高中数学测试卷(含答案)
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高考备考诊断性联考卷（三）文科数学参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 BDCACDACBABD【解析】 1．i i (1i)11i i 1i 222z +-===-+-，13i 22z =-+，故选B ． 2．(){101}B Z=-，，，则(){1}AB Z =，故选D ．3．{}n a 既是等差数列又是等比数列，11a =，则*1()n a n =∈N (常数数列)，前2020项的和等于2020，故选C ．4．考虑用几何概型，如图1，||||2x y +表示边长等于2的正方 形区域，221x y +≤表示半径等于1的单位圆的内部，两个区域 的中心重合，事件“221x y +≤”发生的概率P =π4≈78.54%， 对比四个选项，故选A ．5．用余弦定理，22242311cos 24216B +-==⨯⨯，1142cos(π)2AB BC B =⨯⨯-=-，故选C ．6．()3sin 4cos f x x x =+，()3cos 4sin f x x x '=-，(0)4f =，(0)3f '=，则切线l 的方程为43(0)y x -=-，取0x =，解得切线l 在y 轴上的截距4b =，取0y =，解得切线l 在x 轴上的截距43a =-，则直线l 与坐标轴围成的三角形面积18||||23S a b ==△，故选D ．7．取0x =，得2y =±，图形在y 轴上的截距等于2±；取0y =，得4x =±，图形在x 轴上的图1截距等于4±；取1x =，得1y =±，则点(11)±，在图形上，排除B ，C ，D ，故选A ． 另解：当00x y ≥，≥2||||22(2)(002)x y x y y x x y =⇔=-⇔-=≥，≤≤，将抛物线弧（凹的）2(020)y x x y =-≥，≤≤上移2个单位得到2(2)(002)y x x y -=≥，≤≤||||2x y =的图形关于两条坐标轴对称，选A ，或者排除B ，C ，D ，故选A ． 8．命题①⑤是真命题，其它是假命题，故选C ．9．设23x y z -=，作出四个不等式0x ≥，0y ≥，220x y -+≥，3220x y --≤组合后表示的可行域（四边形区域），解得可行域的四个顶点：(00)O ，，203A ⎛⎫⎪⎝⎭，，(22)B ，，(01)C ，，一一代入计算比较，得min 3z =-，故选B ．（或用直线平移探索）10．()cos 2x f x x =-是R 的偶函数，且在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上递减，334523log 2log 3log 4，，，，，6πlog 502⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，34log 323<<A ．11．已知PF PH =，则点P 位于以F 为焦点、直线l 为准线的抛物线上，以KF 的中点O 为原点、直线KF 为x 轴建立直角坐标系（F 在正半轴上），依据||4KF =，求得抛物线方程为28y x =，焦点(20)F ，，作PM x ⊥轴(M 是垂足)，由PO PF =，知M 平分OF ，求得(12)P ±，，由对称性，只需取(122)P ，，设POF △外接圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，将点(00)O ，，(20)F ，，(12)P ，的坐标代入求得0F =，2D =-，72E =，所以POF △外接圆的半径221922r D E =+=B ． 12．0ω>，[0π]x ∈⇒，ππππ666x ωω⎡⎤-∈--⎢⎥⎣⎦，，设π6x t ω-=进行替换，作sin y x =的图象如图2，在[0π]，上满足2()0f x =的实数2x 有且只有3个，即函数sin y x =在πππ66ω⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上图2有且只有3个零点，由图象可知π2ππ3π6ω-<≤，131966ω<≤，结论④正确；由图象知，sin y x =在πππ66ω⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，上只有一个极小值点，有一个或两个极大值点，结论①正确，结论②错误；当π09x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，ππππ6696x ωω⎛⎫-∈-- ⎪⎝⎭，，由131966ω<≤知2πππ5ππ02796272t ω<=-<<≤，所以sin y x =在πππ696ω⎛⎫-- ⎪⎝⎭，上递增，则()f x 在π09⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，结论③正确，故选D ．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16答案 4- 2019202126333⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭， 172(171172173)，，均给满分【解析】13．如图3，已知D 是BC 的中点，则22()BC DC AC AD ==-=22AD AC -+，已知BC mAD nAC =+，则2m =-， 2 4.n m n =-=-，14．已知{}n a 是等差数列，设其公差为d ，2019202020202019a a =⇒12020(2018)a d +=12019(2019)a d +10a d ⇒=≠，则{}n a 的前n 项和11(1)2n S na n n d =+-=1(1)02n n d +≠，201920201201920202019212021202020212S S ==．15．设0000()(00)M x y x y >>，，，已知M 是12MF F △的直角顶点，则2203x y +=与220012x y -=图3联立，解得00263x y ==M 的坐标是263，． 16．如图4，设被挖去的正方体的棱长为cm x ，由（半）轴截面中的直角三角形相似，得2222(21)22r x x r r r -=⇒=-=，该模型的 体积231 3.14(21)2(21)221.453V ≈⨯⨯⨯+-≈，所以制作该模型所需材料质量约为21.458172m V ρ=≈⨯≈．（因四舍五入误差，考生答171，172，173时都给满分）三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（1）根据列联表，221000(558020395)(5395)(20580)(520)(395580)K ⨯⨯-⨯=++++ 221000(1116479)200 4.274.80120519586195⨯-⨯==≈⨯⨯⨯⨯⨯………………………………（4分）在附表中，犯错概率0.05与观测值3.841对应，犯错概率0.025与观测值5.024对应，3.841<4.274<5.024，……………………………………………（5分） 所以有95%的把握认为人们对新冠肺炎病毒的抵抗力与是否坚持体育锻炼有关．………………………………………………………………………………………（6分） （2）根据列联表，在按照分层抽样抽取的5个阳性人员中，恰好有一人坚持体育锻炼，记坚持体育锻炼的一人为a ，其他四人为b ，c ，d ，e ，……………………（8分） 从5人中抽取两人，列举所有的抽法得ab ，ac ，ad ，ae ，bc ，bd ，be ，cd ，ce ，de ，共10种，其中含a 的有且仅有4种．………………………………………（10分）记“从抽取的5位阳性人员中再随机抽取2人，恰好有一人坚持体育锻炼”为事件A ， 则4()0.410P A ==．……………………………………………………………………（12分） 图418．（本小题满分12分）解：（1）选择①sin sin2B Ca Bb +=作为依据， 由正弦定理得πsin sin sin sin 22A A B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，………………………………（2分）由sin 0B ≠，得sin cos2A A =，π2sincos cos 022222A A A A ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，……………………………（4分） 1πsin02222A A ⎛⎫=<< ⎪⎝⎭，π26A =，π3A =．………………………………………………（6分） π3A A =选择②③难④⑤边长或均可确定，并且度更低；与都涉及，不能唯一确定角.（2）选择添加条件⑤ABC △的面积等于，则13sin 2ABC S bc A ===△，16bc =．……………………………………………（8分）由余弦定理和基本不等式：ABC △周长()L a b c b c=++=+cos123bc +==，………………………………（9分） 当且仅当4b c ==时取等号，……………………………………………（10分）所以ABC △的周长L 的最小值等于12． π3A =，16bc =，可以让16+0b c b→∞=→，，此时周长+L →∞． ABC △的周长L 的取值范围是[12+)∞，．……………………………………………（12分）若选择添加“④4a =”作为条件，用余弦定理和基本不等式，22222221162cos ()3()3=()24b c a b c bc A b c bc b c b c +⎛⎫==+-=+-+-+ ⎪⎝⎭≥，………………………………（9分）则8b c +≤，4b c ==时取等号．……………………………………………（10分） 又4b c a +>=，则812a b c <++≤．……………………………………（11分） 所以ABC △的周长L 的取值范围是(812]，．（与选择⑤结果不同） ………………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）性质1：DE ⊥平面ABD ．………………………………………（2分） 证明如下：翻折前，DE DA DE BC ⊥⊥，，翻折后仍然DE DA DE DB ⊥⊥，，………………………………………（3分） 且DADB D =，………………………………………（4分）则DE ⊥平面ABD .………………………………………（5分） 性质2：DE AB ⊥．………………………………………（2分） 证明如下：与性质1证明方法相同，得到DE ⊥平面ABD ．………………………………………（4分） 又因AB ⊂平面ABD ，则DE AB ⊥．………………………………………（5分）性质3：DE 与平面ABD 内任一直线都垂直．…………………………（2分）证明如下：与性质1证明方法相同，得到DE ⊥平面ABD ，………………………（4分） 从而DE 与平面ABD 内任一直线都垂直．………………………………………（5分） 性质4：直线DE 与平面ABE 所成角等于π3．………………………（2分）证明如下：如图4，取AB 的中点F ，连接DF ，EF ， 由DA DB =，得DF AB ⊥，与性质2证明相同，得DE AB ⊥，DE DF ⊥，…………（3分） 再因DEDF D =，则AB ⊥平面DEF ，进而平面DEF ⊥平面ABE ．作DH EF ⊥于H ，则DH ⊥平面ABE ，即DEF ∠就是直线DE 与平面ABE 所成的角．……………………………（4分）1DE =，2EF =，1cos 2DE DEF EF ∠==，π3DEF ∠=． ………………………………………………………………………………………（5分）说明：写出一条并且只需写出一条正确的性质（允许在以上4条之外），给3分，完成正确的证明后合计给5分．（2）解法一：2AD BD ==，2AB =，则ABD △是等腰直角三角形，……………………………………（8分） 如图6，取AB 的中点F ，则F 是ABD △的外心．设几何体E ABD -外接球的球心是O ，则OF ABD ⊥平面．……………………（9分） 作OM DE ⊥于M ，则M 是DE 的中点，OFDM 是矩形，12OF DM ==，112DF AB ==，几何体E ABD -的外接球半径22R OF FD =+1514=+=，………………（10分） 则外接球的体积34π55π3O V R ==…………………………………………………（12分） 解法二：证明DA DB DE ，，两两垂直后，几何体E ABD -外接球就是以DA DB DE ，，相邻的棱的长方体的外接球，……………………………………（9分）2222(2)2215R DA DB DE =++=++=，……………………………………（10分）图6图4R =． ………………………………………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（1）2()e x x ax af x --=，[(2)]()()e xx x a f x x --+'=∈R ，……………………………………（1分）令()0f x '=，解得10x =，22x a =+．……………………………………（2分） 若20a +=，即2a =-，则()0f x '≤对x ∀∈R 成立，函数()f x 在[11]-，上单调，符合题目要求； 若20a +<，即2a <-，……………………………………（3分） 当(20)x a ∈+，时，()0f x '>，当(0+)x ∈∞，时，()0f x '<，函数()f x 在[11]-，上不单调，不符合题目要求；……………………………………（4分） 若20a +>，即2a >-，当(0)x ∈-∞，时，()0f x '<，当(02)x a ∈+，时，()0f x '>，函数()f x 在[11]-，上不单调，不符合题目要求．……………………………………（5分） 综上，若()f x 在[11]-，上是单调函数，则a 取唯一值：2a =-． ………………………………………………………………………………………（6分） （2）解法一：已知“对[01]x ∀∈，，()1f x ≤均成立”，取0x =，得(0)1f a =-≤， 则1a -≥，21a +≥，则(01)x ∈，时，()0f x '>，()f x 在[01]，上递增，……………………………………（8分）“对[01]x ∀∈，，()1f x ≤均成立”等价于max 12()(1)1eaf x f -==≤，……………………………………（10分） 1e 2a -≥与1a -≥取交集，仍然得1e2a -≥，……………………………………（11分） 所求a 的取值范围是1e 2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． …………………………………………………（12分） 解法二：根据（1），若2a =-，则()f x 在R 上单减，“在区间[01]，上，()1f x ≤恒成立”等价于max ()(0)f x f =21=≤，不成立； ……………………………………（7分） 若20a +<，即2a <-，则(0)x ∈+∞，时，()0f x '<，函数()f x 在[01]，上单减， 在区间[01]，上，max ()(0)2f x f a ==->， “在区间[01]，上，()1f x ≤恒成立”不成立；……………………………………（8分） 若21a +≥，即1a -≥，则[01]x ∈，时，()0f x '≥，函数()f x 在[01]，上单增， 在区间[01]，上，max 12()(1)eaf x f -==，……………………………………（9分） “在区间[01]，上，()1f x ≤恒成立”max ()1f x ⇔≤12(1)1eaf -⇔=≤， 解得1e 2a -≥，与1a -≥相交取交集，得1e 2a -≥；…………………………（10分） 若021a <+<，即21a -<<-，则(02)x a ∈+，时，()0f x '>，(21)x a ∈+，时，()0f x '<， 函数()f x 在(02)a +，上递增，在(21)a +，上递减，在区间[01]，上，max 24()(2)e a a f x f a ++=+=． “在区间[01]，上，()1f x ≤恒成立”241ea a ++⇔≤2e 40a a +⇔--≥．……………………………………（11分） 设函数2()e 4x g x x +=--，则2()e 1x g x +'=-，()g x '在(21)--，上递增，()(2)0g x g '>-=， 则函数()g x 在(21)--，上递增，()(1)e 30g x g <-=-<， 因此当21a -<<-时，()g a =2e 40a a +--≥均不成立．综上，所求a 的取值范围是1e 2-⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，．………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）已知椭圆C 关于x 轴、y 轴都对称，设其方程为221mx ny +=（这样设可回避焦点在哪条轴上的分类讨论）．…………………………………………（1分）由3(012A B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，，在椭圆上，得93114n m n =+=，，联立解得14m =，13n =，…………………………………………（3分） 得椭圆C 的方程是22143x y +=．…………………………………………………………（4分）用a b c ，，依次表示椭圆的长半轴、短半轴、半焦距，则2243a b ==，，2221c a b =-=，则2a =，b =1c =．…………………（5分） 所以，椭圆C 的离心率12c e a ==，焦点坐标为12(10)(10)F F -，，，． …………………………………………………………………………………（6分） （2）设()D x y ，，则22143x y +=，即2244(3x y y =-，222||(0)(DA x y =-+2244(3)3y y ⎛⎫=-+-+ ⎪⎝⎭21(163y =-++．…………………………………………（7分）函数21||()(163DA f y y ==-++在区间[上递减， 则||DA取最大时，y =0x =，所以，椭圆C 上到点A最远的点是(0D ，．……………………………（8分）设椭圆C 在点312B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线l 的方程为3(1)2y k x +=-，即32y kx k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭， 与22143x y +=联立消去y 后整理得222(34)4(23)(23)120k x k k x k +-+++-=， 判别式2222216(23)4(43)[(23)12]36(21)k k k k k ∆=+-++-=-，由相切条件得236(21)0k ∆=-=，12k =，……………………………………（9分） 所以椭圆C 在点312B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，处的切线l 的方程是122y x =-， 令0x =，得2y =-，得切线l 与y 轴的交点坐标(02)E -，．……………………（10分） 设BDE △外接圆的方程为220x y mx ny p ++++=，由三点31(02B D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，，，(02)E -，都在圆上，得31302430240m n p p n p ⎧-++=⎪⎪⎪++=⎨⎪-++=⎪⎪⎩，，，解得2m n p ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩…………………………………（11分）2m -=，12n -=--， 所以BDE △外接圆的圆心坐标是1-． ………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（1）sin 2()|sin 2|(0)R ρθρρθρ=∈⇔=≥．|sin 2||sin 2|1sin 211ρθθθρ=⎧⇒=⇒=±⎨=⎩，，……………………………………（2分） 所以π2π()2k k θ=+∈Z ，ππ42k θ=+，…………………………………………（3分） 取0123k =，，，，得π3π5π7π4444θ=，，，，…………………………………………（4分） 从而得到单位圆与四叶玫瑰线交点的极坐标为π3π5π7π11114444A B C D ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，化成直角坐标就是A B C D ⎛⎛- ⎝⎝，，，． ………………………………………………………………………………………（5分）（2）直观发现，四叶玫瑰线关于直线y x =对称．事实上，将极坐标方程sin 2()ρθρ=∈R化作直角坐标方程得22(2x y xy +=， 将x y ，互换后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线y x =对称； ………（6分） 将x 换作y -，y 换作x -后方程不变，说明四叶玫瑰线关于直线y x =-对称；………………………………………（7分）直线11x t l y t =-⎧⎨=+⎩，：的普通方程是20x y +-=，………………………………（8分） 直线l 与直线y x =垂直，且玫瑰线在直线l 的同侧，故||MN的最小值等于点A 到直线20x y +-=的距离：………………（9分）min ||1MN -．……………………………………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（1）当1a =-时，()1f x ≤2|1|1x x ⇔+-≤………………………（1分）12(1)1x x x ⎧⇔⎨+-⎩≥，≤或12(1)1x x x <⎧⎨+-⎩，≤123x x ⎧⎪⇔⎨⎪⎩≥，≤或10x x <⎧⎨⎩，≤………………（3分） x ⇔∈∅或0x ≤0x ⇔≤，……………………………（4分）所以，当1a =-时，不等式()1f x ≤的解集是{|0}x x ≤．………………………………………………………………………………………（5分）（2）当0x >时，利用柯西不等式，223123331()()9x x x x x x x x x xx ---++++++=⎪⎭≥， ………………………………………（6分）当且仅当1x =时取等号，所以9m =．………………………………………（7分） ()()f x a f x m ->+2()||2||9x a x x x a ⇔-+>+++29||||a x x a ⇔+<-+. ………………………………………（8分）|||||()|||x x a x x a a -+-+=≤，(0)(0)22a a x a x a <->>-<或时取等号， 则max (||||)||x x a a -+=．………………………………………（9分）所以，“0x ∃∈R ，使00()()f x a f x m ->+成立”等价于max 29(||||)||a x x a a +<-+=， 解得3a <-，所以a 的取值范围是{|3}a a <-．………………………………（10分）。
