2018-2019学年北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试题及答案
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第二章二次函数 单元测试 九年级下册数学北师大版一、单选题(本大题共12小题,每小题3分,共36分)1.已知抛物线22()1y x =-+,下列结论错误的是( )A .抛物线开口向上B .抛物线的对称轴为直线2x =C .抛物线的顶点坐标为(2,1)D .当2x <时,y 随x 的增大而增大 2.点A (m -1,y 1),B (m ,y 2)都在二次函数y =(x -1)2+n 的图象上.若y 1<y 2,则m 的取值范围为( )A .m>2B .32m >C .1m <D .322m <<3.如图是拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为O ,B ,以点O 为原点,水平直线OB 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可以近似看成抛物线y =-0.01(x -20)2+4,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好位于水面,且AC ⊥x 轴,若OA =5米,则桥面离水面的高度AC 为( )A .5米B .4米C .2.25米D .1.25米4.用配方法将二次函数21242y x x =--化为2()y a x h k =-+的形式为( ) A .21(2)42y x =-- B .21(1)32y x =-- C .21(2)52y x =-- D .21(2)62y x =-- 5.在平面直角坐标系中,将二次函数2y x 的图像向左平移2个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得抛物线对应的函数表达式为( )A .()221y x =-+B .()221y x =++C .()221y x =+-D .()221y x =-- 6.已知抛物线22y x kx k =+-的对称轴在y 轴右侧,现将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则k 的值是( )A .5-或2B .5-C .2D .2-7.已知二次函数2245y x x =-+,当函数值y 随x 值的增大而增大时,x 的取值范围是( )A .1x <B .1x >C .2x <D .2x >8.已知实数a ,b 满足1b a -=,则代数式2267a b a +-+的最小值等于( )A .5B .4C .3D .29.二次函数21y ax bx =++的图象与一次函数2y ax b =+在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )A .B .C .D .10.向空中发射一枚炮弹,经x 秒后的高度为y 米,且时间与高度的函数表达式为()20y ax bx c a =++≠,若此炮弹在第6秒与第13秒时的高度相等,则下列时间中炮弹所在高度最高的是( )A .第7秒B .第9秒C .第11秒D .第13秒11.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴为2x =-,下列结论正确的是( )A .a<0B .0c >C .当<2x -时,y 随x 的增大而减小D .当2x >-时,y 随x 的增大而减小12.将二次函数223y x x =-++的图象在x 轴上方的部分沿x 轴翻折后,所得新函数的图象如图所示.当直线y x b =+与新函数的图象恰有3个公共点时,b 的值为( )A .214-或3-B .134-或3-C .214或3-D .134或3-二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)13.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面在正常水位的情况下,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2m ,水面宽4m .则当水位下降m=________时,水面宽为5m ?14.根据物理学规律,如果不考虑空气阻力,以40m /s 的速度将小球沿与地面成30︒角的方向击出,小球的飞行高度h (单位:m )与飞行时间t (单位:s )之间的函数关系是2520h t t =-+,当飞行时间t 为___________s 时,小球达到最高点.15.如图,一位篮球运动员投篮,球沿抛物线20.2 2.25y x x =-++运行,然后准确落入篮筐内,已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m ,则他距篮筐中心的水平距离OH 是_________m .16.如图,正方形ABCD 的边长为2,E 为边AD 上一动点,连接CE ,以CE 为边向右侧作正方形CEFG ,连接DF ,DG ,则DFG 面积的最小值为__________.17.如图,在平面直角坐标系中,菱形ABCD 的一边AB 在x 轴上,顶点B 在x 轴正半轴上.若抛物线y =x 2﹣5x +4经过点C 、D ,则点B 的坐标为______.18.如图是二次函数2y x bx c =++的图像,该函数的最小值是__________.19.如图,抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴交于点()1,0-和点()2,0,以下结论:⊥<0abc ;⊥420a b c -+<;⊥0a b +=;⊥当12x <时,y 随x 的增大而减小.其中正确的结论有___________.(填写代表正确结论的序号)20.如图,以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时,小球的飞行路线是一条抛物线.若不考虑空气阻力,小球的飞行高度h (单位:m )与飞行时间t (单位:s )之间具有函数关系:2520h t t =-+,则当小球飞行高度达到最高时,飞行时间t =_________s .三、解答题(本大题共5小题,每小题8分,共40分)21.某超市销售一种衬衫,平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了扩大销售,加盈利,该超市准备适当降价,经过一段时间测算,发现每件衬衫每降低1元,平均每天可多售出2件.(1)若每件衬衫降价4元时,平均每天可售出多少件衬衫?此时每天销售获利多少元?(2)在每件盈利不少于25元的前提下,要使该衬衫每天销售获利为1200元,同每件衬衫应降价多少元?(3)该衬衫每天的销售获利能达到1300元吗?如果能,请写出降价方案,如果不能,请说明理由.22.为增加农民收入,助力乡村振兴.某驻村干部指导农户进行草莓种植和销售,已知草莓的种植成本为8元/千克,经市场调查发现,今年五一期间草莓的销售量y (千克)与销售单价x (元/千克)(8≤x ≤40)满足的函数图象如图所示.(1)根据图象信息,求y 与x 的函数关系式;(2)求五一期间销售草莓获得的最大利润.23.2022年北京冬奥会即将召开,激起了人们对冰雪运动的极大热情.如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图,取某一位置的水平线为x 轴,过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴,建立平面直角坐标系.图中的抛物线2117C :1126y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡,某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出,滑出后沿一段抛物线221:8C y x bx c =-++运动.(1)当运动员运动到离A 处的水平距离为4米时,离水平线的高度为8米,求抛物线2C 的函数解析式(不要求写出自变量x 的取值范围);(2)在(1)的条件下,当运动员运动水平线的水平距离为多少米时,运动员与小山坡的竖直距离为1米? (3)当运动员运动到坡顶正上方,且与坡顶距离超过3米时,求b 的取值范围.24.已知二次函数2243y x x =-+的图像为抛物线C .(1)抛物线C 顶点坐标为______;(2)将抛物线C 先向左平移1个单位长度,再向上平移2个单位长度,得到抛物线1C ,请判断抛物线1C 是否经过点()2,3P ,并说明理由;(3)当23x -≤≤时,求该二次函数的函数值y 的取值范围.25.如图,抛物线y =x 2+x ﹣2与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C .(1)求点A,点B和点C的坐标;(2)抛物线的对称轴上有一动点P,求PB+PC的值最小时的点P的坐标.参考答案:1.D2.B3.C4.D5.B6.B7.B8.A9.A10.B11.C12.A13.1.12514.215.416.3217.(2,0)18.4-19.⊥⊥⊥20.221.(1)平均每天可售出28件衬衫,此时每天销售获利1008元.(2)每件衬衫应降价10元.(3)不能,22.(1)3216(832)120(3240)x x y x -+≤≤⎧=⎨≤⎩<;(2)最大利润为3840元 23.(1)213482y x x =-++;(2)12米;(3)3524b ≥. 24.(1)()1,1(2)不经过,(3)119y≤≤25.(1)A(﹣2,0),B(1,0),C(0,﹣2).(2)P(12-,12-)。
北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试及答案(时间:90分钟,满分:100分) 一、选择题(每题3分,共36分)1.下列关系式中,属于二次函数的是(x 为自变量)( )A. B.C. D.2.抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( )A. 直线3-=xB. 直线3=xC. 直线2-=xD. 直线2=x3. 抛物线y = a(x+1)2 -2与x 轴交于点(-3,0),则该抛物线与x 轴另一交点的坐标是( )A 、(21,0) B 、(1,0) C 、(2,0) D 、(3,0)4. (08绍兴)已知点11()x y ,,22()x y ,均在抛物线21y x =-上,下列说法中正确的是( )A .若12y y =,则12x x =B .若12x x =-,则12y y =-C .若120x x <<,则12y y >D .若120x x <<,则12y y >5. 已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则下列结论中,正确的是( ) A. ab>0,c>0 B. ab>0,c<0 C. ab<0,c>0 D. ab<0,c<06. 二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示,则点在 第___象限 ( ) A. 一 B. 二 C. 三D. 四7. 如图所示,已知二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图象的顶点P 的横坐标是4,图象交x 轴于点A(m ,0)和点B ,且m>4,那么AB 的长是( ) A. 4+m B. m C. 2m-8 D. 8-2m8. 若一次函数y=ax+b 的图象经过第二、三、四象限,则二次函数y=ax 2+bx 的图象只可能是( )9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示,抛物线的对称轴为直线x= -1,P 1(x 1,y 1),P 2(x 2,y 2)是抛物线上的点,P 3(x 3,y 3)是直线 上的点,且-1<x 1<x 2,x 3<-1,则y 1,y 2,y 3的大小关系是( ) A. y 1<y 2<y 3 B. y 2<y 3<y 1 C.10.把y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 抛物线的图象向左平移2个单位,再向上平移3个单位,所得的抛物线的函数关系式是( ) A. B. C.D.11.下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数cx c a ax y +++=)(2与一次函数c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( )OxyAO xyBO xyCOxyD北师大版九年级下册第二章二次函数单元测试12.二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( )A. 0>M ,0>N ,0>PB. 0<M ,0>N ,0>PC. 0>M ,0<N ,0>PD. 0<M ,0>N ,0<P一选择题(每题3分,共36分)二、填空题(每题4分,共24分)13. 二次函数y=x 2-2x+1的对称轴方程是______________.14. 若将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=(x-h)2+k 的形式,则y=________.15. 抛物线y=x 2+bx+c ,经过A(-1,0),B(3,0)两点,则这条抛物线的解析式为_____________.16. 若二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点(-2,8),且一元二次方程ax 2+bx+c=0的根为-1和2,则该二次函数的解析关系式为 ___________17. 试写出一个开口方向向上,对称轴为直线x=2,且与y 轴的交点坐标为(0,3)的抛物线的解析式为______________.18. (2009年甘肃庆阳)图12为二次函数2y ax bx c =++的图象,给出下列说法:①0ab <;②方程20ax bx c ++=的根为1213x x =-=,;③0a b c ++>;④当1x >时,y 随x 值的增大而增大;⑤当0y >时,13x -<<.其中,正确的说法有 .(请写出所有正确说法的序号)三.解答题19.已知二次函数图象与x 轴交点(2,0)(-1,0)与y 轴交点是(0,-1)求解析式及顶点坐标。
2019年春北师大版九年级数学下册《第2章二次函数》单元测试卷一•选择题(共10小题,满分30分,每小题3分)1. 抛物线y= 3 (x- 1) 2+1的顶点坐标是( )A. (1,1)B. (- 1,1)C. (- 1,- 1)D. (1,- 1)2. 将抛物线y=「x2-6x+21向左平移2个单位后,得到新抛物线的解析式为( )i 2 i 2A . y= .. (x- 8) +5 B. y= , (X- 4) +51 2 1 2C. (x-8) +3D. y^— (x-4) +33. 当-2<x< 1时,关于x的二次函数y=-(x- m) 2+m2+1有最大值4,则实数m的值为( )A . 2B . 2 或:C . 2 或 :或 .D . 2 或一•或;24. 在同一平面直角坐标系中,一次函数y= ax+b和二次函数y= ax +bx+c的图象可能为5. 已知抛物线y=x2- 8x+c的顶点在x轴上,则c等于( )A . 4B . 8 C. - 4 D . 166. 对于函数y= 5x2,下列结论正确的是( )A. y随x的增大而增大B. 图象开口向下C .图象关于y轴对称D.无论x取何值,y的值总是正的7. 抛物线y= ax2+bx+c (a^ 0)图象如图所示,下列结论错误的是( )9.图2是图1中拱形大桥的示意图,桥拱与桥面的交点为 O , B ,以点0为原点,水平直线0B 为x 轴,建立平面直角坐标系,桥的拱形可近似看成抛物线 y =-亍 (x-80) 2+16,桥拱与桥墩AC 的交点C 恰好在水面,有AC 丄x 轴,若0A = 10米,则Q 17 7 1S A .16 ..米 B .:米 C 16 ..米 D .:米10. 二次函数y = ax 2+bx+c (a ^0)的部分图象如图,图象过点(-1, 0),对称轴为 直线x = 2,下2C . b+8a >4acD . 2a+b >08. 抛物线y = ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示, 那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的C .( 2, 0)D . ( 3,0)(1,0)桥面离水面的高度AC 为( )列结论:①4a+b= 0;②9a+c> 3b;③8a+7b+2c> 0;④当x>- 1时,y的值随x值的增大而增大.其中正确的结论有(C. 3个二.填空题(共8小题,满分24分,每小题3分)11. 若关于x的方程x2-(k+2)x+2k- 1 = 0 一根小于1、另一根大于1,则k的取值范围是_______ .12. 某厂今年一月份新产品的研发资金为a元,以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x,则该厂今年三月份新产品的研发资金y (元)关于x的函数关系式为y= _____ .13. ___________________________________ 将抛物线y= a (x-h)2+k向左平移2个单位长度,再向下平移3个单位长度,得到抛物线y= 2 (x- 2)2+4,贝U a = ,h= _________________________________ ,k= ______ .14. 如图,抛物线y=- X2+2X+4与y轴交于点C,点D (0,2),点M是抛物线上的动点.若△ MCD是以CD为底的等腰三角形,则点M的坐标为__________ .15. 飞机着陆后滑行的距离S (单位:米)与滑行的时间t (单位:秒)之间的函数关系式是s= 60t- 1.2t2,那么飞机着陆后滑行________ 秒停下.16. 已知关于x的二次函数y= ax2+ (a2- 1)x- a的图象与x轴的一个交点坐标为(m,0).若-4v m v- 3,则a的取值范围是______________17. ________ 已知关于x的方程x2- 4x+3- a= 0在O v x v4范围内均有两个根,则a的取值范围是__ .18. 抛物线与x轴交于A (- 1, 0), B (4, 0),与y轴交于点C,且/ ACB= 90°,则抛物线的解析式为________ .三•解答题(共8小题,满分66分)19. (7分)已知抛物线y=- x1 2 3+bx+c与直线y=- 4x+m相交于第一象限不同的两点,A(5,n),B(e,f)(1)若点B的坐标为(3,9),求此抛物线的解析式;(2)将此抛物线平移,设平移后的抛物线为y=- x2+px+q,过点A与点(1, 2),且2m-q = 25,在平移过程中,若抛物线y=- x+bx+c向下平移了S (S>0)个单位长度,求S的取值范围.20. (7分)某水果销售商发现一种高档水果市场需求量较大,经过市场调查发现月销售量y (箱)与销售单价为x (元/箱)之间的函数关系式为y=- x+800,而这种水果的进价z (兀/箱)与进货量y (箱)之间的函数关系式为z=-= y+400 (假定:进货5量二销售量),已知每月为此支付员工工资和场地租金等费用总计20000元.(1)求月获利w (元)与x之间的函数关系式;(2)当销售单价x为何值时,月获利最大?并求出这个最大值.21. (8分)某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件.(1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为_______ 件;1求二次函数解析式,并写出顶点坐标;2在直角坐标系中画出该抛物线的图象;3若该抛物线上两点A (X1,y1)、B (x2,y2)的横坐标满足X1<X2<- 1,试比较y1与y2的大小,并说明理由.(2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润.22. (8分)已知二次函数y= ax2+bx (a z0)中自变量x和函数值y的部分对应值如下表:有一个窗户形状如图1, 上部是一个半圆,下部是一个矩形,如果制作窗框的材料总长 为6m ,如何设计这个窗户,使透光面积最大?这个例题的答案是:当窗户半圆的半径约为 0.35m 时,透光面积的最大值约为1.05m 2. 我们如果改变这个窗户的形状,上部改为由两个正方形组成的矩形,如图 2,材料总长仍为6m,利用图3,解答下列问题: (1)若AB 为1m ,求此时窗户的透光面积.(2)与课本中的例题比较,改变窗户形状后,窗户透光面积的最大值有没有变大?请通过计算说明.24. (8分)小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各 50盆.售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元.调研发现:① 盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润 增加2元;② 花卉的平均每盆利润始终不变.小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x 盆,第二期盆 景与花卉售完后的利润分别为 W 1,W (单位:元).23.(8分)如图,课本中有一个例题;®1(1)用含x的代数式分别表示W l, W2;(2)当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?25. (10分)在美化校园的活动中,某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD (篱笆只围AB, BC两边),设AB =xm. (1)若花园的面积为192m2,求x的值;(2)若在P处有一棵树与墙CD,AD的距离分别是15m和6m,要将这棵树围在花园内(含边界,不考虑树的粗细),求花园面积S的最大值.Cl --------------------------- B26. (10分)已知抛物线L:讨=、一 x2+bx-2与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左侧),并与y轴相交于点C.且点A的坐标是(-1,0).(1)求该抛物线的函数表达式及顶点D的坐标;(2)判断△ ABC的形状,并求出厶ABC的面积;(3)将抛物线向左或向右平移,得到抛物线LL'与x轴相交于A'、B'两点(点A 在点B'的左侧),并与y轴相交于点C',要使△ AB。
第二章 二次函数一、选择题(本大题共8小题,每小题4分,共32分;在每小题列出的四个选项中,只有一项符合题意)1.下列函数中,y 是关于x 的二次函数的是( ) A .y =ax 2+bx +c B .y =x (x -1)C .y =1x2 D .y =(x -1)2-x 22.对于二次函数y =(x -1)2+2的图象,下列说法正确的是( ) A .开口向下 B .对称轴是直线x =-1C .顶点坐标是(1,2)D .与x 轴有两个交点3.已知二次函数y =x 2-6x +m 的最小值是-3,那么m 的值等于( ) A .10 B .4 C .5 D .64.如图2-Z -1,二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴相交于(-2,0)和(4,0)两点,当函数值y >0时,自变量x 的取值范围是( )图2-Z -1A .x <-2B .-2<x <4C .x >0D .x >45.2+bx +c 中,y 与x 的部分对应值如下:则一元二次方程ax +bx +c =0的一个根x 满足条件( ) A .1.2<x <1.3 B .1.3<x <1.4 C .1.4<x <1.5 D .1.5<x <1.66.二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图2-Z -2所示,则一次函数y =bx +a 的图象不经过( )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限图2-Z -27.如图2-Z -3是二次函数y =ax 2+bx +c 的图象的一部分,图象过点A (-3,0),对称轴为直线x =-1,给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a +b +c >0;④若点B ⎝⎛⎭⎫-52,y 1,C ⎝⎛⎭⎫-12,y 2为函数图象上的两点,则y 1<y 2.其中正确的是( )图2-Z-3A.②④B.①④C.①③D.②③8.如图2-Z-4,正三角形ABC的边长为4,P为BC边上的任意一点(不与点B,C 重合),且∠APD=60°,PD交AB于点D.设BP=x,BD=y,则y关于x的函数图象大致是()图2-Z-4图2-Z-5二、填空题(本大题共5小题,每小题4分,共20分)9.将抛物线y=-2x2先向下平移3个单位长度,再向左平移1个单位长度,得到的抛物线的函数表达式是______________.10.已知抛物线y=x2-2x-3,若点P(3,0)与点Q关于该抛物线的对称轴对称,则点Q的坐标是________.11.已知A(4,y1),B(-4,y2)是抛物线y=(x+3)2-2上的两点,则y1________y2.(填“>”“<”或“=”)12.如图2-Z-6是某地一座抛物线形拱桥,桥拱在竖直平面内,与水平桥面相交于A,B两点,桥拱最高点C到AB的距离为4 m,AB=12 m,D,E为拱桥底部的两点,且DE ∥AB,点E到直线AB的距离为5 m,则DE的长为________m.图2-Z-613.二次函数y=x2-2x-3的图象如图2-Z-7所示,若线段AB在x轴上,且AB为23个单位长度,以AB为边作等边三角形ABC,使点C落在该函数在y轴右侧的图象上,则点C的坐标为________.图2-Z-7三、解答题(本大题共4小题,共48分)14.(10分)如图2-Z-8,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+2过B(-2,6),C(2,2)两点.(1)试求抛物线的表达式;(2)记抛物线与y轴的交点为D,求△BCD的面积.图2-Z-815.(12分)“扬州漆器”名扬天下,某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒,成本为30元/件,每天的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间存在一次函数关系,如图2-Z-9所示.(1)求y与x之间的函数关系式(不用写自变量x的取值范围);(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件,当销售单价为多少元/件时,每天获取的利润最大,最大利润是多少?(3)该网店店主热心公益事业,决定从每天的销售利润中捐出150元给希望工程,为了保证捐款后每天剩余利润不低于3600元,试确定该漆器笔筒销售单价的范围.图2-Z-916.(12分)如图2-Z -10,在直角坐标系中,已知点A (8,0),B (0,6),点P 由点B 出发沿BA 方向向点A 做匀速直线运动,速度为每秒3个单位长度,点Q 由点A 出发沿AO (O 为坐标原点)方向向点O 做匀速直线运动,速度为每秒2个单位长度,连接PQ .若设运动时间为t (0<t <103)秒,解答下列问题:(1)当t 为何值时,△APQ 与△ABO 相似?(2)设△AQP 的面积为S ,求S 与t 之间的函数关系式,并求出S 的最大值.图2-Z -1017.(14分)如图2-Z -11,已知抛物线y =x 2+bx +c 与x 轴交于点A ,B ,与y 轴交于点C ,对称轴为直线x =2,AB =2.(1)求抛物线的函数表达式;(2)设P 为对称轴上一动点,求△APC 的周长的最小值;(3)设D 为抛物线上一点,E 为对称轴上一点,若以点A ,B ,D ,E 为顶点的四边形是菱形,则点D 的坐标为________.图2-Z -11详解详析1.[解析] B A .当a =0时,y =bx +c 不是二次函数;B.y =x (x -1)=x 2-x 是二次函数;C.y =1x2不是二次函数;D.y =(x -1)2-x 2=-2x +1为一次函数.故选B.2.[答案] C3.[解析] D 原二次函数可化为y =(x -3)2-9+m ,∵函数的最小值是-3,∴-9+m =-3,∴m =6.故选D.4.[解析] B ∵二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴交于(-2,0)和(4,0)两点,函数图象开口向下,∴函数值y >0时,自变量x 的取值范围是-2<x <4,故选B.5.[解析] C 由表可以看出,当x 取1.4与1.5之间的某个数时,y =0,即这个数是关于x 的一元一次方程ax 2+bx +c =0的一个根.则一元二次方程ax 2+bx +c =0的一个根x 的取值范围为1.4<x <1.5. 故选C. 6.[答案] D7.[解析] B ①由抛物线与x 轴有两个交点,知b 2-4ac >0,所以①正确.②因为对称轴为直线x =-1,所以-b2a=-1,即2a -b =0,所以②错误.因为抛物线经过点A (-3,0),对称轴为直线x =-1,所以抛物线与x 轴的另一个交点坐标为(1,0),于是有a +b +c =0,所以③错误.④点B ⎝⎛⎭⎫-52,y 1在对称轴左侧1.5个单位长度处,点C ⎝⎛⎭⎫-12,y 2在对称轴右侧0.5个单位长度处,找出相应的点,显然y 1<y 2,所以④正确.故选B.8.[解析] C ∵△ABC 是正三角形,∴∠B =∠C =60°,∵∠BPD +∠APD =∠C +∠CAP ,∠APD =60°,∴∠BPD =∠CAP ,∴△BPD ∽△CAP ,∴BP ∶AC =BD ∶PC .∵正三角形ABC 的边长为4,BP =x ,BD =y ,∴x ∶4=y ∶(4-x ),∴y =-14x 2+x .故选C.9.[答案] y =-2(x +1)2-3 10.[答案] (-1,0) 11.[答案] >[解析] 由y =(x +3)2-2可知抛物线的对称轴为直线x =-3.∵抛物线开口向上,而点A (4,y 1)到对称轴的距离比点B (-4,y 2)到对称轴的距离远, ∴y 1>y 2.12.[答案] 18[解析] 如图所示,建立平面直角坐标系,x 轴在直线DE 上,y 轴经过最高点C . 设AB 与y 轴交于点H , ∵AB =12,∴AH =BH =6, 由题可知:OH =5,CH =4, ∴OC =5+4=9,∴B (6,5),C (0,9).设该抛物线的表达式为y =ax 2+k , ∵顶点为C (0,9), ∴y =ax 2+9.把B (6,5)代入,得5=36a +9,解得a =-19,∴抛物线的表达式为y =-19x 2+9.当y =0时,0=-19x 2+9,解得x =±9,∴E (9,0),D (-9,0), ∴OE =OD =9,∴DE =OD +OE =9+9=18(m). 故答案为18.13.[答案] (1+7,3)或(2,-3)[解析] ∵△ABC 是等边三角形,且AB =2 3,∴AB 边上的高为3.又∵点C 在二次函数的图象上,∴点C 的纵坐标为±3.将y =±3代入y =x 2-2x -3,得x =1±7或0或2.∵点C 落在该函数在y 轴右侧的图象上,∴x >0,∴x =1+7或2,∴点C 的坐标为(1+7,3)或(2,-3).14.解:(1)由题意得⎩⎨⎧4a -2b +2=6,4a +2b +2=2,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =12,b =-1.∴抛物线的表达式为y =12x 2-x +2.(2)当x =0时,y =2,故点D 的坐标为(0,2).连接BD ,CD ,BC . ∵C ,D 两点的纵坐标相同, ∴CD ∥x 轴,∴点B 到CD 的距离为6-2=4. ∵CD =2-0=2, ∴S △BCD =12×2×4=4.15.[解析] (1)可用待定系数法来确定y 与x 之间的函数关系式;(2)根据利润=销售量×单件的利润,然后将(1)中的函数关系式代入其中,求出利润和销售单价之间的关系式,然后根据其性质来判断出最大利润;(3)首先得出w -150与x 之间的函数关系式,进而利用所获利润等于3600元时,求得对应的x 值,根据增减性,求出x 的取值范围.解:(1)由题意得⎩⎨⎧40k +b =300,55k +b =150,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =-10,b =700.故y 与x 之间的函数关系式为y =-10x +700,(2)由题意,得-10x +700≥240,解得x ≤46.设每天获取的利润为w 元,则w =(x -30)·y =(x -30)(-10x +700)=-10x 2+1000x -21000=-10(x -50)2+4000. ∵-10<0,∴当x <50时,w 随x 的增大而增大,∴当x =46时,w 最大=-10×(46-50)2+4000=3840.答:当销售单价为46元/件时,每天获取的利润最大,最大利润是3840元. (3)令w ′=w -150=-10x 2+1000x -21000-150=3600, -10(x -50)2=-250, x -50=±5, x 1=55,x 2=45.如图所示,由图象得当45≤x ≤55时,捐款后每天剩余利润不低于3600元.16.解:(1)在Rt △ABO 中,由勾股定理得:AB =OA 2+OB 2=10. ①当P A AB =AQOA 时,△APQ ∽△ABO ,即10-3t 10=2t 8,解得t =2011; ②当AP OA =AQAB 时,△APQ ∽△AOB ,即10-3t 8=2t 10,解得t =5023. 综上所述,当t =2011或t =5023时,△APQ 与△ABO 相似.(2)如图所示,过点P 作PD ⊥x 轴于点D .∵PD ⊥x 轴,OB ⊥x 轴,∴OB ∥PD , ∴AP AB =PDOB , 即10-3t 10=PD6,∴PD =6-95t .由三角形的面积公式可知:S =12AQ ·PD =12·2t ·(6-95t )=6t -95t 2,∴S 与t 之间的函数关系式为S =-95t 2+6t (0<t <103).∵S =-95t 2+6t =-95(t -53)2+5,∴当t =53时,S 有最大值,最大值为5.17.解:(1)∵AB =2,对称轴为直线x =2, ∴点A 的坐标为(1,0),点B 的坐标为(3,0). 把A ,B 两点的坐标代入y =x 2+bx +c 中,得⎩⎨⎧1+b +c =0,9+3b +c =0, 解得⎩⎨⎧b =-4,c =3,∴抛物线的函数表达式为y =x 2-4x +3.(2)连接AC ,BC ,BC 交对称轴于点P ,连接P A (如图).由(1)知抛物线的函数表达式为y =x -4x +3,点A ,B 的坐标分别为(1,0),(3,0), ∴点C 的坐标为(0,3),∴BC =32+32=3 2,AC =32+12=10.∵点A ,B 关于对称轴直线x =2对称, ∴P A =PB ,∴P A +PC =PB +PC ,此时PB +PC =BC ,∴当点P 在对称轴上运动时,P A +PC 的最小值等于BC , ∴△APC 的周长的最小值=AC +P A +PC =BC +AC =3 2+10. (3)(2,-1)。
第二章二次函数单元检测试题(满分120分;时间:120分钟)一、选择题(本题共计10 小题,每题3 分,共计30分,)1. 下例函数中是二次函数的有()①;②;③;④.A.个B.个C.个D.个2. 抛物线与的图象,开口较大的是()A. B. C.同样大 D.无法确定3. 抛物线的顶点坐标是A. B. C. D.4. 函数的图象大致为( )A. B.C. D.5. 下列关于二次函数的图象与轴交点的判断,正确的是A.只有一个交点,且它位于轴的右侧B.只有一个交点,且它位于轴的左侧C.有两个交点,且它们位于轴的两侧D.有两个交点,且它们位于轴的右侧6. 若将二次函数=的图象向上平移个单位长度,再向右平移个单位长度,则平移后的二次函数的顶点坐标为()A. B. C. D.7. 已知二次函数的图象如图所示,那么下列判断中①;②;③;④;⑤正确的个数是()A. B. C. D.8. 点,的坐标分别为和,抛物线的顶点在线段上运动时,形状保持不变,且与轴交于,两点(在的左侧),给出下列结论:①;②当时,随的增大而增大;③若点的横坐标最大值为,则点的横坐标最小值为;④当四边形为平行四边形时,.其中正确的是( )A.②④B.②③C.①③④D.①②④9. 已知两点、均在抛物线上,点是该抛物线的顶点,若,则的取值范围是()A. B. C. D.10. 在平面直角坐标系中,某二次函数图像的顶点为,此函数图像与轴交于,两点(点在点左侧),且.若此函致图像经过,,,四点,则实数,,,中为负数的是( )A. B. C. D.二、填空题(本题共计10 小题,每题3 分,共计30分,)11. 将二次函数的图象向右平移个单位,再向上平移个单位后,顶点恰好在直线上,则的值为________.12. 二次函数有最大值,则的值是________.13. 若二次函数的最低点的纵坐标是,则的值是________.14. 二次函数的图象如图所示,则它的解析式为________,如果另一个函数图象与该图象关于轴对称,那么它的解析式是________.15. 用厘米的铁丝,折成一个长方形框架,设长方形的一边长为厘米,则另一边长为________,长方形的面积________.16. 将二次函数化成的形式为________.17. 如图是一个横截面为抛物线形拱桥,当拱顶高水面时,水面宽.如图所示建立在平面直角坐标系中,则抛物线的解析式是________.18. 某商人将进价为每件元的某种商品按每件元出售,每天可销出件,经试验,把这种商品每件每提价元,每天的销售量就会减少件,则每天所得的利润(元)与售价(元/件)之间的函数关系式为:________.19. 如图,用长米的篱笆,靠墙围成一个长方形场地,在表示场地面积时,可以设为米,也可以选择________为米,相应地面积的解析式为________或________20. 用“描点法”画二次函数=的图象时,列出了如下表格:……=……那么该二次函数在=时,=________.三、解答题(本题共计6 小题,共计60分,)21. 已知抛物线(1)若,,求该抛物线与轴公共点的坐标;(2)若,且当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,利用函数图象求的取值范围.22. 已知一抛物线与轴轴的交点分别是、且经过点.(1)求抛物线的解析式;(2)求抛物线的对称轴和顶点坐标.23. 如图,某学生推铅球,铅球出手(点处)的高度是,出手后的铅球沿一段抛物线运行,当运行到最高时,水平距离.求这个二次函数的解析式;该男同学把铅球推出去多远?24. 抛物线和反比例函数的图象如图所示利用图象解答:(1)方程的解(2)取何值时.25. 二次函数的图象如图所示,根据图象解答下列问题:(1)写出方程的两个根;(2)写出不等式的解集;(3)写出随的增大而增大的自变量的取值范围;(4)若方程没有实数根,求取值范围.26. 某贸易公司购进“长青”胶州大白菜,进价为每棵元,物价部门规定其销售单价每棵不得超过元,也不得低于元.经调查发现:日均销售量(棵)与销售单价(元/棵)满足一次函数关系,并且每棵售价元时,日均销售棵;每棵售价元时,日均销售棵.(1)求日均销售量与销售单价的函数关系式;(2)在销售过程中,每天还要支出其他费用元,求销售利润(元)与销售单价之间的函数关系式;并求当销售单价为何值时,可获得最大的销售利润?最大销售利润是多少?参考答案一、选择题(本题共计10 小题,每题 3 分,共计30分)1.【答案】B【解答】解:②;③是二次函数,故选:.2.【答案】A【解答】解:抛物线与的图象中,,∵,∴抛物线的开口小于的开口,故选.3.【答案】B【解答】解:∵抛物线的解析式为,∴抛物线的顶点坐标为.故选.4.【答案】B【解答】解:∵二次项系数,∴开口方向向下,∵一次项系数,∴对称轴为轴,∵常数项,∴图象与轴交于.故选.5.【答案】D【解答】解:当时,.∵,∴,∴有两个不同的实数根,即函数与轴有两个交点.设两根分别为,则,,∴函数与轴的两个交点位于轴右侧.故选.6.【答案】B【解答】∵将二次函数=的图象向上平移个单位长度,再向右平移个单位长度,∴平移后的二次函数的解析式为:=,∴平移后的二次函数的顶点坐标为,7.【答案】A【解答】解:①、图象开口向下,与轴交于正半轴,对称轴在轴右侧,能得到:,,,,∴,故①错误;②、∵对称轴是,∴,∴,∴,故②错误;③、当时,,∴,故③正确.④、时,,∴,∵,∴,故④错误;⑤、时,,∴,∵,∴,故⑤错误;故选:.8.【答案】A【解答】解:∵点,的坐标分别为和,∴线段与轴的交点坐标为,又∵抛物线的顶点在线段上运动,抛物线与轴的交点坐标为,∴,(顶点在轴上时取“”),故①错误;∵抛物线的顶点在线段上运动,∴当时,随的增大而增大,因此,当时,随的增大而增大,故②正确;若点的横坐标最大值为,则此时对称轴为直线,根据二次函数的对称性,点的横坐标最小值为,故③错误;根据顶点坐标公式,,令,则,,根据顶点坐标公式,,∴,∴,∵四边形为平行四边形,∴,∴,解得,故④正确;综上所述,正确的结论有②④.故选.9.【答案】B【解答】解:∵点是该抛物线的顶点,,∴抛物线开口向下,当两点、都在对称轴左侧,则;当两点、在对称轴两侧,则点离对称轴要近,所以,∴.故选.10.【答案】C【解答】解:设二次函数解析式为,函数图象与轴交于,两点,对称轴为直线,且,点,的坐标分别为:,,将点的坐标代入二次函数解析式并解得:,二次函数的解析式为,将,,,代入上式逐次验证,当时,,即.故选.二、填空题(本题共计10 小题,每题 3 分,共计30分)11.【答案】【解答】解:∵二次函数的顶点坐标为,∴将的图象向右平移个单位,向上平移个单位后顶点坐标为.根据题意,得,解得.故答案是:.12.【答案】【解答】解:∵二次函数有最大值,∴,,即,整理得:,即,解得:,(不合题意舍去),则的值是:.故答案为:.13.【答案】【解答】解:二次函数的顶点横坐标为,把代入得,,整理得,解得,,.函数有最低点,舍去,故答案为.14.【答案】,【解答】解:设抛物线的解析式为,由图可知,二次函数的图象经过点,∴,解得∴;∵另一个函数的图象与该函数的图象关于轴对称,∴这个函数的关系式是.故答案为:,.15.【答案】,【解答】解:∵长方形的一边长为厘米,周长为厘米,∴另一边长为,∴长方形的面积.故填空答案:,.16.【答案】【解答】解:,所以.故答案为:.17.【答案】【解答】解:如图,建立平面直角坐标系如下,设抛物线解析式为,由图象可知该图象经过点,故,解得.则抛物线的解析式是.18.【答案】【解答】解:每件可获得的利润为元,可售出的数量为,∴,故答案为.19.【答案】或,,【解答】解:若设为,则,面积;若设为,则,面积.20.【答案】【解答】由上表可知函数图象经过点和点,∴对称轴为=,∴当=时的函数值等于当=时的函数值,∵当=时,=,∴当=时,=.三、解答题(本题共计6 小题,每题10 分,共计60分)21.【答案】解:(1)解:∵,,∴抛物线的解析式为,令,解得:或,∴抛物线与轴的交点坐标为:,(2)∵,∴解析式为.∵对称轴,∴当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,则①此公共点一定是顶点,∴,②一个交点的横坐标小于等于,另一交点的横坐标小于而大于,∴,,解得.综上所述,的取值范围是:或.【解答】解:(1)解:∵,,∴抛物线的解析式为,令,解得:或,∴抛物线与轴的交点坐标为:,(2)∵,∴解析式为.∵对称轴,∴当时,抛物线与轴有且只有一个公共点,则①此公共点一定是顶点,∴,②一个交点的横坐标小于等于,另一交点的横坐标小于而大于,∴,,解得.综上所述,的取值范围是:或.22.【答案】解:(1)设抛物线的解析式为,∵与轴的交点是,∴,∵经过,,∴,解得:,∴抛物线的解析式为;(2)抛物线的对称轴是,,顶点坐标是.【解答】解:(1)设抛物线的解析式为,∵与轴的交点是,∴,∵经过,,∴,解得:,∴抛物线的解析式为;(2)抛物线的对称轴是,,顶点坐标是.23.【答案】解:设二次函数的解析式为,把代入得:.∴.当时,,解得或(舍去).答:该男同学把铅球推出去米远.【解答】解:设二次函数的解析式为,把代入得:.∴.当时,,解得或(舍去).答:该男同学把铅球推出去米远.24.【答案】解:(1)根据图象,抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、,∴方程的解是,,;(2)观察图形可知,当,,时,.【解答】解:(1)根据图象,抛物线与反比例函数图象的交点坐标是、、,∴方程的解是,,;(2)观察图形可知,当,,时,.25.【答案】解:(1)由图象可得:,;(2)结合图象可得:或时,,即当或时,;(3)根据图象可得当时,随的增大而减小;(4)根据图象可得,时,方程没有实数根.【解答】解:(1)由图象可得:,;(2)结合图象可得:或时,,即当或时,;(3)根据图象可得当时,随的增大而减小;(4)根据图象可得,时,方程没有实数根.26.【答案】解:(1)设一次函数解析式为设一次函数解析式为,把,分别代入上式得,,解得.故,.(2)根据题意得.当时取得最大值,为元.【解答】解:(1)设一次函数解析式为设一次函数解析式为,把,分别代入上式得,,解得.故,.(2)根据题意得.当时取得最大值,为元.。
北师大版九年级数学下册第二章 二次函数单元测试训练卷一、选择题(共8小题,4*8=32)1. 下列函数中,不是二次函数的是( )A .y =1-2x 2B .y =2(x -1)2+4C .y =12(x -1)(x +4) D .y =(x -2)2-x 2 2. 如图是有相同对称轴的两条抛物线,下列关系不正确的是( )A .h =mB .k =nC .k >nD .h <0,k >03. 已知二次函数y =x 2-4x +a ,下列说法错误的是( )A .当x<1时,y 随x 的增大而减小B .若图象与x 轴有交点,则a≤4C .当a =3时,不等式x 2-4x +3>0的解集是1<x<3D .若将图象向上平移1个单位,再向左平移3个单位后过点(1,-2),则a =-34. 下列关于二次函数的说法错误的是( )A .抛物线y =-2x 2+12x +1的对称轴是直线x =3B .对于抛物线y =x 2-2x -3,点A(3,0)不在它的图象上C .二次函数y =(x +3)2-3的顶点坐标是(-3,-3)D .函数y =2x 2+4x -3的图象的最低点是(-1,-5)5. 点P(m ,n)在以y 轴为对称轴的二次函数y =x 2+ax +4的图像上.则m -n 的最大值等于( )A .154B .4C .-154D .-1746. 函数y =ax +b 和y =ax 2+bx +c 在同一直角坐标系内的图象可能是( )7. 如图是抛物线y =ax 2+bx +c(a≠0)的部分图象,其顶点坐标为(1,n),且与x 轴的一个交点在点(3,0)和(4,0)之间.则下列结论:①a -b +c >0;②3a +b =0;③b 2=4a(c -n);④一元二次方程ax 2+bx +c =n -1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .48. 如图,已知△ABC 为等边三角形,AB =2,点D 为边AB 上一点,过点D 作DE ∥AC ,交BC 于E 点;过E 点作EF ⊥DE ,交AB 的延长线于F 点.设AD =x ,△DEF 的面积为y ,则能大致反映y 与x 函数关系的图象是( )二.填空题(共6小题,4*6=24)9.抛物线y =-x 2+15有最________点,其坐标是________.10. 若二次函数y =x 2+2x +a 的图象与x 轴有两个不同的交点,则a 的取值范围是__________.11. 如图,已知二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是直线x =1,过抛物线上两点的直线AB 平行于x 轴,若点A 的坐标为⎝⎛⎭⎫0,32,则点B 的坐标为 .12. 已知二次函数y =x 2+2mx +2,当x>2时,y 随x 的增大而增大,则实数m 的取值范围是________.13. 抛物线y =ax 2+bx +c 经过点A(-3,0),对称轴是直线x =-1,则a +b +c =________.14. 如图,二次函数y =ax 2+bx +c 的对称轴在y 轴的右侧,其图象与x 轴交于点A(-1,0),点C(x 2,0),且与y 轴交于点B(0,-2),小强得到以下结论:①0<a <2;②-1<b <0;③c=-1;④当|a|=|b|时,x2>5-1.以上结论中,正确的结论序号是________.三.解答题(共5小题,44分)15.(6分) 已知抛物线y=ax2+bx-3(a≠0)经过点(-1,0),(3,0),求a,b的值.16.(8分)如图,直线y=x+m和抛物线y=x2+bx+c都经过点A(1,0),B(3,2).(1)求m的值和抛物线的表达式;(2)求不等式x2+bx+c>x+m的解集.(直接写出答案)17.(8分) 抛物线y=-x2+bx+c的对称轴为直线x=2,且顶点在x轴上.(1)求b、c的值;(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出抛物线并写出它与y轴的交点C的坐标;(3)根据图像直接写出:点C关于直线x=2的对称点D的坐标为________;若E(m,n)为抛物线上一点,则点E关于直线x=2的对称点的坐标为________(用含m、n的式子表示).18.(10分) 如图,二次函数y=(x-2)2+m的图象与y轴交于点C,点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点.已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A(1,0)及点B.(1)求二次函数与一次函数的表达式;(2)根据图象,写出满足kx+b≥(x-2)2+m的x的取值范围.19.(12分) 如图是某同学正在设计的一动画示意图,x轴上依次有A,O,N三个点,且AO=2,在ON上方有五个台阶T1~T5(各拐角均为90°),每个台阶的高、宽分别是1和1.5,台阶T1到x轴的距离OK=10.从点A处向右上方沿抛物线L:y=-x2+4x+12发出一个带光的点P.(1)求点A的横坐标,且在图中补画出y轴,并指出点P会落在哪个台阶上;(2)当点P落到台阶上后立即弹起,又形成了另一条与L形状相同的抛物线C,且最大高度为11,求C的表达式,并说明其对称轴是否与台阶T5有交点;(3)在x轴上从左到右有两点D,E,且DE=1,从点E向上作EB⊥x轴,且BE=2.在△BDE 沿x轴左右平移时,必须保证(2)中沿抛物线C下落的点P能落在边BD(包括端点)上,则点B横坐标的最大值比最小值大多少?[注:(2)中不必写x的取值范围]参考答案1-4 DBCB 5-8CCCA9.高,(0,15)10.a <111.⎝⎛⎭⎫2,32 12.m≥-213.014.①④15.解:把(-1,0),(3,0)分别代入y =ax 2+bx -3,得⎩⎪⎨⎪⎧0=a -b -3,0=9a +3b -3,解得⎩⎪⎨⎪⎧a =1,b =-2. 即a 的值为1,b 的值为-2.16.解: (1)∵直线y =x +m 经过点A(1,0),∴0=1+m .∴m =-1.∴y =x -1.∵抛物线y =x 2+bx +c 经过点A(1,0),B(3,2),∴⎩⎪⎨⎪⎧0=1+b +c ,2=9+3b +c ,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =-3,c =2.∴抛物线的表达式为y =x 2-3x +2 (2)x<1或x>317.解:(1)∵抛物线y =-x 2+bx +c 的对称轴为直线x =2,且顶点在x 轴上,∴顶点为(2,0).∴抛物线为y =-(x -2)2=-x 2+4x -4,∴b =4,c =-4.(2)画出抛物线如图:点C 的坐标为(0,-4).(3)(4,-4);(4-m ,n)18.(1)将点A(1,0)代入y =(x -2)2+m 中得(1-2)2+m =0,解得m =-1,所以二次函数的表达式为y =(x -2)2-1.当x =0时,y =4-1=3,所以点C 坐标为(0,3),由于点C 和点B 关于对称轴对称,而抛物线的对称轴为直线x =2,所以点B 坐标为(4,3),将A(1,0),B(4,3)代入y =kx +b 中,得⎩⎪⎨⎪⎧k +b =0,4k +b =3,解得⎩⎪⎨⎪⎧k =1,b =-1.所以一次函数的表达式为y =x -1 (2)当kx +b≥(x -2)2+m 时,1≤x≤419.解:(1)对于抛物线y =-x 2+4x +12,令y =0,则-x 2+4x +12=0,解得x =-2或x =6,∵OA =2,∴A(-2,0),∴点A 的横坐标为-2.补画y 轴,如图所示,由题意知台阶T 4左边的端点坐标为(4.5,7),右边的端点为(6,7).当x =4.5时,y =9.75>7,当x =6时,y =0<7,对于y =-x 2+4x +12,当y =7时,7=-x 2+4x +12,解得x =-1或x =5,∴抛物线与台阶T 4有交点,∴点P 会落在台阶T 4上.(2)设抛物线C 的表达式为y =-x 2+bx +c ,抛物线y =-x 2+4x +12与台阶T 4的交点为R ,则R(5,7).由题意知抛物线C :y =-x 2+bx +c 经过R(5,7),最高点的纵坐标为11,∴⎩⎪⎨⎪⎧-4c -b 2-4=11,-25+5b +c =7,解得⎩⎪⎨⎪⎧b =14,c =-38或⎩⎪⎨⎪⎧b =6,c =2(舍去),∴抛物线C 的表达式为y =-x 2+14x -38,∴抛物线C 的对称轴为直线x =7,易知台阶T 5的左边的端点为(6,6),右边的端点为(7.5,6),∴抛物线C 的对称轴与台阶T 5有交点.(3)对于抛物线C :y =-x 2+14x -38,令y =0,得到-x 2+14x -38=0,解得x =7+11或x =7-11(舍去),∴抛物线C 交x 轴于(7+11,0),当y =2时,2=-x 2+14x -38,解得x =4(舍去)或x =10,∴抛物线经过(10,2),在Rt △BDE 中,∠DEB =90°,DE =1,BE =2,∴当点D 与(7+11,0)重合时,点B 的横坐标最大,最大值为8+11,当点B 与(10,2)重合时,点B 的横坐标最小,最小值为10,∴点B 横坐标的最大值比最小值大11-2.。
第2章二次函数一.选择题(共9小题)1.下表是满足二次函数y=ax2+bx+c的五组数据,x1是方程ax2+bx+c=0的一个解,则下列选项中正确的是()x 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4y﹣0.80 ﹣0.54 ﹣0.20 0.22 0.72A.1.6<x1<1.8 B.1.8<x1<2.0 C.2.0<x1<2.2 D.2.2<x1<2.4 2.下列函数解析式中,一定为二次函数的是()A.y=3x﹣1 B.y=ax2+bx+c C.s=2t2﹣2t+1 D.y=x2+3.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.4.如图,正方形ABCD的边长为1,E、F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合),不管E、F怎样动,始终保持AE⊥EF.设BE=x,DF=y,则y是x的函数,函数关系式是()A.y=x+1 B.y=x﹣1 C.y=x2﹣x+1 D.y=x2﹣x﹣1 5.直线y=﹣4x+1与抛物线y=x2+2x+k只有一个交点,则k的值为()A.0 B.2 C.6 D.106.下列关于抛物线y=(x﹣1)2+3的说法不正确的是()A.抛物线开口向上B.抛物线的顶点是(1,3)C.抛物线与y轴的交点是(0,3)D.当x>1时,y随x的增大而增大7.抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于点A、B(A左B右),与y轴交于点C,下列结论正确的是()A.AB=3 B.对称轴x=2C.函数最大值为﹣4 D.cos∠ABC=8.已知二次函数y=(x﹣p)(x﹣q)+2,若m,n是关于x方程(x﹣p)(x﹣q)+2=0的两个根,则实数m,n,p,q的大小关系可能是()A.m<p<q<n B.m<p<n<q C.p<m<n<q D.p<m<q<n9.已知二次函数y=(x﹣)2+1,则下列说法:①其图象的开口向上;②其图象的对称轴为直线x=﹣;③其图象顶点坐标为(,﹣1);④当x<时,y随x的增大而减小,其中说法正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个二.填空题(共14小题)10.如图,若抛物线y=ax2+h与直线y=kx+b交于A(3,m),B(﹣2,n)两点,则不等式ax2﹣b<kx﹣h的解集是.11.抛物线y=x2+bx+2与y轴交于点A,如果点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称,那么b的值是.12.若二次函数y=2(x+1)2+3的图象上有三个不同的点A(x1,4)、B(x1+x2,n)、C(x2,4),则n的值为.13.用配方法把二次函数y=2x2﹣3x+1写成y=a(x﹣h)2+k的形式为14.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大;其中结论正确有.15.二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是.16.已知二次函数y=x2﹣2x﹣2,当﹣1≤x≤4时,函数的最小值是.17.已知二次函数y=kx2﹣3x+3的图象与x轴有两个交点,则k的取值范围为.18.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,当y<3时,x的取值范围是.19.若点M(﹣3,y1),N(﹣1,y2),P(4,y3)在抛物线y=﹣x2+2x+m上,则y1,y2,y3大小顺序为.(用“<”号连接)20.如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为20m,如果水位上升3m达到警戒水位时,水面CD的宽是10m.如果水位以0.25m/h的速度上涨,那么达到警戒水位后,再过h水位达到桥拱最高点O.21.如果抛物线经过点A(﹣1,0)和点B(5,0),那么这条抛物线的对称轴是直线.22.将抛物线y=2x2向上平移2个单位,再向左平移1个单位,得到的抛物线的解析式为.23.如图,在△ABC中,BC=12,BC上的高AH=8,矩形DEFG的边EF在边BC上,顶点D、G分别在边AB、AC上.设DE=x,矩形DEFG的面积为y,那么y关于x的函数关系式是.(不需写出x的取值范围).三.解答题(共5小题)24.某网店打出促销广告:最潮新款服装30件,每件售价300元,若一次性购买不超过10件时,售价不变;若一次性购买超过10件时,每多买2件,所买的每件服装的售价均降低6元.已知该服装成本是每件200元.设顾客一次性购买服装x件时,该网店从中获利y元.(1)求y与x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.(2)顾客一次性购买多少件时,该网店从中获利最多,并求出获利的最大值?25.如图,抛物线y1=ax2+c的顶点为M,且抛物线与直线y2=kx+1相交于A、B两点,且点A在x轴上,点B的坐标为(2,3),连结AM、BM.(1)a=,c=,k=(直接写出结果);(2)当y1<y2时,则x的取值范围为(直接写出结果);(3)在直线AB下方的抛物线上是否存在一点P,使得△ABP的面积最大?若存在,求出△ABP的最大面积及点P坐标.26.如图,已知抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P是对称轴上的一个动点,当△PAC的周长最小时,直接写出点P的坐标和周长最小值;(3)为抛物线上一点,若S△QAB=8,求出此时点Q的坐标.27.5G网络比4G网络的传输速度快10倍以上,因此人们对5G产品充满期待.华为集团计划2020年元月开始销售一款5G产品.根据市场营销部的规划,该产品的销售价格将随销售月份的变化而变化.若该产品第x个月(x为正整数)销售价格为y元/台,y与x 满足如图所示的一次函数关系:且第x个月的销售数量p(万台)与x的关系为p=x+1.(1)该产品第6个月每台销售价格为元;(2)求该产品第几个月的销售额最大?该月的销售价格是多少元/台?(3)若华为董事会要求销售该产品的月销售额不低于27500万元,则预计销售部符合销售要求的是哪几个月?(4)若每销售1万台该产品需要在销售额中扣除m元推广费用,当6≤x≤8时销售利润最大值为22500万元时,求m的值.28.如图,抛物线y=ax2+5ax+c(a<0)与x轴负半轴交于A、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于C点,D是抛物线的顶点,过D作DH⊥x轴于点H,延长DH交AC于点E,且S△ABD:S△ACB=9:16,(1)求A、B两点的坐标;(2)若△DBH与△BEH相似,试求抛物线的解析式.参考答案一.选择题(共9小题)1.C.2.C.3.A.4.C.5.D.6.C.7.D.8.C.9.B.二.填空题(共14小题)10.﹣2<x<3.11.﹣2.12.5.13.y=2(x﹣)2﹣.14.①②⑤.15.二次函数y=x2﹣2x+3的最小值是2.16.﹣3.17.k<且k≠0.18.﹣1<x<3.19.y1<y3<y2.20.5.21.x=2.22.y=2(x+1)2+2.23.y=+12x.三.解答题(共5小题)24.解:(1)y=100x((0≤x≤10的整数);y=﹣3x2+130x(10〈x≤30的整数);(2)当0≤x≤10的整数y=100x,当10时,利润有最大值y=1000元;当10˂x≤30时,y=﹣3x2+130x,当x=时,y取最大值,因为x为整数,根据对称性得:当x=22时,y有最大值=1408元˃1000元,所以顾客一次性购买22件时,该网站获利最多.25.解:(1)将点B的坐标(2,3)代入y2=kx+1得:3=2k+1解得:k=1∴y2=x+1令y2=0得:0=x+1解得:x=﹣1∴A(﹣1,0)将A(﹣1,0)、B(2,3)代入y1=ax2+c得:解得:a=1,c=﹣1故答案为:1,﹣1,1;(2)∵A(﹣1,0)、B(2,3)∴结合图象可得:当y1<y2时,则x的取值范围为﹣1<x<2故答案为:﹣1<x<2;(3)在直线AB下方的抛物线上存在一点P,使得△ABP的面积最大.如图,设平行于直线y2=x+1的直线解析式为:y3=x+b由得:x2﹣1=x+b∴x2﹣x﹣1﹣b=0令△=0得:1﹣4(﹣1﹣b)=0解得:b=﹣∴y3=x﹣,∴x2﹣x﹣1+=0解得:x1=x2=∴P(,﹣)∴当点P坐标为(,﹣)时,△ABP的面积最大设y3=x﹣与x轴交于点C,则点C坐标为:(,0),过点C作CD⊥AB由平行线间的距离处处相等,可知线段CD的长度即为△ABP的高的长度∵y2=x+1与x轴所成锐角为45°∴△ACD为等腰直角三角形∵AC=﹣(﹣1)=∴CD===∵A(﹣1,0)、B(2,3)∴AB==∴△ABP的面积为:××=∴在直线AB下方的抛物线上存在一点P,使得△ABP的面积最大;△ABP的最大面积为;点P坐标为(,﹣).26.解:(1)∵抛物线y=x2+bx+c经过A(﹣1,0)、B(3,0)两点,∴,解得,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3;(2)连接BC交抛物线的对称轴与点P.∵y=x2﹣2x﹣3,∴C(0,﹣3),∵点A与点B关于x==1对称,∴PA=PB.∴AP+PC=CP+PB.∴当点P、C、B在一条直线上时,AP+PC有最小值.又∵BC为定值,∴当点P、C、B在一条直线上时,△APC的周长最小.∵BC==3,AC==,∴△PAC的周长最小值为:AC+BC=+3,设直线BC的解析式为y=kx+b,则,解得:k=1,b=﹣3.∴直线AD的解析式为y=x﹣3.将x=1代入y=x﹣3得:y=﹣2,∴点P的坐标为(1,﹣2),即当点P的坐标为(1,﹣2)时,△PAC的周长最小.最小值为+3;(3)设Q(x,y),则S△QAB=AB•|y|=2|y|=8,∴|y|=4,∴y=±4.①当y=4时,x2﹣2x﹣3=4,解得:x1=1﹣2,x2=1+2,此时Q点坐标为(1﹣2,4)或(1+2,4);②当y=﹣4时,x2﹣2x﹣3=﹣4,解得x3=x4=1;此时Q点的坐标为(1,﹣4);综上所述,Q点坐标为(1﹣2,4)或(1+2,4)或(1,﹣4).27.解:(1)设y与x满足如图所示的一次函数关系为y=kx+b,将(2,6500)、(4,5500)代入,得k=﹣500,b=7500,所以y=﹣500x+7500.当x=6时,y=4500.答:该产品第6个月每台销售价格为4500元;故答案为4500;(2)设该产品月销售额为w元,根据题意,得w=py=(x+1)(﹣500x+7500)=﹣500(x﹣7)2+32000当x=7时,即该产品第7个月的销售额最大,该月的销售价格是﹣500×7+7500=4000元/台;答:该产品第7个月的销售额最大,该月的销售价格是4000元/台;(3)根据题意,得﹣500(x﹣7)2+32000=27500解得x1=4,x2=10,根据抛物线可知:﹣500<0,抛物线开口向下,销售该产品的月销售额不低于27500万元,则预计销售部符合销售要求的是4、5、6、7、8、9、10月;(4)根据题意,得当6≤x≤8时,共销售24万台,扣除24m万元推广费用,∴w=(x+1)(﹣500x+7500)﹣24m=﹣500(x﹣7)2+32000﹣24m32000﹣24m=22500解得m=.答:m的值为万元.28.解:(1),∴;∵C(0,c),∴OC=﹣c,DH=,∵S△ABD:S△ACB=9:16,∴,∴c=4a,∴y=ax2+5ax+4a=a(x+1)(x+4),∴A(﹣4,0),B(﹣1,0);(2)∵EH∥OC,∴△AEH∽△ACO,∴∴,∴EH=﹣1.5a;∵DH=﹣2.25a≠EH,∵△DBH与△BEH相似,∴∠BDH=∠EBH,又∵∠BHD=∠BHE=90°,∴△DBH∽△BEH,∴,∴,∴(舍去正值)∴.。
A .y 轴B .直线 x =C .直线 x =2D .直线 x = 4.一次函数 y =ax +b 和反比例函数 y = 在同一平面直角坐标系中的图象如图 8-Z -1第二章 二次函数 .一、选择题(本大题共 7 小题,共 28 分).1.已知抛物线 y =ax 2+bx +c 的开口向下,顶点坐标为(2,-3),那么该抛物线有( )A .最小值-3B .最大值-3C .最小值 2D .最大值 2..2.已知二次函数 y =ax 2+bx +c 的 x 与 y 的部分对应值如下表..:xy-15 01 1-1 2-131则该二次函数图象的对称轴为().52323.若二次函数 y =(m -1)x 2-mx -m 2+1 的图象过原点,则 m 的值为()A .±1B .0C .1D .-1图 8-Z -1cx所示,则二次函数 y =ax 2+bx +c 的图象大致为()图 8-Z -25.国家决定对某药品价格分两次降价,若设平均每次降价的百分率为 x ,该药品原价为 18 元,降价后的价格为 y 元,则 y 与 x 之间的函数关系式为()A .y =36(1-x )B .y =36(1+x )为直线 x =-1,给出四个结论:①b 2>4ac ;②2a +b =0;③a +b +c >0;④若点 B ⎝-2,y 1⎭, C ⎝-2,y 2⎭为函数图象上的两点,则 y 1<y 2.其中正确的是(物线的表达式为 y =- x 2+b ,则隧道底部宽 AB 为________m.C .y =18(1-x )2D .y =18(1+x 2)图 8-Z -36.如图 8-Z -3 是二次函数 y =ax 2+bx +c 图象的一部分,图象过点(-3,0),对称轴⎛ 5 ⎫⎛ 1 ⎫A .②④B .①④C .①③D .②③)图 8-Z -47.如图 8-Z -4,△Rt OAB 的顶点 A (-2,4)在抛物线 y =ax 2 上,将 △Rt OAB 绕点 O顺时针旋转 90°△,得到 OCD ,边 CD 与该抛物线交于点 P ,则点 P 的坐标为()A .( 2, 2)B .(2,2)C .( 2,2)D .(2, 2)二、填空题(本大题共 5 小题,共 25 分)8.函数 y =(x -2)(3-x )取得最大值时,x =________.9.将抛物线 y =2(x -1)2+2 向左平移 3 个单位,再向下平移 4 个单位长度,那么得到的抛物线的表达式为____________.10.如图 8-Z -5,某公路隧道横截面为抛物线,其最大高度为 8 m ,以隧道底部宽 AB所在直线为 x 轴,以 AB 垂直平分线为 y 轴建立如图 2-Z -7 所示的平面直角坐标系,若抛1 2图8-Z-5图8-Z-6 11.如图8-Z-6所示,已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A,B两点,顶点C的纵坐标为-2,现将抛物线向右平移2个单位长度,得到抛物线y=a1x2+b1x+c1,则下列结论正确的是________.(写出所有正确结论的序号)①b>0;②a-b+c<0;③阴影部分的面积为4;④若c=-1,则b2=4a.12.二次函数y=x2-2x-3的图象如图8-Z-7所示,若线段AB在x轴上,且AB为23个单位长度,以AB为边作等边三角形ABC,使点C落在该函数y轴右侧的图象上,则点C的坐标为________________.图8-Z-7三、解答题(共47分)13.(14分)如图8-Z-8,已知矩形ABCD的周长为12,E,F,G,H为矩形ABCD 的各边中点,若AB=x,四边形EFGH的面积为y.(1)请直接写出y与x之间的函数关系式;(2)根据(1)中的函数关系式,计算当x为何值时,y最大,并求出最大值.图8-Z-814.(16分)大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召,利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店.该店购进一种今年新上市的饰品进行销售,饰品的进价为每件40元,售价为每件60元,每月可卖出300件.市场调查反映:调整价格时,售价每涨1元,每月要少卖10件;售价每下降1元,每月要多卖20件.为了获得更大的利润,现将饰品售价调整为(60+x)元/件(x>0即售价上涨,x<0即售价下降),每月饰品销量为y件,月利润为w元.(1)直接写出y与x之间的函数关系式;(2)如何确定销售价格才能使月利润最大?求最大月利润;(3)为了使每月利润不少于6000元,应如何控制销售价格?15.(17分)如图8-Z-9,在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于A(-1,0),B(4,0),C(0,-4)三点,P是直线BC下方抛物线上一动点.(1)求这个二次函数的表达式.(2)是否存在点P△,使POC是以OC为底边的等腰三角形?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)动点P运动到什么位置时△,PBC的面积最大,求出此时点P的坐标和△PBC的最大面积.图8-Z-9)= .故选 D.轴为直线 x =-1,则- =-1,即 2a -b =0,所以②错误;③因为抛物线经过点 A (-3,以③错误;④点 B ⎝-2,y 1⎭在对称轴左侧 1.5 个单位长度处,点 C ⎝-2,y 2⎭在对称轴右侧7.C8. 10.8 [解析] 由题意可知抛物线 y =- x 2+b 的顶点坐标为(0,8),∴b =8,∴抛物线的函数表达式为 y =- x 2+8.当 y =0 时,0=- x 2+8,解得 x =4 或-4,∴x =- >0,详解详析1.B [解析] 因为抛物线开口向下,其顶点坐标为(2,-3),所以该抛物线有最大值-3.故选 B.2.D [解析] 观察表格可知,点(0,1)与点(3,1)、点(1,-1)与点(2,-1)的纵坐标分别相等,所以可知它们分别关于图象的对称轴对称,进而可求得对称轴为直线 x = 0+3 2(或1+2 32 23.D 4.C 5.C6.B [解析]①由抛物线与 x 轴有两个交点,得 b 2-4ac >0,所以①正确;②因为对称b2a0),对称轴为直线 x =-1,则抛物线与 x 轴的另一个交点为(1,0),于是有 a +b +c =0,所⎛ 5 ⎫ ⎛ 1 ⎫0.5 个单位长度处,找出相应的点,显然 y 1<y 2,所以④正确.故选 B.5 29.y =2(x +2)2-2(或 y =2x 2+8x +6)1 21 2 1 2∴水面宽 AB =4+4=8(m).故答案为 8.11.③④ [解析] 由题图知,抛物线开口向上, ∴a >0.又对称轴在 y 轴的右侧,b2a∴b <0,①错误.当 x =-1 时,抛物线在 x 轴上方,∴y =a -b +c >0,②错误.设平移后的抛物线顶点为 E ,与 x 轴右边的交点为 D ,则阴影部分的面积与平行四边形 CEDB 的面积相同.∵平移了 2 个单位长度,点 C 的纵坐标是-2,∴S =2×2=4,③正确.由抛物线的顶∴BC = ×12-x =6-x .∴y = x (6-x )=- x 2+3x ,即 y =- x 2+3x .(2)y =- x 2+3x =- (x -3)2+4.5, ∵a =- <0,∴ =-2.⎩点坐标公式,得 y C =-2,4ac -b 2 4a∵c =-1,解得 b 2=4a ,④正确.故填③④.12.(1+ 7,3)或(2,-3)13.解:(1)∵矩形 ABCD 的周长为 12,AB =x ,12∵E ,F ,G ,H 为矩形 ABCD 的各边中点,1 12 21 21 12 2 12∴y 有最大值,当 x =3 时,y 有最大值,为 4.5. 14.解:(1)由题意可得:⎧⎪300-10x (0≤x ≤30), y =⎨⎪300-20x (-20≤x <0).(2)由题意可得:⎧(20+x )(300-10x )(0≤x ≤30), w =⎨⎩(20+x )(300-20x )(-20≤x <0),化简得:⎧-10x 2+100x +6000(0≤x ≤30), w =⎨⎩-20x 2-100x +6000(-20≤x <0),⎪⎩ -20(x + )2+6125(-20≤x <0). 即 6000=-20(x + )2+6125,6000=-10(x -5)2+6250,⎧⎪-10(x -5)2+6250(0≤x ≤30),即 w =⎨ 5 2由题意可知 x 应取整数,所以当 x =-2 或 x =-3 时,w <6125<6250,故当销售价格为每件 65 元时,月利润最大,最大月利润为 6250 元.(3)由题意得 w ≥6000,如图,令 w =6000,52解得 x 1=-5,x 2=0,x 3=10,∴-5≤x ≤10,故将销售价格控制在 55 元到 70 元之间(含 55 元和 70 元),才能使每月利润不少于 6000元.15.解:(1)设这个二次函数的表达式为 y =ax 2+bx +c ,⎧a -b +c =0,⎧a =1,把 A ,B ,C 三点的坐标分别代入可得⎨16a +4b +c =0,解得⎨b =-3,⎩c =-4,⎩c =-4,∴这个二次函数的表达式为 y =x 2-3x -4.(2)作 OC 的垂直平分线 DP ,交 OC 于点 D ,交 BC 下方抛物线于点 P ,连接 OP ,CP ,如图①,∴PO =PC ,此时点 P 即为满足条件的点.∵C (0,-4), ∴D (0,-2),∴点 P 的纵坐标为-2.当 y =-2 时,即 x 2-3x -4=-2,(不合题意,舍去),x 2=∴存在满足条件的点 P ,其坐标为( ,-2).3- 17 3+ 17解得 x 1= 2 2.3+ 17 2(3)∵点 P 在抛物线上,∴可设 P (t ,t 2-3t -4).过点 P 作 PE ⊥x 轴于点 E ,交直线 BC 于点 F ,如图②, ∵B (4,0),C (0,-4),∴直线 BC 的函数表达式为 y =x -4, ∴F (t ,t -4),∴PF =(t -4)-(t 2-3t -4)=-t 2+4t ,1 1 1 1 1 ∴S △PBC =S △PFC +S △PFB =2PF · OE +2PF · BE =2PF ·(OE +BE )=2PF · OB =2(-t 2+4t )×4=-2(t -2)2+8,∴当 t =2 时,△S PBC 最大,且最大值为 8,此时 t 2-3t -4=-6,∴当点 P 的坐标为(2,-6)时△, PBC 的面积最大,最大面积为 8.。
2019年北师大版九下数学《第2章二次函数》单元测试卷一.选择题(共10小题)1.抛物线y=﹣(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是()A.(﹣2,1)B.(﹣2,﹣1)C.(2,1)D.(2,﹣1)2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论:4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<﹣1,其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个3.若关于x的函数y=(2﹣a)x2﹣x是二次函数,则a的取值范围是()A.a≠0B.a≠2C.a<2D.a>24.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.5.抛物线y=x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是()A.(0,1)B.(1,O)C.(0,﹣3)D.(0,2)6.将抛物线y=2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是()A.y=2x2+3B.y=2x2﹣3C.y=2(x+3)2D.y=2(x﹣3)27.函数y=(x+1)2﹣2的最小值是()A.1B.﹣1C.2D.﹣28.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么抛物线解析式是()A.y=﹣2x2+8x+3B.y=﹣2x‑2﹣8x+3C.y=﹣2x2+8x﹣5D.y=﹣2x‑2﹣8x+29.把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列变形正确的是()A.y=(x+1)2+3B.y=(x﹣2)2+3C.y=(x﹣1)2+5D.y=(x﹣1)2+310.若抛物线y=kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点,则k的取值范围为()A.k>﹣1B.k≥﹣1C.k>﹣1且k≠0D.k≥﹣1且k≠0二.填空题(共5小题)11.若函数是二次函数,则m的值为.12.如图,⊙O的半径为2,C1是函数y=2x2的图象,C2是函数y=﹣2x2的图象,则图中阴影部分的面积为.13.二次函数y=4(x﹣3)2+7的图象的顶点坐标是.14.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大;其中结论正确有.15.已知抛物线y=2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是.三.解答题(共6小题)16.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?17.已知二次函数y=﹣x2+4x.(1)写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴;(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象(列表、描点、连线);(3)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.18.已知函数图象如图所示,根据图象可得:(1)抛物线顶点坐标;(2)对称轴为;(3)当x=时,y有最大值是;(4)当时,y随着x得增大而增大.(5)当时,y>0.19.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=﹣1是其对称轴,(1)确定a,b,c,△=b2﹣4ac的符号;(2)求证:a﹣b+c>0;(3)当x取何值时,y>0,当x取何值时y<0.20.已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2).(1)求a的值.(2)若点A(m,y1),(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.21.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A,顶点为点B,点C与点A 关于抛物线的对称轴对称.(1)求直线BC的解析式;(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.2019年北师大版九下数学《第2章二次函数》单元测试卷参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.抛物线y=﹣(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是()A.(﹣2,1)B.(﹣2,﹣1)C.(2,1)D.(2,﹣1)【分析】二次函数表达式中的顶点式是:y=a(x﹣h)2+k(a≠0,且a,h,k是常数),它的对称轴是x=h,顶点坐标是(h,k).【解答】解:抛物线y=﹣(x﹣2)2﹣1的顶点坐标是(2,﹣1).故选:D.【点评】本题考查了二次函数的性质,要求掌握顶点式中的对称轴及顶点坐标.2.如图,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(1,2)且与x轴交点的横坐标分别为x1,x2,其中﹣1<x1<0,1<x2<2,下列结论:4a+2b+c<0,2a+b<0,b2+8a>4ac,a<﹣1,其中结论正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号,由抛物线与y轴的交点判断c的符号,然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理,进而对所得结论进行判断.【解答】解:由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点为在y轴的正半轴上,得c>0,对称轴为x=<1,∵a<0,∴2a+b<0,而抛物线与x轴有两个交点,∴b2﹣4ac>0,当x=2时,y=4a+2b+c<0,当x=1时,a+b+c=2.∵>2,∴4ac﹣b2<8a,∴b2+8a>4ac,∵①a+b+c=2,则2a+2b+2c=4,②4a+2b+c<0,③a﹣b+c<0.由①,③得到2a+2c<2,由①,②得到2a﹣c<﹣4,4a﹣2c<﹣8,上面两个相加得到6a<﹣6,∴a<﹣1.故选:D.【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数等.3.若关于x的函数y=(2﹣a)x2﹣x是二次函数,则a的取值范围是()A.a≠0B.a≠2C.a<2D.a>2【分析】根据二次函数的定义即可得.【解答】解:∵函数y=(2﹣a)x2﹣x是二次函数,∴2﹣a≠0,即a≠2,故选:B.【点评】本题主要考查二次函数的定义,熟练掌握形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,a≠0)的函数,叫做二次函数是解题的关键.4.二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c,它们在同一直角坐标系中的图象大致是()A.B.C.D.【分析】根据二次函数的开口方向,与y轴的交点;一次函数经过的象限,与y轴的交点可得相关图象.【解答】解:∵一次函数和二次函数都经过y轴上的(0,c),∴两个函数图象交于y轴上的同一点,排除B、C;当a>0时,二次函数开口向上,一次函数经过一、三象限,排除D;当a<0时,二次函数开口向下,一次函数经过二、四象限,A正确;故选:A.【点评】考查二次函数及一次函数的图象的性质;用到的知识点为:二次函数和一次函数的常数项是图象与y轴交点的纵坐标;一次函数的一次项系数大于0,图象经过一、三象限;小于0,经过二、四象限;二次函数的二次项系数大于0,图象开口向上;二次项系数小于0,图象开口向下.5.抛物线y=x2﹣4x+1与y轴交点的坐标是()A.(0,1)B.(1,O)C.(0,﹣3)D.(0,2)【分析】抛物线与y轴相交时,横坐标为0,将横坐标代入抛物线解析式可求交点纵坐标.【解答】解:当x=0时,y=x2﹣4x+1=1,∴抛物线与y轴的交点坐标为(0,1),故选:A.【点评】本题考查了抛物线与坐标轴交点坐标的求法.令x=0,可到抛物线与y轴交点的纵坐标,令y=0,可得到抛物线与x轴交点的横坐标.6.将抛物线y=2x2向左平移3个单位得到的抛物线的解析式是()A.y=2x2+3B.y=2x2﹣3C.y=2(x+3)2D.y=2(x﹣3)2【分析】根据“左加右减”的原则进行解答即可.【解答】解:将抛物线y=2x2向左平移3个单位所得直线解析式为:y=2(x+3)2;故选:C.【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换,熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.7.函数y=(x+1)2﹣2的最小值是()A.1B.﹣1C.2D.﹣2【分析】抛物线y=(x+1)2﹣2开口向上,有最小值,顶点坐标为(﹣1,﹣2),顶点的纵坐标﹣2即为函数的最小值.【解答】解:根据二次函数的性质,当x=﹣1时,二次函数y=(x﹣1)2﹣2的最小值是﹣2.故选:D.【点评】本题考查对二次函数最值.求二次函数的最大(小)值有三种方法,第一种可由图象直接得出,第二种是配方法,第三种是公式法.8.对称轴平行于y轴的抛物线的顶点为点(2,3)且抛物线经过点(3,1),那么抛物线解析式是()A.y=﹣2x2+8x+3B.y=﹣2x‑2﹣8x+3C.y=﹣2x2+8x﹣5D.y=﹣2x‑2﹣8x+2【分析】已知抛物线的顶点坐标,把经过的点的坐标代入顶点坐标式求出系数则可.【解答】解:根据题意,设y=a(x﹣2)2+3,抛物线经过点(3,1),所以a+3=1,a=﹣2.因此抛物线的解析式为:y=﹣2(x﹣2)2+3=﹣2x2+8x﹣5.故选:C.【点评】本题考查利用待定系数法设抛物线的顶点坐标式求抛物线的表达式.9.把二次函数y=x2﹣2x+4化为y=a(x﹣h)2+k的形式,下列变形正确的是()A.y=(x+1)2+3B.y=(x﹣2)2+3C.y=(x﹣1)2+5D.y=(x﹣1)2+3【分析】利用配方法整理即可得解.【解答】解:y=x2﹣2x+4,=x2﹣2x+1+3,=(x﹣1)2+3.故选:D.【点评】本题考查了二次函数解析式的三种形式:(1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数);(2)顶点式:y=a(x﹣h)2+k;(3)交点式(与x轴):y=a(x﹣x1)(x﹣x2).10.若抛物线y=kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点,则k的取值范围为()A.k>﹣1B.k≥﹣1C.k>﹣1且k≠0D.k≥﹣1且k≠0【分析】根据抛物线y=kx2﹣2x﹣1与x轴有两个不同的交点,得出b2﹣4ac>0,进而求出k的取值范围.【解答】解:∵二次函数y=kx2﹣2x﹣1的图象与x轴有两个交点∴b2﹣4ac=(﹣2)2﹣4×k×(﹣1)=4+4k>0∴k>﹣1∵抛物线y=kx2﹣2x﹣1为二次函数∴k≠0则k的取值范围为k>﹣1且k≠0.【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断.二.填空题(共5小题)11.若函数是二次函数,则m的值为﹣3.【分析】根据二次函数的定义得出m2﹣7=2,再利用m﹣3≠0,求出m的值即可.【解答】解:若y=(m﹣3)x m2﹣7是二次函数,则m2﹣7=2,且m﹣3≠0,故(m﹣3)(m+3)=0,m≠3,解得:m1=3(不合题意舍去),m2=﹣3,∴m=﹣3.故答案为:﹣3.【点评】此题主要考查了二次函数的定义,根据已知得出m2﹣7=2,注意二次项系数不为0是解题关键.12.如图,⊙O的半径为2,C1是函数y=2x2的图象,C2是函数y=﹣2x2的图象,则图中阴影部分的面积为2π.【分析】根据二次函数的对称性得出图中阴影部分的面积为半圆面积,进而求出即可.【解答】解:如图所示:图中阴影部分的面积为半圆面积,∵⊙O的半径为2,∴图中阴影部分的面积为:π×22=2π.故答案为:2π.【点评】此题主要考查了二次函数对称性以及圆的面积公式,正确转化阴影部分面积是解题关键.13.二次函数y=4(x﹣3)2+7的图象的顶点坐标是(3,7).【分析】由抛物线解析式可求得答案.【解答】解:∵y=4(x﹣3)2+7,∴顶点坐标为(3,7),故答案为:(3,7).【点评】本题主要考查二次函数的性质,掌握二次函数的顶点式是解题的关键,即在y=a(x﹣h)2+k中,对称轴为x=h,顶点坐标为(h,k).14.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=1,与x轴的一个交点坐标为(﹣1,0),其部分图象如图所示,下列结论:①4ac<b2;②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3;③3a+c>0;④当y>0时,x的取值范围是﹣1≤x<3;⑤当x<0时,y随x增大而增大;其中结论正确有①②⑤.【分析】利用抛物线与x轴的交点个数可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点坐标为(3,0),则可对②进行判断;由对称轴方程得到b=﹣2a,然后根据x=﹣1时函数值为0可得到3a+c=0,则可对③进行判断;根据抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围可对④进行判断;根据二次函数的性质对⑤进行判断.【解答】解:∵抛物线与x轴有2个交点,∴b2﹣4ac>0,所以①正确;∵抛物线的对称轴为直线x=1,而点(﹣1,0)关于直线x=1的对称点的坐标为(3,0),∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1,x2=3,所以②正确;∵x=﹣=1,即b=﹣2a,而x=﹣1时,y=0,即a﹣b+c=0,∴a+2a+c=0,所以③错误;∵抛物线与x轴的两点坐标为(﹣1,0),(3,0),∴当﹣1<x<3时,y>0,所以④错误;∵抛物线的对称轴为直线x=1,∴当x<1时,y随x增大而增大,所以⑤正确.故答案为①②⑤.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系:对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小:当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口;一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置:当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右;常数项c决定抛物线与y轴交点位置:抛物线与y轴交于(0,c);抛物线与x轴交点个数由△决定:△=b2﹣4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点;△=b2﹣4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点;△=b2﹣4ac<0时,抛物线与x轴没有交点.15.已知抛物线y=2x2﹣5x+3与y轴的交点坐标是(0,3).【分析】y轴上点的坐标特点为横坐标为0,纵坐标为y,把x=0代入即可求得交点坐标为(0,3).【解答】解:当x=0时,y=3,即交点坐标为(0,3).【点评】本题考查了函数图象上的点的坐标与函数解析式的关系,要明确y轴上点的坐标横坐标为0.三.解答题(共6小题)16.已知函数y=(m2﹣m)x2+(m﹣1)x+m+1.(1)若这个函数是一次函数,求m的值;(2)若这个函数是二次函数,则m的值应怎样?【分析】根据一次函数与二次函数的定义求解.【解答】解:(1)根据一次函数的定义,得:m2﹣m=0解得m=0或m=1又∵m﹣1≠0即m≠1;∴当m=0时,这个函数是一次函数;(2)根据二次函数的定义,得:m2﹣m≠0解得m1≠0,m2≠1∴当m1≠0,m2≠1时,这个函数是二次函数.【点评】解题关键是掌握一次函数与二次函数的定义.17.已知二次函数y=﹣x2+4x.(1)写出二次函数y=﹣x2+4x图象的对称轴;(2)在给定的平面直角坐标系中,画出这个函数的图象(列表、描点、连线);(3)根据图象,写出当y<0时,x的取值范围.【分析】(1)把一般式化成顶点式即可求得;(2)首先列表求出图象上点的坐标,进而描点连线画出图象即可.(3)根据图象从而得出y<0时,x的取值范围.【解答】解:(1)∵y=﹣x2+4x=﹣(x﹣2)2+4,∴对称轴是过点(2,4)且平行于y轴的直线x=2;(2)列表得:描点,连线.(3)由图象可知,当y<0时,x的取值范围是x<0或x>4.【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数的性质,要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用二次函数的图象,从而求出y<0时,x的取值.18.已知函数图象如图所示,根据图象可得:(1)抛物线顶点坐标(﹣3,2);(2)对称轴为x=﹣3;(3)当x=﹣3时,y有最大值是2;(4)当x<﹣3时,y随着x得增大而增大.(5)当﹣5<x<﹣1时,y>0.【分析】(1)由抛物线与x轴两个交点的坐标,根据二次函数的对称性可得顶点坐标;(2)根据二次函数的性质可得对称轴;(3)根据抛物线的顶点坐标即可求解;(4)根据二次函数的性质即可求解;(5)抛物线在x轴上方的部分对应的x的取值即为所求.【解答】解:(1)∵抛物线与x轴交于点(﹣5,0),(﹣1,0),∴顶点横坐标为=﹣3,由图可知顶点纵坐标为2,∴顶点坐标为(﹣3,2);(2)对称轴为x=﹣3;(3)当x=﹣3时,y有最大值是2;(4)当x<﹣3时,y随着x得增大而增大;(5)当﹣5<x<﹣1时,y>0.故答案为(1)(﹣3,2);(2)x=﹣3;(3)﹣3,2;(4)x<﹣3;(5)﹣5<x<﹣1.【点评】本题考查了二次函数的图象与性质,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是(﹣,),对称轴直线x=﹣,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象具有如下性质:①当a>0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向上,x<﹣时,y随x的增大而减小;x>﹣时,y随x的增大而增大;x=﹣时,y取得最小值,即顶点是抛物线的最低点.②当a<0时,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的开口向下,x<﹣时,y随x的增大而增大;x>﹣时,y随x的增大而减小;x=﹣时,y取得最大值,即顶点是抛物线的最高点.19.已知抛物线y=ax2+bx+c,如图所示,直线x=﹣1是其对称轴,(1)确定a,b,c,△=b2﹣4ac的符号;(2)求证:a﹣b+c>0;(3)当x取何值时,y>0,当x取何值时y<0.【分析】(1)根据开口方向确定a的符号,根据对称轴的位置确定b的符号,根据抛物线与y 轴的交点确定c的符号,根据抛物线与x轴交点的个数确定b2﹣4ac的符号;(2)根据图象和x=﹣1的函数值确定a﹣b+c与0的关系;(3)抛物线在x轴上方时y>0;抛物线在x轴下方时y<0.【解答】解:(1)∵抛物线开口向下,∴a<0,∵对称轴x=﹣=﹣1,∴b<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方,∴c>0,∵抛物线与x轴有两个交点,∴△=b2﹣4ac>0;(2)证明:∵抛物线的顶点在x轴上方,对称轴为x=﹣1,∴当x=﹣1时,y=a﹣b+c>0;(3)根据图象可知,当﹣3<x<1时,y>0;当x<﹣3或x>1时,y<0.【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系,二次函数y=ax2+bx+c系数的符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点确定.利用数形结合是解题的关键.20.已知抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2).(1)求a的值.(2)若点A(m,y1),(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,试比较y1与y2的大小.【分析】(1)根据抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2),可以求的a的值;(2)根据(1)中a的值可以求得此函数的解析式,然后根据二次函数的性质可以求得y1与y2的大小.【解答】解:(1)∵抛物线y=a(x﹣3)2+2经过点(1,﹣2),∴﹣2=a(1﹣3)2+2,∴a=﹣1;(2)∵y=﹣(x﹣3)2+2,∴此函数的图象开口向下,当x<3时,y随x的增大而增大,当x>3时,y随x的增大而减小,∵点A(m,y1),(n,y2)(m<n<3)都在该抛物线上,∴y1<y2.【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用二次函数的性质解答.21.在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x+2与y轴交于点A,顶点为点B,点C与点A 关于抛物线的对称轴对称.(1)求直线BC的解析式;(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为4.将抛物线在点A,D之间的部分(包含点A,D)记为图象G,若图象G向下平移t(t>0)个单位后与直线BC只有一个公共点,求t的取值范围.【分析】(1)欲求直线BC的解析式,需要求得点B、C的坐标,由抛物线解析式求得点A、B 的坐标,然后根据点的对称性得到点C的坐标;然后由待定系数法来求直线方程;(2)根据抛物线解析式y=﹣x+2易求D(4,6),由直线y=x+1易求点(0,1),点F (4,3).设点A平移后的对应点为点A′,点D平移后的对应点为点D′.当图象G向下平移至点A′与点E重合时,点D'在直线BC上方,此时t=1.当图象G向下平移至点D′与点F重合时,点A′在直线BC下方,此时t=3.结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1<t≤3.【解答】解:(1)∵抛物线与y轴交于点A∴点A的坐标为(0,2).∵,∴抛物线的对称轴为直线x=1,顶点B的坐标为(1,).又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称,∴点C的坐标为(2,2),且点C在抛物线上.设直线BC的解析式为y=kx+b.∵直线BC经过点B(1,)和点C(2,2),∴解得∴直线BC的解析式为:y=x+1;(2)∵抛物线y=﹣x+2中,当x=4时,y=6,∴点D的坐标为(4,6).∵直线y=x+1中,当x=0时,y=1.当x=4时,y=3,∴如图,点E的坐标为(0,1),点F的坐标为(4,3).设点A平移后的对应点为点A′,点D平移后的对应点为点D′.当图象G向下平移至点A′与点E重合时,点D'在直线BC上方,此时t=1.当图象G向下平移至点D′与点F重合时,点A′在直线BC下方,此时t=3.结合图象可知,符合题意的t的取值范围是1<t≤3.【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式,二次函数图象的几何变换.解题时,利用了“数形结合”的数学思想,使抽象的问题变得直观化了.。
九年级下册(北师大版)数学第2章二次函数单元检测试卷一.选择题(共10小题)1.抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个2.对于抛物线y=﹣2(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1:③顶点坐标为(﹣1,3);④x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.已知二次函数y=x2﹣x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,则下列结论正确的是()A.x取m﹣1时的函数值小于0B.x取m﹣1时的函数值大于0C.x取m﹣1时的函数值等于0D.x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定4.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点()A.(﹣3,﹣6)B.(﹣3,0)C.(﹣3,﹣5)D.(﹣3,﹣1)5.如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,P为此抛物线对称轴l上任意一点,则△APC的周长的最小值是()A.2B.3C.5D. +6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③m为任意实数,则a+b >am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有()A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤7.下列各点中,抛物线y=x2﹣4x﹣4经过的点是()A.(0,4)B.(1,﹣7)C.(﹣1,﹣1)D.(2,8)8.将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中,可能的是()A.B.C.D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①2a+b=0;②abc<0;③b2﹣4ac>0;④8a+c>0.其中正确的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①ac>0;②a﹣b+c<0;③当x<0时,y<0;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根.其中正确的结论有()A.①③B.②③C.①④D.②④二.填空题(共6小题)11.已知二次函数y=3(x﹣1)2+k的图象上三点A(2,y1),B(3,y2),C(﹣4,y3),则y1、y2、y3的大小关系是.12.若A(﹣,y1)、B(﹣,y2)、C(3,y3)为二次函数y=﹣x 2﹣4x+5的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是(用“<”连接).13.函数y=﹣3(x+2)2的开口,对称轴是,顶点坐标为.14.已知抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b,在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下,函数有最大值m,则m的最小值是15.如图,已知抛物线和x轴交于两点A、B,和y轴交于点C,已知A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,则此抛物线顶点的坐标为.16.对于二次函数y=5x 2+bx+c ,甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法,甲:图象对称轴是x=1;乙:函数最小值为3;丙:当x=﹣1时,y=0;丁:点(2,8)在函数图象上.其中有且仅有一个说法是错误的,则哪位同学的说法是错误的 .三.解答题(共9小题)17.一个二次函数图象上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:﹣(1)求这个二次函数的表达式;(2)求m 的值;(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(4)根据图象,写出当y <0时,x 的取值范围.18.某商场销售一种商品,进价为每个20元,规定每个商品售价不低于进价,且不高于60元,经调查发现,每天的销售量y (个)与每个商品的售价x (元)满足一次函数关系,其部分数据如下所示:(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)设商场每天获得的总利润为w (元),求w 与x 之间的函数表达式;(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?19.如图,点P 为抛物线y=x 2上一动点.(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.20.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).(1)求n的值和抛物线的解析式;(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.21.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴相交于(0,﹣),顶点为P.(1)求抛物线解析式;(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标,并求出平行四边形的面积.22.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.23.建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时,水面宽AB为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD,且CD=2米,此时水位上升了多少米?24.如图,在直角坐标系中,0是坐标原点,直线AB交x轴于点A(﹣4,0),交y轴于点B,抛物线y=ax2+2ax+3(a≠0)经过A,B两点.P是线段AO上的一动点,过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C,交抛物线于点D.(1)求a及AB的长.(2)连结PB,若tan∠ABP=,求点P的坐标.(3)连结BD,以BD为边作正方形BDEF,是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(4)连结OC,若S△BDC:S△OBC=1:2,将线段BD绕点D按顺时针方向旋转,得到DB′.则在旋转的过程中,当点A,B到直线DB′的距离和最大时,请直接写出点B′的坐标.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.【解答】解:由,消去y得到:2x2+x﹣4=0,∵△=1﹣(﹣32)=33>0,∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点,故选:C.2.【解答】解:①∵a=﹣2<0,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;③顶点坐标为(﹣1,3),正确;④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.故选:C.3.【解答】解:由题意,函数的图象为:∵抛物线的对称轴x=,设抛物线与x轴交于点A、B.∴AB<1,∵x取m时,其相应的函数值小于0,∴观察图象可知,x=m﹣1在点A的左侧,x=m﹣1时,y>0,故选:B.4.【解答】解:∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,∴该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0),∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1.将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x﹣1+2)2﹣1﹣3=(x+1)2﹣4.当x=﹣3时,y=(x+1)2﹣4=0,∴得到的新抛物线过点(﹣3,0).故选:B.5.【解答】解:作点C关于直线l的对称点C′,连接AC′交直线l于P,连接PC,则△APC的周长的最小,由抛物线的对称性可知,点C′在抛物线上,当x=0时,y=2,∴点C的坐标为(0,2),∴点C′的纵坐标为2,2=﹣x2+x+2,解得,x1=0,x2=3,则点C′的横坐标为3,﹣x2+x+2=0,x1=﹣1,x2=4,则点A的坐标为(﹣1,0),∴AC′==2,AC==,∴△APC的周长的最小值是3,故选:B.6.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,即2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵抛物线对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③错误;∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧∴当x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以④错误;∵ax12+bx1=ax22+bx2,∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,∵b=﹣2a,∴x1+x2=2,所以⑤正确.综上所述,正确的有②⑤.故选:C.7.【解答】解:当x=0时,y=x2﹣4x﹣4=﹣4;当x=1时,y=x2﹣4x﹣4=﹣7;当x=﹣1时,y=x2﹣4x﹣4=1;当x=2时,y=x2﹣4x﹣4=﹣8,所以点(1,﹣7)在抛物线y=x2﹣4x﹣4上.故选:B.8.【解答】解:当k>0时,函数y=kx2的图象是开口向上,顶点在原点的抛物线,y=kx+k的图象经过第一、二、三象限,是一条直线,故选项A、B均错误,当k<0时,函数y=kx2的图象是开口向下,顶点在原点的抛物线,y=kx+k的图象经过第二、三、四象限,是一条直线,故选项C正确,选项D错误,故选:C.9.【解答】解:A.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项A正确;B.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项B错误;C.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;[来源:学&科&网Z&X&X&K]②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项C错误;D.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项D错误.故选:A.10.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴ac<0,所以①错误;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以②正确;当x<0时,y有时大于0,有时等于0,有时小于0,∴③错误;∵抛物线与x轴的两个交点都在点(﹣1,0)的右边,∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根,所以④正确.故选:D.二.填空题(共6小题)11.【解答】解:∵y=3(x﹣1)2+k,∴图象的开口向上,对称轴是直线x=1,A(﹣4,y3)关于直线x=﹣2的对称点是(6,y3),∵2<3<6,∴y1<y2<y3,故答案为y1<y2<y3.12.【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2,抛物线开口向下,当B(﹣,y 2)到直线x=﹣2的距离最小,点C(3,y3)到直线x=﹣2的距离最大,所以y3<y1<y2.故答案为y3<y1<y2.13.【解答】解:函数y=﹣3(x+2)2的开口向下,对称轴是直线x=﹣2,顶点坐标是(﹣2,0),故答案为:向下,直线x=﹣2,(﹣2,0).14.【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b,∴开口向下,对称轴为x=当﹣1≤≤2,则﹣2≤b≤4,函数最大值m为≥1当≤﹣1,则b≤﹣2,当x=﹣1时,函数最大值m为﹣1﹣b+2﹣b=1﹣2b≥5当≥2,则b≥4当x=2时,函数最大值m为﹣4+2b+2﹣b=b﹣2≥2∴m的最小值为1故答案为115.【解答】解:∵A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,∴OA=1,OB=4,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,∵CO⊥AB,∴∠ABC+∠BCO=90°,∴∠CAB=∠BCO,又∵∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB,∴=,即=,解得OC=2,∴点C 的坐标为(0,2),∵A 、B 两点的横坐标分别为﹣1,4,∴设抛物线解析式为y=a (x+1)(x ﹣4),把点C 的坐标代入得,a (0+1)(0﹣4)=2,解得a=﹣,∴y=﹣(x+1)(x ﹣4)=﹣(x 2﹣3x ﹣4)=﹣(x ﹣)2+,∴此抛物线顶点的坐标为(,).故答案为:(,).16.【解答】解:若甲乙对,则抛物线的解析式为y=5(x ﹣1)2+3,当x=﹣1时,y=23,此时丙错误;当x=2时,y=8,此时丁正确.而其中有且仅有一个说法是错误的,所以只有丙错误.故答案为丙.三.解答题(共9小题)17.【解答】解:(1)由图表可知抛物线的顶点坐标为(﹣1,2),所以,设这个二次函数的表达式为y=a (x+1)2+2,∵图象过点(1,0),∴a (1+1)2+2=0,∴a=﹣,∴这个二次函数的表达式为y=﹣(x+1)2+2;(2)x=2时,m=﹣(2+1)2+2=﹣;(3)函数图象如图所示;(4)y<0时,x<﹣3或x>1.18.【解答】解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,则,解得,即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+160;(2)由题意可得,w=(x﹣20)(﹣2x+160)=﹣2x2+200x﹣3200,即w与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+200x﹣3200;(3)∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2(x﹣50)2+1800,20≤x≤60,∴当20≤x≤50时,w随x的增大而增大;当50≤x≤60时,w随x的增大而减小;当x=50时,w取得最大值,此时w=1800元即当商品的售价为50元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是1800.19.【解答】解:(1)∵抛物线y=(x+2)2﹣1的顶点为(﹣2,﹣1)∴抛物线y=(x+2)2﹣1的图象向上平移1个单位,再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象.(2)①存在一定点F,使得PM=PF恒成立.如图一,过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为(a, a2)∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为(0,1)②由①,PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时,QP+PM有最小值,最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值.∴QP+PF的最小值为6.20.【解答】解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1),∴m=﹣1,∴直线l的解析式为y=x﹣1,∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n),∴n=×4﹣1=2,∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1),[来源:学§科§网]∴,解得,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1;(2)令y=0,则x﹣1=0,解得x=,∴点A的坐标为(,0),∴OA=,在Rt△OAB中,OB=1,∴AB===,∵DE∥y轴,∴∠ABO=∠DEF,在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE,DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE,∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,∵点D的横坐标为t(0<t<4),∴D(t, t2﹣t﹣1),E(t, t﹣1),∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,∴当t=2时,p有最大值;(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°,∴A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,设点A1的横坐标为x,①如图1,点O1、B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1,∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1,解得x=,②如图2,点A1、B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大,∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1+,解得x=﹣,综上所述,点A1的横坐标为或﹣.21.【解答】解:(1)将(﹣3,0),(1,0),(0,﹣)代入抛物线解析式得∴解得:a=,b=1,c=﹣∴抛物线解析式:y=x2+x﹣(2)存在.∵y=x2+x﹣=(x+1)2﹣2∴P点坐标为(﹣1,﹣2)∵△ABP的面积等于△ABE的面积,∴点E到AB的距离等于2,设E(a,2),∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2,a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为(﹣1﹣2,2)或(﹣1+2,2)(3)∵点A(﹣3,0),点B(1,0),∴AB=4若AB为边,且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF,AB=PF=4∵点P坐标(﹣1,﹣2)∴点F坐标为(3,﹣2),(﹣5,﹣2)∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线,以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F(x,y)且点A(﹣3,0),点B(1,0),点P(﹣1,﹣2)∴∴x=﹣1,y=2∴点F(﹣1,2)∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述:点F的坐标为(﹣1,2)、(3,﹣2)、(﹣5,﹣2),且平行四边形的面积为 8.22.【解答】解:(1)由已知,B点横坐标为3∵A、B在y=x+1上∴A(﹣1,0),B(3,4)把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)①过点P作PE⊥x轴于点E∵直线y=x+1与x轴夹角为45°,P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为(﹣1+t,0),Q点坐标为(3﹣2t,0)∴EQ=4﹣3t,PE=t∵∠PQE+∠NQC=90°∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2()2=20t2﹣48t+32当t=时,S最小=20×()2﹣48×+32=②由①点Q坐标为(3﹣2t,0),P坐标为(﹣1+t,t)∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QO=8﹣6t∴N点坐标为(3,8﹣6t)由矩形对角线互相平分∴点M坐标为(3t﹣1,8﹣5t)当M在抛物线上时8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4解得t=当点Q到A时,Q在抛物线上,此时t=2当N在抛物线上时,8﹣6t=4∴t=综上所述当t=、或2时,矩形PQNM的顶点落在抛物线上.23.【解答】解:以点E为原点、EF所在直线为y轴,垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系,根据题意知E(0,0)、A(﹣3,﹣3)、B(3,﹣3),设y=kx2(k<0),将点(3,﹣3)代入,得:k=﹣,∴y=﹣x2,将x=代入,得:y=﹣2,∴上升了1米.24.【解答】解:(1)把点A(﹣4,0代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得:a=﹣,二次函数的表达式为:y=﹣x2﹣x+3,则B坐标为(0,3),∵OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,则二次函数表达式为:y=﹣x2﹣x+3,对称轴为x=﹣1,答:a=﹣,AB的长为5;(2)如上图,连接BP,作AH⊥PH于H,在Rt△ABH中,AB=5,tan∠ABP=,可得:AH=,BH=2,设:点P的坐标为(x,0),在Rt△APH中,AP=﹣x,AH=,PH=BH﹣BP=2﹣,由勾股定理得:(﹣x)2=5+[2﹣]2,解得:x=10﹣14,答:点P的坐标(10﹣14,0);(3)如上图所示,正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上,从E点作EN⊥PD,作DH⊥y轴,则Rt△BHD≌Rt△END(AAS),∴NH=BH,设P点坐标为(a,0),则D、E点的坐标分别为(a,﹣a2﹣a+3)、(﹣1,y),BH=3﹣(﹣a2﹣a+3)=HN=﹣1﹣a,解得:x=﹣(舍去),x=﹣4,答:E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在,点P的坐标为(﹣4,0);(4)当BD旋转到如图DB′的位置时,点A,B到直线DB′的距离和最大,此时AB⊥B′D,过点B′向PD和x轴作垂线,即BN⊥DP,BM⊥x轴,由A、B两点坐标可得AB的直线方程为:y=x+3,则tan∠BAO=,设P点坐标为(m,0),则C(m, m+3),∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形,而1:2若S△BDC:S△OBC=1:2,∴CD=OB=,则D点y坐标=C点y坐标+=m+,即:D(m, m+),把点D的坐标(m, m+)代入二次函数方程y=﹣x2﹣x+3,解得:m=﹣2,把m值代入,即D点坐标为:D(﹣2,3),P(﹣2,0),∵B(0,3)则BD∥x轴,∴BD⊥DC,∵BD⊥DC,AB⊥B′D,∴∠BDP=∠BAO=∠BAO,∴tan∠B′DP=tan∠BAO=,在Rt△B′MD中,B′D=BD=2,tan∠B′DP=,则:B′M=,DM=,则:B′的横坐标为=x P﹣B′M=﹣2+=﹣,B′的纵坐标为=y D﹣DM=3﹣=;答:当点A,B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为(﹣,).。
九年级下册(北师大版)数学第2章二次函数单元检测试卷一.选择题(共10小题)1.抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3的交点的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个2.对于抛物线y=﹣2(x+1)2+3,下列结论:①抛物线的开口向下;②对称轴为直线x=1:③顶点坐标为(﹣1,3);④x>1时,y随x的增大而减小.其中正确结论的个数为()A.1 B.2 C.3 D.43.已知二次函数y=x2﹣x+a(a>0),当自变量x取m时,其相应的函数值小于0,则下列结论正确的是()A.x取m﹣1时的函数值小于0B.x取m﹣1时的函数值大于0C.x取m﹣1时的函数值等于0D.x取m﹣1时函数值与0的大小关系不确定4.若抛物线y=x2+ax+b与x轴两个交点间的距离为2,称此抛物线为定弦抛物线,已知某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到的抛物线过点()A.(﹣3,﹣6)B.(﹣3,0)C.(﹣3,﹣5)D.(﹣3,﹣1)5.如图,抛物线y=﹣x2+x+2与x轴交于A,B两点(A在B的左侧),与y轴交于点C,P为此抛物线对称轴l上任意一点,则△APC的周长的最小值是()A.2B.3C.5D. +6.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③m为任意实数,则a+b >am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的有()A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤7.下列各点中,抛物线y=x2﹣4x﹣4经过的点是()A.(0,4)B.(1,﹣7)C.(﹣1,﹣1)D.(2,8)8.将函数y=kx2与y=kx+k的图象画在同一个直角坐标系中,可能的是()A.B.C.D.9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,它与x轴的两个交点分别为(﹣1,0),(3,0).对于下列命题:①2a+b=0;②abc<0;③b2﹣4ac>0;④8a+c>0.其中正确的有()A.3个B.2个C.1个D.0个10.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则下列结论:①ac>0;②a﹣b+c<0;③当x<0时,y<0;④方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根.其中正确的结论有()A.①③B.②③C.①④D.②④二.填空题(共6小题)11.已知二次函数y=3(x﹣1)2+k的图象上三点A(2,y1),B(3,y2),C(﹣4,y3),则y1、y2、y3的大小关系是.12.若A(﹣,y1)、B(﹣,y2)、C(3,y3)为二次函数y=﹣x 2﹣4x+5的图象上的三点,则y1、y2、y3的大小关系是(用“<”连接).13.函数y=﹣3(x+2)2的开口,对称轴是,顶点坐标为.14.已知抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b,在自变量x的值满足﹣1≤x≤2的情况下,函数有最大值m,则m的最小值是15.如图,已知抛物线和x轴交于两点A、B,和y轴交于点C,已知A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,△ABC 是直角三角形,∠ACB=90°,则此抛物线顶点的坐标为.16.对于二次函数y=5x 2+bx+c ,甲、乙、丙、丁四位同学给出四个说法,甲:图象对称轴是x=1;乙:函数最小值为3;丙:当x=﹣1时,y=0;丁:点(2,8)在函数图象上.其中有且仅有一个说法是错误的,则哪位同学的说法是错误的 .三.解答题(共9小题)17.一个二次函数图象上部分点的横坐标x ,纵坐标y 的对应值如下表:﹣(1)求这个二次函数的表达式;(2)求m 的值;(3)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图象;(4)根据图象,写出当y <0时,x 的取值范围.18.某商场销售一种商品,进价为每个20元,规定每个商品售价不低于进价,且不高于60元,经调查发现,每天的销售量y (个)与每个商品的售价x (元)满足一次函数关系,其部分数据如下所示:(1)求y 与x 之间的函数表达式;(2)设商场每天获得的总利润为w (元),求w 与x 之间的函数表达式;(3)不考虑其他因素,当商品的售价为多少元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是多少?19.如图,点P 为抛物线y=x 2上一动点.(1)若抛物线y=x2是由抛物线y=(x+2)2﹣1通过图象平移得到的,请写出平移的过程;(2)若直线l经过y轴上一点N,且平行于x轴,点N的坐标为(0,﹣1),过点P作PM⊥l于M.①问题探究:如图一,在对称轴上是否存在一定点F,使得PM=PF恒成立?若存在,求出点F的坐标:若不存在,请说明理由.②问题解决:如图二,若点Q的坐标为(1,5),求QP+PF的最小值.20.如图1,在平面直角坐标系xOy中,直线l:与x轴、y轴分别交于点A和点B(0,﹣1),抛物线经过点B,且与直线l的另一个交点为C(4,n).(1)求n的值和抛物线的解析式;(2)点D在抛物线上,且点D的横坐标为t(0<t<4).DE∥y轴交直线l于点E,点F在直线l上,且四边形DFEG为矩形(如图2).若矩形DFEG的周长为p,求p与t的函数关系式以及p的最大值;(3)M是平面内一点,将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后,得到△A1O1B1,点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1.若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上,请直接写出点A1的横坐标.21.如图,抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(﹣3,0),B(1,0),与y轴相交于(0,﹣),顶点为P.(1)求抛物线解析式;(2)在抛物线是否存在点E,使△ABP的面积等于△ABE的面积?若存在,求出符合条件的点E的坐标;若不存在,请说明理由;(3)坐标平面内是否存在点F,使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形?直接写出所有符合条件的点F的坐标,并求出平行四边形的面积.22.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上.①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积;②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上.23.建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时,水面宽AB为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD,且CD=2米,此时水位上升了多少米?24.如图,在直角坐标系中,0是坐标原点,直线AB交x轴于点A(﹣4,0),交y轴于点B,抛物线y=ax2+2ax+3(a≠0)经过A,B两点.P是线段AO上的一动点,过点P作PC⊥x轴交直线AB于点C,交抛物线于点D.(1)求a及AB的长.(2)连结PB,若tan∠ABP=,求点P的坐标.(3)连结BD,以BD为边作正方形BDEF,是否存在点P使点E恰好落在抛物线的对称轴上?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.(4)连结OC,若S△BDC:S△OBC=1:2,将线段BD绕点D按顺时针方向旋转,得到DB′.则在旋转的过程中,当点A,B到直线DB′的距离和最大时,请直接写出点B′的坐标.参考答案与试题解析一.选择题(共10小题)1.【解答】解:由,消去y得到:2x2+x﹣4=0,∵△=1﹣(﹣32)=33>0,∴抛物线y=2x2﹣1与直线y=﹣x+3有两个交点,故选:C.2.【解答】解:①∵a=﹣2<0,∴抛物线的开口向下,正确;②对称轴为直线x=﹣1,故本小题错误;③顶点坐标为(﹣1,3),正确;④∵x>﹣1时,y随x的增大而减小,∴x>1时,y随x的增大而减小一定正确;综上所述,结论正确的个数是①③④共3个.故选:C.3.【解答】解:由题意,函数的图象为:∵抛物线的对称轴x=,设抛物线与x轴交于点A、B.∴AB<1,∵x取m时,其相应的函数值小于0,∴观察图象可知,x=m﹣1在点A的左侧,x=m﹣1时,y>0,故选:B.4.【解答】解:∵某定弦抛物线的对称轴为直线x=1,∴该定弦抛物线过点(0,0)、(2,0),∴该抛物线解析式为y=x(x﹣2)=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1.将此抛物线向左平移2个单位,再向下平移3个单位,得到新抛物线的解析式为y=(x﹣1+2)2﹣1﹣3=(x+1)2﹣4.当x=﹣3时,y=(x+1)2﹣4=0,∴得到的新抛物线过点(﹣3,0).故选:B.5.【解答】解:作点C关于直线l的对称点C′,连接AC′交直线l于P,连接PC,则△APC的周长的最小,由抛物线的对称性可知,点C′在抛物线上,当x=0时,y=2,∴点C的坐标为(0,2),∴点C′的纵坐标为2,2=﹣x2+x+2,解得,x1=0,x2=3,则点C′的横坐标为3,﹣x2+x+2=0,x1=﹣1,x2=4,则点A的坐标为(﹣1,0),∴AC′==2,AC==,∴△APC的周长的最小值是3,故选:B.6.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线对称轴为直线x=﹣=1,∴b=﹣2a>0,即2a+b=0,所以②正确;∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴abc<0,所以①错误;∵抛物线对称轴为直线x=1,∴函数的最大值为a+b+c,∴当m≠1时,a+b+c>am2+bm+c,即a+b>am2+bm,所以③错误;∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧,而对称轴为直线x=1,∴抛物线与x轴的另一个交点在(﹣1,0)的右侧∴当x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以④错误;∵ax12+bx1=ax22+bx2,∴ax12+bx1﹣ax22﹣bx2=0,∴a(x1+x2)(x1﹣x2)+b(x1﹣x2)=0,∴(x1﹣x2)[a(x1+x2)+b]=0,而x1≠x2,∴a(x1+x2)+b=0,即x1+x2=﹣,∵b=﹣2a,∴x1+x2=2,所以⑤正确.综上所述,正确的有②⑤.故选:C.7.【解答】解:当x=0时,y=x2﹣4x﹣4=﹣4;当x=1时,y=x2﹣4x﹣4=﹣7;当x=﹣1时,y=x2﹣4x﹣4=1;当x=2时,y=x2﹣4x﹣4=﹣8,所以点(1,﹣7)在抛物线y=x2﹣4x﹣4上.故选:B.8.【解答】解:当k>0时,函数y=kx2的图象是开口向上,顶点在原点的抛物线,y=kx+k的图象经过第一、二、三象限,是一条直线,故选项A、B均错误,当k<0时,函数y=kx2的图象是开口向下,顶点在原点的抛物线,y=kx+k的图象经过第二、三、四象限,是一条直线,故选项C正确,选项D错误,故选:C.9.【解答】解:A.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项A正确;B.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项B错误;C.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;[来源:学&科&网Z&X&X&K]②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项C错误;D.①因为点(﹣1,0),(3,0)在二次函数上,所以a﹣b+c=0,9a+3b+c=0,两式作差可得8a+4b=0,故2a+b=0,则①正确;②由图形可知,该二次函数的a>0,c<0,顶点的横坐标﹣=1>0,则b<0,知abc>0,故②错误;③函数图象与x轴两个交点,可知b2﹣4ac>0,故③正确;④由图象可知,则b=﹣2a,因(3,0)在函数图象上,故9a+3b+c=0,将b=﹣2a代入得3a+c=0,由函数图象知a>0,故3a+c+5a>0,即8a+c>0.故④正确.故选项D错误.故选:A.10.【解答】解:∵抛物线开口向下,∴a<0,∵抛物线与y轴的交点在x轴上方,∴c>0,∴ac<0,所以①错误;∵x=﹣1时,y<0,∴a﹣b+c<0,所以②正确;当x<0时,y有时大于0,有时等于0,有时小于0,∴③错误;∵抛物线与x轴的两个交点都在点(﹣1,0)的右边,∴方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个大于﹣1的实数根,所以④正确.故选:D.二.填空题(共6小题)11.【解答】解:∵y=3(x﹣1)2+k,∴图象的开口向上,对称轴是直线x=1,A(﹣4,y3)关于直线x=﹣2的对称点是(6,y3),∵2<3<6,∴y1<y2<y3,故答案为y1<y2<y3.12.【解答】解:抛物线的对称轴为直线x=﹣=﹣2,抛物线开口向下,当B(﹣,y 2)到直线x=﹣2的距离最小,点C(3,y3)到直线x=﹣2的距离最大,所以y3<y1<y2.故答案为y3<y1<y2.13.【解答】解:函数y=﹣3(x+2)2的开口向下,对称轴是直线x=﹣2,顶点坐标是(﹣2,0),故答案为:向下,直线x=﹣2,(﹣2,0).14.【解答】解:∵抛物线y=﹣x2+bx+2﹣b,∴开口向下,对称轴为x=当﹣1≤≤2,则﹣2≤b≤4,函数最大值m为≥1当≤﹣1,则b≤﹣2,当x=﹣1时,函数最大值m为﹣1﹣b+2﹣b=1﹣2b≥5当≥2,则b≥4当x=2时,函数最大值m为﹣4+2b+2﹣b=b﹣2≥2∴m的最小值为1故答案为115.【解答】解:∵A、B两点的横坐标分别为﹣1,4,∴OA=1,OB=4,∵∠ACB=90°,∴∠CAB+∠ABC=90°,∵CO⊥AB,∴∠ABC+∠BCO=90°,∴∠CAB=∠BCO,又∵∠AOC=∠BOC=90°,∴△AOC∽△COB,∴=,即=,解得OC=2,∴点C 的坐标为(0,2),∵A 、B 两点的横坐标分别为﹣1,4,∴设抛物线解析式为y=a (x+1)(x ﹣4),把点C 的坐标代入得,a (0+1)(0﹣4)=2,解得a=﹣,∴y=﹣(x+1)(x ﹣4)=﹣(x 2﹣3x ﹣4)=﹣(x ﹣)2+,∴此抛物线顶点的坐标为(,).故答案为:(,).16.【解答】解:若甲乙对,则抛物线的解析式为y=5(x ﹣1)2+3,当x=﹣1时,y=23,此时丙错误;当x=2时,y=8,此时丁正确.而其中有且仅有一个说法是错误的,所以只有丙错误.故答案为丙.三.解答题(共9小题)17.【解答】解:(1)由图表可知抛物线的顶点坐标为(﹣1,2),所以,设这个二次函数的表达式为y=a (x+1)2+2,∵图象过点(1,0),∴a (1+1)2+2=0,∴a=﹣,∴这个二次函数的表达式为y=﹣(x+1)2+2;(2)x=2时,m=﹣(2+1)2+2=﹣;(3)函数图象如图所示;(4)y<0时,x<﹣3或x>1.18.【解答】解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b,则,解得,即y与x之间的函数表达式是y=﹣2x+160;(2)由题意可得,w=(x﹣20)(﹣2x+160)=﹣2x2+200x﹣3200,即w与x之间的函数表达式是w=﹣2x2+200x﹣3200;(3)∵w=﹣2x2+200x﹣3200=﹣2(x﹣50)2+1800,20≤x≤60,∴当20≤x≤50时,w随x的增大而增大;当50≤x≤60时,w随x的增大而减小;当x=50时,w取得最大值,此时w=1800元即当商品的售价为50元时,商场每天获得的总利润最大,最大利润是1800.19.【解答】解:(1)∵抛物线y=(x+2)2﹣1的顶点为(﹣2,﹣1)∴抛物线y=(x+2)2﹣1的图象向上平移1个单位,再向右2个单位得到抛物线y=x2的图象.(2)①存在一定点F,使得PM=PF恒成立.如图一,过点P作PB⊥y轴于点B设点P坐标为(a, a2)∴PM=PF=a2+1∵PB=a∴Rt△PBF中BF=∴OF=1∴点F坐标为(0,1)②由①,PM=PFQP+PF的最小值为QP+PM的最小值当Q、P、M三点共线时,QP+PM有最小值,最小值为点Q纵坐标加M纵坐标的绝对值.∴QP+PF的最小值为6.20.【解答】解:(1)∵直线l:y=x+m经过点B(0,﹣1),∴m=﹣1,∴直线l的解析式为y=x﹣1,∵直线l:y=x﹣1经过点C(4,n),∴n=×4﹣1=2,∵抛物线y=x2+bx+c经过点C(4,2)和点B(0,﹣1),[来源:学§科§网]∴,解得,∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣1;(2)令y=0,则x﹣1=0,解得x=,∴点A的坐标为(,0),∴OA=,在Rt△OAB中,OB=1,∴AB===,∵DE∥y轴,∴∠ABO=∠DEF,在矩形DFEG中,EF=DE•cos∠DEF=DE•=DE,DF=DE•sin∠DEF=DE•=DE,∴p=2(DF+EF)=2(+)DE=DE,∵点D的横坐标为t(0<t<4),∴D(t, t2﹣t﹣1),E(t, t﹣1),∴DE=(t﹣1)﹣(t2﹣t﹣1)=﹣t2+2t,∴p=×(﹣t2+2t)=﹣t2+t,∵p=﹣(t﹣2)2+,且﹣<0,∴当t=2时,p有最大值;(3)∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°,∴A1O1∥y轴时,B1O1∥x轴,设点A1的横坐标为x,①如图1,点O1、B1在抛物线上时,点O1的横坐标为x,点B1的横坐标为x+1,∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1,解得x=,②如图2,点A1、B1在抛物线上时,点B1的横坐标为x+1,点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大,∴x2﹣x﹣1=(x+1)2﹣(x+1)﹣1+,解得x=﹣,综上所述,点A1的横坐标为或﹣.21.【解答】解:(1)将(﹣3,0),(1,0),(0,﹣)代入抛物线解析式得∴解得:a=,b=1,c=﹣∴抛物线解析式:y=x2+x﹣(2)存在.∵y=x2+x﹣=(x+1)2﹣2∴P点坐标为(﹣1,﹣2)∵△ABP的面积等于△ABE的面积,∴点E到AB的距离等于2,设E(a,2),∴a2+a﹣=2解得a1=﹣1﹣2,a2=﹣1+2∴符合条件的点E的坐标为(﹣1﹣2,2)或(﹣1+2,2)(3)∵点A(﹣3,0),点B(1,0),∴AB=4若AB为边,且以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB∥PF,AB=PF=4∵点P坐标(﹣1,﹣2)∴点F坐标为(3,﹣2),(﹣5,﹣2)∴平行四边形的面积=4×2=8若AB为对角线,以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形∴AB与PF互相平分设点F(x,y)且点A(﹣3,0),点B(1,0),点P(﹣1,﹣2)∴∴x=﹣1,y=2∴点F(﹣1,2)∴平行四边形的面积=×4×4=8综上所述:点F的坐标为(﹣1,2)、(3,﹣2)、(﹣5,﹣2),且平行四边形的面积为 8.22.【解答】解:(1)由已知,B点横坐标为3∵A、B在y=x+1上∴A(﹣1,0),B(3,4)把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得解得∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4;(2)①过点P作PE⊥x轴于点E∵直线y=x+1与x轴夹角为45°,P点速度为每秒个单位长度∴t秒时点E坐标为(﹣1+t,0),Q点坐标为(3﹣2t,0)∴EQ=4﹣3t,PE=t∵∠PQE+∠NQC=90°∠PQE+∠EPQ=90°∴∠EPQ=∠NQC∴△PQE∽△QNC∴∴矩形PQNM的面积S=PQ•NQ=2PQ2∵PQ2=PE2+EQ2∴S=2()2=20t2﹣48t+32当t=时,S最小=20×()2﹣48×+32=②由①点Q坐标为(3﹣2t,0),P坐标为(﹣1+t,t)∴△PQE∽△QNC,可得NC=2QO=8﹣6t∴N点坐标为(3,8﹣6t)由矩形对角线互相平分∴点M坐标为(3t﹣1,8﹣5t)当M在抛物线上时8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4解得t=当点Q到A时,Q在抛物线上,此时t=2当N在抛物线上时,8﹣6t=4∴t=综上所述当t=、或2时,矩形PQNM的顶点落在抛物线上.23.【解答】解:以点E为原点、EF所在直线为y轴,垂直EF的直线为x轴建立平面直角坐标系,根据题意知E(0,0)、A(﹣3,﹣3)、B(3,﹣3),设y=kx2(k<0),将点(3,﹣3)代入,得:k=﹣,∴y=﹣x2,将x=代入,得:y=﹣2,∴上升了1米.24.【解答】解:(1)把点A(﹣4,0代入抛物线y=ax2+2ax+3方程解得:a=﹣,二次函数的表达式为:y=﹣x2﹣x+3,则B坐标为(0,3),∵OA=4,OB=3,由勾股定理得:AB=5,则二次函数表达式为:y=﹣x2﹣x+3,对称轴为x=﹣1,答:a=﹣,AB的长为5;(2)如上图,连接BP,作AH⊥PH于H,在Rt△ABH中,AB=5,tan∠ABP=,可得:AH=,BH=2,设:点P的坐标为(x,0),在Rt△APH中,AP=﹣x,AH=,PH=BH﹣BP=2﹣,由勾股定理得:(﹣x)2=5+[2﹣]2,解得:x=10﹣14,答:点P的坐标(10﹣14,0);(3)如上图所示,正方形DBFE的E点在抛物线的对称轴上,从E点作EN⊥PD,作DH⊥y轴,则Rt△BHD≌Rt△END(AAS),∴NH=BH,设P点坐标为(a,0),则D、E点的坐标分别为(a,﹣a2﹣a+3)、(﹣1,y),BH=3﹣(﹣a2﹣a+3)=HN=﹣1﹣a,解得:x=﹣(舍去),x=﹣4,答:E恰好落在抛物线的对称轴上情况存在,点P的坐标为(﹣4,0);(4)当BD旋转到如图DB′的位置时,点A,B到直线DB′的距离和最大,此时AB⊥B′D,过点B′向PD和x轴作垂线,即BN⊥DP,BM⊥x轴,由A、B两点坐标可得AB的直线方程为:y=x+3,则tan∠BAO=,设P点坐标为(m,0),则C(m, m+3),∵△BDC和△OBC是等高不等底的两个三角形,而1:2若S△BDC:S△OBC=1:2,∴CD=OB=,则D点y坐标=C点y坐标+=m+,即:D(m, m+),把点D的坐标(m, m+)代入二次函数方程y=﹣x2﹣x+3,解得:m=﹣2,把m值代入,即D点坐标为:D(﹣2,3),P(﹣2,0),∵B(0,3)则BD∥x轴,∴BD⊥DC,∵BD⊥DC,AB⊥B′D,∴∠BDP=∠BAO=∠BAO,∴tan∠B′DP=tan∠BAO=,在Rt△B′MD中,B′D=BD=2,tan∠B′DP=,则:B′M=,DM=,则:B′的横坐标为=x P﹣B′M=﹣2+=﹣,B′的纵坐标为=y D﹣DM=3﹣=;答:当点A,B到直线DB′的距离和最大时点B′的坐标为(﹣,).。