2018一轮北师大版(理)数学教案选修4-4 第2节 参数方程 Word版含解析

选修4-4 第二章 参数方程【课标要求】1、了解抛物运动轨迹的参数方程及参数的意义。

2、理解直线的参数方程及其应用；理解圆和椭圆（椭圆的中心在原点）的参数方程及其简单应用。

3、会进行曲线的参数方程与普通方程的互化。

第一课时 参数方程的概念一、教学目标：1．通过分析抛物运动中时间与运动物体位置的关系，写出抛物运动轨迹的参数方程，体会参数的意义。

2．分析曲线的几何性质，选择适当的参数写出它的参数方程。

二、教学重点：根据问题的条件引进适当的参数，写出参数方程，体会参数的意义。

教学难点：根据几何性质选取恰当的参数，建立曲线的参数方程。

三、教学方法：启发诱导，探究归纳 四、教学过程（一）．参数方程的概念1.问题提出：铅球运动员投掷铅球，在出手的一刹那，铅球的速度为0ν，与地面成α角，如何来刻画铅球运动的轨迹呢？ 2．分析探究理解： （1）、斜抛运动：为参数）t gt t v y t v x (21sin cos 200⎪⎩⎪⎨⎧-⋅=⋅=αα （2）、抽象概括：参数方程的概念。

（见课本第27页） 说明：（1）一般来说，参数的变化范围是有限制的。

（2）参数是联系变量x ，y 的桥梁，可以有实际意义，也可无实际意义。

（3）平抛运动：【课本P27页例题】为参数）t gt y t x (215001002⎪⎩⎪⎨⎧-==（4）思考交流：把引例中求出的铅球运动的轨迹的参数方程消去参数t 后，再将所得方程与原方程进行比较，体会参数方程的作用。

（二）、应用举例：例1、（课本第28页例1）已知曲线C 的参数方程是⎩⎨⎧+==1232t y t x (t 为参数)（1）判断点1M(0,1),2M (5,4)与曲线C 的位置关系；（2）已知点3M (6,a )在曲线C 上，求a 的值。

分析：只要把参数方程中的t 消去化成关于x,y 的方程问题易于解决。

学生练习。

反思归纳：给定参数方程要研究问题可化为关于x,y 的方程问题求解。

第2讲 参数方程一、知识梳理1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程．(2)如果知道变数x ，y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f (t )，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t )，那么⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值X 围保持一致．2．直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线 y －y 0＝k (x －x 0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α (t 为参数)圆 (x －x 0)2＋(y －y 0)2＝R 2⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θy ＝y 0＋R sin θ (θ为参数且0≤θ<2π)椭圆x 2a 2＋y2b 2＝1(a >b >0) ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t y ＝b sin t (t 为参数且0≤t <2π)抛物线 y 2＝2px (p >0)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2y ＝2pt (t 为参数) 1．直线参数方程的三个应用及一个易错点(1)三个应用：已知直线l 经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α，点M (x ，y )为l 上任意一点，则直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．①若M 1，M 2是直线l 上的两个点，对应的参数分别为t 1，t 2，则|M 0M 1→| |M 0M 2→|＝|t 1t 2|，|M 1M 2→|＝|t 2－t 1|＝（t 2＋t 1）2－4t 1t 2；②若线段M 1M 2的中点为M 3，点M 1，M 2，M 3对应的参数分别为t 1，t 2，t 3，则t 3＝t 1＋t 22；③若直线l 上的线段M 1M 2的中点为M 0(x 0，y 0)，则t 1＋t 2＝0，t 1t 2<0.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义．2．掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值X 围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系．(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题． 二、教材衍化1．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ(θ为参数)的对称中心( )A ．在直线y ＝2x 上B ．在直线y ＝－2x 上C ．在直线y ＝x －1上D ．在直线y ＝x ＋1上解析：选B.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋cos θ，y ＝2＋sin θ，得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝x ＋1，sin θ＝y －2.所以(x ＋1)2＋(y －2)2＝1.曲线是以(－1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(－1，2)，在直线y ＝－2x 上．2．在平面直角坐标系xOy 中，若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t －a (t 为参数)过椭圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)的右顶点，则常数a 的值为________．解析：直线l 的普通方程为x －y －a ＝0， 椭圆C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，所以椭圆C 的右顶点坐标为(3，0)，若直线l 过点(3，0)， 则3－a ＝0，所以a ＝3. 答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f （t ），y ＝g （t ）中的x ，y 都是参数t 的函数．( )(2)过M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数)．参数t 的几何意义表示：直线l 上以定点M 0为起点，任一点M (x ，y )为终点的有向线段M 0M 的数量．( )(3)方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝1＋2sin θ(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．( )(4)已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为 3.( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)× 二、易错纠偏常见误区|Ｋ(1)不注意互化的等价性致误； (2)直线参数方程中参数t 的几何意义不清致误； (3)交点坐标计算出错致错． 1．若曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos 2θ，y ＝sin 2θ(θ为参数)，则曲线C 上的点的轨迹是( )A ．直线x ＋2y －2＝0B ．以(2，0)为端点的射线C ．圆(x －1)2＋y 2＝1D ．以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.将曲线C 的参数方程化为普通方程得x ＋2y －2＝0(0≤x ≤2，0≤y ≤1)．故选D.2．已知直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋at ，y ＝y 0＋bt (t 为参数)上两点A ，B 对应的参数值是t 1，t 2，则|AB |＝( )A ．|t 1＋t 2|B ．|t 1－t 2| C.a 2＋b 2|t 1－t 2|D ．|t 1－t 2|a 2＋b 2解析：选 C.依题意，A (x 0＋at 1，y 0＋bt 1)，B (x 0＋at 2，y 0＋bt 2)，则|AB |＝[x 0＋at 1－（x 0＋at 2）]2＋[y 0＋bt 1－（y 0＋bt 2）]2＝a 2＋b 2|t 1－t 2|.故选C.3．在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t(t 为参数)，则C 1与C 2交点的直角坐标为________．解析：由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x ＋y ＝－2 ①.又⎩⎨⎧x ＝t 2，y ＝22t ，消去t ，得y 2＝8x ②. 联立①②得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－4，即交点坐标为(2，－4)．答案：(2，－4)参数方程与普通方程的互化(自主练透) 1．将下列参数方程化为普通方程．(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t，y ＝1tt 2－1(t 为参数)； (2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ(θ为参数)． 解：(1)由t 2－1≥0⇒t ≥1或t ≤－1 ⇒0<x ≤1或－1≤x <0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1t①，y ＝1t t 2－1②，①式代入②式得x 2＋y 2＝1.其中⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤1，0≤y <1或⎩⎪⎨⎪⎧－1≤x <0，－1<y ≤0.(2)由x ＝2＋sin 2θ，0≤sin 2θ≤1 ⇒2≤2＋sin 2θ≤3⇒2≤x ≤3，⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋sin 2θ，y ＝－1＋cos 2θ⇒⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－1＋1－2sin 2θ⇒ ⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝sin 2θ，y ＝－2sin 2θ⇒2x ＋y －4＝0(2≤x ≤3)． 2．已知曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t(t 为参数)，曲线C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线．解：曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，所以曲线C 1是以(－4，3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是中心为坐标原点，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．将参数方程化为普通方程的方法(1)将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法．常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等．对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参，如sin 2θ＋cos 2θ＝1等．(2)将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解．参数方程的应用(师生共研)(2020·某某某某模拟)在直角坐标系xOy 中，圆O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝4＋t (t 为参数)．(1)若直线l 与圆O 相交于A ，B 两点，求弦长|AB |，若点P (2，4)，求|PA |·|PB |的值； (2)以该直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，圆O 和圆C 的交点为P ，Q ，求弦PQ 所在直线的直角坐标方程．【解】 (1)由直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝4＋t (t 为参数)，消去参数t 可得x －y ＋2＝0，即直线l 的普通方程为x －y ＋2＝0.圆O的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，根据sin 2θ＋cos 2θ＝1消去参数θ，可得x 2＋y 2＝4，所以圆心O 到直线l 的距离d ＝22＝2，故弦长|AB |＝2r 2－d 2＝2 2.把直线l 的参数方程标准化可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝4＋22t ，将其代入圆O 的方程x 2＋y 2＝4得t 2＋62t ＋16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2， 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝16.(2)圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋23sin θ，利用ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ，可得圆C 的普通方程为x 2＋y 2＝2x ＋23y .因为圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝4，所以弦PQ 所在直线的直角坐标方程为4＝2x ＋23y ，即x ＋3y －2＝0.(1)解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上与动点有关的问题，如最值、X 围等．(2)根据直线的参数方程的标准式中t 的几何意义，有如下常用结论： 过定点M 0的直线与圆锥曲线相交，交点为M 1，M 2，所对应的参数分别为t 1，t 2. ①弦长l ＝|t 1－t 2|； ②弦M 1M 2的中点⇒t 1＋t 2＝0； ③|M 0M 1||M 0M 2|＝|t 1t 2|.1．(2020·日照模拟)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3，直线l 过点P (0，－3)且倾斜角为π3.(1)求曲线C 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值．解：(1)曲线C ：ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3⇒ρ＝4cos θcos π3＋4sin θsin π3， 所以ρ2＝2ρcos θ＋23ρsin θ， 即x 2＋y 2＝2x ＋23y ，得曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4. 直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝－3＋32t (t 为参数)．(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝－3＋32t (t为参数)代入曲线C 的直角坐标方程，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －232＝4， 整理得t 2－7t ＋9＝0，设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝7，t 1t 2＝9，所以t 1>0，t 2>0，所以|PA |＋|PB |＝t 1＋t 2＝7.2．在直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋4t ，y ＝1－t (t 为参数)．(1)若a ＝－1，求C 与l 的交点坐标； (2)若C 上的点到l 距离的最大值为17，求a . 解：(1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1.当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425. (2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离为d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17＝|5sin （θ＋φ）－a －4|17，φ满足tan φ＝34.当－a －4≤0，即a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a ＝8；当－a －4>0，即a <－4时，d 的最大值为－a ＋117，由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.参数方程与极坐标方程的综合应用(师生共研)(2020·某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α(α为参数)．在以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝21＋3cos 2θ，直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π6，求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|OP |为|PA |与|PB |的等比中项，其中P (3，2)，求直线l 的斜率． 【解】 (1)因为α＝π6，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋32t ，y ＝2＋12t (t 为参数)．消t 可得直线l 的普通方程为x －3y ＋3＝0. 因为曲线C 的极坐标方程ρ＝21＋3cos 2θ可化为ρ2(1＋3cos 2θ)＝4，所以曲线C 的直角坐标方程为4x 2＋y 2＝4.(2)设直线l 上两点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2， 将⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝2＋t sin α代入曲线C 的直角坐标方程4x 2＋y 2＝4可得4(3＋t cos α)2＋(2＋t sin α)2＝4，化简得(4cos 2α＋sin 2α)t 2＋(83cos α＋4sin α)t ＋12＝0， 因为|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝124cos 2α＋sin 2α，|OP |2＝7， 所以124cos 2α＋sin 2α＝7，解得tan 2α＝165. 因为Δ＝(83cos α＋4sin α)2－48(4cos 2α＋sin 2α)>0 即2sin α(23cos α－sin α)>0，可知tan α>0， 解得tan α＝455，所以直线l 的斜率为455.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的．1．(2020·某某省第五次测评)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝5cos α，y ＝2＋5sin α(α为参数)．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2：ρ2＝4ρcos θ－3.(1)求C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)若曲线C 1与C 2交于A ，B 两点，A ，B 的中点为M ，点P (0，－1)，求|PM |·|AB |的值． 解：(1)曲线C 1的普通方程为x 2＋(y －2)2＝5.由ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，得曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－4x ＋3＝0. (2)将两圆的方程x 2＋(y －2)2＝5与x 2＋y 2－4x ＋3＝0作差得直线AB 的方程为x －y －1＝0.点P (0，－1)在直线AB 上，设直线AB 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝－1＋22t (t 为参数)，代入x 2＋y 2－4x ＋3＝0化简得t 2－32t ＋4＝0，所以t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝4. 因为点M 对应的参数为t 1＋t 22＝322，所以|PM |·|AB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22·|t 1－t 2|＝322×（t 1＋t 2）2－4t 1t 2＝322×18－4×4＝3.2．(2019·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t21＋t2，y ＝4t 1＋t2(t为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值． 解：(1)因为－1＜1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)．l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π＜α＜π)．C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7.[基础题组练]1．(2020·某某某某模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t (t 为参数)．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4sin(θ＋π3)．(1)求曲线C 的直角坐标方程．(2)设点M 的直角坐标为(0，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |＋|MB |的值． 解：(1)把ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π3，展开得ρ＝2sin θ＋23cos θ，两边同乘ρ得ρ2＝2ρsin θ＋23ρcos θ ①.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入①， 即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x －2y ＝0 ②. (2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12t ，y ＝3＋32t 代入②式，得t 2＋33t ＋3＝0，点M 的直角坐标为(0，3)．设这个方程的两个实数根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－33，t 1·t 2＝3， 所以t 1<0，t 2<0.则由参数t 的几何意义即得|MA |＋|MB |＝|t 1＋t 2|＝3 3.2．(2020·某某模拟)在直角坐标系中，圆C 的参数方程为：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同．(1)求圆C 的极坐标方程；(2)若直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝t sin φ(t 为参数)被圆C 截得的弦长为23，求直线l 的倾斜角． 解：(1)圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos α，y ＝3＋2sin α，消去参数α得(x －1)2＋(y －3)2＝4，即x 2＋y 2－2x －23y ＝0，因为ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ.所以ρ2－2ρcos θ－23ρsin θ＝0，ρ＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3.(2)因为直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos φ，y ＝t sin φ的极坐标方程为θ＝φ，当θ＝φ时ρ＝4cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π3＝2 3.即cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π3＝32，所以φ－π3＝π6或φ－π3＝－π6.所以φ＝π2或φ＝π6，所以直线l 的倾斜角为π6或π2.3．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝21－cos θ.(1)求曲线C 2的直角坐标方程；(2)设M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，求|M 1M 2|的最小值． 解：(1)因为ρ＝21－cos θ，所以ρ－ρcos θ＝2， 即ρ＝ρcos θ＋2.因为x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，所以x 2＋y 2＝(x ＋2)2，化简得y 2－4x －4＝0. 所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2－4x －4＝0. (2)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2t －1，y ＝－4t －2，所以2x ＋y ＋4＝0.所以曲线C 1的普通方程为2x ＋y ＋4＝0. 因为M 1是曲线C 1上的点，M 2是曲线C 2上的点，所以|M 1M 2|的最小值等于点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离的最小值． 不妨设M 2(r 2－1，2r )，点M 2到直线2x ＋y ＋4＝0的距离为d ，则d ＝2|r 2＋r ＋1|5＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫r ＋122＋345≥325＝3510， 当且仅当r ＝－12时取等号．所以|M 1M 2|的最小值为3510.4．在直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝2sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π6.(1)写出曲线C 的极坐标方程以及曲线D 的直角坐标方程；(2)若过点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4(极坐标)且倾斜角为π3的直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，弦MN 的中点为P ，求|AP ||AM |·|AN |的值．解：(1)由题意可得曲线C 的普通方程为x 29＋y 24＝1，将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入曲线C 的普通方程可得，曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1.因为曲线D 的极坐标方程为ρ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6，所以ρ2＝4ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π6＝4ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin θ－12cos θ，又ρ2＝x 2＋y 2，x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以x 2＋y 2＝23y －2x ， 所以曲线C 的极坐标方程为ρ2cos 2θ9＋ρ2sin 2θ4＝1；曲线D 的直角坐标方程为x 2＋y2＋2x －23y ＝0.(2)点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22cos π4＝2，y ＝22sin π4＝2，所以A (2，2)．因为直线l 过点A (2，2)且倾斜角为π3，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos π3，y ＝2＋t sin π3(t为参数)，代入x 29＋y 24＝1中可得，314t 2＋(8＋183)t ＋16＝0，设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2＝－32＋72331，t 1t 2＝6431，所以|AP ||AM |·|AN |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22|t 1t 2|＝4＋9316.[综合题组练]1．(2020·某某模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝2＋7cos α，y ＝7sin α(α为参数)．以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ＝8cos θ，直线l的极坐标方程为θ＝π3(ρ∈R )．(1)求曲线C 1的极坐标方程与直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 1，C 2在第一象限分别交于A ，B 两点，P 为曲线C 2上的动点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)依题意得，曲线C 1的普通方程为(x －2)2＋y 2＝7，曲线C 1的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－3＝0.直线l 的直角坐标方程为y ＝3x .(2)曲线C 2的直角坐标方程为(x －4)2＋y 2＝16， 设A ⎝⎛⎭⎪⎫ρ1，π3，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ2，π3，则ρ21－4ρ1cos π3－3＝0，即ρ21－2ρ1－3＝0，得ρ1＝3或ρ1＝－1(舍)，又ρ2＝8cos π3＝4，则|AB |＝|ρ2－ρ1|＝1.C 2(4，0)到l 的距离d ＝|43|4＝23，以AB 为底边的△PAB 的高的最大值为4＋23，则△PAB 的面积的最大值为12×1×(4＋23)＝2＋ 3.2．(2020·某某模拟)在直角坐标系xOy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρcos θ－ρsin θ＝2，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2P cos θ(P >0)．(1)求直线l 过点(－2，－4)的参数方程；(2)已知直线l 与曲线C 交于N ，Q 两点，M (－2，－4)，且|NQ |2＝|MN |·|MQ |，某某数P 的值．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入直线l 的极坐标方程，得直线l 的直角坐标方程为x －y －2＝0.所以直线l 过点(－2，－4)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋22t ，y ＝－4＋22t (t 为参数)．(2)由ρsin 2θ＝2P cos θ(P >0)， 得(ρsin θ)2＝2Pρcos θ(P >0)，将ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入，得y 2＝2Px (P >0)．将直线l 的参数方程与曲线C 的直角坐标方程联立，得t 2－22(4＋P )t ＋8(4＋P )＝0，(*)Δ＝8P (4＋P )>0.设点N ，Q 分别对应参数t 1，t 2，恰好为上述方程的根， 则|MN |＝t 1，|MQ |＝t 2，|NQ |＝|t 1－t 2|.由题设得(t 1－t 2)2＝|t 1t 2|，即(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝|t 1t 2|. 由(*)得t 1＋t 2＝22(4＋P )，t 1t 2＝8(4＋P )>0， 则有(4＋P )2－5(4＋P )＝0，得P ＝1或P ＝－4.因为P >0，所以P ＝1.3．(2020·栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy 中，曲线C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos t ，y ＝2sin t (t为参数，a >0)，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－4 2. (1)设P 是曲线C 上的一个动点，当a ＝23时，求点P 到直线l 的距离的最小值； (2)若曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，某某数a 的取值X 围． 解：(1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－42，得到ρ(cos θ－sin θ)＝－8， 因为ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y ， 所以直线l 的普通方程为x －y ＋8＝0.设P (23cos t ，2sin t )，则点P 到直线l 的距离d ＝|23cos t －2sin t ＋8|2＝|4sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π3－8|2＝22|sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫t －π3－2|， 当sin ⎝⎛⎭⎪⎫t －π3＝1时，d min ＝22， 所以点P 到直线l 的距离的最小值为2 2.(2)设曲线C 上任意点P (a cos t ，2sin t )，由于曲线C 上所有的点都在直线l 的右下方，所以a cos t －2sin t ＋8>0对任意t ∈R 恒成立．a 2＋4sin(t －φ)<8，其中cos φ＝2a 2＋4，sin φ＝aa 2＋4. 从而a 2＋4<8.由于a >0，解得0<a <215. 即a ∈(0，215)．4．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t(t 为参数)，在以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为ρcos(θ＋π4)＝－ 2.(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴，y 轴分别交于A ，B 两点，点P 是圆C 上任意一点，求A ，B 两点的极坐标和△PAB 面积的最小值．解：(1)由⎩⎨⎧x ＝－5＋2cos t ，y ＝3＋2sin t ，消去参数t ，得(x ＋5)2＋(y －3)2＝2，所以圆C 的普通方程为(x ＋5)2＋(y －3)2＝2.由ρcos (θ＋π4)＝－2，得ρcos θ－ρsin θ＝－2，所以直线l 的直角坐标方程为x －y ＋2＝0.(2)直线l 与x 轴，y 轴的交点分别为A (－2，0)，B (0，2)，化为极坐标为A (2，π)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2，设点P 的坐标为(－5＋2cos t ，3＋2sin t )，则点P 到直线l 的距离为d ＝|－5＋2cos t －3－2sin t ＋2|2＝|－6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫t ＋π4|2.所以d min ＝42＝22，又|AB |＝2 2.所以△PAB 面积的最小值是S ＝12×22×22＝4.。

2.3 椭圆的参数方程 2.4 双曲线的参数方程1.椭圆的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数)，参数的几何意义是以a为半径所作圆上一点和椭圆中心的连线与x 轴正半轴的夹角. (2)中心在C (x 0，y 0)的椭圆的参数方程是⎩⎨⎧x ＝x 0＋a cos φ，y ＝y 0＋b sin φ(φ为参数).2.双曲线的参数方程中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ(φ为参数)，规定φ的取值范围为φ∈[0，2π)且φ≠π2，φ≠32π. 【思维导图】【知能要点】 1.椭圆的参数方程. 2.双曲线的参数方程.题型一 椭圆的参数方程1.和圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ中的参数θ是半径OM 的旋转角不同，椭圆参数方程⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ中的参数φ是椭圆上点M 的离心角.2.椭圆（x －m ）2a 2＋（y －n ）2b 2＝1 (a >b >0)的参数方程为⎩⎨⎧x ＝m ＋a cos φ，y ＝n ＋b sin φ(φ为参数).【例1】 已知A 、B 分别是椭圆x 236＋y 29＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC 的重心G 的轨迹的普通方程.解 由动点C 在该椭圆上运动，故据此可设点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标为(x ，y )，则由题意可知点A (6，0)，B (0，3). 由重心坐标公式可知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3＝2＋2cos θ，y ＝0＋3＋3sin θ3＝1＋sin θ. 由此消去θ得到（x －2）24＋(y －1)2＝1即为所求.【反思感悟】 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性.运用参数方程显得很简单，运算更简便.1.设F 1、F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)的左、右焦点.(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1、F 2距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标；(2)设P 是(1)中椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程. 解 (1)由椭圆上点A 到F 1、F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2. 又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上，因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3， 于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1， 焦点坐标为F 1(－1，0)，F 2(1，0).(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)， 线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )， 则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02，所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1，这就是线段F 1P 的中点的轨迹方程.题型二 双曲线的参数方程与椭圆类似，双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ (φ为参数)中φ的几何意义也是双曲线上一点M 的离心角.【例2】 直线AB 过双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的中心O ，与双曲线交于A ，B 两点，P 是双曲线上的任意一点.求证：直线P A ，PB 的斜率的乘积为定值. 证明 如图所示，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos α，b tan α，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos θ，b tan θ.∵AB 过原点O ，∴A ，B 的坐标关于原点对称， 于是有B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a cos θ，－b tan θ，从而：k P A ·k PB ＝b （tan α－tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α－1cos θ·b （tan α＋tan θ）a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α＋1cos θ ＝b 2（tan 2 α－tan 2 θ）a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2 α－1cos 2 θ＝b 2a 2为定值. 【反思感悟】 本例的求解充分利用了双曲线的参数方程.一般地，当与二次曲线上的动点有关时，可将动点用参数形式表示，从而将x，y 都表示为某角θ的函数，运用三角知识求解，可大大减少运算量，收到事半功倍的效果.2.如图所示，设M 为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)上任意一点，O 为原点，过点M作双曲线两渐近线的平行线，分别与两渐近线交于A ，B 两点.探求平行四边形MAOB 的面积，由此可以发现什么结论？解 双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x . 不妨设M 为双曲线右支上一点，其坐标为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a cos φ，b tan φ，则直线MA 的方程为 y －b tan φ＝－b a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －a cos φ.①将y ＝ba x 代入①，解得点A 的横坐标为 x A ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.同理可得，点B 的横坐标为x B ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ－tan φ.设∠AOx ＝a ，则tan α＝ba .所以，▱MAOB 的面积为S ▱MAOB ＝|OA |·|OB |sin 2α ＝x A cos α·x B cos α·sin 2α ＝a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos 2φ－tan 2φ4cos 2α·sin 2α ＝a 22·tan α＝a 22·b a ＝ab 2.由此可见，平行四边形MAOB 的面积恒为定值，与点M 在双曲线上的位置无关.题型三 参数方程的应用若曲线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数)，由于y x ＝1t ，因此t 的几何意义是曲线上的点(除顶点外)与曲线的顶点连线的斜率的倒数.【例3】 设飞机以匀速v ＝150 m/s 做水平飞行，若在飞行高度h ＝588 m 处投弹(假设炸弹的初速度等于飞机的速度). (1)求炸弹离开飞机后的轨迹方程；(2)试问飞机在离目标多远(水平距离)处投弹才能命中目标.分析 这是物理学中的平抛运动，选择合理的参变量将炸弹(看作质点)的水平方向和竖直方向的运动表示出来.解 (1)如图所示，A 为投弹点，坐标为(0，588)，B 为目标，坐标为(x 0，0).记炸弹飞行的时间为t ，在A 点t ＝0.设M (x ，y )为飞行曲线上的任一点，它对应时刻t ，炸弹初速度v 0＝150 m/s ，用物理学知识，分别计算水平、竖直方向的路程，得 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝588－12gt 2 (g ＝9.8 m/s 2)，即⎩⎨⎧x ＝150t ，y ＝588－4.9t 2， 这是炸弹飞行曲线的参数方程.(2)炸弹飞行到地面目标B 处的时间t 0满足方程y ＝0， 即588－4.9t 2＝0，解得t 0＝230.由此得x 0＝150×230＝30030≈1 643 (m).即飞机在离目标约1 643 m(水平距离)处投弹才能击中目标.【反思感悟】 准确把握题意，分析物理学中运动过程，选择适当的坐标系及变量，将物理问题转化为数学问题.利用抛物线的参数方程解决.3.青海省玉树县发生7.1级地震，灾区人民的安危牵动着全国人民的心，一批批救援物资源源不断地运往灾区.现在一架救援飞机在离灾区地面593 m 高处以150 m/s 的速度作水平飞行.为使投放救援物资准确落于灾区某指定的地点(不记空气阻力)，飞行员应如何确定投放时机呢？解 如图所示，物资投出机舱后，设在时刻t 的水平位移为x ，垂直距离为y ，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝150t ，y ＝593－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2). 令y ＝0，得t ≈11 s ，代入x ＝150 t ，得x ≈1 650 m.所以，飞行员在离救援点的水平距离约1 650米时开始投放物资，可使其准确落在指定位置.1.已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y 的最大值与最小值.解 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数).代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)(tan φ0＝85).所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.2.点P 在椭圆x 216＋y 29＝1上，求点P 到直线3x －4y ＝24的最大距离和最小距离. 解 设P (4cos θ，3sin θ)， 则d ＝|12cos θ－12sin θ－24|5.即d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪122cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－245，当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－1时，d max ＝125(2＋2)；当cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝1时，d min ＝125(2－2).3.已知弹道曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝20t cos π6，y ＝20t sin π6－12gt 2(g ＝9.8 m/s 2)(1)求炮弹从发射到落地所需的时间； (2)求炮弹在运动中达到的最大高度. 解 (1)令y ＝20t sin π6－12gt 2＝0， 即4.9t 2－10t ＝0. 解得t ＝0或t ≈2.所以炮弹从发射到落地所需时间约为2秒. (2)由y ＝10t －4.9t 2，得y ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2－10049t ＝－4.9⎝ ⎛⎭⎪⎫t －50492＋25049.所以当t ＝5049时，y max ＝25049≈5.1.所以炮弹在运动中达到的最大高度为5.1米.4.已知双曲线方程为x 2－y 2＝1，M 为双曲线上任意一点，M 点到两条渐近线的距离分别为d 1和d 2，求证：d 1与d 2的乘积是常数.证明 设d 1为M 点到渐近线y ＝x 的距离，d 2为M 点到渐近线y ＝－x 的距离， 因为M 点在双曲线x 2－y 2＝1上，则可设M 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos α，tan α.d 1＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α－tan α2，d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos α＋tan α2，d 1·d 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪1cos 2α－tan 2α2＝12，故d 1与d 2的乘积是常数.[P 36思考交流] 参照求圆的参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝（1－k 2）r1＋k 2，y ＝2kr 1＋k 2(k 为参数)的方法，给出椭圆另一种形式的参数方程(如图).答 设椭圆的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1其中a ＞b ＞0，则点A 的坐标为(－a ，0)，设AP 的斜率为k .直线AP 的方程为y ＝k (x ＋a )由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x ＋a ），x 2a 2＋y 2b2＝1，可得直线AP 与椭圆的交点的横坐标，x 1＝－a ，x 2＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2. 直线AP 与椭圆交点的纵坐标为y 1＝0，y 2＝2ab 2k b 2＋a 2k 2即点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫ab 2－a 3k2b 2＋a 2k2，2ab 2k b 2＋a 2k 2. ∵点P 是椭圆任意的不同于A 的点， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ab 2－a 3k 2b 2＋a 2k 2，y ＝2ab 2k b 2＋a 2k 2(k 为参数)，上面参数方程即为椭圆的另一种形式的参数方程.其中参数k 表示直线AP 的斜率.也由此可以看出，由于参数的选取不同，参数方程也不同. [P 37思考交流]1.双曲线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b tan φ中，参数的几何意义是什么？ 答 参数的几何意义是以原点为圆心，a 为半径的圆的半径的旋转角.2.试求双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程. 答 如图：分别以a ，b 为半径，原点为圆心作同心圆. 设OA ＝a ，OB ＝b ，A 为圆上任一点.∠AOx ＝φ(参数)，B 为圆与y 轴的交点，过B 作平行于x 轴的直线交OA 的延长线于B 1点，在Rt △OBB 1中，∠BB 1O ＝φ，BB 1＝b tan φ.过A 的切线交y 轴于A 1点，A 1P ⊥y 轴，A 1P ⊥B 1P . 设点P 的坐标为(x ，y )，在Rt △OAA 1中，∠OA 1A ＝φ，OA ＝a ，OA 1＝asin φ. x ＝BB 1＝b tan φ，y ＝OA 1＝asin φ. ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝a sin φ(其中φ为参数)，∴y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝b tan φ，y ＝asin φ(φ为参数).3.试求抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程.(1)以抛物线上一点(x ，y )与其顶点连线斜率的倒数t 为参数. (2)以抛物线上任意一点(x ，y )的纵坐标y 0为参数. 答 (1)抛物线y 2＝2px ，p 为焦点到准线的距离. 抛物线上任意一点M (x ，y )，∠MOx ＝α，则yx ＝tan α代入y 2＝2px 中y ·tan α＝2p .∴y ＝2p tan α.x ＝y 22p ＝12p ·（2p ）2tan 2 α＝2p tan 2α.设t ＝1tan α，则⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt .其中t 为参数.几何意义是抛物线上任意一点与抛物线顶点的连线的斜率的倒数.故⎩⎨⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt即为所求.(2)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝y 202p ，y ＝y 0(y 0为参数).几何意义是抛物线上任意点的纵坐标. 【规律方法总结】1.椭圆和双曲线的参数方程中，参数φ的几何意义都是曲线上点M 的离心角；抛物线参数方程中参数t 的几何意义是抛物线上的点(除顶点外)和顶点连线斜率的倒数.2.利用圆锥曲线的参数方程，可以方便求解一些需要曲线上点的两个坐标独立表示的问题，如求最大值、最小值问题、轨迹问题等.3.圆锥曲线的参数方程可以有不同的形式，求曲线的参数方程可根据具体问题选取角度、长度、斜率、时间等作为参数.一、选择题1.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2tC.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2tD.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除去.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈[－1，1]，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cos 2t ＝1tan 2t＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D2.下列在曲线⎩⎨⎧x ＝sin 2θ，y ＝cos θ＋sin θ(θ为参数)上的点是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，12 C.(2，3)D.(1，3)解析 转化为普通方程：y 2＝1＋x (|y |≤2)，把选项A 、B 、C 、D 代入验证得，选B. 答案 B3.若点P (3，m )在以点F 为焦点的抛物线⎩⎨⎧x ＝4t 2，y ＝4t (t 为参数)上，则|PF |等于( )A.2B.3C.4D.5解析 抛物线为y 2＝4x ，准线为x ＝－1，|PF |为P (3，m )到准线x ＝－1的距离，即为4. 答案 C4.已知椭圆的参数方程⎩⎨⎧x ＝2cos t ＋1，y ＝4sin t (t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的倾斜角α为( ) A.π3B.π6C.2π3D.5π6解析 M 点的坐标为(2，23)， ∴k ＝3，tan α＝3，α＝π3. 答案 A 二、填空题5.曲线⎩⎨⎧x ＝3t －2，y ＝t 2－1与x 轴交点的坐标是______________. 解析 将曲线的参数方程化为普通方程：(x ＋2)2＝9(y ＋1)，令y ＝0，得x ＝1或x ＝－5.答案 (1，0)，(－5，0)6.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋3tan φ，y ＝1cos φ(φ为参数)的渐近线方程是________. 解析 将参数方程化为普通方程是y 2－（x －3）29＝1，a ＝1，b ＝3，渐近线的斜率k ＝±13，双曲线的中心为(3，0)，∴渐近线方程为y ＝±13(x －3). 答案 y ＝±13(x －3)7.二次曲线⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ (θ是参数)的左焦点的坐标是________.解析 题中二次曲线的普通方程为x 225＋y 29＝1左焦点为(－4，0). 答案 (－4，0)8.过双曲线x 2－y 2＝4的右焦点F 作倾斜角为105°的直线，交双曲线于P ，Q 两点，则|FP |·|FQ |的值为________.解析 因双曲线的标准方程为x 24－y 24＝1，∴a ＝b ＝2.∴c ＝a 2＋b 2＝4＋4＝2 2. 故右焦点为F (22，0).∴可设过F (22，0)，倾斜角为105°的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝22＋t cos 105°，y ＝t sin 105°(t 为参数).代入双曲线方程x 2－y 2＝4，整理得32t 2＋(23－2)t －4＝0， ∴|FP |·|FQ |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪－432＝833.答案833三、解答题9.已知圆O 1：x 2＋(y －2)2＝1上一点P 与双曲线x 2－y 2＝1上一点Q ，求P ，Q 两点距离的最小值.解 圆心O 1坐标为(0，2)，Q 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1cos φ，tan φ，|QO 1|2＝1cos 2φ＋(tan φ－2)2 ＝1cos 2φ＋tan 2φ－4tan φ＋4 ＝2tan 2φ－4tan φ＋5.设t ＝tan φ，|QO 1|2＝2t 2－4t ＋5＝2(t －1)2＋3≥3， ∴|QO 1|min ＝3，∴PQ 两点间的距离的最小值为3－1.10.已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值.解 (1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数).直线l 的普通方程为2x ＋y－6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为 d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43. 当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |取得最大值， 最大值为2255.当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值， 最小值为255.11.已知椭圆x 24＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x 轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值.证明 设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0，1). 则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φ·x ， 令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝|2cos φ1＋sin φ|.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ， ∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值.12.已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，过动点M (a ，0)且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同的两点A ，B ，|AB |≤2p . (1)求a 的取值范围；(2)若线段AB 的垂直平分线交x 轴于点N ，求△NAB 面积的最大值. 解 设直线l 的方程为y ＝x －a 代入y 2＝2px 中，得： x 2－2(a ＋p )x ＋a 2＝0.(1)设A ，B 两点的坐标为(x 1，y 1)、(x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2(a ＋p )，x 1x 2＝a 2. ∴|AB |＝1＋12（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝24（a ＋p ）2－4a 2＝28ap ＋4p 2≤2p ， ∴2(8ap ＋4p 2)≤4p 2，解得a ≤－p4.(2)A ，B 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，即为(a ＋p ，p )，斜率为－1，垂直平分线方程为y －p ＝－(x －a －p )＝－x ＋a ＋p . y ＝0时，x ＝a ＋2p ， ∴点N 的坐标为(a ＋2p ，0)， ∴点N (a ＋2p ，0)到直线AB 的距离为|2p |2＝2p ，则S △NAB ＝12·2p ·28ap ＋4p 2＝p 8ap ＋4p 2＝2p ·p 2＋2ap ＝2p 2pa ＋p 2， 当a 最大时，S △NAB 取最大值， 故a ＝－p4时，S 取最大值为2p 2.习题2－2 (第28页)A 组1.解 (1)a 作为参数时，方程表示直线； φ作为参数时，方程表示圆.(2)x ，y 分别表示曲线上任意一点的横、纵坐标； x 0，y 0分别表示曲线上某一定点的横、纵坐标；若a 作为参数，则它表示直线上定点M 0(x 0，y 0)与直线上任意一点M (x ，y )构成的有向线段M 0M →的数量，此时φ是直线的倾斜角；若φ作为参数，则它表示圆的半径与x 轴正方向所夹的角，此时a 表示圆的半径. 2.2π33.解直线方程⎩⎨⎧x ＝－2－2t ，y ＝3＋2t(t 为参数)可以变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2－22（2t ），y ＝3＋22（2t ）.所以|2t |＝2，2t ＝±2.所以所求点的坐标为(－3，4)或(－1，2).4.解 将直线l 1的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋613t ，y ＝3＋413t ，代入l 2：x ＋y －2＝0，得t ＝－132.所以点Q 的坐标为(1，1)，所以|PQ |＝13.5.解(1)⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t(t 为参数).(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t 代入x －y －23＝0，得t ＝－10－6 3.由t 的几何意义知，两直线的交点到点M 的距离为|t |＝10＋6 3. (3)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝5＋32t 代入x 2＋y 2＝16，得t 2＋(53＋1)t ＋10＝0.所以t 1＋t 2＝－(53＋1)，t 1t 2＝10.由t 的几何意义知，直线与圆的两个交点到点M 的距离分别为|t 1|，|t 2|.因为t 1t 2＞0，所以t 1，t 2同号，所以|t 1|＋|t 2|＝53－1，|t 1|·|t 2|＝10.6.解 (1)⎩⎨⎧x ＝2＋5cos α，y ＝3＋5sin α(α为参数).(2)若a ＞0，如图，设点P (x ，y )，则由题意，取|OP |＝t 为参数.在Rt △AOP 中，作PM ⊥OA ，根据射影定理，所以⎩⎨⎧|OP |2＝OM ·OA ，t 2＝x ·2a ，所以x ＝t 22a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t 22a ，y ＝±t 2a 4a 2－t 2(t 为参数).若a ＜0，同理.7.证明 以圆心为原点，建立平面直角坐标系，设圆的半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝R cos θ，y ＝R sin θ(θ为参数).圆内接矩形在第一象限内的顶点坐标为(R cos θ，R sinθ).所以S ＝4R cos θ·R sin θ＝2R 2sin 2θ.要使S 最大，则2θ＝π2，θ＝π4. 即圆的内接矩形中正方形的面积最大. 8.解 直线方程为y ＝tan θ·x .由⎩⎨⎧y ＝tan θ·x ，x 2＋y 2－2x ＝0，得圆x 2＋y 2－2x ＝0的参数方程为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝21＋tan 2θ，y ＝2tan θ1＋tan 2θ(θ为参数). 9.P ⎝ ⎛⎭⎪⎫332，1，θ＝arctan 239 10.解 直线方程为y ＝tx ＋4.由⎩⎨⎧y ＝tx ＋4，4x 2＋y 2－16＝0，得椭圆4x 2＋y 2＝16的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8tt 2＋4，y ＝－4t 2＋16t 2＋4(t 为参数).B 组1.以时间t 为参数，点M 轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋9t ，y ＝1＋12t .2.解直线的参数方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t 可以变形为直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22（－2t ），y ＝4＋22（－2t ），则两个交点到点A (2，4)的距离之和为2(|t 1|＋|t 2|)，将直线方程⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝4－t ，代入y 2＝4x ，得t 2－12t ＋8＝0. 所以t 1＋t 2＝12，t 1t 2＝8.所以2(|t 1|＋|t 2|)＝2|t 1＋t 2|＝12 2.3.解 因为点B (x ′，y ′)在椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)上运动，所以⎩⎨⎧x ′＝2cos θ，y ′＝3sin θ.设⎩⎨⎧x ＝x ′＋y ′，y ＝x ′－y ′，则⎩⎨⎧x ＝2cos θ＋3sin θ，y ＝2cos θ－3sin θ，所以动点P 的轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x －y 62＝1. 4.解 由cos ∠MOQ ＝35，得在Rt △MOQ 中，OQ OM ＝35. 因为OM ＝10，所以OQ ＝6，即a ＝6.所以双曲线的方程为x 236－y 29＝1，且点P 为(10，4). 5.略6.⎩⎨⎧x ＝7 782.5cos θ，y ＝7 721.5sin θ(θ为参数). 7.⎩⎪⎨⎪⎧x ＝v 0t ，y ＝－12gt 2(t 为参数). 8.点M 的轨迹的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数).。

课题：参数方程的概念使用说明：1、利用15分钟自学课本21-23页，完成问题导学；2、独立完成例题，并总结规律、方法；3、完成配餐作业，加强落实整理。

一、学习目标：1、理解并掌握参数方程的概念；2、学会应用参数方程解决一些简单问题；3、培养学生分析、归纳、推理等能力。

二、教学重点难点：建立参数方程三、问题导学1、在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是_______________________________，并且t 对于的每个允许值，由该方程组所确定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做_________，简称参数。

相对于参数方程而言，_________________________________ 叫做普通方程。

2、已知一物体自原点出发，沿Ox 轴正方向s m /5的速度运动，沿Oy 轴正方向以s m /3的速度运动，则该物体运动的位移与时间t 的关系是________________。

四、典型例题例1、已知曲线C 的参数方程)(1232为参数t t y t x ⎩⎨⎧+== （1） 判断点的位置关系与曲线C M M )4,5(),1,0(21（2）已知点),6(3a M 在曲线C 上，求a 的值例2、已知等腰直角ABC ∆，B 为直角顶点，且在x 轴的正方向运动，A 在y 轴正方向运动，,2||=AB 求点C 轨迹的参数方程。

五、课堂检测1、直线的参数方程为，则这条曲线的参数方为参数)(3242t t y t x ⎩⎨⎧+-=-=程又可以写成__________________2、参数方程所表示的曲线一定经过为参数)(132t ty t x ⎪⎩⎪⎨⎧=+= （ ） A (2,5) B (5,8) C (3,8) D (8,5)六、课堂小结：（1）知识方法：（2）数学思想：配餐作业（40分钟）1、已知点M(1,a)在曲线的值是上，则为参数a t t y t x )(1222⎩⎨⎧-== （ ） A 1 B -0.5 C 2 D 0.52、已知曲线C 的参数方程是)(132为参数方程t t y t x ⎩⎨⎧-==则不在曲线上的点是（ ）A (1,-4)B (4,5)C ( 1,2)D (2,5)3、已知曲线C 满足方程)(12为参数t t y t x ⎩⎨⎧-==则曲线C 上点的横坐标的取值范围是 （ ）A RB ）+∞,0[C ）+∞,1[D ）+∞,21[ 4、已知点M （a,1）在曲线C 的值是，则为参数a t t y t t x )(12732⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-= （ ） A 1 B -0.5 C 2 D 0.55、动点M 做匀速直线运动，它在x 轴y 轴方向的分速度分别为s m s m /5/4和，直角坐标系的长度单位是1米，点M 的起点位置在点)1,1(0M 则点M 的轨迹的参数方程为多少？6、一架救援飞机以s m /100的速度作水平直线飞行，在离灾区指定目标的水平距离还有1000米时投放救灾物资（不计空气阻力，重力加速度2/8.9s m g =），问此时飞机的飞行高度约是多少？。