2021届高三数学文一轮跟踪检测：第3章 第1节 变化率与导数、导数的计算

课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x， ∴y ′＝cos x ＋e x， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3.解：(1)y ′＝(e x)′cos x ＋e x(cos x )′＝e xcos x －e xsin x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2015·广州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2016·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋2＝2x ＋2，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.6．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝ 2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a fa＋b fb＋c fc＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a fa ＋b f b＋c fc＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·t a n x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x.解：(1)y ′＝(x ·t a n x )′＝x ′t a n x ＋x (t a n x )′＝t a n x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝t a n x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝t a n x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋x′＝x ＋x －x x ＋x 2＝x ＋2x ＋1·x －x＋x 2＝2x2x ＋1－x ＋x 2＝2x －x ＋x ＋x ＋x2.10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A. 278B ．－2C ．2D ．－278解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

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第一节变化率与导数、导数的计算A组基础题组1。

已知函数f(x）=cos x，则f（π）+f '=( )A.-B.- —C.-D.-2.已知f（x）=x（2 016+ln x),若f '(x0)=2 017，则x0等于（）A.e2B.1C.ln 2D.e3.曲线y=xe x+2x-1在点(0,—1）的切线方程为( ）A.y=3x-1 B。

y=-3x—1C。

y=3x+1 D。

y=-3x-14.曲线y=xe x在点（1，e)处的切线与直线ax+by+c=0垂直，则的值为（)A.—B.— C。

D.5。

若直线y=ax是曲线y=2ln x+1的一条切线,则实数a= （)A。

B.2 C. D.26.若曲线y=xln x上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是。

7.已知f(x）=3ln x—2xf '(1),则曲线y=f（x）在点A（1，m)处的切线方程为。

8。

曲线y=aln x(a>0)在x=1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为4，则a= 。

9.(2013北京,18,13分)设L为曲线C：y=在点（1,0）处的切线。

(5)y'=
sin cos
x x
'=
(
sin
x)'
cos x-sin cos2 x
x(
cos
x)'
= cos x cos x-sin x(-sin x) = 1 .
cos2 x
cos2 x
(6)y'=(
x
1 2
)'=
1
-1
x2
=
1
.
2 2x
方法技巧 1.求导数的总原则:先化简函数的解析式,再求导.
y=
1 x2
1·x+ln(x2+1)-
x2 x2
1
,
所以
k
b
1 x1
ln
x1
1 ,
x2 1 1 ln
(x2
1)-
x2 , x2 1
解得
x1 x2
1, 2 -1
2
于是b=ln
,
x1+1=1-ln
2.
规律总结 导数的几何意义的应用及求解思路 (1)求切线方程时,注意区分曲线在某点处的切线和曲线过某点的切线,曲线y =f(x)在点P(x0, f(x0))处的切线方程是y-f(x0)=f '(x0)(x-x0);求过某点的切线方程, 需先设出切点坐标,再依据已知点在切线上求解. (2)已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数,然后让导数 等于切线的斜率,从而求出切点的横坐标,将横坐标代入函数解析式求出切点 的纵坐标. (3)已知切线方程(或斜率)求参数值的关键就是列出函数的导数等于切线斜
'+
x
1 ln
2

第1讲 变化率与导数、导数的计算[基础题组练]1．下列求导数的运算中错误的是( ) A ．(3x )′＝3xln 3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2D ．(sin x ·cos x )′＝cos 2x 解析：选C.因为⎝⎛⎭⎪⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误．2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝f ′(2)．4．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D ．12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝ ⎛⎭⎪⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.5．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f (x )＝e －x，则f ′(x )＝－e －x，即e －x＝－e －x，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，④不符合要求．故选B.6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (lnx )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝ ，切线方程为 ．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为 ．解析：由题意知，f (2)＝2×2－1＝3，所以g (2)＝4＋3＝7，因为g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，所以g ′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x2(1－2cos 2x4)；(3)y ＝ln x x 2＋1. 解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x（x 2＋1）－2x ln x（x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln xx （x 2＋1）2.10．(2020·甘肃会宁一中模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程． 解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， 所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[综合题组练]1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0， 所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 4．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)， 则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，②将①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.因为P 为切点，所以Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限， 所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

高考数学一轮复习定时检测 3.1变化率与导数、导数的计算（带详细解析） 理 新人教A 版第三编 导数及其应用§3.1 变化率与导数、导数的计算一、选择题(每小题7分，共42分)1．(2010·佛山模拟)一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t2＋2t ，那么速度为零的时刻是 ( ) A ．0秒 B ．1秒末C ．2秒末D ．1秒末和2秒末解析 ∵s ＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t )＝t 2－3t ＋2，令v ＝0，得t 1＝1，t 2＝2. 答案 D2．(2009·临沂模拟)若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为 ( )A ．1 B. 2 C.22 D. 3解析 过点P 作y ＝x －2的平行直线，且与曲线y ＝x 2－ln x 相切，设P (x 0，x 20－ln x 0)，则k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0，∴2x 0－1x 0＝1，∴x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴P (1,1)，∴d ＝|1－1－2|1＋1＝ 2.答案 B3．(2009·潮州一模)若曲线y ＝x 4的一条切线l 与直线x ＋4y －8＝0垂直，则l 的方程为( )A ．4x －y －3＝0B ．x ＋4y －5＝0C ．4x －y ＋3＝0D ．x ＋4y ＋3＝0解析 y ′＝4x 3＝4，得x ＝1，即切点为(1,1)，所以过该点的切线方程为y －1＝4(x －1)， 整理得4x －y －3＝0. 答案 A4．(2010·聊城模拟)曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.94e 2 B ．2e 2 C ．e 2 D.e 22解析 ∵点(2，e 2)在曲线上，∴切线的斜率k ＝y ′|x ＝2＝e x |x ＝2＝e 2，∴切线的方程为y －e 2＝e 2(x －2)．即e 2x －y －e 2＝0.与两坐标轴的交点坐标为(0，－e 2)，(1,0)，∴S △＝12×1×e 2＝e 22.答案 D5．(2009·全国Ⅰ理，9)已知直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )相切，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－1 D ．－2解析 设直线y ＝x ＋1与曲线y ＝ln(x ＋a )的切点为(x 0，y 0)，则y 0＝1＋x 0，y 0＝ln(x 0＋a )，又y ′＝1x ＋a，∴y ′| x ＝x 0＝1x 0＋a＝1，即x 0＋a ＝1.又y 0＝ln(x 0＋a )，∴y 0＝0，∴x 0＝－1，∴a ＝2. 答案 B6．(2009·安徽文，9)设函数f (x )＝sin θ3x 3＋3cos θ2x 2＋tan θ，其中θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12，则导数f ′(1)的取值范围是 ( ) A ．[－2,2] B ．[2，3] C ．[3，2] D ．[2，2]解析 由已知f ′(x )＝sin θ·x 2＋3cos θ·x ，∴f ′(1)＝sin θ＋3cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3， 又θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π12.∴π3≤θ＋π3≤3π4，∴22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3≤1，∴2≤f ′(1)≤2.答案 D二、填空题(每小题6分，共18分)7.（2010·厦门调研）如图所示，函数f(x)的图象是折线段 ABC ，其中A ，B ，C 的坐标分别为（0，4），（2，0），（6，4），则f （f （0））= ；0 f (1＋Δx )－f (1)Δx＝________.(用数字作答)解析 由A (0,4)，B (2,0)可得线段AB 所在直线的方程为f (x )＝－2x ＋4 (0≤x ≤2)．同理BC所在直线的方程为f (x )＝x －2 (2<x ≤6)． 所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋4 (0≤x ≤2)，x －2 (2<x ≤6)，所以f (0)＝4，f (4)＝2..2)1()1()1(lim-='=∆-∆+→∆f xf x f x答案 2 －28．(2009·福建理，14)若曲线f (x )＝ax 5＋ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数a 的取值范围是________．解析 ∵f ′(x )＝5ax 4＋1x，x ∈(0，＋∞)，∴由题知5ax 4＋1x＝0在(0，＋∞)上有解．即a ＝－15x5在(0，＋∞)上有解． ∵x ∈(0，＋∞)，∴－15x5∈(－∞，0)．∴a ∈(－∞，0)． 答案 (－∞，0)9．(2009·江苏，9)在平面直角坐标系xOy 中，点P 在曲线C ：y ＝x 3－10x ＋3上，且在第二象限内，已知曲线C 在点P 处的切线斜率为2，则点P 的坐标为________．解析 设P (x 0，y 0)(x 0<0)，由题意知：y ′|x ＝x 0＝3x 20－10＝2，∴x 20＝4.∴x 0＝－2，∴y 0＝15.∴P 点的坐标为(－2,15)． 答案 (－2,15) 三、解答题(共40分)10．(13分)(2009·衡阳模拟)求曲线f (x )＝x 3－3x 2＋2x 过原点的切线方程．解 f ′(x )＝3x 2－6x ＋2.设切线的斜率为k . (1)当切点是原点时k ＝f ′(0)＝2， 所以所求曲线的切线方程为y ＝2x .(2)当切点不是原点时，设切点是(x 0，y 0)，则有y 0＝x 30－3x 20＋2x 0，k ＝f ′(x 0)＝3x 20－6x 0＋2，① 又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，② 由①②得x 0＝32，k ＝y 0x 0＝－14.∴所求曲线的切线方程为y ＝－14x .11．(13分)(2010·绍兴月考)设t ≠0，点P (t,0)是函数f (x )＝x 3＋ax 与g (x )＝bx 2＋c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线．试用t 表示a ，b ，c . 解 因为函数f (x )，g (x )的图象都过点(t,0)，所以f (t )＝0，即t 3＋at ＝0.因为t ≠0，所以a ＝－t 2. g (t )＝0，即bt 2＋c ＝0，所以c ＝ab .又因为f (x )，g (x )在点(t,0)处有相同的切线， 所以f ′(t )＝g ′(t )．而f ′(x )＝3x 2＋a ，g ′(x )＝2bx ，所以3t 2＋a ＝2bt .将a ＝－t 2代入上式得b ＝t .因此c ＝ab ＝－t 3.故a ＝－t 2，b ＝t ，c ＝－t 3.12．(14分)(2010·厦门模拟)设有抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，通过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限． (1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解 (1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1.①y 1＝－x 21＋92x 1－4.②①代入②得x 21＋⎝ ⎛⎭⎪⎫k －92x 1＋4＝0.∵P 为切点，∴Δ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12.当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17.当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.∵P 在第一象限，∴所求的斜率k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5.③将③代入抛物线方程得x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，∴x 2＝92，y 2＝－4.∴Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

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第三章导数及其应用第1讲变化率与导数、导数的运算一、选择题1．设函数f（x)是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线y＝f(x）在x＝5处的切线的斜率为( ）A．－错误! B．0 C.错误! D．5解析因为f(x)是R上的可导偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x）在x＝0处取得极值，即f′(0）＝0,又f(x)的周期为5，所以f′(5)＝0,即曲线y＝f（x）在x＝5处的切线的斜率为0，选B。

答案 B2．函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的可导函数,且满足f（x)〉0,xf′（x）＋f(x）〈0，则对任意正数a，b，若a>b，则必有( )．A．af(b）<bf(a）B．bf（a)<af(b)C．af(a)〈f(b) D．bf(b)〈f(a)解析构造函数F（x)＝错误!（x>0)，F′（x）＝错误!，由条件知F′(x）〈0,∴函数F（x）＝错误!在(0，＋∞）上单调递减，又a〉b〉0，∴错误!〈错误!,即bf（a)〈af（b）．答案B3．已知函数f(x)＝x3＋2ax2＋错误!x（a〉0),则f（2)的最小值为( ）．A．12错误!B．12＋8a＋错误!C．8＋8a＋错误!D．16解析f（2）＝8＋8a＋错误!，令g(a)＝8＋8a＋错误!,则g′(a)＝8－错误!,由g′(a）〉0得a>错误!，由g′（a）<0得0<a〈错误!,∴a＝错误!时f（2）有最小值．f（2）的最小值为8＋8×错误!＋错误!＝16.故选D.答案D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x），且满足f(x)＝2xf′（1)＋ln x，则f′(1)＝（)．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x）＝2xf′（1)＋ln x，得f′(x）＝2f′(1)＋错误!，∴f′(1)＝2f′（1）＋1，则f′（1)＝－1。

课时跟踪检测（十三） 变化率与导数、导数的运算(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.2．曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为( ) A ．(1－e)x －y ＋1＝0 B ．(1－e)x －y －1＝0 C ．(e －1)x －y ＋1＝0D ．(e －1)x －y －1＝0解析：选C 由于y ′＝e －1x，所以y ′|x =1＝e －1，故曲线y ＝e x －ln x 在点(1，e)处的切线方程为y －e ＝(e －1)(x －1)，即(e －1)x －y ＋1＝0.3.已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为－12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：选B 因为y ＝x 24－3ln x (x >0)，所以y ′＝x 2－3x .再由导数的几何意义，令x 2－3x＝－12，解得x ＝2或x ＝－3(舍去)．故切点的横坐标为2. 4.(2018·湖北百所重点高中联考)已知函数f (x ＋1)＝2x ＋1x ＋1，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率为( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选A f (x ＋1)＝2x ＋1－1x ＋1，故f (x )＝2x －1x ，即f (x )＝2－1x，对f (x )求导得f ′(x )＝1x2，则f ′(1)＝1，故所求切线的斜率为1，故选A.5．已知函数f (x )＝a ln x ＋bx 2的图象在点P (1,1)处的切线与直线x －y ＋1＝0垂直，则a 的值为( )A ．－1B ．1C ．3D ．－3解析：选D 由已知可得P (1,1)在函数f (x )的图象上， 所以f (1)＝1，即a ln 1＋b ＝1，解得b ＝1， 所以f (x )＝a ln x ＋x 2，故f ′(x )＝a x＋2x .则函数f (x )的图象在点P (1,1)处的切线的斜率k ＝f ′(1)＝a ＋2， 因为切线与直线x －y ＋1＝0垂直， 所以a ＋2＝－1，即a ＝－3.故选D.6.已知函数f (x )＝1x cos x ，则f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________. 解析：∵f ′(x )＝－1x 2cos x －1xsin x ，∴f (π)＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1π－2π＝－3π. 答案：－3π7.(2018·昆明质检)若函数f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4的图象在x ＝0处的切线方程为y ＝－3x ＋1，则ω＝________.解析：由题意，得f ′(x )＝－2ωsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，所以f ′(0)＝－2ωsin π4＝－ω＝－3，所以ω＝3.答案：38．曲线f (x )＝e x 在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝ax 2－a (a ≠0)相切，则a ＝________，切点坐标为________．解析：曲线f (x )在x ＝0处的切线方程为y ＝x ＋1. 设其与曲线g (x )＝ax 2－a 相切于点(x 0，ax 20－a )． 则g ′(x 0)＝2ax 0＝1，且ax 20－a ＝x 0＋1. 解得x 0＝－1，a ＝－12，切点坐标为(－1,0)．答案：－12 (－1,0)9.求下列函数的导数． (1)y ＝(1－x )⎝⎛⎭⎪⎫1＋1x ；(2)y ＝x ·tan x ；(3)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)；(4)y ＝ln 2x ＋1x.解：(1)∵y ＝(1－x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1x ＝1x－x ＝x -12－x 12，∴y ′＝(x-12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x＝tan x ＋xcos 2x.(3)∵y ＝(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)，∴y ′＝(x 2＋3x ＋2)′(x ＋3)＋(x 2＋3x ＋2)(x ＋3)′ ＝(2x ＋3)(x ＋3)＋x 2＋3x ＋2 ＝2x 2＋9x ＋9＋x 2＋3x ＋2 ＝3x 2＋12x ＋11. (4)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2. 10．已知点M 是曲线y ＝13x 3－2x 2＋3x ＋1上任意一点，曲线在M 处的切线为l ，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l 的倾斜角α的取值范围． 解：(1)∵y ′＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1， ∴当x ＝2时，y ′min ＝－1，此时y ＝53，∴斜率最小时的切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，53，斜率k ＝－1， ∴切线方程为3x ＋3y －11＝0. (2)由(1)得k ≥－1，∴tan α≥－1，又∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.故α的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π.B 级——拔高题目稳做准做1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．2D ．4解析：选B 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0.2.已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1. ∵g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 2＋mx 0＋72，m <0，解得m ＝－2.3．若点P 是曲线y ＝x 2－ln x 上任意一点，则点P 到直线y ＝x －2的最小距离为________． 解析：由y ＝x 2－ln x ，得y ′＝2x －1x(x ＞0)，设点P 0(x 0，y 0)是曲线y ＝x 2－ln x 上到直线y ＝x －2的距离最小的点，则y ′|x ＝x 0＝2x 0－1x 0＝1，解得x 0＝1或x 0＝－12(舍去)．∴点P 0的坐标为(1,1)．∴所求的最小距离＝|1－1－2|2＝ 2.答案： 24.已知曲线f (x )＝x 3＋ax ＋14在x ＝0处的切线与曲线g (x )＝－ln x 相切，则a 的值为________．解析：由f (x )＝x 3＋ax ＋14得，f ′(x )＝3x 2＋a ，f ′(0)＝a ，f (0)＝14，∴曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线方程为y －14＝ax .设直线y －14＝ax 与曲线g (x )＝－ln x 相切于点(x 0，－ln x 0)，g ′(x )＝－1x，∴⎩⎪⎨⎪⎧－ln x 0－14＝ax 0， ①a ＝－1x 0. ②将②代入①得ln x 0＝34，∴x 0＝e 34， ∴a ＝－1e34＝－e-34.答案：－e －345.已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R)．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值； (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－a a ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)＞0， 即4a 2＋4a ＋1＞0，所以a ≠－12.所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 6．设抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标． 解：(1)因为y ′＝－2x ＋92，设切点P 的坐标为(x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧ －2x 1＋92＝k ，y 1＝kx 1，y 1＝－x 21＋92x 1－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝2，y 1＝1，k ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－2，y 1＝－17，k ＝172，因为切点P 在第一象限，所以k ＝12.(2)过P 点作切线的垂线，其方程为y ＝－2x ＋5. 将其代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0.设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9， 所以x 2＝92，y 2＝－4.所以Q 点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－4.。

2021年高考数学大一轮复习 变化率与导数、导数的计算课时跟踪检测（十三）理（含解析）一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)2．(xx·济宁模拟)已知f (x )＝x (2 014＋ln x )，f ′(x 0)＝2 015，则x 0＝( )A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e3．设曲线y ＝1＋cos x sin x 在点⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1处的切线与直线x －ay ＋1＝0平行，则实数a 等于( )A ．－1 B.12 C ．－2D ．24．下面四个图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R )的导函数y ＝f ′(x )的图象，则f (－1)＝( )A.13 B ．－23C.73D ．－13或535．(xx·保定调研)已知曲线y ＝ln x 的切线过原点，则此切线的斜率为( ) A ．e B ．－e C.1eD ．－1e6．若函数f (x )＝cos x ＋2xf ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的大小关系是( ) A ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 B ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＞f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3 C ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3D ．不确定二、填空题7．(xx·广东高考)曲线y ＝e－5x＋2在点(0,3)处的切线方程为________________．8．(xx·河北邯郸二模)曲线y ＝log 2x 在点(1,0)处的切线与坐标轴所围三角形的面积等于________．9．若函数f (x )＝ln x －f ′(－1)x 2＋3x －4，则f ′(1)＝________.10．已知f 1(x )＝sin x ＋cos x ，记f 2(x )＝f 1′(x )，f 3(x )＝f 2′(x )，…，f n (x )＝f n －1′(x )(n ∈N *，n ≥2)，则f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝________.三、解答题11．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·tan x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝3sin 4x .12．(xx·临沂一模)已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．答案1．选C f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )]＝3(x 2－a 2)．2．选B 由题意可知f ′(x )＝2 014＋ln x ＋x ·1x＝2 015＋ln x ．由f ′(x 0)＝2 015，得ln x 0＝0，解得x 0＝1.3．选A ∵y ′＝－1－cos x sin 2x ，∴y ′＝－1，由条件知1a ＝－1，∴a ＝－1，故选A. 4．选D ∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1，∴f ′(x )的图象开口向上，则②④排除．若f ′(x )的图象为①，此时a ＝0，f (－1)＝53；若f ′(x )的图象为③，此时a 2－1＝0，又对称轴x＝－a ＞0，∴a ＝－1，∴f (－1)＝－13.5．选C y ＝ln x 的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝f ′(x 0)＝1x 0，∴切线方程为y －y 0＝1x 0(x －x 0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得y 0＝1，则x 0＝e ，∴k ＝f ′(x 0)＝1x 0＝1e. 6．选C 依题意得f ′(x )＝－sin x ＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝－sin π6＋2f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝12，f ′(x )＝－sin x ＋1，∵当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2时，f ′(x )＞0，∴f (x )＝cos x ＋x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是增函数，又－π2＜－π3＜π3＜π2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3＜f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3.7．解析：因为y ′＝e－5x(－5x )′＝－5e－5x，所以y ′|x ＝0＝－5，故切线方程为y －3＝－5(x －0)，即5x ＋y －3＝0.答案：5x ＋y －3＝0 8．解析：∵y ′＝1x ln 2，∴k ＝1ln 2， ∴切线方程为y ＝1ln 2(x －1)，∴三角形面积为S △＝12×1×1ln 2＝12ln 2＝12log 2e.答案：12log 2e9．解析：∵f ′(x )＝1x－2f ′(－1)x ＋3，∴f ′(－1)＝－1＋2f ′(－1)＋3，解得f ′(－1)＝－2，∴f ′(1)＝1＋4＋3＝8. 答案：810．解析：f 2(x )＝f 1′(x )＝cos x －sin x ，f 3(x )＝(cos x －sin x )′＝－sin x －cos x ， f 4(x )＝－cos x ＋sin x ，f 5(x )＝sin x ＋cos x ，以此类推，可得出f n (x )＝f n ＋4(x )， 又∵f 1(x )＋f 2(x )＋f 3(x )＋f 4(x )＝0，∴f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋…＋f 2 014⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝503f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 4⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 1⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋f 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝0.答案：011．解：(1)y ′＝(x ·tan x )′＝x ′tan x ＋x (tan x )′＝tan x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝tan x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝tan x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝(3sin 4x )′＝3cos 4x ·(4x )′＝12cos 4x . 12．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3＜0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．31008 7920 礠26458 675A 杚 21993 55E9 嗩22078 563E 嘾 24757 60B5 悵27351 6AD7 櫗O37174 9136 鄶23502 5BCE 寎32709 7FC5 翅 34857 8829 蠩H。

2021年高考数学一轮总复习 2.11变化率与导数、导数的计算练习一、选择题1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析 f ′(x )＝(x －a )2＋(x ＋2a )[2(x －a )] ＝3(x 2－a 2)．答案 C2．已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3t(t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度为( )A.194B.174C.154D.134解析 ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝134.答案 D3．(xx·大纲全国卷)曲线y ＝x e x －1在点(1,1)处切线的斜率等于( )A ．2eB ．eC ．2D ．1解析 ∵y ＝x ex －1，∴y ′＝ex －1＋x ex －1.∴k ＝y ′|x ＝1＝e 0＋e 0＝2，选C. 答案 C4．(xx·山东烟台期末)若点P 是函数y ＝e x －e －x－3x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是( )A.5π6 B.3π4 C.π4D.π6解析 由导数的几何意义，k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2e x ·e －x－3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)，所以α的最小值是3π4，故选B.答案 B5．(xx·重庆七校联盟联考)已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处切线的斜率是( )A ．2B ．1C ．3D ．－2解析 由f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8两边求导，得f ′(x )＝2f ′(2－x )×(－1)－2x ＋8.令x ＝1得 f ′(1)＝2f ′(1)×(－1)－2＋8⇒f ′(1)＝2，∴k ＝2.答案 A6．已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 B ．(0，－4) C ．(2,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－14 解析 由题，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，f ′(x )＝2x ，则过A ，B 两点的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2，又切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l 1：y ＝2x 1x－x 21，l 2：y ＝2x 2x －x 22，联立得(x 1－x 2)[2x －(x 1＋x 2)]＝0，因为x 1≠x 2，所以x ＝x 1＋x 22，代入l 1，解得y ＝x 1x 2＝－14，故选D.答案 D 二、填空题7．若曲线y ＝32x 2＋x －12的某一切线与直线y ＝4x ＋3平行，则切线方程为________．解析 设切点为(x 0，y 0)，切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝3x 0＋1,3x 0＋1＝4⇒x 0＝1. 又y 0＝32x 20＋x 0－12＝2，则切点为(1,2)，故切线的方程为y －2＝4(x －1)⇒y ＝4x －2. 答案 y ＝4x －28．(xx·陕西五校联考)已知直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 切于点(1,3)，则b 的值为________．解析 点(1,3)既在直线y ＝kx ＋1上，也在曲线y ＝x 3＋ax ＋b 上，代入解得k ＝2，a ＋b ＝2，又y ′|x ＝1＝2，∴3＋a ＝2，解得a ＝－1.∴b ＝3.答案 39．已知函数f (x )＝xn ＋1(n ∈N *)的图象与直线x ＝1交于点P ，若函数f (x )的图象在点P处的切线与x 轴交点的横坐标为x n 则log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013的值为________．解析 f ′(x )＝(n ＋1)x n，∴f ′(1)＝n ＋1. 又P (1,1)，∴切线方程为y －1＝(n ＋1)(x －1)． 令y ＝0，得x n ＝1－1n ＋1＝nn ＋1， ∴x 1x 2x 3…x 2 013＝12·23·34…2 0132 014＝12 014.∴log 2 014x 1＋log 2 014x 2＋…＋log 2 014x 2 013 ＝log 2 014x 1x 2x 3…x 2 013＝log 2 01412 014＝－1. 答案 －1 三、解答题10．已知函数f (x )＝x 3－3x 及y ＝f (x )上一点P (1，－2)，过点P 作直线l . (1)求使直线l 和y ＝f (x )相切且以P 为切点的直线方程； (2)求使直线l 和y ＝f (x )相切且切点异于P 的直线方程． 解 (1)由f (x )＝x 3－3x 得f ′(x )＝3x 2－3，过点P 且以P (1，－2)为切点的直线的斜率f ′(1)＝0， ∴所求的直线方程为y ＝－2.(2)设过P (1，－2)的直线l 与y ＝f (x )切于另一点(x 0，y 0)， 则f ′(x 0)＝3x 20－3.又直线过(x 0，y 0)，P (1，－2)．故其斜率可表示为y 0－－2x 0－1＝x 30－3x 0＋2x 0－1.又x 30－3x 0＋2x 0－1＝3x 20－3，即x 30－3x 0＋2＝3(x 20－1)(x 0－1)， 解得x 0＝1(舍去)或x 0＝－12，故所求直线的斜率为k ＝3×⎝ ⎛⎭⎪⎫14－1＝－94. ∴y －(－2)＝－94(x －1)，即9x ＋4y －1＝0.11．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值． (2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围． 解 f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f 0＝b ＝0，f ′0＝－aa ＋2＝－3，解得b ＝0，a ＝－3或1.(2)∵曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，∴关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0， 即4a 2＋4a ＋1>0.∴a ≠－12.∴a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞. 培 优 演 练1．设函数f (x )＝x sin x ＋cos x 的图象在点(t ，f (t ))处切线的斜率为k ，则函数k ＝g (t )的部分图象为( )解析 ∵f (x )＝x sin x ＋cos x ，∴f ′(x )＝x cos x ，∴k ＝g (t )＝t cos t .g (t )为奇函数且当0<t <π时，g (t )>0，故选B. 答案 B2．函数y ＝x 2(x >0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴的交点的横坐标为a k ＋1，其中k ∈N *，若a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5的值是________．解析 由y ＝x 2(x >0)得，y ′＝2x ，所以函数y ＝x 2(x >0)在点(a k ，a 2k )处的切线方程为y－a 2k ＝2a k (x －a k )，当y ＝0时，解得x ＝a k 2，所以a k ＋1＝a k 2，所以{a k }是首项为16，公比为12的等比数列，所以a 1＋a 3＋a 5＝16＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋16×⎝ ⎛⎭⎪⎫124＝21.答案 213．(xx·汉城国际学校调研)已知函数f (x )＝mx 3＋nx 2的图象在点(－1,2)处的切线恰好与直线3x ＋y ＝0平行，若f (x )在区间[t ，t ＋1]上单调递减，则实数t 的取值范围是________．解析 ∵f (x )＝mx 3＋nx 2，f ′(x )＝3mx 2＋2nx ，则⎩⎪⎨⎪⎧f －1＝－m ＋n ＝2，f ′－1＝3m －2n ＝－3，∴m ＝1，n ＝3.∴f ′(x )＝3x 2＋6x ＝3x (x ＋2)． 由f ′(x )<0，得－2<x <0. 由题意，得[t ，t ＋1]⊆[－2,0]．∴⎩⎪⎨⎪⎧t ≥－2，t ＋1≤0，∴－2≤t ≤－1.答案 [－2，－1]4．(xx·北京卷)已知函数f (x )＝2x 3－3x . (1)求f (x )在区间[－2,1]上的最大值；(2)若过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切，求t 的取值范围；(3)问过点A (－1,2)，B (2,10)，C (0,2)分别存在几条直线与曲线y ＝f (x )相切？(只需写出结论)解 (1)由f (x )＝2x 3－3x 得f ′(x )＝6x 2－3. 令f ′(x )＝0，得x ＝－22或x ＝22. 因为f (－2)＝－10，f ⎝⎛⎭⎪⎫－22＝2， f ⎝⎛⎭⎪⎫22＝－2，f (1)＝－1. 所以f (x )在区间[－2,1]上的最大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝ 2. (2)设过点P (1，t )的直线与曲线y ＝f (x )相切于点(x 0，y 0)． 则y 0＝2x 30－3x 0，且切线斜率为k ＝6x 20－3， 所以切线方程为y －y 0＝(6x 20－3)(x －x 0)． 因此t －y 0＝(6x 20－3)(1－x 0)． 整理得4x 30－6x 20＋t ＋3＝0. 设g (x )＝4x 3－6x 2＋t ＋3，则“过点P (1，t )存在3条直线与曲线y ＝f (x )相切”等价于“g (x )有3个不同零点”．g ′(x )＝12x 2－12x ＝12x (x －1)， g (x )与g ′(x )的情况如下：所以g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．当g(0)＝t＋3≤0，即t≤－3时，此时g(x)在区间(－∞，1]和(1，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(1)＝t＋1≥0，即t≥－1时，此时g(x)在区间(－∞，0)和[0，＋∞)上分别至多有1个零点，所以g(x)至多有2个零点．当g(0)>0且g(1)<0，即－3<t<－1时，因为g(－1)＝t－7<0，g(2)＝t＋11>0，所以g(x)分别在区间[－1,0)，[0,1)和[1,2)上恰有1个零点，由于g(x)在区间(－∞，0)和(1，＋∞)上单调，所以g(x)分别在区间(－∞，0)和[1，＋∞)上恰有1个零点．综上可知，当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．(3)过点A(－1,2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；过点B(2,10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；过点C(0,2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．F31380 7A94 窔39332 99A4 馤<32357 7E65 繥22981 59C5 姅<l:u35760 8BB0 记n28785 7071 灱32634 7F7A 罺y。

2021年高考数学一轮复习 第三章 第1讲 变化率与导数、导数的运算 文（含解析）一、选择题1．设函数f (x )是R 上以5为周期的可导偶函数，则曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为( )A ．－15B ．0 C.15D ．5解析 因为f (x )是R 上的可导偶函数，所以f (x )的图象关于y 轴对称，所以f (x )在x ＝0处取得极值，即f ′(0)＝0，又f (x )的周期为5，所以f ′(5)＝0，即曲线y ＝f (x )在x ＝5处的切线的斜率为0，选B. 答案 B2．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的可导函数，且满足f (x )>0，xf ′(x )＋f (x )<0，则对任意正数a ，b ，若a >b ，则必有( )．A ．af (b )<bf (a )B ．bf (a )<af (b )C ．af (a )<f (b )D ．bf (b )<f (a )解析 构造函数F (x )＝f x x (x >0)，F ′(x )＝xf ′x －f xx 2，由条件知F ′(x )<0，∴函数F (x )＝f x x在(0，＋∞)上单调递减，又a >b >0，∴f aa<f b b，即bf (a )<af (b )．答案 B3．已知函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋1ax (a >0)，则f (2)的最小值为( )．A ．1232B ．12＋8a ＋1aC ．8＋8a ＋2aD ．16解析f(2)＝8＋8a＋2a，令g(a)＝8＋8a＋2a，则g′(a)＝8－2a2，由g′(a)>0得a>12，由g′(a)<0得0<a<12，∴a＝12时f(2)有最小值．f(2)的最小值为8＋8×12＋212＝16.故选D.答案 D4．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(1)＋ln x，则f′(1)＝( )．A．－e B．－1 C．1 D．e解析由f(x)＝2xf′(1)＋ln x，得f′(x)＝2f′(1)＋1x ，∴f′(1)＝2f′(1)＋1，则f′(1)＝－1.答案 B5．等比数列{a n}中，a1＝2，a8＝4，函数f(x)＝x(x－a1)(x－a2)…(x－a8)，则f′(0)＝( )．A．26 B．29 C．212 D．215解析函数f(x)的展开式含x项的系数为a1·a2·…·a8＝(a1·a8)4＝84＝212，而f′(0)＝a1·a2·…·a8＝212，故选C.答案 C6．已知函数f′(x)，g′(x)分别是二次函数f(x)和三次函数g(x)的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示，设函数h(x)＝f(x)－g(x)，则 ( )．A．h(1)<h(0)<h(－1)B．h(1)<h(－1)<h(0)C．h(0)<h(－1)<h(1)D．h(0)<h(1)<h(－1)解析由图象可知f′(x)＝x，g′(x)＝x2，则f(x)＝12x2＋m，其中m为常数，g(x)＝13x3＋n，其中n为常数，则h(x)＝12x2－13x3＋m－n，得h(0)<h(1)<h(－1)．答案 D二、填空题7．曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1,1)处的切线方程为________．解析 ∵y ＝x (3ln x ＋1)，∴y ′＝3ln x ＋1＋x ·3x＝3ln x ＋4，∴k ＝y ′|x ＝1＝4，∴所求切线的方程为y －1＝4(x －1)，即y ＝4x －3. 答案 y ＝4x －38．若过原点作曲线y ＝e x的切线，则切点的坐标为________，切线的斜率为________．解析 y ′＝e x，设切点的坐标为(x 0，y 0)则y 0x 0＝e x 0，即e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1.因此切点的坐标为(1，e)，切线的斜率为e. 答案 (1，e) e9．已知函数f (x )在R 上满足f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8，则曲线y ＝f (x )在x ＝1处的导数f ′(1)＝________.解析 ∵f (x )＝2f (2－x )－x 2＋8x －8， ∴x ＝1时，f (1)＝2f (1)－1＋8－8， ∴f (1)＝1，即点(1,1)，在曲线y ＝f (x )上． 又∵f ′(x )＝－2f ′(2－x )－2x ＋8，x ＝1时，f ′(1)＝－2f ′(1)－2＋8，∴f ′(1)＝2. 答案 210．同学们经过市场调查，得出了某种商品在2011年的价格y (单位：元)与时间t (单位：月)的函数关系为：y ＝2＋t 220－t (1≤t ≤12)，则10月份该商品价格上涨的速度是______元/月．解析 ∵y ＝2＋t 220－t(1≤t ≤12)，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋t 220－t ′＝2′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t 220－t ′＝t 2′20－t －t 220－t ′20－t 2＝40t －t 220－t2.由导数的几何意义可知10月份该商品的价格的上涨速度应为y ′|t ＝10＝40×10－10220－102＝3.因此10月份该商品价格上涨的速度为3元/月． 答案 3 三、解答题11．求下列函数的导数：(1)y ＝(2x ＋1)n，(n ∈N *)； (2)y ＝ln (x ＋1＋x 2)；(3)y ＝e x＋1e x －1； (4)y ＝2x sin(2x ＋5)．解 (1)y ′＝n (2x ＋1)n －1·(2x ＋1)′＝2n (2x ＋1)n －1.(2)y ′＝1x ＋1＋x 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 21＋x 2＝11＋x 2. (3)∵y ＝e x＋1e x －1＝1＋2e x －1∴y ′＝－2exe x－12.(4)y ′＝2sin(2x ＋5)＋4x cos(2x ＋5)．12．设函数f (x )＝x 3＋2ax 2＋bx ＋a ，g (x )＝x 2－3x ＋2，其中x ∈R ，a 、b 为常数，已知曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线l . (1)求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；(2)若方程f (x )＋g (x )＝mx 有三个互不相同的实根0、x 1、x 2，其中x 1<x 2，且对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，求实数m 的取值范围．解析 (1)f ′(x )＝3x 2＋4ax ＋b ，g ′(x )＝2x －3，由于曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )在点(2,0)处有相同的切线，故有f (2)＝g (2)＝0，f ′(2)＝g ′(2)＝1，由此解得a ＝－2，b ＝5； 切线l 的方程为：x －y －2＝0.(2)由(1)得f (x )＋g (x )＝x 3－3x 2＋2x ，依题意得：方程x (x 2－3x ＋2－m )＝0有三个互不相等的根0，x 1，x 2，故x 1，x 2是方程x 2－3x ＋2－m ＝0的两个相异实根，所以Δ＝9－4(2－m )>0⇒m >－14；又对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立，特别地，取x ＝x 1时，f (x 1)＋g (x 1)－mx 1<－m 成立，即0<－m ⇒m <0，由韦达定理知：x 1＋x 2＝3>0，x 1x 2＝2－m >0，故0<x 1<x 2，对任意的x ∈[x 1，x 2]，有x －x 2≤0，x －x 1≥0，x >0，则f (x )＋g (x )－mx ＝x (x －x 1)(x －x 2)≤0； 又f (x 1)＋g (x 1)－mx 1＝0，所以函数在x ∈[x 1，x 2]上的最大值为0，于是当m <0时对任意的x ∈[x 1，x 2]，f (x )＋g (x )<m (x －1)恒成立．综上：m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，013．设函数f (x )＝ax －b x，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为7x －4y －12＝0. (1)求f (x )的解析式；(2)证明：曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，并求此定值．(1)解 方程7x －4y －12＝0可化为y ＝74x －3，当x ＝2时，y ＝12.又f ′(x )＝a ＋bx2，于是⎩⎪⎨⎪⎧2a －b 2＝12，a ＋b 4＝74，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3.故f (x )＝x －3x.(2)证明 设P (x 0，y 0)为曲线上任一点，由f ′(x )＝1＋3x2知，曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程为y －y 0＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋3x20·(x －x 0)，即y －⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－3x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋3x20(x －x 0)． 令x ＝0得，y ＝－6x 0，从而得切线与直线x ＝0交点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－6x 0.令y ＝x ，得y ＝x ＝2x 0，从而得切线与直线y ＝x 的交点坐标为(2x 0,2x 0)．所以点P (x 0，y 0)处的切线与直线x ＝0，y ＝x 所围成的三角形面积为12⎪⎪⎪⎪⎪⎪－6x 0|2x 0|＝6.故曲线y ＝f (x )上任一点处的切线与直线x ＝0和直线y ＝x 所围成的三角形面积为定值，此定值为6.14．设f (x )＝ln(x ＋1)＋x ＋1＋ax ＋b (a ，b ∈R ，a ，b ，为常数)，曲线y ＝f (x )与直线y ＝32x 在(0,0)点相切． (1)求a ，b 的值；(2)证明：当0<x <2时，f (x )<9x x ＋6. (1)解 由y ＝f (x )过(0,0)点，得b ＝－1. 由y ＝f (x )在(0,0)点的切线斜率为32，又y ′|x ＝0＝⎪⎪⎪⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1＋12x ＋1＋a x ＝0＝32＋a ，得a ＝0.(2)证明 当x >0时，2x ＋1·1<x ＋1＋1＝x ＋2，故x ＋1<x 2＋1.记h (x )＝f (x )－9xx ＋6，则h ′(x )＝1x ＋1＋12x ＋1－54x ＋62＝2＋x ＋12x ＋1－54x ＋62<x ＋64x ＋1－54x ＋62＝x ＋63－216x ＋14x ＋1x ＋62. 令g (x )＝(x ＋6)3－216(x ＋1)，则当0<x<2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216<0.因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)<0，所以h′(x)<0.因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)<0.于是当0<x<2时，f(x)<9xx＋6.5w!L=UxJ%33163 818B 膋JH35395 8A43 詃25295 62CF 拏u。

企业管理中的中小企业发展策略中小企业作为国家经济发展的重要组成部分，对于促进经济增长、增加就业岗位、推动创新具有重要作用。

然而，中小企业面临着许多挑战，如资源匮乏、市场竞争激烈等。

因此，制定一套适合中小企业的发展策略是至关重要的。

一、市场定位和差异化经营中小企业在竞争激烈的市场中生存，首先需要明确自己的市场定位。

对于刚起步的中小企业来说，可以选择专注于某个特定的细分市场，通过差异化经营来立足市场。

例如，一个家居装饰中小企业可以专注于高端用户，提供个性化定制服务，通过产品的独特性和高品质吸引目标客户。

二、建立良好的创新机制创新是中小企业发展的关键。

为了提高创新能力，中小企业需要建立起良好的创新机制。

首先，企业应该注重人才引进和培养，吸纳高素质的员工，并为他们提供持续学习和发展的机会。

其次，中小企业可以与高等院校、科研机构等建立合作关系，共同进行研发和技术创新。

最后，鼓励员工提出自己的创新想法，激励他们参与到新产品或新服务的开发中来。

三、加强供应链管理供应链管理对于中小企业的发展至关重要。

中小企业应该与供应商建立长期稳定的合作关系，确保原材料的供应和质量稳定。

同时，中小企业还应该优化采购和库存管理，控制好成本，并确保产品的及时交付。

此外，中小企业还可以考虑建立合适的物流系统，提高产品的运输效率。

四、加强品牌建设品牌建设是提高企业竞争力的关键。

中小企业应该注重产品品质和服务质量，通过优质的产品和良好的售后服务来树立良好的品牌形象。

同时，中小企业还可以通过市场营销活动来提高品牌知名度，如举办新品发布会、参加行业展览等。

此外，中小企业还可以考虑与其他企业进行合作，在品牌推广方面互相支持。

五、发展互联网+模式随着互联网的普及和发展，中小企业可以通过互联网+模式来拓展市场，提高运营效率。

中小企业可以建立自己的电子商务平台，将线上线下进行整合，并提供便捷的购物体验。

此外，中小企业还可以利用互联网进行市场调研，了解客户需求，及时调整产品或服务。

导数的概念及其意义、导数的运算考试要求 1.了解导数的概念、掌握基本初等函数的导数.2.通过函数图象，理解导数的几何意义.3.能够用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，能求简单的复合函数(形如f (ax ＋b ))的导数．知识梳理 1．导数的概念(1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数记作f ′(x 0)或0'|x x y .f ′(x 0)＝lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0 fx 0＋Δx －f x 0Δx.(2)函数y ＝f (x )的导函数f ′(x )＝lim Δx →0f x ＋Δx －f xΔx.2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的几何意义就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)． 3．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f (x )＝c (c 为常数) f ′(x )＝0 f (x )＝x α(α∈Q ，且α≠0)f ′(x )＝αx α－1 f (x )＝sin x f ′(x )＝cos_x f (x )＝cos x f ′(x )＝－sin_x f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝a x ln_a f (x )＝e xf ′(x )＝e x f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)f ′(x )＝1x ln af (x )＝ln xf ′(x )＝1x4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有 [f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )；[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )；⎣⎢⎡⎦⎥⎤f x g x ′＝f ′x g x －f x g ′x [g x ]2(g (x )≠0)； [cf (x )]′＝cf ′(x )． 5．复合函数的定义及其导数复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y ′x ＝y ′u ·u ′x ，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 常用结论1．区分在点处的切线与过点处的切线(1)在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条． (2)过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条． 2.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1f x ′＝－f ′x [f x ]2(f (x )≠0)．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( × ) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( × ) (3)f ′(x 0)＝[f (x 0)]′.( × )(4)若f (x )＝sin (－x )，则f ′(x )＝cos (－x )．( × ) 教材改编题1．函数f (x )＝e x＋1x在x ＝1处的切线方程为________．答案 y ＝(e －1)x ＋2 解析 f ′(x )＝e x－1x2，∴f ′(1)＝e －1， 又f (1)＝e ＋1，∴切点为(1，e ＋1)，切线斜率k ＝f ′(1)＝e －1， 即切线方程为y －(e ＋1)＝(e －1)(x －1)， 即y ＝(e －1)x ＋2.2．已知函数f (x )＝x ln x ＋ax 2＋2，若f ′(e)＝0，则a ＝________. 答案 －1e解析 f ′(x )＝1＋ln x ＋2ax ， ∴f ′(e)＝2a e ＋2＝0，∴a ＝－1e.3．若f (x )＝ln(1－x )＋e 1－x，则f ′(x )＝________.答案1x －1－e 1－x题型一 导数的运算例1 (1)(多选)(2022·济南质检)下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1x ln 2xB ．(x 2e x)′＝2x ＋e xC.⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3D.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x2答案 AD解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1ln x ′＝－1ln 2x ·(ln x )′＝－1x ln 2x ，故A 正确；(x 2e x)′＝(x 2＋2x )e x，故B 错误；⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3′＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，故C 错误；⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x ′＝1＋1x 2，故D 正确． (2)函数f (x )的导函数为f ′(x )，若f (x )＝x 2＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3sin x ，则f⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝________.答案 π236＋2π3解析 f ′(x )＝2x ＋f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3cos x ， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝2π3＋12f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3， ∴f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝4π3，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝π236＋2π3.教师备选1．函数y ＝sin2x －cos2x 的导数y ′等于( )A ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4B ．cos2x ＋sin xC ．cos2x －sin2xD ．22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4 答案 A解析 y ′＝2cos2x ＋2sin2x ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4. 2．(2022·济南模拟)已知函数f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ，则f (2021)－f (0)等于( ) A ．e 2021cos2021 B ．e2021sin2021C.e 2 D ．e答案 B解析 因为f ′(x )＝e x sin x ＋e xcos x ， 所以f (x )＝e xsin x ＋k (k 为常数)， 所以f (2021)－f (0)＝e2021sin2021.思维升华 (1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导．(2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元．跟踪训练1 (1)若函数f (x )，g (x )满足f (x )＋xg (x )＝x 2－1，且f (1)＝1，则f ′(1)＋g ′(1)等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 C解析 当x ＝1时，f (1)＋g (1)＝0， ∵f (1)＝1，得g (1)＝－1，原式两边求导，得f ′(x )＋g (x )＋xg ′(x )＝2x ， 当x ＝1时，f ′(1)＋g (1)＋g ′(1)＝2， 得f ′(1)＋g ′(1)＝2－g (1)＝2－(－1)＝3.(2)已知函数f (x )＝ln(2x －3)＋ax e －x，若f ′(2)＝1，则a ＝________. 答案 e 2解析 f ′(x )＝12x －3·(2x －3)′＋a e －x ＋ax ·(e －x )′＝22x －3＋a e －x －ax e －x，∴f ′(2)＝2＋a e －2－2a e －2＝2－a e －2＝1， 则a ＝e 2.题型二 导数的几何意义 命题点1 求切线方程例2 (1)(2021·全国甲卷)曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为__________．答案 5x －y ＋2＝0 解析 y ′＝⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2x ＋2－2x －1x ＋22＝5x ＋22，所以y ′|x ＝－1＝5－1＋22＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.(2)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为__________． 答案 x －y －1＝0解析 ∵点(0，－1)不在曲线f (x )＝x ln x 上， ∴设切点为(x 0，y 0)． 又f ′(x )＝1＋ln x ，∴直线l 的方程为y ＋1＝(1＋ln x 0)x .∴由⎩⎪⎨⎪⎧y 0＝x 0ln x 0，y 0＋1＝1＋ln x 0x 0，解得x 0＝1，y 0＝0.∴直线l 的方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 命题点2 求参数的值(范围)例3 (1)(2022·青岛模拟)直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)，则2a ＋b 等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 答案 A解析 ∵直线y ＝kx ＋1与曲线f (x )＝a ln x ＋b 相切于点P (1,2)， 将P (1,2)代入y ＝kx ＋1， 可得k ＋1＝2，解得k ＝1， ∵f (x )＝a ln x ＋b ，∴f ′(x )＝a x， 由f ′(1)＝a1＝1，解得a ＝1，可得f (x )＝ln x ＋b ， ∵P (1,2)在曲线f (x )＝ln x ＋b 上， ∴f (1)＝ln1＋b ＝2，解得b ＝2，故2a ＋b ＝2＋2＝4.(2)(2022·广州模拟)过定点P (1，e)作曲线y ＝a e x(a >0)的切线，恰有2条，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 由y ′＝a e x，若切点为(x 0，0e x a )，则切线方程的斜率k ＝0'|x x y ＝0e x a >0， ∴切线方程为y ＝0e x a (x －x 0＋1)， 又P (1，e)在切线上， ∴0e x a (2－x 0)＝e ，即ea＝0e x (2－x 0)有两个不同的解，令φ(x )＝e x(2－x )， ∴φ′(x )＝(1－x )e x，当x ∈(－∞，1)时，φ′(x )>0； 当x ∈(1，＋∞)时，φ′(x )<0，∴φ(x )在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， ∴φ(x )max ＝φ(1)＝e ， 又x →－∞时，φ(x )→0；x →＋∞时，φ(x )→－∞，∴0<ea<e ，解得a >1，即实数a 的取值范围是(1，＋∞)． 教师备选1．已知曲线f (x )＝x 3－x ＋3在点P 处的切线与直线x ＋2y －1＝0垂直，则P 点的坐标为( ) A ．(1,3)B ．(－1,3)C ．(1,3)或(－1,3)D ．(1，－3)答案 C解析 设切点P (x 0，y 0)，f ′(x )＝3x 2－1，又直线x ＋2y －1＝0的斜率为－12，∴f ′(x 0)＝3x 20－1＝2， ∴x 20＝1， ∴x 0＝±1，又切点P (x 0，y 0)在y ＝f (x )上， ∴y 0＝x 30－x 0＋3， ∴当x 0＝1时，y 0＝3； 当x 0＝－1时，y 0＝3. ∴切点P 为(1,3)或(－1,3)．2．(2022·哈尔滨模拟)已知M 是曲线y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x 上的任一点，若曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，则实数a 的取值范围是( ) A ．[2，＋∞) B ．[4，＋∞) C ．(－∞，2] D ．(－∞，4]答案 C解析 因为y ＝ln x ＋12x 2＋(1－a )x ，所以y ′＝1x ＋x ＋1－a ，因为曲线在M 点处的切线的倾斜角均是不小于π4的锐角，所以y ′≥tanπ4＝1对于任意的x >0恒成立， 即1x＋x ＋1－a ≥1对任意x >0恒成立，所以x ＋1x ≥a ，又x ＋1x≥2，当且仅当x ＝1x，即x ＝1时，等号成立，故a ≤2，所以a 的取值范围是(－∞，2]．思维升华 (1)处理与切线有关的参数问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上． (2)注意区分“在点P 处的切线”与“过点P 处的切线”． 跟踪训练2(1)(2022·南平模拟)若直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n相切，则( )A ．m ＋n 为定值 B.12m ＋n 为定值 C ．m ＋12n 为定值D ．m ＋13n 为定值答案 B解析 设直线y ＝x ＋m 与曲线y ＝e x －2n切于点(x 0，02e x n -)，因为y ′＝ex －2n，所以02e x n -＝1，所以x 0＝2n ，所以切点为(2n ,1)， 代入直线方程得1＝2n ＋m ， 即12m ＋n ＝12. (2)若函数f (x )＝ln x ＋2x 2－ax 的图象上存在与直线2x －y ＝0平行的切线，则实数a 的取值范围是______． 答案 [2，＋∞)解析 直线2x －y ＝0的斜率k ＝2，又曲线f (x )上存在与直线2x －y ＝0平行的切线， ∴f ′(x )＝1x＋4x －a ＝2在(0，＋∞)内有解，则a ＝4x ＋1x－2，x >0.又4x ＋1x≥24x ·1x＝4，当且仅当x ＝12时取“＝”．∴a ≥4－2＝2.∴a 的取值范围是[2，＋∞)． 题型三 两曲线的公切线例4 (1)(2022·邯郸模拟)已知函数f (x )＝x ln x ，g (x )＝x 2＋ax (a ∈R )，直线l 与f (x )的图象相切于点A (1,0)，若直线l 与g (x )的图象也相切，则a 等于( ) A ．0B ．－1C ．3D ．－1或3 答案 D解析 由f (x )＝x ln x 求导得f ′(x )＝1＋ln x ，则f ′(1)＝1＋ln1＝1，于是得函数f (x )在点A (1,0)处的切线l 的方程为y ＝x －1， 因为直线l与g (x )的图象也相切，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －1，g x ＝x 2＋ax ，有唯一解，即关于x 的一元二次方程x 2＋(a －1)x ＋1＝0有两个相等的实数根， 因此Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3， 所以a ＝－1或a ＝3.(2)(2022·韶关模拟)若曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线，则a 的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 由y ＝ax 2(a >0)，得y ′＝2ax ，由y ＝e x ，得y ′＝e x，曲线C 1：y ＝ax 2(a >0)与曲线C 2：y ＝e x存在公共切线， 设公切线与曲线C 1切于点(x 1，ax 21)， 与曲线C 2切于点(x 2，2e x )，则2ax 1＝222121e e ,x x ax x x -=-可得2x 2＝x 1＋2，∴a ＝1121e2x x +， 记f (x )＝12e2x x+， 则f ′(x )＝122e(2)4x x x +-，当x ∈(0,2)时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈(2，＋∞)时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ∴当x ＝2时，f (x )min ＝e24.∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 24，＋∞. 延伸探究 在本例(2)中，把“存在公共切线”改为“存在两条公共切线”，则a 的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫e 24，＋∞解析 由本例(2)知，∵两曲线C 1与C 2存在两条公共切线，∴a ＝1121e2x x +有两个不同的解． ∵函数f (x )＝12e2x x+在(0,2)上单调递减， 在(2，＋∞)上单调递增，且f (x )min ＝f (2)＝e24，又x →0时，f (x )→＋∞，x →＋∞时，f (x )→＋∞，∴a >e 24.教师备选1．若f (x )＝ln x 与g (x )＝x 2＋ax 两个函数的图象有一条与直线y ＝x 平行的公共切线，则a 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．3或－1 答案 D解析 设在函数f (x )＝ln x 处的切点为(x ，y )，根据导数的几何意义得到k ＝1x＝1，解得x ＝1，故切点为(1,0)，可求出切线方程为y ＝x －1，此切线和g (x )＝x 2＋ax 也相切， 故x 2＋ax ＝x －1，化简得到x 2＋(a －1)x ＋1＝0，只需要满足Δ＝(a －1)2－4＝0，解得a ＝－1或a ＝3. 2．已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线与曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线相同，则(x 1＋1)(x 2－1)等于( ) A ．－1B ．－2C ．1D ．2 答案 B解析 已知曲线y ＝e x在点(x 1，1e x )处的切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)，即1111e e e ,x x x y x x =-+曲线y ＝ln x 在点(x 2，ln x 2)处的切线方程为y －ln x 2＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2x －1＋ln x 2，由题意得1112121e ,e e 1ln ,x x x x x x ⎧=⎪⎨⎪-=-+⎩ 得x 2＝11ex ， 1e x －1e x x 1＝－1＋ln x 2＝－1＋11lnex ＝－1－x 1， 则1e x ＝x 1＋1x 1－1.又x 2＝11e x ， 所以x 2＝x 1－1x 1＋1， 所以x 2－1＝x 1－1x 1＋1－1＝－2x 1＋1， 所以(x 1＋1)(x 2－1)＝－2.思维升华 公切线问题，应根据两个函数在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解．或者分别求出两函数的切线，利用两切线重合列方程组求解．跟踪训练3 (1)(2022·青岛模拟)已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f (x )＝－2x 2＋m ，g (x )＝－3ln x －x ，若以上两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，则m 的值为( ) A ．2B ．5C ．1D ．0 答案 C解析 根据题意，设两曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的公共点为(a ，b )，其中a >0， 由f (x )＝－2x 2＋m ，可得f ′(x )＝－4x ，则切线的斜率为k ＝f ′(a )＝－4a ， 由g (x )＝－3ln x －x ，可得g ′(x )＝－3x －1，则切线的斜率为k ＝g ′(a )＝－3a－1，因为两函数的图象有公共点，且在公共点处切线相同，所以－4a ＝－3a－1，解得a ＝1或a ＝－34(舍去)，又由g (1)＝－1，即公共点的坐标为(1，－1)， 将点(1，－1)代入f (x )＝－2x 2＋m ， 可得m ＝1.(2)已知f (x )＝e x(e 为自然对数的底数)，g (x )＝ln x ＋2，直线l 是f (x )与g (x )的公切线，则直线l 的方程为____________________． 答案 y ＝e x 或y ＝x ＋1解析 设直线l 与f (x )＝e x的切点为(x 1，y 1)， 则y 1＝1e x ，f ′(x )＝e x，∴f ′(x 1)＝1e x ， ∴切点为(x 1，1e x )， 切线斜率k ＝1e x ，∴切线方程为y －1e x ＝1e x (x －x 1)， 即y ＝1e x ·x －x 11e x ＋1e x ，①同理设直线l 与g (x )＝ln x ＋2的切点为(x 2，y 2)， ∴y 2＝ln x 2＋2，g ′(x )＝1x，∴g ′(x 2)＝1x 2，切点为(x 2，ln x 2＋2)，切线斜率k ＝1x 2，∴切线方程为y －(ln x 2＋2)＝1x 2(x －x 2)，即y ＝1x 2·x ＋ln x 2＋1，②由题意知，①与②相同，∴111121221e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⎪⎨⎪-+==+⇒⎩③④ 把③代入④有111e e x x x -+＝－x 1＋1， 即(1－x 1)(1e x －1)＝0， 解得x 1＝1或x 1＝0，当x 1＝1时，切线方程为y ＝e x ； 当x 1＝0时，切线方程为y ＝x ＋1， 综上，直线l 的方程为y ＝e x 或y ＝x ＋1.课时精练1．(2022·营口模拟)下列函数的求导正确的是( ) A ．(x －2)′＝－2xB ．(x cos x )′＝cos x －x sin xC ．(ln10)′＝110D ．(e 2x )′＝2e x答案 B解析 (x －2)′＝－2x －3，∴A 错； (x cos x )′＝cos x －x sin x ，∴B 对； (ln10)′＝0，∴C 错； (e 2x)′＝2e 2x ，∴D 错．2．(2022·黑龙江哈师大附中月考)曲线y ＝2cos x ＋sin x 在(π，－2)处的切线方程为( ) A ．x －y ＋π－2＝0 B ．x －y －π＋2＝0 C ．x ＋y ＋π－2＝0 D ．x ＋y －π＋2＝0答案 D解析 y ′＝－2sin x ＋cos x ，当x ＝π时，k ＝－2sinπ＋cosπ＝－1，所以在点(π，－2)处的切线方程，由点斜式可得y ＋2＝－1×(x －π)，化简可得x ＋y －π＋2＝0.3．(2022·长治模拟)已知y ＝f (x )是可导函数，如图，直线y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)等于( )A ．－1B ．0C ．2D ．4 答案 B解析 由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，∴f ′(3)＝－13，∵g (x )＝xf (x )，∴g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )， ∴g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)， 又由题图可知f (3)＝1，∴g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 4．已知点A 是函数f (x )＝x 2－ln x ＋2图象上的点，点B 是直线y ＝x 上的点，则|AB |的最小值为( ) A. 2 B ．2 C.433D.163答案 A解析 当与直线y ＝x 平行的直线与f (x )的图象相切时，切点到直线y ＝x 的距离为|AB |的最小值．f ′(x )＝2x －1x＝1，解得x ＝1或x ＝－12(舍去)，又f (1)＝3，所以切点C (1,3)到直线y ＝x 的距离即为|AB |的最小值，即|AB |min ＝|1－3|12＋12＝ 2.5．设曲线f (x )＝a e x＋b 和曲线g (x )＝cos πx2＋c 在它们的公共点M (0,2)处有相同的切线，则b ＋c －a 的值为( ) A ．0B ．πC．－2D ．3 答案 D解析 ∵f ′(x )＝a e x，g ′(x )＝－π2sin πx 2，∴f ′(0)＝a ，g ′(0)＝0，∴a ＝0， 又M (0,2)为f (x )与g (x )的公共点， ∴f (0)＝b ＝2，g (0)＝1＋c ＝2，解得c ＝1， ∴b ＋c －a ＝2＋1－0＝3.6．(2022·邢台模拟)设点P 是函数f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)图象上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，3π4B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，πC.⎝⎛⎭⎪⎫π2，3π4D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫3π4，π 答案 B解析 ∵f (x )＝2e x－f ′(0)x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x－f ′(0)，∴f ′(0)＝2－f ′(0)，f ′(0)＝1， ∴f (x )＝2e x－x ＋f ′(1)， ∴f ′(x )＝2e x －1>－1.∵点P 是曲线上的任意一点，点P 处切线的倾斜角为α， ∴tan α>－1. ∵α∈[0，π)，∴α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4，π.7.(多选)已知函数f (x )的图象如图，f ′(x )是f (x )的导函数，则下列结论正确的是( )A ．f ′(3)>f ′(2)B ．f ′(3)<f ′(2)C ．f (3)－f (2)>f ′(3)D ．f (3)－f (2)<f ′(2) 答案 BCD解析 f ′(x 0)的几何意义是f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率．由图知f ′(2)>f ′(3)>0， 故A 错误，B 正确．设A (2，f (2))，B (3，f (3))， 则f (3)－f (2)＝f 3－f 23－2＝k AB ，由图知f ′(3)<k AB <f ′(2)，即f ′(3)<f (3)－f (2)<f ′(2)，故C ，D 正确．8．(多选)(2022·重庆沙坪坝区模拟)若函数f (x )在D 上可导，即f ′(x )存在，且导函数f ′(x )在D 上也可导，则称f (x )在D 上存在二阶导函数，记f ″(x )＝[f ′(x )]′.若f ″(x )<0在D上恒成立，则称f (x )在D 上为凸函数．以下四个函数在⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4上是凸函数的是( )A ．f (x )＝－x 3＋3x ＋4 B ．f (x )＝ln x ＋2x C ．f (x )＝sin x ＋cos x D ．f (x )＝x e x答案 ABC解析 对A ，f (x )＝－x 3＋3x ＋4，f ′(x )＝－3x 2＋3， f ″(x )＝－6x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故A 为凸函数；对B ，f (x )＝ln x ＋2x ，f ′(x )＝1x＋2，f ″(x )＝－1x2，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故B 为凸函数；对C ，f (x )＝sin x ＋cos x ，f ′(x )＝cos x －sin x ，f ″(x )＝－sin x －cos x ＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )<0，故C 为凸函数；对D ，f (x )＝x e x，f ′(x )＝(x ＋1)e x，f ″(x )＝(x ＋2)e x ，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，3π4时，f ″(x )>0，故D 不是凸函数．9．(2022·马鞍山模拟)若曲线f (x )＝x cos x 在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，则实数a ＝________. 答案 －1解析 因为f (x )＝x cos x ， 所以f ′(x )＝cos x －x sin x ，f ′(π)＝cosπ－π·sinπ＝－1，因为函数在x ＝π处的切线与直线ax －y ＋1＝0平行，所以a ＝f ′(π)＝－1. 10．已知函数f (x )＝1ax －1＋e xcos x ，若f ′(0)＝－1，则a ＝________. 答案 2 解析 f ′(x )＝－ax －1′ax －12＋e x cos x －e xsin x ＝－a ax －12＋e xcos x －e xsin x ，∴f ′(0)＝－a ＋1＝－1，则a ＝2.11．(2022·宁波镇海中学质检)我国魏晋时期的科学家刘徽创立了“割圆术”，实施“以直代曲”的近似计算，用正n 边形进行“内外夹逼”的办法求出了圆周率π的精度较高的近似值，这是我国最优秀的传统科学文化之一．借用“以直代曲”的近似计算方法，在切点附近，可以用函数图象的切线近似代替在切点附近的曲线来近似计算．设f (x )＝2e x，则f ′(x )＝________，其在点(0,1)处的切线方程为________．答案 22e xx y ＝1 解析 ∵f (x )＝2e x，故f ′(x )＝(x 2)′2e x＝22e x x ，则f ′(0)＝0.故曲线y ＝f (x )在点(0,1)处的切线方程为y ＝1.12．已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，则a 的取值范围为____________________． 答案 (－∞，－1)∪(3，＋∞)解析 因为f (x )＝x 3－ax 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1x (a ∈R )，所以f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1，因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2－2ax ＋23a ＋1＝0有两个不等的实根，则Δ＝4a 2－12⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ＋1>0，即a 2－2a －3>0，解得a ＞3或a ＜－1，所以a 的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞)．13．拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若f (x )在[a ，b ]上满足以下条件：①在[a ，b ]上图象连续，②在(a ，b )内导数存在，则在(a ，b )内至少存在一点c ，使得f (b )－f (a )＝f ′(c )(b －a )(f ′(x )为f (x )的导函数)．则函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上这样的c 点的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4 答案 A解析 函数f (x )＝x e x －1，则f ′(x )＝(x ＋1)ex －1，由题意可知，存在点c ∈[0,1]， 使得f ′(c )＝f 1－f 01－0＝1，即(1＋c )e c －1＝1，所以ec －1＝11＋c ，c ∈[0,1]，作出函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象，如图所示，由图象可知，函数y ＝e c －1和y ＝11＋c的图象只有一个交点， 所以ec －1＝11＋c，c ∈[0,1]只有一个解，即函数f (x )＝x e x －1在[0,1]上c 点的个数为1. 14．(2021·新高考全国Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则( ) A ．e b<a B ．e a<b C ．0<a <e bD ．0<b <e a答案 D解析 方法一 设切点(x 0，y 0)，y 0>0， 则切线方程为y －b ＝0e x (x －a )，由⎩⎨⎧y 0－b ＝0e x x 0－a ，y 0＝0e x ，得0e x (1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程0e x (1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解． 设f (x )＝e x(1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x(x －a )， 由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x <a 时，f ′(x )>0，f (x )单调递增， 当x >a 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减， 所以f (x )max ＝f (a )＝e a(1－a ＋a )＝e a， 当x <a 时，a －x >0，所以f (x )>0，当x →－∞时，f (x )→0， 当x →＋∞时，f (x )→－∞，函数f (x )＝e x(1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0<b <e a.方法二 (用图估算法)过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x的下方且在x 轴的上方， 得0<b <e a.15．若曲线y ＝14sin2x ＋32cos 2x 在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线互相垂直，则|x 1－x 2|的最小值为( ) A.π3B.π2C.2π3D ．π 答案 B解析 ∵y ＝14sin2x ＋32cos 2x＝14sin2x ＋32×1＋cos2x2 ＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34， ∴y ′＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴曲线的切线斜率在[－1,1]范围内， 又曲线在两点处的切线互相垂直，故在A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点处的切线斜率必须一个是1，一个是－1. 不妨设在A 点处切线的斜率为1， 则有2x 1＋π3＝2k 1π(k 1∈Z )，2x 2＋π3＝2k 2π＋π(k 2∈Z )，则可得x 1－x 2＝(k 1－k 2)π－π2＝k π－π2(k ∈Z )，∴|x 1－x 2|min ＝π2.16．(2022·南昌模拟)已知曲线C 1：y ＝ex ＋m，C 2：y ＝x 2，若恰好存在两条直线l 1，l 2与C 1，C 2都相切，则实数m 的取值范围是____________．答案 (－∞，2ln2－2)解析 由题意知，l 1，l 2的斜率存在，设直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，设l 1与C 1，C 2的切点坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则⎩⎨⎧k 1＝1e x m +＝2x 2k 1>0，k 1x 1＋b 1＝1e x m+，k 1x 2＋b 1＝x 22，可得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝ln k 1－m ，x 2＝k 12，k 1x 2－x 1＝x 22－1ex m+，故k 1⎝ ⎛⎭⎪⎫k 12－ln k 1＋m ＝k 214－k 1，整理得m ＝ln k 1－k 14－1，同理可得，当直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2与C 1，C 2都相切时， 有m ＝ln k 2－k 24－1，综上所述，只需m ＝ln k －k4－1(k >0)有两解，令f (k )＝ln k －k4－1，则f ′(k )＝1k －14＝4－k4k ，故当f ′(k )>0时，0<k <4， 当f ′(k )<0时，k >4，所以f (k )在(0,4)上单调递增，在(4，＋∞)上单调递减，21 故f (k )max ＝f (4)＝ln4－44－1＝2ln2－2， 所以只需满足m <2ln2－2即可．。

1．(2021·江苏沭阳高级中学模拟)2020 年 12 月 1 日 22 时 57 分，嫦娥 五号探测器从距离月球表面 1500 m 处开始实施动力下降，7500 牛变推力发 动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约 1500 m/s 降为零.12 分钟后， 探测器成功在月球预选地着陆，记与月球表面距离的平均变化率为 v，相对 月球纵向速度的平均变化率为 a，则( )
复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系
为
□18 y′x＝y′u·u′x
，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对
x 的导数的乘积．
1．f′(x0)与 x0 的值有关，不同的 x0，其导数值一般也不同. 2．f′(x0)不一定为 0，但[f(x0)]′一定为 0. 3．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周 期函数的导数还是周期函数． 4．函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反 映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这 点处的切线越“陡”.
(c 为常数).
(3)gf（（xx））′＝ □16 f′（x）g（[xg）（－x）f（]2x）g′（x）
(g(x)≠0)．
5．复合函数的导数
一般地，对于两个函数 y＝f(u)和 u＝g(x)，如果通过变量 u，y 可以表示
成 x 的函数，那么称这个函数为函数 y＝f(u)和 u＝g(x)的复合函数，记 作 □17 y＝f(g(x)) ．
A．v＝2152 m/s，a＝2152 m/s2 B．v＝－2152 m/s，a＝－2152 m/s2 C．v＝－2152 m/s，a＝2152 m/s2 D．v＝2152 m/s，a＝－2152 m/s2

课时跟踪检测(十三) 变化率与导数、导数的计算一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．函数f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2的导数为( ) A ．2(x 2－a 2) B ．2(x 2＋a 2) C ．3(x 2－a 2)D ．3(x 2＋a 2)解析：选C ∵f (x )＝(x ＋2a )(x －a )2＝x 3－3a 2x ＋2a 3， ∴f ′(x )＝3(x 2－a 2)．2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1D ．e解析：选B 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1x.∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.3．曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程是( ) A ．x －3y ＋3＝0 B ．x －2y ＋2＝0 C ．2x －y ＋1＝0D ．3x －y ＋1＝0解析：选C ∵y ＝sin x ＋e x， ∴y ′＝cos x ＋e x， ∴y ′| x ＝0＝cos 0＋e 0＝2，∴曲线y ＝sin x ＋e x在点(0,1)处的切线方程为y －1＝2(x －0)，即2x －y ＋1＝0. 4．(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.解析：∵f ′(x )＝3ax 2＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1)． ∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 答案：15．分别求下列函数的导数：(1)y ＝e x·cos x ；(2)y ＝x ⎝⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋1x 3.解：(1)y ′＝(e x)′cos x ＋e x(cos x )′＝e xcos x －e xsin x . (2)∵y ＝x 3＋1＋1x 2，∴y ′＝3x 2－2x3.二保高考，全练题型做到高考达标1．已知f (x )＝x (2 015＋ln x )，若f ′(x 0)＝2 016，则x 0＝( ) A ．e 2B ．1C ．ln 2D ．e解析：选B f ′(x )＝2 015＋ln x ＋x ·1x＝2 016＋ln x ，故由f ′(x 0)＝2 016得2 016＋ln x 0＝2 016，则ln x 0＝0，解得x 0＝1.2．(2015·广州二模)已知函数f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )，且f ′(1)＝2，则f ′(－1)＝( )A ．－1B ．－2C ．2D ．0解析：选B f (x )＝(x 2＋2)(ax 2＋b )＝ax 4＋(2a ＋b )x 2＋2b ，f ′(x )＝4ax 3＋2(2a ＋b )x 为奇函数，所以f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2.3．(2016·衡水调研)曲线y ＝1－2x ＋2在点(－1，－1)处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋1 B ．y ＝2x －1 C ．y ＝－2x －3 D ．y ＝－2x －2解析：选A ∵y ＝1－2x ＋2＝x x ＋2， ∴y ′＝x ＋2－x x ＋22＝2x ＋22，y ′| x ＝－1＝2，∴曲线在点(－1，－1)处的切线斜率为2， ∴所求切线方程为y ＋1＝2(x ＋1)，即y ＝2x ＋1.4．(2016·南昌二中模拟)设点P 是曲线y ＝x 3－3x ＋23上的任意一点，P 点处切线倾斜角α的取值范围为( )A. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫5π6，πB. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，πC. ⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π D. ⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6解析：选C 因为y ′＝3x 2－3≥－3，故切线斜率k ≥－3，所以切线倾斜角α的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π2∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫2π3，π.5．已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图象都相切，且与f (x )图象的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )A ．－1B ．－3C ．－4D ．－2解析：选D ∵f ′(x )＝1x，∴直线l 的斜率为k ＝f ′(1)＝1， 又f (1)＝0，∴切线l 的方程为y ＝x －1.g ′(x )＝x ＋m ，设直线l 与g (x )的图象的切点为(x 0，y 0)，则有x 0＋m ＝1，y 0＝x 0－1，y 0＝12x 20＋mx 0＋72，m <0，于是解得m ＝－2.6．(2016·太原一模)函数f (x )＝x e x的图象在点(1，f (1))处的切线方程是________． 解析： ∵f (x )＝x e x， ∴f (1)＝e ，f ′(x )＝e x＋x e x，∴f ′(1)＝2e ，∴f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y －e ＝2e(x －1)，即y ＝ 2e x －e.答案：y ＝2e x －e7.(2015·郑州二测)如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，其中g ′(x ) 是g (x )的导函数，则g ′(3)＝________.解析：由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率等于－13，即f ′(3)＝－13.又因为g (x )＝xf (x )，所以g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝0. 答案：08．设函数f (x )＝(x －a )(x －b )(x －c )(a ，b ，c 是两两不等的常数)，则a f ′a＋b f ′b＋c f ′c＝________.解析：∵f (x )＝x 3－(a ＋b ＋c )x 2＋(ab ＋bc ＋ca )x －abc ， ∴f ′(x )＝3x 2－2(a ＋b ＋c )x ＋ab ＋bc ＋ca ，f ′(a )＝(a －b )(a －c )， f ′(b )＝(b －a )(b －c )，f ′(c )＝(c －a )(c －b )．∴a f ′a ＋bf ′b ＋c f ′c＝aa －ba －c＋bb －a b －c＋c c －ac －b＝a b －c －b a －c ＋c a －ba －b a －c b －c＝0.答案：09．求下列函数的导数． (1)y ＝x ·t a n x ；(2)y ＝(x ＋1)(x ＋2)(x ＋3)； (3)y ＝ln 2x ＋1x.解：(1)y ′＝(x ·t a n x )′＝x ′t a n x ＋x (t a n x )′＝t a n x ＋x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x cos x ′＝t a n x ＋x ·cos 2x ＋sin 2x cos 2x ＝t a n x ＋xcos 2x.(2)y ′＝(x ＋1)′[(x ＋2)(x ＋3)]＋(x ＋1)[(x ＋2)(x ＋3)]′＝(x ＋2)(x ＋3)＋(x ＋1)(x ＋2)＋(x ＋1)(x ＋3)＝3x 2＋12x ＋11.(3)y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ln 2x ＋1x ′＝[ln 2x ＋1]′x －x ′ln 2x ＋1x 2＝2x ＋1′2x ＋1·x －ln2x ＋1x 2＝2x2x ＋1－ln 2x ＋1x2＝2x －2x ＋1ln 2x ＋12x ＋1x2. 10．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程．解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1，又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2，即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 2－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0，或y ＋2＝0. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知曲线C ：f (x )＝x 3－ax ＋a ，若过曲线C 外一点A (1,0)引曲线C 的两条切线，它们的倾斜角互补，则a 的值为( )A. 278B ．－2C ．2D ．－278解析：选A 设切点坐标为(t ，t 3－at ＋a )．由题意知，f ′(x )＝3x 2－a ，切线的斜率k ＝y ′| x ＝t ＝3t 2－a ①，所以切线方程为y －(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(x －t ) ②.将点A (1,0)代入②式得－(t 3－at ＋a )＝(3t 2－a )(1－t )，解得t ＝0或t ＝32.分别将t ＝0和t ＝32代入①式，得k ＝－a 和k ＝274－a ，由题意得它们互为相反数，故a ＝278.2．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R)的图象为曲线C .(1)求过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C 上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3， 则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即过曲线C 上任意一点切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)． (2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k ，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，⎩⎪⎨⎪⎧k ≥－1，－1k≥－1，解得－1≤k ＜0或k ≥1，故由－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，得x ∈(－∞，2－ 2 ]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．。

2021年高考数学一轮总复习 2.1变化率与导数、导数的计算课时作业 文（含解析）新人教版一、选择题1．(xx·山东青岛一模)曲线y ＝x 3－2x 在(1，－1)处的切线方程为( ) A ．x －y －2＝0 B ．x －y ＋2＝0 C ．x ＋y －2＝0D ．x ＋y ＋2＝0解析：由已知，点(1，－1)在曲线y ＝x 3－2x 上，所以切线的斜率为y ′|x ＝1＝(3x 2－2)|x ＝1＝1，由直线方程的点斜式得x －y －2＝0，故选A.答案：A2．(xx·郑州质量预测)已知曲线y ＝x 22－3ln x 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D.12解析：设切点坐标为(x 0，y 0)，且x 0＞0， 由y ′＝x －3x ，得k ＝x 0－3x 0＝2，∴x 0＝3.答案：A3．(xx·福州质检)已知函数y ＝a n x 2(a n ≠0，n ∈N *)的图象在x ＝1处的切线斜率为2a n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，且当n ＝1时，其图象经过点(2,8)，则a 7＝( )A.12B．5C．6 D．7解析：因为函数y＝a n x2(a n≠0，n∈N*)的图象在x＝1处的切线斜率为y′|x＝1＝2a n，所以可得到2a n＝2a n－1＋1，所以a n－a n－1＝12.又因为当n＝1时，其图象经过点(2,8)，即8＝a1×22，所以a1＝2.所以a7＝a1＋6d＝5.故选B.答案：B4．(xx·杭州质检)若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是( )A．1 B.164C．1或164D．1或－164解析：易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，(1)当O(0,0)是切点时，易得a＝1.(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x30－3x20＋2x0，且k＝f′(x)＝3x20－6x0＋2.①又k ＝y 0x 0＝x 20－3x 0＋2，②由①，②联立，得x 0＝32(x 0＝0舍)，所以k ＝－14，∴所求切线l 的方程为y ＝－14x .由⎩⎨⎧y ＝－14x ，y ＝x 2＋a ，得x 2＋14x ＋a ＝0.依题意，Δ＝116－4a ＝0，∴a ＝164.综上，a ＝1或a ＝164. 答案：C5．(xx·长安质检)设a ∈R ，函数f (x )＝e x ＋a ·e －x 的导函数是f ′(x )，且f ′(x )是奇函数．若曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，则切点的横坐标为( )A ．ln2B ．－ln2C.ln22D.－ln22解析：由题意可得，f ′(x )＝e x －ae x 是奇函数，∴f ′(0)＝1－a ＝0，∴a ＝1. ∴f (x )＝e x ＋1e x ，f ′(x )＝e x －1e x .∵曲线y ＝f (x )的一条切线的斜率是32，∴32＝e x －1e x ，解方程可得e x ＝2， ∴x ＝ln2，故选A. 答案：A6．(xx·长春调研)已知函数f (x )＝x 2的图象在点A (x 1，f (x 1))与点B (x 2，f (x 2))处的切线互相垂直，并交于点P ，则点P 的坐标可能是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，3 B ．(0，－4)C ．(2,3)D.⎝⎛⎭⎪⎫1，－14解析：由题意知，A (x 1，x 21)，B (x 2，x 22)，f ′(x )＝2x ，则在A ，B 两点处的切线斜率k 1＝2x 1，k 2＝2x 2.又两切线互相垂直，所以k 1k 2＝－1，即x 1x 2＝－14.两条切线方程分别为l1：y＝2x1x－x21，l2：y＝2x2x－x22，联立得(x1－x2)[2x －(x1＋x2)]＝0.∵x1≠x2，∴x＝x1＋x22，代入l1，解得y＝x1x2＝－14，故选D.答案：D二、填空题7．(xx·广东卷)曲线y＝－5e x＋3在点(0，－2)处的切线方程为__________．解析：由y＝－5e x＋3得，y′＝－5e x，所以切线的斜率k＝y′|x＝0＝－5，所以切线方程为y＋2＝－5(x－0)，即5x＋y＋2＝0.答案：5x＋y＋2＝08．(xx·江西卷)若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是__________．解析：由题意得y′＝ln x＋x·1x＝1＋ln x，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋ln m＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．答案：(e，e)9．(xx·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋bx(a，b为常数)过点P (2，－5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是__________．解析：由曲线y ＝ax 2＋b x过点P (2，－5)，得4a ＋b2＝－5.①又y ′＝2ax －b x2，所以当x ＝2时，4a －b4＝－72，②由①②得⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.答案：－3 三、解答题10．(xx·揭阳一模改编)对于每一个正整数n ，设曲线y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，令a n ＝lg x n ，求a 1＋a 2＋…＋a 99的值．解析：利用导数求得曲线y ＝x n ＋1在点(1,1)处的切线方程为y ＝(n ＋1)(x －1)＋1，即y ＝(n ＋1)x －n ，它与x 轴交于点(x n,0)，则有(n ＋1)x n －n ＝0⇒x n ＝nn ＋1，∴a n＝lg x n＝lgnn＋1＝lg n－lg(n＋1)，∴a1＋a2＋…＋a99＝(lg1－lg2)＋(lg2－lg3)＋…＋(lg99－lg100)＝lg1－lg100＝－2.11．(xx·绍兴调研)设t≠0，点P(t,0)是函数f(x)＝x3＋ax与g(x)＝bx2＋c的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线．试用t表示a，b，c.解析：因为函数f(x)，g(x)的图象都过点(t,0)，所以f(t)＝0，即t3＋at＝0.因为t≠0，所以a＝－t2.g(t)＝0，即bt2＋c＝0，所以c＝ab.又因为f(x)，g(x)在点(t,0)处有相同的切线，所以f′(t)＝g′(t)．而f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2bx，所以3t2＋a＝2bt.将a＝－t2代入上式得b＝t.因此c＝ab＝－t3.故a＝－t2，b＝t，c＝－t3.12．(xx·潮州二模)f(x)＝ax－1x，g(x)＝ln x，x＞0，a∈R是常数．(1)求曲线y＝g(x)在点P(1，g(1))处的切线l.(2)是否存在常数a ，使l 也是曲线y ＝f (x )的一条切线．若存在，求a 的值；若不存在，简要说明理由．解析：(1)由题意知，g (1)＝0，又g ′(x )＝1x，g ′(1)＝1，所以直线l 的方程为y ＝x －1.(2)设y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线为l ，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧ax 0－1x 0＝x 0－1，a ＋1x 2＝1，解得⎩⎨⎧x 0＝2，a ＝34，此时f (2)＝1，即当a ＝34时，l 是曲线y ＝f (x )在点Q (2,1)的切线．26835 68D3 棓38891 97EB 韫33086 813E 脾:i22817 5921夡(29599 739F 玟23263 5ADF 嫟22093 564D 噍29514 734A 獊k21477 53E5 句26920 6928 椨N。

课时作业13 变化率与导数、导数的计算一、选择题1．函数y ＝1x ＋cos x 的导数是( B ) A ．y ′＝1x 2－sin x B ．y ′＝－1x 2－sin x C ．y ′＝1x 2＋cos xD ．y ′＝1x 2－cos x解析：∵函数y ＝1x ＋cos x ，∴y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ′＋(cos x )′＝－1x 2－sin x .2．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( D )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：对函数求导得y ′＝a －1x ＋1，因为点(0,0)在曲线上，且切线方程为y ＝2x ，所以a －1＝2，所以a ＝3.3．如果曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，那么点P 的坐标为( A )A ．(1,0)B ．(0，－1)C ．(0,1)D ．(－1,0)解析：设点P (a ，b )，则b ＝a 4－a ，由题得y ′＝4x 3－1.因为曲线y ＝x 4－x 在点P 处的切线垂直于直线y ＝－13x ，所以4a 3－1＝3，所以a ＝1.所以b ＝14－1＝0，所以点P 的坐标为(1,0)．4．(2020·焦作模拟)已知f (x )＝x ln x ＋f ′(1)x ，则f ′(1)＝( B ) A ．1 B ．12 C ．2D ．e解析：f ′(x )＝1＋ln x －f ′(1)x 2，令x ＝1， 得f ′(1)＝1－f ′(1)，解得f ′(1)＝12.5．(2020·河北唐山模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≤0，－x 2＋ax ，x >0为奇函数，则f (x )在x ＝2处的切线斜率等于( B ) A ．6 B ．－2 C ．－6D ．－8解析：设x >0，则－x <0，f (－x )＝x 2－2x ，又f (x )为奇函数，则f (x )＝－f (－x )＝－x 2＋2x ，f ′(x )＝－2x ＋2，则f ′(2)＝－2.故选B.6．(2020·兰州诊断)若点P 是函数y ＝2sin xsin x ＋cos x 图象上任意一点，直线l 为点P 处的切线，则直线l 倾斜角的取值范围是( C )A ．[0，π4] B ．[π4，π3] C ．[π4，π2)D ．(π2，3π4]解析：因为sin x ＋cos x ＝2sin(x ＋π4)，由x ＋π4≠k π，k ∈Z ，知函数f (x )的定义域为{x |x ≠k π－π4，k ∈Z }．设直线l 的倾斜角为θ，y ′＝2[cos x (sin x ＋cos x )－sin x (cos x －sin x )](sin x ＋cos x )2＝2[2sin (x ＋π4)]2＝1sin 2(x ＋π4).因为0<sin 2(x ＋π4)≤1，所以y ′≥1，即tan θ≥1.又0≤θ<π，所以π4≤θ<π2，故选C.7．曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的距离的最小值为( A )A. 5 B ．2 5 C ．3 5 D ．2解析：设与直线2x －y ＋3＝0平行且与曲线y ＝2ln x 相切的直线方程为2x －y ＋m ＝0.设切点为P (x 0，y 0)，∵y ′＝2x ，∴2x 0＝2，解得x 0＝1，因此y 0＝2ln1＝0， ∴切点P 的坐标为(1,0)， 则点P 到直线2x －y ＋3＝0的距离 d ＝|2－0＋3|22＋(－1)2＝5， ∴曲线y ＝2ln x 上的点到直线2x －y ＋3＝0的距离的最小值是 5. 8．已知函数f (x )＝e x －mx ＋1的图象为曲线C ，若曲线C 存在与直线y ＝e x 垂直的切线，则实数m 的取值范围是( B )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1eB ．⎝⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e D ．(e ，＋∞)解析：由题意知，方程f ′(x )＝－1e 有解，即e x －m ＝－1e 有解，即e x＝m －1e 有解，故只要m －1e >0，即m >1e 即可，故选B.二、填空题9．(2020·重庆七校联考)已知函数f (x )＝ln x ＋2x 2－4x ，则函数f (x )的图象在x ＝1处的切线方程为x －y －3＝0.解析：因为f (1)＝ln1＋2－4＝－2，所以切点为(1，－2)．因为f ′(x )＝1x ＋4x －4，所以切线斜率k ＝f ′(1)＝1.所以切线方程为y ＋2＝x －1，即x －y －3＝0.10．已知函数f (x )＝x ＋ax ＋b (x ≠0)的图象在点(1，f (1))处的切线方程为y ＝2x ＋5，则a －b ＝－8.解析：∵f (x )＝x ＋a x ＋b ，∴f ′(x )＝1－ax 2，∴f ′(1)＝1－a ＝2，∴a ＝－1.∵f (1)＝1＋a ＋b ＝7，∴b ＝7，则a －b ＝－1－7＝－8.11．(2020·贵州适应考试)阅读材料：借助上述思路，曲线y ＝(2x －1)x ＋1，x ∈(12，＋∞)在点(1,1)处的切线方程为4x －y －3＝0.解析：根据题中材料将函数y ＝(2x －1)x ＋1转化为ln y ＝ln(2x －1)x＋1＝(x ＋1)ln(2x －1)，两边同时求导数，得1y ×y ′＝ln(2x －1)＋(x ＋1)×1(2x －1)×2＝ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1，∴y ′＝[ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1]·(2x－1)x ＋1，∴y ′|x ＝1＝[ln(2x －1)＋2(x ＋1)2x －1](2x －1)x ＋1|x ＝1＝4，∴切线方程为y －1＝4(x －1)，即4x －y －3＝0.12．(2020·南昌二模)已知f (x )＝4ln x －x 2，若曲线y ＝f (x )在点(1，－1)处的切线与曲线y ＝x 2－3x ＋m 相切，则m 的值是134.解析：因为f (x )＝4ln x －x 2，所以f ′(x )＝4x －2x ，所以f ′(1)＝2，所以曲线y ＝f (x )在点(1，－1)处的切线方程为y ＋1＝2(x －1)，即y ＝2x －3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －3，y ＝x 2－3x ＋m ，得x 2－5x ＋m ＋3＝0，因为直线与曲线相切，所以Δ＝25－4(m ＋3)＝0，解得m ＝134.三、解答题13．已知函数f (x )＝x 3－4x ＋2及其图象上一点M (1，－1)． (1)若直线l 1与函数f (x )的图象相切于点M (1，－1)，求直线l 1的方程；(2)若函数f (x )的图象的切线l 2经过点M (1，－1)，但M 不是切点，求直线l 2的方程．解：(1)f ′(x )＝3x 2－4，f ′(1)＝－1，所以直线l 1的斜率k 1＝－1，所以直线l 1的方程为y ＋1＝－(x －1)，即x ＋y ＝0.(2)设切点坐标为(x 0，f (x 0))，x 0≠1，则切线l 2的方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)．因为直线l 2经过点M (1，－1)，所以－1－f (x 0)＝f ′(x 0)(1－x 0)．其中f (x 0)＝x 30－4x 0＋2，f ′(x 0)＝3x 20－4，于是－1－(x 30－4x 0＋2)＝(3x 20－4)(1－x 0)，整理得2x 30－3x 20＋1＝0，即(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，又x 0≠1，所以x 0＝－12.所以切点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，318，直线l 2的斜率k 2＝f ′⎝⎛⎭⎪⎫－12＝－134，所以直线l 2的方程为y －318＝－134⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即y ＝－134x ＋94.14．已知函数f (x )＝13x 3－2x 2＋3x (x ∈R )的图象为曲线C . (1)求曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围；(2)若曲线C 存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C 的切点的横坐标的取值范围．解：(1)由题意得f ′(x )＝x 2－4x ＋3，则f ′(x )＝(x －2)2－1≥－1，即曲线C 上任意一点处的切线斜率的取值范围是[－1，＋∞)．(2)设曲线C 的其中一条切线的斜率为k (k ≠0)，则由题意并结合(1)中结论可知⎩⎨⎧k ≥－1，－1k ≥－1，解得－1≤k <0或k ≥1，则－1≤x 2－4x ＋3<0或x 2－4x ＋3≥1，解得x ∈(－∞，2－2]∪(1,3)∪[2＋2，＋∞)．15．(2020·石家庄质检)将函数y ＝e x (e 为自然对数的底数)的图象绕坐标原点O 顺时针旋转角θ后第一次与x 轴相切，则角θ满足的条件是( B )A ．esin θ＝cos θB ．sin θ＝ecos θC ．esin θ＝1D ．ecos θ＝1解析：由题意得x 轴绕坐标原点O 逆时针旋转角θ后第一次与y ＝e x 的图象相切，设切点为(x 0，e x 0)，∵y ′＝e x ，∴e x 0x 0＝e x 0，∴x 0＝1，∴tan θ＝e ，∴sin θ＝ecos θ，故选B.16．(2020·安徽淮南一模)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x ，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1×(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则x 1，x 2∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1，不妨设x 1<x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得2x 1－1x 12x 2－1x 2＝－1，又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]，故－1≤2x 1－1x 1<2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎪⎨⎪⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1x 1＝－1，x 2＝－12舍去，故存在两点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，ln2＋14，(1,1)满足题意．17．(2019·全国卷Ⅱ)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1.(1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点； (2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．解：(1)f (x )的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f ′(x )＝1x ＋2(x －1)2>0，所以f (x )在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增．因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1>0，所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1，即f (x 1)＝0.又0<1x 1<1，f (1x 1)＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1＝－f (x 1)＝0，故f (x )在(0,1)有唯一零点1x 1.综上，f (x )有且仅有两个零点．(2)证明：因为1x 0＝e －ln x0，故点B (－ln x 0，1x 0)在曲线y ＝e x 上．由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1，连接AB ，则直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0＝1x 0. 曲线y ＝e x 在点B (－ln x 0，1x 0)处切线的斜率是1x 0，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0，所以曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

第1讲变化率与导数、导数的计算一、知识梳理1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率f（x0＋Δx）－f（x0）Δx＝ΔyΔx为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ΔyΔx＝f（x0＋Δx）－f（x0）Δx．[提醒]f′(x0)代表函数f(x)在x＝x0处的导数值；(f(x0))′是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常量，其导数一定为0，即(f(x0))′＝0.(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝f（x＋Δx）－f（x）Δx为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式(1)[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． (2)[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）－f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2(g (x )≠0)．[提醒] 求导常见易错点：①公式(x n )′＝nx n－1与(a x )′＝a x ln a 相互混淆；②公式中“＋”“－”号记混，如出现如下错误：⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）g （x ）＋f （x ）g ′（x ）[g （x ）]2，(cos x )′＝sin x .常用结论1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y ＝f (x )的导数f ′(x )反映了函数f (x )的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f ′(x )|反映了变化的快慢，|f ′(x )|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．二、教材衍化1．已知函数f (x )＝2xf ′(1)＋x ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．e B ．1 C ．－1 D ．－e答案：C2．设函数f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，则曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为( )A ．y ＝－2xB ．y ＝－xC ．y ＝2xD ．y ＝x 解析：选D.因为函数f (x )是奇函数，所以a －1＝0，得a ＝1，所以f (x )＝x 3＋x ，f ′(x )＝3x 2＋1，所以f ′(0)＝1，f (0)＝0，所以曲线y ＝f (x )在点(0，0)处的切线方程为y －f (0)＝f ′(0)x ，即y ＝x .故选D.一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．( ) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．( ) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．( ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．( )(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)× 二、易错纠偏常见误区(1)混淆平均变化率与导数的区别； (2)导数的运算法则运用不正确．1．函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为 ，在x ＝2处的导数为 ． 解析：函数f (x )＝x 2在区间[1，2]上的平均变化率为22－122－1＝3；因为f ′(x )＝2x ，所以f (x )在x ＝2处的导数为2×2＝4.答案：3 42．函数y ＝ln xe x 的导函数为 ．解析：y ′＝1x e x －e xln x （e x ）2＝1－x ln xx e x .答案：y ′＝1－x ln xx e x导数的运算(多维探究) 角度一求已知函数的导数求下列函数的导数：(1)y ＝x 2sin x ； (2)y ＝ln x ＋1x.【解】 (1)y ′＝(x 2)′sin x ＋x 2(sin x )′＝2x sin x ＋x 2cos x . (2)y ′＝⎝⎛⎭⎫ln x ＋1x ′＝(ln x )′＋⎝⎛⎭⎫1x ′＝1x －1x2.[注意] 求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量，提高运算速度，减少差错；遇到函数的商的形式时，如能化简则先化简，这样可避免使用商的求导法则，减少运算量．角度二 求抽象函数的导数值已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足关系式f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，则f ′(2)＝ ．【解析】 因为f (x )＝x 2＋3xf ′(2)＋ln x ，所以f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)＋1x ，所以f ′(2)＝4＋3f ′(2)＋12＝3f ′(2)＋92，所以f ′(2)＝－94. 【答案】 －94对解析式中含有导数值的函数，即解析式类似f (x )＝f ′(x 0)g (x )＋h (x )(x 0为常数)的函数，解决这类问题的关键是明确f ′(x 0)是常数，其导数值为0.因此先求导数f ′(x )，令x ＝x 0，即可得到f ′(x 0)的值，进而得到函数解析式，求得所求导数值．1．下列求导运算正确的是( ) A.⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝x B ．(x 2e x )′＝2x ＋e x C ．(x cos x )′＝－sin xD ．⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x2 解析：选D.对于A ：⎝⎛⎭⎫1ln x ′＝－1ln 2 x ·(ln x )′＝－1x ln 2 x ， 对于B ：(x 2e x )′＝(x 2＋2x )e x ， 对于C ：(x cos x )′＝cos x －x sin x ， 对于D ：⎝⎛⎭⎫x －1x ′＝1＋1x2.2．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝3x 2＋2x ·f ′(2)，则f ′(5)＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C.由已知得，f ′(x )＝6x ＋2f ′(2)， 令x ＝2，得f ′(2)＝－12.再令x ＝5，得f ′(5)＝6×5＋2f ′(2)＝30－24＝6. 3．求下列函数的导数： (1)y ＝x (ln x ＋cos x )； (2)y ＝sin x ＋x x ；(3)y ＝x ln x .解：(1)y ′＝ln x ＋cos x ＋x ⎝⎛⎭⎫1x －sin x ＝ln x ＋cos x －x sin x ＋1. (2)y ′＝（cos x ＋1）x －（sin x ＋x ）x 2＝x cos x －sin xx 2.(3)y ′＝⎝⎛⎭⎫12·1x ln x ＋x ·1x ＝2＋ln x2x.导数的几何意义(多维探究) 角度一 求切线方程(2020·安徽合肥联考)已知曲线f (x )＝e x＋x 2，则曲线在(0，f (0))处的切线与坐标轴围成的图形的面积为 ．【解析】 由题意，得f ′(x )＝e x ＋2x ，所以f ′(0)＝1.又f (0)＝1，所以曲线在(0，f (0))处的切线方程为y －1＝1×(x －0)，即x －y ＋1＝0，所以该切线与x ，y 轴的交点分别为(－1，0)，(0，1)，所以该切线与坐标轴围成的图形的面积为12×1×1＝12.【答案】 12求曲线切线方程的步骤(1)求出函数y ＝f (x )在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处切线的斜率． (2)由点斜式方程求得切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[注意] “过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．角度二 求切点坐标若曲线y＝x ln x上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是．【解析】设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，所以切线的斜率k＝ln x0＋1，由题意知k＝2，得x0＝e，代入曲线方程得y0＝e.故点P的坐标是(e，e)．【答案】(e，e)【迁移探究】(变条件)若本例变为：若曲线y＝x ln x上点P处的切线与直线x＋y＋1＝0垂直，则该切线的方程为．解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝ln x＋1，由题意得ln x0＋1＝1，所以ln x0＝0，x0＝1，即点P(1，0)，所以切线方程为y＝x－1，即x－y－1＝0.答案：x－y－1＝0求切点坐标的思路已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．角度三 已知切线方程(或斜率)求参数值(2019·高考全国卷Ⅲ)已知曲线y ＝a e x＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则( )A ．a ＝e ，b ＝－1B ．a ＝e ，b ＝1C ．a ＝e －1，b ＝1D ．a ＝e －1，b ＝－1【解析】 因为y ′＝a e x ＋ln x ＋1，所以y ′|x ＝1＝a e ＋1，所以切线方程为y －a e ＝(a e ＋1)(x－1)，即y ＝(a e ＋1)x －1，与切线方程y ＝2x ＋b 对照，可得⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝e －1，b ＝－1.故选D.【答案】 D处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．1．(2019·高考全国卷Ⅱ)曲线y＝2sin x＋cos x在点(π，－1)处的切线方程为()A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0解析：选C.依题意得y′＝2cos x－sin x，y′|x＝π＝(2cos x－sin x)|x＝π＝2cos π－sin π＝－2，因此所求的切线方程为y＋1＝－2(x－π)，即2x＋y－2π＋1＝0，故选C.2．如图，已知直线l是曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线，则直线l的方程是；f(2)＋f′(2)的值为．解析：由图象可得直线l 经过点(2，3)和(0，4)，则直线l 的斜率为k ＝4－30－2＝－12，可得直线l 的方程为y ＝－12x ＋4，即为x ＋2y －8＝0；由导数的几何意义可得f ′(2)＝－12，则f (2)＋f ′(2)＝3－12＝52.答案：x ＋2y －8＝0 523．(2020·郑州市第一次质量预测)已知函数f (x )＝ln x －ax (a ∈R )的图象与直线x －y ＋1＝0相切，则实数a 的值为 ．解析：设直线x －y ＋1＝0与函数f (x )＝ln x －ax 的图象的切点为P (x 0，y 0)，因为f ′(x )＝1x －a ，所以由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0－y 0＋1＝0f ′（x 0）＝1x 0－a ＝1f （x 0）＝ln x 0－ax 0＝y，解得a ＝1e2－1. 答案：1e2－1核心素养系列7 数学运算——求曲线的切线方程数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．已知曲线y ＝13x 3上一点P ⎝⎛⎭⎫2，83，则过点P 的切线方程为 ． 【解析】 (1)当P 为切点时，由y ′＝⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， 得y ′|x ＝2＝4，即过点P 的切线方程的斜率为4. 则所求的切线方程是y －83＝4(x －2)，即12x －3y －16＝0；(2)当P 点不是切点时，设切点为Q (x 0，y 0)， 则切线方程为y －13x 30＝x 20(x －x 0)， 因为切线过点P ⎝⎛⎭⎫2，83，把P 点的坐标代入切线方程， 求得x 0＝－1或x 0＝2(即点P ，舍去)， 所以切点为Q ⎝⎛⎭⎫－1，－13， 即所求切线方程为3x －3y ＋2＝0.综上所述，过点P 的切线方程为12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0. 【答案】 12x －3y －16＝0或3x －3y ＋2＝0求曲线的切线问题时，要明晰所运算的对象(切线)涉及的点是“在”还是“过”，然后利用求切线方程的方法进行求解．(1)“在”曲线上一点处的切线问题，先对函数求导，代入点的横坐标得到斜率．(2)“过”曲线上一点的切线问题，此时该点未必是切点，故应先设切点，求切点坐标．1．(2019·高考江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝ln x上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是．解析：设A(m，n)，则曲线y＝ln x在点A处的切线方程为y－n＝1m(x－m)．又切线过点(－e，－1)，所以有n＋1＝1m(m＋e)．再由n＝ln m，解得m＝e，n＝1.故点A的坐标为(e，1)．答案：(e，1)2．(2020·安徽安庆期末改编)已知函数y ＝f (x )对任意的x ∈R 都有f (1－x )－2f (x )＝x 2－1，则f (－1)＝ ，曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为 ．解析：由题可得⎩⎪⎨⎪⎧f （1－x ）－2f （x ）＝x 2－1，f （x ）－2f （1－x ）＝（1－x ）2－1，解得f (x )＝－x2＋23x ＋23.所以f (－1)＝－1，f ′(x )＝－2x ＋23，所以f ′(－1)＝83，所以曲线y ＝f (x )在点(－1，f (－1))处的切线方程为y ＋1＝83(x ＋1)，即8x －3y ＋5＝0.答案：－1 8x －3y ＋5＝0[基础题组练]1．下列求导数的运算中错误的是( ) A ．(3x )′＝3x ln 3 B ．(x 2ln x )′＝2x ln x ＋x C.⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝x sin x －cos x x 2 D ．(sin x ·cos x )′＝cos 2x解析：选C.因为⎝⎛⎭⎫cos x x ′＝－x sin x －cos x x 2，C 项错误． 2．已知曲线y ＝x 24－3ln x 的一条切线的斜率为12，则切点的横坐标为( )A ．3B ．2C ．1D ．12解析：选A.因为y ′＝x 2－3x ，令y ′＝12，解得x ＝3，即切点的横坐标为3.3．已知函数f (x )可导，则lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx等于( )A ．f ′(x )B ．f ′(2)C ．f (x )D ．f (2)解析：选B.因为函数f (x )可导， 所以f ′(x )＝lim Δx →0f （x ＋Δx ）－f （x ）Δx，所以lim Δx →0f （2＋2Δx ）－f （2）2Δx＝f ′(2)．4．函数g (x )＝x 3＋52x 2＋3ln x ＋b (b ∈R )在x ＝1处的切线过点(0，－5)，则b 的值为( )A.72B.52C.32D ．12解析：选B.当x ＝1时，g (1)＝1＋52＋b ＝72＋b ，又g ′(x )＝3x 2＋5x ＋3x，所以切线斜率k ＝g ′(1)＝3＋5＋3＝11， 从而切线方程为y ＝11x －5，由于点⎝⎛⎭⎫1，72＋b 在切线上，所以72＋b ＝11－5， 解得b ＝52.故选B.5．已知函数f (x )及其导数f ′(x )，若存在x 0使得f (x 0)＝f ′(x 0)，则称x 0是f (x )的一个“巧值点”．给出下列四个函数：①f (x )＝x 2；②f (x )＝e －x ；③f (x )＝ln x ；④f (x )＝tan x .其中有“巧值点”的函数的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选B.对于①，若f (x )＝x 2，则f ′(x )＝2x ，令x 2＝2x ，得x ＝0或x ＝2，这个方程显然有解，故①符合要求；对于②，若f (x )＝e －x ，则f ′(x )＝－e －x ，即e －x ＝－e －x ，此方程无解，②不符合要求；对于③，若f (x )＝ln x ，则f ′(x )＝1x ，若ln x ＝1x ，利用数形结合法可知该方程存在实数解，③符合要求；对于④，若f (x )＝tan x ，则f ′(x )＝⎝⎛⎭⎫sin x cos x ′＝1cos 2x ，令f (x )＝f ′(x )，即sin x cos x ＝1，变形可sin 2x ＝2，无解，④不符合要求．故选B.6．(2020·江西南昌一模)设函数f (x )在(0，＋∞)内可导，其导函数为f ′(x )，且f (ln x )＝x ＋ln x ，则f ′(1)＝ ．解析：因为f (ln x )＝x ＋ln x ，所以f (x )＝x ＋e x ， 所以f ′(x )＝1＋e x ，所以f ′(1)＝1＋e 1＝1＋e. 答案：1＋e7．(2020·四川绵阳一诊改编)若函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，则t ＝ ，切线方程为 ．解析：因为函数f (x )＝x 3＋(t －1)x －1，所以f ′(x )＝3x 2＋t －1.因为函数f (x )的图象在点(－1，f (－1))处的切线平行于x 轴，所以f ′(－1)＝3×(－1)2＋t －1＝2＋t ＝0，解得t ＝－2.此时f (x )＝x 3－3x －1，f (－1)＝1，切线方程为y ＝1.答案：－2 y ＝18．已知函数y ＝f (x )的图象在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝2x －1，则曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为 ．解析：由题意知，f (2)＝2×2－1＝3，所以g (2)＝4＋3＝7，因为g ′(x )＝2x ＋f ′(x )，f ′(2)＝2，所以g ′(2)＝2×2＋2＝6，所以曲线g (x )＝x 2＋f (x )在点(2，g (2))处的切线方程为y －7＝6(x －2)，即6x －y －5＝0.答案：6x －y －5＝0 9．求下列函数的导数： (1)y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1)； (2)y ＝sin x 2(1－2cos 2x 4)；(3)y ＝ln xx 2＋1.解：(1)因为y ＝(3x 2－4x )(2x ＋1) ＝6x 3＋3x 2－8x 2－4x ＝6x 3－5x 2－4x ， 所以y ′＝18x 2－10x －4.(2)因为y ＝sin x 2(－cos x 2)＝－12sin x ，所以y ′＝(－12sin x )′＝－12(sin x )′＝－12cos x .(3)y ′＝（ln x ）′（x 2＋1）－ln x （x 2＋1）′（x 2＋1）2＝1x （x 2＋1）－2x ln x （x 2＋1）2＝x 2＋1－2x 2ln x x （x 2＋1）2. 10．(2020·陕西延安模拟)已知曲线y ＝x 3＋x －2在点P 0处的切线l 1平行于直线4x －y －1＝0，且点P 0在第三象限．(1)求P 0的坐标；(2)若直线l ⊥l 1，且l 也过切点P 0，求直线l 的方程．解：(1)由y ＝x 3＋x －2，得y ′＝3x 2＋1. 令3x 2＋1＝4，解得x ＝±1.当x ＝1时，y ＝0；当x ＝－1时，y ＝－4.又点P 0在第三象限，所以切点P 0的坐标为(－1，－4)． (2)因为直线l ⊥l 1，l 1的斜率为4，所以直线l 的斜率为－14.因为l 过切点P 0，点P 0的坐标为(－1，－4)， 所以直线l 的方程为y ＋4＝－14(x ＋1)，即x ＋4y ＋17＝0.[综合题组练]1.如图，y ＝f (x )是可导函数，直线l ：y ＝kx ＋2是曲线y ＝f (x )在x ＝3处的切线，令g (x )＝xf (x )，g ′(x )是g (x )的导函数，则g ′(3)＝( )A ．－1B ．0C ．3D ．4解析：选B.由题图可知曲线y ＝f (x )在x ＝3处切线的斜率为－13，即f ′(3)＝－13，又g (x )＝xf (x )，g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )，g ′(3)＝f (3)＋3f ′(3)，由题图可知f (3)＝1，所以g ′(3)＝1＋3×⎝⎛⎭⎫－13＝0.2．(2020·成都第二次诊断检测)若曲线y ＝f (x )＝ln x ＋ax 2(a 为常数)不存在斜率为负数的切线，则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－12，＋∞ B.⎣⎡⎭⎫－12，＋∞ C ．(0，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.f ′(x )＝1x ＋2ax ＝2ax 2＋1x(x >0)，根据题意有f ′(x )≥0(x >0)恒成立，所以2ax 2＋1≥0(x >0)恒成立，即2a ≥－1x 2(x >0)恒成立，所以a ≥0，故实数a 的取值范围为[0，＋∞)．故选D.3．已知函数f (x )＝x 3＋(1－a )x 2－a (a ＋2)x ＋b (a ，b ∈R )．(1)若函数f (x )的图象过原点，且在原点处的切线斜率为－3，求a ，b 的值；(2)若曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，求a 的取值范围．解：f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)．(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝b ＝0，f ′（0）＝－a （a ＋2）＝－3， 解得b ＝0，a ＝－3或a ＝1.(2)因为曲线y ＝f (x )存在两条垂直于y 轴的切线，所以关于x 的方程f ′(x )＝3x 2＋2(1－a )x －a (a ＋2)＝0有两个不相等的实数根， 所以Δ＝4(1－a )2＋12a (a ＋2)>0，即4a 2＋4a ＋1>0，所以a ≠－12. 所以a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－12∪⎝⎛⎭⎫－12，＋∞. 4．已知抛物线C ：y ＝－x 2＋92x －4，过原点O 作C 的切线y ＝kx ，使切点P 在第一象限．(1)求k 的值；(2)过点P 作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q 的坐标．解：(1)设点P 的坐标为(x 1，y 1)，则y 1＝kx 1，①y 1＝－x 21＋92x 1－4，② 将①代入②得x 21＋⎝⎛⎭⎫k －92x 1＋4＝0. 因为P 为切点，所以Δ＝⎝⎛⎭⎫k －922－16＝0，得k ＝172或k ＝12. 当k ＝172时，x 1＝－2，y 1＝－17. 当k ＝12时，x 1＝2，y 1＝1.因为P 在第一象限，所以k ＝12. (2)过P 点作切线的垂线， 其方程为y ＝－2x ＋5.③ 将③代入抛物线方程得，x 2－132x ＋9＝0. 设Q 点的坐标为(x 2，y 2)，则2x 2＝9，所以x 2＝92，y 2＝－4. 所以Q 点的坐标为⎝⎛⎭⎫92，－4.。