第4章快速傅里叶变换FFT
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knNW NN第四章 快速傅里叶变换有限长序列可以通过离散傅里叶变换(DFT)将其频域也离散化成有限长 序列.但其计算量太大,很难实时地处理问题,因此引出了快速傅里叶变换 (FFT). 1965 年,Cooley 和 Tukey 提出了计算离散傅里叶变换(DFT )的快 速算法,将 DFT 的运算量减少了几个数量级。
从此,对快速傅里叶变换(FFT ) 算法的研究便不断深入,数字信号处理这门新兴学科也随 FFT 的出现和发 展而迅速发展。
根据对序列分解与选取方法的不同而产生了 FFT 的多种算 法,基本算法是基2DIT 和基2DIF 。
FFT 在离散傅里叶反变换、线性卷积 和线性相关等方面也有重要应用。
快速傅里叶变换(FFT )是计算离散傅里叶变换(DFT )的快速算法。
DFT 的定义式为N −1X (k ) = ∑ x (n )W NR N (k )n =0在所有复指数值 W kn 的值全部已算好的情况下,要计算一个 X (k ) 需要 N 次复数乘法和 N -1 次复数加法。
算出全部 N 点 X (k ) 共需 N 2次复数乘法和 N ( N − 1) 次复数加法。
即计算量是与 N 2 成正比的。
FFT 的基本思想:将大点数的 DFT 分解为若干个小点数 DFT 的组合, 从而减少运算量。
W N 因子具有以下两个特性,可使 DFT 运算量尽量分解为小点数的 DFT运算:(1) 周期性:( k + N ) nN= W kn= W ( n + N ) k(2) 对称性:W( k + N / 2 )= −WkN N利用这两个性质,可以使 DFT 运算中有些项合并,以减少乘法次数。
例子: 求当 N =4 时,X(2)的值4 N N N3∑44444X (2) = n =0x (n )W 2 n = x (0)W 0 + x (1)W 2 + x (2)W 4 + x (3)W 6= [ x (0) + x (2)]W 0 + [ x (1) + x (3)]W 2(周期性)4=[ x (0) + x (2)]-[ x (1) + x (3)]W 04(对称性)通过合并,使乘法次数由 4 次减少到 1 次,运算量减少。
实验四 快速傅里叶变换(FFT )4.1实验目的1)加深对快速傅里叶变换(FFT )基本理论的理解;2)了解使用快速傅里叶变换(FFT )计算有限长序列和无限长序列信号频谱的方法;3)掌握用MATLAB 语言进行快速傅里叶变换时常用的子函数。
4.2实验原理1)用MATLAB 提供的子函数进行快速傅里叶变换从理论学习可知,DFT 是唯一在时域和频域均为离散序列的变换方法,它适用于有限长序列。
尽管这种变换方法是可以用于数值计算的,但如果只是简单的按照定义进行数据处理,当序列长度很大时,则将占用很大的内存空间,运算时间将很长。
快速傅里叶变换是用于DFT 运算的高效运算方法的统称,FFT 只是其中的一种。
FFT 主要有时域抽取算法和频域抽取算法,基本思想是将一个长度为N 的序列分解成多个短序列,如基2算法、基4算法等,大大缩短了运算的时间。
MATLAB 中提供了进行快速傅里叶变换(FFT )的子函数,用fft 计算DFT ,用ifft 计算IDFT 。
2)用FFT 计算有限长序列的频谱基本概念:一个序号从1n 到2n 的时域有限长序列()x n ,它的频谱()j X e ω定义为它的离散时间傅里叶变换,且在奈奎斯特(Nyquist )频率范围内有界并连续。
序列的长度为N ,则211N n n =−+。
计算()x n 的离散傅里叶变换(DFT )得到的是()j X e ω的N 个样本点()k j X e ω。
其中数字频率为k 2πω()d ωk k N== 式中:d ω为数字频率的分辨率;k 取对应-(N -1)/2到(N -1)/2区间的整数。
在实际使用中,往往要求计算出信号以模拟频率为横坐标的频谱,此时对应的模拟频率为s s 2π2πΩω/T ()()T k k k k kD N L==== 式中:D 为模拟频率的分辨率或频率间隔;T s 为采样信号的周期,Ts =1/Fs ;定义信号时域长度L =N T s 。
fft课程设计一、课程目标知识目标:1. 学生能理解傅里叶变换的基本概念,掌握快速傅里叶变换(FFT)的原理及其应用。
2. 学生能运用FFT解决实际信号处理问题,如信号的频谱分析、图像处理等。
3. 学生了解FFT在工程、科研等领域的广泛应用。
技能目标:1. 学生掌握运用数学软件(如MATLAB)进行FFT操作,能对给定信号进行频谱分析。
2. 学生能运用FFT对实际问题进行建模、求解,并分析结果。
3. 学生具备团队协作能力,能在小组讨论中发表见解,共同解决问题。
情感态度价值观目标:1. 学生对数学及信号处理产生兴趣,认识到数学在现实生活中的重要性。
2. 学生培养勇于探索、积极进取的学习态度,面对困难时保持积极的心态。
3. 学生通过本课程的学习,增强对科技创新和工程实践的认识,提高国家使命感和社会责任感。
课程性质:本课程为选修课,旨在帮助学生掌握快速傅里叶变换(FFT)的基本原理和应用,提高数学素养和实际操作能力。
学生特点:学生为高中二年级学生,已具备一定的数学基础和编程能力,对新技术和新知识具有强烈的好奇心。
教学要求:结合学生特点,注重理论与实践相结合,采用案例教学、小组讨论等多种教学方法,提高学生的参与度和实践能力。
通过本课程的学习,使学生能够将所学知识应用于实际问题,培养解决复杂问题的能力。
二、教学内容1. 引入傅里叶变换的基本概念,包括连续傅里叶变换和离散傅里叶变换。
- 理解信号的频谱分析意义,引入周期信号和非周期信号的频谱表示。
- 课本章节:第三章傅里叶级数与傅里叶变换。
2. 快速傅里叶变换(FFT)的算法原理及其数学推导。
- 掌握蝶形算法的基本步骤,理解其降低计算复杂度的原理。
- 课本章节:第四章快速傅里叶变换。
3. FFT在实际信号处理中的应用案例。
- 分析信号处理中频谱泄露和栅栏效应,探讨FFT的应用解决方案。
- 课本章节:第五章FFT的应用。
4. 数学软件(MATLAB)在FFT中的应用。