），故答案为：（﹣2，3）．【点评】此题主要考查了关于y轴对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律．14．（3分）若（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，则k的值为 4 ．【分析】根据多项式乘以多项式法则展开，合并同类项，即可得出﹣k+4＝0，求出即可．【解答】解：（x+2y）（2x﹣ky﹣1）＝2x2﹣kxy﹣x+4xy﹣2ky2﹣2y＝2x2+（﹣k+4）xy﹣2ky2﹣2y﹣x，∵（x+2y）（2x﹣ky﹣1）的结果中不含xy项，∴﹣k+4＝0，解得：k＝4，故答案为：4．【点评】本题考查了多项式乘以多项式法则，能根据多项式乘以多项式法则展开是解此题的关键．15．（3分）如图，△ABC中，AB＝6，AC＝7，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，过点D作直线平行于BC，交AB、AC于E、F，则△AEF的周长为13 ．【分析】根据平行线的性质得到∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，根据角平分线的性质得到∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，等量代换得到∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，于是得到ED＝EB，FD＝FC，即可得到结果．【解答】解：∵EF∥BC，∴∠EDB＝∠DBC，∠FDC＝∠DCB，∵△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D，∴∠EBD＝∠DBC，∠FCD＝∠DCB，∴∠EDB＝∠EBD，∠FDC＝∠FCD，∴ED＝EB，FD＝FC，∵AB＝6，AC＝7，∴△AEF的周长为：AE+EF+AF＝AE+ED+FD+AF＝AE+EB+FC+AF＝AB+AC＝6+7＝13．故答案为：13．．【点评】本题考查了等腰三角形的判定与性质．此题难度适中，注意证得△BDE与△CDF是等腰三角形是解此题的关键．16．（3分）如图，∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，如果射线OA上的点E满足△OCE是等腰三角形，那么∠OEC的度数为120°或75°或30°．【分析】求出∠AOC，根据等腰得出三种情况，OE＝CE，OC＝OE，OC＝CE，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．【解答】解：∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，∴∠AOC＝30°，时，OE＝CE，①当E在E1∵∠AOC＝∠OCE＝30°，∴∠OEC＝180°﹣30°﹣30°＝120°；点时，OC＝OE，②当E在E2则∠OCE＝∠OEC＝（180°﹣30°）＝75°；时，OC＝CE，③当E在E3则∠OEC＝∠AOC＝30°；故答案为：120°或75°或30°．【点评】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）17．（9分）（1）解方程：；（2）已知a+b＝3，ab＝2，求代数式a3b+2a2b2+ab3的值．【分析】（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解；（2）原式分解因式后，将已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：（1）去分母得：3+x﹣2＝3﹣x，解得：x＝1，经检验x＝1是分式方程的解；（2）∵a+b＝3，ab＝2，∴原式＝ab（a2+2ab+b2）＝ab（a+b）2＝18．【点评】此题考查了解分式方程，以及提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．（9分）化简求值：，其中x＝3．【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．【解答】解：原式＝•﹣＝﹣＝，当x＝3时，原式＝．【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．19．（9分）如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE＝FE，FC∥AB，求证：AD＝CF．【分析】根据平行线性质求出∠A＝∠FCE，根据AAS推出△ADE≌△CFE即可．【解答】证明：∵FC∥AB，∴∠A＝∠FCE，在△ADE和△CFE中∴△ADE≌△CFE（AAS），∴AD＝CF．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定和平行线的性质的应用，注意：全等三角形的对应边相等．20．（12分）如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）．（1）请画出△ABC关于x轴成轴对称的图形△A1B1C1，并写出A1、B1、C1的坐标；（2）在y轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请画出点P的位置．【分析】（1）分别作出点A，B，C关于x轴的对称点，再首尾顺次连接即可得；（2）作点A关于y轴的对称点A′，再连接A′B，与y轴的交点即为所求．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1的坐标为（1，﹣1）、B1的坐标为（4，﹣2）、C1的坐标为（3，﹣4）；（2）如图所示，点P即为所求．【点评】本题主要考查作图﹣轴对称变换，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的定义和性质及利用轴对称性质求最短路径．四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）21．（9分）某小区为了排污，需铺设一段全长为720米的排污管道，为减少施工对居民生活的影响，须缩短施工时间，实际施工时每天铺设管道的长度是原计划的1.2倍，结果提前2天完成任务，求原计划每天铺设管道的长度．【分析】设原计划每天铺设管道为xm，故实际施工每天铺设管道为1.2xm．等量关系为：原计划完成的天数﹣实际完成的天数＝2，根据这个关系列出方程求解即可．【解答】解：设原计划每天铺设管道x米．由题意，得．解得x＝60．经检验，x＝60是原方程的解．且符合题意．答：原计划每天铺设管道60米．【点评】本题考查分式方程的应用，列分式方程解应用题一定要审清题意，找相等关系是着眼点，要学会分析题意，提高理解能力．期中找到合适的等量关系是解决问题的关键．22．（9分）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．（1）分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay＝（ax+bx）+（ay+by）＝x（a+b）+y（a+b）＝（a+b）（x+y）2xy+y2﹣1+x2＝x2+2xy+y2﹣1＝（x+y）2﹣1＝（x+y+1）（x+y﹣1）（2）拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2+2x﹣3＝x2+2x+1﹣4＝（x+1）2﹣22＝（x+1+2）（x+1﹣2）＝（x+3）（x﹣1）请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：（1）分解因式：a2﹣b2+a﹣b；（2）分解因式：x2﹣6x﹣7；（3）分解因式：a2+4ab﹣5b2．【分析】仿照题中的方法，得到十字相乘法的技巧，分别将各项分解即可．【解答】解：（1）原式＝（a+b）（a﹣b）+（a﹣b）＝（a﹣b）（a+b+1）；（2）原式＝（x﹣7）（x+1）；（3）原式＝（a﹣b）（a+5b）．【点评】此题考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法是解本题的关键．23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A（0，m）、B（n，0），且|m﹣n﹣3|+＝0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．（1）求OA、OB的长；（2）连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；（3）过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的非负性质即可求得m、n的值，即可解题；（2）连接PB，t秒后，可求得OP＝6﹣t，即可求得S的值；（3）作出图形，易证∠OBA＝∠OPE，只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，分两种情形求得t的值，即可解题．【解答】解：（1）∵|m﹣n﹣3|+＝0，且|m﹣n﹣3|≥0，≥0∴|m﹣n﹣3|＝＝0，∴n＝3，m＝6，∴点A（0，6），点B（3，0）；（2）连接PB，t秒后，AP＝t，OP＝|6﹣t|，∴S＝OP•OB＝|6﹣t|；（t≥0）（3）作出图形，∵∠OAB+∠OBA＝90°，∠OAB+∠APD＝90°，∠OPE＝∠APD，∴∠OBA＝∠OPE，∴只要OP＝OB，即可求证△EOP≌△AOB，∴AP＝AO﹣OP＝3，或AP′＝OA+OP′＝9∴t＝3或9．【点评】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△EOP≌△AOB是解题的关键．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）24．（11分）某商家预测一种应季衬衫能畅销市场，就用13200元购进了一批这种衬衫，面市后果然供不应求，商家又用28800元购进了第二批这种衬衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了10元．（1）该商家购进的第一批衬衫是多少件？（2）若两批衬衫按相同的标价销售，最后剩下50件按八折优惠卖出，如果两批衬衫全部售完后利润不低于25%（不考虑其他因素），那么每件衬衫的标价至少是多少元？【分析】（1）可设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，根据第二批这种衬衫单价贵了10元，列出方程求解即可；（2）设每件衬衫的标价y元，求出利润表达式，然后列不等式解答．【解答】解：（1）设该商家购进的第一批衬衫是x件，则购进第二批这种衬衫是2x件，依题意有+10＝，解得x＝120，经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意．答：该商家购进的第一批衬衫是120件．（2）3x＝3×120＝360，设每件衬衫的标价y元，依题意有（360﹣50）y+50×0.8y≥（13200+28800）×（1+25%），解得y≥150．答：每件衬衫的标价至少是150元．【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，弄清题意并找出题中的数量关系并列出方程是解题的关键．25．（12分）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝α（0°＜α＜60°），将线段BC绕点B逆时针旋转60°得到线段BD．（1）如图1，直接写出∠ABD的大小（用含α的式子表示）；（2）如图2，∠BCE＝150°，∠ABE＝60°，判断△ABE的形状并加以证明；（3）在（2）的条件下，连接DE，若∠DEC＝45°，求α的值．【分析】（1）求出∠ABC的度数，即可求出答案；（2）连接AD，CD，ED，根据旋转性质得出BC＝BD，∠DBC＝60°，求出∠ABD＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，证△ABD≌△ACD，推出∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，求出∠BEC＝α＝∠BAD，证△ABD≌△EBC，推出AB＝BE即可；（3）求出∠DCE＝90°，△DEC为等腰直角三角形，推出DC＝CE＝BC，求出∠EBC＝15°，得出方程30°﹣α＝15°，求出即可．【解答】（1）解：∵AB＝AC，∠A＝α，∴∠ABC＝∠ACB，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴∠ABC＝∠ACB＝（180°﹣∠A）＝90°﹣α，∵∠ABD＝∠ABC﹣∠DBC，∠DBC＝60°，即∠ABD＝30°﹣α；（2）△ABE是等边三角形，证明：连接AD，CD，ED，∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC＝BD，∠DBC＝60°，∵∠ABE＝60°，∴∠ABD＝60°﹣∠DBE＝∠EBC＝30°﹣α，且△BCD为等边三角形，在△ABD与△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD＝∠BAC＝α，∵∠BCE＝150°，∴∠BEC＝180°﹣（30°﹣α）﹣150°＝α＝∠BAD，在△ABD和△EBC中∴△ABD≌△EBC（AAS），∴AB＝BE，∴△ABE是等边三角形；（3）解：∵∠BCD＝60°，∠BCE＝150°，∴∠DCE＝150°﹣60°＝90°，∵∠DEC＝45°，∴△DEC为等腰直角三角形，∴DC＝CE＝BC，∵∠BCE＝150°，∴∠EBC＝（180°﹣150°）＝15°，∵∠EBC＝30°﹣α＝15°，∴α＝30°．【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，全等三角形的性质是全等三角形的对应边相等，对应角相等．26．（12分）如图1，Rt△ABC≌Rt△DFE，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF．（1）若两个三角形按图2方式放置，AC、DF交于点O，连接AD、BO，则AF与CD的数量关系为AF ＝CD，BO与AD的位置关系为BO⊥AD；（2）若两个三角形按图3方式放置，其中C、B（D）、F在一条直线上，连接AE，M为AE中点，连接FM、CM．探究线段FM与CM之间的关系，并证明；（3）若两个三角形按图4方式放置，其中B、C（D）、F在一条直线上，点G、H分别为FC、AC 的中点，连接GH、BE交于点K，求证：BK＝EK．【分析】（1）利用全等三角形的性质，线段的垂直平分线的判定定理即可解决问题；（2）结论：FM＝MC，FM⊥CM．如图3中，延长FM交CA的延长线于H．想办法证明△FCH是等腰直角三角形，FM＝MH即可解决问题；（3）如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．想办法证明△BKJ≌△EKG即可解决问题；【解答】解：（1）如图2中，∵Rt△ABC≌Rt△DFE（已知），∴AB＝BD，BC＝BF，∴AF＝CD，∵∠AFO＝∠DCO＝90°，∠AOF＝∠DOC，∴△AOF≌△DOC（AAS），∴OA＝OC，∵BA＝BD，∴BO垂直平分线段AD．∴BO⊥AD，故答案为：AF＝CD，BO⊥AD．（2）结论：FM＝MC，FM⊥CM．理由：如图3中，延长FM交CA的延长线于H．∵∠ACB+∠EFC＝180°，B，F，C共线，∴EF∥CH，∴∠EFM＝∠H，∵EM＝MA，∠EMF＝∠AMH，∴△EFM≌△AHM（AAS），∴FM＝MH，EF＝AH，∵∠FCH＝90°，∴CM＝FM＝MH，即FM＝MC，∵△Rt△ABC≌Rt△DFE（已知），∴BF＝AC，EF＝BC，∴BA＝AH，∴FC＝CH，∵FM＝MH，∴CM⊥FM．（3）如图4中，连接BH，EG，在HG上取一点J，使得BJ＝BH．∵Rt△ABC≌Rt△DFE（已知），∴BC＝EF，AC＝CF，∵CH＝AH，CG＝GF，∴CH＝FG，∵∠BCH＝∠F＝90°，∴△BCH≌△EFG（SAS），∴∠CBH＝∠FEG，∵CH＝CG，∠GCH＝90°，∴∠CGH＝∠CHG＝45°，∴∠BHG＝180°﹣45°﹣∠GBH＝135°﹣∠GBH，∵∠CGE＝∠CGH+∠HGE＝90°+∠GEF，∴∠HGE＝45°+∠GEF，∴∠HGE+∠BHG＝180°，∵∠BJK+∠BJH＝180°，∠BJH＝∠BHJ，∴∠BJK＝∠HGE，∵GE＝BH＝BJ，∠BKJ＝∠GKE，∴△BKJ≌△EKG（AAS），∴BJ＝GE．【点评】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．21。
2019-2020学年辽宁省大连市高新园区八年级（上）期末数学模拟试卷一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．使分式有意义的x的取值范围为（）A．x≠﹣2B．x≠2C．x≠0D．x≠±22．一个三角形的两边长分别是3和7，则第三边长可能是（）A．2B．3C．9D．103．下列计算正确的是（）A．2a+3a＝5a2B．a2•a3＝a6C．a6÷a2＝a3D．（a2）3＝a6 4．如图是两个全等三角形，图中的字母表示三角形的边长，则∠1的度数是（）A．76°B．62°C．42°D．76°、62°或42°都可以5．已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是3：1，这个多边形的边数是（）A．8B．9C．10D．126．已知x+y＝﹣4，xy＝2，则x2+y2的值（）A．10B．11C．12D．137．如图，在△ABC中，∠B＝30°，BC的垂直平分线交AB于E，垂足为D．如果CE＝10，则ED的长为（）A．3B．4C．5D．68．某市为治理污水，需要铺设一段全长3000m的污水排放管道，为了尽量减少施工队城市交通所造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成这一任务，求原计划每天铺设多长管道．若设原计划每天铺设x米，则根据题意所列方程正确的是（）A．B．C．D．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．计算：a0b﹣2＝．10．分解因式：x2y﹣y＝．11．如图，BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，若∠A＝42°，则∠E＝°．12．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．13．若P（m+2n，﹣m+6n）和点Q（2，﹣6）关于x轴对称，则m＝，n＝．14．已知（x+p）（x+q）＝x2+mx+3，p、q为整数，则m＝．15．如图，在△ABC中，AB＝7，AC＝9，BC＝8cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是cm．16．在△ABC中，∠A＝80°，当∠B＝时，△ABC是等腰三角形．三．解答题（共4小题，满分39分）17．分解因式：2mx2﹣4mxy+2my2．（2）解方程：．18．先化简，再求值：（x﹣2+）÷，其中x＝﹣．19．如图，在△ADF与△CBE中，点A、E、F、C在同一直线上，已知AD∥BC，AD＝CB，∠B＝∠D．求证：AF＝CE．20．如图，△ABC三个顶点的坐标分别为A（1，1），B（4，2），C（3，4）（1）作出与△ABC关于y轴对称△A1B1C1，并写出三个顶点的坐标为：A1（），B1（），C1（）；（2）在x轴上找一点P，使PA+PB的值最小，请直接写出点P的坐标；四．解答题（共3小题，满分28分）21．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长600km的普通公路，另一条是全长480km的高速公路，某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间．22．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq得，x2+（p+q）x+pq＝（x+p）（x+q）；利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式，例如：将式子x2+3x+2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1+2，所以x2+3x+2＝x2+（1+2）x+1×2．解：x2+3x+2＝（x+1）（x+2）请仿照上面的方法，解答下列问题：（1）分解因式：x2+7x+12＝；（2）分解因式：（x2﹣3）2+（x2﹣3）﹣2；（3）填空：若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能的值是．23．图所示：△ABC是等腰直角三角形，BC＝AC，直角顶点C在x轴上，一锐角顶点B在y轴上（1）如图1所示，若C的坐标是（2，0），点A的坐标是（﹣2，﹣2），求：点B的坐标；（2）如图2，若y轴恰好平分∠ABC，AC与y轴交于点D，过点A作AE⊥y轴于E，问BD 与AE有怎样的数量关系，并说明理由；（3）如图3角边BC在两坐标轴上滑动，使点A在第四象限内，过A点作AF⊥y轴于F，在滑动的过程中，两个结论①为定值；②为定值，只有一个结论成立，请你判断正确的结论加以证明，并求出定值．五．解答题（共3小题，满分35分）24．某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．（1）求甲、乙两种商品的每件进价；（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？25．△ABC为等边三角形，以AB边为腰作等腰Rt△ABD．AC与BD交于点E，连CD．（1）如图1，若BD＝2，求AE的长；（2）如图2，F为线段EC上一点．连接DF并以DF为斜边作等腰直角三角形DFG，连接BF、AG，M为BF的中点，适接MG．求证：AM⊥MG．26．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（﹣，0），点B（0，1）把△ABO绕点O顺时针旋转，得△A'B'O，点A，B旋转后的对应点为A'，B'，记旋转角为α（0°＜α＜360°）．（Ⅰ）如图①，当点A′，B，B′共线时，求AA′的长．（Ⅱ）如图②，当α＝90°，求直线AB与A′B′的交点C的坐标；（Ⅲ）当点A′在直线AB上时，求BB′与OA′的交点D的坐标（直接写出结果即可）参考答案一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．【解答】解：x+2≠0，∴x≠﹣2故选：A．2．【解答】解：设第三边长为x，由题意得：7﹣3＜x＜7+3，则4＜x＜10，故选：C．3．【解答】解：A、2a+3a＝5a，故A错误；B、a2•a3＝a5，故B错误；C、a6÷a2＝a4，故C错误；D、（a2）3＝a6，故D正确．故选：D．4．【解答】解：∵两个三角形全等，∴∠1＝62°，故选：B．5．【解答】解：设这个多边形的外角为x°，则内角为3x°，由题意得：x+3x＝180，解得x＝45，这个多边形的边数：360°÷45°＝8，故选：A．6．【解答】解：∵x+y＝﹣4，xy＝2，∴x2+y2＝（x+y）2﹣2xy＝（﹣4）2﹣2×2＝12，故选：C．7．【解答】解：∵DE是BC的垂直平分线，∴EB＝EC＝10，∵∠B＝30°，∠EDB＝90°，∴DE＝EB＝5，故选：C．8．【解答】解：由题意可得，，故选：B．二．填空题（共8小题，满分24分，每小题3分）9．【解答】解：原式＝1×＝，故答案为：．10．【解答】解：x2y﹣y，＝y（x2﹣1），＝y（x+1）（x﹣1），故答案为：y（x+1）（x﹣1）．11．【解答】解：∵BE平分∠ABC，CE平分外角∠ACD，∴∠EBC＝∠ABC，∠ECD＝∠ACD，∴∠E＝∠ECD﹣∠EBC＝∠ACD﹣∠ABC＝A＝21°，故答案为：21．12．【解答】解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长＝4+9+9＝22cm．故填22．13．【解答】解：∵P（m+2n，﹣m+6n）和点Q（2，﹣6）关于x轴对称，∴，解得：．故答案为：0，1．14．【解答】解：已知等式整理得：x2+（p+q）x+pq＝x2+mx+3，p、q为整数，∴p+q＝m，pq＝3，即p＝1，q＝3或p＝3，q＝1或p＝﹣1，q＝﹣3或p＝﹣3，q＝﹣1，则m＝±4，故答案为：±415．【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠ABP＝∠PBD，∠ACP＝∠PCE，∵PD∥AB，PE∥AC，∴∠ABP＝∠BPD，∠ACP＝∠CPE，∴∠PBD＝∠BPD，∠PCE＝∠CPE，∴BD＝PD，CE＝PE，∴△PDE的周长＝PD+DE+PE＝BD+DE+EC＝BC＝8cm．故答案是：8．16．【解答】解：∵∠A＝80°，∴①当∠B＝80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B＝（180°﹣80°）÷2＝50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B＝180°﹣80°×2＝20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．三．解答题（共4小题，满分39分）17．【解答】解：（1）原式＝2m（x2﹣2xy+y2）＝2m（x﹣y）2；（2）两边都乘以x﹣2，得：1﹣x＝x﹣2+3，解得：x＝0，检验：x＝0时，x﹣2＝﹣2≠0，所以原分式方程的解为x＝0．18．【解答】解：原式＝（+）•＝•＝2（x+2）＝2x+4，当x＝﹣时，原式＝2×（﹣）+4＝﹣1+4＝3．19．【解答】证明：∵AD∥BC∴∠A＝∠C在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA）∴AF＝CE．20．【解答】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，由图知，A1（﹣1，1），B1（﹣4，2）C1（﹣3，4），故答案为：﹣1，1；﹣4，2；﹣3，4；（2）如图所示，点P即为所求，其坐标为（2，0）．四．解答题（共3小题，满分28分）21．【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需x小时，则走普通公路需2x小时，根据题意得：，解得x＝4经检验，x＝4原方程的根，答：客车由高速公路从甲地到乙地需4时．22．【解答】解：（1）x2+7x+12＝（x+3）（x+4），故答案为：（x+3）（x+4）；（2）原式＝（x2﹣3﹣1）（x2﹣3+2）＝（x2﹣4）（x2﹣1）＝（x+2）（x﹣2）（x+1）（x﹣1）；（3）若x2+px﹣8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是﹣8+1＝﹣7；﹣1+8＝7；﹣2+4＝2；﹣4+2＝﹣2，故答案为：±7，±2．23．【解答】解：（1）过点A作AD垂直OC于D．∵∠DAC+∠ACD＝90°，∠ACD+∠BCD＝90°，∴∠BCD＝∠DAC，在△ADC和△COB中，，∴△ADC≌△COB（AAS），∴AD＝OC，CD＝OB，∴点B坐标为（0，4）；（2）延长BC，AE交于点F，∵AC＝BC，AC⊥BC，∴∠BAC＝∠ABC＝45°，∵BD平分∠ABC，∴∠COD＝22.5°，∠DAE＝90°﹣∠ABD﹣∠BAD＝22.5°，在△ACF和△BCD中，，∴△ACF≌△BCD（ASA），∴AF＝BD，在△ABE和△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（ASA），∴AE＝EF，∴BD＝2AE；（3）作AE⊥OC，则AF＝OE，∵∠CBO+∠OCB＝90°，∠OCB+∠ACO＝90°，∴∠ACO＝∠CBO，在△BCO和△ACE中，，∴△BCO≌△ACE（AAS），∴CE＝OB，∴OB+AF＝OC．∴＝1．五．解答题（共3小题，满分35分）24．【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．根据题意，得，＝，解得x＝40．经检验，x＝40是原方程的解．答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；（2）甲乙两种商品的销售量为＝50．设甲种商品按原销售单价销售a件，则（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，解得a≥20．答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．25．【解答】解：（1）如图1，过E作EF⊥AD于F，则△DEF是等腰直角三角形，∵等腰Rt△ABD中，BD＝2，∴AD＝2，设EF＝DF＝x，则AF＝2﹣x，∵∠EAF＝90°﹣60°＝30°，∴AF＝EF，即2﹣x＝x，解得x＝，∴Rt△AEF中，AE＝2EF＝2；（2）如图2，延长GM至H，使得HM＝GM，连接BH，AH，∵M为BF的中点，∴BM＝FM，又∵∠BMH＝∠FMG，∴△HBM≌△GFM，∴HB＝GF，HM＝GM，又∵△DFG中，GF＝GD，∴HB＝GD，∵△ABD是等腰直角三角形，∴AB＝AD，∠ABD＝∠ADB＝45°，由△HBM≌△GFM，可得∠HBM＝∠GFM，设∠HBM＝∠GFM＝α，∠DBF＝β，则∠ABH＝∠HBM﹣∠ABD﹣∠DBF＝α﹣45°﹣β，①∵∠DFB＝360°﹣∠BFG﹣∠DFG＝360°﹣α﹣45°，∴△BDF中，∠BDF＝180°﹣∠DBF﹣∠DFB＝180°﹣β﹣（360°﹣α﹣45°）＝α﹣135°﹣β，∴∠ADG＝∠ADB+∠BDF+∠GDF＝45°+（α﹣135°﹣β）+45°＝α﹣45°﹣β，②∴由①②可得，∠ABH＝∠ADG，∴△ABH≌△ADG，∴AH＝AG，又∵M是HG的中点，∴AM⊥HG，即AM⊥MG．26．【解答】解：（Ⅰ）如图①，∵A（﹣，0），B（0，1），∴OA＝，OB＝1，∴tan∠BAO＝＝，∴∠BAO＝30°，∠ABO＝60°，∵△A′OB′是由△AOB旋转得到，∴∠B′＝∠ABO＝60°，OB＝OB′，OA＝OA′，∴∠OBB′＝60°，∴∠BOB′＝α＝∠AOA′＝60°，∴△AOA′是等边三角形，∴AA′＝OA＝．（Ⅱ）如图②，当α＝90°，点A′在y轴上，作CH⊥OA′于H．∵∠A′B′O＝60°，∠CAB′＝30°，∴∠ACB′＝90°，∵A′B＝OA′﹣OB＝﹣1，∠BA′C＝30°，∴BC＝A′B＝，∵∠HBC＝60°，∴BH＝BC＝，CH＝BH＝，∴OH＝1+BH＝，∴点C的坐标（，）．（Ⅲ）如图③中，设A′B′交x轴于点K．当A′在AB上时，∵OA＝OA′，∴∠OAA′＝∠AA′O＝30°，∵∠OA′B′＝30°，∴∠AA′K＝60°，∴∠AKA′＝90°，∵OA′＝，∠OA′K＝30°，∴OK＝OA′＝，A′K＝OK＝，∴A′（，）．。
