3不等式法
基本不等式时当且仅当b a ab b a =≥+,2
。
x f x x ，x x x g b x g a ，x g b x g a x f 取最大值时当的极值点求出可由时)()()()]()][([)(00=-=+-+=。
x f x x ，x x x bg x g a ，x bg x g a x f 取最小值时当的极值点求出可由时)()()
()()()(00==+=
[例题1]如图所法，一范围足够大的，宽度d=10cm 的有界匀强电场，场强C N E /1093
⨯=，一群相同的二价正离子以不同速度从电场左边界A 处垂直进入电场，从另一侧飞离电场，已知电子电量
,106.119C e -⨯=不计离子间的相互作用和离子自身的重力，试求离
子飞离电场的最小动能？
解析：设初速度为0v ，则离子在电场中做类平抛运动，加速度
m
eE a =
， 由水平方向的运动得运动时间0
v d t =
飞离电场时沿电场方向速度0
v d M eE at v y ⨯=
= 动能()
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛+=+==2
022
222
022********v m d e E v m v v m mv E y K ，由基本不等式得Eed mv d e E mv v m d e E v m E K ≥+=⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=202222
0202
2
222
02121
代入数据得最小动能为J Eed e 16
max 1088.2-⨯==
[例题2]竖直平面内有1/4光滑圆弧，它的下端与水平线垂直，上端离地高H ，一小球从其上端自由滚下，使它在地面上射程有极大值则圆弧半径应为多大？
解析：设半径为R 时射程最大，抛出时的速度为v ，根
据机械能守恒定律
2
2
1mv mgR =
解得gR v 2=
平抛时间()g
R H t -=
2，水平射程()R H R vt S -==4
由基本不等式得水平射程
()()H R H R R H R S =-+≤-=4，当H R R H R 2
1
=-=即时水平射程有最大值最大值H S =max
[例题3]如图所示，长为l 的轻质绳，
一端系一质量为m
的小球，把球拉到水平位置后放手，求绳与竖直方向夹角为多大时，小球具有最大的竖直分速度？最大值为多少？
解析：设绳与竖直方向成θ角时，小球具有最大的竖直分速度竖直v ，设此时的合速度为v ，根据机械能守恒定
律
2
2
1cos mv mgl =
θ解得θcos 2gl v = 竖直分速度θθθ2sin cos 2sin gl v v =
=竖直
设θθ2
cos siin y =则θθθθθ2224
22sin cos 22
1
sin cos siin y ⨯=
=由基本不等式 33
c b a abc ++≤所以3
23sin sin cos 23222=++≤c b a θθθ 所以278sin cos 2222≤θθθsiin ，27
4sin sin cos 2
222≤=θθθy
932cos 2≤
=θθsiin y ，所以当θθθ2
22sin sin cos 2==n s 时即3
3cos =s θy 取最小值932，此时竖直分速度也有最小值gl gl v 33
2
9322min ==竖直
