曲线论(三)
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§3曲线的概念
曲线是微分几何所研究的主要对象，因此先弄清曲线的概念。
一 曲线的概念
1 有关映射的知识
映射：给出两个集合E ，E '。
若对每个x E x E ''∈∈，有与x 对应， 则称给定了从E 到E '的一个映射，记作f 。
x '称为x 的像，x 称为x '的原像。
也记为x '=f(x).
单射：若1212x x E x x ∈≠
≠12，，时有f(x )f(x ), 则称
f 是单射。
满射：若对每个,(),(),x E x E x f x f E E ''''∈∈==都存在使或则称f 是到上的映射，也叫满射。
一一映射：单且满的映射叫做一一映射。
连续映射： 设E ，E '为欧氏空间的两个集合，0,x E ∈若对任意小 的0((),())d f x f x εδδε∃<0>0，>0使当d(x ,x)<时有，则称f 在0x 连续。
对于E 中每一点x ，f 在x 连续，则称映射f 是连续的。
逆映射：若f 是E 到E '的一一映射，则这个映射也确定了一个
从E '到E 的一个一一映射x E ''∈-1
f : 使对对任意的，如果x '=f(x)，
x E ∈，则'-1-1
f (x )=x,映射f
叫做f 的逆映射。
拓扑映射或同胚：一一的、双方连续（即f, -1
f 都连续）的映
射称为同胚或拓扑映射。
2 简单曲线段
① 定义 称开线段到三维空间中的拓扑映射的像为简单曲线段。
注：有的教材中把自身不相交的曲线称为简单曲线段。
例 开线段弯成开圆弧，从开线段到开圆弧有一个拓扑映射，因 此圆弧是简单曲线段。
在一张长方形的纸上画一条斜的 直线，把这张纸卷成圆柱面，则直线 成为圆柱螺线。
从直线到圆柱螺线的 映射是拓扑映射，因此螺线是简单曲 线段。
说明：对任何曲线“小范围”的研究总可以作为简单曲线段来研究。
因此，以后讨论曲线时都指简单曲线段。
② 曲线的方程
在直线上引入坐标t(a<t<b),在空间引入直角坐标(x,y,z),则从直线
段到空间曲线段的映射用代数可以表示为：()
(),,()x x t y y t a t b t z z t =⎧⎪
=<<⎨⎪=⎩
为参数。
这就是曲线的方程。
例 开线段取为（0，2π）,圆弧的参数方程是cos ,02;sin x a t t y a t
π=⎧<<⎨
=⎩
圆柱螺线的参数方程是cos sin ,.x a t y a t t z bt =⎧⎪
=-∞<<+∞⎨⎪=⎩
取123
()()()(),()r t x t e y t e z t e r t =++ 视的始点为原点,则当t 在(a,b)
内取值时, ()r t
的终点在空间画出一条轨迹.这轨迹就是曲线:
()
(),,()x x t y y t a t b t z z t =⎧⎪
=<<⎨⎪=⎩
为参数。
我们把()r r t =
称为曲线的矢量式方程.
圆(挖掉(a,0)点)的矢量式参数方程为:
{cos ,sin },02r a t a t t π=<<
.
圆(挖掉(a,0)点)的矢量式参数方程为: {cos ,sin },02r a t b t t π=<<
圆柱螺线的向量式参数方程是: {cos ,sin ,},r a t a t bt t =-∞<<+∞
.
二 光滑曲线 曲线的正常点
1 光滑曲线:
如果曲线的参数表示式()(),,()x x t y y t a t b t z z t =⎧⎪
=<<⎨⎪=⎩
为参数
或
()r r t =
中的函数是k
C
函数，则该曲线叫做k C 类曲线。
当k=1时，
即1
C 类曲线叫做光滑曲线。
2 正常点：设()r r t = 是1
C 类曲线，如果0()0r t '≠ ，则称0t 对
应的点是曲线的正常点。
也叫正则点。
否则叫奇异点。
说明
①若恒有0()0r t '=
，则()r
r t =
是常向量，常向量只表示一
点，所以在一段曲线上，0()0r t '=
的点一般是孤立点。
这样的点毕竟
很特殊，我们以后只考虑曲线的正常点。
②0t 对应的点是曲线的正常点⇔0()0r t '≠
⇔000(),(),()x t y t z t '''
不全为零。
③在正常点的邻域内，曲线的方程总可以写成一般式()()
y x z x ϕψ=⎧⎨
=⎩
（或()(),()()
x y x z z y y z ϕϕψψ==⎧⎧⎨⎨==⎩⎩或 ）。
因为若0()0r t '≠
时，0()0x t '≠，则在0
t 点附近
x(t)有反函数：t=t(x)，将其带入()()
y t z t ϕψ=⎧⎨
=⎩即得。
④曲线在正常点处切线唯一存在，在奇异点处切线不存在。
3 正则曲线
若曲线上的每个点是正常点，则该曲线叫做正则曲线。
注：正则曲线与简单曲线是两个独立的概念。
(){cos (2cos 1),sin (2cos 1),0},02,r θθθθθθπ=--≤≤ ()0r θ'≠
，是正
而32(){,,0}r t t t =
在
t=0
处，(0)0r '=
所以t=0对应的点（0，0，0）是奇异 点，但它是简单曲线。
三 曲线的切线与法面
1 切线的定义
给定曲线一点P ，点Q 是P 的邻近的一点，
如果让割线PQ 绕P 点旋转，使Q 点沿曲线无限趋于P 时，割线PQ 无限趋近于某一固定位置，我们把这个割线PQ 的极限位置的直线叫做曲线在P 点的切线，而P 点叫做切点。
由于00000()()()(),lim ......()t r t t r t PQ r t t r t t
∆
→+∆-=+∆-*∆ 而， 曲线在P 点的切线是PQ 在0t ∆→时的极限位置，可知0()r t '
是曲线在
P 点的切线上的一个向量，称为曲线在P 点的切向量。
由式子（*）可知，这个切向量0()r t '
是和曲线的参数t 的增值方向一致的。
从直观上看，切线是在切点附近通过切点的所有直线中最贴近曲线的直线。
2 切线的方程
设切点P 对应的参数为0t ，P 点的向径为0()r t ,{,,}x y z ρ=
是切
线上任一点的径矢，则P 点的切线方程是：00()()r t tr t ρ
'=+
或
000
00
()()
()()()
()x x t y y t z
z t x t y t z t --
-=
=
''' 。
例
求圆柱螺线
(){cos ,sin ,}=3
r t a t a t bt π=
在处的切线方程。
3 曲线的法面
定义 经过切点且垂直于切线的平面叫做曲线的法面。
显然，曲线在P 点切向量0()r t ' 是曲线在P 点的法面的法向量。
因此，曲线在P 点（向径为0()r t
）的法面方程是00[()]()0r t r t ρ'-⋅=
或000000[()]()[()]()[()]()0x x t x t y y t y t z z t z t '''-⋅+-⋅+-⋅=。
例 求圆柱螺线(){cos ,sin ,}=6
r t a t a t bt π=
在处的法面方程。
习题 P 28 1, 3 .。
