2020届河北省衡水中学高三上学期四调考试数学(理)试题(解析版)

数学试卷（理科）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}21log A x N x k =∈<<，集合A 中至少有3个元素，则（ ） A ．8k > B ．8k ≥ C ．16k > D ．16k ≥2.若()1z i i +=，则z 等于（ ） A ．1 B ．32 C ．22 D ．123.在明朝程大位《算法统宗》中有这样的一首歌谣：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔其古称浮屠，本题说它一共有7层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，共有381盏灯，问塔顶有几盏灯？（ ） A ．5 B ．6 C ．4 D ．34.已知双曲线()2222:10 0x y C a b a b-=>>，的离心率为52，则C 的渐近线方程为（ ） A ．14y x =± B ．13y x =± C.12y x =± D ．y x =±5.执行如图所示的程序框图，则输出的结果为（ ）A ．4B ．9 C.7 D ．56.已知函数()()()cos 0f x A x ωϕω=+>的部分图象如图所示，下面结论错误的是（ ）A ．函数()f x 的最小正周期为23πB ．函数()f x 的图象可由()()cos g x A x ω=的图象向右平移12π个单位得到 C.函数()f x 的图象关于直线12x π=对称D ．函数()f x 在区间 42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增7.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，以其名命名的函数() 1 0 x f x x ⎧=⎨⎩，为有理数，为无理数，称为狄利克雷函数，则关于函数()f x 有以下四个命题： ①()()1f f x =； ②函数()f x 是偶函数；③任意一个非零有理数T ，()()f x T f x +=对任意x R ∈恒成立；④存在三个点()()()()()()112233 A x f x B x f x C x f x ，，，，，，使得ABC △为等边三角形. 其中真命题的个数是（ ）A ．4B ．3 C.2 D ．18.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．10B ．20 C.40 D ．609.已知A 、B 是椭圆()222210x y a b a b +=>>长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AM 、BN 的斜率分别为()1212 0k k k k ≠，，若椭圆的离心率为32，则12k k +的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C.32D ．3 10.在棱长为6的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是BC 的中点，点P 是面11DCC D 所在的平面内的动点，且满足APD MPC ∠=∠，则三棱锥P BCD -的体积最大值是（ ） A ．36 B ．123 C.24 D ．18311.已知函数()()()3ln 1 01 1 0x x f x x x -<⎧⎪=⎨-+≥⎪⎩，，，若()f x ax ≥恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．20 3⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．30 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.[]0 1， D ．30 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，12.已知过抛物线()2:20G y px p =>焦点F 的直线l 与抛物线G 交于M 、N 两点（M 在x 轴上方），满足3MF FN =，163MN =，则以M 为圆心且与抛物线准线相切的圆的标准方程为（ ） A ．2212316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．221316333x y ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C.()()2232316x y -+-= D ．()()223316x y -+-=第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若x 、y 满足约束条件10040x x y x y -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩，则1y x -的最大值为 ．14.在ABC △中， 3 5AB AC ==，，若O 为ABC △外接圆的圆心（即满足OA OB OC ==），则A O B C ⋅的值为 ．15.已知数列{}n a 的各项均为正数，11142 n n n n a a a a a ++=-=+，，若数列11n n a a -⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n = ．16.过抛物线()220y px p =>的焦点F 的直线l 与抛物线在第一象限的交点为A ，与抛物线的准线的的交点为B ，点A 在抛物线的准线上的射影为C ，若 48AF FB BA BC =⋅=，，则抛物线的方程为 ． 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在ABC △中，内角A 、B 、C 所对的边分别为 a b c ，，，已知 4 6 2b c C B ===，，. （1）求cos B 的值； （2）求ABC △的面积. 18. （本小题满分12分）如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，11AA B B 为正方形，11BB C C 为菱形，1160BB C ∠=︒，平面11AA B B ⊥平面11BB C C .（1）求证：11B C AC ⊥；（2）设点E 、F 分别是1B C ，1AA 的中点，试判断直线EF 与平面ABC 的位置关系，并说明理由； （3）求二面角1B AC C --的余弦值. 19. （本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知()00 R x y ，是椭圆22:12412x y C +=上的一点，从原点O 向圆()()2200:8R x x y y -+-=作两条切线，分别交椭圆于P ，Q .（1）若R 点在第一象限，且直线OP ，OQ 互相垂直，求圆R 的方程； （2）若直线OP ，OQ 的斜率存在，并记为12 k k ，，求12 k k ，的值； （3）试问22OP OQ +是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由. 20.（本小题满分12分）设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为A ，过A 与2AF 垂直的直线交x 轴负半轴于Q 点，且12220F F F Q +=. （1）求椭圆C 的离心率；（2）若过A 、Q 、2F 三点的圆恰好与直线330x y --=相切，求椭圆C 的方程；（3）过2F 的直线l 与（2）中椭圆交于不同的两点M 、N ，则1F MN △的内切圆的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. 21.（本小题满分12分）已知0t >，设函数()()3231312t f x x x tx +=-++.（1）存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值，求t 的取值范围； （2）()2x f x xe m ≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立时，m 的最大值为1，求t 的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知圆锥曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数）和定点()0 3A ，，1F 、2F 是此圆锥曲线的左、右焦点，以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线2AF 的直角坐标方程；（2）经过点1F 且与直线2AF 垂直的直线l 交此圆锥曲线于M 、N 两点，求12MF NF -的值. 23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设()34f x x x =-+-. （1）解不等式()2f x ≤；（2）若存在实数x 满足()1f x ax ≤-，试求实数a 的取值范围.2016-2017学年度高三上学期四调考试高三年级数学试卷（理科）一、选择题1-5：CCDCB 6-10:DABAA 11、12：BC二、填空题13.2 14.8 15.120 16.24y x = 三、解答题17.【答案】（1）34；（2）1574.试题解析：（1）在ABC △中，sin sin b c B C =，因为 4 6 2b c C B ===，，，所以46sin sin 2B B=，即 46sin 2sin cos B B B =，又sin 0B ≠，∴3cos 4B =. （2）由（1）知3cos 4B =，从而7sin 4B =.因此37sin sin 22sin cos 8C B B B ===，21cos cos22cos 18C B B ==-=.所以 ()()7133757sin sin sin sin cos cos sin 484816A B C B C B C B C π=--=+=+=⨯+⨯=， 所以ABC △的面积为157157462164⨯⨯⨯=. 18.证明：（1）连接1BC ，在正方形11ABB A 中，1AB BB ⊥，1B C ⊥平面1ABC ，因为1AC ⊥平面1ABC ，所以11B C AC ⊥.（2）EF ∥平面ABC ，理由如下：取BC 的中点G ，连接GE 、GA ，因为E 是1B C 的中点，所以1GE BB ∥，且112GE BB =，因为F 是 1AA 的中点，所以112AF AA =. 在正方形11ABB A 中，1111 AA BB AA BB =∥，，所以GE AF ∥，且GE AF =. ∴四边形GEFA 为平行四边形，所以EF GA ∥. 因为EF ABC ⊄平面，GA ABC ⊂平面， 所以EF ABC ∥平面.（3）在平面11BB C C 内过点B 作1Bz BB ⊥，由（1）可知：11AB BB C C ⊥平面，以点B 为坐标原点，分别以BA 、1BB 所在的直线为x 、y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系B xyz -，设()2 0 0A ，，，则()10 2 0B ，，. 在菱形11BB C C 中，1160BB C ∠=︒，所以()0 1 3C -，，，()10 1 3C ，，. 设平面1ACC 的一个法向量为() 1x y =n ，，. 因为100n AC n CC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即()()()() 1 2 1 30 10 2 00x y x y ⎧⋅--=⎪⎨⋅=⎪⎩，，，，，，，，，所以320x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩即3 0 12n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，，， 由（1）可知：1CB 是平面1ABC 的一个法向量.所以()1113 0 10 3 327cos 731934n CB n CB n CB ⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⋅⎝⎭<>===-⋅+⋅+，，，，，，所以二面角1B AC C --的余弦值为77. 19.【答案】（1）()()2222228x y -+-=；（2）12-；（3）36. 试题解析：（1）由圆R 的方程知圆R 的半径22r =，因为直线OP ，OQ 互相垂直，且和圆R 相切，所以24OR r ==，即220016x y += ①又点R 在椭圆C 上，所以220012412x y += ②联立①②，解得002222x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以，所求圆R 的方程为()()2222228x y -+-=．（2）因为直线1:OP y k x =和2:OQ y k x =都与圆R 相切，所以10021221k x y k-=+，20022221k x y k -=+，化简得20122088y k k x -⋅=-，因为点()00R x y ，在椭圆C 上，所以220012412x y +=，即 22001122y x =-，所以201220141228x k k x -==--． （3）方法一（1）当直线OP 、OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 由（2）知12210k k +=，所以121221y y x x =，故2222121214y y x x =，因为()11 P x y ，，()22 Q x y ，，在椭圆C 上，所以221112412x y +=，222212412x y +=， 即22111122y x =-，22221122y x =-，所以222212121111212224x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，整理得221224x x +=，所以222212121112121222y y x x ⎛⎫⎛⎫+=-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()22222222221122121236OP OQ x y x y x x y y +=+++=+++=.方法（二）（1）当直线OP ，OQ 不落在坐标轴上时，设()11 P x y ，，()22 Q x y ，， 联立2212412y kx x y =⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22211122112424 1212k x y k k ==++，，所以()2122112124112k x y k ++=+. 同理，得()2222222224112k x y k ++=+，由（2）12210k k +=，得1212k k =-.所以()()2212222222112222122412411212k k OP OQ x y x y k k +++=+++=+++()2221112221111241224136723612121122k k k k k k ⎡⎤⎛⎫⎢⎥+- ⎪+⎢⎥⎝⎭+⎣⎦=+==++⎛⎫+- ⎪⎝⎭. （2）当直线OP 、OQ 落在坐标轴上时，显然有2236OP OQ +=. 综上：2236OP OQ +=.20.试题解析：（1）由题()0 A b ，，1F 为2QF 的中点.设()()12 0 0F c F c -，，，，则()3 0Q c -，，()3 AQ c b =--，，()2 AF c b =-，，由题2AQ AF ⊥，即22230AQ AF c b ⋅=-+=，∴()22230c a c -+-=即224a c =，∴12c e a ==. （2）由题2Rt QAF △外接圆圆心为斜边2QF 的中点()1 0F c -，，半径2r c =， ∵由题2Rt QAF △外接圆与直线330x y --=相切，∴d r =，即322c c --=，即34c c +=，∴1c =，22a c ==，3b =，故所求的椭圆C 的方程为22143x y +=.（3）设()11 M x y ，，()22 N x y ，，由题12 y y ，异号，设1F MN △的内切圆的半径为R ，则1F MN △的周长为48a =，()111142F MN S MN F M F N R R =++=△， 因此要使1F MN △内切圆的面积最大，只需R 最大，此时1F MN S △也最大，112121212F MN S F F y y y y =⋅-=-△， 由题知，直线l 的斜率不为零，可设直线l 的方程为1x my =+， 由221143x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2234690m y my ++-=，由韦达定理得122634m y y m -+=+，122934y y m -=+，（0m R ∆>∈⇒） ()1221212122121434F MN m S y y y y y y m +=-=+-=+△， 令21t m =+，则1t ≥，()12121211313F MN t S t t t t==≥-+△， 当1t =时，14F MN S R =△有最大值3，此时，0m =，max 34R =， 故1F MN △的内切圆的面积的最大值为916π，此时直线l 的方程为1x =. 21.解析：（1）()()()()2'331331f x x t x t x x t =-++=--，①当01t <<时，()f x 在()0 t ，上单调递增，在() 1t ，单调递减，在()1 2，单调递增， ∴()()2f t f ≥，由()()2f t f ≥，得3234t t -+≥在01t <<时无解，②当1t =时，不合题意；③当12t <<时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 t ，递减，在() 2t ，单调递增， ∴()()1212f f t ⎧≥⎪⎨<<⎪⎩即1332212t t ⎧+≥⎪⎨⎪<<⎩，∴523t ≤<，④当2t ≥时，()f x 在()0 1，单调递增，在()1 2，单调递减，满足条件， 综上所述：5[ )3t ∈+∞，时，存在()00 2x ∈，，使得()0f x 是()f x 在[]0 2，上的最大值. （2）()32313122x t x x tx xe m +-++≤-+对任意[0 )x ∈+∞，恒成立， 即()()3223131313122x x t t m xe x x tx x e x x t ++⎛⎫≤-+-+=-+-+ ⎪⎝⎭对任意[0 )x ∈+∞，恒成立，令()()23132x t g x e x x t +=-+-，[0 )x ∈+∞，，根据题意，可以知道m 的最大值为1，则 ()()231302x t g x e x x t +=-+-≥恒成立，由于()0130g t =-≥，则103t <≤，当103t <≤时，()()31'22x t g x e x +=-+，则()''2x g x e =-，若()''20x g x e =-=，则()'g x 在()0 ln 2，上递减，在()ln 2 +∞，上递增，则()()()max 3'ln 2212ln 202g x g t ==++->，∴()g x 在[0 )+∞，上是递增的函数.∴()()0130g x g t ≥=-≥，满足条件，∴t 的取值范围是1(0 ]3，.22.解：（1）曲线2cos :3sin x C y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩可化为22143x y +=，其轨迹为椭圆，焦点为()1 1 0F -，，()21 0F ，. 经过()0 3A ，和()21 0F ，的直线方程为113x y +=，即330x y +-=. （2）由（1）知，直线2AF 的斜率为3-，因为2l AF ⊥，所以l 的斜率为33，倾斜角为30︒， 所以l 的参数方程为31212x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). 代入椭圆C 的方程中，得213123360t t --=.最新修正版因为 M N ，在点1F 的两侧，所以111212313MF NF t t -=+=. 23.解：（1）()72 334 1 3427 4x x f x x x x x x -<⎧⎪=-+-=≤≤⎨⎪->⎩，，，， 作函数()y f x =的图象，它与直线2y =交点的横坐标为52和92，由图象知不等式()2f x ≤的 解集为59 22⎡⎤⎢⎥⎣⎦，.（2）函数1y ax =-的图象是过点()0 1-，的直线， 当且仅当函数()y f x =与直线1y ax =-有公共点时，存在题设的x . 由图象知，a 的取值范围为()1 2[ )2-∞-+∞，，.。

…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………河北省衡水中学2020届高三上学期四调考试数学（理）试题题号 一 二 三 总分 得分评卷人 得分一、选择题 本大题共12道小题。

1.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）. A. 1 B. 2C. 3D. 42.如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为6，点D ，E 分别在线段A 1C 1，B 1C 上，A 1C 1=3DC 1，B 1C =4B 1E .点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面△ABC 的面积为6，则较大部分的体积为A. 22B. 23C. 26D. 273.已知等差数列{a n }的公差不为零，其前n 项和为S n ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6C. 9D. 124.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF△答案第2页，总22页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 32B.52C.72D.925.在△ABC 中，点P 满足3BP PC =u u u v u u u v ，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r，()0,0AN AC μλμ=>>u u u r u u u r，则λμ+的最小值为（ ）A. 212+ B.31+ C.32D.526.已知AB 是抛物线y 2＝2x 的一条焦点弦，|AB |＝4，则AB 中点C 的横坐标是 ( ) A. 2 B.32C.12D.527.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC 的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A. 3B.5 C.30 D.68.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A ∩B =A ，则实数a 的取值范围为（ ） A.(－∞,0) B. (－∞,0]C. (1,+∞)D. [1,+∞))9.已知α、β都为锐角，且217sin α=21cos β=，则α﹣β＝（ ）…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A. 3π- B.3π C. 6π-D.6π 10.如图，点P 在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的面对角线BC 1上运动，则下列四个结论： ①三棱锥1A D PC -的体积不变； ②1//A P 平面1ACD ； ③1DP BC ⊥；④平面1PDB ⊥平面1ACD ． 其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个11. 设()()2222xD x a e aa =-+-+,其中e ≈2.71828，则D 的最小值为( )A. 2B.3 C.21D.3112.过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1,－7)的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ） A. 23 B. 43 C.13 D. 13评卷人 得分一、填空题 本大题共3道小题。

2019-2020学年度高三年级上学期四调考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共12小题，每题5分，共60分，下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1.已知集合(){}|10A x x x =-≤，(){}|ln B x y x a ==-，若A B A =I ，则实数a 的取值范围为（ ） A. (),0-∞ B. (],0-∞C. ()1,+∞D. [)1,+∞【答案】A 【解析】 【分析】分别求出集合A 集合B 范围，根据A B A =I 得到A 是B 子集，根据范围大小得到答案. 【详解】(){}|1001A x x x x =-≤⇒≤≤(){}|ln B x y x a x a ==-⇒>A B A A B ⋂=⇒⊆所以0a < 故答案选A【点睛】本题考查了集合的包含关系求取值范围，属于简单题.2.已知AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，4AB =，则AB 中点C 的横坐标是 ( )A. 2B.32C.12D.52【答案】B 【解析】 【分析】先设A B ，两点的坐标，由抛物线的定义表示出弦长，再由题意，即可求出中点的横坐标. 【详解】设()()1122A ,B ,x y x y ，，C 的横坐标为0x ，则1202x x x +=， 因为AB 是抛物线22y x =的一条焦点弦，所以121214AB x x p x x =++=++=，所以123x x +=，故120322x x x +==. 故选B【点睛】本题主要考查抛物线的定义和抛物线的简单性质，只需熟记抛物线的焦点弦公式即可求解，属于基础题型.3.如图，圆柱的轴截面ABCD 为正方形，E 为弧»BC的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为（ ）A.3B.C.6D.6【答案】D 【解析】 【分析】取BC 的中点H ，连接,,?EH AH ED ，则异面直线AE 与BC 所成角即为EAD ∠，再利用余弦定理求cos EAD ∠得解.【详解】取BC 的中点H ，连接,,90,EH AH EHA ∠=o设2,AB =则1,BH HE AH ===所以AE =连接,ED ED =因为//,BC AD所以异面直线AE 与BC 所成角即为,EAD ∠在EAD V 中cosEAD ∠== 故选:D【点睛】本题主要考查异面直线所成角的计算，考查余弦定理，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理计算能力.4.已知α、β都为锐角，且7sin α=、cos β=α﹣β＝（ ）A. 3π-B.3π C. 6π-D.6π 【答案】C 【解析】 【分析】由同角三角函数的关系以及两角和与差的公式即可求解.【详解】因α、β都为锐角，且7sin α=、14cos β=，所以cos α=sin β=，由()491sin sin cos cos sin 714714982αβαβαβ-=-=⋅-⋅=-=-， 且α、β都为锐角， 所以6παβ-=-故选：C【点睛】本题主要考查同角三角函数的关系以及两角和与差的正弦公式，属于基础题. 5.设a R ∈，[0,2]b π∈.若对任意实数x 都有sin(3)=sin()3x ax b π-+，则满足条件的有序实数对（a,b ）的对数为（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】试题分析：5sin(3)sin(32)sin(3)333x x x ππππ-=-+=+，，又4sin(3)sin[(3)]sin(3)333x x x ππππ-=--=-+，4(,)(3,)3a b π=-， 注意到[0,2)b π∈，只有这两组．故选B ． 【考点】三角函数【名师点睛】本题根据三角函数的图象和性质及三角函数的诱导公式，利用分类讨论的方法，确定得到,a b 的可能取值.本题主要考查考生的逻辑思维能力、基本运算求解能力、数形结合思想、分类讨论思想等. 【此处有视频，请去附件查看】6.已知F 是双曲线22:145x y C -=的一个焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若=OP OF ，则OPF △的面积为（ ） A.32B.52C.72D.92【答案】B 【解析】 【分析】设()00,P x y ，因为=OP OF 再结合双曲线方程可解出0y ，再利用三角形面积公式可求出结果.【详解】设点()00,P x y ，则2200145x y -=①．又3OP OF ===，22009x y ∴+=②．由①②得20259y =，即053y =， 0115532232OPFS OF y ∆∴==⨯⨯=g ， 故选B ．【点睛】本题易错在忽视圆锥曲线方程和两点间的距离公式的联系导致求解不畅． 7.已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，若3S ，9S ，27S 成等比数列，则93S S =（） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由题意，得29327S S S =⨯，利用等差数列的求和公式，列出方程求得12d a =，即可求解93S S 的值，得到答案.【详解】由题意，知3S ，9S ，27S 成等比数列，所以29327S S S =⨯，即219131279()3()27()222a a a a a a +++⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭， 整理得2521437821a a a =⨯，所以2111(4)()(13)a d a d a d +=++，解得12d a =，所以919135329()3()9223S a a a a a S a ++=÷=＝11113(4)2793a d a a d a +==+， 故选C.【点睛】本题主要考查了等比中项公式，以及等差数列的通项公式和前n 项和公式的应用，其中解答中熟练应用等差数列的通项公式和前n 项和公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.8.在ABC ∆中，点P 满足3BP PC =uu v uu u v，过点P 的直线与AB 、AC 所在的直线分别交于点M 、N ，若AM AB λ=u u u u r u u u r ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，则λμ+的最小值为（ ）A.12+ B.1+ C.32D.52【答案】B 【解析】 【分析】由题意得出1344AP AB AC =+uu u r uu u r uuu r ，再由AM AB λ=u u u u r u u u r ，AN AC μ=u u ur u u u r ，可得出1344AP AM AN λμ=+uu u r uuu r uuu r ，由三点共线得出13144λμ+=，将代数式λμ+与1344λμ+相乘，展开后利用基本不等式可求出λμ+的最小值.【详解】如下图所示：3BP PC =uu r uu u rQ ，即()3AP AB AC AP -=-uu u r uu u r uuu r uu u r ，1344AP AB AC ∴=+uu u r uu u r uu u r ，AM AB λ=uuu r uu u r Q ，()0,0AN AC μλμ=>>uuur uu u r ，1AB AM λ∴=uu u r uuu r ，1AC AN μ=uuu r uuu r ，1344AP AM AN λμ∴=+uu u r uuu r uuu r ，M Q 、P 、N 三点共线，则13144λμ+=.()133********λμλμλμλμμλ⎛⎫∴+=++=++≥=+ ⎪⎝⎭，当且仅当μ=时，等号成立，因此，λμ+1+，故选B. 【点睛】本题考查三点共线结论的应用，同时也考查了利用基本不等式求和式的最小值，解题时要充分利用三点共线得出定值条件，考查运算求解能力，属于中等题.9.如图，点P 在正方体1111ABCD A B C D -的面对角线1BC 上运动，则下列四个结论：①三棱锥1A D PC -的体积不变；1//A P ②平面1ACD ； 1DP BC ⊥③；④平面1PDB ⊥平面1ACD ．其中正确的结论的个数是( )A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C 【解析】 【分析】利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解．【详解】对于①，由题意知11//AD BC ，从而1//BC 平面1AD C ，故BC 1上任意一点到平面1AD C 的距离均相等，所以以P 为顶点，平面1AD C 为底面，则三棱锥1A D PC -的体积不变，故①正确； 对于②，连接1A B ，11A C ，111//AC AD 且相等，由于①知：11//AD BC ， 所以11//BA C 面1ACD ，从而由线面平行的定义可得，故②正确； 对于③，由于DC ⊥平面11BCB C ，所以1DC BC ⊥， 若1DP BC ⊥，则1BC ⊥平面DCP ，1BC PC ⊥，则P 为中点，与P 为动点矛盾，故③错误；对于④，连接1DB ，由1DB AC ⊥且11DB AD ⊥，可得1DB ⊥面1ACD ，从而由面面垂直的判定知，故④正确． 故选C ．【点睛】本题考查命题真假的判断，解题时要注意三棱锥体积求法中的等体积法、线面平行、垂直的判定，要注意使用转化的思想．10.过三点(1,3)A ，(4,2)B ，(1,7)C -的圆截直线20x ay ++=所得弦长的最小值等于（ ）A. B. D. 【答案】B 【解析】 【分析】因为圆心在弦AC 的中垂线上，所以设圆心P 坐标为（a ，-2），再利用222r AP BP =+，求得1a =，确定圆的方程.又直线过定点Q ，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q 与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.【详解】解：设圆心坐标P 为（a,-2），则r 2＝()()()()2222132422a a -++=-++，解得a=1，所以P （1，-2）.又直线过定点Q （-2，0），当直线PQ 与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长20x ay ++=被圆截得的弦长为故选B ．11.如图，三棱柱111ABC A B C -的高为6，点D ，E 分别在线段11A C ，1B C 上，111A C 3DC =，11B C 4B =E.点A ，D ，E 所确定的平面把三棱柱切割成体积不相等的两部分，若底面ABC V 的面积为6，则较大部分的体积为( )A. 22B. 23C. 26D. 27【答案】B 【解析】 【分析】延长AD 与CC 1的交点为P ，连接PE 与C 1B 1的交点为N ，延长PE 交B 1B 为M ，与面ABC 交于点Q ，得到截面为DNMA ，由题意得A 1D ＝2DC 1，由此能求出较大部分的体积． 【详解】如图，延长AD 与1CC 的交点为P ，连接PE 与11C B 的交点为N ， 延长PE 交1B B 为M ，与面ABC 交于点Q ， 得到截面为DNMA ，111A C 3DC =Q ，11B C 4B E =，M ∴，N 分别为11C B ，1B B 的中点，下部分体积11P AQC P DNC M ABQ AQC ABQ DNC 11111h V V V V S h h S h S 23323232---⎛⎫=--=⨯⨯+-⨯⨯-⨯⨯= ⎪⎝⎭V V 下． 故选B ．【点睛】本题考查几何体中两部分体积之比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间不规则几何体体积的求解方法的培养．12.设D2a=+,其中 2.71828e≈，则D的最小值为( )11【答案】C【解析】表示两点(,)xC x e与点(,A a距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，画出图象，当,,F A C三点共线时，可求得最小值.详解：由题意0a≥，2D a=+，表示两点(,)xC x e与点(,A a的距离，而点A在抛物线24y x=上，抛物线的焦点(1,0)F，准线为1x=-，则D表示A与C的距离和A与准线的距离的和加上1，由抛物线的定义可得D表示A与C的距离和加上1，由图象可知,,F A C三点共线时，且QF为曲线xy e=的垂线，此时D取得最小值，即Q为切点，设(,)mm e，由11mmeem-⋅=--，可得21mm e+=，设()2mg m m e=+，则()g m递增，且(0)1g=，可得切点(0,1)Q，即有FQ D1，故选C.点睛：本题考查直线与抛物线的综合应用问题，解答中注意运用两点间的距离公式和抛物线的定义，以及的三点共线等知识综合运用，着重考查了转化与化归思想，以及推理与运算能力，属于中档试题.二、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13.已知函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 【答案】-4【解析】【分析】 先求18f ⎛⎫⎪⎝⎭，再求18f f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【详解】因为函数()2log ,042,0x x x f x x ->⎧=⎨-≤⎩， 则211log 388f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭ ()1348f f f ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故答案为-4. 【点睛】本题考查了分段函数求值，属于简单题型.14.已知1F ，2F 分别为椭圆22:1259x y C +=的左、右焦点，且点A 是椭圆C 上一点，点M 的坐标为(2,0)，若AM 为12F AF ∠的角平分线，则2AF =___________. 【答案】52【解析】【分析】由题意可知：A 在y 轴左侧，1122AF F M AF MF ==3，根据椭圆的性质可知：|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，即可求得|AF 2|的值．【详解】解：由题意可知：∠F 1AM ＝∠MAF 2，设A 在y 轴左侧， ∴1122AF F M AF MF ==3，由|AF 1|+|AF 2|＝2a ＝10，A 在y 轴右侧时，|AF 2|10542==， 故答案为：52．【点睛】本题考查椭圆的几何性质及角平分线的性质，属于基本知识的考查．15.如图（1），在等腰直角ABC ∆中，斜边4AB =，D 为AB 的中点，将ACD ∆沿CD 折叠得到如图（2）所示的三棱锥C A BD '-，若三棱锥C A BD '-A DB '∠=_________.图（1） 图（2） 【答案】23π 【解析】【分析】【详解】解：球是三棱锥C ﹣A 'BD 的外接球，所以球心O 到各顶点的距离相等，如图．根据题意，CD ⊥平面A 'BD ，取CD 的中点E ，A 'B 的中点G ，连接CG ，DG ，因为A 'D ＝BD ，CD ⊥平面A 'BD ，所以A '和B 关于平面CDG 对称，在平面CDG 内，作线段CD 的垂直平分线，则球心O 在线段CD 的垂直平分线上，设为图中的O 点位置，过O 作直线CD 的平行线，交平面A 'BD 于点F ，则OF ⊥平面A 'BD ，且OF ＝DE ＝1，因为A 'F 在平面A 'BD 内，所以OF ⊥A 'F ，即三角形A 'OF 为直角三角形，且斜边OA '＝R =∴A 'F ==2，所以，BF ＝2，所以四边形A 'DBF 为菱形，又知OD ＝R ，三角形ODE 为直角三角形，∴OE ==2，∴三角形A 'DF 为等边三角形，∴∠A 'DF 3π=，故∠A 'DB 23π=， 故填：23π．【点睛】本题考查了三棱锥的外接球的问题，找到球心的位置是解决本题的关键．属于中档题． 16.设定义在D 上的函数()y h x =在点00(,())P x h x 处的切线方程为:()l y g x =，当0x x ≠时，若0()()0h x g x x x ->-在D 内恒成立，则称P 点为函数()y h x =的“类对称中心点”，则函数22()ln 2x f x x e=+的“类对称中心点”的坐标是________.【答案】3(,)2e【解析】【分析】由求导公式求出函数f （x ）的导数，由导数的几何意义和条件求出切线方程，再求出y ＝g （x ），设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出导数化简后利用分类讨论和导数与函数单调性的关系，判断出F （x ）的单调性和最值，从而可判断出()()0f x g x x x --的符号，再由“类对称中心点”的定义确定“类对称中心点”的坐标．【详解】解：由题意得，f ′（x ）21x e x =+，f （x 0）20022x lnx e=+（x ＞0）， 即函数y ＝f （x ）的定义域D ＝（0，+∞），所以函数y ＝f （x ）在点P （x 0，f （x 0））处的切线方程l 方程为：y ﹣（20022x lnx e +）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）， 则g （x ）＝（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e+）， 设F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）222x e =+lnx ﹣[（0201x e x +）（x ﹣x 0）+（20022x lnx e +）]， 则F （x 0）＝0，所以F ′（x ）＝f ′x ）﹣g ′（x ）21x e x =+-（0201x e x +）02011x x e x x -=+- ()()0002200111x x x x x x x e xx x e x ⎛⎫-=-+=-- ⎪⎝⎭当0＜x 0＜e 时，F （x ）在（x 0，2e x ）上递减， ∴x ∈（x 0，20e x ）时，F （x ）＜F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， 当x 0＞e 时，F （x ）在（2e x ，x 0）上递减；∴x ∈（20e x ，x 0）时，F （x ）＞F （x 0）＝0，此时()()00f x g x x x --＜， ∴y ＝F （x ）在（0，e ）∪（e ，+∞）上不存在“类对称点”．若x 0＝e ，()22211()x x e x e x e e xe -⎛⎫--= ⎪⎝⎭＞0，则F （x ）在（0，+∞）上是增函数， 当x ＞x 0时，F （x ）＞F （x 0）＝0，当x ＜x 0时，F （x ）＜F （x 0）＝0，故()()00f x g x x x --＞，即此时点P 是y ＝f （x ）的“类对称点”，综上可得，y ＝F （x ）存在“类对称点”，e 是一个“类对称点”的横坐标，又f （e ）22322e lne e =+=，所以函数f （x ）的“类对称中心点”的坐标是32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，， 故答案为：32e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查利用导数求函数的单调增区间，求函数的最值问题、新定义的问题，考查了分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，以及化简变形能力，此题是难题． 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17.在平面四边形ABCD 中，A C π∠+∠=，1AB =，3BC =，2CD DA ==.（1）求C ∠；（2）若E 是BD 的中点，求CE .【答案】（1）60C =o ；（2）2CE =【解析】【分析】（1）利用余弦定理进行化简，求出C ；（2）利用向量法求出CE ．【详解】（1）由题设及余弦定理得：2222cos BD BC CD BC CD =+-⋅1312cos C C =-， BD 2＝AB 2+DA 2﹣2AB •DA cos A ＝5+4cos C ，所以cos C 12=，60C ∴=o ；（2）由1()2CE CD CB =+u u u r u u u r u u u r ，得2221(2)4CE CD CB CD CB =++⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1119(49223)424=++⨯⨯⨯=所以2CE =.【点睛】本题考查余弦定理的应用，考查了向量数量积运算，属于中档题．18. 如图，已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面PAB 内的正投影为点E ，连结PE 并延长交AB 于点G.（Ⅰ）证明：G 是AB 的中点；（Ⅱ）在图中作出点E 在平面PAC 内的正投影F （说明作法及理由），并求四面体PDEF 的体积．【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为43. 【解析】试题分析：证明.AB PG ⊥由PA PB =可得G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE 在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF 四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 试题解析：（Ⅰ）因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以.AB PD ⊥因为D 在平面PAB 内的正投影为E ，所以.AB DE ⊥所以AB ⊥平面PED ，故.AB PG ⊥又由已知可得，PA PB =，从而G 是AB 的中点.（Ⅱ）在平面PAB 内，过点E 作PB 的平行线交PA 于点F ，F 即为E 在平面PAC 内的正投影. 理由如下：由已知可得PB PA ⊥，PB PC ⊥，又EF PB P ,所以EF PA EF PC ⊥⊥，,因此EF ⊥平面PAC ，即点F 为E 在平面PAC 内的正投影.连结CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ，所以D 是正三角形ABC 的中心.由（Ⅰ）知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，故2.3=CD CG 由题设可得PC ⊥平面PAB ，DE ⊥平面PAB ，所以DE PC P ，因此21,.33==PE PG DE PC由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA =，可得2,==DE PE在等腰直角三角形EFP 中，可得 2.==EF PF所以四面体PDEF 的体积114222.323V =⨯⨯⨯⨯= 【考点】线面位置关系及几何体体积计算【名师点睛】文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,注意防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主.【此处有视频，请去附件查看】19.设椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的右顶点为A ，上顶点为BAB = ，1）求椭圆方程；，2，设直线:(0)l y kx k =<与椭圆交于P ，Q 两点，l 与直线AB 交于点M ，且点P，M 均在第四象限．若BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，求k 的值．【答案】，1，22194x y +=，(2)12-， 【解析】分析：，I ）由题意结合几何关系可求得3,2a b ==.则椭圆的方程为22194x y +=. ，II ）设点P 的坐标为()11,x y ，点M 的坐标为()22,x y ，由题意可得215x x =.易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩可得2632x k =+.由方程组221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩可得1x =结合215x x =，可得89k =-，或12k =-.经检验k 的值为12-. 详解：（I ）设椭圆的焦距为2c ，由已知得2259c a =，又由222a b c =+，可得23a b =．由||AB ==,从而3,2a b ==． 所以，椭圆的方程为22194x y +=． （II ）设点P 的坐标为11(,)x y ，点M 的坐标为22(,)x y ，由题意，210x x >>，点Q 的坐标为11(,)x y --．由BPM △的面积是BPQ V 面积的2倍，可得||=2||PM PQ ，从而21112[()]x x x x -=--，即215x x =．易知直线AB 的方程为236x y +=，由方程组236,,x y y kx +=⎧⎨=⎩消去y ，可得2632x k =+．由方程组的221,94,x y y kx ⎧+⎪=⎨⎪=⎩消去y ，可得1x =．由215x x =，5(32)k =+，两边平方，整理得2182580k k ++=，解得89k =-，或12k =-． 当89k =-时，290x =-<，不合题意，舍去；当12k =-时，212x =，1125x =，符合题意． 所以，k 的值为12-． 点睛：解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．20.如图，四边形ABCD 是平行四边形，平面AED ⊥平面ABCD ，//EF AB ，2AB =，3DE =，1BC EF ==，AE =60BAD ︒∠=，G 为BC 的中点.（1）求证：平面BED ⊥平面AED ；（2）求直线EF 与平面BED 所成角的正弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】【分析】 （1）根据余弦定理求出BD =BD ⊥AD ，再根据面面垂直的判定定理即可证明；（2）先判断出直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角，再根据余弦定理和解直角三角形即可求出答案． 的【详解】（1）证明：在ABD ∆中，1AD =，2AB =，60BAD ︒∠=，由余弦定理可得BD =90ADB ︒∠=，即BD AD ⊥，又∵平面AED ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，平面AED I 平面ABCD AD =，∴BD ⊥平面AED ，∵BD ⊂平面BED ，∴平面BED ⊥平面AED .（2）∵//EF AB ，∴直线EF 与平面BED 所成的角即为直线AB 与平面BED 所形成的角， 过点A 作AH DE ⊥于点H ，连接BH ，又平面BED I 平面AED ED =，由（1）知AH ⊥平面BED ，∴直线AB 与平面BED 所成的角为ABH ∠，在ADE ∆，1AD =，3DE =，AE =2cos 3ADE ∠=，∴sin ADE ∠=，∴AH AD =Rt AHB ∆中，sin AH ABH AB ∠==∴直线EF 与平面BED 所成角的正弦值6.【点睛】本题考查了平面与平面的垂直，直线与平面所成的角，考查了空间想象能力，运算能力和推理论证能力，属于中档题．21.设抛物线Γ的方程为22y px =，其中常数0p >，F 是抛物线Γ的焦点.（1）设A 是点F 关于顶点O 的对称点，P 是抛物线Γ上的动点，求||||PA PF 的最大值； （2）设2p =，1l ，2l 是两条互相垂直，且均经过点F 的直线，1l 与抛物线Γ交于点A ，B ，2l 与抛物线Γ交于点C ，D ，若点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，求点G 的轨迹方程.【答案】（1；（2）23y x =-【解析】【分析】（1）求得A 的坐标，设出过A 的直线为y ＝k （x 2p +），k ＝tan α，联立抛物线方程，运用判别式为0，求得倾斜角，可得所求最大值；（2）求得F （1，0），设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3），D （x 4，y 4），G （x ，y ），设l 1：y ＝k （x ﹣1），联立抛物线方程，运用韦达定理，以及两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，结合向量的坐标表示，以及消元，可得所求轨迹方程．【详解】（1）A 是点(,0)2p F 关于顶点O 的对称点，可得(,0)2p A -， 设过A 的直线为()2p y k x =+，tan k α=， 联立抛物线方程可得22222(2)04k p k x k p p x +-+=， 由直线和抛物线相切可得2242(2)0k p p k p ∆=--=，解得1k =±，可取1k =，可得切线的倾斜角为45°， 由抛物线的定义可得||11||sin(90)cos PA PF αα︒==-，而α的最小值为45°， ||||PA PF ； （2）由24y x =，可得(1,0)F ，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，()G x y ,， 设1:(1)l y k x =-，联立抛物线24y x =，可得2222(24)0k x k x k -++=， 即有12242x x k+=+，12124()2y y k x x k k +=+-=， 由两直线垂直的条件，可将k 换为1k-，可得23424x x k +=+，344y y k +=-， 点G 满足4FG FA FB FC FD =+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，可得123412344(1,)(4,)x y x x x x y y y y -=+++-+++， 即为2123424444x x x x x k k =+++=++，1234444y y y y y k k =+++=-+， 可得222211()23y k k x k k=-=+-=-，则G 的轨迹方程为23y x =-. 【点睛】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查直线和抛物线的位置关系，注意联立直线方程和抛物线方程，运用判别式和韦达定理，考查向量的坐标表示，以及化简运算能力，属于中档题．22.设,a b ∈R ，||1a ….已知函数32()63(4)f x x x a a x b =---+，()()xg x e f x =.（1）求()f x 的单调区间；（2）已知函数()y g x =和x y e =的图象在公共点00(,)x y 处有相同的切线，（i ）求()f x 在0x x =处的导数；（ⅱ）若关于x 的不等式()x g x e „在区间[]001,1x x -+上恒成立，求b 的取值范围.【答案】（1）单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）0，（ⅱ）[7,1]-【解析】【分析】（1）求出函数f （x ）的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对定义域分段，列表后可得f （x ）的单调区间；（2）（i ）求出g （x ）的导函数，由题意知()()0000'x x g x e g x e ⎧=⎪⎨=⎪⎩，求解可得()()001'0f x f x ⎧=⎪⎨=⎪⎩．得到f （x ）在x ＝x 0处的导数等于0；（ii ）由（I ）知x 0＝a ．且f （x ）在（a ﹣1，a ）内单调递增，在（a ，a +1）内单调递减，故当x 0＝a 时，f （x ）≤f （a ）＝1在[a ﹣1，a +1]上恒成立，从而g （x ）≤e x 在[x 0﹣1，x 0+1]上恒成立．由f （a ）＝a 3﹣6a 2﹣3a （a ﹣4）a +b ＝1，得b ＝2a 3﹣6a 2+1，﹣1≤a ≤1．构造函数t （x ）＝2x 3﹣6x 2+1，x ∈[﹣1，1]，利用导数求其值域可得b 的范围．【详解】（1）由32()63(4)f x x x a a x b =---+，可得2()3123(4)3()((4))f x x x a a x a x a '=---=---，令()0f x '=，解得x a =，或4x a =-.由||1a „，得4a a <-.当x 变化时，()f x '，()f x 的变化情况如下表：∴()f x 的单调递增区间为(,)a -∞，(4,)a -+∞，单调递减区间为(,4)a a -；（2）（ⅰ）∵()(()())xg x e f x f x ''=+，由题意知0000()()x x g x e g x e ⎧'=⎪⎨=⎪⎩， ∴0000000()(()())x x x x f x e e e f x f x e'⎧=⎪⎨+=⎪⎩，解得00()1()0f x f x =='⎧⎨⎩.∴()f x 在0x x =处的导数等于0； （ⅱ）∵()x g x e „，00[1,1]x x x ∈-+，由0x e >，可得()1f x „.又∵0()1f x =，0()0f x '=，故0x 为()f x 的极大值点，由（1）知0x a =.另一方面，由于||1a „，故14a a +<-，由（1）知()f x 在(1,)a a -内单调递增，在(,1)a a +内单调递减，故当0x a =时，()()1f x f a =„在[1,1]a a -+上恒成立，从而()x g x e „在[]001,1x x -+上恒成立.由32()63(4)1f a a a a a a b =---+=，得32261b a a =-+，11a -剟. 令32()261t x x x =-+，[1,1]x ∈-，∴2()612t x x x '=-，令()0t x '=，解得2x =（舍去），或0x =. ∵(1)7t -=-，(1)3t =-，(0)1t =，故()t x 的值域为[7,1]-.∴b 的取值范围是[7,1]-.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，考查了利用研究过曲线上某点处的切线方程，训练了恒成立问题的求解方法，体现了数学转化思想方法，是压轴题．。

名校精编卷 第1页（共6页） 名校精编卷 第2页（共6页） 河北省衡水中学 高三年级上学期四调考试数学（理）试题 数学 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．下列命题正确的个数为 ①梯形一定是平面图形； ②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行； ③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面； ④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2．已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和，若S 8=4S 4，则a 4= A．52 B ．3 C ．72 D ．4 3．已知双曲线my 2−x 2=1(m ∈R)与抛物线x 2=8y 有相同的焦点，则该双曲线的渐近线方程为 A ．y =±√3x B ．y =±3x C ．y =±13x D ．y =±√33x 4．如图，一只蚂蚁从点A 出发沿着水平面的线条爬行到点C ，再由点C 沿着置于水平面的长方体的棱爬行至顶点B ，则它可以爬行的不同的最短路径有A ．40条B ．60条C ．80条D ．120条 5．函数f(x)=x 2−2|x|的图象大致是 A ． B ． C ． D ． 6．若tan(x 2+π4)+tan(x 2−π4)=32，则tanx = A ．−2 B ．2 C ．34 D ．−34 7．某县教育局招聘了8名小学教师，其中3名语文教师，3名数学教师，2名全科教师，需要分配到A,B 两个学校任教，其中每个学校都需要2名语文教师和2名数学教师，则分配方案种数为 A ．72 B ．56 C ．57 D ．63 8．一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 A ．96π+36 B ．72π+48 C ．48π+96 D ．24π+48 9．已知函数f(x)=cosxsin2x ，下列结论不正确的是 A ．y =f(x)的图象关于点(π,0)中心对称 B ．y =f(x)既是奇函数，又是周期函数 C ．y =f(x)的图象关于直线x =π2对称 D ．y =f(x)的最大值为√32 此卷只装订不密封班级姓名准考证号考场号座位号名校精编卷 第3页（共6页）名校精编卷 第4页（共6页） 10．如图所示，某几何体由底面半径和高均为5的圆柱与半径为5的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为A ．2000π9B ．4000π27C ．81πD ．128π11．已知y 2=4x 的准线交x 轴于点Q ，焦点为F ，过Q 且斜率大于0的直线交y 2=4x 于A,B ，∠AFB =600，则|AB|=A ．4√76B ．4√73C ．4D ．312．已知f (x )={x 2,x ≤0−x (e 1−x +ax 2−a),x >0 是减函数，且f (x )+bx 有三个零点，则b 的取值范围为A ．(0,ln22)∪[e −1,+∞)B ．(0,ln22)C ．[e −1,+∞)D ．{ln22}∪[e −1,+∞)二、解答题13．数列{a n }满足a 1=6，a n+1=6a n −9a n （n ∈N ∗）.（1）求证：数列{1a n −3}是等差数列；（2）求数列{lga n }的前999项和.14．在四棱锥P −ABCD ，AB//CD ，∠ABC =900,BC =CD =PD =2，AB =4,PA ⊥BD ，平面PBC ⊥平面PCD ，M,N 分别是AD,PB 中点.（1）证明：PD ⊥平面ABCD ；（2）求MN 与平面PDA 所成角的正弦值. 15．在ΔABC 中，内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c ，已知b 2+c 2−a 2=accosC +c 2cosA . （1）求角A 的大小； （2）若ΔABC 的面积S ΔABC =25√34，且a =5，求sinB +sinC . 16．如图，直线AQ ⊥平面α，直线AQ ⊥平行四边形，四棱锥的顶点P 在平面α上，AB =√7，AD =√3，AD ⊥DB ，AC ∩BD =O,OP//AQ,AQ =2，M,N 分别是AQ 与CD 的中点. （1）求证：MN//平面QBC ； （2）求二面角M −CB −Q 的余弦值. 17．如图，椭圆C 1：x 2a +y 2b =1(a >b >0)的左右焦点分别为F 1,F 2，离心率为√32，过抛物线C 2：x 2=4by 焦点F 的直线交抛物线于M,N 两点，当|MF|=74时，M 点在x 轴上的射影为F 1，连接NO,MO)并延长分别交C 1于A,B 两点，连接AB ，ΔOMN 与ΔOAB 的面积分别记为S ΔOMN ，S ΔOAB ，设λ= S ΔOMN S ΔOAB . （1）求椭圆C 1和抛物线C 2的方程； （2）求λ的取值范围. 18．已知函数f(x)=ax 32−lnx −23的图象的一条切线为x 轴.（1）求实数a的值；（2）令g(x)=|f(x)+f′(x)|，若存在不相等的两个实数x1,x2满足g(x1)=g(x2)，求证：x1x2<1.三、填空题19．已知向量m⃑⃑ ,n⃑夹角为600，且|m⃑⃑ |=1，|2m⃑⃑ +n⃑ |=√10，则|n⃑ |=_______.20．已知直三棱柱ABC−A1B1C1中，∠ABC=1200,AB=2,BC=CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_______.21．某校毕业典礼由6个节目组成，考虑整体效果，对节目演出顺序有如下要求：节目甲必须排在前三位，且节目丙、丁必须排在一起，则该校毕业典礼节目演出顺序的编排方案共有______种.22．三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，ΔABC为正三角形，外接球表面积为12π，则三棱锥P−ABC的体积V P−ABC的最大值为______.名校精编卷第5页（共6页）名校精编卷第6页（共6页）名校精编卷答案 第1页（共16页）名校精编卷答案 第2页（共16页） 河北省衡水中学高三年级上学期四调考试数学（理）试题数学 答 案参考答案1．C【解析】分析：逐一判断每个命题的真假，得到正确命题的个数.详解：对于①，由于两条平行直线确定一个平面，所以梯形可以确定一个平面，所以该命题是真命题；对于②，两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行或异面或相交，所以该命题是假命题；对于③，两两相交的三条直线最多可以确定三个平面，是真命题；对于④，如果两个平面有三个公共点，则这两个平面相交或重合，所以该命题是假命题.故答案为：C.点睛：(1)本题主要考查空间直线平面的位置关系，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和空间想象能力.(2)对于类似这种空间直线平面位置关系的命题的判断，一般可以利用举反例的方法和直接证明法,大家要灵活选择方法判断.2．C【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，代入S 8=4S 4即可求出a 1=12，再利用等差数列通项公式就能算出a 4.【详解】∵{a n }是公差为1的等差数列，S 8=4S 4，∴8a 1+8×7×12=4×(4a 1+4×3×12)解得a 1=12，则a 4=12+3×1=72，故选C.【点睛】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和公式的运用，是基础题。