高中数学第三章.1变化率问题3.1.2导数的概念学案含解析新人教A版选修7.doc

3.1.2导数的概念
思考：当t ∆趋近于0时，平均速度v 有什么样的变化趋势？
结论：当t ∆趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度v 都趋近于一个确定的值13.1-．
从物理的角度看，时间t ∆间隔无限变小时，平均速度v 就无限趋近于史的瞬时速度，因此，运动员在2t =时的瞬时速度是13.1/m s - 为了表述方便，我们用0(2)(2)
lim
13.1t h t h t
∆→+∆-=-∆
表示“当2t =，t ∆趋近于0时，平均速度v 趋近于定值13.1-”
小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

2 导数的概念
从函数y =f (x )在x =x 0处的瞬时变化率是:
时，原油温度的瞬时变化。

学习资料第三章导数及其应用3．1变化率与导数3。

1。

1变化率问题3．1.2导数的概念内容标准学科素养1。

了解导数概念的实际背景．2。

会求函数在某一点附近的平均变化率．3。

会利用导数的定义求函数在某点处的导数。

利用数学抽象提升逻辑推理授课提示：对应学生用书第49页[基础认识］知识点一函数的平均变化率错误!丰富多彩的变化率问题随处可见．导数研究的问题就是变化率问题,那么，变化率和导数是怎样定义呢？(1）气球膨胀率气球的体积V（单位：L)与半径r（单位:dm）之间的函数关系是V(r)＝错误!πr3⇒r(V）＝错误!.当空气容量V从0增加到1 L时，气球半径增加了r（1)－r(0）≈0。

62（dm)，气球的平均膨胀率为错误!≈0.62（dm/L）．类似地，当空气容量V从1 L增加到2 L时，气球半径增加了r(2）－r（1）≈0。

16 （dm）, 气球的平均膨胀率为错误!≈0.16 （dm/L）．当空气容量从V1增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少？提示：错误! （2）高台跳水在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度h （单位:m)与起跳后的时间t （单位:s ）存在函数关系h (t )＝－4。

9 t 2＋6.5 t ＋10.如果我们用运动员在某段时间内的平均速度错误!描述其运动状态，那么:求0≤t ≤0。

5和1≤t ≤2这段时间内的错误!。

提示：在0≤t ≤0。

5这段时间里, 错误!＝错误!＝4。

05 （m/s ）； 在1≤t ≤2这段时间里， 错误!＝错误!＝－8。

2 （m/s ）． 知识梳理 函数的平均变化率对于函数y ＝f （x ),给定自变量的两个值x 1和x 2,当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f （x 1）变为f (x 2)，我们把式子错误!称为函数y ＝f (x ）从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1,可把Δx 看作是相对于x 1的一个“增量"，可用x 1＋Δx 代替x 2；类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1）．于是,平均变化率可表示为Δy Δx。

3．1.1 & 3.1.2 变化率问题 导数的概念[提出问题]假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示的平面直角坐标系．A 是出发点，H 是山顶．爬山路线用函数y ＝f (x )表示．自变量x 表示某旅游者的水平位置，函数值y ＝f (x )表示此时旅游者所在的高度．设点A 的坐标为(x 1，y 1)，点B 的坐标为(x 2，y 2)．问题1：若旅游者从点A 爬到点B ，且这段山路是平直的，自变量x 和函数值y 的改变量Δx ，Δy 分别是多少？ 提示：自变量x 的改变量为Δx ＝x 2－x 1，函数值的改变量为Δy ＝y 2－y 1. 问题2：Δy 的大小能否判断山路的陡峭程度？ 提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：对山坡AB 来说，Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx 表示A ，B 两点所在直线的斜率k ，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山路越陡；反之，山路越缓．问题5：从点A 到点B 和从点A 到点C ，两者的ΔyΔx 相同吗？提示：不相同． [导入新知]函数的平均变化率对于函数y ＝f (x )，给定自变量的两个值x 1，x 2，当自变量x 从x 1变为x 2时，函数值从f (x 1)变为f (x 2)，我们把式子f x 2－f x 1x 2－x 1称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率．习惯上用Δx 表示x 2－x 1，即Δx ＝x 2－x 1，可把Δx 看作是相对于x 1 的一个“增量”，可用x 1＋Δx 代替x 2.类似地，Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．于是，平均变化率可表示为ΔyΔx.[化解疑难]1．正确理解增量Δx 与ΔyΔx 是自变量x 在x 0处的改变量，不是Δ与x 的乘积，Δx 的值可正，可负，但不能为0.Δy 是函数值的改变量，可正，可负，也可以是0.函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x )没有变化．2．平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭程度是平均变化率的“视觉化”．利用平均变化率的大小可以刻画变量平均变化的趋势和快慢程度.[提出问题]一质点的运动方程为s ＝8－3t 2，其中s 表示位移，t 表示时间． 问题1：试求质点在[1,1＋Δt ]这段时间内的平均速度． 提示：Δs Δt＝8－＋Δt 2－8＋3×12Δt＝－6－3Δt .问题2：当Δt 趋近于0时，“问题1”中的平均速度趋近于什么？如何理解这一速度？ 提示：当Δt 趋近于0时，ΔsΔt趋近于－6.这时的平均速度即为t ＝1时的瞬时速度．[导入新知] 1．瞬时速度的概念物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：设物体运动的路程与时间的关系是s ＝s (t )，当Δt 趋近于0时，函数s (t )在t 0到t 0＋Δt 之间的平均变化率s t 0＋Δt －s t 0Δt趋近于一个常数，把这个常数称为瞬时速度．2．导数的定义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率： lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|0x x ＝x＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[化解疑难]导数概念的理解(1)导数是一个局部概念，它只与函数y ＝f (x )在x ＝x 0处及其附近的函数值有关，与Δx 无关． (2)f ′(x 0)是一个常数，即当Δx →0时，存在一个常数与f x 0＋Δx －f x 0Δx无限接近．[例1] 求函数y ＝f (x )00x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．[解] 函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝x 0＋Δx2＋2]－x 20＋Δx＝6x 0·Δx ＋Δx2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. [类题通法]求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy .求平均变化率的主要步骤是：(1)计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1.[活学活用]已知函数f (x )＝x ＋1x，分别计算f (x )在自变量x 从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快．解析：自变量x 从1变到2时，函数f (x )的平均变化率为f－f 2－1＝2＋12－＋1＝12； 自变量x 从3变到5时，函数f (x )的平均变化率为f－f 5－3＝5＋15－＋132＝1415. 因为12＜1415，所以函数f (x )＝x ＋1x在自变量x 从3变到5时函数值变化得较快.[例2] (1)求函数y ＝x 2＋3在x ＝1处的导数； (2)求函数y ＝1x在x ＝a (a ≠0)处的导数．[解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1) ＝[(1＋Δx )2＋3]－(12＋3) ＝2Δx ＋(Δx )2， ∴Δy Δx ＝2Δx ＋Δx 2Δx＝2＋Δx .∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. (2)Δy ＝f (a ＋Δx )－f (a )＝1a ＋Δx －1a＝a －a ＋Δx a a ＋Δx ＝－Δxa a ＋Δx，∴Δy Δx ＝－Δx aa ＋Δx ·1Δx ＝－1aa ＋Δx.∴y ′|x ＝a ＝lim Δx →0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1aa ＋Δx ＝－1a 2.[类题通法]求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤[活学活用]已知函数y ＝f (x )＝ax 2＋c 且f ′(1)＝2，求a 的值． 解：f ′(1)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 f＋Δx －fΔx＝lim Δx →0a＋Δx 2＋c －a －cΔx＝lim Δx →02a ·Δx ＋a Δx 2Δx＝lim Δx →0 (2a ＋a ·Δx ) ＝2a ＝2.∴a ＝1，即a 的值为1.[例3] 若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋t －2，0≤t ＜3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt ＝2，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt )2－12Δt ， 所以Δs Δt＝Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为 s ′(1)＝lim Δt →0 Δs Δt ＝lim Δt →0(3Δt －12)＝－12(m/s)． [类题通法]求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)； (2)求平均速度，v －＝ΔsΔt ；(3)取极限，lim Δt →0Δs Δt ＝lim Δt →0s t 0＋Δt －s t 0Δt；(4)若极限存在，则t 0时刻的瞬时速度为v ＝lim Δt →0Δs Δt . [活学活用]一质点按规律s (t )＝at 2＋1做直线运动(位移单位：m ，时间单位：s)，若该质点在t ＝2 s 时的瞬时速度为8 m/s ，求常数a 的值．解：因为Δs ＝s (2＋Δt )－s (2) ＝a (2＋Δt )2＋1－a ·22－1 ＝4a Δt ＋a (Δt )2， 所以ΔsΔt＝4a ＋a Δt .故在t ＝2 s 时，瞬时速度为s ′(2)＝lim Δt →0Δs Δt ＝4a (m/s)． 由题意知，4a ＝8，所以a ＝2.6.导数的概念理解不明[典例] 已知f (x )在x ＝x 0处的导数为4，则lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 0Δx ＝________.[解析] lim Δx →0 f x 0＋2Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x 0＋2Δx －f x 02Δx ×2＝2lim Δx →0f x 0＋2Δx －f x 02Δx ＝2f ′(x 0)＝2×4＝8. [答案] 8 [易错防范]1．本题中x 的增量是2Δx ，即(x 0＋2Δx )－x 0＝2Δx ，而分母为Δx ，两者不同，若忽视这一点，则易得出结论为4的错误答案．2．在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致．[成功破障] 求lim Δx →0f x －Δx －f xΔx.解：令－Δx ＝h ， 则lim Δx →0 f x －Δx －f xΔx＝lim h →0f x ＋h －f x－h＝－lim h →0 f x ＋h －f x h＝－f ′(x )．[随堂即时演练]1．已知函数y ＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx ，1＋Δy )，则Δy Δx 等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2解析：选C ΔyΔx＝＋Δx 2－1－1Δx＝4＋2Δx .2．如果函数y ＝ax ＋b 在区间[1,2]上的平均变化率为3，则a 的值为( ) A ．－3B ．2C ．3D ．－2解析：选C 根据平均变化率的定义， 可知Δy Δx＝a ＋b －a ＋b2－1＝a ＝3.3．一物体的运动方程为s ＝7t 2＋8，则其在t ＝________时的瞬时速度为1. 解析：Δs Δt＝t 0＋Δt2＋8－t 20＋Δt＝7Δt ＋14t 0，当lim Δt →0 (7Δt ＋14t 0)＝1时，t 0＝114. 答案：1144．已知曲线y ＝1x －1上两点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－12，B 2＋Δx ，－12＋Δy ，当Δx ＝1时，割线AB 的斜率为________． 解析：∵Δx ＝1,2＋Δx ＝3，∴Δy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝－23＋12＝－16.k AB ＝Δy Δx ＝－16. 答案：－165．求y ＝f (x )＝2x 2＋1在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率，并求x 0＝1，Δx ＝12时平均变化率的值．解：当自变量从x 0变化到x 0＋Δx 时，函数的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx2＋1]－x 20＋Δx＝4x 0＋2Δx ，当x 0＝1，Δx ＝12时，平均变化率的值为4×1＋2×12＝5.[课时达标检测]一、选择题1．当自变量从x 1变到x 2时函数值的增量与相应自变量的增量之比是函数( ) A ．在区间[x 1，x 2]上的平均变化率 B ．在x 1处的变化率 C ．在x 2处的变化量 D ．在区间[x 1，x 2]上的导数解析：选A 平均变化率是指函数值的变化量与相应自变量的变化量之比． 2．质点运动规律s ＝t 2＋3，则在时间[3,3＋Δt ]中，相应的平均速度等于( ) A ．6＋Δt B ．6＋Δt ＋9ΔtC ．3＋ΔtD ．9＋Δt 解析：选A v －＝ΔsΔt＝＋Δt2＋3]－2＋Δt＝6Δt ＋Δt 2Δt＝6＋Δt .3．如果质点M 按照规律s ＝3t 2运动，则在t ＝3时的瞬时速度为( ) A ．6 B ．18 C ．54 D ．81 解析：选B v ＝li m Δt →0 s＋Δt －sΔt＝li m Δt →0＋Δt2－27Δt＝li m Δt →0 18Δt ＋Δt2Δt＝18.4．函数y ＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系为( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．不确定解析：选D k 1＝f x 0＋Δx －f x 0Δx＝x 0＋Δx 2－x 2Δx＝2x 0＋Δx ，k 2＝f x 0－f x 0－Δx Δx＝x 20－x 0－Δx 2Δx＝2x 0－Δx .因为Δx 可大于零也可小于零，所以k 1与k 2的大小不确定． 5．设函数在x ＝1处存在导数， 则li m Δx →0f＋Δx －f3Δx＝( )A ．f ′(1) B．3f ′(1) C.13f ′(1) D．f ′(3) 解析：选C li m Δx →0 f＋Δx －f3Δx＝13li m Δx →0 f ＋Δx －fΔx ＝13f ′(1)． 二、填空题6．将半径为R 的球加热，若半径从R ＝1到R ＝m 时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为28π3，则m 的值为________．解析：∵ΔV ＝4π3m 3－4π3×13＝4π3(m 3－1)，∴ΔV ΔR ＝4π3m 3－m －1＝28π3， 即m 2＋m ＋1＝7，解得m ＝2或m ＝－3(舍去)． 答案：27．如图是函数y ＝f (x )的图象，则函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为________．解析：由函数f (x )的图象知，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋32，－1≤x ≤1，x ＋1，1<x ≤3.所以，函数f (x )在区间[0,2]上的平均变化率为f－f 2－0＝3－322＝34.答案：348．当h 无限趋近于0时，lim h →0 ＋h2－32h＝________.解析：lim h →0 ＋h2－32h＝lim h →06h ＋h2h＝lim h →0(6＋h )＝6. 答案：6 三、解答题9．已知函数f (x )＝13－8x ＋2x 2，且f ′(x 0)＝4，求x 0的值． 解：∵f ′(x 0)＝li m Δx →0 ΔyΔx＝li m Δx →0[13－x 0＋Δx ＋2x 0＋Δx2]－－8x 0＋2x 2Δx＝li m Δx →0 －8Δx ＋2 2x 0Δx ＋2Δx2Δx＝li m Δx →0 (－8＋2 2x 0＋2Δx ) ＝－8＋2 2x 0， ∴－8＋2 2x 0＝4. ∴x 0＝3 2.10．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2(位移：m ，时间：s)． (1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度． 解：(1)初速度v0＝li m Δt →0 s Δt －sΔt＝li m Δt →0 3Δt －Δt 2Δt＝li m Δt →0 (3－Δt )＝3(m/s)． 即物体的初速度为3 m/s. (2)v ＝li m Δt →0 s＋Δt －sΔt＝li mΔt →0 ＋Δt －＋Δt 2－－Δt＝li m Δt →0－Δt 2－ΔtΔt＝li m Δt →0(－Δt －1)＝－1(m/s)．※ 精 品 试 卷 ※※ 推 荐 ※ 下 载 ※即此物体在t ＝2时的瞬时速度为1 m/s ，方向与初速度相反．(3)v ＝s －s2－0＝6－4－02＝1(m/s)． 即t ＝0到t ＝2时的平均速度为1 m/s.。

《变化率问题》教学设计一、教学内容分析函数是高中数学的主干内容，导数作为选修内容进入新课程，为研究函数提供了有力的工具，使函数的单调性、极值、最值等问题都得到了有效而彻底的解决。

教材按照：平均变化率—瞬时变化率—导数的概念—导数的几何意义这样的顺序来安排，从变化率入手，采用形象直观的“逼近”方法定义导数，使导数概念的建立形象、直观、生动又容易理解，突出了导数概念的本质。

本章内容的核心概念是平均变化率，是研究瞬时变化率及其导数概念的基础，在整个导数学习中占有极其重要的地位。

能为今后的深入学习和探究打下良好的知识基础和心理基础。

本节课是《导数及其应用》的起始课，对导数概念的形成起着奠基作用。

二、学生学情分析高二学生已有一定的生活经验，掌握了相关学科知识，有一定的数学储备知识：如函数知识，直线的斜率公式以及平均速度、瞬时速度、加速度等物理概念；学生思维普遍活跃，善于表达，善于发现问题，乐于和教师交流分享他们的解题心得。

但利用变化率的有关知识解释生活的中一些现象，需要学生具有一定抽象概括能力和应用数学语言表达问题的能力。

把生活经验抽象成数学问题有一定困难，升华为数学概念对高中生更有一定困难，需要教师的引领。

基于以上分析，确定本节课的教学重难点如下：重点：理解平均变化率的概念，掌握平均变化率解法的一般步骤，了解平均变化率的几何意义。

难点：通过具体生活实例，概括出平均变化率的定义；并能够运用“平均变化率”解释生活中变化快慢的生活实例。

三、教学目标分析知识与技能：通过具体事例，感受平均变化率广泛存在于日常生活之中，经历运用数学描述刻画现实世界的过程。

过程与方法：理解平均变化率的意义，为后续建立瞬时变化率和导数的数学模型提供丰富的背景。

情感、态度与价值观：1.让学生通过学习了解变化率的广泛应用：在几何体的应用，在物理学里的应用，在其他数学知识中的体现，培养学生多方面的数学素养。

2.体会数学的博大精深以及学习数学的意义。

1.1.2导数的概念（一）教材分析本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A版）数学选修2-2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念》是第2课时.导数是微积分的核心概念之一，它是一种特殊的极限，反映了函数变化的快慢程度.导数是求函数的单调性、极值、曲线的切线以及一些优化问题的重要工具，同时对研究几何、不等式起着重要作用.导数概念是我们今后学习微积分的基础•同时，导数在物理学，经济学等领域都有广泛的应用，是开展科学研究必不可少的工具.（二）教学目标（1）在上一节学习平均变化率的基础上，了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；（2）理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；（3）会求函数在某点的导数及简单应用.（三）教学重点与难点重点：通过运动物体在某一时刻的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念. 难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念.（四）教学过程1. 复习引入（1）函数y = f（x）从x i到X2的平均变化率公式；（2）函数y = f（x）从x0到X Q L X的平均变化率公式.2. 合作探究在高台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的. 我们把物体在某一时刻（某一位置）的速度称为瞬时速度.探究一：瞬时速度的求解从前面的学习我们知道，平均速度只能粗略地描述某段时间内物体的运动状态，不一定能反映运动员在某一时刻的瞬时速度. 如何求运动员的瞬时速度呢？设计意图：让学生产生进一步学习的需求，即有必要知道任意时刻的速度.以高台跳水运动为例，研究运动员在某一时刻的瞬时速度.在高台跳水运动中，如果运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在关系ht =-4.9t26.5t 10.探究：如何求运动员瞬时速度？比如t =2s的瞬时速度是多少？平均速度与瞬时速度有关系吗？设计意图：问题具体化，即求运动员在t=2s时的瞬时速度.针对具体的问题情境，寻求解决问题的想法.我们求t=2s的瞬时速度是多少，先察t=2s附近平均速度的情况：(2) 我们如何表示运动员在t=2s 时的瞬时速度？ (3) 运动员在某一时刻t o 的瞬时速度怎样表示？设计意图：从特殊到一般，即从特殊点t=2上升到任意点t=t °瞬时速度的表示. (4) 函数f(x)在x=x 0处的瞬时变化率怎样表示？设计意图：舍弃具体变化率问题的实际意义，抽象为数学问题，定义导数. 探究二：导数的定义瞬时速度是平均速度—当览趋近于0时的极限.L t导数的定义：函数y =f(x)在x =x o 处的瞬时变化率是啊卡=|m f(xo：-f (xo)，我们称它为函数y = f(x)在x=x o 处的导数，记作 f (x o ) 或 y'U 即 f(x o )pm of(x x)—f(x o )注意：(1) 函数应在点X 。

3.1.3 导数的几何意义学习目标：1.理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．(重点)2.理解导函数的概念、会求简单函数的导函数．(重点)3.理解在某点处与过某点的切线方程的区别．(难点、易混点)[自主预习·探新知]1．导数的几何意义(1)切线的定义设点P(x0，f(x0))，P n(x n，f(x n))是曲线y＝f(x)上不同的点，当点P n(x n，f(x n))(n＝1,2,3,4…)沿着曲线f(x)趋近于点P(x0，f(x0))时，割线PP n趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT称为过点P的切线，且PT的斜率k＝limΔx→0f x n－f x0x n－x0＝f′(x0)．(2)导数的几何意义函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处切线的斜率，在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．思考：曲线的切线是不是一定和曲线只有一个交点？[提示] 不一定．曲线的切线和曲线不一定只有一个交点，和曲线只有一个交点的直线和曲线也不一定相切．如图，曲线的切线是通过逼近将割线趋于确定位置的直线．2．导函数的概念从求函数f(x)在x＝x0处导数的过程看到，当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数；当x 变化时，f′(x)是x的一个函数，称为f(x)的导函数(简称导数)，y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0f x＋Δx－f xΔx.[基础自测]1．思考辨析(1)直线与曲线相切则直线与已知曲线只有一个公共点．( )(2)过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点．( )(3)若f′(x0)不存在，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处无切线．( )(4)函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)与导函数f′(x)之间是有区别的．( ) [答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．设f′(x0)＝0，则曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )A．不存在B．与x轴平行或重合C．与x轴垂直D．与x轴斜交B [由f ′(x 0)＝0知，曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线斜率为0，所以切线与x 轴平行或重合．]3．如图3­1­5所示，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝( )【导学号：97792127】图3­1­5A ．12B ．1C ．2D ．0C [由题意知f ′(5)＝－1，f (5)＝－5＋8＝3，则f (5)＋f ′(5)＝2.][合 作 探 究·攻 重 难](1)y ＝－x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－2处的切线方程是( ) A ．y ＝x －2 B ．y ＝x －12C ．y ＝4x －4D ．y ＝4x －2(2)已知曲线y ＝x 3－x ＋2，则曲线过点P (1,2)的切线方程为__________． [思路探究] (1)先求y ′|x ＝12，即切线的斜率，然后写出切线方程．(2)设出切点坐标，求切线斜率，写出切线方程，利用点P (1，2)在切线上，求出切点坐标，从而求出切线方程．[解析] (1)先求y ＝－1x 在x ＝12处的导数：Δy ＝－112＋Δx ＋112＝4Δx1＋2Δx.y ′|x ＝12＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 41＋2Δx＝4. 所以切线方程是y ＋2＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，即y ＝4x －4. (2)设切点为(x 0，x 30－x 0＋2)，则得y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0x 0＋Δx3－x 0＋Δx ＋2]－x 30－x 0＋Δx＝lim Δx →0((Δx )2＋3x 0Δx ＋3x 20－1)＝3x 20－1.所以切线方程为y －(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(x －x 0)． 将点P (1,2)代入得：2－(x 30－x 0＋2)＝(3x 20－1)(1－x 0)，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，所以x 0＝1或x 0＝－12，所以切点坐标为(1,2)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198，所以当切点为(1,2)时，切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0，当切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，198时，切线方程为y －198＝－14x ＋12， 即x ＋4y －9＝0，所以切线方程为2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0. [答案] (1)C (2)2x －y ＝0或x ＋4y －9＝0 2.求过点(x 1，y 1)的曲线y ＝f (x )的切线方程的步骤(1)设切点(x 0，y 0)(2)求f ′(x 0)，写出切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x (3)将点(x 1，y 1)代入切线方程，解出x 0，y 0及f (4)写出切线方程． 1．(1)曲线y ＝f (x )＝2x在点(－2，－1)处的切线方程为__________．x ＋2y ＋4＝0 [y ′＝lim Δx →0fx ＋Δx －f xΔx ＝lim Δx →02x ＋Δx －2x Δx＝lim Δx →0－2·Δx x x ＋Δx Δx ＝－2x 2，因此曲线f (x )在点(－2，－1)处的切线的斜率k ＝－2－2＝－12.由点斜式可得切线方程为y ＋1＝－12(x ＋2)，即x ＋2y ＋4＝0.](2)试求过点P (3,5)且与曲线y ＝x 2相切的直线方程.【导学号：97792128】[解] 设所求切线的切点为A (x 0，y 0)． ∵点A 在曲线y ＝x 2上， ∴y 0＝x 20，又∵A 是切点，y ′＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x2Δx ＝2x .∴过点A 的切线的斜率y ′|x ＝x 0＝2x 0. ∵所求切线过P (3,5)和A (x 0，y 0)两点，∴其斜率为y 0－5x 0－3＝x 20－5x 0－3.∴2x 0＝x 20－5x 0－3，解得x 0＝1或x 0＝5.从而切点A 的坐标为(1,1)或(5,25)． 当切点为(1,1)时，切线的斜率为k 1＝2x 0＝2； 当切点为(5,25)时，切线的斜率为k 2＝2x 0＝10.∴所求的切线有两条，方程分别为y －1＝2(x －1)和y －25＝10(x －5)，即y ＝2x －1和y ＝10x －25.(1)平行于直线y ＝4x －5； (2)垂直于直线2x －6y ＋5＝0； (3)倾斜角为135°.分别求出满足上述条件的点的坐标．[思路探究] 先求出函数的导函数f ′(x )，再设切点(x 0，y 0)，由导数的几何意义知切点(x 0，y 0)处的切线的斜率为f ′(x 0)，然后根据题意列方程，解关于x 0的方程即可求出x 0，又点(x 0，y 0)在曲线y ＝x 2上，易得y 0.[解] 设y ＝f (x )，则f ′(x )＝lim Δx →0 f x ＋Δx －f x Δx ＝lim Δx →0 x ＋Δx 2－x 2Δx ＝lim Δx →0(2x ＋Δx )＝2x .设P (x 0，y 0)是满足条件的点．(1)因为切线与直线y ＝4x －5平行，所以2x 0＝4，解得x 0＝2，所以y 0＝4，即P (2,4)． (2)因为切线与直线2x －6y ＋5＝0垂直，且直线2x －6y ＋5＝0的斜率为13，所以2x 0·13＝－1，解得x 0＝－32，所以y 0＝94，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，94.(3)因为切线的倾斜角为135°，所以切线的斜率为－1，即2x 0＝－1，解得x 0＝－12，所以y 0＝14，即P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，14.2．已知抛物线y ＝2x 2＋1，求(1)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (2)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设切点坐标为(x 0，y 0)，则Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0·Δx ＋2(Δx )2∴ΔyΔx＝4x 0＋2Δx ∴y ′|x ＝x 0＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(4x 0＋2Δx )＝4x 0. (1)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1， 该点为(1,3)．(2)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8，得x 0＝2， 该点为(2,9)．[探究问题]1．函数值增加的越来越快，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且下凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越大．2．函数值增加的越来越慢，函数图象是什么形状？函数图象上每一点的切线的斜率是如何变化的？提示：图象上升且上凸，函数图象上每一点的切线的斜率越来越小．如图3­1­6，点A(2,1)，B(3,0)，E(x,0)(x≥0)，过点E作OB的垂线l.记△AOB 在直线l左侧部分的面积为S，则函数S＝f(x)的图象为下图中的( )图3­1­6[思路探究] 根据面积S增加的快慢情况判断S＝f(x)的图象形状．[解析]函数的定义域为(0，＋∞)，当x∈[0,2]时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越大，即斜率f′(x)在[0,2]内越来越大，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是下凸的；当x∈(2,3)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS越来越小，即斜率f′(x)在(2,3)内越来越小，因此，函数S＝f(x)的图象是上升的，且图象是上凸的；当x∈[3，＋∞)时，在单位长度变化量Δx内面积变化量ΔS为0，即斜率f′(x)在[3，＋∞)内为常数0，此时，函数图象为平行于x轴的射线．故选D.[答案] D3．已知函数f(x)在区间[0,3]上的图象如图3­1­7所示，记k1＝f′(1)，k2＝f′(2)，k3＝k AB，则k1，k2，k3之间的大小关系为__________．(请用“>”连接)图3­1­7k 1>k 3>k 2 [由导数的几何意义可得k 1>k 2，又k 3＝f－f 2－1表示割线AB 的斜率，所以k 1>k 3>k 2.][当 堂 达 标·固 双 基]1．如果曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线方程为x ＋2y －3＝0，那么( ) A ．f ′(x 0)＞0 B ．f ′(x 0)＜0 C ．f ′(x 0)＝0D ．f ′(x 0)不存在B [由x ＋2y －3＝0知，斜率k ＝－12，∴f ′(x 0)＝－12＜0.]2．已知曲线y ＝2x 3上一点A (1,2)，则A 处的切线斜率等于( ) A ．2B ．4C ．6＋6Δx ＋2(Δx )2D ．6D [∵y ＝2x 3，∴y ′＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0x ＋Δx 3－2x 3Δx＝2 lim Δx →0Δx3＋3x Δx2＋3x 2ΔxΔx＝2 lim Δx →0[(Δx )2＋3x Δx ＋3x 2]＝6x 2.∴y ′|x ＝1＝6.∴点A (1,2)处切线的斜率为6.]3．已知曲线y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在点P 处的切线斜率为16，则P 点坐标为________． (3,30) [设点P (x 0,2x 20＋4x 0)，则f ′(x 0)＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx＝lim Δx →0Δx2＋4x 0·Δx ＋4ΔxΔx＝4x 0＋4，令4x 0＋4＝16，得x 0＝3，∴P (3,30)．]4．曲线y ＝x 2－2x ＋2在点(2,2)处的切线方程为________.【导学号：97792129】2x －y －2＝0 [Δy ＝(2＋Δx )2－2(2＋Δx )＋2－(22－2×2＋2)＝2Δx ＋(Δx )2，∴ΔyΔx＝2＋Δx . ∴y ′|x ＝2＝lim Δx →0(2＋Δx )＝2. ∴曲线在点(2,2)处的切线斜率为2. ∴切线方程为y －2＝2(x －2)， 即2x －y －2＝0.]5．函数f (x )的图象如图3­1­8所示，试根据函数图象判断0，f ′(1)，f ′(3)，f－f 2的大小关系．图3­1­8[解] 设x ＝1，x ＝3时对应曲线上的点分别为A ，B ，点A 处的切线为AT ，点B 处的切线为BQ ，如图所示．则f－f 3－1＝k AB ，f ′(3)＝k BQ ，f ′(1)＝k AT ，由图可知切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角，直线AB 的倾斜角小于切线AT 的倾斜角，即k BQ ＜k AB ＜k AT ，∴0＜f ′(3)＜f－f 2＜f ′(1)．。

导数的概念课题：导数的概念课时：1 课时课型：新授课一、教学目标1.知识与技能目标通过实例的分析，理解平均变化率，瞬时变化率的概念，了解它们之间的关系.2.过程与方法目标通过导数概念的形成过程，体会导数的思想及内涵，感悟极限思想.3.情感态度与价值观目标通过对导数概念的学习，体会逼近、类比，以已知求未知，从特殊到一般的数学思想方法.二、教学重难点1. 重点导数概念的形成过程及导数概念的内涵 2.难点 对导数概念的理解. 三、教学设计 （一）复习引入，温故知新 函数y = f （x ）从x i 到X 2的平均变化率为 y f （X 2） - f （X 1） 代数定义牙-X ^X1几何含义 y A f(X 2)；f (X ) f (X i )函数在给定点附近的平均变化率A f (x 「X )f (X i )X x问：在高台跳水运动中，平均速度不能反映他在这段时间里运动状态， 需要用瞬时速度描述运动状态。

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬 时速度•又如何求瞬时速度呢？（二）讲授新知，讨论练习（1）问题：跳水运动员从10m 高跳台腾空到入水的过程中，不同时 刻的速度是不同的。

假设t 秒后运动员相对于水面的高度为H t - -4.9t 2 6.5t 10,计算运动员在2秒到2 t 秒内的平均速度。

h h(2 t)- h(2) v 二一13.1 一 4.9 t那么如何求运动员在第2秒的瞬时速度呢？(2)瞬时速度：在咼台跳水运动中，运动员在不同时刻的速度是不同的•我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度•运动员的平均速度不一定能反映他在某时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，U2时的瞬时速度是多少？我们先考察t =2附近的情况.在t =2之前或之后，任意取一个时刻2」，.t是时间的改变量，可以是正值，也可以是负值，但不能为0.当t < 0时，2 t在2之前，当t 0时，2 t在2之后.计算区间2」,2】和区间2,2氏内的平均速度v，可以得到如下表格:平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势•如何精确地刻画曲线在一点处的变化趋势呢？H t = - 4.9t2 6.5t 10当氏趋近于0时,平均速度有什么变化趋势？我们发现，当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均速度都趋近于一个确定的值-13.1.从物理角度看，时间间隔t无限变小时，平均速度V就无限趋近与t=2时的瞬时速度.因此，运动员在t=2时的瞬时速度是- 13.1m/s.为了表述方便,我们用lim h2江 PZ = -13.1二t—0 . '■：t表示"当t二2,"趋近于0时，平均速度v趋近于确定值-13.1".h(2 + 心t)- h(2)我们称确定值-13.1是----- t--------- 当厶t趋近于0时的极限.△th(2 t) h(2)t t 二4.91 13.1 当t 0有 4.91 13.1 13.1思考：为什么要从t 0和，t 0两方面来说明?limP^im h(2 —(—13.1 t t t >0: t (3)定义：函数y = f(x)在x=x °处的瞬时变化率是lim L X r 0 f (X o &)- f (X o ) 込X A 二 lim L X > 0称为函数y二f(x)在x=X o处的导数，记作f (X o)或yx=X o，即f(Xof(XoPlim o1. f (x o)与乞的值有关，不同的X。

§3．1.1 变化率问题
§3．1.2 导数的概念
【学情分析】：
本节的中心任务是形成导数的概念.概念形成划分为两个层次：
1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义.
2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵.
学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。

【教学目标】：
知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义.
【教学重点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义.
【教学难点】：
理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义. )()0t s t t t
+-根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移
来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于
)()000t t t s t t
→→-。

3.1.1 变化率问题 3.1.2 导数的概念学习目标：1.会求函数在某一点附近的平均变化率.2.会利用导数的定义求函数在某点处的导数．(重点难点)3.了解平均变化率与瞬时变化率的关系．(易混点)[自 主 预 习·探 新 知]1．函数的平均变化率 (1)定义式：Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢．(4)几何意义：已知P 1(x 1，f (x 1))，P 2(x 2，f (x 2))是函数y ＝f (x )的图象上两点，则平均变化率Δy Δx＝fx 2－f x 1x 2－x 1表示割线P 1P 2的斜率．思考：Δx ，Δy 的取值一定是正数吗？ [提示] Δx ≠0，Δy ∈P .2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.(2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢． 3．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝limΔx →0f x 0＋Δx －f x 0Δx.[基础自测]1．思考辨析(1)Δy 表示f (x 2)－f (x 1)，Δy 的值可正可负也可以为零．( )(2)瞬时变化率是刻画某函数值在区间[x 1，x 2]上变化快慢的物理量．( ) (3)函数f (x )＝x 在x ＝0处的瞬时变化率为0. ( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知函数f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43 D ．0.44 B [Δy ＝f (2＋Δx )－f (2)＝2.12－4＝0.41.]3．一物体的运动方程是s ＝3＋t 2，则在一小段时间[2,2.1]内的平均速度为( )【导学号：97792121】A ．0.41B ．3C ．4D ．4.1 D [Δ＝Δs Δt ＝3＋2.12－3＋222.1－2＝4.1.][合 作 探 究·攻 重 难]求函数的平均变化率(1)若函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx＝( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2(2)汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图3­1­1，在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，则三者的大小关系为__________．图3­1­1(3)球的半径从1增加到2时，球的体积平均膨胀率为__________． [解] (1)Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－(2×12－1) ＝2(Δx )2＋4Δx ∴ΔyΔx＝2Δx ＋4，故选C. (2)由题意知，v 1＝k OA ，v 2＝k AB ，v 3＝k BC . 根据图象知v 1<v 2<v 3. (3)Δv ＝43π×23－43π×13＝283π.∴Δv Δr ＝283π. [答案] (1)C (2)v 1<v 2<v 3 (3)283π[规律方法] 求函数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率的步骤(1)求自变量的增量Δx ＝x －x 0.(2)求函数的增量Δy ＝y －y 0＝f (x )－f (x 0)＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)． (3)求平均变化率Δy Δx＝fx 0＋Δx －f x 0Δx.提醒：Δx ，Δy 的值可正，可负，但Δx ≠0，Δy 可为零，若函数f (x )为常值函数，则Δy ＝0.[跟踪训练]1．(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为________，当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值为________．(2)已知函数f (x )＝－x 2＋x 的图象上的一点A (－1，－2)及临近一点B (－1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx＝________.(1)6x 0＋3Δx 12.3 (2)－Δx ＋3 [(1)函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率为f x 0＋Δx －f x 0x 0＋Δx －x 0＝[3x 0＋Δx2＋2]－3x 20＋2Δx＝6x 0·Δx ＋3Δx 2Δx＝6x 0＋3Δx .当x 0＝2，Δx ＝0.1时，函数y ＝3x 2＋2在区间[2,2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3. (2)∵Δy ＝f (－1＋Δx )－f (－1)＝－(－1＋Δx )2＋(－1＋Δx )－[－(－1)2＋(－1)] ＝－(Δx )2＋3Δx ， ∴Δy Δx＝－Δx 2＋3ΔxΔx＝－Δx ＋3.]求瞬时速度若一物体的运动方程为s ＝⎩⎪⎨⎪⎧29＋3t －32，0≤t <3，3t 2＋2，t ≥3(路程单位：m ，时间单位：s)．求：(1)物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度； (2)物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] (1)先求Δs ，再根据v ＝ΔsΔt 求解．(2)先求Δs Δt ，再求lim Δx →0ΔsΔt .[解] (1)因为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48(m)，Δt ＝2 s ，所以物体在t ＝3 s 到t ＝5 s 这段时间内的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)． (2)因为Δs ＝29＋3[(1＋Δt )－3]2－29－3×(1－3)2＝[3(Δt )2－12Δt ](m)， 所以Δs Δt＝3Δt2－12ΔtΔt＝3Δt －12(m/s)，则物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为lim Δx →0 ΔsΔt ＝lim Δx →0(3Δt －12)＝－12(m/s)．[规律方法] 1.求运动物体瞬时速度的三个步骤(1)求时间改变量Δt 和位移改变量Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)． (2)求平均速度v ＝ΔsΔt.(3)求瞬时速度，当Δt 无限趋近于0时，ΔsΔt 无限趋近于常数v ，即为瞬时速度．2．求ΔyΔx (当Δx 无限趋近于0时)的极限的方法(1)在极限表达式中，可把Δx 作为一个数来参与运算．(2)求出ΔyΔx 的表达式后，Δx 无限趋近于0就是令Δx ＝0，求出结果即可．[跟踪训练]2．质点M 按规律s ＝2t 2＋3作直线运动(位移单位：cm ，时间单位：s)．求质点M 在t ＝2时的瞬时速度以及在[1,3]上的平均速度.【导学号：97792122】[解] v ＝lim Δx →0s 2＋Δt －s 2Δt＝lim Δx →0 2×2＋Δt 2－2×22Δt ＝lim Δx →0(2Δt ＋8)＝8(cm/s)，v ＝s 3－s 13－1＝2×32＋3－2×12＋32＝8(cm/s)．求函数在某点处的导数求函数在某点处的导数的步骤和求瞬时速度的步骤有何异同？ 提示：根据函数在某点处的导数的定义知，两者步骤完全相同．(1)函数y ＝x 在x ＝1处的导数为__________．(2)如果一个质点由定点A 开始运动，在时间t 的位移函数为y ＝f (t )＝t 3＋3， ①当t 1＝4，Δt ＝0.01时，求Δy 和比值ΔyΔt ；②求t 1＝4时的导数． [思路探究] (1)求Δy →求Δy Δx →求lim Δx →0ΔyΔx (2)①Δy ＝f 4.01－f 4→ΔyΔt②求Δy →求Δy Δt →求lim Δt →0ΔyΔt [解析] (1)Δy ＝1＋Δx －1， Δy Δx ＝1＋Δx －1Δx ＝11＋Δx ＋1， lim Δx →011＋Δx ＋1＝12，所以y ′|x ＝1＝12.[答案] 12(2)①Δy ＝f (t 1＋Δt )－f (t 1)＝3t 21·Δt ＋3t 1·(Δt )2＋(Δt )3，故当t 1＝4，Δt ＝0.01时，Δy ＝0.481 201，ΔyΔt＝48.120 1.②lim Δx →0 Δy Δt ＝lim Δx →0[3t 21＋3t 1·Δt ＋(Δt )2]＝3t 21＝48，故函数y ＝t 3＋3在t 1＝4处的导数是48， 即y ′|t 1＝4＝48. [规律方法]求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的三个步骤简称：一差、二比、三极限．提醒：当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx 变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．[跟踪训练]3．求函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数．[解] ∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋Δx 1＋Δx ，∴Δy Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx . 当Δx →0时，ΔyΔx →2，∴f ′(1)＝2，即函数y ＝x －1x在x ＝1处的导数为2.[当 堂 达 标·固 双 基]1．已知函数f (x )＝2x 2－4的图象上一点(1，－2)及邻近一点(1＋Δx ，－2＋Δy )，则ΔyΔx等于( ) A ．4 B ．4x C ．4＋2Δx D ．4＋2(Δx )2C [Δy Δx＝f 1＋Δx －f 1Δx ＝21＋Δx2－2Δx＝4＋2Δx .]2．一质点的运动方程是s ＝4－2t 2，则在时间段[1,1＋Δt ]内相应的平均速度为( ) A ．2Δt ＋4 B ．－2Δt －4 C ．4 D ．－2Δt 2－4ΔtB [v ＝4－21＋Δt2－4－2×12Δt＝－4Δt －2Δt2Δt＝－2Δt －4.]3．一质点按规律s (t )＝2t 2运动，则在t ＝2时的瞬时速度为__________.【导学号：97792123】8[s(2＋Δt)－s(2)＝2(2＋Δt)2－2×22＝2(Δt)2＋8Δt.∴limΔt→0s2＋Δt－s2Δt＝limΔt→02Δt2＋8ΔtΔt＝limΔt→0(2Δt＋8)＝8.]4．设f(x)＝ax＋4，若f′(1)＝2，则a＝________.2[f′(1)＝limΔt→0f1＋Δx－f1Δx＝limΔt→0a1＋Δx＋4－a＋4Δx＝a，又∵f′(1)＝2，∴a＝2.]5．求函数y＝2x2＋4x在x＝3处的导数．[解] Δy＝2(3＋Δx)2＋4(3＋Δx)－(2×32＋4×3)＝2(Δx)2＋16Δx，∴ΔyΔx＝2Δx2＋16ΔxΔx＝2Δx＋16.y′|x＝3＝limΔt→0ΔyΔx＝limΔt→0(2Δx＋16)＝16.。

1.1.2导数的概念【学习目标】1. 了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；2. 理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；3. 会求函数在某点的导数；理解平均变化率的概念；了解平均变化率的几何意义；会求函数在某点处附近的平均变化率【学习重难点】重点：导数的求解方法和过程，导数符号的灵活运用；难点：导数概念的理解、认识和运用。

【学习过程】一、学前准备1：气球的体积V与半径之间的关系是，求当空气容量V从0增加到1时，气球的平均膨胀率.2：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：. 求在这段时间里，运动员的平均速度.二、合作探究：探究一：瞬时速度问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是新知：瞬时速度定义：物体在某一时刻(某一位置)的速度，叫做瞬时速度.探究二：导数问题2：瞬时速度是平均速度当趋近于0时的得导数的定义：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在(2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为0(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜率(4)导数是函数在点的处瞬时变化率，它反映的函数在点处变化的快慢程度.小结：由导数定义，高度h关于时间t的导数就是运动员的瞬时速度，气球半径关于体积V的导数就是气球的瞬时膨胀率.典型例题例1 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 如果在第xh时，原油的温度（单位：）为. 计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.总结：函数平均变化率的符号刻画的是函数值的增减；它的绝对值反映函数值变化的快慢.例2 已知质点M按规律s=2t2+3做直线运动(位移单位：cm，时间单位：s)，(1)当t=2，Δt=0.01时，求.(2)当t=2，Δt=0.001时，求.(3)求质点M在t=2时的瞬时速度小结：利用导数的定义求导，步骤为：第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率；第三步：取极限得导数.【学习检测】1. (A) 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（）A．从时间到时，物体的平均速度；B．在时刻时该物体的瞬时速度；C．当时间为时物体的速度；D．从时间到时物体的平均速度2.(A) 在=1处的导数为（）A．2 B．2 C．D．13. (B)在中，不可能（）A．大于0 B．小于0C．等于0 D．大于0或小于04（B) 如果质点A按规律运动，则在时的瞬时速度为5.（B) 若，则等于6.（B) 求曲线y = f(x) = x3在时的导数．7 (C)高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度是：(单位: m),求运动员在时的瞬时速度,并解释此时的运动状况.8. （C）已知(1) 求在处的导数(2) 求在处的导数【小结与反思】。

3．1 变化率与导数3．1.1变化率问题3．1.2导数的概念●三维目标1.知识与技能通过大量的实例的分析，让学生经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数．2．过程与方法通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法．●重点、难点重点：了解导数概念的形成，理解导数有内涵．难点：在平均变化率的基础上探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵．通过列举大量实例增强学生对导数概念形成的理解，以化解重点；通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点．实例：(1)当你吹气球时会发现随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加的会越来越慢．(2)从高空放下一件物体，随着时间的变化，物体下降的速度会越来越快．1．如何用数学的观点刻画物体运动的快慢？【提示】可以运用平均变化率来刻画．2．实例(2)中，当t1≈t2时刻时，平均变化率有什么样的特点？【提示】平均变化率接近t1或t2时刻的速度．1．函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率(1)定义式：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.(2)实质：函数值的改变量与自变量的改变量之比． (3)作用：刻画函数值在区间[x 1，x 2]上变化的快慢． 2．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 (1)定义式：lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx. (2)实质：瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值． (3)作用：刻画函数在某一点处变化的快慢．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝li mΔx →0 ΔyΔx ＝li m Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.求函数f (x )＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 都为13，在哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】 (1)Δx 、Δy 分别为多少？(2)平均变化率怎么求？(3)哪一点附近的平均变化率大？【自主解答】 在x ＝1附近的平均变化率为 k 1＝f (1＋Δx )－f (1)＝(1＋Δx )2－1＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)＝(2＋Δx )2－22＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－32Δx＝6＋Δx .若Δx ＝13，则k 1＝2＋13＝73，k 2＝4＋13＝133，k 3＝6＋13＝193.由于k 1＜k 2＜k 3，故在x ＝3附近的平均变化率最大．1．解答本题的关键是弄清在某点处自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy .2．求函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率的三个步骤 (1)求自变量的增量：Δx ＝x 2－x 1. (2)求函数值的增量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (3)作商求函数的平均变化率：Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.求函数y ＝sin x 在0到π6之间和π3到π2之间的平均变化率，并比较它们的大小．【解】 函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为sin π6－sin 0π6－0＝3π，在π3到π2之间的平均变化率为sin π2－sin π3π2－π3＝3(2－3)π. ∵2－3＜1，∴3π＞3(2－3)π.∴函数y ＝sin x 在0到π6之间的平均变化率为3π，在π3到π2之间的平均变化率为3(2－3)π，且在0到π6之间的平均变化率较大．s ＝⎩⎪⎨⎪⎧3t 2＋2 (t ≥3)29＋3(t －3)2(0≤t ＜3) 求(1)物体在t ∈[3,5]内的平均速度． (2)物体的初速度v 0.【思路探究】 (1)求物体在[3,5]内的平均速度应选择哪一段函数的解析式？(2)物体的初速度v 0的含义是什么？如何去求？【自主解答】 (1)∵物体在t ∈[3,5]内时，s ＝3t 2＋2，且时间增量Δt ＝5－3＝2， 物体在t ∈[3,5]内的位移变化量为Δs ＝3×52＋2－(3×32＋2)＝3×(52－32)＝48， ∴物体在t ∈[3,5]上的平均速度为Δs Δt ＝482＝24(m/s)．(2)求物体的初速度v 0，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵物体在t ＝0附近的平均变化率为Δs ＝f (0＋Δt )－f (0)＝29＋3[(0＋Δt )－3]2－29－3(0－3)2＝3Δt －18，∴物体在t ＝0处的瞬时变化率为li m Δt →0 ΔsΔt＝li mΔt →0 (3Δt －18)＝－18， 即物体的初速度为－18 m/s.1．解答本例首先要弄清第(1)问是求平均变化率，而第(2)问实际上是求t ＝0时的瞬时速度(即瞬时变化率)．2．求瞬时速度应先求平均速度v ＝Δs Δt ，再用公式v ＝li mΔt →0 ΔsΔt，求得瞬时速度． 3．如果物体的运动方程是s ＝s (t )，那么函数s ＝s (t )，在t ＝t 0处的导数，就是物体在t ＝t 0时的瞬时速度．一辆汽车按规律s ＝2t 2＋3做直线运动，求这辆车在t ＝2时的瞬时速度(时间单位：s ，位移单位：m)．【解】 设这辆车在t ＝2附近的时间变化量为Δt ，则位移的增量Δs ＝[2(2＋Δt )2＋3]－(2×22＋3)＝8Δt ＋2(Δt )2，Δs Δt ＝8＋2Δt ，当Δx 趋于0时，平均变化率ΔsΔt 趋于8. 所以，这辆车在t ＝2时的瞬时速度为8 m/s.【思路探究】 求Δy →求ΔyΔx→取极限→得f ′(1) 【自主解答】 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝[3(1＋Δx )2＋a (1＋Δx )＋b ]－(3＋a ＋b )＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx .Δy Δx ＝3(Δx )2＋(6＋a )Δx Δx＝3Δx ＋6＋a . li mΔx →0 ΔyΔx＝li mΔx →0 (3Δx ＋6＋a )＝6＋a . ∴f ′(1)＝6＋a .1．求函数f (x )在某点处导数的步骤与求瞬时变化率的步骤相同，简称：一差、二比、三极限．2．利用定义求函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的两个注意点(1)在求平均变化率Δy Δx 时，要注意对Δy Δx 的变形与约分，变形不彻底可能导致li mΔx →0 ΔyΔx 不存在．(2)当对Δy Δx 取极限时，一定要把ΔyΔx变形到当Δx →0时，分母是一个非零常数的形式．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．【解】 ∵Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －(a ＋c )＝2a ·Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx ＝2a ·Δx ＋(Δx )2Δx＝2a ＋Δx . 因此f ′(1)＝lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(2a ＋Δx )＝2a .∴2a ＝2，a ＝1.求物体的瞬时速度、初速度时要注意步骤的规范性(12分)(2013·长沙高二检测)一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s (t )＝3t －t 2.(1)求此物体的初速度；(2)求此物体在t ＝2时的瞬时速度； (3)求t ＝0到t ＝2时的平均速度．【思路点拨】 本题已知函数解析式，求初速度即t ＝0时的瞬时速度，t ＝2时的瞬时速度和t ∈[0,2]时的平均速度，可以用一差、二比、三极限的方法．【规范解答】 (1)当t ＝0时的速度为初速度． 在0时刻取一时间段[0,0＋Δt ]，即[0，Δt ]，∴Δs ＝s (Δt )－s (0)＝[3Δt －(Δt )2]－(3×0－02)＝3Δt －(Δt )2，2分 Δs Δt ＝3Δt －(Δt )2Δt＝3－Δt ，3分 lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(3－Δt )＝3.4分 ∴物体的初速度为3. (2)取一时间段[2,2＋Δt ]，∴Δs ＝s (2＋Δt )－s (2)＝[3(2＋Δt )－(2＋Δt )2]－(3×2－22)＝－Δt －(Δt )2，6分 Δs Δt ＝－Δt －(Δt )2Δt＝－1－Δt ，7分 lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(－1－Δt )＝－1，8分 ∴当t ＝2时，物体的瞬时速度为－1. (3)当t ∈[0,2]时，Δt ＝2－0＝2.Δs ＝s (2)－s (0)＝(3×2－22)－(3×0－02)＝2 10分 v ＝Δs Δt ＝22＝1.∴在0到2之间，物体的平均速度为1.12分解答此类问题首先要理解概念与公式的内涵，其次在解题过程中要严格按规定步骤解答，切忌跨步，以免出错．1．平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．2．函数在一点处的导数，就是在该点函数值的改变量与自变量的改变量的比值的极限，它是一个定值，不是变数.1．已知物体位移公式s ＝s (t )，从t 0到t 0＋Δt 这段时间内，下列说法错误的是( ) A ．Δs ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)叫做位移增量B.Δs Δt ＝s (t 0＋Δt )－s (t 0)Δt 叫做这段时间内物体的平均速度 C.ΔsΔt 不一定与Δt 有关 D.lim Δt →ΔsΔt叫做这段时间内物体的平均速度 【解析】 D 错误，应为t ＝t 0时的瞬时速度． 【答案】 D2．已知函数y ＝f (x )＝x 2＋1，则在x ＝2，Δx ＝0.1时，Δy 的值为( ) A ．0.40 B ．0.41 C ．0.43D ．0.44【解析】 ∵x ＝2，Δx ＝0.1，∴Δy ＝f (2＋0.1)－f (2)＝2.12－22＝0.41. 【答案】 B3．设函数f (x )在点x 0附近有定义，且有f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝a Δx ＋b (Δx )2(a ，b 为常数)，则( )A ．f ′(x )＝aB ．f ′(x )＝bC ．f ′(x 0)＝aD ．f ′(x 0)＝b【解析】Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝a ＋b ·Δx ，f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(a ＋b ·Δx )＝a . 【答案】 C4．一物体运动的方程是s ＝3＋t 2，求物体在t ＝2时的瞬时速度．【解】 Δs ＝(2＋Δt )2－4＝4Δt ＋(Δt )2.∴ΔsΔt＝4＋Δt .∴当Δt →0时，瞬时速度为4.一、选择题1．已知函数y ＝x 2＋1的图象上一点(1,2)及邻近一点(1＋Δx,2＋Δy )，则ΔyΔx 等于( )A ．2B ．2xC ．2＋ΔxD ．2＋(Δx )2【解析】 Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2.∴Δy Δx ＝2Δx ＋(Δx )2Δx＝2＋Δx . 【答案】 C2．自由落体运动的公式为s ＝s (t )＝12gt 2(g ＝10 m/s 2)，若v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ，则下列说法正确的是( )A ．v 是在0～1 s 这段时间内的速度B ．v 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速度C ．5Δt ＋10是物体在t ＝1 s 这一时刻的速度D ．5Δt ＋10是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速度【解析】 由平均速度的概念知：v ＝s (1＋Δt )－s (1)Δt ＝5Δt ＋10.故应选D.【答案】 D3．(2013·惠州高二检测)某物体做直线运动，其运动规律是s ＝t 2＋3t (t 的单位是秒，s 的单位是米)，则它在4秒末的瞬时速度为( )A.12316米/秒B.12516米/秒 C ．8米/秒 D.674米/秒【解析】 ∵ΔsΔt＝(4＋Δt )2＋34＋Δt －16－34Δt ＝(Δt )2＋8Δt ＋－3Δt 4(4＋Δt )Δt＝Δt ＋8－316＋4Δt ，∴lim Δt →0 Δs Δt ＝8－316＝12516.【答案】 B4．函数f (x )＝x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为k 1，在x 0－Δx 到x 0之间的平均变化率为k 2，则k 1，k 2的大小关系是( )A ．k 1＜k 2B ．k 1＞k 2C ．k 1＝k 2D ．无法确定【解析】 k 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝2x 0＋Δx ，k 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )Δx ＝2x 0－Δx ，而Δx 可正可负，故k 1、k 2大小关系不确定．【答案】 D5．已知点P (x 0，y 0)是抛物线y ＝3x 2＋6x ＋1上一点，且f ′(x 0)＝0，则点P 的坐标为( ) A ．(1,10) B ．(－1，－2) C ．(1，－2)D ．(－1,10)【解析】 Δy ＝3(x 0＋Δx )2＋6(x 0＋Δx )－3x 20－6x 0＝6x 0·Δx ＋3(Δx )2＋6Δx ，∴lim Δx →ΔyΔx ＝lim Δx →0(6x 0＋3Δx ＋6)＝6x 0＋6＝0. ∴x 0＝－1，y 0＝－2. 【答案】 B 二、填空题6．(2013·洛阳高二检测)一小球沿斜面自由滚下，其运动方程是s (t )＝t 2, (s 的单位：米，t 的单位：秒)，则小球在t ＝5时的瞬时速度为________．【解析】 v ′(5)＝lim Δt →s (5＋Δt )－s (5)Δt ＝lim Δt →0(10＋Δt )＝10【答案】 10米/秒7．已知函数f (x )＝ax ＋4，若f ′(1)＝2，则a ＝________. 【解析】 f ′(1)＝lim Δx →a (1＋Δx )＋4－a －4Δx ＝lim Δx →0 a ΔxΔx＝2，∴a ＝2.【答案】 28．若函数f (x )在x ＝a 处的导数为m ，那么lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a －Δx )Δx＝________.【解析】 ∵lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＝m ，则lim Δx →0 f (a －Δx )－f (a )－Δx＝m .∴lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a －Δx )＝lim Δx →0 f (a ＋Δx )－f (a )＋f (a )－f (a －Δx )＝lim Δx →f (a ＋Δx )－f (a )Δx ＋lim Δx →0 f (a －Δx )－f (a )－Δx＝m ＋m ＝2m .【答案】 2m 三、解答题9．已知f (x )＝(x －1)2，求f ′(x 0)，f ′(0)．【解】 ∵Δf ＝(x 0＋Δx －1)2－(x 0－1)2＝2x 0·Δx －2Δx ＋(Δx )2 ，∴Δf Δx ＝2x 0Δx －2Δx ＋(Δx )2Δx＝2x 0－2＋Δx ， f ′(x 0)＝lim Δx →ΔfΔx ＝lim Δx →0(2x 0－2＋Δx )＝2x 0－2， 把x 0＝0代入上式，得f ′(0)＝2×0－2＝＝－2. 10．设质点做直线运动，已知路程s 是时间t 的函数： s ＝3t 2＋2t ＋1.(1)求从t ＝2到t ＝2＋Δt 的平均速度，并求当Δt ＝1，Δt ＝0.1时的平均速度； (2)求当t ＝2时的瞬时速度．【解】 (1)从t ＝2到t ＝2＋Δt 内的平均速度为：Δs Δt ＝s (2＋Δt )－s (2)Δt ＝3(2＋Δt )2＋2(2＋Δt )＋1－3×4－2×2－1Δt＝14Δt ＋3(Δt )2Δt＝14＋3Δt .当Δt ＝1时，平均速度为14＋3×1＝17； 当Δt ＝0.1时，平均速度为14＋3×0.1＝14.3. (2)t ＝2时的瞬时速度为： v ＝lim Δt →ΔsΔt ＝lim Δt →0(14＋3Δt )＝14. 11．(2013·黄冈高二检测)枪弹在枪筒中运动可以看作匀加速运动，如果枪弹的加速度是a ＝5×105 m/s 2，它从枪口射出所用的时间为t 1＝1.6×10－3 s ，求枪弹射出枪口时的瞬时速度．【解】 ∵s (t )＝12at 2，∴Δs ＝s (t 1＋Δt )－s (t 1)＝12a (t 1＋Δt )2－12at 21＝at 1Δt ＋12a (Δt )2， Δs Δt ＝at 1Δt ＋12a (Δt )2Δt ＝at 1＋12a Δt . ∴枪弹射出枪口时的瞬时速度为 v ＝lim Δt →Δs Δt ＝lim Δt →0 (at 1＋12a Δt )＝at 1. 由题意a ＝5×105 m/s 2，t 1＝1.6×10－3s ， ∴v ＝at 1＝5×105×1.6×10－3＝800(m/s)，即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.。

3.1.2导数的概念 教学设计预习目标：对“什么是瞬时速度，瞬时变化率。

怎样求瞬时变化率”先有个了解 预习内容：高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度与起跳后的时间的关系为：. (1) 求在这段时间里，运动员的平均速度.(2) 当t=1时的瞬时速度。

课 内 探 究【教学目标】1、 了解瞬时速度的概念；瞬时变化率的概念;2、 了解导数概念的形成，理解导数的内涵4、会运用导数的概念，求函数在点处的导数【学习重难点】1、导数概念的理解；2、导数的求解方法和过程；3、导数符号的灵活运用【教学过程】一、复习: 平均变化率二、引入：问题1：在高台跳水运动中，运动员有不同时刻的速度是 问题2：预习内容（讲解）在跳水运动中，运动员相对于水面高度h （单位:m ）与起跳后的时间t(单位:s)存在函数关系：h(t)= - 4.9 t 2+6.5 t+10, 计算运动员在0≤t ≤ 这段时间 里的平均速度：v=______，思考下面的问题：(1)运动员在这段时间里是静止的吗？(2)你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题？三、新课：1．瞬时变化率的概念及导数的概念：函数在处的瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数，记作或即 注意：(1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，趋近于0可正、可负、但不为0，而可以为(3)是函数对自变量在范围内的平均变化率，它的几何意义是过曲线上点（）及点）的割线斜(4)导数是函数h t 2() 4.9 6.510h t t t =-++12t ≤≤)(x f y =0x ()y f x =0x x =0000()()lim lim x x f x x f x f xx ∆→∆→+∆-∆=∆∆()y f x =0x x =0()f x '0|x x y ='000()()()limx f x x f x f x x∆→+∆-'=∆0x x ∆y ∆xy ∆∆)(x f y =x x ∆)(x f y =)(,00x f x )(,(00x x f x x ∆+∆+xx f x x f x f x ∆-∆+=→∆)()(lim )(0000/在点四、典型例题（1）求函数.11)(处的导数在==x x x f （2）求函数.21)(处的导数在=+=x x x x f 五、小结：利用导数的定义求导步骤：第一步，求函数的增量；第二步：求平均变化率； 第三步：取极限得导数. 一差、二比、三极限六、练习练1. 在例1中,计算第3h 和第5h 时原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.练2. 一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是(位移单位：m ，时间单位：s)，求小球在课后练习与提高1. 高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度是：(单位: m), 求运动员在时的瞬时速度.2. 一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（ ）Ａ．从时间到时，物体的平均速度；Ｂ．在时刻时该物体的瞬时速度；Ｃ．当时间为时物体的速度；Ｄ．从时间到3. 在 =1处的导数为（ ）A ．2B ．2C ．D ．14. 在中，不可能（ ） A ．大于0 B ．小于0C ．等于0D ．大于0或小于05.如果质点A 按规律运动，则在时的瞬时速度为6. 若，则等于 )(x f y =0x 00()()y f x x f x ∆=+∆-0()f x x y x x+∆∆=∆∆00()limx y f x x ∆→∆'=∆2()s t t =5t =ts 2() 4.9 6.510h t t t =-++1t s =t t t +∆s ∆0lim t s t∆→∆∆t t t +∆t t ∆t t t +∆2y x =x x 2x +∆0000()()()lim x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆x ∆23s t =3t =0()2f x '=-0001[]()2lim k f x k f x k→--。

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变化率与导数1.理解函数在某点的平均变化率的概念并会求此变化率．2．通过对大量实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵．重点:函数在某一点的平均变化率，瞬时变化率、导数的概念．难点：导数的概念的理解．方法：合作探究一新知导学一）变化率问题1。

我们都吹过气球，回忆一下吹气球的过程,可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？当空气容量从V1增加到V2时,气球的半径从r(V1）增加到r（V2),气球的平均膨胀率是_____________。

2．在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s）的函数关系为h＝h（t),h是否随t的变化均匀变化?高台跳水运动员当高度从h（t1）变化到h(t2）时,他的平均速度为________________。

已知函数y＝f（x),令Δx＝x2－x1，Δy＝f(x2）－f(x1），则当Δx≠0时，比值__________________，为函数f(x）从x1到x2的平均变化率，即函数f（x)图象上两点A（x1，f（x1））、B（x2，f（x2）)连线的__________．课堂随笔:二）函数在某点处的导数物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？如何描述物体在某一时刻的运动状态?4．函数y＝f(x）在x＝x0处的瞬时变化率是错误!错误!＝错误!错误!。