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上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
第讲混沌与分形（Ⅱ）混沌是表象的无序、内在的有序。
混沌的签名是分形。
——方兆本《走出混沌》第讲数学家方兆本所推出的走向数学丛书《走出混沌》中写道：混沌的签名是分形。
这句话惟妙惟肖地描绘出混沌与分形两者之间的关系。
研究Chaos有很多途径。
生物群的研究是其中典型途径之一。
第讲一.生物爆炸和生物灭绝最早接触的是生物群的线性迭代，其表述方程是(7-1)式中, 表示第年的某种群数; 表示第年的种群数；而则是发展参数。
i i kx x =+1L,2,1,0=i 1+i x 1+i k i i x第讲特别应该提到：这里所谈的“年”——更确切地说用代或周期更为确切。
中国古代名著《庄子》提到年寿有明显的层次差次，小的年绝不及大的年：朝菌存活不过七天；夏蝉只有三个月时间；但楚国之南的一种树名叫冥灵，持续500年的花开叶茂是冥灵一春，再持续500年花谢叶落是冥灵一秋。
人世千年，冥灵一岁，这才是大的年。
《庄子》所述，即揭示了生物群各自内部的“种”是各不相同的。
第讲1.生物爆炸若我们不论什么原因，这种生物群种数有,且发展的参数，则可写出序列：(7-2)上式表示等比的等比数列。
如Fig7-1所示。
0x 1>k 1>k }{i x L,,,0200x k kx x 1>k第讲Fig7-1当时生物群发生爆炸1>k ii kx x =+10x第讲2.生物灭绝同样是种群方程(7-1)，原始生物群，所不同的参数。
这种情况下序列表示的等比数列。
如图7-2所示。
1<k 0x 1<k }{i x 1<k第讲Fig7-2 当时生物群灭绝1<k ii kx x =+1第讲一.Logistic 方程长期以来，人们对于数列的理解主要有两种可能：收敛或发散。
————————当然也有极个别跳跃的数列如不过这不是我们研究的主要对象。
L1,1,1,1−−}{i a第讲上面所讨论的生物种群数列正是这种情况：要末单调上升发散；要末单调下降收敛。
第九章混沌与分形混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
用畅销名著《混沌——开创一门新科学》的作者格莱克的说法，蝴蝶效应指的是“今天在北京一只蝴蝶拍动一下翅膀，可能下月在纽约引起一场暴风雨。
”下面是几个混沌实例。
1．天体运动的混沌现象前已述及，三体问题，更不要说更多体的问题，不可能有解析解。
分形与混沌英国人L.理查森发现在西班牙、葡萄牙、比利时、荷兰等国出版的百科全书中，记录的一些海岸线的长度竟相差20%，原因何在？Mandelbrot 认为：海岸线不规则，不同的测量尺度导致不同结果，从数学角度研究这一问题，创立分形几何。
一维的直线只有一个方向，而海岸线在方向上进行了无数次的改变，故要修改维数定义，Mandelbrot 发现海岸线等具有自相似性，故从自相似性角度研究维数。
一 分形自相似性：如果几何对象的一个局部放大后与其整体相似，这种性质叫自相似性。
自然界有许多图形有自相似性，如浪花、岩石、山脉、河网水系的分布；人的血管系统；海岸线的形状；星云的分布；剧烈变化的气候；股市等。
分形：(Mandelbrot,1986年）部分以某种形式与整体相似的形状，叫分形。
二 分维一个正方形边长扩大3倍后，得到9个正方形，设一个小立方体，边长扩大3倍后，得到27个小立方体，几何图形的维数为分维。
分维数反映的是：图形充满整个空间的情况，或图形的粗糙度。
三 两种分形曲线（一）Koch 曲线1 构造方法如下:Koch 曲线是分形的,其分维:2 分形曲线的测量分形曲线无法用直尺测量,无论单位取得如何小,因为更细小部分与整体相似,仍有许多不同层次.koch 曲线用一段局部的koch 曲线测量,这样会变得简单.3 分形曲线的生成按照简单规则,经无穷次迭代,得到复杂图形.（二）Cantor 三分集Cantor 三分集时分形的Cantor 三分集是现实世界的一种模型,Mandelbrot 研究的电子通讯线路中出现误差的规律与Cantor 三分集十分相似.维的则2,23ln ln ,9,3∴===N N l 维的则3,33ln ln ,27,3∴===N N l 允许取分数，设l N D ln ln =分形具有五个基本特征或性质：⑴形态的不规则性；⑵结构的精细性⑶局部与整体的自相似性⑷维数的非整数性⑸生成的迭代性。
四分形几何的历史1967年,蒙德尔布罗(法,B.Mandelbrot)在《科学》杂志发表文章《英国海岸线有多长？》标志分形几何的诞生。
