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动力系统理论中的混沌与分形混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们在探索非线性系统行为和描述自然界的复杂性方面发挥着关键作用。
本文将从混沌与分形的基本原理、实际应用以及研究方向等多个角度来探讨这两个重要的理论概念。
一、混沌混沌是指在动力系统中，即使系统的运动规律是确定的，但其行为却表现出极端敏感的特性，即微小的初始条件改变会导致系统演化出完全不同的轨迹。
混沌理论的起源可以追溯到20世纪60年代，当时Lorenz通过研究大气环流模型，意外地发现了这一现象，这也被称为“蝴蝶效应”。
混沌现象的数学描述是通过非线性动力学方程实现的，例如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
混沌行为的特点是演化过程不断变化，但却不失稳定性。
这种看似矛盾的特性给动力系统理论的研究带来了很大的挑战和启示。
混沌理论的实际应用非常广泛。
在天气和气候预测、金融市场、生态系统、心脏疾病等领域，混沌理论都发挥着重要作用。
通过混沌理论，我们能够更好地理解和预测这些复杂系统中的行为，为实际问题的解决提供了新的思路和方法。
目前，混沌理论仍然是一个活跃的研究领域。
研究人员致力于发展更精确的混沌理论模型，深入探究混沌行为的内在规律，以及在实际应用中的更多可能性。
二、分形分形是指具有自相似性和尺度不变性的几何形状。
与传统几何学中定义的规则形状不同，分形具有复杂的结构和非整数维度。
分形理论最早由Mandelbrot提出，并得到了广泛的应用。
分形的自相似性意味着它的一部分与整体具有相似的结构，这种特性使得分形能够用于描述自然界中许多复杂的形状，如云朵、树枝、河流等。
分形的尺度不变性意味着它在不同的比例下具有相似的结构，这也是分形与传统几何形状的显著区别。
分形理论在各个领域有着广泛的应用。
在计算机图形学中，分形可以用于生成自然风景和仿真自然材料的纹理。
在金融市场中，分形理论可以用于预测和分析股票价格的波动。
在生物学中，分形可以用于描述复杂的生物结构，如血管网络和肺泡等。
上帝的指纹——分形与混沌来源：王东明科学网博客云朵不是球形的，山峦不是锥形的，海岸线不是圆形的，树皮不是光滑的，闪电也不是一条直线。
——分形几何学之父Benoit Mandelbrot话说在一个世纪以前，数学领域相继出现了一些数学鬼怪，其整体或局部特征难以用传统的欧式几何语言加以表述。
著名的数学鬼怪包括处处不稠密而完备的Cantor集，每段长度都无限而围成有限面积的Koch曲线，面积为零而周长无限的Sierpinski三角形。
Koch 曲线Sierpinski 三角形这些数学鬼怪曾缠绕数学家多年，直到20世纪后半叶，才被美籍法国数学家Benoit Mandelbrot创立的分形几何学彻底制服。
分形几何学是新兴的科学分支混沌理论的数学基础。
1967年Mandelbrot在美国《科学》杂志上发表了题为“英国的海岸线到底有多长”的划时代论文，该文标志着分形萌芽的出现。
在这篇文章中Mandelbrot证明了在一定意义上任何海岸线都是无限长的，因为海湾和半岛会显露出越来越小的子海湾和子半岛，他将这种部分与整体的某种相似称为自相似性，它是一种特殊的跨越不同尺度的对称性，意味着图案之中递归地套着图案。
事实上，具有自相似性的现象广泛存在于自然界中，这些现象包括连绵起伏的山川，自由漂浮的云彩，江河入海形成的三角洲以及花菜、树冠、大脑皮层等等。
Mandelbrot将具有自相似性的现象抽象为分形，从而建立了有关斑痕、麻点、破碎、缠绕、扭曲的几何学。
这种几何学的维数可以不是整数，譬如Koch曲线的维数约为1.26，而Sierpinski三角形的维数则接近1.585。
分形植物（在生成分枝形状和叶片图案时遵循简单的递归法则）分形闪电（经历的路径是逐步形成的）Mandelbrot研究了一个简单的非线性迭代公式xn 1=xn2 c，式中xn 1和xn都是复变量，而c是复参数。
Mandelbrot发现，对某些参数值c，迭代会在复平面上的某几点之间循环反复；而对另一些参数值c，迭代结果却毫无规则可言。
·混沌与分形的哲学启示（转【发布:清石2004-06-04 11:45多彩总汇浏览/回复：2169/4】长久以来，我们就知道我们生活在一个非常复杂的世界里，从破碎的浪花到喧闹的生活，从千姿百态的云彩到变幻莫测的市场行情，凡此种种，都是客观世界特别丰富的现象。
但是，科学对复杂性的认识极为缓慢。
混沌学的问世，代表着探索复杂性的一场革命。
由于它，人们在那些令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意料的规律性。
分形理论则提供了一种发现秩序和结构的新方法。
事物在空间和时间中的汇集方式，无不暗示着某种规律性，并都可以用数学来表述它们的特征。
泥沈和分形不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。
因此，探讨混沌学和分形理论的哲学启示是非常有意义的。
决定与非决定决定论与非决定论，或者说必然性与偶然性的关系问题是科学和哲学长期争论不休的难题。
决定论的思想自牛顿以来就根深蒂固。
牛顿经典力学的建立，一方面推倒了天与地之间的壁垒，实现了自然科学的第一次大综合；另一方面它也建立了机械决定论的一统天下。
拉普拉斯设计了一个全能智者，它能够格宇宙最庞大的物体的运动以及最微小的原子的运动都归并为一个单一的因式。
其结果，自然成了一个僵死的、被动的世界，一切都按部就班，任何“自然发生”或“自动发展”都不见了。
热力学通过涨落的发生而引入了一种新的决定论，即统计决定论。
涨落是对系统平均值的偏离，它总是无法完全排除的。
应该说，从决定性的牛顿力学发展到非决定性的统计力学，是一次重要的科学进步。
特别是量子力学的创立和发展，一种新的统计规律为人们所认识，薛定谔波函数的统计解释，抛弃了传统的轨道概念，清楚地反映了微观粒子运动规律的统计性质。
但是在混沌理论问世之前，物理学中确定论和概率论两套基本描述形成了各自为政的局面：单个事件服从决定性的牛顿定律x大量事件则服从统计性的大数定律。
当波耳兹曼企图跨越这道鸭沟，从动力学“推导”出热力学过程的不可逆性时，受到来自泽梅罗、洛斯密脱等人的强烈反对：决定性助牛顿定律怎么会导出非决定性的分子运动论?玻马兹曼全力以赴地答辩以捍卫自己的理论，：但是按照当时公众可接受的标淮(主要是机械论)，他失败了。
分形与混沌我今天和大家分享的话题是，分形与混沌。
我在大概一、两个月前，突然发现和石总同时都对这个话题感兴趣，后来石总说，做一个沙龙吧。
其实我挺诚惶诚恐的，因为这个话题太深了，我并不是那么专业，和用哲学忽悠大家不一样啊！但我还是认真准备了一下，来和大家分享，因为我觉得内容真的太有意思了，对我们认识世界，认识市场都有帮助。
我希望以后我们群友聊到相关的话题能有更多默契，相互启发，相互推动。
这也是石总所希望的。
言归正传，我现在开始今天的主题分享。
说到今天分享的主题，跳入脑海的两个词组就是混沌物理和分形几何，接着有朋友很谨慎的问，是否有必要浪费流量和时间来看，以及让我评估一下能听懂的可能性。
我想这也是群主让我，而不是他自己，来做这个主题分享的初衷，如果我都能看懂和说明白，那大家都是毫无压力的。
[呲牙]我们生活的这个世界简单而复杂，我们面对的市场似乎总有什么规律在眼前闪现，而当你伸出手时，却无法抓个确切。
我们在经验中学习，在逻辑中预测，当我们回头看时，一切都那么清晰井然，而当我们向前看时，未来仿佛陷入迷雾。
从中找到方法，绝对的方法论，从这个市场中追寻至高的道，这可能么？这不可能么？我们可以一起来看一看，透过混沌与分形的世界，我们是否能看到一个Whole New World。
一、分形——从分形龙开始看似深奥的理论通常有着非常简单的起点。
如何构造一条分形龙，有下面几个简单的不行的步骤：1、拿出一根纸条；2、将它对折后展开，这是一根纸条变成了两个部分；3、每一部分还按照前面的方法对折，这时，它变成了四折；4、将每一折还是按第2条的方法对折后打开，你能想象这个图么？如果不能，请看图：你看，简单吧，让我们把这个对折的次数重复无限次，分型龙就现身了！最右下角一副即是。
你看，多么简单的方法，我们得到了一条龙。
这个方法是什么呢，不断的重复同一个简单的步骤。
这个时候大家就会问了，分型龙有什么特别之处呢，他的特别之处在于，你有没有发现，他的每一个部分都和整体呈现出一种相似性，好像他在模仿自己一样。
混沌与分形摘要：分形论是70年代科学上的三大发现(耗散结构,混沌和分形论)之一,他与混沌可以看成是继相对论和量子力学之后的本世纪物理学的第三次革命。
本文简要介绍了分形与混沌的起始发展与应用。
关键词：混沌分形牛顿分维数学物理学（一）混沌学习了牛顿力学后，往往会得到这样一种印象，或产生这样一种信念:物体受力已知的情况下，给定了初始条件，物体以后的运动情况（包括各时刻的位置和速度）。
就完全定了，并且可预测了。
这种认识被称作决定论的可预测性。
验证这种认识的最简单例子是抛体运动。
物体受的重力是已知的，一旦初始条件（抛出点的位置和抛出时速度）给定了，物体此后任何时刻的位置和速度也就决定了。
物体在弹力作用下的运动也是这样，已知的力和初始条件决定了物体的运动。
这两个例子中都可以写出严格的数学运动学方程，即解析解，从而使运动完全可以预测。
牛顿力学的这种决定论的可预测性，其威力曾扩及宇宙天体。
1757年。
哈雷慧星在预定的时间回归，1846年海王星在预言的方位上被发现，都惊人的证明了这种认识。
这样的威力曾使伟大的法国数学家拉普拉斯夸下海口：给定宇宙的初始条件，我们就能预言它的未来。
当今日蚀和月蚀的准确预测，宙宙探测器的成功发射与轨道设计，可以说是在较小范围内实现了拉普拉斯的壮语。
牛顿力学在技术中得到了广泛的成功的应用。
物理教科书中利用典型的例子对牛顿力学进行了定量的严格的讲解。
这些都使得人们对自然现象的决定论的可预测性深信不疑。
但是，这种传统的思想信念在20世纪60年代遇到了严重的挑战。
人门发现由牛顿力学支配的系统，虽然其运动是由外力决定的，但是在一定条件下，却是完全不能预测的。
原来，牛顿力学显示出的决定论的可预测性，只是那些受力和位置或速度有线性关系的系统才具有的。
这样的系统叫线性系统。
牛顿力学严格地成功处理过的系统都是这种线性系统。
对于受力复杂的非线性系统，情况就不同了。
下面通过一个实际例子说明这一点。
决定论的不可预测性。
令⼈惊叹的混沌理论——背后的数学原理和哲学思考在20世纪60年代早期，⽓象学家爱德华·洛伦兹发现某些系统从根本上是不可预测的。
他的理论引发了⼀场名为“混沌理论”的科学⾰命。
有⼈说，简单的基本规则有时会产⽣奇异的复杂性。
那些复杂的结构通常有⾮常基源。
这种现象和理论在实践中经常被提及，但也出现在《怪奇物语》等电⼦游戏和《侏罗纪公园》等电影中。
那么，混沌理论的实际定义是什么呢？它与数学有什么联系？它与可预测性和决定论有什么关系？如何将这些发现应⽤于⼀般情况？定义为了理解混沌理论，有必要讨论⼀下字典是如何描述它的：描述动态系统模式的数学，如天⽓、⽓体和液体的⾏为、演化等等。
因此，混沌理论是研究和描述动态系统的数学，它解释了随时间变化的过程。
科学家和数学家对混沌有不同的看法。
对他们来说，⼀个混沌的世界或混沌的问题是不可预测的，⼀个微⼩的偏差可能导致不可想象的后果引⼊科学爱德华·诺顿·洛伦茨，美国数学家、⽓象学家、⿇省理⼯学院⽓象学教授。
他在达特茅斯学院和哈佛⼤学学习数学。
他的职业⽣涯始于第⼆次世界⼤战期间，当时他是美国陆军航空队的⼀名⽓象预报员。
在⼀次天⽓预中，他在他的计算机模型上得到了⼀个⾮常不同的结果，因为只有⼀个微⼩的偏差。
爱德华证明了可预测性的局限性，这让许多科学家和⽓象学家感到震惊。
他们认为最终有可能预测更长⼀段时间的天⽓。
混沌理论阐述了变化过程的进展和演变，⽤微分⽅程来描述。
以前是⽆法计算出精确的解的，但现在它们可以⽤计算机进⾏数值计算。
由于变量初始值变化的敏感性，这些系统将表现出复杂且快速的偏差⾏为。
混沌系初始状态下不可避免的⼩误差⾮常敏感。
这决定了可预测性是有限度的。
吸引⼦和迭代吸引⼦是迭代附近点的x坐标的集合。
设函数y_1=x^2-1；y_2=x。
在抛物线y_1=x^2-1上取⼀个值，然后从这个初始值画⼀条⽔平线与y = x相交，交点的横坐标为新的x的值，记为x_1；然后把x_1代⼊抛物线。
混沌理论与分形几何学展开全文我们都知道，心脏大体上必须呈现规则的活动，否则你将死亡。
然而脑部大体上必须呈现不规则的活动，否则你将发生癫痫。
这显示不规则（混沌）将导致复杂的系统。
它并不是完全的无秩序。
恰好相反，我认为生命与智慧便是基于混沌才可能发生。
脑部在设计上如此不稳定，所以最小的影响便可以导致秩序的形成。
——伊利亚普利高津目标：进一步了解混沌理论与分形几何学“范式”是来自于希腊，意义为“模型或模式”。
亚当斯密在他的书《心灵的力量》中，将范式定义为：“一组共同认定的假设”。
他又说：“范式是我们感知世界的方法，它如同是鱼类的水。
范式向我们解释世界，并协助我们预测世界的行为。
”社会的范式决定我们的行为与价值观。
医学的范式将决定我们对自己身体的了解。
我们对于市场的范式，将决定、并限制我们与市场之间的互动。
范式是我们观察世界的一片滤镜。
它是我们对于“实在”的观念。
由于它决定我们的实在，所以我们甚少留意它，甚至更少怀疑它。
我们个人的范式将决定我们个人的实在，以及我们对于世界的假设。
我们不会思考这些假设，我们是根据这些假设来思考。
我们无法直接观察世界，我们永远是透过范式的滤镜来观察世界。
我们永远无法观察世界的整体，我们仅能够看见其中的片段。
市场的情况也是如此。
我们无法观察它的整体，我们仅能够看见其中的片段。
我们的心智架构将自然而偏颇地引导我们，让我们仅看见符合我们个人范式的部分世界（市场）。
范式也会过滤接收的资讯，使它们来强化我们既有的范式（信心系统与心智模式）。
所以，市场便像大峡谷一样。
如果你大声向它呼喊：“技术分析！”回声也是“技术分析”。
如果你大喊：“占星术！”，回声也是“占星术”。
如果你喊道：“混沌！”你将听到“混沌”。
这使我们怀疑一项概念，是否有所谓固定而客观的宇宙（市场）？犹如置于红外线、一般光线与X光线下的物体一样，实体（市场）反映的是我们对它的感知，而这些感知未必对应真正的实体。
亚当斯密指出：“我们身处某种范式中时，我们很难想像任何其他的范式。
混沌及其应用心得体会混沌是一个非线性系统中的现象，也被称为“无序的序”。
在混沌状态下，系统的演化变得极为敏感，微小的初始条件的改变会引起系统演化的巨大不同。
混沌现象已经被广泛应用于不同的领域，包括物理学、生物学、经济学等等。
在我的学习和实践中，我对混沌有着一些体会和心得。
首先，混沌对于探究系统的复杂性起到了重要的作用。
混沌现象的出现意味着系统的演化是非线性的、不可预测的。
这为我们理解和研究复杂系统提供了新的视角。
在物理学中，混沌现象的研究已经为我们揭示了许多自然界中的复杂现象，如天气系统中的气象变化、流体力学中的湍流现象等等。
混沌的出现使得我们不再简单地从线性的、可预测的角度去分析问题，而是需要考虑到非线性的、不可预测的因素。
其次，混沌的应用给我们的科学研究提供了新的方法和工具。
混沌现象的复杂性使得我们无法用常规的数学方法来描述和分析，因此我们需要借助于一些新的工具和数学方法。
分形理论是研究混沌现象的一种重要工具，它可以用来描述非线性系统中的自相似性。
通过分形理论，我们可以揭示出混沌现象背后的一些规律和结构。
另外，计算机模拟和数值计算也成为了研究混沌现象的重要手段。
通过计算机模拟，我们可以模拟和重现一些复杂系统的演化过程，从而深入研究混沌现象的性质和规律。
再次，混沌的应用也对我们的实际生活产生了一定的影响。
混沌的非线性和不可预测性使得我们无法准确地预测和控制系统的演化结果。
这对于一些实际问题的决策和控制带来了新的挑战。
例如，在金融市场中，由于市场的复杂性和混沌现象的存在，风险的控制和投资的决策变得更加困难。
另外，在气候预测和地震预警等领域，由于系统的复杂性和混沌性质，我们往往只能进行一些近似和概率的预测。
综上所述，混沌是一个具有重要意义和广泛应用的现象。
混沌的研究对于我们揭示和理解复杂系统的本质和规律有着重要的作用，同时也为我们提供了新的方法和工具。
在将来的研究中，我们应该进一步深入研究混沌现象的性质和规律，并将其应用于更多的领域中，为解决实际问题提供更好的方法和思路。
交易之道十五：混沌与分形混沌与分形“相对论消除了关于绝对空间和时间的幻想；量子力学则消除了关于可控测量过程的牛顿式的梦；而混沌则消除了拉普拉斯关于决定论式可预测的幻想。
”一点就是未来无法确定。
如果你某一天确定了，那是你撞上了。
第二事物的发展是通过自我相似的秩序来实现的。
看见云彩，知道他是云彩，看见一座山，就知道是一座山，凭什么？就是自我相似。
这是混沌理论两个基本的概念。
混沌理论还有一个是发展人格，他有三个原则：第一是事物的发展总是向他阻力最小的方向运动；第二个原则：当事物改变方向的时候，他存在一些结构；第三个原则... ...一混沌理论（Chaos theory）是一种兼具质性思考与量化分析的方法，用以探讨动态系统中（如：人口移动、化学反应、气象变化、社会行为等）无法用单一的数据关系，而必须用整体、连续的数据关系才能加以解释及预测之行为。
二混沌一词原指宇宙未形成之前的混乱状态，我国及古希腊哲学家对于宇宙之源起即持混沌论，主张宇宙是由混沌之初逐渐形成现今有条不紊的世界。
在井然有序的宇宙中，西方自然科学家经过长期的探讨，逐一发现众多自然界中的规律，如大家耳熟能详的地心引力、杠杆原理、相对论等。
这些自然规律都能用单一的数学公式加以描述，并可以依据此公式准确预测物体的行径。
三近半世纪以来，科学家发现许多自然现象即使可化为单纯的数学公式，但是其行径却无法加以预测。
如气象学家Edward Lorenz发现，简单的热对流现象居然能引起令人无法想象的气象变化，产生所谓的「蝴蝶效应」，亦即某地下大雪，经追根究底却发现是受到几个月前远在异地的蝴蝶拍打翅膀产生气流所造成的。
一九六○年代，美国数学家Stephen Smale 发现，某些物体的行径经过某种规则性的变化之后，随后的发展并无一定的轨迹可寻，呈现失序的混沌状态。
四混沌现象起因于物体不断以某种规则复制前一阶段的运动状态，而产生无法预测的随机效果。
所谓「差之毫厘，失之千里」正是此一现象的最佳批注。
分形与混沌理论浅说有一个非常有趣的游戏,叫做猜一猜这个物品的价格，玩者只要报数值，而对方只要说对与错，玩者就可以逐渐知道物品的价格,而在无限的时间内，它的范围可以由大到小，由无数混沌的数值到精确的数值，恭喜你答对了。
计算机是二进制语言，那么是否可以将计算机变成一种预测工具呢？只要我们把从古到今所有知识信息收集起来，或是尽量收集起来，实际上计算机程序就能完成预测，你只需要问计算机问题，而计算机把问题分解为一系列的“是”与“否”，那么无论再复杂的问题都可以在几分钟内揭晓，如果这种软件可以开发，因为信息的有限不一定可以百分之一百预测，但却可以大体上预测的效果,并细小到个体事物,那么每个人都可以成为拥有类似特异感觉这样的预言先知了，因为存在个人信息库中的信息被联系与全息利用并诱导了出来，计算机并不是告诉你结果，结果是一种非线性过程，而是将正确与错误分别归类,这是计算机系统的强项也是相对可操作的，比如土豆是一种蔬菜，一种生物，一种植物，一种物质,一种自组织，是原子构成的等,那么将土豆的大体全息信息编写入计算机程序中,以此类推把各种信息以此归类组合,那么当你问这个物体是否是动物时，答案就会直接出现“否”，而答对就会出现“是”。
假如我们将人类已知的信息，可以包括宇宙，宗教,历史文化，哲学，科学，社会学，心理学，日常常识以及新发现的知识全息展开编入计算机，那么这套软件足以象《周易》一样预测未来信息了。
在《易经》体系中，所谓的占卜并不是偶然的，古代占卜是利用人脑潜意识对全息信息的判断，其特点不是逻辑判断而是在类似迷糊状态的认知反映到个体判断上，而达到预测的目的。
那么是否每个偶然的状态都有其存在意义呢？问题并非那么简单,这个问题还涉及并回到简单性与复杂性，混沌与有序上.占卜虽然是古代迷信的产物，但却也是潜意识的外化语言，是内化语言的摹本，也就是说在模拟练气功时调动出的潜意识,调动内在神灵,可以神通或特异感知的外化语言方式，其特点是偶然性或概率性，计算机也能协调完成做到这一点，而缺点在于需要通过你的自问自答，不出几分钟，你可以知道一件你从来没有看见过的东西的来历。
混沌理论中的哲学思想摘要：混沌是一种普遍存在的现象，看似毫无规律可循的混沌中没什么是完全重复的，但这些混乱无序的背后，缺隐藏着一些简单规则。
就是这些规则使得自然中很多东西由简单变为复杂、有序变为无序，从而产生我们这个多样的世界。
其中蕴含的哲学思想非常丰富，本文将依次进行分析。
关键词：混沌理论辩证统一有序与无序创新点：本文以工科研究中的混沌现象为切入点，研究混沌中隐含的各种矛盾关系。
一、前言本世纪六十年代初，混沌学开始在美国兴起。
二三十年间，这门新兴学科在理论概念及实际应用上迅速发展，已渗透到各个学科和领域。
混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象，它也是非线性系统所特有的一种复杂状态[1]。
正像给“生命”下定义一样，究竟什么是混沌，这个定义是很难确切地下出来的，之所以这样是因为：至少到目前为止，还没有一个统一的、有足够数学定理支持的、普遍适用和完美的混沌理论，科学家们只能通过混沌系统所表现出的一些普遍现象总结归纳出其所谓的本质。
对此，专家们的观点是──哈肯：“混沌性为来源于决定性方程的无规运动。
”费根包姆：“确定系统的内在随机运动。
”洛仑兹：“确定性非周期流。
”赫柏林：“没有周期性的有序。
”钱学森：“混沌是宏观无序、微观有序的现象。
”最出名的便洛伦兹的蝴蝶效应：一只在巴西丛林里煽动翅膀的蝴蝶会在大气中激起几个月后有可能改变伦敦天气的小旋风。
二、混沌理论2.1 混沌现象（1）Rossler混沌系统。
下方的图片中，x，y，z是随着时间变化的，其变化是杂乱无序，毫无规律可循，这就是个混沌系统。
但将这三个量放到三维空间，随着时间依次变化时，发现其惊人的结果：三者在空间中运动轨迹随机的出现在图中任意轨道中，可以预知其下一个非常近的时刻的位置，却无法预测其长时间运动后的轨道，但它却是由非常简单的方程组实现的，这就是著名的Rossler 微分方程组：该方程组也成为吸引子[2]。
当a=b=0.2,c=5.7，初始条件为x=y=z=0时便有了上述的变化。
从哲学的角度认识混沌理论混沌学是当代系统科学的重要组成部分，与相对论和量子力学的产生一样，混沌理论的出现对现代科学产生了深远的影响。
混沌运动的本质特征是系统长期行为对初值的敏感依赖性，所谓混沌的内在随机性就是系统行为敏感地依赖于初始条件所必然导致的结果。
我们可把混沌理解为：在一个非线性动力学系统中，随着非线性的增强，系统所出现的不规则的有序现象。
这些现象可以通过对初值的敏感依赖性、奇异吸引子、费根鲍姆常数、分数维、遍历性等来表征。
牛顿力学描绘的世界图景是钟表模式的世界图景：宇宙间的一切事物都象一架钟表，它们按照确定的方式运行，科学的任务就是阐明钟表的结构.揭示它的运行规律。
混沌学的研究则破坏了这种模式的科学根基，引导人们重新确定科学研究的任务。
未来科学的任务是从混沌的观点阐明客观世界这个超级巨系统的结构方式和运行机制。
混沌学从根本上打破了人类长期形成的片面的固定思维方式，不仅促进了自然科学向前发展，而且丰富了科学的唯物辩证法和方法论，具有划时代的哲学意义和科学意义。
混沌给我们带来的影响是巨大的，促进了科学思想和方法论一系列的重大革命，改变着人们的思维，促使人们在哲学上对其进行深层次的认识。
混沌学是非线性科学范畴，它认为世界的真实面目就是非线性的，经典物理学研究的线性不是自然界普遍存在的，而是相对于非线性的一个特例。
经典科学的线性观导致事物发展的简单性、确定性和还原性，而混沌理论的非线性世界观是对经典科学线性观的扬弃，它是有序与无序确定性和随机性、完全性和非完全性、自相似性和"：自相似性相统一的世界，它们之间是可以互相转化、对立而统一的，遵循着辩证法的规律。
从简单到复杂，从线性到非线性，这是符合认识发展的规律的。
分叉、突变，对初值的敏感依赖性，长期行为的不可预见性，分形几何特性等是非线性的性质，分数维、费根鲍姆常数是对非线性系统作定量描述的普遍概念，所以，混沌的主要特性是可以被我们认识和描述的。
混沌的启示庄周我在给交易员上理念课的时候，经常被问及：“究竟什么是混沌？”。
答案涉及很多方面，很难用只言片语来解释清楚。
常识将混沌理解成“随机”，比如水分子的“布朗运动”，博彩中A球出现的现象，或者洗一副扑克牌。
事实上，远不止如此，混沌还要微妙。
混沌一词，作为科学术语，指的是貌似随机事件背后隐藏的内在联系，一般称为秩序，或高级秩序等等。
通常，我们以线性的眼光来看待世界，去发现所谓的“非此即彼”的、“有因必有果”的“规律”-----在Y=X+3中，如果X=5，那么Y=8；如果X=7，那么Y=10，这是“铁定”的，无论X如何，Y一定有一个唯一的对应的数值，Y随着X的变化形成一条线性的直线（如果公式有变化，也可能是曲线），这就是“规律”；如果汽车每小时行驶60公里，那么10小时将行驶600公里，这也是“规律”；秋天过去了，将是冬天，这还是“规律”。
秩序则有所不同。
我们说电影院散场的观众是有“秩序”的，这并不是说他们排着整齐的队伍出场，而是指他们形成了某种“状态”，这种状态没有明显的“规律”可言，但是毫无疑问，因为这种状态，从总体上说，人们在以最快，最安全，最简单的方式离开电影院。
同样，排队购物的人们也是有秩序的，我们可以看到队伍毫不混乱，似乎形成了某种状态，但是你并不能用什么线性的计算方法来计算队伍的形状------这种状态在随时变化，同时又处于相对的稳定中。
山峰、海岸线的形状也是有秩序的。
它似乎有某种规律的表象，但是又具有绝对的单一性、独特性。
在生活中，我们无时无刻不处于“混沌”的状态，我们试图弄清：暴风雨，洪水，山峰，海岸线，股票价格走势，人体神经和血管所呈现的各种各样的复杂图案。
混沌科学即是研究“隐藏的模式”、“细微的差别”和“事物的敏感性”的科学，是试图发现那些看似杂乱无章的事件背后所存在的“秩序”的科学。
证券市场的价格运动形式，毫无疑问也属于混沌的状态。
市场中的价格运动，本身由无数的交易者行为构成。
分形和混沌（转载）分形和混沌（转载）(2010-08-27 19:20:40)转载标签：股票分类：理财之道财经（“混沌”⼀词的字⾯解释，有两个含义：⼀指多个组织构成的极端复杂的系统运⾏的状态；另⼀含义则指⼀种更⾼层次的秩序，或者可以理解为世间万事万物运⾏背后的真正的普适规律。
本⽂所指是后者。
） 是什么使⼀项才获诺贝尔奖的对冲套利理论，在强⼤计算机系统配合下，仅⼀年后即成巨型基⾦⽼虎破产的主因？⼜是什么使美国防部耗时数年的预测报告，仅因漏算了⼀只蝴蝶翅膀的扇动，预想的景致便⾯⽬全⾮？什么样的巨⼿成就了索罗斯，不久⼜肢解了量⼦基⾦？是什么使得⼈类百年地震预测史，成为百次预测九⼗九次失误的历史？千百年来，⼈类对预知未来的渴望⽆⽇稍减，但每年价值两千亿美元的预测产业，多数成果都被时间⽼⼈轻易废掉？科学的发展⾄今，⼈们已可轻易算出银河系内任⼀星体明年此时的准确位置，那么能不能也同样算算我股票明天此时的价格呢？预测是⼈类最⼤的梦想，但⾯对环环相扣的复杂组织系统，任何单⼀或复杂的单向性思考，都告⽆效。
那么，放弃预测，已成过去的历史，可以被解释清楚吗？科学家们提出的恐龙灭绝原因已超过千种：⼩⾏星撞击、海平⾯下降、⼆氧化碳窒息、⽕⼭、地震、过于⼲旱、过于潮湿、过暖、过寒、甚⾄四肢太重使之不能交配，等等；温室效应、海底⽕⼭、⼤⽓环流、⽔含盐量、信风逆转等，也丝毫改变不了“厄尔尼诺”继续依然故我的幽灵般游荡——致巴西暖冬如夏，智利沙漠汪洋，中美饱受龙卷风之苦，北美⼲旱产⽣森林⼤⽕，⽇本歌⼭飓风海啸，加拿⼤西部颗粒⽆收……⾦融市场更难琢磨，世贸谈判、扩容计划、利率政策、数百种国有股减持⽅案的反反复复、更有北约、⾮典等⽆数突发事件；基⾦、互联⽹这样的长期⼤事件；创业板、期指等永远的远景……之前⼏乎没有任何⼈料准，之后也没能达成些许的共识。
⽆数经济派系与理论依据，千百万种声⾳永远的争执⽆休，百年前如此，⼗年前如此，今天依然如此。
蝴蝶效应之谜——走进分形与混沌读后随笔第一篇 美哉分形1.1有趣的分形龙（1）简单的迭代，进行多次之后，产生了越来越复杂的图形；（2）越来越复杂的图形表现出一种“自相似性”；（3）迭代次数较少时，图形看起来是一条折来折去的“线”，随着迭代次数的增加（迭代次数→无穷）最后的图形看起来像是一个“面”。
1.2简单的分形皮亚诺和space filling curve科赫曲线（雪花）；分形（fractals ）1.3分数维及其计算方法在经典几何中，是用拓扑的方法来定义维数的，即空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需变量的数目。
德国数学家豪斯多夫（F. Hausdorff ）1919年给出了维数的新定义。
用自相似定义的维数可以如此简单而直观的理解：首先将图形按照1:N 的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由M 个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d ，也叫豪斯多夫维数，即()()n M d ln ln = 1.4再回到分形龙1.5大自然中的分形分形具有以下特征：（1）分形具有自相似性。
（2）分形具有无穷多的层次。
（3）分形的维数可以是一个分数。
（4）分形通常可以由一个简单的递归、迭代的方法产生出来。
生成分形的三种方法简单的线性迭代法；线性迭代与随机过程相结合；非线性迭代法。
特例，一种很重要的与随机过程有关的分形：扩散置限凝聚。
（闪电、石头裂纹等）1.6分形之父的启示本华 曼德勃罗（B. Mandelbrot ）。
曼德勃罗集（非线性迭代）1.7魔鬼的聚合物——曼德勃罗集 朱利亚集都是复数，其中，C Z C Z Z n n +=+211.8朱利亚的故事西方谚语“在木匠看来，月亮也是木头做的”。
即每个人都用自己的方式来理解世界。
分形龙网址[OL]/cd/java/fractals.html曼德勃罗集和朱利亚集网址[OL] /cd/java/iterfrac.html第二篇 奇哉混沌2.1拉普拉斯妖混沌理论是研究一个动力系统的长期行为。
·混沌与分形的哲学启示（转【发布:清石2004-06-04 11:45多彩总汇浏览/回复：2169/4】长久以来，我们就知道我们生活在一个非常复杂的世界里，从破碎的浪花到喧闹的生活，从千姿百态的云彩到变幻莫测的市场行情，凡此种种，都是客观世界特别丰富的现象。
但是，科学对复杂性的认识极为缓慢。
混沌学的问世，代表着探索复杂性的一场革命。
由于它，人们在那些令人望而生畏的复杂现象中，发现了许多出乎意料的规律性。
分形理论则提供了一种发现秩序和结构的新方法。
事物在空间和时间中的汇集方式，无不暗示着某种规律性，并都可以用数学来表述它们的特征。
泥沈和分形不仅标志着人类历史上又一次重大的科学进步，而且正在大大地改变人们观察和认识客观世界的思维方式。
因此，探讨混沌学和分形理论的哲学启示是非常有意义的。
决定与非决定决定论与非决定论，或者说必然性与偶然性的关系问题是科学和哲学长期争论不休的难题。
决定论的思想自牛顿以来就根深蒂固。
牛顿经典力学的建立，一方面推倒了天与地之间的壁垒，实现了自然科学的第一次大综合；另一方面它也建立了机械决定论的一统天下。
拉普拉斯设计了一个全能智者，它能够格宇宙最庞大的物体的运动以及最微小的原子的运动都归并为一个单一的因式。
其结果，自然成了一个僵死的、被动的世界，一切都按部就班，任何“自然发生”或“自动发展”都不见了。
热力学通过涨落的发生而引入了一种新的决定论，即统计决定论。
涨落是对系统平均值的偏离，它总是无法完全排除的。
应该说，从决定性的牛顿力学发展到非决定性的统计力学，是一次重要的科学进步。
特别是量子力学的创立和发展，一种新的统计规律为人们所认识，薛定谔波函数的统计解释，抛弃了传统的轨道概念，清楚地反映了微观粒子运动规律的统计性质。
但是在混沌理论问世之前，物理学中确定论和概率论两套基本描述形成了各自为政的局面：单个事件服从决定性的牛顿定律x大量事件则服从统计性的大数定律。
当波耳兹曼企图跨越这道鸭沟，从动力学“推导”出热力学过程的不可逆性时，受到来自泽梅罗、洛斯密脱等人的强烈反对：决定性助牛顿定律怎么会导出非决定性的分子运动论?玻马兹曼全力以赴地答辩以捍卫自己的理论，：但是按照当时公众可接受的标淮(主要是机械论)，他失败了。
这表明，确定论和概率论、必然性和偶然性的对立是。
难以克服的；一、量子力学也不例外。
爱因斯坦是量子论的创始人之一。
对于物质的统计理论，特别是对涨落的理论，谁也没有爱因斯坦的贡献大，但他却坚决不相信有掷被子的上帝。
爱国斯坦与以玻尔为代表的哥本哈根学派进行了一场长达40年之久的大论战。
前者把统计的必要性归结于自由度和方程数目太多，不可能完全列举初始条件，模型中不能计入一切次要因素等外在的和技术上的原因；后者则强调统计规律性是复杂系统所特有的，决不能把它还原为力学规律。
测不准关系指出，粒子的位置和速度的测量精度存在着一个限制。
这说明偶然性的存在是事物本身所使然，决不是因为我们无知的结果。
混沌的奇特之处在于，它把表现的无序和内在的决定论机制巧妙地融为一体。
所以钱学森指出，决定性和非决定性的矛盾直．到本世纪6d年代后兴起的混沌理论才得到解决①。
1963年洛仑兹首先发现，只有区区三个因素的简单决定性系统也会产生随机性行为，这种随机性不是起因于任何外界因素，而是从决定性系统内部产生的。
“混沌”就是这种内在的随机性的代名词。
“决定性的混沌”说明决定性和随机性之间存在着由此及彼的桥梁，这大大丰富了我们对偶然性和必然性这对基本范畴伪认识。
首先，混沌现象又一次揭示，偶然性并非只是表面上的。
在经典统计力学的描述中，由于没有“蝴蝶效应”，大数系统的涨落一般对系统的宏观面貌石起多大作用。
而现在我们发现，由于拉伸和折迭的反复进行，混沌吸引子起着一种“泵”的作用，把微小的涨落迅速地提高到宏观尺度上表现出来。
这种误差按指数特性增长的现象是使拉普拉斯决定论不能成立的又一原因。
于是，混沌意味着我们的预测能力受到了某种新的根本限制。
其次，既然混沌是由某些本身丝毫不是随机因素的固定规则所产生的，因而许多随机现象实际上比过去所想象的更容易预测。
例如，费根鲍姆发现：对截然不同的函数进行迭代(一维单蜂函数)，在迭代过程转向混沌时，它们竟然遵循着同样的规律，受同一个数字的支配，这个数就是δ=4．669201609…。
“倍周期分*”现象说明通往混沌的道路不是任意的，而有某种惊人的规律性。
对于预测来讲，混沌构成了新的限制，但它也在前人未曾料想到的因果关系上指明了新的机制。
吸引和排斥混沌作为探索复杂性的新学科，不仅修正了经典科学只有必然性没有偶然性的观念，而且修正了经典科学只有运动没有发展的观念。
一般而言，人们认为牛顿的“没有时间箭头”的概念在经典科学框架内已经由效力学解决了，这就是熵增定律：耗散系统在趋向平衡态的演变中，具有对初始条件的遗忘机制，无论初始条件是什么，我们都应把不可逆的变化看成是趋向于某个最可几状态的演变但是，20世纪主张发展而到热力学中寻找科学根据的论者很快迟到了一个难题。
如果系统都要趋于一个完全可以由一班定律推出的终态，即热力学平衡态，那么发展在本质上就是暂时的，转瞬即逝的。
一旦系统进到平衡态，发展即宣告结束。
这样一来，自然的发生，生命的起源和发展，宇宙的进化，统统都成为不可能；因此，系统的演化必定是趋于吸引子又不能止于吸引子的过程。
在趋于稳定的过程中，新的非稳定性如何获得，以使系统在适当的时候进到一个更高的层次上，就成了我们面临的又一个重要的科学与哲学问题。
混沌是把偶然性和必然性集于一身的东西，它通过吸引与排斥的对立统一，说明了非稳定性的起源、放大，以及和稳定性相互协调的机制，进而揭示了事物自己运动的原因。
研究复杂系统，“吸引子”是后来发展起来的一个极其重要的概念，复杂系统由极多自由度所组成，可能出现的动力学态不胜枚举；加之演化，系统历经许多态。
这些态稍纵即逝，无从把握，所以研究复杂性一直困难重重。
现在不同了，我们可以把系统变化规律的研究首先归结为寻找吸引子，找到吸引子即掌握了系统发展变化的趋势。
较之其它吸引子，混沌吸引子是一种奇异吸引子，它不仅有被吸引的一面，还有被排斥的一面。
系统的运动在吸引子之外的状态都向吸引子*拢，这是吸引作用，反映系统运动保持“稳定”的一面；而一旦到达吸引子内，其运动又是相互排斥的，这对应着“不稳定”的方面。
贝塔朗菲认为，要认清系统演化的条件与机理，我们既要研究运用自我纠正的负反馈手段达到自我保持的过程，又。
耍研究运用自我放大的正反馈手段达到自我创新的过程。
在这里，“涨落”和“耗散”这两个概念是掌握吸引和排斥这对矛盾的关键。
摩擦是人人皆知的一种耗散形式。
其重要性早在经典力学公式化以前就被人们所认识。
亚里士多德认为地球上的物体都具有静止的普遍趋势。
他在提出这4假说时，事实上就表达了某种“摩擦”使运动减慢的思想。
牛顿则采用了忽略摩擦的理想化作法而得到经典惯性定律。
但事实上，无论机械装置如何精巧，惯性定律的实验是做不出来的。
在物理科学中国屋使用“理想犹态”这一辞汇，如“无摩擦”、“完全弹性碰撞”、“绝对零度”等等，提出这样一些件件，是为了使问题大大简化。
在地球上，要实现这样的理想状态是不可能的。
在真实系统中，时间一长，摩擦毋宁说起着支配作用。
按照伽利略作“描述地上的运动的法则同天上的运动法则是相同的”结论，支配天体运动的法则，连同地球上落体运动的定律，都可以由牛顿所推导的方程式普遍地表达出来，它构成了近代科学的主体。
但在这一背景中，存在着只有天上的运动才是完一美的，而地上的运动则是这种理想状态的不完全反映这样一种潜在观念。
经典力学排除了摩擦，也就排除了由摩擦产生的“热”的存在。
这里被排除的不仅仅是热，还有时间的不可逆性。
其实，它排除了事物的发展，这才是问题的症结所在。
到了热力学，寻求演化判据导致的结果是使人们认识到耗散的重要性。
“耗散使得相体积不断收缩(而不是刘维定理所保证的相体积不变)……。
各种各样的运动模式在演化中逐渐衰亡，最后只剩下少数自由度决定系统长时间行为。
”耗散过去总是被人们看作妨障效率、消耗能量的有害而无益的东西，但热力学的证据表明，对于研究复杂性，耗散使系统运动速度减慢，自动趋向平衡。
于是“吸引”的一面，也就是运用负反馈手段达到自我保持的过程得到了说明。
要说明“排斥”的一面，离不开“涨落”概念。
众所周知，涨落是由系统内部产生出来的与外因无关的非稳定，它与耗散一样，总是无法完全排除的。
但问题是，涨落究竞能不能对系统产生重大影响?大数定律证明，微观上的涨落总是衰减的，在宏观上意义不大，这个结论曾大大影响了人们对涨落伪重视。
揭示涨落放大的机制，这是现代非线性动力学最重要的成就之一，而混沌是非线性现象的核心问题。
非线性的实质是系统各要素之间相互作用、相互影响、相互联系，这也是辩证唯物主义的一个基本观点，而经典科学几乎是线性律的一统天下，因此在那里没有运用自我放大的正反馈手段达到自我创新的过程；在混沌理论中，涨落放大的机制是“对初始条件的敏感性”。
彭加勒早就意识到这一点，他说：。
“初始条件的微小差别在最后的现象中产生了极大的差别，前者的微小误差促成了后者的巨大误差。
预言变得不可能，我们有的是偶然发生的现象。
”洛仑兹还用“蝴蝶效应”来加以形象描绘，意思是说，尽管我们可以用一个完全确定的模型来描述大气运动，但只要一进入混沌态，一只蝴蝶翅膀所造成的影响，都足以使一个地区的整个天气为之改观。
“对初始条件的敏感性”丰富了我们对非线性作用的认识，它“是各种大小尺度的运动互相纠缠所不能逃避的结果”。
综上所述，耗散和涨落存在于任何系统之中，又作用在同一系统之上，两者缺一，系统演化的条件就不充分了。
耗散是系统自我保持的主导因素，涨落是系统自我创新的主导因素。
如果只有涨落没有耗散，系统就会失去任何稳定性；而如果只有耗散没有涨落，系统就不会发生新旧结构的转换，演化在到达某一“终态”后即告结束。
涨落是以耗散为背景的，守恒系统中没有涨落，耗散是以涨落为前提的，：没有涨落，耗散系统的响应无从谈起。
没有涨落的耗散和没有耗散的涨落，都是不可能存在的。
耗散和涨落又是对立的，它们分别对系统起着吸引和排斥的两种作用。
系统的自己运动是涨落和耗散两种因素相互竞争的结果。
当耗散起主导作用时；系统呈稳定状态，演化循序渐进，具有决定论性质；当涨落起主导作用时；系统状态失稳渐进为跃变所中断，最后的状态取决于哪个涨落先发展起来，在这个意义上少演化变成了一个随机过程；经过环境选择，体系将最终到达三个与微小涨落无关的稳定态，并成为演化的新起点，从稳定到不稳定又到新的稳定，系统的演化就是在耗散和涨落的联合作用下无限地展开。
有序与无序有序与无序是二对关系到物质进化；生命起源、社会发展的哲学范畴。
