当前位置：文档之家 › 六轴运动机器人运动学求解分析_第一讲

六轴运动机器人运动学求解分析_第一讲

  • 格式：pdf
  • 大小：160.48 KB
  • 文档页数：5

下载文档原格式

  / 5

合集下载

六轴串联机器人位姿同步的实时轨迹规划

六轴串联机器人位姿同步的实时轨迹规划
算法的准确性。
运动平滑性
分析机器人运动过程中速度、加速 度的连续变化，评估轨迹的平滑性 。
实时性
验证轨迹规划算法在不同复杂度和 动态环境下的实时性能。
结果讨论与改进方向
结果讨论
综合分析实验结果，讨论位姿同步算法和实针对算法性能、实时性和稳定性的优化措施，如引入更高效的优化算法、提高传感器精度等，以 提升六轴串联机器人的整体性能。
同步精度
评估位姿同步算法在不同 运动状态下的同步误差， 包括位置误差和姿态误差 。
实时性
分析算法在不同计算资源 下的运行时间，确保满足 实时性要求。
稳定性
测试算法在面对传感器噪 声和外部干扰时的稳定性 表现。
实时轨迹规划效果评估
轨迹跟踪精度
比较实际机器人运动轨迹与规划 轨迹的符合程度，评估轨迹规划
运动学方程
通过连乘所有连杆坐标系的变换矩阵，建立六轴串联机器 人的正运动学方程，实现由关节角度到位姿的映射。
六轴串联机器人逆运动学建模
01 02
数值解法
采用数值方法（如牛顿-拉夫逊法）求解六轴串联机器人的逆运动学问 题，通过迭代优化关节角度，使得正运动学计算得到的位姿与实际期望 位姿之间的差距最小化。
重要性
实时轨迹规划能够确保机器人在动态环境中快速适应变化，提高机器人的运动性 能和安全性能。
基于插值法的实时轨迹规划
优点
插值法计算量较小，能够实现实时性要求较高的轨迹 规划。
原理
插值法是通过在已知数据点之间插入新的数据点，以 生成平滑曲线的方法。在实时轨迹规划中，可以利用 插值法根据机器人当前位姿和目标位姿生成中间位姿 ，从而实现轨迹的平滑过渡。
硬件加速
采用专用硬件加速器或FPGA等硬件资源，对位姿同步算法中的关键计算步骤进行硬件加 速，进一步提高算法的执行速度和实时性能。

六自由度运动方程计算

六自由度运动方程计算

n x n 0 由正运动学方程 T6 = T6 = A1 A2 A3 A4 A5 A6 = y nz 0
2
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py 可得 pz 1
n x = C1 [C23 (C4 C5 C 6 − S 4 S 6 ) − S 23 S 5 C 6 ] + S1 (C 4 S 6 + S 4 C5 C6 ) n y = − C1 (C4 S 6 + S 4 C5 C 6 ) + S1 [C 23 (C 4 C5 C6 − S 4 S 6 ) − S 23 S 5 C6 ] n z = C23 S 5 C 6 + S 23 (C4 C5 C 6 − S 4 S 6 ) o x = C1 [−C 23 (C 4 C5 S 6 + S 4 C6 ) + S 23 S 5 S 6 ] + S1 ( C4 C6 − S 4 C5 S 6 ) o y = − C1 (C4 C6 − S 4 C5 S 6 ) + S1 [−C 23 (C 4 C5 S 6 + S 4 C6 ) + S 23 S 5 S 6 ] o z = − C23 S 5 S 6 − S 23 (C 4 C 5 S 6 + S 4 C6 ) a x = C1 (C23 C 4 S 5 + S 23 C5 ) + S1 S 4 S 5 a y = − C1 S 4 S 5 + S1 (C 23 C4 S 5 + S 23 C5 ) a z = − C23 C5 + S 23 C4 S 5 p x = C1 (l 2 C2 + d 4 S 23 ) p y = S1 (l 2 C 2 + d 4 S 23 ) p z = l 2 S 2 − d 4 C23 三 机器人逆运动学分析 S1 0 − C1 0 S3 0 − C3 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 C2 − S −1 A2 = 2 0 0 0 0 0 1 S2 C2 0 0 0 0 1 0 S4 0 C4 0 − l2 0 0 1 0 −1 0 0 C1 0 A1−1 = S1 0 C 3 0 −1 A3 = S3 0 １ 求 θ1 ox oy oz 0 ax ay az 0 px py pz 1

六轴机器人基于dh模型法的正向运动学求解

六轴机器人基于dh模型法的正向运动学求解

1 六轴机器人基于DH模型法的正向运动学求解六轴机器人是工业自动化中常见的一种机械手臂，具有良好的柔性和精准度。

而机器人的运动学求解是其设计和控制的重要基础。

在本文中，我们将探讨六轴机器人基于DH模型法的正向运动学求解，从简单的概念到深入的原理，让您对这一主题有一个全面的理解。

1.1 DH模型法的概念与原理DH模型法是一种描述刚体相对运动的方法，其基本原理是建立坐标系，通过旋转和平移等变换来描述刚体之间的相对运动关系。

在六轴机器人中，DH模型法通常用于描述各个关节之间的运动学关系，从而求解机器人的末端姿态。

1.2 六轴机器人的运动学参数在使用DH模型法进行运动学求解时，需要确定六轴机器人的运动学参数，包括关节长度、关节角度、关节距离等。

这些参数是求解机器人正向运动学的基础，对于精确控制和路径规划具有重要意义。

1.3 六轴机器人的正向运动学求解通过建立各个关节之间的坐标系，并结合DH参数，可以利用矩阵乘法的方式求解六轴机器人的正向运动学问题。

这一过程涉及到多个矩阵变换和坐标系转换，需要经过严谨的推导和计算。

1.4 个人观点与理解个人认为，六轴机器人基于DH模型法的正向运动学求解虽然涉及复杂的数学原理和矩阵计算，但其背后的原理是相对简单和直观的。

通过对运动学参数和坐标系的合理选择，可以有效简化运动学求解的过程，提高机器人运动的精度和灵活性。

总结回顾在本文中，我们深入探讨了六轴机器人基于DH模型法的正向运动学求解。

从概念与原理到具体计算过程，我们从简到繁地介绍了这一主题。

通过对DH模型法的概念和六轴机器人的运动学参数进行分析，我们理解了正向运动学求解的关键步骤和计算方法。

本文还共享了个人对这一主题的观点和理解，为读者提供了更深入的思考和探讨的空间。

通过本文的阅读，相信您对六轴机器人基于DH模型法的正向运动学求解有了全面、深刻和灵活的理解。

希望本文能为您在工业自动化和机器人控制方面的学习和研究提供启发和帮助。

6轴机器人正逆运动学计算公式

6轴机器人正逆运动学计算公式

6轴机器人正逆运动学计算公式
正逆运动学是机器人技术中非常重要的一部分，它涉及到机器
人在空间中的位置和姿态的计算。

在机器人控制中，正运动学用于
根据关节角度计算末端执行器的位置和姿态，而逆运动学则是根据
给定的目标位置和姿态来计算关节角度。

对于6轴机器人来说，正逆运动学计算公式是非常复杂的，而
且通常需要使用矩阵运算和三维几何知识。

下面我们来简要介绍一
下这些计算公式的基本原理。

首先，对于正运动学计算，我们需要使用机器人的DH参数（Denavit-Hartenberg参数）以及每个关节的旋转矩阵来进行计算。

DH参数描述了各个关节之间的几何关系，而旋转矩阵描述了每个关
节的旋转情况。

通过这些参数，我们可以建立起整个机器人的运动
学模型，并据此计算机器人末端执行器的位置和姿态。

而对于逆运动学计算，我们则需要使用雅克比矩阵以及迭代求
解等方法来进行计算。

雅克比矩阵描述了机器人末端执行器的位置
和姿态随着关节角度的变化而变化的情况，而迭代求解则是通过不
断调整关节角度来逼近目标位置和姿态。

总的来说，6轴机器人正逆运动学计算公式是非常复杂的，需要深入的数学和物理知识以及编程技能来进行实现。

然而，掌握这些计算公式将极大地提高机器人的精度和灵活性，使其能够更好地完成各种复杂的任务。

随着机器人技术的不断发展，正逆运动学计算公式也将不断得到完善和优化，为机器人的应用提供更加强大的支持。

六轴机械臂 xyz运动算法

六轴机械臂 xyz运动算法

六轴机械臂 xyz运动算法六轴机械臂是一种具有六个自由度的机械装置，可以实现在三维空间内的运动和定位。

以下是一种常见的六轴机械臂的XYZ 运动算法：1.正向运动学算法（Forward Kinematics）：o输入：关节角度（θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6）o输出：末端执行器（笛卡尔）坐标（X, Y, Z）正向运动学算法将给定的关节角度转换为末端执行器的位姿。

这可以通过对每个关节进行坐标变换和旋转变换来实现。

具体步骤如下：o定义每个关节的DH参数（链接长度、关节间的旋转和位移等）。

o使用DH参数计算每个关节之间的齐次变换矩阵。

o将所有关节的齐次变换矩阵相乘得到末端执行器的位姿。

2.逆向运动学算法（Inverse Kinematics）：o输入：末端执行器（笛卡尔）坐标（X, Y, Z）o输出：关节角度（θ1, θ2, θ3, θ4, θ5, θ6）逆向运动学算法根据末端执行器的位姿计算相应的关节角度，以实现特定的位置和姿态。

这是一个复杂的问题，需要采用数值求解方法，如迭代或优化算法。

具体步骤如下：o定义每个关节的DH参数。

o基于末端执行器的位姿和参考坐标系，计算目标末端执行器的位姿。

o使用数值求解方法，如牛顿-拉夫逊方法或雅可比转置法，通过不断迭代调整关节角度，使得末端执行器的位姿逐渐接近目标位姿。

3.运动规划算法：XYZ运动规划算法可以通过给定的起始位置和目标位置，计算出机械臂在空间中的运动路径。

这可以通过采用合适的插值方法，如直线插值或样条插值，将机械臂的一个位置平滑过渡到另一个位置。

这样可以避免机械臂在运动中出现突变和不连续的情况。

需要注意的是，具体的XYZ运动算法可能会因不同的机械臂控制系统和机械结构而有所不同。

因此，在实际应用中，应根据具体的机械臂控制器和算法来实现适合的运动算法。

机器人学运动学分析_Kinematics

机器人学运动学分析_Kinematics

Dynamic Analysis of Mechanical Systems
Kinematics
Joints can be classified by the degrees of freedom allowed or restricted. The commonly used joints are listed in Table 1. 3.2.3 Mobility Analysis One of the basic steps in the kinematic analysis of mechanical systems is to determine the number of degrees of freedom or independent coordinates required to determine the configuration of the system. It can be shown that the number of constraints provided by a joint is equal to the number of degrees of freedom eliminated from the unconstraint system as a result of using this joint. In the planar system, the configuration of a rigid body undergoing unconstrained motion can be described by three independent coordinates due to the common constraints. Therefore, a planar system with n unconstrained movable bodies has 3 n DOF. If the system has p joints, each of which provides two constraints (note the common constraints), then the number of degrees of the system can be evaluated by the mobility (Glubler) criterion

一文读懂：工业六轴机器人D-H模型及运动学建模

一文读懂：工业六轴机器人D-H模型及运动学建模

第1页第一章 D-H 模型1.1 XX 机器人D-H 变换z4图1- 1 XX 机器人模型建立上述坐标系以后，坐标系i 关于坐标系1i -的位置和方向就完全由下列参数给定：a ：（相邻两个Z 轴之间的垂直的距离，即连杆的长度。

）d ：（相邻两个X 轴之间的垂直距离，即相连坐标系原点间的距离。

） α：（相邻两个Z 轴之间的夹角。

）θ：（相邻两个X 轴之间的夹角。

） 接下来进行相邻坐标系之间的坐标变换，运动顺序按照：1、将坐标系沿着轴1i Z -平移i d ，再绕着轴1i Z -旋转i θ，用齐次坐标变换描述：1'cos sin 00sin cos 00001001i i i i i i i A d θθθθ--⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、通过中间坐标系沿着轴'i X 平移i a ，并且绕着轴'i X 旋转i α，用齐次坐标变换描述为：1'1000cos sin 00sin cos 001i i i i i i i a A αααα-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦3、坐标变换通过右乘得到：1cos cos sin sin sin cos sin cos cos cos sin sin 0sin cos 01i i i i i i i i i i i i i i i i i i ia a A d θαθθαθθθαθαθαα--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦表1- 1 巨轮机器人的DH 参数表θ daα0-1 1θ1d 1a 1α 1-2 2θ 2d2a2α2-3 3θ3d 3a 3α 3-4 4θ 4d 4a 4α 4-5 5θ5d5a5α5-66θ 6d 6a 6α第3页1.2 旋转变换1、参考坐标系绕Z 轴旋转θ角的旋转矩阵为：cos sin 0sin cos 001Z R θθθθθ-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦2、参考坐标系绕X 轴旋转α角的旋转矩阵为：1000cos sin 0sin cos x R ααααα⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 得到关于两轴的旋转变换：R = [ cos(theta), -cos(alpha)*sin(theta), sin(alpha)*sin(theta)] [ sin(theta), cos(alpha)*cos(theta), -sin(alpha)*cos(theta)] [ 0, sin(alpha), cos(alpha)]1.3 正运动学变换0012345123456n T A A A A A A =1.4 逆运动学变换逆运动学是已知末端连杆的位置和方向，求机器人各个关节变量。

六自由度机器人运动学及主要构件的有限元分析

六自由度机器人运动学及主要构件的有限元分析

第6期2021年2月No.6February ，2021六自由度机器人运动学及主要构件的有限元分析摘要：文章以六自由度机器人为研究对象，根据实际的作业情况，对机器人进行运动学分析以及主要构件的有限元分析。

运动学分析分为正运动学分析和逆运动学分析，解决的是机器人的手臂转向何方，分析的是手部的速度、加速度和位移。

有限元分析主要是机械系统静力学分析。

对主要构件建立模型、模型简化、网格划分，根据危险工况的受力情况，分析了各构件的应力、形变等性能，确保结构设计合理。

对于工业机器人机械结构、传动等方面，运动学和有限元分析能够判断整机设计是否达到设计目标，对结构件的优化设计具有重要的意义。

关键词：六自由度；机器人；运动学；有限元分析中图分类号：TP242.2文献标志码：A 程锴（南京以禾电子科技有限公司，江苏南京210039）作者简介：程锴（1981—），男，江苏南京人，工程师，硕士；研究方向：电子产品总体结构设计。

江苏科技信息Jiangsu Science &Technology Information引言在当前科学技术不断进步和快速发展的背景下，很多先进的技术手段被广泛应用在各个领域中［1］。

特别是机器人在工业中得到广泛的应用，在实际运行过程中，类似于码垛搬运的六自由度机器人在搬运货物中节省大量劳动力，但安全性与可靠性一直备受考验。

因此，本文主要对六自由度机器人进行运动学和静力学分析［2］。

机器人运动学研究解决的是机器人的手臂转向何方，分析的是手部的速度、加速度和位移。

运动学方程是进行机器人位移分析的基本方程，也称为位姿方程。

机器人运动学分为正运动学分析和逆运动学分析。

正运动学是机器人运用各个关节角度、各个构件车长度等已知条件来判断末端执行器在三维空间中的位置；而逆运动学正好相反，它解决的是机器人需要如何运动才能使得末端执行器到达指定位置这一问题。

静力学分析用来分析结构在给定静力载荷作用下的响应。

六自由度并联机器人运动学正-反解研究

六自由度并联机器人运动学正-反解研究

六自由度并联机器人运动学正-反解研究硕士学位论文目录目录.........................................................................................I 摘要.. (I)Abstract.........................................................................................II 插图索引......................................................................................III 第1章绪论 (1)1.1 课题研究的目的和意义 (1)1.2 6-DOF并联机器人国内外发展研究现状 (1)1.2.1 6-DOF并联机器人国内外发展现状 (1)1.2.2 6-DOF并联机器人国内外研究现状 (3)1.3 交流PMSM伺服驱动技术国内外发展现状 (5)1.4 本论文主要研究内容 (6)第2章 6-DOF并联机器人运动学分析 (8)2.1 引言 (8)2.2 6-DOF并联机器人基本结构简介 (8)2.3 6-DOF并联机器人运动学反解分析 (9)2.3.1 6-DOF并联机器人运动学反解算法推导 (9)2.3.2 6-DOF并联机器人运动学反解算法Simulink实现 (10)2.4 6-DOF并联机器人运动学正解分析 (14)2.4.1 6-DOF并联机器人运动学正解算法推导 (14)2.4.2 6-DOF并联机器人运动学正解算法Simulink实现 (15)2.5 本章小结 (21)第3章 6-DOF并联机器人三维建模及运动学仿真 (22)3.1 引言 (22)3.2 6-DOF并联机器人Pro/E三维建模 (22)3.2.1 三维建模软件Pro/E使用简介 (22)3.2.2 6-DOF并联机器人Pro/E三维建模和组装 (26)3.3 6-DOF并联机器人ADAMS运动学仿真及Simulink联合仿真(31)3.3.1 机械系统仿真软件ADAMS使用简介 (31)3.3.2 6-DOF并联机器人ADAMS运动学仿真 (32)3.3.3 6-DOF并联机器人ADAMS-Simulink联合仿真 (37)3.4 本章小结 (40)第4章PMSM-SVPWM矢量控制系统研究及其Simulink实现(41)4.1 引言 (41)4.2 PMSM-SVPWM矢量控制系统基本原理 (41)六自由度并联机器人运动学正/反解研究4.2.1 永磁同步电机dq坐标系动态数学模型 (41)4.2.2 SVPWM技术基本原理 (42)4.3 PMSM-SVPWM与PMSM-SPWM矢量控制系统仿真 (44)4.3.1 SVPWM技术的算法与Simulink实现 (44)4.3.2 PMSM-SVPWM矢量控制系统仿真 (47)4.3.3 PMSM-SPWM矢量控制系统仿真 (47)4.3.4 PMSM-SVPWM与PMSM-SPWM矢量控制系统对比分析(48)4.4 本章小结 (50)总结与展望 (51)参考文献 (52)致谢 (56)附录攻读学位期间所发表的学术论文目录 (57)硕士学位论文摘要六自由度（6-degree of freedom，6-DOF）并联机器人因为其刚度高，动态性能优越，与串联机器人相比无累积位置控制误差等优点在一系列领域得到广泛应用，如并联机床，机器人操作器以及各种运动模拟等。

六轴运动机器人运动学求解分析_第一讲

六轴运动机器人运动学求解分析_第一讲

六轴联动机械臂运动学求解分析第一讲作者朱森光Email zsgsoft@1引言笔者研究六轴联动机械臂源于当前的机器人产业热，平时比较关注当前热门产业的发展方向。

笔者工作主要从事软件开发跟机器人毫无关系，利用业余时间研究整理机器人技术相关的文章，希望能够起到抛砖引玉的作用引发更多的人发表有关机器人技术的原创性技术资料。

本系列文章的所有文字、图片及相关资料均为原创，内容正确性经过笔者亲自编程仿真验证可以信赖。

2机器建模2.1坐标系既然要研究机器人，那么首先要建立一个机械模型，本文将以典型的六轴联动机器臂为例进行介绍，图2-1为笔者使用3D技术建立的一个简单模型。

首先建立一个大地坐标系，一般教科书上都是以大地为XY平面，垂直于大地向上方向为Z轴，本文为了跟教科书上有所区别同时不失一般性，将以水平向右方向为X轴，垂直于大地向上方向为Y轴，背离机器人面向人眼的方向为Z轴，移到电脑屏幕上那就是屏幕水平向右为X轴，屏幕水平向上为Y轴，垂直于屏幕向外为Z轴，之所以建立这样不合常规的坐标系是希望能够突破常规的思维定势训练在任意空间建立任意坐标系的能力。

图2-1图2-1中的机械臂，灰色立方体为机械臂底座，定义为关节1，它能绕图中Y轴旋转；青色为关节2，它能绕图中的Z1轴旋转；蓝色为关节3，它能绕图中的Z2轴旋转；绿色为关节4，它能绕图中的X3轴旋转；红色为关节5，它能绕图中的Z4轴旋转；黄色为关节6，它能绕图中的X5轴旋转。

2.2齐次变换矩阵齐次变换矩阵是机器人技术里最重要的数学分析工具之一，关于齐次变换矩阵的原理很多教科书中已经描述在此不再详述，这里仅针对图2-1的机械臂写出齐次变换矩阵的生成过程。

首先定义一些变量符号，关节1绕图中Y轴旋转的角度定义为θ0，当θ0=0时，O1点在OXYZ坐标系内的坐标是(x0,y0,0)；关节2绕图中的Z1轴旋转的角度定义为θ1，图中的θ1当前位置值为+90度；定义O1O2两点距离为x1,关节3绕图中的Z2轴旋转的角度定义为θ2，图中的θ2当前位置值为-90度；O2O3两点距离为x2，关节4绕图中的X3轴旋转的角度定义为θ3, 图中的θ3当前位置值为-60度；O3O4两点距离为x3，关节5绕图中的Z4轴旋转的角度定义为θ4, 图中的θ4当前位置值为-60度；O4O5两点距离为x4，关节6绕图中的X5轴旋转的角度定义为θ5, 图中的θ5当前位置值为+60度。

六自由度机器人的运动学分析

六自由度机器人的运动学分析

六自由度机器人的运动学分析王梦涛;张良安【摘要】For a developed 6 degree-of-freedom robot with 2,3 and 4-axis parallelled to each other, a forward kine-matics equation of the robot was acquired by establishing the link coordinate system and transformation matrix with D-H(Denavit-Hartenberg) method. Based on the idea of matrix inversion, the inverse kinematics calculation method of 6 degree-of-freedom robot was proposed, and all analytical solutions of the inverse kinematics were obtained. According to the singularity of the robot, the processing method of the inverse solution of the singular position was proposed, the forward kinematics model and inverse kinematics solution were verified by Robotics Toolbox in MATLAB software. The research results provide a basis for later trajectory planning and control of the robot, and it is a reference for the kinematics of the robot with similar structure.%针对一种自主研发的二三四轴相互平行的六自由度机器人,通过D-H(Denavit-Hartenberg)法建立机器人连杆坐标系和变换矩阵,求得正运动学方程,基于矩阵逆乘的思路进行逆运动学的求解,提出此类六自由度机器人逆运动学求解的方法,求出逆运动学的全部解析解.针对该机器人的奇异性,提出奇异位置逆解的处理方法,并用MATLAB机器人工具箱Robotics Tool-box验证了正解模型和逆解算法的正确性.研究结果为该机器人后续的轨迹规划和控制提供理论依据,对于具有相似结构的机器人运动学正逆解问题具有借鉴意义.【期刊名称】《安徽工业大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2016(033)004【总页数】7页(P365-371)【关键词】六自由度机器人;运动学;机器人工具箱;奇异性【作者】王梦涛;张良安【作者单位】安徽工业大学机械工程学院,安徽马鞍山243032;安徽工业大学机械工程学院,安徽马鞍山243032【正文语种】中文【中图分类】TP242.2在2015上海、苏州的工业机器人展览会上，众多机器人厂商纷纷推出其3～10kg轻载机器人产品，如日本那智不二越的MZ系列六自由度机器人、德国KUKA的LBR iiwa机器人、瑞士ABB的YuMi机器人等。

六自由度机械臂的运动学分析

六自由度机械臂的运动学分析

0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 1 0
0 0 0 1 r1 0 0 1
符号定义如下： Rot(x, θ 6 ):旋转变换，表示绕 x 轴旋转了 θ 6 Trans(m,n,p):平移变换，表示坐标轴分别沿 x、 y、z 轴平移了 m、n、p
图 1 机械臂实物图
图 1 机械臂结构图
在机械臂运动过程中，需要不断变换各个关节 的旋转角度，从而到达相应的位置点。设三维空间 中某点的坐标为 ( X , Y , Z ) ，对应机械臂 6 个关节 的旋转角度依次为 (θ 1 , θ 2 , θ 3 , θ 4 , θ 5 , θ 6 ) ，则机械 臂 运 动 模 型 即 ( X , Y , Z ) 和 (θ 1 , θ 2 , θ 3 , θ 4 , θ 5 , θ 6 ) 的对应关系。自定义机械臂的初始姿态，利用右手
6
上式中， R 为旋转变换矩阵， p 平移变换矩阵 。 由上可知，当已知 6 个关节的偏转角度后即可 以通过矩阵求得对应机械臂的位置和姿态。 2.2 机械臂运动学逆问题 机械臂运动学的逆问题即：已知机械臂的指尖 末端坐标，求此时机械臂各个关节的偏转角度。可 以通过求逆矩阵的方法求解，即有如下方程 ：
cosθ2 0 A2 = − sinθ2 0
0 sinθ2 0 1 0 0 0 cosθ2 0 0 0 1
0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
0 0 r2 cosθ3 1 0 r2 sinθ3 0 1 0 0 0 1
0 1 0 0 cos θ4 − sinθ4 A4 = 0 sinθ4 cos θ4 0 0 0
0 1 0 0 0 0 1 0

详解六轴关节机器人运动原理和机械结构！附送3D实体模型！

详解六轴关节机器人运动原理和机械结构！附送3D实体模型！

详解六轴关节机器⼈运动原理和机械结构！附送3D实体模型！什么是关节机器⼈？关节机器⼈(Robot joints)，也称关节⼿臂机器⼈或关节机械⼿臂，是当今⼯业领域中最常见的⼯业机器⼈的形态之⼀。

适合⽤于诸多⼯业领域的机械⾃动化作业，⽐如，⾃动装配、喷漆、搬运、焊接等⼯作。

关节机器⼈的分类关节机器⼈的摆动⽅向有铅垂⽅向和⽔平⽅向两种，因此这类机器⼈⼜可分为垂直关节机器⼈和⽔平关节机器⼈。

垂直关节机器⼈如上图所⽰，模拟了⼈类的⼿臂功能，由垂直于地⾯的腰部旋转轴（相当于⼤臂旋转的肩部旋转轴）带动⼩臂旋转的肘部旋转轴以及⼩臂前端的⼿腕等构成。

⼿腕通常由2～3个⾃由度构成。

其动作空间近似⼀个球体，所以也称多关节球⾯机器⼈。

其优点是可以⾃由地实现三维空间的各种姿势，可以⽣成各种复杂形状的轨迹。

相对机器⼈的安装⾯积．其动作范围很宽。

缺点是结构刚度较低，动作的绝对位置精度磨较低。

它⼴泛应⽤于代替⼈完成装配作业、货物搬运、电弧焊接、喷涂、点焊接等作业场合。

⽔平关节机器⼈如上图在结构上具有串联配置的⼆个能够在⽔平⾯内旋转的⼿臂，其⾃由度可以根据⽤途选择2～4个，动作空间为⼀圆柱体。

⽔平关节机器⼈的优点是在垂直⽅向上的刚性好，能⽅便地实现⼆维平⾯上的动作，在装配作业中得到普遍应⽤。

此外，还可以按照关节机器⼈的⼯作性质分类，可分为很多种，⽐如：搬运机器⼈，点焊机器⼈，弧焊机器⼈，喷漆机器⼈，激光切割机器⼈等。

关节机器⼈的优缺点关节机器⼈的优点1）结构紧凑，⼯作范围⼤⽽安装占地⾯积⼩。

2）具有很⾼的可达性。

关节坐标式机器⼈可以使其⼿部进⼊像汽车车⾝这样⼀个封闭的空间内进⾏作业，⽽直⾓坐标式机器⼈不能进⾏此类作业。

3）因为没有移动关节，所以不需要导轨。

转动关节容易密封，由于轴承件是⼤量⽣产的标准件，则摩擦⼩，惯性⼩，可靠性好。

4）所需关节驱动⼒矩⼩，能量消耗较⼩。

5）代替很多不适合⼈⼒完成、有害⾝体健康的复杂⼯作。

关节机器⼈的缺点1）肘关节和肩关节轴线是平⾏的，当⼤、⼩臂舒展成⼀直线时，虽能抵达很远的⼯作点，但机器⼈的结构刚度⽐较低。

六轴机器人逆运动学求解 8个解

六轴机器人逆运动学求解 8个解

六轴机器人逆运动学求解是机器人领域中的重要问题，六轴机器人具有复杂的结构与运动学特性，其逆运动学求解是指在给定末端执行器姿态时，求解机器人各关节的角度，以实现特定的末端执行器姿态。

在机器人的运动控制与路径规划中，逆运动学求解是一个至关重要的环节。

六轴机器人通常具有6个自由度，这意味着机器人的末端执行器可以沿着6个不同的轴线进行运动。

在实际应用中，需要对机器人的运动轨迹、姿态等进行精确控制，这就要求对六轴机器人的逆运动学问题进行求解，以实现机器人的精准操作。

逆运动学问题的求解涉及矩阵运算、三角函数关系等数学知识，需要对机器人各关节的几何结构和运动学参数有深入的了解。

在六轴机器人中，每个关节的位置、方向等特征都会对逆运动学求解造成影响，因此需要综合考虑机器人的整体结构和特性。

六轴机器人逆运动学求解可以衍生出多个解，这意味着在给定末端执行器姿态时，存在多组关节角度可以实现相同的末端姿态。

这些解称为「多解」，这种情况在实际应用中会给机器人的精确定位和操作带来挑战。

对于六轴机器人逆运动学求解的多解问题，可以通过以下方法进行处理：1. 增加约束条件：在逆运动学求解中，可以增加额外的约束条件，如关节运动范围、碰撞检测等，以限制多解的产生，使得机器人能够选择出最优的关节角度组合。

2. 引入优化算法：可以利用优化算法对多解进行评估与筛选，选取出最优的解，以满足运动控制和操作精度的要求。

3. 结合遗传算法等智能算法：利用智能算法对多解进行搜索与优化，找到最适合的关节角度组合，提高机器人的运动控制精度和操作效率。

在实际应用中，六轴机器人逆运动学求解的多解问题是一个具有挑战性的课题，需要综合应用数学、控制理论与算法等多个学科的知识，以满足对机器人运动控制精度和操作效率的要求。

六轴机器人逆运动学求解是一个复杂而重要的问题，对于解决这一问题有益于机器人的应用。

我们相信，通过不断的研究和探索，一定能够找到更加高效和精确的逆运动学求解方法，为机器人技术的发展做出更大的贡献。

基于六轴机器人的运动学分析

基于六轴机器人的运动学分析

• 71•学生的外语知识。

具体来说，MOOC在外语课程教学改革中的应用，通过和课堂教学相互结合，只需要教师对学生进行引导就能帮助学生掌握更多的专业知识。

如教师在课堂教学中，可以观察学生的学习情况，在课下制作MOOC，并把这些上传到网络上，方便学生依据自己的时间计划进行自由学习（张璐妮，唐守廉，刘宇泓，MOOC学习者参与行为实证研究——以“中国大学MOOC”外语课程为例：北京邮电大学学报（社会科学版），2018）。

如果学生在课堂上没有理解老师讲解的知识点，就能在网络资源共享平台找到相应的知识点，进行针对性的知识补充。

如成绩优异的学生已经理解了教师课堂讲授的知识，想要更深入地掌握更多的知识，就能从网络资源上搜集并查看更多的专业知识，进行学习的拓展和补充。

MOOC在外语课程教学改革中的应用，应注重学生学习的互动性。

外语教师在课堂上可以MOOC方式向学生展示要学习的知识点，并对这些知识点进行几分钟的小测试。

学生只有通过了一个又一个知识点的小测试，才能进入下一阶段的学习。

当然，为帮助学生巩固已经学习到的知识点，MOOC式外语教学也可以多次回顾已经学习的知识点，加深学生的印象，并在自我评价中调整学习状态和学习计划，以提高外语学习成绩。

MOOC在外语课程教学改革中的应用，丰富了外语课程教学方式，也尊重学生的差异性进而实现了外语课程的混合式教学，以便于学生在外语课程学习中可以共同进步。

3.4 紧追学校实际教学方向，提高外语课程教学质量外语课程教学改革中MOOC的应用，应紧追学校实际教学方向，注重外语课程教学质量的提高。

在实际的教学中，可以结合高校实际发展需求，构建外语翻转课堂。

也即结合高校外语教学的实际，让外语教师在上课前制作和上课相关的网络课程视频，在课堂上注重和学生之间的互动交流，以提高学生的参与积极性（翟娜，基于中国大学MOOC的外语网络课程平台构建与实现：电子设计工程，2017）。

如果学生在课堂上遇到了问题，就要夸奖并鼓励学生的求知精神，随后在这种状态下体现出MOOC式的教学模式，进而突出MOOC在外语课程教学改革中的应用优势。

六自由度工业机器人正逆运动学

六自由度工业机器人正逆运动学

六自由度工业机器人正逆运动学
六自由度工业机器人具有6个关节，可以实现6个不同的运动自由度，分别是平移、转动、旋转、可在水平和垂直方向移动。

正运动学是指从机器人关节角度和长度参数计算出机器人末端执行器在空间中的位置和姿态的过程。

通过运动学方程，可以将关节角度和长度参数转换为空间中的位置和姿态。

逆运动学是指已知机器人末端执行器在空间中的位置和姿态，计算出机器人关节角度和长度参数的过程。

通过逆运动学方程，可以将空间中的位置和姿态转换为关节角度和长度参数。

正逆解的计算过程复杂且涉及到大量的三角函数和求解方程，需要使用数值计算方法进行求解。

此外，也需要考虑机器人的约束和限制条件，以确保计算得到的解是可行解。

六自由度并联机器人运动学分析和计算

六自由度并联机器人运动学分析和计算
2作动器活塞杆伸缩量计算及有效行程的确定作动器的上铰点在体坐标系中的坐标不变作动器的下铰点在静坐标系中的坐标不变体坐标与静坐标存在一个齐次变换矩阵通过齐次变换矩阵可求出作动器的上铰点在静坐标系中的坐标根据作动器上下铰点在静坐标系中的坐标即可求出作动器的长度
・ ;: ・
《机床与液压》Q##RV ,)VR
（/）作动器的行程、速度和加速度与系统综合质 心的位置无关，仅与系统的五个结构参数有关。 （(）在运动幅值相同的情况下，三个方向转动 中，横摇与纵摇运动所需作动器的行程、速度和加 速度较大，且值相近。 （’）在运动幅值相同的情况下，三个方向平动 中，升沉运动所需作动器行程、速度和加速度最大， 横移和纵移运动所需作动器行程、速度和加速度较 小，且值相近。变，体坐标与 静坐标存在一个齐次变换矩阵，通过齐次变换矩阵 可求出作动器的上铰点在静坐标系中的坐标，根据 作动器上下铰点在静坐标系中的坐标，即可求出作 动器的长度。 上下铰支点间距离可通过公式（’）可得到。 ’( 1
.
!
（ *)( 2 +)( ） ! )1’
（ ( 1 ’，-，…，)） （’）
（/ # 2 $ ）规律旋转
通过比较各种运动情况下作动器的伸缩量，可得 到如下结论： 在运动幅值相同的情况下，三个方向转动中，横 摇与纵摇运动所需作动器的行程较大，且值相近。三 个方向平动中，升沉运动所需作动器行程最大，横移 和纵移运动所需作动器行程较小，且值相近。 另外，作动器的行程与系统综合质心的位置无关， 仅与五个结构参数有关。 （ ’）各作动器速度及加速度：
六自由度并联机器人运动学分析和计算 !
赵 慧，韩俊伟，张尚盈，赵 强，李洪人 （哈尔滨工业大学电液伺服仿真及试验系统研究所，!"###!）

六自由度机器人运动分析及优化

六自由度机器人运动分析及优化

本科毕业论文（设计）题目（中文）六自由度机器人运动分析及优化（英文） Motionanalysis and optimization of6-DOF robot学院信息与机电工程学院院年级专业 2013级汽车服务工程（中德） )学生姓名吴子璇正学号 130154494 7指导教师安康安完成日期 2017 年 3 月摘要当今世界,工业化日趋成熟，机器人被广泛的应用于各行各业，最常用到的有四自由度，六自由度机器人.其中,自动化水平较高的汽车制造业和电子装配业经常常常要使用到六自由度机器人。

因此对其实施运动学分析，是进行科学设计的基础，也是降低机器人生产成本，优化机器人运动轨迹的前提。

此外，运动分析过程有效的模拟了机器人运动的真实情况，有助于提供有效可行的优化方案。

本文主要探讨六自由度机器人的运动分析,基于经典运动学以及动力学的研究方法概念，首先通过solidworks做出机械臂各部分零件的三维图，然后通过SolidWorks装配出六自由度机器人机械臂的三维模型. 通过该模型,选取其中一个关节和底座，并用SolidWorks进行运动学分析，对六自由度机器人的运动学和动力学计算方法进行了仿真验证。

最后得到六自由度机器人的其中一个自由度的运动仿真实例。

通过对该运动仿真实例的分析,得出最佳优化方案，优化机器人的运动轨迹提高机器人的工作效率，降低机器人生产成本.关键词：六自由度机器人；运动分析；运动学；动力学；目录摘要 (I)Abstract ................................... 错误!未定义书签。

1 绪论 (1)1。

1 课题背景及研究的目的和意义 (1)1.2机器人国内外发展现状及前景展望-—---——-—-——-——-———-—-—-——12 六自由度机器人运动学分析 (3)2。

1六自由度机器人的结构-—--—-—-------—---———-—-——--—--——-——-12。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

六轴联动机械臂运动学求解分析第一讲作者朱森光Email zsgsoft@1引言笔者研究六轴联动机械臂源于当前的机器人产业热，平时比较关注当前热门产业的发展方向。

笔者工作主要从事软件开发跟机器人毫无关系，利用业余时间研究整理机器人技术相关的文章，希望能够起到抛砖引玉的作用引发更多的人发表有关机器人技术的原创性技术资料。

本系列文章的所有文字、图片及相关资料均为原创，内容正确性经过笔者亲自编程仿真验证可以信赖。

2机器建模2.1坐标系既然要研究机器人，那么首先要建立一个机械模型，本文将以典型的六轴联动机器臂为例进行介绍，图2-1为笔者使用3D技术建立的一个简单模型。

首先建立一个大地坐标系，一般教科书上都是以大地为XY平面，垂直于大地向上方向为Z轴，本文为了跟教科书上有所区别同时不失一般性，将以水平向右方向为X轴，垂直于大地向上方向为Y轴，背离机器人面向人眼的方向为Z轴，移到电脑屏幕上那就是屏幕水平向右为X轴，屏幕水平向上为Y轴，垂直于屏幕向外为Z轴，之所以建立这样不合常规的坐标系是希望能够突破常规的思维定势训练在任意空间建立任意坐标系的能力。

图2-1图2-1中的机械臂，灰色立方体为机械臂底座，定义为关节1，它能绕图中Y轴旋转；青色为关节2，它能绕图中的Z1轴旋转；蓝色为关节3，它能绕图中的Z2轴旋转；绿色为关节4，它能绕图中的X3轴旋转；红色为关节5，它能绕图中的Z4轴旋转；黄色为关节6，它能绕图中的X5轴旋转。

2.2齐次变换矩阵齐次变换矩阵是机器人技术里最重要的数学分析工具之一，关于齐次变换矩阵的原理很多教科书中已经描述在此不再详述，这里仅针对图2-1的机械臂写出齐次变换矩阵的生成过程。

首先定义一些变量符号，关节1绕图中Y轴旋转的角度定义为θ0，当θ0=0时，O1点在OXYZ坐标系内的坐标是(x0,y0,0)；关节2绕图中的Z1轴旋转的角度定义为θ1，图中的θ1当前位置值为+90度；定义O1O2两点距离为x1,关节3绕图中的Z2轴旋转的角度定义为θ2，图中的θ2当前位置值为-90度；O2O3两点距离为x2，关节4绕图中的X3轴旋转的角度定义为θ3, 图中的θ3当前位置值为-60度；O3O4两点距离为x3，关节5绕图中的Z4轴旋转的角度定义为θ4, 图中的θ4当前位置值为-60度；O4O5两点距离为x4，关节6绕图中的X5轴旋转的角度定义为θ5, 图中的θ5当前位置值为+60度。

以上定义中角度正负值定义符合右手法则。

符号定义好了，接下来描述齐次变换矩阵。

定义R0为关节1绕Y轴的旋转矩阵cosθ0 s0 = sinθ0=//c0R0=[c0 0 s0 00 1 0 00 c0 0-s00 0 0 1]定义T0为坐标系O1X1Y1Z1相对坐标系OXYZ的平移矩阵T0=[1 0 0 x00 1 0 y000 1 00 0 0 1]定义R1为关节2绕Z1轴的旋转矩阵R1=[c1 –s1 0 0s1 c1 0 00 0 1 00 0 0 1]定义T1为坐标系O2X2Y2Z2相对坐标系O1X1Y1Z1的平移矩阵T1=[1 0 0 x11 1 0 01 0 1 00 0 0 1]定义R2为关节3绕Z2轴的旋转矩阵R2=[c2 –s2 0 0s2 c2 0 00 0 1 00 0 0 1]定义T2为坐标系O3X3Y3Z3相对坐标系O2X2Y2Z2的平移矩阵T2=[1 0 0 x20 1 0 00 0 1 00 0 0 1]定义R3为关节4绕X3轴的旋转矩阵R3=[1 0 0 00 c3 –s3 00 s3 c3 00 0 0 1]定义T3为坐标系O4X4Y4Z4相对坐标系O3X3Y3Z3的平移矩阵T3=[1 0 0 x30 1 0 00 0 1 00 0 0 1]定义R4为关节5绕Z4轴的旋转矩阵R4=[c4 –s4 0 0s4 c4 0 00 0 1 00 0 0 1]定义T4为坐标系O5X5Y5Z5相对坐标系O4X4Y4Z4的平移矩阵T4=[1 0 0 x40 1 0 00 0 1 00 0 0 1]定义R5为关节6绕X5轴的旋转矩阵R5=[1 0 0 00 c5 –s5 00 s5 c5 00 0 0 1]以上矩阵定义中c0、c1、c2、c3、c4、c5分别为cosθ0、cosθ1、cosθ2、cosθ3、cosθ4、cosθ5的简写，s0、s1、s2、s3、s4、s5分别为sinθ0、sinθ1、 sinθ2、sinθ3、sinθ4、sinθ5的简写。

至此最终的齐次变换矩阵就可以写出来了，那就是：C=R0*T0*R1*T1*R2*T2*R3*T3*R4*T4*R52.3正运动学求解正运动学求解就是求出2.2节中齐次变换矩阵C的解析表达式，下面求解。

C=R0*T0*R1*T1*R2*T2*R3*T3*R4*T4*R5=[Nx Ox Ax PxNy Oy Ay PyNz Oz Az Pz0001]这里要注意矩阵乘法满足结合律但不满足交换律，所以你可以先单独求出R4*T4，R3*T3，R2*T2，R1*T1，R0*T0然后再将它们相乘，即C= (R0*T0)*(R1*T1)*(R2*T2)*(R3*T3)*(R4*T4)*R5最终得出结果如下：Nx=c0c1(c2c4-c3s2s4)-c0s1(s2c4+c2c3s4)+s0s3s4s1(c2c4-c3s2s4)+c1(s2c4+c2c3s4)Ny=Nz=-s0c1(c2c4-c3s2s4)+s0s1(s2c4+c2c3s4)+c0s3s4Ox= c0c1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5) –c0s1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5)+s0(s3c4c5+c3s5)Oy= s1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5) +c1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5)Oz= -s0c1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5)+s0s1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5)+c0(s3c4c5+c3s5)Ax=c0c1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3)-c0s1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3)+s0(-c4s3s5+c3c5)Ay= s1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3) +c1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3)Az=-s0c1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3)+s0s1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3)+c0(-c4s3s5+c3c5)Px=c0c1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2)-c0s1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)+x1c0c1+x4s0s3s4+x0c0s1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2)+x1s1+c1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)+y0Py=Pz=-s0c1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2)+s0s1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)+x1s0c1-x0s0矩阵C就是最终的六轴联动机械臂的齐次变换矩阵，如果机械手末端相对于坐标系O5X5Y5Z5的相对坐标为U(a,b,c)，那么末端U在大地坐标系OXYZ中的坐标为：图2-2以上就是机器人正运动学的求解，Nx、Ny、Nz、Ox、Oy、Oz、Ax、Ay、Az、Px、Py、Pz表达式中的x0、y0、x1、x2、x3、x4为机械固有尺寸，θ0、θ1、θ2、θ3、θ4、θ5为六个关节的旋转角。

实际上C的子矩阵M=[Nx Ox AxNy Oy AyNz Oz Az]反应的就是末端坐标系O5X5Y5Z5的姿态，子矩阵M实际上就是轴O5X5、O5Y5、O5Z5在大地坐标系OXYZ下的方向余弦，而(Px,Py,Pz)就是点O5在大地坐标系OXYZ下的绝对坐标。

2.4逆运动学求解机器人逆运动学求解是根据末端位姿矩阵C反求六个关节的旋转角θ0、θ1、θ2、θ3、θ4、θ5的问题。

为了便于求解，这儿对C=R0*T0*R1*T1*R2*T2*R3*T3*R4*T4*R5等式进行变换，令S0=R0*T0，然后将等式两边同时左乘S0的逆S0′得到：S0′*C=R1*T1*R2*T2*R3*T3*R4*T4*R5其中S0′=[c0 0 -s0 -x00 1 0 -y0s0 0 c0 00 0 0 1]c0Ox-s0Oz c0Ax-s0Az c0Px-s0Pz-x0[c0Nx-s0Nz等式左边S0′* C=Ny Oy Ay Py-y0S0Nx+c0Nz s0Ox+c0Oz s0Ax+c0Az s0Px+c0Pz0 0 0 1]等式右边R1*T1*R2*T2*R3*T3*R4*T4*R5=[c1(c2c4-c3s2s4)-s1(s2c4+c2c3s4) c1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5) c1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3) c1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2)-s1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5) -s1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3) -s1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)+x1c1S1(c2c4-c3s2s4)+c1(s2c4+c2c3s4) s1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5) s1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3) s1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2)+x1s1+c1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5) +c1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3) +c1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)S3s4 s3c4c5+c3s5 -c4s3s5+c3c5 x4s3s40 0 0 1]等式左右两个矩阵内对应元素相等于是就得到如下方程组：1c1(c2c4-c3s2s4)-s1(s2c4+c2c3s4)= c0Nx-s0Nz2s1(c2c4-c3s2s4)+c1(s2c4+c2c3s4)= Ny3s3s4= S0Nx+c0Nz4c1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5) -s1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5)= c0Ox-s0Oz5s1(-s4c2c5-s2c3c4c5+s2s3s5) +c1(-s2s4c5+c2c3c4c5-c2s3s5)= Oy6s3c4c5+c3s5= s0Ox+c0Oz7c1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3) -s1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3)= c0Ax-s0Az8s1(c2s4s5+c3c4s2s5+c5s2s3) +c1(s2s4s5-c2c3c4s5-c2c5s3)=Ay9-c4s3s5+c3c5= s0Ax+c0Az10c1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2) -s1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)+x1c1= c0Px-s0Pz-x011s1(x4c2c4-x4c3s2s4+x3c2+x2c2)+x1s1+c1(x4c4s2+x4c2c3s4+x3s2+x2s2)= Py-y012x4s3s4= s0Px+c0Pz注意：以上12个方程式中c0、c1、c2、c3、c4、c5分别为cosθ0、cosθ1、cosθ2、cosθ3、cosθ4、cosθ5的简写，s0、s1、s2、s3、s4、s5分别为sinθ0、sin θ1、s inθ2、sinθ3、sinθ4、sinθ5的简写。