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几种简单结构的二次屈曲
1.引言
二次屈曲是结构力学中一个重要的研究领域。
在工程实践中，我们常常需要对各种结构进行二次屈曲分析，以确保结构的稳定性和安全性。
本文将介绍几种简单结构的二次屈曲问题，并探讨其分析方法和影响因素。
2.直杆的二次屈曲
直杆是最简单的结构，它的二次屈曲问题可以用经典欧拉公式求解。
欧拉公式表明，直杆的临界屈曲荷载与其长度的平方成反比。
本节将详细介绍直杆的二次屈曲分析步骤，并给出数值计算示例。
3.杆件和板件的组合结构的二次屈曲
当结构中同时存在杆件和板件时，其二次屈曲问题将更为复杂。
在这种情况下，常常需要采用有限元方法进行分析。
本节将介绍杆件和板件组合结构的二次屈曲分析方法，并讨论其局限性和改进方向。
4.桁架结构的二次屈曲
桁架结构是一种常见的轻型结构，其二次屈曲问题对于保证结构的稳定性至关重要。
本节将介绍桁架结构的二次屈曲特点和分析方法，并提供实际案例分析。
5.曲面结构的二次屈曲
曲面结构常见于建筑和航空领域，其二次屈曲问题更为复杂。
本节将探讨曲面结构的二次屈曲特性和计算方法，并介绍几种常用的数值模拟技术。
6.结论
本文系统介绍了几种简单结构的二次屈曲问题，包括直杆、杆件和板件组合结构、桁架结构和曲面结构。
针对不同结构，我们探讨了对应的分析方法和影响因素。
通过深入理解二次屈曲问题，我们能够更好地设计和优化各种结构，提高其稳定性和安全性。
1．线性屈曲特征值屈曲分析属于线性分析，它对结构临界失稳力的预测往往要高于结构实际的临界失稳力，特载值分析得到的是第一类稳定问题的解，只能得到屈曲荷载和相应的失稳模态，它的优点就是分析简单，计算速度快。
事实上在实际工程中应用还是比较多的，比如分析大型结构的温度荷载，而且钢结构设计手册中的很多结果都是基于特征值分析的结果，例如钢梁稳定计算的稳定系数，框架柱的计算长度等。
它的缺点主要是：不能得到屈曲后路径，不能考虑初始缺陷如初始的变形和应力状态，不能考虑材料的非线性。
但特征值屈曲分析作为非线性屈曲分析的初步评估作用是非常有用的。
特征值屈曲分析所预测的结果我们只取最小的第一阶，所以你所得出的特征值临界失稳力的大小应为F＝实际施加力*第一价频率。
2. 非线性屈曲非线性屈曲分析的第一步最好进行特征值屈曲分析，特征值屈曲分析能够预测临界失稳力的大致所在，因此在做非线性屈曲分析时所加力的大小便有了依据。
由于非线性屈曲分析要求结构是不“完善”的，比如一个细长杆，一端固定，一端施加轴向压力。
若次细长杆在初始时没有发生轻微的侧向弯曲，或者侧向施加一微小力使其发生轻微的侧向挠动。
那么非线性屈曲分析是没有办法完成的，为了使结构变得不完善，你可以在侧向施加一微小力。
这里由于前面做了特征值屈曲分析，所以你可以取第一阶振型的变形结果，并作一下变形缩放，不使初始变形过于严重，上步完成后，加载计算所得的临界失稳力，打开大变形选项开关，采用弧长法计算，设置好子步数，计算。
后处理，主要是看节点位移和节点反作用力（力矩）的变化关系，找出节点位移突变时反作用力的大小，然后进行必要的分析处理。
非线性分析比较好的是能够得到结构和构件的屈曲后特性，可以考虑初始缺陷还有材料的非线性包括边界的非线性性能。
但是在分析的时候最好是在线性特征值的基础上，因为这种方法的结果依赖所加的初始缺陷，如果所加的几何缺陷不是最低阶，可能得到高阶的失稳模态。
屈曲载荷计算公式好的，以下是为您生成的关于“屈曲载荷计算公式”的文章：在我们探索工程世界的奇妙旅程中，屈曲载荷计算公式就像是一把神秘的钥匙，能帮我们打开许多结构稳定性的谜题。
屈曲，这听起来好像有点抽象，但其实在生活中处处都有它的影子。
就拿我们常见的晾衣架来说吧，当你挂太多衣服的时候，晾衣架是不是有可能会弯曲变形？这其实就是一种屈曲现象。
那什么是屈曲载荷呢？简单来说，就是让一个结构开始失去稳定、发生屈曲的那个载荷大小。
比如说一根细长的柱子，当施加在它上面的压力超过一定值时，柱子就会突然弯曲，这个压力的临界值就是屈曲载荷。
屈曲载荷的计算公式有很多种，这取决于结构的形状、边界条件、材料特性等等因素。
咱们就拿最简单的两端铰支的细长柱子来说，它的屈曲载荷计算公式是：$P_{cr} = \frac{\pi^2 EI}{L^2}$ 。
这里的$E$ 是材料的弹性模量，$I$ 是截面的惯性矩，$L$ 是柱子的长度。
这个公式看起来是不是有点让人头疼？别担心，让我给您举个例子来说明。
假设我们有一根钢柱，材料的弹性模量$E$是 200GPa，柱子的横截面是一个直径为 5 厘米的圆形，那么截面的惯性矩$I$就可以算出来约等于 3.06×$10^{-7}$ 立方米的四次方。
柱子的长度$L$是 3 米。
把这些数值代入公式里，就能算出这根柱子的屈曲载荷啦。
在实际的工程中，可不像我们刚才算的这么简单。
比如说建造高楼大厦的时候，那些钢梁、钢柱的屈曲载荷计算就要复杂得多。
工程师们得考虑各种因素，像柱子是不是一端固定一端自由啦，或者是不是中间还有支撑啦等等。
而且材料也不是完全均匀的，还得考虑可能存在的缺陷和加工误差。
我曾经在一个建筑工地上观察过工程师们计算大楼柱子的屈曲载荷。
他们拿着厚厚的图纸，上面画满了各种线条和数据，一边讨论一边计算。
当时阳光特别刺眼，他们额头上都冒出了汗珠，但还是那么专注认真。
他们反复核对数据，还去现场测量柱子的实际尺寸，那种严谨的态度真的让人佩服。
屈曲（失稳）征值屈曲分析与非线性屈曲分析：很多现有的ANSYS资料都对特征值屈曲分析进行了较为详细的解释，特征值屈曲分析属于线性分析，它对结构临界失稳力的预测往往要高于结构实际的临界失稳力，因此在实际的工程结构分析时一般不用特征值屈曲分析。
但特征值屈曲分析作为非线性屈曲分析的初步评估作用是非常有用的。
以下是我经过多次计算得出的一些分析经验，欢迎批评。
1. 非线性屈曲分析的第一步最好进行特征值屈曲分析，特征值屈曲分析能够预测临界失稳力的大致所在，因此在做非线性屈曲分析时所加力的大小便有了依据。
特征值屈曲分析想必大家都熟练的不行了，所以小弟不再罗嗦。
小弟只说明一点，特征值屈曲分析所预测的结果我们只取最小的第一阶，所以你所得出的特征值临界失稳力的大小应为F＝实际施加力*第一价频率。
2. 由于非线性屈曲分析要求结构是不“完善”的，比如一个细长杆，一端固定，一端施加轴向压力。
若次细长杆在初始时没有发生轻微的侧向弯曲，或者侧向施加一微小力使其发生轻微的侧向挠动。
那么非线性屈曲分析是没有办法完成的，为了使结构变得不完善，你可以在侧向施加一微小力。
这里由于前面做了特征值屈曲分析，所以你可以取第一阶振型的变形结果，并作一下变形缩放，不使初始变形过于严重，这步可以在Main Menu> Preprocessor> Modeling> Update Geom中完成。
3. 上步完成后，加载计算所得的临界失稳力，打开大变形选项开关，采用弧长法计算，设置好子步数，计算。
4. 后处理，主要是看节点位移和节点反作用力（力矩）的变化关系，找出节点位移突变时反作用力的大小，然后进行必要的分析处理。
屈曲的特征理解：当结构轴向（梁，板，壳）承受压缩载荷作用时，若压缩载荷在临界载荷以内，给结构一个横向干扰，结构就会发生挠曲，但当这个横向载荷消除时，结构还会恢复到原有的平衡状态，此时杆的直的形式的弹性平衡是稳定的。
屈曲约束支撑（也称为约束支撑或支座）是结构工程中的一种重要元素，用于支持和限制构件的位移和变形。
对于屈曲约束支撑的检测，通常需要考虑以下一些关键的检测项和方面：
1. 强度检测：屈曲约束支撑的强度是一个关键指标，需要检测支撑是否足够强，能够承受设计荷载和力的要求。
这涉及到检测支撑材料的抗弯、抗剪、抗压等力学性能。
2. 刚度检测：屈曲约束支撑的刚度是另一个重要因素，影响结构的刚度和变形。
需要检测支撑的刚度是否满足设计要求，包括纵向和横向刚度。
3. 位移和变形监测：检测支撑的位移和变形是必要的，以确保结构在正常工作荷载下不会发生超限的变形。
这可能涉及使用传感器监测支撑的位移和变形，并将其与设计要求进行比较。
4. 安装和固定检测：支撑的安装和固定也是关键的，需要确保支撑正确安装在结构的设计位置，并且与结构构件连接牢固。
5. 耐久性检测：屈曲约束支撑通常需要具备一定的耐久性，以确保其在使用寿命内不会失效或腐蚀。
需要定期检测支撑的耐久性和防护措施是否有效。
6. 材料质量和制造工艺检测：支撑材料的质量和制造工艺也是重要因素，需要确保材料符合相关标准，而制造工艺符合质量控制要求。
7. 防火性能检测：对于某些特殊场所，如建筑物的火灾安全要求，可能需要检测支撑的防火性能，以确保其在火灾发生时不会过早失效。
请注意，具体的检测项和要求会根据支撑类型、用途和所在国家或地区的法规和标准而有所不同。
因此，在进行屈曲约束支撑的检测时，需要参考适用的国家标准、行业规范和设计要求，以确保支撑的安全性和性能符合要求。
同时，也建议由专业工程师或结构工程师进行支撑的检测和评估。
1绪论1.1充液圆柱轴向屈曲及破坏分析的研究进展及现状充液圆柱壳是工程中最常用的结构元件之一,对其在各种基本载荷以及在不同类型载荷的联合作用下的屈曲问题的研究一直是应用力学界和结构工程界十分关注的课题。
对圆柱壳在轴压和横向载荷联合作用下的屈曲问题许多研究者曾作过理论分析和实验研究。
早在三十年代,Flǔgge就曾研究过静态内压和轴压联合作用下的弹性失稳问题,五、六十年代对该问题从理论和实验方面都作了进一步研究,他们的研究限制在确定内压为某一定值时的临界载荷,而未计及内压与轴压同时变化的情况[4]。
对充满液体的薄壁圆柱壳经受轴向压缩时的屈曲载荷和屈曲模态进行了弹塑性屈曲分析。
根据香利(F R Shan ley) 不卸载假定, 推导了柱壳经受轴压和壳内液体的压力联合作用时弹塑性稳定方程, 通过求解此方程得到了充满液体的封闭圆柱壳发生轴对称屈曲时的临界载荷和屈曲波纹数。
理论计算与实验结果具有较好的一致性[2]。
最近有关工作者们对充满水的封闭圆柱壳轴向压缩屈曲问题进行了一系列的实验研究,研究表明,充满水的封闭圆柱壳受轴向压缩时,由于水的压缩性很小,将在壳内形成内压, 充满液体的金属薄圆柱壳当受轴压作用时, 由于屈曲涉及到固液耦合, 其变形过程十分复杂壳[1]。
因为壳内充满液体, 壳壁同时承受轴力和内压的联合作用。
其屈曲过程呈现许多明显的与内空柱壳不同的特性,如屈曲载荷略有提高,对几何缺陷表现得远不像内空柱壳那样敏感。
但由于内压随着壳体的变形而变化,给屈曲分析造成一定的困难[2]。
为了确定液体内压的变化规律,建立合理的理论分析的力学模型,必须有可靠的实验基础。
承受膜力为主的结构，当所受载荷达到某一临界值时，若对其施加一个微小的扰动，则结果的平衡位移将发生很大的变化，这种平衡状态的变化叫做结构的失稳，则相应的载荷为临界载荷。
一般来说结构丧失稳定后的承载能力可以有时可以增加有时可以减小，这与载荷种类，结构的几何特性等因素有关。
若结构加载到某一临界状态发生的显著变化，并不是由于材料破坏或软化造成的，则称为桔构的屈曲（buckling ）。
当桔构的一种变形形态变的不稳定，而去找另一种稳定的变形形态，这种进一步的屈曲现象称为后屈曲（post-buckling）.一般，屈曲指桔构几何形态的变化，而失稳是指平衡状态性质的变化[11]。
近代结构稳定性理论集中研究结构的屈曲形式（分支型屈曲或极值型屈曲）、屈曲模态、后屈曲平衡路径。
此外，重要的一点是，我们需要建立一个稳定性的辨别准则，并利用现有的数学手段建立起各种稳定性分析的人效方法。
随着现代工业的发展和高强度材料的出现，工程中草药各种壳体向轻型结构以展，稳定理计算，常常会对结构的承载能力做出较高的估计，甚至会导致灾难性的破坏。
这一严重事实使得工程师，力学家们非赏重视壳体的稳定性研究。
经典的线性理论虽然能够用来求解壳体的稳定性问题，但是它有一定的局限性，对于一般的杆、板、夹层壳，求得的临界值与实验值是接近的，它只能给出理想完善小桔构范围的临界荷载，对于上述；圆柱壳受轴向压力的临界值与实验值之间的差异无法做出解释，因而仅用线性理论计算分支点和临界载荷是不够的壳[15]。
受轴向压缩圆柱壳的实际表明，薄壳失稳时按线性小挠度理论得到的屈曲载荷实际上远大于实验值，即当实际值的几分之一时，壳体忆发生屈曲破坏，而且实验数据相当分散，其原因有：因为屈曲变形不属于小挠度，所以线性小挠度必将导致过大的误差，应该考虑使用非线性的大挠度方程；再者壳不可能总是完善的，而屈曲载荷有时对初始缺陷是十分敏感的，因而在这种情况下，必须考虑初始缺陷的影响；此外，在远低天临界载荷的情况下有量可能存在一种稳定的屈曲大挠度平衡位形，这种平衡位形很接近于实验中所观到的现象，壳体可能会由前屈曲平衡位形“跳跃”到此稳定后的屈曲平衡位形，而造成直接经济损失成壳体的破坏，因此有时应以后屈曲的下临界值做下临界载荷。
Flügge 在1932年企图除去轴压柱壳理论和实验间的差别，他首先考虑了在理论分析中所假定的端部条件与实验中所实现的端部条件的差别。
经研究他发现端部条件的影响仅仅延伸到与R t相近的距离。
其中R为圆柱壳的半径，t为壁厚。
因此，单从这点考虑是无法解释轴压柱壳破坏的突然性，也不能解释长度与心饭1相比较很大的柱壳理论与实验间的巨大差别[18]。
Flügge于1932年，Donnell于1934年，先后认为之所以造成理论和实验间的大差别是由于轴压柱壳有初始缺陷。
可是后来这个判断被Karman和钱学森给否定了。
Karman和钱学森分析了一根具有几何缺陷的铰支压杆，在跨中有一个非线性弹簧支承者。
分析结果发现，破坏力如要下降到临界力的60%,缺陷幅度必须达到一个很大的数值。
于是，他们认为，如果说缺陷是使圆柱薄壳破坏力降低这么多的原因，那么缺陷必须等于几倍的厚度，这是不可能的[18]。
Von Karman和钱学森在1941年Donnell大挠度方程的基础上，建立非线性大挠度屈曲理论，指出非线性特征在壳体中的重要性，说明在远低于临界力的情况下存在着一种后屈曲的大挠度平衡位形，由此提出了所谓的非线性“跳跃”理论。
这种变形的突然变化将造成壳体结构的破坏。
1942年钱学森文提出了“等能量准则’，来说明这种非线性跳跃的条件。
卡门和钱学森定义后屈曲平衡的最小载荷为“下临界载荷”，并建议把它们作为最小设计载荷，它约为经典线性理论临界载荷1/3，接近于许多实验的平均值，这在当时看来是合理的和可信的[31]。
虽然卡门和钱学森的工作是远非完善的，但是这种概念上的创新大大推动了近代非线性稳定理论的发展。
在以后的很长一段时间内，许多力学工作者围绕着超屈曲的平衡位形进行了深入研究，虽然这些研究还不足以确立轴压圆柱壳的实用稳定性设计准则，但是终于弄清了后屈曲大挠度平衡位形的基本性质。
他们的研究结果表明，这种超屈曲平衡位形在远低于临界载荷的情况下是存在的，其结果就使圆柱壳在轴压下对任何扰动和初始几何缺陷表现出极其敏感。
在后屈曲阶段即使可能存在这种对应于最小载荷的平衡位形，但是这个最小载荷不是临界载荷，将后屈曲最小载荷定义为”下临界载荷”是不正确的，当然也不能作为一个设计的极限值。
由于对后屈曲平衡位形的深人的研究，弄清楚了圆柱壳轴压屈曲后的基本性质，但是对于解释理论和实验之间的分歧仍不充分。
在以前的稳定分析都是假定前屈曲状态可以足够精确地用一个线性薄膜理论(无力矩理论)来描述，这就等于假定在前屈曲状态的挠度函数。
是一个常数，这样就导致传统的经典线性方程。
然而这种假定显然造成了前屈曲状态与边界条件是不一致的(不相容的)。
从六十年代以后，有人从另一途径来解决这一问题，他们详细研究了“非线性壳体的前屈曲性能”及其对于屈曲方程和临界压力的影响，斯坦因称之为”非线性前屈曲一致理论”[41]。
斯坦因理论抛弃了前屈曲状态的无力矩假定，而在前屈曲状态中采用了与边界方程相一致的非线性有力矩方程，于是获得了精确的分支性临界载荷近代的非线性前屈曲一致理论的建立和发展缘于两个因素，一是近代高速电子计算机的发展，使得在薄壳稳定性理论中更为复杂的非线性前屈曲一致理论的数学计算成为可能;二是由于薄壳实验技术的发展，能够精确地测出薄壳前屈曲状态和屈曲的过程，并且还用电沉积和电解铜等方法制造出“接近完善”的壳体模型，在很大程度上，排除了初始缺陷的影响，从而为建立合理的理论提供了保贵的实验资料。
1.2屈曲的简介及分类一般说来，结构失稳后的承载能力有时可以增加，有时则减小。
这与载荷类型、结构的几何特征等因素有关。
这一现象说明：根据屈曲分析得到屈曲载荷并不总是与体系的承载能力相联系，之所以产生这种不一致，关键在于体系后屈曲平衡状态并不总是稳定的。
要了解分析其原因就必须对结构的后屈曲性态作深入的研究。
结构丧失稳定时，伴随着翘曲或褶皱发生，这种变形性质的显著变化称为屈曲[16]。
屈曲（buckling）：当结构所受载荷达到某临界状态时，若增加一个微小增量，则结构的平衡位形将发生很大的改变，而这种变化并不是由于材料破坏或软化造成的，则称为结构的屈曲。
后屈曲：当结构的一种变形形态变得不稳定，而去寻找另一种稳定的变形形态，这种进一步的屈曲现象称为后屈曲（post buckling）。
当代屈曲问题研究重点已更多地从弹性到塑性，由静力屈曲问题转到动力屈曲问题，在屈曲问题的各个方面都取得了长足发展。
大体上说，结构的屈曲问题按照不同的方式可以分为以下几种不同的类型：根据结构的承载能力，可将屈曲分为静力屈曲和动力屈曲。
静力屈曲：指结构在静态外载作用下发生的屈曲。
动力屈曲：指结构在动态荷载作用下发生的屈曲，例如（1）轴向冲击荷载引起的杆或圆柱壳的屈曲，横向冲击载荷引起的浅拱或扁球壳的跳跃；（2）周期外力引起的参数共振；（3）回转力引起的轴的晃动等，这些荷载都是随时间变化的动态荷载；（4）结构在随动荷作用下引起的屈曲。
所谓随动载荷是指其值保持不变却随着结构变形而改变其方向的荷载。
之所以将这类问题也归入动力屈曲中，是因为对这类非保守力，即使是研究系统的平衡稳定性，也必须从动力学观点来讨论。
按结构屈曲时的材料性质，可将屈曲分为弹性屈曲、塑性屈曲和弹塑性屈曲。
弹性屈曲：结构屈曲前后仍在小变形假定的范围内处于弹性状态时，称之为弹性屈曲。
塑性屈曲:结构在塑性应力状态下发生屈曲时，称之为塑性屈曲。
弹塑性屈曲：介于弹性屈曲和塑性屈曲之间的一种屈曲形式，屈曲前结构处于弹性应力状态，而屈曲时由于扰动变形使一部分材料进入塑性，及屈曲发生后材料处于弹塑性应力状态。
由于上述三种屈曲现象中材料性呈现出本质的差别，因此，整个屈曲过程也表现出各自不同的一些特点。
通常人们研究较大的是弹性屈曲和塑性屈曲，对于弹塑性屈曲则很少有人问津，主要原因是因为弹塑性交界处材料性质的变化使理论分析变得十分困难。
沿袭静力屈曲中已有的实验结果及方法，按屈曲的性质，可将屈曲分为极值屈曲、分叉屈曲和非完善结构的屈曲三类。
极值屈曲：指当载荷超过某个临界值时，位移有突然的变化。
例如弹塑性梁柱、圆柱壳一侧受冲击、浅拱和浅球冠等在静载作用下发生跳跃屈曲（snap through buckling）的那类结构。
分叉屈曲：指基本运动在某种状态时（对应于分叉点）变得不唯一或不稳定。
非完善结构的屈曲：指含初缺陷结构的屈曲，在某些情况下，带缺陷的壳体的屈曲荷载大大低于完善壳体的分叉点载荷。
按屈曲后路径是否稳定，可分为具有稳定后屈曲路径的屈曲，具有不稳定后屈曲路径的屈曲和同时具有稳定及不稳定后屈曲路径的屈曲。
具有稳定后屈曲路径的屈曲：指屈曲发生后载荷仍可继续增长（如柱、板、无支撑框架等）。
具有不稳定后屈曲路径的屈曲：值屈曲发生后载荷呈现出下降趋势（如轴向受压圆柱壳、球壳等）。
