平面向量的坐标运算

平面向量的坐标表示与运算一、引言平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。

为了方便我们进行计算和分析，我们可以使用坐标表示来表示和计算平面向量。

本教案将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本的运算规则。

二、平面向量的坐标表示我们知道，在平面直角坐标系中，每一个点都可以表示为一个有序的坐标 (x, y)。

同样，一个平面向量也可以用一组有序数表示，分别代表向量在 x 轴和 y 轴上的分量。

三、平面向量的坐标运算1. 向量的加法向量的加法是指将两个向量相加，求得它们的和。

在向量的坐标表示中，向量的加法可以通过将两个向量的对应分量相加得到。

2. 向量的数乘向量的数乘是指将一个向量与一个实数相乘，求得新的向量。

在向量的坐标表示中，向量的数乘可以通过将向量的每一个分量与实数相乘得到。

3. 向量的减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量，求得它们的差。

在向量的坐标表示中，向量的减法可以通过将被减向量的每一个分量分别减去减向量的对应分量得到。

4. 向量的数量积向量的数量积是指将两个向量相乘得到一个实数。

在向量的坐标表示中，向量的数量积可以通过将两个向量的对应分量相乘，并将得到的乘积相加得到。

5. 向量的夹角向量的夹角是指两个向量之间的夹角大小。

在向量的坐标表示中，可以利用向量的数量积公式求得两个向量的夹角。

四、实例分析考虑以下平面向量 A 和 B：A = (2, 3)B = (4, -1)我们可以通过向量的坐标运算来求解以下问题：1. 计算 A + B2. 计算 2A3. 计算 A - B4. 计算 A·B5. 计算向量 A 与向量 B 之间的夹角五、总结通过本教案我们学习了平面向量的坐标表示方法以及常见的运算规则，这些知识对于解决平面几何问题非常有用。

希望同学们能够通过练习和实践，巩固这些知识，提升自己的数学能力。

别业岁月悠长，有暗香盈袖。

冗长了日与夜，空掷了乐与悲。

遂撰文三两卷，遣尽浮光，以飨后学。

谨祝诸位：学业有成，前程似锦。

编者：李健，匠人，喜于斗室伏案两三卷，愁与身在红尘浪荡无涯。

写过一些铅字附庸了世态，跑过几个码头了断了青春。

如今归去来兮，只为了挥洒一方三尺讲台。

第2讲 平面向量基本定理及坐标表示一．知识梳理 1．平面向量基本定理如果12,e e 是平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内的任意向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+．其中不共线的向量12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算 （1）向量坐标的求法：①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量坐标． ②设1122(,),(,)A x y B x y ，则2121(,)AB x x y y =--；||(AB x =（2）向量的加法、减法、数乘及向量的模：设1122(,),(,)a x y b x y ==1212(,)a b x x y y +=++；1212(,)a b x x y y -=--；11(,)a x y λλλ=；21||a x y =+．3．平面向量共线的坐标表示设1122(,),(,)a x y b x y ==，其中0b ≠，则12210a b x y x y ⇔-=∥． 二．要点整合 1．辨明三个易误点（1）注意能作为基底的两个向量必须是不共线的．（2）要注意运用两个向量,a b 共线坐标表示的充要条件12210x y x y -=．（3）要注意区分点的坐标与向量的坐标的不同，尽管形式上一样，但意义完全不同，向量坐标中既有大小的信息也有方向的信息．2．有关平面向量的两类本质（1）平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． （2）向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 三．典例精析1．平面向量基本定理及其应用【例题1】（1）在梯形ABCD 中，,2,,A B C D A B C D M N=∥分别是,C D B C 的中点，若AB AM AN λμ=+，则λμ+=（ ）1.5A 2.5B 3.5C 4.5D （2）在ABC 中，P 是AB 上一点，且21,33CP CA CB Q =+是BC 的中点，AQ 和CP 的交点为M ，又CM tCP =，则t = ． 【变式1】（1）如图，在ABC 中，P 为线段AB 上的一点，OP xOA yOB =+，且2BP PA =，则（ ）21.,33A x y == 12.,33B x y == 13.,44C x y == 31.,44D x y ==（2）如图，在ABC 中，13AN NC =，P 是BN 上一点，若211AP mAB AC =+，则m = ．2．平面向量的坐标运算【例题2】（1）已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----．设,,AB a BC b CA c ===，且3,2C M c C N b==-． （Ⅰ）求33a b c +-；（Ⅱ）求满足a mb nc =+的实数,m n ； （Ⅲ）求,M N 的坐标及向量MN 的坐标．（2）给定两个长度为1的平面向量OA 和OB ，它们的夹角为23π．如图，点C 在以O 为圆心的AB 上运动．若(,)OC xOA yOB x y R =+∈，则x y +的最大值为 ．【变式2】（1）已知O 为坐标原点，点C 是线段AB 上一点，且(1,1),(2,3)A C ，||2||BC AC =，则向量OB 的坐标是 ．（2）（2014福建质检）如图，设向量(3,1),(1,3)OA OB ==，若OC =OA λOB μ+，且1λμ≥≥，则用阴影表示C 点所有可能的位置区域正确的是（ ）（3）已知||||2,a b a b ==⊥，若向量c 满足||2c a b --=，则||c 的取值范围是 ．3．平面向量共线的坐标表示）两向量共线的充要条件的作用【例题3】（1）已知向量1(8,),(,1)2a xb x ==，其中0x >，若(2)(2)a b a b -+∥，则x 的值为（ ）.4A .8B .0C .2D（2）已知点(4,0),(4,4),(2,6)A B C ，则AC 与OB 的交点P 的坐标为 ． （3）（2014广东佛山）设(1,2),(,1),(,0)OA OB a OC b =-=-=-，0a >，0,b O >为坐标原点，若,,A B C 三点共线，则12a b+的最小值为（ ）.2A .4B .6C .8D 【变式3】（1）已知向量(1,3),(2,1),(1,2)OA OB OC k k =-=-=+-，若,,A B C 三点不能构成三角形，则实数k 应满足的条件是（ ）.2A k =- 1.2B k =.1C k = .1D k =- （2）（2015河北唐山）设向量,a b 满足||25,(2,1)a b ==，且a 与b 的方向相反，则a 的坐标为 ．（3）（2014陕西）设02πθ<<，向量(sin 2,cos ),(cos ,1)a b θθθ==，若a b ∥，则tan θ= ．四．针对训练.A 组 基础训练1．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为DC 边的中点，且,AB a AD b ==，则BE =（ ）1.2A b a -1.2B b a + 1.2C a b + 1.2D a b - 2．（2015宁夏质检）如图，设O 为平行四边形ABCD 两对角线的交点，给出下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB ．其中可作为该平面内其他向量的基底的是（ ）.A ①② .B ①③ .C ①④ .D ③④3．已知向量3,1),(0,2)a b =-=(．若实数k 与向量c 满足2a b kc +=，则c 可以是（ ）.,1)A - .(3)B - .(,1)C - .(3)D - 4．已知点(1,3),(4,1)A B -，则与向量AB 同方向的单位向量是（ ）34.(,)55A - 43.(,)55B - 34.(,)55C - 43.(,)55D -5．（2015吉林长春）如图，设向量12,OA e OB e ==，若12,e e 不共线，且点P 在线段AB 上，||:||2AP PB =，则OP =（ ）1212.33A e e -1221.33B e e + 1212.33C e e + 1221.33D e e -6．已知ABC 中，点D 在BC 边上，且2,s CD DB CD r AB AC ==+，则r s +的值是（ ） 2.3A 4.3B .3C - .0D 7．若三点(1,5),(,2),(2,1)A B a C ----共线，则实数a 的取值范围是 ．8．在ABC 中，点P 在BC 上，且2BP PC =，点Q 是AC 中点，若(4,3)PA =，(1,5)PQ =，则BC = ．9．（2015江西九江）{|(1,1)(1,2)}P a a m m R ==-+∈，{|(1,2)Q b b ==-(2,3),}n n R +∈是两个向量集合，则PQ 等于 ．10．ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若(,)p a c b =+，(,)q b a c a =--，且p q ∥，则角C = ． 11．已知(1,0),(2,1)a b ==．（Ⅰ）当k 为何值时，ka b -与2a b +共线；（Ⅱ）若23,AB a b BC a mb =+=+且,,A B C 三点共线，求m 的值．12．（2015山东莱芜）如图，已知ABC 中，点C 是以A 为中点的点B 的对称点，D 将OB分为2:1两部分的一个内分点，DC 和OA 交于点E ，设OA a =，OB b =． （Ⅰ）用a 和b 表示向量,OC DC ； （Ⅱ）若OE OA λ=，求实数λ的值．.B 组 能力提升1．在平面直角坐标系中，点(0,0),(6,8)O P ，将向量OP 绕点O 按逆时针方向旋转34π后得到向量OQ ，则Q 点的坐标是（ ）.(2)A - .(2)B - .(,2)C -- .(,2)D - 2．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于,A B 两点，且||OA OB +=||OA OB -，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为（ ）.2A .2B - .2C 或2- D3．如图，在四边形,,,A B C D 中，1AB BC CD ===，且90B ∠=，BCD ∠=135，记向量,AB a AC b ==，则AD =（ ）2(1)2b -+2.(1)2B b ++ 2.(1)2C b +-2(1)2b +-4．（2014湖南）在平面直角坐标系中，O 为原点，(1,0),(3,0)A B C -，动点D 满足||1CD =，则||OA OB OD ++的取值范围是（ ）.[4,6]A .191]B .[7]C .71]D 5．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点(3,1),(1,3)A B -，若点C 满足(,)OC OA OB R αβαβ=+∈且1αβ+=，则点C 的轨迹方程为 ．6．设向量1122(,),(,)a x y b x y ==，定义一种向量积1122(,)a b a b a b ⊗=，已知向量1(2,),(,0)23m b π==，点(,)P x y 在sin y x =图像上运动．Q 是函数()y f x =图像上的点，且满足OQ m OP n =⊗+（其中O 为坐标原点），则函数()y f x =的值域是 ．7．如图，,,A B C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D ，若OC mOA nOB =+，则m n +的取值范围是 ．8．如图，设,Ox Oy 为平面内相交成60角的两条数轴，12,e e 分别是x 轴、y 轴正方向同方向的单位向量，若12OP xe ye =+，则把有序实数对(,)x y 叫做向量OP 在坐标系xOy 中的坐标．若OP 的坐标为(1,1)． （Ⅰ）求||OP ；（Ⅱ）过点P 作直线l 分别与x 轴、y 轴正方向交于点,A B ，试确定,A B 的位置，使AOB 面积最小，并求出最小值．。

平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。

平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。

本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。

一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。

平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。

1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。

2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。

3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。

二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。

三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。

四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。

五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。

数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。

根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。

2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。

3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。

平面向量的坐标运算[学习目标] 1。

了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐标表示.2.掌握两个向量和、差及数乘向量的坐标运算法则.3.正确理解向量坐标的概念，要把点的坐标与向量的坐标区分开来．知识点一 平面向量的坐标表示（1)向量的正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． （2)向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底,对于平面内的一个向量a ，有且只有一对实数x ，y 使得a ＝x i ＋y j ，则有序数对(x ,y ）叫做向量a 的坐标，a ＝(x ，y ）叫做向量的坐标表示．(3）向量坐标的求法：在平面直角坐标系中,若A (x ,y ）,则错误!＝（x ，y )，若A (x 1，y 1)，B (x 2,y 2），则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1）．思考 根据下图写出向量a ，b ，c ，d 的坐标，其中每个小正方形的边长是1。

答案 a ＝（2，3）,b ＝（－2,3）,c ＝（－3,－2），d ＝（3,－3）．知识点二 平面向量的坐标运算（1)若a ＝(x 1，y 1），b ＝(x 2，y 2）,则a ＋b ＝（x 1＋x 2，y 1＋y 2），即两个向量和的坐标等于这两个向量相应坐标的和．（2)若a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），则a－b＝(x1－x2,y1－y2)，即两个向量差的坐标等于这两个向量相应坐标的差．(3）若a＝(x,y),λ∈R，则λa＝(λx,λy)，即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标．（4)已知向量错误!的起点A(x1，y1)，终点B(x2，y2），则错误!＝(x2－x1，y2－y1)．思考已知a＝错误!，b＝错误!,c＝错误!,如下图所示，写出a，b，c的坐标,并在直角坐标系内作出向量a＋b，a－b以及a－3c，然后写出它们的坐标．答案易知:a＝（4，1)，b＝(－5，3），c＝（1，1），错误!＝a＋b＝（－1,4),错误!＝a－b＝（9,－2），错误!＝a－3c＝（1，－2）．题型一平面向量的坐标表示例1已知边长为2的正三角形ABC，顶点A在坐标原点,AB边在x轴上，C在第一象限，D 为AC的中点,分别求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标．解 如图,正三角形ABC 的边长为2，则顶点A （0，0），B （2,0),C (2cos60°,2sin 60°)，∴C （1，错误!），D (错误!，错误!),∴错误!＝(2，0)，错误!＝（1，错误!），错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－2，错误!－0）＝（－错误!，错误!）．跟踪训练1 在例1的基础上，若E 为AB 的中点，G 为三角形的重心时,如何求向量错误!,错误!，错误!，错误!的坐标？解 由于B （2,0)，E (1,0），C (1，错误!）,D （错误!，错误!)，G （1，错误!),所以CE →＝（1－1,0－错误!)＝（0，－错误!),错误!＝（1，错误!)，错误!＝(1－2，错误!－0)＝（－1，错误!)，错误!＝（错误!－1，错误!－错误!)＝（－错误!,错误!)．题型二 平面向量的坐标运算例2 已知平面上三点A （2,－4）,B (0，6）,C (－8，10),求（1）错误!－错误!;（2）错误!＋2错误!；(3)错误!－错误!错误!。

平面向量的基本运算平面向量是指在二维平面上具有大小和方向的箭头。

平面向量的基本运算包括加法、减法、数乘和点积。

本文将详细介绍这些运算的定义、性质和计算方法，以及它们在实际问题中的应用。

一、平面向量的定义和表示在平面直角坐标系中，设点A的坐标为(Ax, Ay)，点B的坐标为(Bx, By)，则向量AB的表示为→AB = (x, y)。

其中，x = Bx - Ax表示向量在x轴上的分量，y = By - Ay表示向量在y轴上的分量。

向量的大小用向量的模或长度来表示，记作|→AB|或|→a|。

二、平面向量的加法设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a + →b的定义为：→a + →b = (a1 + b1, a2 + b2)。

即将两个向量的对应分量相加得到新的向量。

三、平面向量的减法设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a - →b的定义为：→a - →b = (a1 - b1, a2 - b2)。

即将两个向量的对应分量相减得到新的向量。

四、平面向量的数乘设向量→a = (a1, a2)，数k为实数，则向量k→a的定义为：k→a = (ka1, ka2)。

即将向量的每个分量都乘以实数k得到新的向量。

五、平面向量的点积设向量→a = (a1, a2)，向量→b = (b1, b2)，则向量→a · →b的定义为：→a · →b = a1b1 + a2b2。

即将两个向量的对应分量相乘并求和。

六、平面向量的运算性质1. 加法的交换律：→a + →b = →b + →a2. 加法的结合律：→a + (→b + →c) = (→a + →b) + →c3. 减法的定义：→a - →b = →a + (-→b)4. 数乘的结合性：k(→a + →b) = k→a + k→b5. 数乘的分配律：(k + m)→a = k→a + m→a6. 数乘的分配律：k(→a · →b) = (k→a) · →b = →a · (k→b)7. 点积的交换律：→a · →b = →b · →a8. 点积的分配律：→a · (→b + →c) = →a · →b + →a · →c七、平面向量的计算方法1. 求向量的模：|→a| = √(a1^2 + a2^2)2. 求两个向量的夹角θ：cosθ = (→a · →b) / (|→a| |→b|)，其中0 ≤ θ≤ π3. 求两个向量的夹角θ的余弦值：cosθ = (→a · →b) / (|→a| |→b|)，其中-1 ≤ cosθ ≤ 14. 判断两个向量是否垂直：→a · →b = 0，则→a与→b垂直5. 判断两个向量是否平行：→a × →b = 0，则→a与→b平行，其中×表示叉积运算符6. 求两个向量的和：→a + →b7. 求两个向量的差：→a - →b8. 求向量的数乘：k→a八、平面向量的应用平面向量的基本运算在几何、物理、工程等领域都有广泛的应用。

平面向量的坐标运算（1）教学目的：（1）理解平面向量的坐标的概念； （2）掌握平面向量的坐标运算；（3）会根据向量的坐标，判断向量是否共线。

教学重点：平面向量的坐标运算教学难点：向量的坐标表示的理解及运算的准确性。

教学过程：一、复习引入：1.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母a 、ｂ等表示；2.向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。

向量加法的三角形法则和平行四边形法则。

3．差向量的意义： OA = a , OB = b , 则= a - b即a - b 可以表示为从向量b 的终点指向向量a 的终点的向量。

4．实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作：λa（1）|λa |=|λ||a |；（2）λ>0时λa 与a 方向相同；λ<0时λa 与a方向相反；λ=0时λa =5．运算定律 结合律：λ(μa )=(λμ)a分配律：(λ+μ)a =λa +μa λ(a +b )=λa+λb6． 向量共线定理 向量b 与非零向量a共线的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使b =λa .7．平面向量基本定理：如果1e ，2e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ11e +λ22e不共线向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 二、讲解新课：1．平面向量的坐标表示如图，在直角坐标系内，我们分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量．．．．i 、j 作为基底.任作一个向量a ，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数x 、y ，使得yj xi a +=…………○1 我们把),(y x 叫做向量a 的（直角）坐标，记作),(y x a =…………○2 其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，○2式叫做向量的坐标表示。

与．a 相等的向量的坐标也为．．．．．．．．．．),(y x 。

平面向量坐标运算公式总结1. 向量的基本概念向量，顾名思义，就是一种有大小又有方向的量。

你可以把它想象成一个带箭头的直线段，箭头指的就是方向，长度则代表大小。

比如，你看那架飞得飞快的飞机，飞机飞的方向和速度就是一个向量。

简单说，平面上的每一个点都能用一个向量来表示，特别是在坐标系里，真是个好帮手。

1.1 向量的表示在二维坐标系中，向量通常用一个有序的数对来表示，比如（x, y）。

这里的x和y 就是这个向量在水平和垂直方向上的分量。

例如，你站在家门口往东走5步，往北走3步，你的位移就是向量（5, 3）。

这就像你用两个小块积木搭成一辆车，一块是向东的，一块是向北的。

很直观对吧？1.2 向量的加减法如果你有两个向量，比如（2, 3）和（4, 1），要把它们加在一起，其实就是把它们的对应分量相加。

结果就是（2+4, 3+1）=（6, 4）。

这种运算就像你在两块积木上拼拼乐一样，简单直接。

减法也是类似的操作，只不过是把对应分量相减而已。

例如，向量（5, 7）减去（2, 3），结果就是（3, 4）。

感觉就像是在减去一些你不需要的东西，剩下的就是你真正的“家当”了。

2. 向量的长度和单位向量向量的长度，就是这个向量的“长短”，计算起来其实也不复杂。

你只需要用勾股定理来算一算：如果一个向量是（x, y），它的长度就是√(x² + y²)。

这就像你在量一根线段的长度，拿个直尺量一量就好了。

单位向量就是长度为1的向量，你可以通过将原向量除以它的长度来得到它。

这就像把你的鞋子换成标准尺码，这样就能更好地适应各种情况。

2.1 向量的点积点积又叫内积，是两个向量相互“合作”的结果。

计算起来，两个向量（x1, y1）和（x2, y2）的点积是x1*x2 + y1*y2。

这就像在计算两个数的“共同贡献”，如果结果很大，说明它们非常“合拍”。

点积的结果不仅可以告诉你两个向量之间的夹角，还能用来判断它们是否垂直。