运筹学建模例题和判断题
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【例1-2】某商场决定：营业员每周连续工作5天后连续休息2天，轮流休息。
根据统计，商场每天需要的营业员如表1-2所示。
123456714567125671236712347123452345634567min 3003003504004806005500,1,2,,7jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧++++≥⎪++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎪≥=⎩L（2）在例中，如果设x j (j=1，2，…，7)为工作了5天后星期一到星期日开始休息的营业员，该模型如何变化．123456723456345671456712567123671234712345min 3003003504004806005500,1,2,,7jZ x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =++++++⎧++++≥⎪++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎨++++≥⎪⎪++++≥⎪++++≥⎪⎪≥=⎩L【例1-3】合理用料问题。
某汽车需要用甲、乙、丙三种规格的轴各一根，这些轴的规格分别是，1，（m ），这些轴需要用同一种圆钢来做，圆钢长度为4 m 。
现在要制造1000辆汽车，最少要用多少圆钢来生产这些轴？10112345134678924578910min 221000243210002324510000,1,210j jj Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j ==⎧++++≥⎪++++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⋯⎩∑， 如果要求余料最少，数学模型如何变化；23457891012345134678924578910min 0.30.50.10.40.30.60.20.5221000243210002324510000,1,210j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++++⎧++++≥⎪++++++≥⎪⎨+++++≥⎪⎪≥=⋯⎩，【例1-4】配料问题。
某钢铁公司生产一种合金，要求的成分规格是：锡不少于28%，锌不多于15%，铅恰好10%，镍要界于35%~55%之间，不允许有其他成分。
钢铁公司拟从五种不同级别的矿石中进行冶炼，每种矿物的成分含量和价格如表1-4所示。
矿石杂质在治炼过程中废弃，现要求每吨合金成本最低1234512451345135123451234512min 3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+3450.40.80.4510,1,2,,5jx x x x j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++=⎪⎪≥=⎩L 在例中，若允许含有少量杂质，但杂质含量不超过1％，模型如何变化．1234512451345135123451234512min 3402601802301900.250.40.20.080.280.10.150.20.050.150.10.050.150.10.250.30.20.40.170.550.250.30.20.40.170.350.70.7Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x =+++++++≥+++≤++=++++≤++++≥+3450.40.80.450,1,2,,0.95jx x x x j ⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪+++≥⎪⎪≥=⎩L【例1-5】投资问题。
某投资公司拟将5000万元的资金用于国债、地方国债及基金三种类型证券投资，每类各有两种。
每种证券的评级、到期年限及每年税后收益率见表1-5所示。
不超过2。
问每种证券各投资多少使总收益最大。
1234561234561212456123456max 0.2560.380.1720.2820.1260.1845000100023035200,1,2,,6j Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x j =+++++⎧+++++≤⎪+≥⎪⎪--+++≤⎨⎪+-+--≤⎪⎪≥=⎩L【例1-6】均衡配套生产问题。
某产品由2件甲、3件乙零件组装而成。
两种零件必须经过设备A 、B 上加工，每件甲零件在A 、B 上的加工时间分别为5分钟和9分钟，每件乙零件在A 、B 上的加工时间分别为4分钟和10分钟。
现有2台设备A 和3台设备B ，每天可供加工时间为8小时。
为了保持两种设备均衡负荷生产，要求一种设备每天的加工总时间不超过另一种设备总时间1小时。
怎样安排设备的加工时间使每天产品的产量最大121212121212max 1..21354960910144046604660Z ys t y x y x x x x x x x x x x x y =≤≤+≤+≤≤+≤≥－－，，在例中，假定同种设备的加工时间均匀分配到各台设备上，要求一种设备每台每天的加工时间不超过另一种设备任一台加工时间1小时，模型如何变化．1212121212121212max 1..213549609101440549106023549106023Z ys t y x y x x x x x x x x x x x x x x x y =≤≤+≤+≤++≤++-+≤≥－+，，【例1-13】将下例线性规划化为标准型 1212112max ||||54Z x x x x x x x unr=--⎧+≥⎪≤⎨⎪⎩、112211223114112234max ()()540Z x x x x x x x x x x x x x x x x x x ''''''=-+-+''''''⎧-+--=⎪'''-+=⎨⎪''''''≥⎩、、、、、【例3-2 】在例3-1中，假设此人还有一只旅行箱，最大载重量为12公斤，其体积是。
背包和旅行箱只能选择其一，建立下列几种情形的数学模型，使所装物品价值最大。
（1）所装物品不变；（2）如果选择旅行箱，则只能装载丙和丁两种物品，价值分别是4和3，载重量和体积的约束为+≤+≤1212121.80.61.5220x x x x（1）1211121122221.20.8102 2.52in max 4310,,011,210t 522i i Z x x y x y a x x nd y x x y eger y y i y +++=+≤≤+=≥==＋或（2）12212121211211221.20.8102max 43()1.80.612(2.5)()1.5220()10,,011,t 25n 2i i i x x My x x M Z x x a x x My b c x x My d y y x y i d eger y an +≤+≤=++≤++≤++≥+===或＋【例3-3】试引入0－1变量将下列各题分别表达为一般线性约束条件 （1）x 1+x 2≤6或4x 1+6x 2≥10或2x 1+4x 2≤20 （2）若x 1≤5，则x 2≥0，否则x 2≤8 （3）x 2取值0，1，3，5，7(2)21125(1)8(1)015x y M x y M y M M x x y y ≥-≤⎧⎪>--⎪⎪⎨⎪≤+-⎪+⎪=⎩或(3)2123412343571011,2,3,4j x y y y y y y y y y j ⎧=+++⎪+++⎨⎪==⎩≤或，【例3-4】企业计划生产4000件某种产品，该产品可自己加工、外协加工任意一种形式生产．已知每种生产的固定费用、生产该产品的单件成本以及每种生产形式的最大加工数量（件）限制如表3－2所示，怎样安排产品的加工使总成本1122331231201,2,3min (5008)(8005)(6007)40001500,20000,101,2,3j j j jZ y x y x y x x x My x x x x x y j j =+++++⎧⎪++≥-≤=⎪⎨≤≤⎪⎪≥==⎩或，用分枝－隐枚举法求解下列BIP 问题123451234512345min 362462712(311)45310(311)011,2,3,4jZ x x x x x x x x x x a x x x x x b x j =-++-⎧+-++≤-⎪++-+≥-⎨⎪==⎩或，解 （1）令x 2=1－x '2及x 5=1－x '5，代入模型后整理得123451234512345min 362476279(311)4533(311)011,2,3,4jZ x x x x x x x x x x a x x x x x b x j ''=++++-⎧''--+-≤-⎪''-+--≥-⎨⎪==⎩或，142531425314253min 234676729(311)4353(311)011,2,3,4jZ x x x x x x x x x x a x x x x x b x j ''=++++-⎧''+--≤-⎪''-+≥-⎨⎪==⎩－－－或，【例4-1】某企业在计划期内计划生产甲、乙、丙三种产品。
这些产品分别需要要在设备A 、B 上加工，需要消耗材料C 、D ，按工艺资料规定，单件产品在不同设备上加工及所需要的资源、每件产品利润如表4－1所示。
已知在计划期内设备的加工能力各为200台时，可供材料分别为360、300公斤；假定市场需求无限制。
现在决策者根据企业的实际情况和市场需求，需要重新制定经营目标，其目标的优先顺序是：（1）利润不少于3200元（2）产品甲与产品乙的产量比例尽量不超过 （3）提高产品丙的产量使之达到30件（4）设备加工能力不足可以加班解决，能不加班最好不加班（5）受到资金的限制，只能使用现有材料不能再购进（不能变化）问企业如何安排生产计划才能到达经营目标。
