《3.3.2函数的极值与导数》教学案2

3・3・2函数的极值与导数(导学案)一. 【知识链接】1 •用导数求函数单调区间的步骤：2. 求下列函数单调区间(1 )f(x)=2x~+2x-4; (2)f(x)=2x 3+4x; (3) f(x)=x+cosx; xW ( 0,§ ); 预习教材完成下列问题：探究一 •极值的概念1、观察下图中的曲线在a 、b 处的函数值f(a)、f(b)与它附近的函数值比较有什 么特点？ a 点的函数值f(a)比它临近点紅虽数值都点的函数值都2、极值的概念：一般地，设函数f(x)在点X 。

附近有定义，如果对X 。

附近的所有的点，都有f(x)< f(Xo),我们就说Xo 是函数f(x)的一个 __________________ , f(x ())是函数f(x)的一个_________ ，记作y 极大值= f(xo);如果对Xo 附近的所有的点，都有f(x)>f(x 0),我们 就说&)是函数f(x)的一个 ________________________ , f(xo)是函数f(x)的一个 __________________ , •i 己作y 极小值=f(x 0)・注意：在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指 的是函数值•请注意以下几点：(i )极值是一个局部概念•它只是某个点、的函数值与它吐近直的函数值比较 是最大或最小•并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.・b 点、的理数值f(b)比它临近(ii )函数的极值不是唯一的•即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.(iii)极大值与极小值之间无确定的大小关系•即一个函数的极大值未必大于极小值，如下图所示，工i是极大值点，•耳是极小值点，而畑>畑・(iv)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点•而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点.探究二、极值的求法3、观察下图中的曲线，曲线在极值点处附近切线的斜率情况.上图中，曲线在极值点处切线的斜率为______________ ,极大值点左侧导数为_________,右侧为________ ;极小值点左侧导数为___________ ,右侧为_______ ・(填正、负)4、利用导数判别函数的极大(小)值：一般地，当函数f(x)在点、xO处连续时，判别f(xO)是极大(小)值的方法是：(1)如果在xO附近的左侧f'(x)>0,右侧f *(x)<0,那么，f(xO)是________________ 值;⑵如果在x()附近的左侧f f(x)<0,右侧f'(x)>0,那么，f(xO)是__________________ 值;思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？三.【新知应用】例1求函数•并利用性质画出简图:［总结］:求可导函数f(x)的极值的步骤：⑴.(2).(3).⑷巩固练习P96 1,2四.【课堂小结】1.函数的极值的定义：2.导数求极值的步骤：五.自我检测求下列函数的极值(1) f(x)=6x2+x+2 ; (2) f(x)=x3-12; (3) f(x)=6-12x+x3; (4) f(x)=48x-x3.33.3函数的最大(小)值与导数导学案一、学习目标：1 •连续函数在闭区间上的最大值与最小值定理；2•结合函数图象，能够求闭区间上不超过三次的多项式函数最值.二、重难点：1・重点：会用导数求在给定区间上函数的最值；2•难点：最值与极值的区别.三、学习过程：1 •思考发现：能否认为函数的最大值一定是函数的极大值，函数的最小值必是函数的极小值？从下题中得出结论：如图为函数/(x)在区间［a,b］上的图象，请说出/(X)的极大值，极小值，最大值及最小值.2•由(1)你能总结出最值的概念吗？函数/(兀)在［a,b］上的最值，如果在区间［d,b］上的函数的图象是一条____ 的曲线，那么/(兀)必有最大值和最小值，此性质包括两个条件:(1) 给定函数的区间是 __________ :(2) 图彖在区间上的每一点必须 _______ •函数的最值是比较整个 __________ 的函数值得出 的，函数的极值是比较 _________ 的函数值取得的.例1求函数f(x) = -x 3-4x + 4在［0,3］上的最大值与最小值. 2•你能总结出求函数/(x)在［d,切上的最值的步骤吗?巩固练习1•下列命题中，真命题是()A.函数的最大值一定不是该函数的极大值 C ・函数在某一闭区间上的极小值就是函数的最小值D ・函数在开区间不存在最大值和最小值 2•函数.f (兀)-3x4-1在闭区间［-3,0］上的最大值，最小值分别是()3 •函数f\x) = l2x-x 3在区间［-3,3］上的最小值 _______ 4•函数/(兀)二In 兀一兀在(0, e ］上的最大值 ______5 •求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：(1) /(%) = 6x 2+x + 2, xe ［-l,l ］(2) /(x) = ?-12x, xe ［-3,3］7•稲于/©)=丘一丄/ 一2兀+ 5,当兀引一1,2］时，f(x)<m 恒成立，求实数加的取值范 2 B.函数的极大值可以小于该函数的极小值 C.3,-17 D.9,-19。

3.3.2 利用导数研究函数的极值●三维目标1.知识与技能了解函数极值的概念，会从几何直观理解函数的极值与其导数的关系，并会灵活应用；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件．2．过程与方法通过对具体问题的观察、分析来增强学生数形结合的思维意识，提高学生运用导数的基本思想去分析和解决实际问题的能力，及灵活运用类比、归纳、化归等数学方法的能力．3．情感、态度与价值观通过设立问题情境，激发学生的学习动机和好奇心理，使其主动参与交流活动．通过对问题的提出、思考、解决培养学生自信、自立、自强的优良心理品质．通过教师对例题的讲解培养学生良好的学习习惯及科学的学习态度．●重点、难点重点：函数的极值的判断方法及求函数极值的步骤．难点：函数在某点取得极值必要条件和充分条件．观察图象特征、自主探究、小组合作总结归纳出求极值方法步骤，并了解极值存在的充分条件和必要条件，从而突破重点、难点．●教学建议本节课力在突出“以学生为主体”的教学理念．以问题探究为主要形式，依照学生的认知规律，采用自主学习与合作探究相结合的模式．教师在整堂课中引导着学生探索出函数的极值与导数的关系．对于检验学生学习的效果，采用问题和练习的形式给予检查和纠正．本着“学生是教学活动出发点，也是教学活动的落脚点”的教学思想，在整个教学活动中，不断激发学生的学习兴趣，让学生真正的参与到知识的成长过程．主要从以下几个方面对学生进行指导：(1)引导学生观察图象，产生认知冲突．极值好像是最值，又不是最值．(2)激发探究欲望．学生产生疑问之后，指导学生思考怎样解决问题，培养学生的分析和解决问题的能力．(3)指导学生合作探究，小组讨论并得出结论．知识：极值点与极值问题导思函数y＝f(x)的图象如图所示．1．函数在x＝a点的函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？答：函数在点x＝a的函数值比它在点x＝a附近的其他点的函数值都小.2．f ′(a )为多少？在点x ＝a 附近，函数的导数的符号有什么规律？ 答：f ′(a )＝0，在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0. 3．函数在x ＝b 点处的情况呢？答：函数在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0，且在点x ＝b 附近的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.1．极小值点与极小值函数y ＝f (x )在点x ＝a 的函数值f (a )比它在点x ＝a 附近其他点的函数值都小，f ′(a )＝0；而且在点x ＝a 附近的左侧f ′(x )＜0，右侧f ′(x )＞0.则把点a 叫做函数y ＝f (x )的极小值点，f (a )叫做函数y ＝f (x )的极小值．2．极大值点与极大值函数y ＝f (x )在点x ＝b 的函数值f (b )比它在点x ＝b 附近其他点的函数值都大，f ′(b )＝0；而且在点x ＝b 的左侧f ′(x )＞0，右侧f ′(x )＜0.则把点b 叫做函数y ＝f (x )的极大值点，f (b )叫做函数y ＝f (x )的极大值．极大值点、极小值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．问题导思函数的极大值一定大于极小值吗？答：不一定，极值刻画的是函数的局部性质，反映了函数在某一点附近的大小情况，极大值可能比极小值还小.课堂互动探究 类型一：求函数的极值例1：求下列函数的极值点和极值． (1)f (x )＝13x 3－x 2－3x ＋3；(2)f (x )＝3x＋3ln x .【解析】 原函数――→求导导函数―→f ′(x )＝0的点x 0 ――→判断两侧符号极值 解：(1)f ′(x )＝x 2－2x －3.令f ′(x )＝0，得x 1＝3，x 2＝－1，如下表所示：∴f (x )极大值＝143，f (x )极小值＝－6.(2)函数f (x )＝3x ＋3ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝－3x 2＋3x ＝3(x －1)x 2，令f ′(x )＝0得x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：因此当x ＝1规律方法：1．求函数的极值首先要求函数的定义域，然后求f ′(x )＝0的实数根，当实数根较多时，要充分利用表格，使极值点的确定一目了然．2．函数极值和极值点的求解步骤： ①确定函数的定义域； ②求方程f ′(x )＝0的根；③用方程f ′(x )＝0的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格； ④由f ′(x )在方程f ′(x )＝0的根左右的符号，来判断f (x )在这个根处取极值的情况． 变式训练：求函数y ＝2x ＋8x的极值．解：函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． y ′＝2－8x 2，令y ′＝0，得x ＝±2.当x 变化时，y ′、y 的变化情况如下表：极大值当x ＝2时，y 极小值＝8.类型2：由函数的极值求参数例2：已知f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝1与x ＝－23时都取得极值，且f (－1)＝32，求a 、b 、c 的值．【解析】 (1)函数在x ＝1和x ＝－23时都取得极值，说明f ′(1)与f ′(－32)的结果怎样？(2)你能由已知条件列出方程组求解a 、b 、c 吗？解：f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ，令f ′(x )＝0，由题设知x ＝1与x ＝－23为f ′(x )＝0的解．∴⎩⎨⎧1－23＝－23a ，1×(－23)＝b3.解得a ＝－12，b ＝－2.∴f ′(x )＝3x 2－x －2.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：由上表知，函数在x ＝1与－23处取得极值．∴a ＝－12，b ＝－2.∴f (x )＝x 3－12x 2－2x ＋c ，由f (－1)＝－1－12＋2＋c ＝32，得c ＝1.规律方法：已知函数的极值情况，逆向应用来确定参数或求解析式时应注意两点： (1)常根据极值点处导数为0和极值两条件列出方程组，用待定系数法求解． (2)因为导数值为0不一定此点就是极值点，故利用上述方程组解出的解必须验证．变式训练：已知f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2在x ＝－1和x ＝3处有极值，求a 、b 的值． 解：由f (x )＝x 3＋3ax 2＋bx ＋a 2，得f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋b . 又f (x )在x ＝－1和x ＝3处有极值， ∴f ′(－1)＝3＋b －6a ＝0，① f ′(3)＝27＋18a ＋b ＝0.②联立①②，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－9.∴f ′(x )＝3x 2－6x －9＝3(x ＋1)(x －3)． 当x 变化时，f ′(x )、f (x )的变化情况如下：∴a ＝－1，b ＝－9符合题意. 类型3：函数极值的综合应用例3：已知函数f (x )＝x 3－3ax －1(a ≠0)．若函数f (x )在x ＝－1处取得极值，直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．【解析】 (1)能否由已知条件求出a 值，确定f (x )？(2)直线y ＝m 与y ＝f (x )的图象有三个不同交点的含义是什么？如何用数形结合求出m 的范围？解：∵f (x )在x ＝－1处取得极值，∴f ′(－1)＝3×(－1)2－3a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝x 3－3x －1，f ′(x )＝3x 2－3， 由f ′(x )＝0解得x 1＝－1，x 2＝1. 当x ＜－1时，f ′(x )＞0； 当－1＜x ＜1时，f ′(x )＜0； 当x ＞1时，f ′(x )＞0.∴由f (x )的单调性可知，f (x )在x ＝－1处取得极大值f (－1)＝1，在x ＝1处取得极小值f (1)＝－3.∵直线y ＝m 与函数y ＝f (x )的图象有三个不同的交点， 又f (－3)＝－19＜－3，f (3)＝17＞1，结合f (x )的单调性可知，m 的取值范围是(－3,1)．规律方法：1．解答本题的关键是运用数形结合的思想将函数的图象与其极值建立起关系．2．极值问题的综合应用主要涉及到极值的正用与逆用，以及与单调性问题的综合，题目着重考查已知与未知的转化，以及函数与方程的思想、分类讨论的思想在解题中的应用．在解题过程中，熟练掌握单调区间问题以及极值问题的基本解题策略是解决综合问题的关键．变式训练：已知a为实数，函数f(x)＝－x3＋3x＋a.(1)求函数f(x)的极值，并画出其图象(草图)；(2)当a为何值时，方程f(x)＝0恰好有两个实数根？解：(1)由f(x)＝－x3＋3x＋a，得f′(x)＝－3x2＋3，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：极大值为f(1)＝a＋2.由单调性、极值可画出函数f(x)的大致图象，如图所示，这里，极大值a＋2大于极小值a－2.(2)结合图象，当极大值a＋2＝0时，有极小值小于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰有两个实数根，所以a＝－2满足条件；当极小值a－2＝0时，有极大值大于0，此时曲线f(x)与x轴恰有两个交点，即方程f(x)＝0恰好有两个实数根，所以a＝2满足条件．综上，当a＝±2时，方程恰有两个实数根．课堂小结：1．极值是一个局部概念．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内是最大或最小．极值是不唯一的，极大值与极小值之间也无确定的大小关系．2．极大值点可以看成是函数的单调递增区间与单调递减区间的分界点，极小值点可以看成是函数的单调递减区间与单调递增区间的分界点．3．可导函数f(x)求极值的一般步骤：(1)确定函数的定义区间，求导数f′(x)；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干个小开区间，并列成表格；(4)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.。

3.3.2 函数的极值与导数课前预学案一、预习目标了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值二、自主学习 观察图象回答问题1函数在点x a =的函数值与这点附近的 函数值与这点附近的函数值有什么大小关系？2()f a '等于多少？在点x a =附近，函数的导数的符号有什么规律？3函数在点x b =处的情况呢通过以上问题的探究，你能得到什么结论？用文字语言描述：函数在图象拐弯处的导数值等于0，且在该处左右两侧的导数值异号时取得极值用图形语言描述：Oyxf 'f '(x )>0'ba极值的定义：（1）极大值点与极大值：函数 f 在=a 的函数值fa 比在点=a 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则a 为函数 = f 的极大值点，函数值fa 为函数的极大值；（2）极小值点与极小值：函数 f 在=b 的函数值fb 比在点=b 附近其他点的函数值都小，且__________,在点=a 附近的左侧________,右侧______,则b 为函数 = f 的极小值点，函数值fb 为函数的极小值；3 极大值和极小值统称为极值，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值 思考1：结合极值定义，你认为判断 = f 的极值的一般方法？思考2：结合教材例4，你认为应如何求函数的极值？思考3：极大值一定大于极小值吗？思考4：导数值为0的点一定是函数的极值点吗？预学检测＝f 的导函数＝f ′的图象，对此图象，有如下结论： ①在区间－2,1内f 是增函数； ②在区间1,3内f 是减函数； ③＝2时，f 取到极大值； ④在＝3时，f 取到极小值．其中正确的是__________将你认为正确的序号填在横线上．2．函数=f 的导数/与函数值和极值之间的关系为A 、导数/由负变正,则函数由减变为增,且有极大值 B 、导数/由负变正,则函数由增变为减,且有极大值 C 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极小值 D 、导数/由正变负,则函数由增变为减,且有极大值3．函数331x x y -+=有 ( ) A ．极小值-1，极大值1 B ．极小值-2，极大值3 C ．极小值-2，极大值2 D ．极小值-1，极大值34．若2=x 是函数233)(x ax x f -=的极值点，则a 为A ．1B ．2C ．D ．33.3.2 函数的极值与导数课内探究案【学习目标】1理解极大值、极小值的概念，理解函数极值与导数的关系；2会判别函数极大值、极小值；3会利用导数求函数的极值；探究1：极值点与极值的概念知识归纳：注意事项：1极值是一个局部概念，反映了函数值在某一个点附近的大小情况；2极值不是唯一，函数的极值可能不止一个；3极大值与极小值之间无确定性大小关系，函数的极大值未必大于极小值；4函数的极值点一定出现在区间中部，区间的端点不能成为极值点；探究2：极值与导数的关系方法总结：求函数=f 的极值的方法：先确定定义域,再解方程()0f x '=当()0f x '=时①如果在0附近的左侧()0f x '>右侧()0f x '<,那么,f 0是极大值; ②如果在0附近的左侧()0f x '<右侧()0f x '>,那么,f 0是极小值探究3：极值点与导数的关系结论：左右侧导数异号f 的极值点 (f '反过来是否成立点是极值点的充分不必要条件是在这点两侧的导数异号；点是极值点的必要不充分条件是在这点的导数为0探究4：求函数的极值求函数3()3ln f x x x=+的极值错误!变式1：设32()f x ax bx cx =++，在1x =和1x =-处有极值，且(1)1f -=-,求a ，b ，c 的值，并1x =±判断分别是极大值点还是极小值点？变式2：设函数32()9f x x ax x =+-的导函数()f x '，且(2)15f '=（1）求函数()f x 的图象在0x =处的切线方程2求函数()f x 的极值庖丁解牛感受高考）（2021年天津卷）函数的定义域为开区间，导函数)(x f '在内的图象如图所示，则函数在开区间内有极小值点（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别当堂检测1函数,93)(23-++=x ax x x f 已知3)(-=x x f 在时取得极值，则a =2函数2()ln 3f x a x bx x =++的极值点121,2x x ==，求,a b 的值3已知函数c bx ax x x f +++=23)(，且知当1-=x 时取得极大值7，当3=x 时取得极小值，试求函数的解析式并。

3．3．2 函数的极值与导数一、教学目标：理解函数的极大值、极小值、极值点的意义.掌握函数极值的判别方法.进一步体验导数的作用. 二、教学重点：求函数的极值.教学难点：严格套用求极值的步骤. 三、教学过程：（一）函数的极值与导数的关系 1、观察下图中的曲线a 点的函数值f (a )比它临近点的函数值都大．b 点的函数值f (b )比它临近点的函数值都小．2、观察函数 f (x )＝2x 3－6x 2＋7的图象，思考：函数y ＝f (x )在点x ＝0，x ＝2处的函数值，与它们附近所有各点处的函数值，比较有什么特点?（1）函数在x ＝0的函数值比它附近所有各点的函数值都大， 我们说 f (0) 是函数的一个极大值；（2）函数在x ＝2的函数值比它附近所有各点的函数值都小， 则f (2)是函数的一个极小值．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的一个极大值: f (0)； 一个极小值: f (2)．函数y ＝2x 3－6x 2＋7 的 一个极大值点: ( 0， f (0) )； 一个极小值点: ( 2， f (2) )． 3、极值的概念：一般地，设函数f (x )在点x 0附近有定义，如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＜ f (x 0) 我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极大值，记作 y极大值＝f (x 0)；如果对x 0附近的所有的点，都有f (x )＞f (x 0)我们就说f (x 0)是函数f (x )的一个极小值，记作y 极小值＝f (x 0)． 极大值与极小值统称为极值． 4、观察下图中的曲线f考察上图中，曲线在极值点处附近切线的斜率情况． 上图中，曲线在极值点处切线的斜率为0，极大值点左侧导数为正，右侧为负；极小值点左侧导数为负，右侧为正． 函数的极值点x i 是区间[a , b ]内部的点，区间的端点不能成为极值点．函数的极大(小)值可能不止一个，并且函数的极大值不一定大于极小值，极小值不一定小于极大值．函数在[a , b ]上有极值，其极值点的分布是有规律的，像相邻两个极大值间必有一个极小值点．5、利用导数判别函数的极大（小）值：一般地，当函数f (x )在点x 0处连续时，判别f (x 0)是极大（小）值的方法是： ⑴如果在x 0附近的左侧f '(x )＞0，右侧f '(x )＜0，那么，f (x 0)是极大值； ⑵如果在x 0附近的左侧f '(x )＜0，右侧f '(x )＞0，那么，f (x 0)是极小值； 思考：导数为0的点是否一定是极值点？导数为0的点不一定是极值点．如函数f (x )＝x 3，x ＝0点处的导数是0，但它不是极值点．.)()()()()()('个内存在极小值点，在开区间图像如图，则函数内的函数，在，导函数，的定义域为开区间函数b a x f b a x f b a x f例1求函数3144.3y x x =-+的极值解：y '＝x 2－4＝(x ＋2)(x －2)．令 y '＝0，解得 x 1＝－2，x 2＝2． 当因此，当x ＝－2时， y 极大值＝283，当x ＝2时，y 极小值＝－43．)＞0求可导函数f (x )的极值的步骤： ⑴ 求导函数f '(x )； ⑵ 求方程 f '(x )＝0的根；⑶ 检查f '(x )在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值． 例2．求函数x e x y -=2的极值 例3 求函数y ＝(x 2－1)3＋1的极值．解：定义域为R ，y '＝6x (x 2－1)2.由y '＝0可得x 1＝－1，x 2＝0，x 3＝1当x ＝0时，y 有极小值，并且y 极小值＝0．例4．23)1(22--=x x y 的极值 例5．32)1(x x y -=的极值思考：导数值为0的点一定为极值点吗？极值点一定导数值为0吗？ 练习：求函数x e x y -=3的极值 （三）课堂小结1．考察函数的单调性的方法； 2．导数与单调性的关系； 3．用导数求单调区间的步骤.。

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一、教学目标1 知识与技能〈1〉结合函数图象，了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件〈2〉理解函数极值的概念，会用导数求函数的极大值与极小值2 过程与方法结合实例，借助函数图形直观感知，并探索函数的极值与导数的关系。

3 情感与价值感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质，增强学生数形结合的思维意识。

二、重点：利用导数求函数的极值难点：函数在某点取得极值的必要条件与充分条件三、教学基本流程回忆函数的单调性与导数的关系，与已有知识的联系提出问题，激发求知欲组织学生自主探索，获得函数的极值定义通过例题和练习，深化提高对函数的极值定义的理解四、教学过程〈一〉创设情景，导入新课1、通过上节课的学习，导数和函数单调性的关系是什么?（提问C类学生回答，A，B类学生做补充）函数的极值与导数教案 2、观察图1.3.8 表示高台跳水运动员的高度h随时间t变化的函数函数的极值与导数教案=-4.9t2+6.5t+10的图象，回答以下问题函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案函数的极值与导数教案（1）当t=a时，高台跳水运动员距水面的高度，那么函数函数的极值与导数教案在t=a处的导数是多少呢?（2）在点t=a附近的图象有什么特点?（3）点t=a附近的导数符号有什么变化规律?共同归纳: 函数h（t）在a点处h/（a）=0，在t=a的附近，当t0；当t a 时，函数函数的极值与导数教案单调递减，函数的极值与导数教案 0，即当t 在a的附近从小到大经过a时，函数的极值与导数教案先正后负，且函数的极值与导数教案连续变化，于是h/（a）=0.3、对于这一事例是这样，对其他的连续函数是不是也有这种性质呢?二探索研讨函数的极值与导数教案1、观察1.3.9图所表示的y=f（x）的图象，回答以下问题：函数的极值与导数教案（1）函数y=f（x）在a.b点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系?（2）函数y=f（x）在a.b.点的导数值是多少?（3）在a.b点附近， y=f（x）的导数的符号分别是什么，并且有什么关系呢?2、极值的定义:我们把点a叫做函数y=f（x）的极小值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极小值；点b叫做函数y=f（x）的极大值点，f（a）叫做函数y=f（x）的极大值。

3.3.2函数的极值与导数[教材分析]：《函数的极值与导数》是在学生学习了《函数的单调性与导数》，初步具备了运用导数研究函数的能力后学习的，并为《函数的最大（小）值与导数》奠定了知识与方法的基础，起着承上启下的作用。

本节课在本单元乃至整个数学学习中都具有十分重要的地位。

[学情分析]：学生已经初步学习了运用导数研究函数，但还不够深入，因此在学习上还有一定困难。

本节课能够进一步提高学生运用导数研究函数的能力,体会导数的工具作用。

[教学目标]：知识与技能：•了解函数极值的定义，会从几何图形直观理解函数的极值与其导数的关系，增强学生的数形结合意识，提升思维水平；•掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法；•了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

过程与方法：•培养学生观察、分析、探究、归纳得出数学概念和规律的学习能力。

情感态度与价值观：•体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性；•培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神；•激发学生的民族自豪感，培养学生的爱国主义精神。

[教学重点和教学难点]：教学重点：掌握利用导数求不超过三次的多项式函数极值的一般方法。

教学难点：函数在某点取得极值的必要条件和充分条件。

[教法学法分析]：教法分析和教学用具：本节课我将采用自主学习—成果展示—合作探究—教师点拨—巩固提高的教学环节。

并利用信息技术创设实际问题的情境。

发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在我引导下的“再创造”过程。

学法分析通过用导数研究函数的极值，提高了学生的导数应用能力。

通过用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值，得到求极值的一般方法。

教学过程教学内容设计意图一、自主学习：课前将学案发给学生，让学生明确学习目标，带着问题对课本进行预习，并解答这些问题，落实基础知识。

通过检查学案，了解学生自主学习的情况，设计导学思路与措施。

培养学生的自主学习能力，为学生的终身学习奠定基础。

二、成果展示：对自主学习的情况先在组内进行交流，对自主学习的问题组内达成共识。

函数的极值与导数一、教学目标1. 理解导数的定义和几何意义2. 学会求函数的导数3. 理解函数的极值概念4. 学会利用导数研究函数的极值二、教学内容1. 导数的定义和几何意义2. 常见函数的导数3. 函数的极值概念4. 利用导数研究函数的单调性5. 利用导数求函数的极值三、教学重点与难点1. 重点：导数的定义和几何意义，常见函数的导数，函数的极值概念，利用导数求函数的极值2. 难点：导数的运算法则，利用导数研究函数的单调性，求函数的极值四、教学方法1. 采用讲授法讲解导数的定义、几何意义、常见函数的导数及函数的极值概念2. 利用例题解析法讲解利用导数研究函数的单调性和求函数的极值3. 组织学生进行小组讨论和互动，巩固所学知识五、教学过程1. 导入：复习导数的定义和几何意义，引导学生思考如何求函数的导数2. 新课：讲解常见函数的导数，引导学生掌握求导数的方法3. 案例分析：利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，引导学生理解和应用所学知识4. 练习与讨论：布置练习题，组织学生进行小组讨论，解答练习题5. 总结与拓展：总结本节课的主要内容，布置课后作业，引导学生思考如何利用导数研究更复杂的函数极值问题六、课后作业1. 复习导数的定义和几何意义，常见函数的导数2. 练习求函数的导数3. 利用导数研究函数的单调性，求函数的极值七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答情况，了解学生的学习状态2. 练习与讨论：评估学生在练习题和小组讨论中的表现，检验学生对知识的掌握程度3. 课后作业：检查课后作业的完成情况，评估学生对课堂所学知识的巩固程度六、教学策略的调整1. 根据学生的课堂反馈，适时调整教学节奏和难度，确保学生能够跟上教学进度。

2. 对于学生掌握不够扎实的知识点，可以通过举例、讲解、练习等多种方式加强巩固。

3. 鼓励学生提出问题，充分调动学生的主动学习积极性，提高课堂互动性。

七、教学案例分析1. 通过分析具体案例，让学生理解导数在实际问题中的应用，例如在物理学中的速度、加速度的计算。

《函数的极值与导数》教案完美版第一章：极值的概念与性质1.1 极值的定义引入极值的概念，解释函数在某一点的局部性质。

通过图形和实例直观展示极值的存在。

1.2 极值的判定条件介绍函数的导数与极值的关系，讲解导数为零的必要性和充分性。

分析导数为正和导数为负时函数的单调性，得出极值的判定条件。

1.3 极值的判定定理介绍罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理在极值判定中的应用。

证明极值的判定定理，并通过实例进行验证。

第二章：导数与函数的单调性2.1 导数的定义与计算引入导数的概念，解释导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

讲解导数的计算规则，包括常数函数、幂函数、指数函数和三角函数的导数。

2.2 导数与函数的单调性分析导数正负与函数单调性的关系，得出单调递增和单调递减的定义。

通过实例和图形展示导数与函数单调性的联系。

2.3 单调性的应用讲解利用单调性解决函数极值问题的方法。

分析函数的单调区间和极值点，得出函数的单调性对极值的影响。

第三章：函数的极值点与导数3.1 极值点的定义与判定引入极值点的概念，解释极值点是函数导数为零或不存在的点。

讲解极值点的判定方法，包括导数为零和导数不存在的条件。

3.2 极值点的求解方法介绍求解极值点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的极值点。

3.3 极值点的应用分析极值点在实际问题中的应用，如最优化问题。

举例说明如何利用极值点解决实际问题。

第四章：函数的拐点与导数4.1 拐点的定义与判定引入拐点的概念，解释拐点是函数导数由正变负或由负变正的点。

讲解拐点的判定方法，包括导数的正负变化和二阶导数的符号。

4.2 拐点的求解方法介绍求解拐点的方法，包括解析法和数值法。

讲解如何利用导数和图形求解函数的拐点。

4.3 拐点的应用分析拐点在实际问题中的应用，如曲线拟合和物体的运动。

举例说明如何利用拐点解决实际问题。

第五章：函数的极值与图像5.1 极值与函数图像的关系分析极值点在函数图像中的位置和特征。

函数的极值与导数一、教学目标：1. 理解极值的概念，掌握求函数极值的方法。

2. 掌握导数的定义，了解导数与函数极值的关系。

3. 能够运用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

二、教学内容：1. 极值的概念：局部最小值、局部最大值、全局最小值、全局最大值。

2. 求函数极值的方法：（1）利用导数求极值；（2）利用二阶导数判断极值类型；（3）利用图像观察极值。

3. 导数的定义：函数在某一点的导数表示函数在该点的切线斜率。

4. 导数与函数极值的关系：（1）函数在极值点处的导数为0；（2）函数在极值点附近的导数符号发生变化。

5. 利用导数判断函数的单调性：（1）导数大于0，函数单调递增；（2）导数小于0，函数单调递减。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）极值的概念及求法；（2）导数的定义及求法；（3）导数与函数极值的关系；（4）利用导数判断函数的单调性。

2. 教学难点：（1）二阶导数判断极值类型；（2）利用导数解决实际问题。

四、教学方法：1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的方法；2. 使用多媒体课件辅助教学，增强直观性；3. 设置典型例题，引导学生思考、探究；4. 注重引导学生发现规律，提高学生解决问题的能力。

五、教学安排：1. 课时：本章共需4课时；2. 教学过程：第一课时：极值的概念及求法；第二课时：导数的定义及求法；第三课时：导数与函数极值的关系；第四课时：利用导数判断函数的单调性，解决实际问题。

六、教学评价：1. 课堂讲解：观察学生对极值概念、导数定义及应用的理解程度，以及他们在课堂上的参与度和提问反馈。

2. 作业练习：通过布置相关的习题，评估学生对求极值方法、导数计算和单调性判断的掌握情况。

3. 小组讨论：评估学生在小组内的合作能力和解决问题的创造性思维。

4. 课后反馈：收集学生的疑问和反馈，以便对教学方法和内容进行调整。

七、教学反思：1. 教学方法是否适合学生的学习水平，是否需要调整以提高教学效果。