第四章快速傅里叶变换
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第四章 快速傅里叶变换
X (k ) DFT [ x(n)] x(n)WNnk
n 0
N 1
n 0 n为偶数
nk x ( n ) W N
N 1
n 0 n为奇数
nk x ( n ) W N
N 1
9
X (k )
n 0 n为偶数
N 1
x(n)W
nk N
n 0 n为奇数
N 1
式中，X1(k)和X2(k)分别是x1(n)和x2(n)的N/2的DFT。 另外，式中k的取值范围是：0，1， …，N/2－1 。
10
k X ( k ) X ( k ) W 因此， 只能计算出X(k)的前一半值。 1 N X 2 (k )
后一半X(k) 值， N/2 ， N/2 ＋1， …，N-1 ？
结论：当N很大时，其运算量很大，对实时性很强的信号 处理来说，要求计算速度快，因此需要改进DFT的计算 方法，以大大减少运算次数。
6
4.2.2 减少运算工作量的途径
nk 主要原理是利用系数 WN 的以下特性对DFT进行分解：
（1）周期性 （2）对称性 （3）可约性 另外，
W
( n N ) k N
18
以8点为例第二次按奇偶分解
概念：信号流图
19
算法原理
对此例N=8，最后剩下的是4个N/4= 2点的DFT，2点
DFT也可以由蝶形运算来完成。N=2
X (k ) x(n)WNnk
n 0
N 1
k 0,1
蝶形运算
0 X (0) x(n)WNnk x(0) x(1) x(0) WN x(1) 0 X (1) x(n)WNnk x(0) x(1) x(0) WN x(1) n 0 n 0 N 1
《快速傅里叶变换》PPT课件
然后计算圆周卷积
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT法 计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
2
X1 k
x1
r
W rk N2
x
2r
W rk N2
r0
r0
（4.6）
N 1
N 1
2
2
X2 k
x2
r
W rk N2
x
2r
1
W rk N2
（4.7）
r 0
r0
应用系数的周期性
可得
N 1
X1
N 2
k
2 r 0
x1
r
W x r
N 2
k
N2
N 1 2
1
r0
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
y(n)也是有限长序列，其点数为L＋M－1。 2. 线性卷积运算量 乘法次数
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位FIR滤波器的乘法运算量
《快速傅里叶变换(FFT) 第四章》
方法： 分解N为较小值：把序列分解为几个较短的 序列，分别计算其DFT值； 利用旋转因子WNk的周期性、对称性、可 约性进行合并、归类处理，以减少DFT的运 算次数。 k ( kn WN m WNN m WN ( nlN ) WNk lN ) n WN 周期性： N m m N m N m m m m 对称性：Wm WNm [W WN N WNN [WNNN m ]] WN WN 2 WN WN 可约性：W mN N W knmW kn / m W kn m kmn ,m 2 2
x ( r ) W x ( r )W x ( r ) W x ( r )W e (r W x r) xxr) W( r ) W (WW (r )W W e W (2 ) x x x(2 r 1)
W e
2 j 2 kr 2 kr N N /2
N 2
2 这样将N点DFT分解为两个N/2点的DFT
N X (k ) X 1 (k ) W X 2k(k ) k 0,1, 1 N X (k ) X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 2 k X (kN X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 2 1 ) N2 k X (k N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, 1 N ) k X (k 2 N X 1 (k ) WN X 2 (k ) k 0,1, N 1 ) 2 k 2 X (k ) X (k ) W X (k ) k 0,1, 2 1
4.1 离散傅里叶变换的高效计算思路 DFT是信号分析与处理中的一种重要变换。但直接 计算DFT的计算量与变换区间长度N的平方成正比， 当N较大时，计算量太大，直接用DFT算法进行谱分 析和信号的实时处理是不切实际的。
信号与系统(第四章)-离散傅里叶变换与快速傅里叶变换
解：变量n用k替代
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
反转，并取主值区间序列
周期延拓
反转后
向右平移1位 向右平移3位
向右平移2位
于是，由
y
(n)
3
x(k
)h((n
k
))
4
G4
(n)
，得
k 0
y(0) 1114 13 02 8
y(1) 1 2 1114 03 7
y(2) 1312 11 04 6
y(3) 14 1312 01 9
➢ 线卷积与圆周卷积
• 线卷积的移位是平移，圆周卷积的移位是周期位 移。
• 线卷积不要求两序列长度一致。若 x(n)与h(n)的长度分别为M和N，则 y(n)=x(n)*h(n)的长度为M+N-1。 圆周卷积要求两序列长度一致，否则短序列须补 零，使两序列等长后，才可进行圆周卷积。
DFT ax1(n) bx2(n) aDFT x1(n) bDFT x2(n)
（4.9）
当序列x1(n)和x2(n)长度不一致时，则可通过将较 短序列补零，使两序列长度一致，此时，式(4.9)成立。
2、圆周位移特性 圆周时移：圆周时移指长度为N的序列x(n)，以N 为周期做周期延拓生成xp(n)，位移m位后，得序 列xp(n-m)，在此基础上取其主值区间上序列。
于是
x(n)
x(t)
t nTs
k
X e jk1nTs k
X e X e
j
2 T1
knTs
k
j 2 nk N
k
（4.3）
k
k
式（4.3）两边同乘
e
j 2 N
nm
，再取合式
N 1
，得
n0
第四章 快速傅里叶变换
运 算
X[3] 2WN0 3WN3 3WN6 2WN9 1 j
复数加法 N(N-1)
复数乘法 N 2
效 率
?
1.将长序列DFT分解为短序列的DFT 由于DFT的运算量与N2成正比，N越小，
DFT的运算量越少。所以如果把一个长序列 的DFT能分解为短序列的DFT的组合，则显 然可取得减少运算工作量的效果。
N 1
X (k) DFT[x(n)]
x(n)W
kn N
n0
N 1
N 1
x(n)WNkn＋ x(n)WNkn
n0 n为偶数
n0 n 为奇数
N / 21
N / 21
＝ x(2r)WN2rk x(2r 1)WN(2r1)k
r 0
r 0
N / 21
N / 21
＝ x1 (r)WN2rk WNk x2 (r)WN2rk
X 3 (k) WNk / 2 X 4 (k)
k 0,1, , N 1 4
将系数统一为以Ｎ为周期，即
，可得
Wk N/2
WN2k
X X
1 1
(k (k
) X 3 (k) WN2k X 4 (k) N / 4) X 3 (k) WN2k
X
4
(k
)
k 0,1, , N 1 4
同样，对也可进行类似的分解。一直分解
第4章 快速傅里叶变换
4.1 快速傅里叶变换
4点序列{2，3，3，2} DFT的计算复杂度 如
N 1
X [k] x[k]WNkn
何 提
n0
高
X[0] 2WN0 3WN0 3WN0 2WN0 10
DFT
X[1] 2WN0 3WN1 3WN2 2WN3 1 j
4 快速傅里叶变换
4.2 直接计算 DFT 的问题及改进的途径
设 x(n) 为 N 点有限长序列 , 其 DFT 为
X (k ) x(n)W , k 0,1,…,N-1
n 0 nk N
N 1
(4-1)
反变换( IDFT) 为
1 N 1 nk x(n) X (k )WN , n 0,1,…,N-1 N k 0
表示。流图的表示法 将在第五章中讨论 , 当支路上没有标出系数
时 , 则该支路的传输系数为 1 。
采用这种表示法 , 可将上面讨论的分解过程表示于图 4-2 中。 此图表示 N= =8 的情况 , 其中输出值 X(0) 到 X(3 )是由(4-11) 式给出的 , 而输出值 X(4 )到 X(7 )是由 (4-12) 式给出的。
前半部分X（k）（k=0，1……,N/2-1)
后半部分X（k）（k= N/2 ……,N-1)
这样 , 只要求出 0 到 (N/2-1 ）区间的所有
值 , 即可
求出 0 到 (N-1) 区间 内的所有 X(k）值 , 这就大大节省了运算。
(4-11）式和 (4-12）式的运算可以用图 4-1 的蝶形信号流图符号
nk （1） WN 的对称性
(W ) W
nk * N
nk N
nk （2 ） 的周期性 WN
W
（3）W
nk N 的可约性
nk N
W
W
( n N ) k N
W
n( k N ) N
W
nk N
nmk mN
,W
nk N
W
nk / m N /m
由此可得出
n ( N k ) ( N n ) k nk WN WN WN ,
数字信号处理_程佩青_PPT第四章
第四章 快速傅里叶变换 （FFT）
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
主要内容
DIT-FFT算法 DIF-FFT算法 IFFT算法 Chirp-z算法 线性卷积的FFT算法
§4.0 引言
FFT: Fast Fourier Transform
1965年，Cooley&Turky 发表文章《机器计算傅 里叶级数的一种算法》，提出FFT算法，解决 DFT运算量太大，在实际使用中受限制的问题。 FFT的应用。频谱分析、滤波器实现、实时信 号处理等。 DSP芯片实现。TI公司的TMS 320c30，10MHz 时钟，基2-FFT1024点FFT时间15ms。
又WN
k
N 2
W
N /2 N
W W
k N
k N
k X (k ) X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1 (2) X ( N k ) X ( N k ) W ( N / 2 k ) X ( N k ) 1 N 2 2 2 2 k X1 (k ) WN X 2 (k )，k 0,1,2,...N / 2 1
n为偶
n为奇
N / 2 1
rk k rk x ( r ) W W x ( r ) W 1 N /2 N 2 N /2 r 0 r 0 X1 ( k )
N / 2 1
2 rk rk （这一步利用： WN WN /2
） r , k 0,1,...N / 2 1
N为2的整数幂的FFT算法称基-2FFT算法。
将序列x(n)按n的奇偶分成两组：
x1 (r ) x(2r ) ，r 0， 1， 2， ...N/ 2 1 x2 (r ) x(2r 1)
第4章傅里叶变换ppt课件
23
例题4.6 求正弦波的频谱
解：
x(t)si n0tej0t
ej0t 2j
1 a1 2 j
a－1
－ 1 2j
X(j)j(0)j(0)
可编辑课件PPT
24
ej0t ej0t
x(t)co0st 2
a1
1 2
a－1
1 2
X (j ) ( 0 ) ( 0 )
本例的结论在信号调制理论中有着广泛的应用
可编辑课件PPT
12
例题4.2 求 x(t)(t) 的频谱。
解
X(j)x(t)ejtdt (t)ejtdt
(t)ej0dt1
可编辑课件PPT
13
单位冲激信号的频谱是常数1，或者说，在所有 的频率点上，频谱的值都是恒定的。
这个例子的物理含义非常广泛，它意味着，尖脉 冲信号的频谱非常宽，会对处于不同接收频率的电子 设备产生干扰。
X(jk0)ejk0t
0
面X 积 (jk0)ej k0t 0 k 0
X(j)ejtd
X(jk0)ejk0t0
k
可编辑课件PPT
10
0 0
傅里叶反变换
x(t)21 X(j)ejtd
一种分解
可编辑课件PPT
11
傅里叶变换
频谱
傅里叶正变换
X(j) x(t)ejtdt
F
F1
x(t)X(j) X(j)x(t)
可编辑课件PPT
2
抽样函数或者称为采样函数：
Sa(x) sinx x
S(ax)S(a x) 偶函数
通过罗必塔法则，可以得到
Sa(0) 1
Sa()0
x 抽样函数右边的第一个过零点在
快速傅里叶变换的原理及公式
快速傅里叶变换的原理及公式快速傅里叶变换（Fast Fourier Transform，FFT）是一种快速计算离散傅里叶变换（Discrete Fourier Transform，DFT）的算法。
DFT是将时域的离散信号转换为频域的频谱表示的技术，它在信号处理、图像处理、语音识别等领域有着广泛的应用。
FFT算法通过利用信号的特殊性质，提高了计算效率，使得在计算复杂度为O(NlogN)的时间内，完成了DFT的计算。
FFT的原理基于傅里叶级数展开的思想。
任何周期为T的信号，都可以用一组正弦信号和余弦信号的和来表示。
傅里叶级数展开公式如下所示：f(t) = A0 + Σ[Ak*cos(kω*t) + Bk*sin(kω*t)]其中，f(t)表示信号的时域表示，A0表示直流分量，Ak和Bk表示信号的谐波分量，ω=2π/T表示信号的角频率。
FFT算法的主要思想是将DFT的计算分解为多个较小规模的DFT计算。
假设原始信号的长度为N，当N为2的幂时，可以将信号分为两个长度为N/2的子序列。
通过对这两个子序列分别进行FFT计算，然后合并计算结果，就得到了原始信号的DFT。
FFT算法可以描述为分治法的一个典型应用。
通过将信号分为两个子序列，FFT的计算可以分为两个阶段：变址和蝶形算法。
变址阶段的目标是将原始信号重新排列成迭代结构的形式，这样方便后续的计算。
变址操作通过位逆序运算实现，即将信号的各个元素按照二进制位翻转顺序重新排列。
蝶形算法是FFT计算的核心部分。
蝶形算法通过将信号的DFT计算分解为一系列蝶形运算，每个蝶形运算只涉及到两个元素的计算。
一个蝶形运算可以表示为如下公式：Xk=Xk_0+W_N^k*Xk_1Xk+N/2=Xk_0-W_N^k*Xk_1其中，Xk和Xk+N/2表示将原始信号分为两部分计算得到的结果，Xk_0和Xk_1分别是这两部分的数据，W_N^k表示旋转因子，计算公式为W_N^k = exp(-2πi*k/N)。
快速傅里叶变换
n 0 N 1
r 0,1,
, N 2 1
N / 2 1
r 0
x(2r )WN
2 rk
N / 2 1
r 0
x(2r 1)WN
(2 r 1) k
N / 2 1
r 0
rk k x(2r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
rk x(2r 1)WN /2
N 2 N N ( N 1） N 2 所以8点FFT求X (k )共需 36次复数乘法, 2 2 2 2 N N2 N ( 1) N 32次复数加法, 共计为68次。看出仅做一次 2 2 分解就可以节省约一半计算量。
(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3) X2(0)
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3)
1 2
x2(r) x2(0)=x(1)
奇 数 序 列
x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
X2(1)
X2(2)
WN
WN
X2(3)
3 WN
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1 X(4)~X(7)
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ 1） X 1 (1) X 2 (1)W81
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
同学们自已写
比较直接计算N=8点DFT 与分解2个4点DFT的
r 0,1,
, N 2 1
N / 2 1
r 0
x(2r )WN
2 rk
N / 2 1
r 0
x(2r 1)WN
(2 r 1) k
N / 2 1
r 0
rk k x(2r )WN W /2 N
N / 2 1
r 0
rk x(2r 1)WN /2
N 2 N N ( N 1） N 2 所以8点FFT求X (k )共需 36次复数乘法, 2 2 2 2 N N2 N ( 1) N 32次复数加法, 共计为68次。看出仅做一次 2 2 分解就可以节省约一半计算量。
(2)N/2(4点)-->N/4(2点)FFT
N/2点 DFT
X1(1)
X1(2)
X1(3) X2(0)
WN
0
X(0) X(1) X(2) X(3)
1 2
x2(r) x2(0)=x(1)
奇 数 序 列
x2(1)=x(3) x2(2)=x(5) x2(3)=x(7)
N/2点 DFT
X2(1)
X2(2)
WN
WN
X2(3)
3 WN
X(4) -1 X(5) -1 X(6) -1 X(7)
-1 X(4)~X(7)
如：X（0） X 1 (0) X 2 (0)W80 X（2） X 1 (2) X 2 (2)W82
X（ 1） X 1 (1) X 2 (1)W81
X（3） X 1 (3) X 2 (3)W83
同学们自已写
比较直接计算N=8点DFT 与分解2个4点DFT的
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第四章 快速傅里叶变换
1. 引言 2. 直接计算DFT的问题及改进的途径 3. 按时间抽选（DIT）的基－2FFT算法 4. 离散傅里叶反变换（IDFT）的快速计算方
法 5. N为复合数的FFT算法－混合基算法 6. 线性调频Z变换（Chirp-z变换）算法 7. 线性卷积与线性相关的FFT算法
1. 引言
先将x(n)分段，每段补上L＝N－M＋1个点；序列
中补零处不补零，而每一段的前边补上前一段保
留下来的（M－1）个输入序列值，组成L＋M－1
点序列
，如图4.30a所示。
如果
，则可在每段序列未端补
零值点，补到长度为2m。
二、线性相关的FFT算法：常称之为快速相关，要 利用补零值点的办法避免混叠失真。
的确定
第m级运算由4－21式写成
其中r的求解方法为
6. 存储单元 输入序列 系数
N个单元 N/2个单元
四. 按时间抽选的FFT算法的其它形 式流程图
4.5 离散傅里叶反变换的快速计算方 法
从IDFT公式
与DFT公式
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
（3）N是复合数，即它可以分解成一些成一些因子 的乘积，用混合基算法。
一. 整数的多基多进制表示形式
（1）对于二进制，
表示为
二进制倒序为
（2）对于r进制，正序
倒序
（3）对于多进制或称混合基 N可以表示成复合数，
的任一个正整数n,可以按L个基 表示。正序
倒序
，则对于
在这一多进制的表示中 可记为
, N1 2
（4.12）
这样，4.11、12式只要0-(N/2-1)区间的所有
X(k)值。
的值，即可求0到(N-1)区间所有
4.11和4.12式用图4－1的蝶形符号表示。
N＝8的情况如图4－2
分析：每个蝶形运算需要一次复数乘法
及
两次复数加（减）法。通过分解后运算工作量差不
多减少到一半。
4.42式可进一步表示为
式中
N为复合数
的DFT算法的步骤归纳如下：
（1）将x(n)改写成
利用
利用4.44式做 个 点DFT，得
利用4.45式，把N个
子
，组成
乘以相应的旋转因 。
利用4.46式，做 个 点DFT，得
利用4.47式，进行整序，得到
其中
对于
重写n和k的表达式
则4.44式变成
X再2考N2虑k性质XW 2N kN 2k
WNN2WN k WN k
（4.9） （4.10）
把4.8,4.9,4.10代入4.5式，将X(k)表达成前后两部
分，前部分为
X kX 1k W N kX 2k, k 0,1,
,
N 2
1
（4.11）
后部分为
XkN2X1kN2WNrkN2X2kN2
X1kWNkX2k,k0,1,
这时
当L太大时，体现不出圆周积分的优点。 解决办法：分段卷积或称分段过滤
1. 重叠相加法
设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。将x(n)
分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级
相同，用
表示x(n)的第i段
则输入序列可表示成
（4.108） （4.109）
线性卷积为
（4.110）
进一步把N/2点子序列再按奇偶部分分解为两个N/4 点的子序列
且 其中
图4－3，给出N＝8时，在分解为两个N/4点DFT， 由两个N/4点DFT组合成N/2点DFT的流图。
也可进行同样分解：
其中
一个N＝8点DFT就可分解为四个N/4＝2点DFT如图
序列按奇偶分解标号变化讨论（N＝8） 第一次分解：两个N/2点序列：
每一个
对
和
用基2算法，取
作N点的圆周卷积
才可用快速卷积办法来运算， 补零值点，补到N点。为利
，然后
其方法如图4－29所示。
重叠相加法的步骤总结 （1）计算N点FFT， （2）计算N点FFT， （3）相乘，
（4）计算N点IFFT，
（5）将各段
（包括重叠部分相加），
2. 重叠保留法
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位பைடு நூலகம்IR滤波器的乘法运算量
用FFT法（圆周卷积）来代替这线性卷积时，不产 生混叠条件是使x(n),h(n)都补零值点，补到至少 N=M+L-1，即
然后计算圆周卷积
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
此时有两组4点DFT。4.45,46式分别变成 后一式子共有4组2点DFT，4.47式变成
算法可以采用先乘旋转因子再算DFT的算法 当N为一个复合数时，可以分解为一些因子的乘积
2. N为复合数时FFT运算量的估计
当
时，运算量为
复数乘法
复数加法
直接计算N个点DFT工作量 加法
设x(n)为L点，y(n)为M点，需求线性相关
（4.115）
利用FFT法求线性相关是用圆周相关代替线性相关，
选择
令
其计算步骤如下： （1）求N点FFT，
（2）求N点FFT，
（3）求乘积，
（4）求N点IFFT， 同样，可以只利用已有的FFT程序计算IFFT，求
再见！
谢谢观赏
共同学习交流提高
第二次分解，每个N/2点子序列按其奇偶分解为两个 N/4点子序列
最后2点DFT按4－14~17进行计算。
这种方法的每一步分解都是按输入序列在时 间上的次序是属于偶数不是属于奇数来分解 为两个更短的子序列，所以称为“按时间抽 选法”。
运算量分析
直接DFT复数算法次数是 FFT复数乘法次数是 DFT和FFT算法的计算量之比为
存在问题：
整个DFT运算总共需要4 N 2 次行乘法运算和
N 2 (2 N 1 ) 2 N (2 N 1 )次加法运算。
直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和 N 2 成
正比。
减少DFT运算工作量的途径：利用 （1） 的对称性：
对称性：
（2） 的周期性：
（3） 的可约性： 可以得出
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT 法计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
则
，则
计算得下表
（2）当x(n)点数很多时，即当 则
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
（2）如要求准确的N点DFT，而N又是素数，则只 能采用直接DFT方法，或者用CZT方法。
例4－1
二、
的快速算法
要计算N点DFT为
设n是一个复合数 公式表达：
（4.39） ，可将n的数用下面的
同样，倒序表达为
（4.40）
（4.41）
例：设r1 4,r2 2 ，则
那么 所以
则排列为
同样，若 则
所以
将4.40式与4.41式代入4.39式，可得
上式运用了
结果
(4-2)
X k N 1xnW N nk N 1R e xn jIm xn R e W N nk jIm W N nk （4.3）
n 0
n 0
N 1
R e xn R e W N nk Im xn Im W N nk jR e xn Im W N nk Im xn R e W N nk n 0
r 0
r 0
（4.5）
式中
N1
N1
2
2
X1k x1 rW N rk2 x2rW N rk2
r0
r0
（4.6）
N1
N1
2
2
X2k x2 rW N rk2 x2r1W N rk2 （4.7）
r0
r0
应用系数的周期性
可得
（4.8） X 1 N 2 k N r 2 0 1x 1rW N r 2 N 2 k N r 2 0 1x 1rW N rk2X 1k
实际办法： （1）用上述特性对项合并 （2）将长序列的DFT分解为短序列的DFT。
3. 按时间抽选的基－2FFT算法 －－3.1 算法原理
先设序列点数为 N 2L ，按n的奇偶进行分解
将DFT化为
利用系数 W
n N
k
的可约性，即
得
N 1
N 1
2
2
X k x 1rW N rk 2 W N k x 2rW N rk 2 X 1k W N kX 2k
结论：FFT比DFT更优越，当N越大时，优点更明 显。
三、按时间抽选的FFT算法特点
1. 原位运算 每个蝶形结构完成下述基本迭代运算：
4.21的蝶形运算如图4－7所示。
2. 倒位序规律
3. 倒位序的实现：通过变址运算完成
4. 蝶形运算两结点的距离：
第m级运算，每个蝶形的两节点距离为
乘法：N（N＋1）
混合基算法可节省的运算量倍数为 乘法
加法
当 数
时，混合基算法总乘法次
与直接计算DFT相比，运算量之比
4.10 线性卷积与线性相关的FFT算法
一、线性卷积的FFT算法 1. 概念 设x(n)为L点，h(n)为M点，输出y(n)为
1. 引言 2. 直接计算DFT的问题及改进的途径 3. 按时间抽选（DIT）的基－2FFT算法 4. 离散傅里叶反变换（IDFT）的快速计算方
法 5. N为复合数的FFT算法－混合基算法 6. 线性调频Z变换（Chirp-z变换）算法 7. 线性卷积与线性相关的FFT算法
1. 引言
先将x(n)分段，每段补上L＝N－M＋1个点；序列
中补零处不补零，而每一段的前边补上前一段保
留下来的（M－1）个输入序列值，组成L＋M－1
点序列
，如图4.30a所示。
如果
，则可在每段序列未端补
零值点，补到长度为2m。
二、线性相关的FFT算法：常称之为快速相关，要 利用补零值点的办法避免混叠失真。
的确定
第m级运算由4－21式写成
其中r的求解方法为
6. 存储单元 输入序列 系数
N个单元 N/2个单元
四. 按时间抽选的FFT算法的其它形 式流程图
4.5 离散傅里叶反变换的快速计算方 法
从IDFT公式
与DFT公式
比较可知，只要把DFT运算中的每一个系数
变成
，最后再乘常数1/N，则以上所有
（3）N是复合数，即它可以分解成一些成一些因子 的乘积，用混合基算法。
一. 整数的多基多进制表示形式
（1）对于二进制，
表示为
二进制倒序为
（2）对于r进制，正序
倒序
（3）对于多进制或称混合基 N可以表示成复合数，
的任一个正整数n,可以按L个基 表示。正序
倒序
，则对于
在这一多进制的表示中 可记为
, N1 2
（4.12）
这样，4.11、12式只要0-(N/2-1)区间的所有
X(k)值。
的值，即可求0到(N-1)区间所有
4.11和4.12式用图4－1的蝶形符号表示。
N＝8的情况如图4－2
分析：每个蝶形运算需要一次复数乘法
及
两次复数加（减）法。通过分解后运算工作量差不
多减少到一半。
4.42式可进一步表示为
式中
N为复合数
的DFT算法的步骤归纳如下：
（1）将x(n)改写成
利用
利用4.44式做 个 点DFT，得
利用4.45式，把N个
子
，组成
乘以相应的旋转因 。
利用4.46式，做 个 点DFT，得
利用4.47式，进行整序，得到
其中
对于
重写n和k的表达式
则4.44式变成
X再2考N2虑k性质XW 2N kN 2k
WNN2WN k WN k
（4.9） （4.10）
把4.8,4.9,4.10代入4.5式，将X(k)表达成前后两部
分，前部分为
X kX 1k W N kX 2k, k 0,1,
,
N 2
1
（4.11）
后部分为
XkN2X1kN2WNrkN2X2kN2
X1kWNkX2k,k0,1,
这时
当L太大时，体现不出圆周积分的优点。 解决办法：分段卷积或称分段过滤
1. 重叠相加法
设h(n)的点数为M，信号x(n)为很长的序列。将x(n)
分解为很多段，每段为L点，L选择成和M的数量级
相同，用
表示x(n)的第i段
则输入序列可表示成
（4.108） （4.109）
线性卷积为
（4.110）
进一步把N/2点子序列再按奇偶部分分解为两个N/4 点的子序列
且 其中
图4－3，给出N＝8时，在分解为两个N/4点DFT， 由两个N/4点DFT组合成N/2点DFT的流图。
也可进行同样分解：
其中
一个N＝8点DFT就可分解为四个N/4＝2点DFT如图
序列按奇偶分解标号变化讨论（N＝8） 第一次分解：两个N/2点序列：
每一个
对
和
用基2算法，取
作N点的圆周卷积
才可用快速卷积办法来运算， 补零值点，补到N点。为利
，然后
其方法如图4－29所示。
重叠相加法的步骤总结 （1）计算N点FFT， （2）计算N点FFT， （3）相乘，
（4）计算N点IFFT，
（5）将各段
（包括重叠部分相加），
2. 重叠保留法
线性相位滤波器满足条件
运算结构如图5.26,5.27所示 线性相位பைடு நூலகம்IR滤波器的乘法运算量
用FFT法（圆周卷积）来代替这线性卷积时，不产 生混叠条件是使x(n),h(n)都补零值点，补到至少 N=M+L-1，即
然后计算圆周卷积
此时y(n)能代表线性卷积结果。
用FFT计算y(n)步骤如下： （1）求
此时有两组4点DFT。4.45,46式分别变成 后一式子共有4组2点DFT，4.47式变成
算法可以采用先乘旋转因子再算DFT的算法 当N为一个复合数时，可以分解为一些因子的乘积
2. N为复合数时FFT运算量的估计
当
时，运算量为
复数乘法
复数加法
直接计算N个点DFT工作量 加法
设x(n)为L点，y(n)为M点，需求线性相关
（4.115）
利用FFT法求线性相关是用圆周相关代替线性相关，
选择
令
其计算步骤如下： （1）求N点FFT，
（2）求N点FFT，
（3）求乘积，
（4）求N点IFFT， 同样，可以只利用已有的FFT程序计算IFFT，求
再见！
谢谢观赏
共同学习交流提高
第二次分解，每个N/2点子序列按其奇偶分解为两个 N/4点子序列
最后2点DFT按4－14~17进行计算。
这种方法的每一步分解都是按输入序列在时 间上的次序是属于偶数不是属于奇数来分解 为两个更短的子序列，所以称为“按时间抽 选法”。
运算量分析
直接DFT复数算法次数是 FFT复数乘法次数是 DFT和FFT算法的计算量之比为
存在问题：
整个DFT运算总共需要4 N 2 次行乘法运算和
N 2 (2 N 1 ) 2 N (2 N 1 )次加法运算。
直接计算DFT，乘法次数和加法次数都是和 N 2 成
正比。
减少DFT运算工作量的途径：利用 （1） 的对称性：
对称性：
（2） 的周期性：
（3） 的可约性： 可以得出
，N点
（2）求
，N点
（3）计算
；
（4）求
，N点
工作量分析 FFT计算工作量
（4.105）
用线性相位滤波器来比较直接计算线性卷积和FFT 法计算线性卷积时比值
（4.106）
运算量分析：
（1）x(n)与h(n)点数差不多，设M＝L，
则
，则
计算得下表
（2）当x(n)点数很多时，即当 则
按时间抽选或按频率抽选的FFT都可以拿来运算
IDFT。
不改FFT的程序计算IFFT方法： 对4.29式取共轭
因而
4.6 N为复合数的FFT算法 －－混合基算法
当N不满足
时，可有以下几种办法
（1）将x(n)补一些零值点的办法
（2）如要求准确的N点DFT，而N又是素数，则只 能采用直接DFT方法，或者用CZT方法。
例4－1
二、
的快速算法
要计算N点DFT为
设n是一个复合数 公式表达：
（4.39） ，可将n的数用下面的
同样，倒序表达为
（4.40）
（4.41）
例：设r1 4,r2 2 ，则
那么 所以
则排列为
同样，若 则
所以
将4.40式与4.41式代入4.39式，可得
上式运用了
结果
(4-2)
X k N 1xnW N nk N 1R e xn jIm xn R e W N nk jIm W N nk （4.3）
n 0
n 0
N 1
R e xn R e W N nk Im xn Im W N nk jR e xn Im W N nk Im xn R e W N nk n 0
r 0
r 0
（4.5）
式中
N1
N1
2
2
X1k x1 rW N rk2 x2rW N rk2
r0
r0
（4.6）
N1
N1
2
2
X2k x2 rW N rk2 x2r1W N rk2 （4.7）
r0
r0
应用系数的周期性
可得
（4.8） X 1 N 2 k N r 2 0 1x 1rW N r 2 N 2 k N r 2 0 1x 1rW N rk2X 1k
实际办法： （1）用上述特性对项合并 （2）将长序列的DFT分解为短序列的DFT。
3. 按时间抽选的基－2FFT算法 －－3.1 算法原理
先设序列点数为 N 2L ，按n的奇偶进行分解
将DFT化为
利用系数 W
n N
k
的可约性，即
得
N 1
N 1
2
2
X k x 1rW N rk 2 W N k x 2rW N rk 2 X 1k W N kX 2k
结论：FFT比DFT更优越，当N越大时，优点更明 显。
三、按时间抽选的FFT算法特点
1. 原位运算 每个蝶形结构完成下述基本迭代运算：
4.21的蝶形运算如图4－7所示。
2. 倒位序规律
3. 倒位序的实现：通过变址运算完成
4. 蝶形运算两结点的距离：
第m级运算，每个蝶形的两节点距离为
乘法：N（N＋1）
混合基算法可节省的运算量倍数为 乘法
加法
当 数
时，混合基算法总乘法次
与直接计算DFT相比，运算量之比
4.10 线性卷积与线性相关的FFT算法
一、线性卷积的FFT算法 1. 概念 设x(n)为L点，h(n)为M点，输出y(n)为