双因素无重复试验方差分析

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双因素方差分析

y ij ij ij 2 , ij ~ N ( 0, )
假定 ij 相互独立
i 1,2,, r , j 1,2,, s
沿用有重复试验的有关记号，模型可以改写为
yij i j ij ij ~ N (0, 2 ) i 0, j 0, j i
FA B
S A B ( r 1)( s 1) S E rs( t 1)
~ F (( r 1)( s 1), rs( t 1))
表1 双因素方差分析表
来源
因子A 因子B 交互作用误差总和
平方和
自由度
均方
SA SA r 1 SB SB s 1
S A B S A B ( r 1)(s 1)
1 t yij yijk t k 1 1 r t y j yijk rt i 1 k 1
引入总的偏差平方和（总变差）:
ST yijk y
i 1 j 1 k 1 r s t

2
可以证明
其中
ST S E S A S B S AB
S E yijk yij
§4.2
双因素方差分析
有重复试验的方差分析
无重复试验的方差分析
一、有重复试验的双因素方差分析
设有两个因素A，B作用于试验指标。
因素A有r个水平 A1 , A2 , Ar ，因素B有s个水平B1 , B2 ,, Bs , 现对因素A，B的每对组合 ( Ai , B j ) 都作 t (t 2)次试验（称为等重复试验）。
表2 方差分析表
来源
因子A 因子B 误差总和
平方和

双因素试验的方差分析

双因素试验的方差分析（一）摘要：实际问题中往往要同时考虑两个因素对试验指标的影响，此时即使用双因素方差分析。

主要方法为建立合适的假设，并对分析已有数据的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F 比后利用检验方法判断原假设是否成立。

双因素试验的方差分析可分为无重复试验和等重复试验两部分讨论，无重复试验只需检验两个因素对实验结果有无显著影响，等重复试验还要考虑两个因素的交互作用对实验结果有无显著影响。

（二）关键词：双因素方差分析 EXCEL 应用（三）引言：在科学试验和生产实践中，影响一事物的因素往往是很多的。

每一因素的改变都有可能影响产品的数量和质量。

有些因素影响较大，有些较小，为了优化生产过程，通过进行试验找出对产品质量有显著影响的那些因素。

根据试验结果进行分析，鉴别各个有关因素对实验结果影响的有效方法即为方差分析。

本文双因素方差分析同时考虑两个因素的影响，涉及因素间的交互作用，在实际生产实践中较为实用。

（四）算法原理：双因素方差分析有两种类型：一个是无交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的效应之间是相互独立的，不存在相互关系；另一个是有交互作用的双因素方差分析，它假定因素A 和因素B 的结合会产生出一种新的效应。

（一）双因素等重复试验的方差分析设有两个因素A ，B 作用于试验的指标。

因素A 有r 个水平,,...,,21r A A A 因素B 有s 个水平.,...,21s B B B 现对因素A,B 的水平的没对组合（j i B A ,），i=1,2,...r,j=1,2,...,s 都作(t ≥2)次试验（称为等重复试验），得到如下表的结果。

因素A 因素B1B 2B......s B 1AtX X X 11112111...,,,tX X X 12122121...,,,...... sts s X X X 12111...,,,2A t X X X 21212211...,,,t X X X 22222221...,,,...... st s s X X X 22212...,,,........................s Atr r r X X X 11211...,,,tr r r X X X 22221...,,,...... rstrs rs X X X ...,,,21并设),(~2σμij ijk N X ，r i ,...,2,1=;s j ,...,2,1=;t k ,...,2,1=,各ijk X 独立。

论文—双因素试验的方差分析

X ijk ~ N (ij , 2 ) （ ij 和 2 未知），记 X ijk i = ijk ，即有
ijk X ij ijk ~ N (0, 2 ), 故 X ijk ijk 可视为随机误差. 从而得到如下数学模型
X ijk ij ijk， ijk ~ N（0， 2），各 ijk 相互独立， i 1, , r; j 1, , s; k 1, , t;
1 st
1 rt
X
j 1 k 1
r t
s
t
ijk
，i=1，2，，r，
X
j =
X
i 1 k 1
类似地，引入记号：， i , j , i , j , 易见

i 1
r
i 0 ，

j 1
s
j
0.
为水平 B j 的效应. 这样可以将
仍称为总平均，称 i 为水平 A i 的效应，称成
ij
j
ij
表示
= + i + j +
ij
（ i 1, , r; j 1, , s ），
(3)
与无重复试验的情况类似，此类问题的检验方法也是建立在偏差平方和的分解上的。 2. 偏差平方和及其分解引入记号： X =
1 rst
X
i 1 j 1 k 1
r
s
t
ijk
，
X
ij =
1 X ijk ，i=1，2，，r，j=1，2，，s， t k 1

t
X
i =
试验结因素果 A 因素 B

spss操作-双因素方差分析(无重复)精品PPT课件

2）将“含量比”设置为变量，将“PH值”、 “浓度”设置为因素
3）单击Model → 单击Custom选择只含主效应的双因素方差分析模型，单击Con将两个因素设置为需要进行多重比较的因素，选择 Tukey 法进行多重比较；
5）单击Continue，返回上一级菜单，单击Option，选择需显示描述性统计量的因素，单击Continue返回上一级菜单单击OK。
结论：…..
写在最后
经常不断地学习,你就什么都知道。你知道得越多,你就越有力量 Study Constantly, And You Will Know Everything. The More
You Know, The More Powerful You Will Be
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
蒸馏水PH值
硫酸铜浓度
B1
B2
B3
A1
3.5
2.3
2.0
A2
2.6
2.0
1.9
A3
2.0
1.5
1.2
A4
1.4
0.8
0.3
使用SPSS软件进行分析
1. 单击 “开始” → “程序” → SPSS for windows → SPSS10.0 for windows → type in data → OK → 单击 “Variable View”( 在第一列输入因变量( 含量比）、因素A（ PH值）因素 B（浓度）；单击“ Data View ”。
(I) PH值 (J) PH值
1
2
Mean Difference
(I-J)
.433
Std. Error .169
95% Confidence Interval

双因素无重复的方差分析法

Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｖａｉｒａｎｃｅ；ｖａｉｒａｎｃｅａｎａｌｙｓｉｓ；ｄｏｕｂｌｅｆａｃｔｏｒｓ；ｎｏｒｅｐｅａｔ；ｊｕｄｇｍｅｎｔ
在实验教学过程中，常有学生问到这样的问题：若干个实验者利用若干种不同的分析方法测定某种试样的成分或每一参数，每一种分析方法都重复测定几次，如何判断分析方法之间和分析者之间
第１２卷第５期２０１４年１０月
实验科学与技术
ＥｘｐｅｉｒｍｅｎｔＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ
ＶｏＬ１２Ｎｏ．５
Ｏｃｔ．２０１４
双因素无重复的方差分析法
ＤｉｓｃｕｓｓｉｏｎｏｆＶａｒｉａｎｃｅＡｎａｌｙｓｉｓ：ＤｏｕｂｌｅＦａｃｔｏｒｓ— ｎｏＲｅｐｅａｔｅｄＶａｒｉａｎｃｅＡｎａｌｙｓｉｓ
ＹＡＮＧＸｉａｏｙｏｎｇ（ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｈｅｍｉｓｔ￣ａｎｄＬｉｆｅＳｃｉｅｎｃｅ，ＧｕａｎｇｄｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＰｅｔｒｏｃｈｅｍｉｃａｌＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙ，Ｍａｏｍｉｎｇ５２５０００，Ｃｈｉｎａ）

6-2双因素方差分析

– 对地区因素提出的假设为
• H0：m1=m2=m3=m4=m5 (地区对销售量无显著影响) • H1：mj (j =1,2,…,5) 不全相等 (有显著影响)
【例】有4个品牌的彩电在5个地区销售，为分析彩电的品牌( 品牌因素)和销售地区(地区因素)对销售量的影响，对每显著个品牌在各地区的销售量取得以下数据。试分析品牌和销售地区对彩电的销售量是否有显著影响？(=0.05)
5. 误差项平方和： SSE SST SSR SSC SSRC
SST=SSR+SSC+SSRC+SSE
可重复双因素方差分析表
(基本结构)
误差来源平方和自由度
(SS)
(df)
均方 (MS)
F值
P值
F 临界值
行因素列因素交互作用
误差
SSR SSC SSRC SSE
k-1 MSR FR r-1 MSC FC (k-1)(r-1) MSRC FRC kr(m-1) MSE
replication)
3. 如果除了行因素和列因素对试验数据的单
独影响外，两个因素的搭配还会对结果产生一种新的影响，这时的双因素方差分析
称为有交互作用的双因素方差分析或可重复双因素方差分析 (Two-factor with
replication )
双因素方差分析的基本假定
1. 每个总体都服从正态分布 ▪ 对于因素的每一个水平，其观察值是来自正态分布
不同品牌的彩电在5个地区的销售量数据
品牌因素地区1
地区因素地区2 地区3 地区4
品牌1
365
350
343
340
品牌2
345
368
363

进行无重复双因素方差分析

3. 无重复试验的方差分析例1-3 有交互作用正交试验极差分析结果（P31）
3. 无重复试验的方差分析
3.1 计算偏差平方和及其自由度（1）保留K值，并计算总平方和。
3. 无重复试验的方差分析 3.1 计算偏差平方和及其自由度（2）计算

和。
（3）计算偏差平方和及其自由度
（3）计算偏差平方和及其自由度
返回经过定数据点的线性回归拟合线方程的斜率。
调用Excel内部函数slope
调用Excel内部函数intercept
于是得到回归直线方程：
yˆ 2.7393939 0.4830303xˆ
2、利用一个函数求解 LINEST函数的用法：
LINEST(known_y’s, known_x’s, const, stats) 返回一线性回归方程的参数。
(4)为简明起见,将方差分析过程与结果列成方差分析表。方差分析的目的在于区别不同方差,计算其值并进而寻求它
们间的关系与规律。
2 方差分析方法
2.2 方差分析作用
将方差分析应用于正交设计,主要为了解决如下问题: ①估计试验误差并分析其影响; ②判断试验因素及其交互作用的主次与显著性; ③给出所作结论的置信度; ④确定最优组合及其置信区间。正交设计的方差分析可以在正交表上直接进行,不必另列方差分
1、使用函数进行求解 2、趋势线法 3、使用“回归分析”分析工具
《概率论与数理统计》—浙江大学第265页例1：
为研究某一化学反应过程中，温度x (℃)对产品得率y （%）的影响，测得数据如下：
温度x(℃ ) 100 得率y（%） 45
110 120 130 140 150 160 170 180 190 51 54 61 66 70 74 78 85 89

双因素试验方差分析

SS E df E
SST
注意
df E dfT df A f B , SSE SST SSA SSB
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
SS A DA p, SSB DB p
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果，而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性能的变化就特别显著。统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析中，把它当成一个新因素来处理。我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的问题，用正交试验法比较方便。
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
B1
X 11 ... X a1
B2
X 12 ... X a2
... Bb
... ... ... X 1b ... X ab
Ti. X ij X i. T b i.
j 1
b
A1 ... Aa
a b i 1 j 1
1 b i ij i 水平Ai对试验结果的效应 a j 1 1 a j ij j 水平Bj对试验结果的效应 b i 1 试验误差 ij X ij ij
特性：

i 1
a
i
0;

j 1
b
j
0; ij ~ N 0,

双因素试验方差分析课件

结合其他统计方法
未来将结合其他统计方法，如回归分析、聚类分析等，以更全面地揭示多因素对试验结果的影响。
THANKS
感谢您的观看
重复原则
在相同条件下重复进行试验，提高试验的可靠性和准确性。
对照原则
设置对照组，以消除非试验因素的影响，突出试验因素的作用。
试验的分类
STEP 02
STEP 03
多因素试验
同时考虑多个因素对试验结果的影响。
STEP 01
双侧双因素试验
同时考虑两个因素对试验结果的影响。
单侧双因素试验
只考虑两个因素中的一个因素对试验结果的影响。
结果解释
根据方差分析的结果，解释各因素对观测值的影响程度和显著性，得出结论。
双因素试验方差分析的注意事项
数据的正态性和同方差性
样本量和试验精度
在进行方差分析之前，需要检验数据是否符合正态分布和同方差性，以确保分析结果的准确性。
适当增加样本量可以提高试验精度和降低误差，对方差分析的结果产生积极影响。
方差分析的步骤
01
02
03
04
计算平均值和方差
计算各组的平均值和方差。
检验假设条件Βιβλιοθήκη 检查是否满足方差分析的假设条件。
进行方差分析
使用适当的统计软件或公式进行方差分析，并解释结果。
结论与建议
根据分析结果得出结论，并提出相应的建议。
双因素试验方差分析
双因素试验方差分析的步骤
确定试验因素
明确试验的两个因素，并确定每个因素的取值水平。
试验设计
根据试验目的和因素水平进行试验设计，确保每个因素的每个水平都被充分考虑。
数据收集

双因素方差分析课件

双原因无反复（无交互作用）试验资料表
原因 B 原因 A
B1
A1
X11
...
...
Aa
X a1
a
T. j X ij T.1 i 1
X. j T. j a X .1
b
B2 ... Bb Ti. X ij X i. Ti. b j 1
X12 ... X1b
T1.
X 1.
... ... ... ...
➢ 有交互作用旳双原因试验旳方差分析
有检验交互作用旳效应，则两原因A，B旳不同水平旳搭配必须作反复试验。
处理措施：把交互作用当成一种新原因来处理，
即把每种搭配AiBj看作一种总体Xij。
基本假设（1）X ij 相互独立；
（2）Xij ~ N ij , 2 ，（方差齐性）。
线性统计模型
原因B
总平均旳效应
53 58 48
a
T. j Xij 197 232 183 i 1
b
Ti. X ij j 1 165 143 145 159
T 612
X i. Ti. b
55.0 47.7 48.3 53.0
X. j T. j a 49.3 58.0 45.8
X 51
解基本计算如原表
a b
双原因方差分析措施
双原因试验旳方差分析
在实际应用中，一种试验成果（试验指标）往往受多种原因旳影响。不但这些原因会影响试验成果，而且这些原因旳不同水平旳搭配也会影响试验成果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时，性能变化不大，但当同步加入元素A和B时，合金性能旳变化就尤其明显。
统计学上把多原因不同水平搭配对试验指标旳影响称为交互作用。交互作用在多原因旳方差分析中，把它当成一种新原因来处理。

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从而有FA
Se
SA /((r
/(r 1) 1)(s 1))
~
F (r
1, (r
1)(s
1)).
(3)
当H
成立时，
02
SB
2
~
2 (s 1).且SB与Se相互独立
从而有FB
Se
SB /((r
/(s 1) 1)(s 1))
~
F(s
1, (r
1)(s
1))
对给定的显著性水平，拒绝域分别为
WA {FA : FA F ((r 1),(r 1)(s 1))} WB {FB : FB F ((s 1),(r 1)(s 1))}
计算过程的化简
P
1 rs
r i1
s
2
xij
j1
2
1 r s
QA
s
i1
j1
xij
QB
1 r
s j1
r i1
xij
2
rs
R
xi2j
i1 j1
总和-平方-均值行和-平方-和-均值列和-平方-和-均值总平方和
可以证明：
SA QA P SB QB P ST R P Se R QA QB P
双因素无重复试验方差分析表
误差来源平方和自由度
均方
F 值显著性
因素 A 因素 B 误差 e 总和
SA QA P r 1
MS A
SA r 1
FA
MS A MSE
SB QB P s 1源自MSBSB s 1
FB
MSB MSe
Se R QA QB P
(r 1)(s 1)
MSe
(r
Se 1)(s
Xi• X 2
i1 j1
i1
r s
2
s
2
SB
X•j X r X•j X
i1 j1
j1
X• j
1 r
r i1
X ij
.
可以证明： ST Se SA SB
定理对前面给定的模型有
(1)
Se ~ 2 ((r 1)(s 1)). 2
(2)
当H
成立时，
01
SA
2
~
2(r
1).且S A与Se相互独立
强度有无显著影响 0.05？
知识回顾 Knowledge Review
祝您成功！
Xij i 1, 2, , r; j 1, 2, , s.
因素B 因素A
B1
B2
Bs
A1
x11
x12
x1s
A2
x21
x22
x2 s
Ar
xr1
xr 2
xrs
假设 Xij～N (ij , 2 ), i 1,, r, j 1,, s.
各 Xij 独立, ij , 2 均为未知参数 .
1
H02 : b1 H12 : b1,
b2
b2 ,
bs 0, , bs不全为零.
记号： X
1 rs
r i1
s
X ij
j 1
X i•
1 s
s j1
X ij
r s
2
ST
X ij X
i1 j1
r s
2
Se
X ij X i• X • j X
i1 j1
r
SA
s
Xi• X 2 s r
1)
ST R P rs 1
例在某种橡胶的配方中，考察了三种不同的促进剂（因素A）、四种不同份量的氧化锌（因素B）. 每个配方各试验一次，测得橡胶的强度如下：
B1 B2
B3
B4
A1
32 35 35.5 38.5
A2
33.5 36.5 38 39.5
A3
36 37.5 39.5 43
问不同的促进剂、不同份量的氧化锌分别对橡胶的
rs
r i1
s
ij ,
j1
记
i•
1 s
s
ij ,
j 1
• j
1 r
r i1
ij ,
ai
i•
,i
1, 2,
,r,
bj • j , j 1, 2, , s.
称为总平均
ai称为水平 Ai 的效应
bj 称为水平 Aj 的效应
r
s
显然， ai 0, bj 0
i1
j 1
并且，ij 可表示为
ij ai bj
双因素无重复试验方差分析的数学模型
X ij ai bj ij ,
iij～ 1N, 2(,0,,
2 ),各ij独立,
r, j 1, 2, , s,
r
s
ai 0, bj 0.
i1
j1
任务：检验假设
H01 : a1 H11 : a1,
a2
a2 ,
ar 0, , ar不全为零.
双因素无重复试验的方差分析
检验两个因素的交互效应,对两个因素的每一组合至少要做两次试验.
如果已知不存在交互作用,或已知交互作用对试验的指标影响很小,则可以不考虑交互作用.
对两个因素的每一组合只做一次试验,也可以对各因素的效应进行分析——双因素无重复试验的方差分析.
设试验结果受两个因素 A, B 的影响，因素 A有r 个水平 A1, A2, , Ar ；因素 B有s个水平 B1, B2, , Bs.在两个因素的每一个组合 Ai Bj 作一次试验，所得试验结果为