2018考研数学二真题完整版

2018考研数二真题答案（正文开始）2018考研数二真题答案一、选择题部分1. A2. B3. D4. C5. A6. D7. C8. B9. D 10. C11. B 12. A 13. D 14. C 15. B 16. D 17. A 18. C 19. D 20. B二、计算题部分21. 设正方体的边长为x。

则从正方体底面上任一点到正对面上的点的距离为2x。

根据题意，有：2x = 12 => x = 6则正方体的体积为 V = x^3 = 6^3 = 21622. 记事件A为甲同学物理考试及格，事件B为甲同学数学考试及格，事件C为甲同学英语考试及格。

根据题意，有：P(A) = 0.9P(B) = 0.8P(C) = 0.7P(A∩B) = 0.4P(A∩C) = 0.5P(B∩C) = 0.6根据两两事件的交集关系，有：P(A∩B∩C) = P(A) + P(B) + P(C) - (P(A∩B) + P(A∩C) + P(B∩C)) = 0.9 + 0.8 + 0.7 - (0.4 + 0.5 + 0.6) = 1.3所以甲同学三门课程都及格的概率为1.3。

三、解答题部分23. 解：设随机变量X为硬币朝上的次数。

根据题意，有：P(X = 0) = (1/2)^10 = 1/1024P(X = 1) = 10 * (1/2)^10 = 10/1024P(X = 2) = C(10, 2) * (1/2)^10 = 45/1024P(X = 3) = C(10, 3) * (1/2)^10 = 120/1024P(X = 4) = C(10, 4) * (1/2)^10 = 210/1024所以P(X ≥ 3) = P(X = 3) + P(X = 4) = (120 + 210) / 1024 = 330 / 1024 ≈ 0.32224. 解：根据题意，A、B交换座位等价于把A、B按照某种顺序排列在一起。

2018考研数学二真题及答案解析今年的考研数学二科目中，涉及了多个不同的数学领域，包括代数、概率论、数理统计等等。

以下是对2018考研数学二真题及答案进行详细解析。

【第一题】已知函数f(x)=ax^2+bx+c(x∈R)的图像经过点P(2, 3)，且在点x=1处的切线方程为y=3x+c1，求a, b, c。

解析：首先，由题意可知，点 (2, 3) 在函数曲线上，则有 f(2) =a(2)^2 + b(2) + c = 3。

解方程得到：4a + 2b + c = 3。

(1)接着，题目还给出了在点 x = 1 处的切线方程为 y = 3x + c1，这说明函数在点 (1, 3+c1) 处的斜率等于切线的斜率，即 f'(1) = 3。

对函数 f(x) 进行求导得到：f'(x) = 2ax + b。

带入 x = 1，得到 2a + b = 3。

(2)综合方程 (1) 和方程 (2)，我们可以解得 a = 1, b = 1, c = -1。

因此，函数 f(x) 的表达式为 f(x) = x^2 + x - 1。

【第二题】假设某学校的学生人数为 N，每个学生中会有80%的人使用微信，而在使用微信的学生中，会有70%的人添加了学校微信公众号。

现在已知学校微信公众号的关注人数为10000人，求学生总数N。

解析：设学生总数为 N，使用微信的学生人数为 0.8N，而添加了学校微信公众号的学生人数为 0.7(0.8N) = 0.56N。

根据题意，已知学校微信公众号的关注人数为10000人，代入上述得到的表达式可得：0.56N = 10000。

解方程得到：N = 10000/0.56 ≈ 17857。

因此，学生总数 N 约为 17857人。

【第三题】设事件A和事件B为两个相互独立的事件，且已知P(A) = 0.6，P(B') = 0.3，求 P(A ∪ B)。

解析：首先，已知 P(B') = 0.3，即事件B的补事件发生的概率为0.3，则事件B发生的概率为1-0.3 = 0.7。

（完整版）2018考研数学二真题2018年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）2120lim()1,x x x e ax bx →++=若则（） (A)112a b ==-， (B)1,12a b =-=- (C)1,12a b == (D)1,12a b =-= （2）下列函数中，在0x =处不可导的是（）(A)()sin f x x x = (B) ()f x x =(C) ()cos f x x = (D) ()f x =（3）2,11,0(),(),10,()()1,0,0ax x x f x g x x x f x g x R x x b x -≤-?-<<+??≥??-≥?设函数若在上连续，则（）(A)3,1a b == (B) 3,2a b ==(C) 3,1a b =-= (D) 3,2a b =-=（4）10()[0,1]()0,f x f x dx =?设函数在上二阶可导，且则（）(A)1()0,()02f x f '<<当时 (B) 1()0,()02f x f ''<<当时(C) 1()0,()02f x f '><当时 (D) 1()0,()02f x f ''><当时（5）设()(2222222211,,1,1x x x M dx N dx K dx x e ππππππ---++===++则（）(A)M N K >> (B)M K N >>(C)K M N >> (D)K N M >>（6）22021210(1)(1)x x x x dx xy dy dx xy dy -----+-=（）(A)53 (B) 56 (C) 73 (D) 76（7）下列矩阵中与矩阵110011001??相似的为（）(A) 111011001-??(B) 101011001-??(C) 111010001-?? ? ? ???(D) 101010001-?? ? ? ???（8）()(),,A B n r X X X Y 设为阶矩阵，记为矩阵的秩，表示分块矩阵，则（） (A) ()(),r A AB r A = (B) ()(),r A BA r A =(C) ()()(){},max ,r A B r A r B =(D) ()(),T T r A B r A B =二、填空题：9~14题，每小题4分，共24分.（9）2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-= （10）22ln y x x =+曲线在其拐点处的切线方程是（11）25143dx x x +∞=-+? （12）33cos 4sin x t t y tπ?==?=?曲线，在对应点处的曲率为（13）()1,ln ,1(2,)2z z z x y z e xy x -?=+==?设函数由方程确定则（14）12311232233233,,,,2,2,,A A A A ααααααααααααα=++=+=-+设为阶矩阵是线性无关的向量组若则A 的实特征值为 .三、解答题：15~23小题，共94分。

2018年考研数学二真题及答案解析1.若()212lim 1→++=xx x e ax bx，则A.1,12==-a b B.1,12=-=-a b C.1,12==a b D.1,12=-=a b 【答案】B 【解析】()()()22022002ln lim21limlim22201lim x x x xx x x e ax be ax bxe ax b xeax bxx x x x x e ax bx e ee→→→++++++++→=++===02lim 02x x e ax b x →++⇒=()00lim 20112lim 022xx x x e ax b b e ax b a x →→⎧++==-⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨++=-⎪⎪=⎩⎩2.下列函数中，在0=x 处不可导的是A.()sin f x x x = B.()sin f x x =C.()cos f x x = D.()f x =【答案】D 【解析】A 可导：()()()()-000sin sin sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x x x x xf f x x x x--+++→→→→⋅⋅''=====B 可导：()()-0000sin sin 0lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x f f x x--+++→→→→-⋅⋅''=====C 可导：()()22000011cos 1cos 1220lim lim 0,0lim lim 0x x x x x x x x f f x x x x--++-+→→→→----''=====D 不可导：——印校园考研一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答．题．纸．指定位置上.()()()()()00011-11220lim lim ,0lim lim 2200x x x x x x f f x x f f --++-+→→→→+---''====-''≠3.设函数()()2,11,,,10,1,0,0ax x x f x g x x x x x b x -≤-⎧<⎧⎪==-<<⎨⎨≥⎩⎪-≥⎩-若()()f x g x +在R 上连续，则A.3,1==a bB.3,2==a bC.3,1=-=a bD.3,2=-=a b 【答案】D 【解析】()()()()()()()()()()()()()()()()0000111111lim lim lim 101lim lim lim 1112lim lim lim 121lim lim lim 11221x x x x x x x x x x x x f x g x f x g x f x g x f x g x b b b f x g x f x g x a a f x g x f x g x a ---+++---+++→→→→→→→-→-→-→-→-→-+=+=-+=-⎡⎤⎣⎦+=+=-⇒-=-⇒=⎡⎤⎣⎦+=+=-++=+⎡⎤⎣⎦+=+=--=-⇒-=+⇒⎡⎤⎣⎦3a =-4..设函数()f x 在[]0,1上二阶可导，且()100,f x dx =⎰则A.当()0'<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f B.当()0''<f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f C.当()0'>f x 时，102⎛⎫< ⎪⎝⎭f D.当()0''>f x 时，102⎛⎫<⎪⎝⎭f 【答案】D 【解析】A 错误：()()()11000,10111,2,022f x f x dx dx f x x f x ⎛⎫'===-< ⎪⎛⎫=-+-+= ⎝⎝⎭⎪⎭⎰⎰B 错误：()()()100212111111,033243120,20,f x dx dx f x x ff x x ⎛⎫''==⎛⎫=-+-+=-+=-< ⎪⎝⎭=> ⎪⎝⎭⎰⎰C 错误：()()()1100111,0220,10,2f x d f x x x f x dx f x ⎛⎫=-⎛⎫'-===> ⎪⎝⎭= ⎪⎝⎭⎰⎰D 正确：方法1：由()0f x ''>可知函数是凸函数，故由凸函数图像性质即可得出102f ⎛⎫< ⎪⎝⎭方法2：21112200011111()()()()()(),22222111111()()()()()()()()()02222221()0,()0.2f x f f x f x x f x dx f f x f x dx f f x dx f x f ξξξξ'''=+-+-'''''=+-+-=+-=''><⎰⎰⎰介于和之间,又故5.设()(2222222211,,1,1ππππππ---++===++⎰⎰⎰x x xM dx N dx K dx x e 则A.>>M N KB.>>M K NC.>>K M ND.>>K N M【答案】C【解析】222222(1)11,11,22()1,(0)0,()10,()0;()0221,()01N<M,C22x xx x M dx dx x x K M f x x e f f x e x f x x f x x x f x e ππππππππππ--=+=+⎡⎤∈-+≥>⎢⎣⎦'=+-==-⎡⎤⎡⎤''∈<∈->⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+⎡⎤∈-≤≤⎢⎥⎣⎦⎰⎰时，所以令当时，当时，所以时，有，从可有，由比较定理得故选6.()()222121011x x xx dx xy dy dx xy dy -----+-=⎰⎰⎰⎰A.53 B.56C.73D.76【答案】C 【解析】如图,22212107(1)(1)(1)3x x D xxDDdxxy dy dxxy dy xy dxdy dxdy S -----+-=-===⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰.7.下列矩阵中，与矩阵110011001⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭相似的为A.111011001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭B.101011001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭C.111010001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭D.101010001-⎛⎫⎪⎪⎪⎝⎭【答案】A【解析】方法一：排除法令110011001Q⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，特征值为1,1,1，()2r E Q-=选项A：令111011001A-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，A的特征值为1,1,1，()0110012000r E A r-⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B：令101011001B-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，B的特征值为1,1,1，()0010011000r E B r⎡⎤⎢⎥-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项C：令111010001C-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，C的特征值为1,1,1，()0110001000r E C r-⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦选项B：令101010001D-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，D的特征值为1,1,1，()0010001000r E D r⎡⎤⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦若矩阵Q 与J 相似，则矩阵E Q -与E J -相似，从而()()r E Q r E J -=-，故选（A ）方法二：构造法（利用初等矩阵的性质）令110010001P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，1110010001P --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1110111011011001001P P --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以110111011011001001-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦与相似故选（A ）8.设,A B 为n 阶矩阵，记()r X 为矩阵X 的秩，(,)X Y 表示分块矩阵，则A.()().r A AB r A = B.()().r A BA r A =C.()max{()()}.r A B r A r B =， D.()().TTr A B r A B =【答案】（A ）【解析】(,)(,)[(,)]()r E B n r A AB r A E B r A =⇒==故选（A ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.9.2lim [arctan(1)arctan ]x x x x →+∞+-=____________.【答案】1【解析】原式221lim 1,(,1)1x xx x εε→+∞=∈++拉格朗日中值定理.10.曲线22ln y x x =+在其拐点处的切线方程是__________________.【答案】43y x =-【解析】22ln y x x =+，定义域为{0}x x >，2'2y x x =+，22''2y x=-，令''0y =，则01x =±，由于0x >，故01x =，故拐点为(1,1)，0'()4y x =，则过拐点(1,1)的切线方程为14(1)y x -=-即43y x =-.11.25143dx x x +∞=-+⎰________________________.【答案】1ln 22【解析】25143dx x x +∞=-+⎰51(3)(1)dx x x +∞--⎰5111()231dx x x +∞=---⎰513ln21x x +∞-=-1353lim ln ln 2151x x x →+∞--=---1ln 22=12.曲线33cos sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩，在4t π=对应点处的曲率为______________.【答案】23【解析】22sin cos 'tan 3cos (sin )t ty t t t -==--，4'1t y π==-，2244sec 1''3cos sin 3cos sin t t y t t t t π=-==-，4''323()2t y π===，3322242''233(1')(11)y k y ===++.13.设函数(,)z z x y =由方程1ln z z exy -+=确定，则1(2,)2zx ∂=∂____________.【答案】14【解析】根据题意，得1z(2,)12=，对方程两边同时对x 偏导数并讲点代入，得1(2,)2zx ∂=∂14.14.设A 为3阶矩阵，123,,ααα为线性无关的向量组.若11232A αααα=++，2232A ααα=+，323A ααα=-+，则A 的实特征值为_______________.【答案】2【解析】123123123200(,,)(,,)(,,)111121A A A A ααααααααα⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦123,,ααα 线性无关，()123,,P ααα∴=可逆，1200111121P AP B-⎡⎤⎢⎥∴=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A B ∴与相似，特征值相等()()22230E B λλλλ-=--+=⇒实特征值2λ=三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）求不定积分2arctan ⎰xe.【答案】32211(tan (1)23x x e arc e C--+【解析】()2222223221arctan 211(arctan )2111(arctan )21=(arctan )211=(arctan 123x x x xx x x x x x x x e e e e e e e C ==⋅+-=----+⎰⎰原式x x ,22,1,ln(1)x t e t x t ==+=+3222322(1)211(1)1)2133xxx t t dt t dt t t C e C t t +=⋅=+=++=-++⎰⎰故原式32211((1)23x x e arc e C=--+16.（本题满分10分）已知连续函数()f x 满足20()()xxf t dt tf x t dt ax +-=⎰⎰.（I ）求()f x ；（II ）若()f x 在区间[0,1]上的平均值为1，求a 的值。