利用导数判断函数的单调性49671

• 注意：(1)用曲线的切线的斜率来理解法则， 当切线斜率非负时，切线的倾斜角小于90°， 函数曲线呈向上增加状态；当切线斜率为负 时，切线的倾斜角大于90°，小于180°，函数 曲线呈向下减少状态．
• (2)如果在某个区间内恒有f′(x)＝0，则f(x)在 这个区间上等于常数．
• (3)对于可导函数f(x)来说，f′(x)>0是f(x)在(a， b)上为单调增函数的充分不必要条件，f′(x)<0 是f(x)在(a，b)上为单调减函数的充分不必要 条件，例如：f(x)＝x3在R上为增函数，但f′(0) ＝0，所以在x＝0处不满足f′(x)>0.
• [答案] C
• 求函数f(x)＝3x2－2lnx的单调区间．
[解析] 函数的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝6x－2x＝23xx2－1. 由 f′(x)>0， 即3x2x－1>0，得 x> 33， ∴函数 f(x)的增区间为( 33，＋∞)，
•判断或证明函数的单调性
函数．
试证明：函数 f(x)＝lnxx在区间(0,2)上是单调递增
•构造函数证明不等式
已知 0<x<π2，求证 tanx>x. [解题提示] 设 f(x)＝tanx－x，x∈[0，π2)，注意到 f(0)＝tan0 －0＝0，要证的不等式变为：当 0<x<π2时，f(x)>f(0)．这只需证 明 f(x)在[0，π2)上单调递增．
当 x>0 时，证明不等式 ln(x＋1)>x－12x2. [解析] 令 f(x)＝ln(x＋1)－x＋12x2，定义域为(－1，＋∞)， 则 f′(x)＝1＋1 x－1＋x＝1＋x2 x. 当 x∈(－1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(－1，＋∞)上是增函数． 于是当 x>0 时，f(x)>f(0)＝0，

利用导数判断函数的单调性函数)(x f y =在某个开区间内可导，如果总有 0)('>x f ，则 )(x f 在这个区间上是增函数；如果总有 0)('<x f ，则 )(x f 在这个区间上是减函数；如果恒有0)('=x f ，则)(x f 为常函数。

注意：在某一区间内0)('>x f （或0)('<x f ）是函数)(x f 在该区间上为增函数（或减函数）的充分条件，但不是必要条件。

1、已知2212)(x x x f -=，)10(log )(≠>=a a x x g a 且，)()()(x g x f x h -=在定义域上为减函数，且其导函数)('x h 存在零点。

（I ）求实数a 的值；(II)函数)(x p y =的图象与函数)(x g y =的图象关于直线x y =对称，且)('x P y =为函数)(x p y =的导函数，))(,(),,(212211x x y x B y x A <是函数)(x p y =图象上两点，若21210')(x x y y x P --=，判断210x x x 、、的大小，并证明你的结论 解：ax x g x x f ln 1)(',2)('=-= ………………………………………………（1分） ()()()h x f x g x =- 在()+∞,0上递减 0)('≤∴x h 对一切()+∞∈,0x 恒成立 即x x a 2ln 12+-≥对一切()+∞∈,0x 恒成立),0()2(ln 1m ax 2+∞∈+-≥⇔x x x a令1ln 1,11)1(2)(22≥∴≤+--=+-=ax x x x u ………………………………（3分） 1ln 10ln 11400ln 12)('2≤⇒≥⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=∆∴∞+=+-∴a a a x x x h ）上有根，在（存在零点，e a a =⇒=∴1ln …………（6分） 120121210212(()ln (),(8), x x x x x x x x g x x p x e x x x e e e e e e e x x =∴=<<-<<<<- Ⅱ)猜测…………………………………分只需证即令)()()(222x x e e x x e x F x x x <+--= ……………………………………（9分） ()1121121222121212'()()0(),,()0(),(11)x x x x x x x x x x x F x e e x x e e x x e F x x F x F x e e e x x e e e x x =+--=-<∴-∞>=-∴->-<-在上递减则（）即……………………………………分同理22121x x x e x x e e <-- …………………………………………………………（12分）利用导数判断函数的单调性例题分析复习回忆：利用导数判断单调性的充分条件——）上单调递减。

作业:
6．已知函数 f(x)＝2ax－x12. (1)若 f(x)在(0,1]上是增函数，求 a 的取值范围； (2)若 f(x)的单调增区间是(0,1)，求 a 的值．
解：(1)f′(x)＝2a＋x23，且 f(x)在(0,1]上是增函数， 故 f′(x)≥0 恒成立，所以 a≥－x13恒成立， 又 y＝－x13在(0,1]上的最大值是－1，故 a≥－1. a 的取值范围为[－1，＋∞)． (2)∵f(x)的单调递增区间是(0,1)， ∴f′(x)＝2a＋x23>0 的解集是(0,1)．即ax3x＋3 1>0 的解集是(0,1)． ∴ 3 －1a＝1，解得 a＝－1.
递减区间是:
(2k23,2k43 )k(Z).
3
3
例2:设f(x)=ax3+x恰有三个单调区间,试确定a的取值 范
围,并求其单调区间.
解: f(x)3a2x1.
若a>0, f(x)0对一切实数恒成立,此时f(x)只有一 个单调区间,矛盾.
若a=0, f(x)1此时0,f(x)也只有一个单调区间,矛盾.
G=(a,b)
y
y
oa
bx
若 f(x) 在G上是增函数或减函数，
则 f(x) 在G上具有严格的单调性。
oa
bx
G 称为单调区间
(1)函数的单调性也叫函数的增减性；
01ห้องสมุดไป่ตู้(2)函数的单调性是对某个区间而言的，它是个局部概 念。这个区间是定义域的子集。
02 (3)单调区间：针对自变量x而言的。 若函数在此区间上是增函数，则为单调递增区间； 若函数在此区间上是减函数，则为单调递减区间。 以前,我们用定义来判断函数的单调性.在假设x1<x2的前提下,比较f(x1)<f(x2)与的大小,在函数y=f(x)比较复杂的情况下,比较f(x1)与f(x2)的 大小并不很容易.如果利用导数来判断函数的单调性就比较简单.

上任意割线的斜率小于零等价）.由导数的定义，从形的 角度考虑，切线的斜率是由割线的斜率去逼近的，可以得 到区间内任意一点的切线斜率小于等于零.
通过前面的研究，我们可以看到，对可导函数来说， 由单调性可以得到导函数的符号，反过来，已知导函数在 某区间上的符号也可以得到函数的单调性.
f x x2 2x 4
令 2x 2 0 ，解此不等式，得 x 1 .
所以f(x)的递增区间为 1, ；
令 2x 2 0 ，解此不等式，得 x 1 .
所以f(x)的递减区间为 ,1 .
f x x3 3x
解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 x 1 或 x 1 .
因此，f x在区间 , 1 和 1，+ 内是增函数.
单调递增;
对 x a，b，有 f x 0 f x在 a，b 上
单调递减.
以 f x 在 a，b上单调递增为例，由单调性的定义，
其中 x1 x2 和 f x1 f x2 这个条件，可以用一个代 数式表达：f x1 f x2 0 .
x1 x2
几何意义：平均变化率，割线的斜率.
f x x3 3x 解： f x 3x2 3，
令 3x2 3 0，
解此不等式，得 1 x 1 .
因此，f x在区间 1,1 内是减函数.
y f x
1 x 4 f x 0 x 4 x 1 f x 0 x 1 x 4 f x 0
y f x
y f x
1 x 4 f x 0
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