2014年高考线性规划复习参考(答案)

2014年高考题专题整理 --不等式和线性规划第I 部分1.【2014年四川卷（理04）】若0a b >>，0c d <<，则一定有A ．a b c d >B ．a b c d <C ．a b d c >D ．a bd c<【答案】D【解析】由1100c d d c <<⇒->->，又0a b >>， 由不等式性质知：0a b d c ->->，所以a bd c<2.【2014年江西卷（理11）】(1).（不等式选做题）对任意,x y R ∈,111x x y y -++-++的最小值为A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】()|1||||1||1|1||11|123x x y y x x y y -++-++≥--+--+=+=3.【2014年安徽卷（理05）】y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+-≤--≤-+02202202y x y x y x ，若ax y z -=取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为（A ）21或1- （B ）2或21（C ）2或1（D ）2或1-【答案】D【解析】可行域如右图所示，ax y z -=可化为z ax y +=，由题意知2=a 或1-2=-+y x 022=--y x 022=+-y x xyO1-=k 2=k 21=k4.【2014年天津卷（理02）】设变量x 、y 满足约束条件20201x y x y y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最小值为A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】画出可行域，如图所示．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即点A (1，1)．当目标函数线过可行域内A 点时，目标函数有最小值，即z min ＝1×1＋2×1＝3.5.【2014年山东卷（理09）】已知y x,满足的约束条件⎩⎨⎧≥≤0,3-y -2x 0,1-y -x 当目标函数0)b 0,by(a ax z >>+=在该约束条件下取得最小值52时，22a b +的最小值为（A ）5（B ）4（C ）5（D ）2【答案】B【解析】10230x y x y --≤⎧⎨--≥⎩求得交点为()2,1，则225a b +=，即圆心()0,0到直线2250a b +-=的距离的平方2225245⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭。

2014年高考线性规划“亮题”作者：刘亮来源：《中学数学杂志(高中版)》2014年第04期综观近几年线性规划的命题，最初单纯考查可行域的画法、目标函数的几何意义，经过几年的演变，现在更关注线性规划与其它知识模块之间的综合.题型越来越活泼开放，从单一的、静态的线性规划发展到较为全面的、动态的线性规划.本文例举几道2014年高考线性规划“亮题”与诸位共同欣赏.1 线性规划与函数交汇例1 （2014年山东理）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，2x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为（）.A.5B.4C.5D.2答案 B.解析画出可行域（如图1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by经过直线2x-y-3=0与直线x-y-1=0的交点A（2，1）时，z取最小值25.将A（2，1）代入目标函数，得2a+b=25，以下用两种方法求a2+b2的最小值：图1方法1 （转化为二次函数求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），当a=455时，a2+b2的最小值是4.方法2 （利用几何意义）转化为求直线2a+b=25上的点到原点距离平方的最小值，即原点到直线2a+b=25的距离的平方，利用点到直线的距离公式即得.考点将简单的线性规划与非线性目标函数的最值相结合，考查简单线性规划的应用，二次函数的图像与性质，点到直线距离的几何意义.对于解决非线性目标函数最值问题的关键在于深挖目标函数的几何意义，利用数形结合思想求出最值.拓展探究若实数x，y 满足不等式组y≤x-1，x≤3，x+5y≥4，则x2y 的最小值是（）.2 线性规划与全称、存在量词结合例2 （2014年全国课标1）不等式组x+y≥1，x-2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.其中真命题是（）.A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p3答案 C.图2解析画出可行域（如图2），将四个命题依次代入检验，对于命题p1，可行域内的点恒在直线x+2y=-2的上方，即对所有可行域内的点都满足不等式x+2y≥-2（图3）;图3 图4同理对命题p2，可行域内存在点在直线x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（图4）.其他两个命题经检验不合适.考点考查不等式（组）表示的平面区域，全称、存在量词的含义.3 线性规划与“不等式恒成立”问题融合例3 （2014年浙江）当实数x，y满足x+2y-4≤0，x-y-1≤0，x≥1，时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 .答案 1，32.解析画出可行域，欲使不等式组1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域内的点恒在两条平行线之间，两条平行线斜率为-a，分别恒过（0，1），（0，4）点，如图5、图6可得a的取值范围.图5图6考点本题将线性规划与不等式恒成立问题相结合，本质是动态可行域问题，所谓动态的可行域，即在约束条件中含有使可行域发生变化的参数.对于动态的可行域问题，要注意切入的角度、方向，抓住一些不变的量，变动为静，向熟悉的、已有的知识转化，从而化解问题.本题两条平行线斜率含有参变量a，不变的量是两条平行线所过的定点，切入点是直线所过的定点.拓展探究（2014年湖南）若变量x，y满足约束条件y≤x，x+y≤4，y≥k，且z=2x+y的最小值为-6，则k= .4 线性规划与概率融汇例4 （2014年湖北）由不等式x≤0，y≥0，y-x-2≤0，确定的平面区域记为Ω1，不等式x+y≤1，x+y≥-2，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（）.A.18B.14C.34D.78答案 D.图7解析依题意，不等式组表示的平面区域（如图7），由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P=12×2×2-12×1×1212×2×2=78，选D.考点本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，属于中档题.拓展探究（2014年重庆）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30—7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.（用数字答）2014年线性规划高考题多以客观题形式考查，小巧玲珑，韵味十足.综合课标卷，各省市自主命题卷，都在创新上不遗余力，在能力立意的基础上，大胆的深化，为题目的命制提供新颖的背景，巧妙的条件，深度的设问.因此对于线性规划的高考复习要拓宽思路，改变程序化，特别注重线性规划与其他知识模块之间的综合.在牢固掌握基础知识和基本思想方法的同时，注重横向联系，善于挖掘其中的几何背景，抓住问题的实质，并通过一定的训练，切实提高学生的综合应用能力.作者简介刘亮，女，1979年生，山东济南人，一级教师.荣获全国高中青年数学教师优质课二等奖，山东省中学数学教师创新课堂一等奖，山东省中学数学教师优质课一等奖.多篇论文分别获得教育部全国高中数学课程论文比赛二等奖，山东省教育科研成果评选一等奖.发表多篇文章.。

2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题一、选择题 ( 本大题 共 12 题, 共计 60 分)1.已知集合2{2,0,2},{|20}A B x x x =-=--=,则A ∩B=（ ） A. ∅ B. {}2 C. {0} D. {2}-2.131ii+=-（ ） A.12i + B. 12i -+ C. 12i - D. 12i --3.函数()f x 在0x x =处导数存在，若0:()0p f x =：0:q x x =是()f x 的极值点，则（ ） A ．p 是q 的充分必要条件 B. p 是q 的充分条件，但不是q 的必要条件 C. p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件 D. p 既不是q 的充分条件，学科 网也不是q 的必要条件4.设向量,a b 满足10a b +=，6a b -=，则a b ⋅=（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 55.等差数列{}n a 的公差是2，若248,,a a a 成等比数列，则{}n a 的前n 项和n S =（ ） A. (1)n n + B. (1)n n - C.(1)2n n + D. (1)2n n - 6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ） A.2717 B.95 C.2710 D.317.正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2，，D 为BC 中点，则三棱锥11A B DC -的体积为A.3B.32C.1D.28.执行右面的程序框图，如果输入的x ，t 均为2，则输出的S =（ ） A.4 B.5 C.6 D.79.设x ，y 满足约束条件10,10,330,x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩则2z x y =+的最大值为（ ）A.8B.7C.2D.110.设F 为抛物线2:+3C y x 的焦点，过F 且倾斜角为30︒的直线交C 于A ,B 两点，则AB =（ ）A.3B.6C.12D.11.若函数()f x kx Inx =-在区间()1,+∞单调递增，则k 的取值范围是（ ）A.(],2-∞-B.(],1-∞-C.[)2,+∞D.[)1,+∞12.设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ）A.[－1,1]B.11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C.⎡⎣D.22⎡-⎢⎣⎦二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为_______.14. 函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为________.15. 偶函数)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，3)3(=f ，则)1(-f =________. 16.数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________. 三、解答题：17.（本小题满分12分）四边形ABCD 的内角A 与C 互补，2,3,1====DA CD BC AB . （1）求C 和BD ；（2）求四边形ABCD 的面积.18.（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 是PD 的中点.（1）证明：PB //平面AEC ；（2）设1,3AP AD ==，三棱锥P ABD -的体积34V =，求A 到平面PBC 的距离.19.（本小题满分12分）某市为了考核甲、乙两部门的工作情况，随机访问了50位市民，根据这50位市民对这两—部门的评分（评分越高表明市民的评价越高），绘制茎叶图如下：（1）分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数；（2）分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于90的概率；（3）根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价.20.（本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆C:22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直，直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且1||5||MN F N =，求,a b .21.（本小题满分12分）已知函数32()32f x x x ax =-++，曲线()y f x =在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为2-. （1）求a ；（2）证明：当1k <时，曲线()y f x =与直线2y kx =-只有一个交点.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于,B C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =； （2）22AD DE PB ⋅=23.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ,[0,]2πρθθ=∈.（1）求C 得参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标.24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数1()||||(0)f x x x a a a=++-> （1）证明：()2f x ≥；（2）若(3)5f <，求a 的取值范围.2014年普通高等学校招生全国统一考试（2 新课标Ⅱ卷）数学(文)试题参考答案：参考答案1．B 【解析】试题分析：由已知得，{}21B =，-，故{}2A B =，选B ． 考点：集合的运算． 2．B 【解析】试题分析：由已知得，131i i+-(13)(1i)2412(1i)(1i)2i ii ++-+===-+-+，选B ． 考点：复数的运算．3．C 【解析】试题分析：若0x x =是函数()f x 的极值点，则'0()0f x =；若'0()0f x =，则0x x =不一定是极值点，例如3()f x x =，当0x =时，'(0)0f =，但0x =不是极值点，故p 是q 的必要条件，但不是q 的充分条件，选C ．考点：1、函数的极值点；2、充分必要条件． 4．A 【解析】试题分析：由已知得，22210a a b b +⋅+=，2226a a b b -⋅+=，两式相减得，44a b ⋅=，故1a b ⋅=．考点：向量的数量积运算． 5．A 【解析】试题分析：由已知得，2428a a a =⋅，又因为{}n a 是公差为2的等差数列，故2222(2)(6)a d a a d +=⋅+，22(4)a +22(12)a a =⋅+，解得24a =，所以2(2)n a a n d =+-2n =，故1()(n 1)2n n n a a S n +==+．【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n 项和． 6．C 【解析】 试题分析：由三视图还原几何体为一个小圆柱和大圆柱组成的简单组合体．其中小圆柱底面半径为2、高为4，大圆柱底面半径为3、高为2，则其体积和为22243234πππ⨯⨯+⨯⨯=，而圆柱形毛坯体积为23654ππ⨯⨯=，故切削部分体积为20π，从而切削的部分的体积与原来毛坯体积的比值为20105427ππ=． 考点：三视图． 7．C 【解析】 试题分析：如下图所示，连接AD ，因为ABC ∆是正三角形，且D 为BC 中点，则AD BC ⊥，又因为1BB ⊥面ABC ，故1BB AD ⊥，且1BB BC B =，所以AD ⊥面11BCC B ，所以AD 是三棱锥11A B DC -的高，所以111111133A B DC B DC V S AD -∆=⋅==．考点：1、直线和平面垂直的判断和性质；2、三棱锥体积． 8．D 【解析】试题分析：输入2,2x t ==，在程序执行过程中，,,M S k 的值依次为1,3,1M S k ===；2,5,2M S k ===；2,7,3M S k ===，程序结束，输出7S =． 考点：程序框图． 9．B 【解析】试题分析：画出可行域，如图所示，将目标函数2z x y =+变形为122zy x =-+，当z 取到最大值时，直线122z y x =-+的纵截距最大，故只需将直线12y x =-经过可行域，尽可能平移到过A 点时，z 取到最大值． 10330x y x y --=⎧⎨-+=⎩，得(3,2)A ，所以max z 3227=+⨯=．考点：线性规划． 10．C 【解析】试题分析：由题意，得3(,0)4F ．又因为0k tan 30==故直线AB 的方程为3y )4=-，与抛物线2=3y x 联立，得21616890x x -+=，设1122(x ,y ),(x ,y )A B ，由抛物线定义得，12x x AB p =++= 168312162+=，选C ． 考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义． 11．D 【解析】试题分析：'1()f x k x =-，由已知得'()0f x ≥在()1,x ∈+∞恒成立，故1k x≥，因为1x >，所以101x<<，故k 的取值范围是[)1,+∞． 【考点】利用导数判断函数的单调性．12．A【解析】试题分析：依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．考点：1、解直角三角形；2、直线和圆的位置关系．13．13 【解析】试题分析：甲，乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种有9种不同的结果，分别为（红，红），（红，白），（红，蓝），（白，红），（白，白），（白，蓝），（蓝，红），（蓝，白），（蓝，蓝）．他们选择相同颜色运动服有3种不同的结果，即（红，红），（白，白），（蓝，蓝），故他们选择相同颜色运动服的概率为3193P ==． 考点：古典概型的概率计算公式．14．1【解析】试题分析：由已知得，()sin cos cos sin 2cos sin f x x x x ϕϕϕ=+-sin cos cos sin x x ϕϕ=-sin()x ϕ=-1≤，故函数x x x f cos sin 2)sin()(ϕϕ-+=的最大值为1．考点：1、两角和与差的正弦公式；2、三角函数的性质．15．3【解析】试题分析：因为)(x f y =的图像关于直线2=x 对称，故(3)(1)3f f ==，又因为)(x f y =是偶函数，故(1)(1)3f f -==．考点：1、函数图象的对称性；2、函数的奇偶性．16．12． 【解析】试题分析：由已知得，111n n a a +=-，82a =，所以781112a a =-=，67111a a =-=-，56112a a =-=， 451112a a =-=，34111a a =-=-，23112a a =-=，121112a a =-=．三、解答题（17）解：（I ）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C =+-⋅=1312cos C - ， ①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cos C =+. ②由①，②得1cos 2C =，故060C =，7BD = （Ⅱ）四边形ABCD 的面积11sin sin 22S AB DA A BC CD C =⋅+⋅ 011(1232)sin 6022=⨯⨯+⨯⨯ 23=（18）解：（I ）设BD 与AC 的交点为O ，连结EO.因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点，又E 为PD 的中点，所以EO ∥PB.EO ⊂平面AEC ，PB ⊄平面AEC,所以PB ∥平面AEC.（Ⅱ）V 166PA AB AD AB =⋅⋅=.由4V =，可得32AB =.作AH PB ⊥交PB 于H 。

专题13：线性规划1.（2012年西城一模理3）若实数x ，y 满足条件0,30,03,x y x y x +≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤≤⎩则2x y -的最大值为（ ）A ．9B ．3C ．0D ．3-2．（2012年东城一模理3）若实数x ，y 满足不等式组1,2,0,y x y x y +≤⎧⎪-≤⎨⎪≥⎩则y x z 2-=的最小值为（ ） A ．27-B ． 2-C ．1D ．253.（2012年丰台一模理2）若变量x ，y 满足约束条件0,21,43,y x y x y ≤⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩则z=3x+5y 的取值范围是（ ）A.[3,)+∞B.[-8,3]C.(,9]-∞D.[-8,9]4.（2012年东城11校联考理7）已知约束条件340,210,380,x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩若目标函数)0(>+=a ay x z 恰好在点(2,2)处取得最大值，则a 的取值范围为( )A. 310<<aB.31≥a C . 31>a D . 210<<a5．（2012年门头沟一模理13）在平面上有两个区域M 和N ，其中M 满足002y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+≤⎩，N 由1t x t +≤≤ 确定，当0t =时，M 和N 公共部分的面积是 ；当01t ≤≤时， M 和N 的公共部分面积的最大值为 ．6.（2012年朝阳二模理11）若实数,x y 满足10,0,x y x -+≤⎧⎨≤⎩则22x y +的最小值是 .7.（2012年海淀二模理4）若整数,x y 满足⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≥+≤-2311y y x y x 则2x y +的最大值是（ ）A ．1B.5C.2D.38.（2012年昌平二模理13）若变量 x , y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≥≤400x y y x 表示平面区域M ，则当-42≤≤a 时，动直线a y x =+所经过的平面区域M 的面积为_____________.9.（2012年房山二模理）．若x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≥+-≥+30030x y x y x ，则y x z -=2的最大值为（ ）（A ）9 （B ）8 （C ）7 （D ）610．（2013届北京丰台区一模理科）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是（ ）A ．3eB ．2eC ．1D ．4e -11．（2013届北京丰台区一模理科）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（ ） A ．13 B ．18 C ．21 D ．2612．（2013届北京海滨一模理科）不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2-B ．1-C ．0D ．113．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（ ）A ．14B ．15C ．16D ．1714．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．1415．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（ ） A ．[6,15] B ．[7,15] C ．[6,8] D ．[7,8]16．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b +的取值范围是（ ）A ．416(,)55B ．4(,16)5C ．(1,16)D ．16(,4)517．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（ ） A ．[]52,22 B ．(]23,22C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,018．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知,x y 满足约束条件24,2400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，则zx y =+的最大值为 19．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）已知直线y x b =+与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B 两点，若AB ≥b 的取值范围是________.20．（北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若关于x ，y 的不等式组0,,10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩………（k 是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = . 21．（北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）点(,)P x y 在不等式组0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =22．（北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S 的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .。