不等式的解法高考要求1．在熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式的解法基础上，掌握其它的一些简单不等式的解法．通过不等式解法的复习，提高学生分析问题、解决问题的能力以及计算能力；2．掌握解不等式的基本思路，即将分式不等式、绝对值不等式等不等式，化归为整式不等式(组)，会用分类、换元、数形结合的方法解不等式3掌握解指数、对数不等式的方法，一般来说，与解指数、对数方程的方法类似即：(1)同底法：能化为同底数先化为同底，再根据指数、对数的单调性转化为代数不等式，底是参数时要注意对其进行讨论并注意到对数真数大于零的限制条件(2)转化法：多用于指数不等式，通过两边取对数转化为对数不等式（注意转化的等价性）(3)换元法：多用于不等式两边是和的形式，或取对数后再换元，并注意所换“元”的范围4掌握基本无理不等式的转化方法知识点归纳三、解不等式1．解不等式问题的分类(1)解一元一次不等式．(2)解一元二次不等式．(3)可以化为一元一次或一元二次不等式的不等式．①解一元高次不等式；②解分式不等式；③解无理不等式；④解指数不等式；⑤解对数不等式；⑥解带绝对值的不等式；⑦解不等式组．2．解不等式时应特别注意下列几点：(1)正确应用不等式的基本性质．(2)正确应用幂函数、指数函数和对数函数的增、减性．(3)注意代数式中未知数的取值范围．3．不等式的同解性(1)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0f(x)0g(x)0·＞与＞＞或＜＜同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩(2)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0·＜与＞＜或＜＞同解．⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (3)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＞与＞＞或＜＜同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩ (4)f(x)g(x)0f(x)0g(x)0 f(x)0g(x)0(g(x)0)＜与＞＜或＜＞同解．≠⎧⎨⎩⎧⎨⎩(5)|f(x)|＜g(x)与－g(x)＜f(x)＜g(x)同解．(g(x)＞0) (6)|f(x)|＞g(x) 与①f(x)＞g(x)或f(x)＜－g(x)(其中g(x)≥0)；②g(x)＜0同解(7)f(x)g(x) f(x)[g(x)]f(x)0g(x)0f(x)0g(x)02＞与＞≥≥或≥＜同解．⎧⎨⎪⎩⎪⎧⎨⎩(8)f(x)g(x)f(x)[g(x)]f(x)02＜与＜≥同解．⎧⎨⎩(9)当a ＞1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＞g(x)同解，当0＜a ＜1时，a f(x)＞a g(x)与f(x)＜g(x)同解．(10)a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x)f(x)0a a 当＞时，＞与＞＞同解．⎧⎨⎩当＜＜时，＞与＜＞＞同解．0a 1log f(x)log g(x)f(x)g(x) f(x)0g(x)0a a ⎧⎨⎪⎩⎪4 零点分段法：高次不等式与分式不等式的简洁解法步骤：①形式：分母）移项，通分（不轻易去←>0)()(x Q x P ②首项系数符号>0——标准式，若系数含参数时，须判断或讨论系数的符号，化负为正③判断或比较根的大小 题型讲解例1 不等式(1+x)(1-x )>0的解集是（ ） A ．{}10<≤x x B ．{}10-≠<x x x 且 C ．{}11<<-x x D ．{}11-≠<x x x 且 解：(1+x)(1-x )＝0的解为x=1,x= -1(二重根) 画出数轴：+-+1-1x∴不等式(1+x)(1-x )>0的解集是{}11-≠<x x x 且另法：x=21和2-=x 显然属于原不等式的解集，所以选（D ） 例2 解不等式x x x xx ≤---2322 解：由0)2)(1()1(23222≥-+-⇔≤---x x x x x x x x x其零点分别为：-1,0,1(二重),2 ，画出数轴如下：--2+-+1-1x由图知，原不等式的解集为(]{}()+∞-,210,1 例3 求不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->x x x x x 22330的解集解法一：由题设x>0，xxx x +->+-2233，得033>+-x x ，即33<<-x ，30<<∴x ，原不等式组等价于 （1）⎩⎨⎧+->+-≤<)3)(2()2)(3(20x x x x x ；（2）⎩⎨⎧+->+-<<)3)(2()2)(3(32x x x x x由（1）得20≤<x ，由（2）得62<<x ， 故原不等式组解集为{}60<<x x解法二：由已知条件可知033>+-xx两边平方，原不等式组等价于 ()()[]()()[]600)6)(6(03223022<<⇔⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧<-+>⇔+->+->x x x x x x x x x x 即原不等式组解集为{}60<<x x例4 解关于x 的不等式()[]())(0113R m x x m ∈>+-+解：下面对参数m 进行分类讨论：①当m=3-时，原不等式为x+1>0，∴不等式的解为1-<x②当3->m 时，原不等式可化为()0131>+⎪⎭⎫⎝⎛+-x m x 1031->>+m，∴不等式的解为1-<x 或31+>m x ③当3-<m 时，原不等式可化为0)1(31<+⎪⎭⎫⎝⎛+-x m x 34131++=++m m m， 当34-<<-m 时，131-<+m 原不等式的解集为131-<<+x m ； 当4-<m 时，131->+m 原不等式的解集为311+<<-m x ；当4-=m 时，131-=+m 原不等式无解 综上述，原不等式的解集情况为：①当4-<m 时，解为311+<<-m x ； ②当4-=m 时，无解； ③当34-<<-m 时，解为131-<<+x m ； ④当m=3-时，解为1-<x ； ⑤当3->m 时，解为1-<x 或31+>m x 例5 已知f(x)，g(x)都是定义在R 上的奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m ，n)，不等式g(x)>0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛2,2n m ，其中20n m <<，求不等式0)()(>⋅x g x f 的解集解：∵f(x)，g(x)是奇函数，不等式f(x)>0的解集是(m ，n)，不等式g(x)>0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛2,2n m ， ∴不等式f(x)<0的解集是()m n --,， 不等式g(x)<0的解集是⎪⎭⎫⎝⎛--2,2n m 而不等式0)()(>⋅x g x f 等价于⎩⎨⎧>>0)(0)(x g x f 或⎩⎨⎧<<0)(0)(x g x f ，所以其解集为()()⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛----⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛m n n m m n m n n m n m ,22,2,2,2,2, 例6 若不等式kx 2-2x+1-k<0对满足22≤≤-k 的所有k 都成立，求x 的取值范围解：原不等式可化为0)12()1(2<---x k x设)12()1()(2---=x k x k f )22(≤≤-k ，是关于k 的单调函数， 根据题意有：⎪⎩⎪⎨⎧<---=<----=-0)12()1(2)2(0)12()1(2)2(22x x f x x f ，即⎪⎩⎪⎨⎧<-->-+0122032222x x x x 解得231271+<<+-x 点评：用换元、分离变量的方法在不等式的求解过程中比较常出现，也是解决含参数问题的重要方法例7 己知关于x 的不等式0)32()(<-++b a x b a 的解为)31,(--∞，求关于x 的不等式0)2()3(>-+-a b x b a 的解集解：)23()(a b x b a -<+，因其解集为)31,(--∞，,0>+∴b a 且3123-=+-b a a b ，从而,2b a =又,0,03>∴>=+b b b a将b a 2=代入0)2()3(>-+-a b x b a ，得3,03-<>--x b bx∴所求解集为)3,(--∞例8 己知不等式02>++c bx ax 的解集为}|{βα<<x x ，其中0>>αβ，求不等式02<++a bx cx 的解集解： βα, 为方程20ax bx c ++=的两根，(),(),b cb ac a a aαβαβαβαβ∴=-+=⇒=-+= ∴不等式02<++a bx cx 可化为2()0,a x a x a αβαβ-++>由己知条件得0<a 得2()10,x x αβαβ-++< 即01)11(2>++-αββαx x ，∴它的解集为}11|{β<>x a x x 或 点评：根据解集的表示形式可以确定0<a例9 解不等式：（1）x x ->+33；（2）1212+≤-x x 解 （1）原不等式与不等式组2)3(303x x x ->+≥-，或 0303<-≥+x x 同解，分别解不等式组得31≤<x 或3>x ，∴原不等式的解集为),1(+∞（2）原不等式与不等式组 22221)1(02101x x x x -≥+≥-≥+同解，解之得3222-≤≤-x 或220≤≤x ， ∴原不等式的解集为]22,0[]32,22[ --点评 ：一个无理不等式转化为两个不等式组还是转人为一个不等式组，这是解无理不等式的一个基本问题（1）中的第一个不等式组中可省去03≥+x ，（2）中的不等式组中则不可省去任何一个（1）的结果可从函数3+=x y 和x y -=3的图象上看出，让学生学会用图象法解不等式例10 设关于x 的二次方程01)1(2=++-+p x p px 有两个不等的正根，且一根大于另一根的两倍，求p 的取值范围解： 由0)1(4)1(2>+--=∆p p p ，得33213321+-<<--p当0121>-=+p p x x 及0121>+=⋅pp x x 时，方程的两根为正， 解之，得10<<p ，故3320<<p 1-， 记p p p p x 2163121+----=，pp p p x 2163122+--+-=，由212x x >，并注意0>p ，得0116332>->+--p p p ，0852282<-+∴p p ，即021372<-+p p ，712<<-∴p 综上得p 取值范围为}710|{<<p p点评：先解出0>p ，01>-p ，在不等式的转化过程中起了简化作用例11 解不等式)0(,0]1)1()1(2[log 22421><++-++a a a a ax x x x解：1)1()1(2224++-++x x x x a a a a >1, ∴ x x x x a a a a 224)1()1(2+-++>0,0112122222>-⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xxa a a a , ∴ 12122->⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+xa a①当 0<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+122a a <1，即0<a<251+时，原不等式的解为)12(log122-<+a a x ;②当a>251+时，解集为{x|)12(log 122->+a a x }; ③当a=251+时，解集为R 小结：1一元一次不等式、一元二次不等的求解要正确、熟练、迅速，这是解分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式的基础 带等号的分式不等式求解时，要注意分母不等于0，二次函数c bx ax y ++=2的值恒大于0的条件是0>a 且0<∆；若恒大于或等于0，则0>a 且0≤∆若二次项系数中含参数且未指明该函数是二次函数时，必须考虑二次项系数为0这一特殊情形2忽略对定义域的考虑以及变形过程的不等价，是解无理不等式的常见错误，因此要强化对转化的依据的思考3 数形结合起来考虑，可以简化解题过程，特别是填空、选择题，还可利用图形验证，解题的结果4解指数、对数不等式的过程中常用到换元法底数是参数时，须不重不漏地分类讨论化同底是解不等式的前提取对数也是解指数、对数不等式的常用方法之一，在取对数过程中，特别要注意必须考虑变量的取值范围当所取对数的底数是字母时，随时要把“不等号是否变向”这一问题斟酌再三5．解含参数的不等式时，必须要注意参数的取值范围，并在此范围内对参数进行分类讨论分类的标准要通过理解题意（例如能根据题意挖掘出题目的隐含条件），根据方法（例如利用单调性解题时，抓住使单调性发生变化的参数值），按照解答的需要（例如进行不等式变形时必须具备的变形条件）等方面来决定，要求做到不重复、不遗漏解不等式是不等式研究的主要内容，许多数学中的问题都可以转化为一个解不等式的问题，如函数的定义域、值域、最值和参数的取值范围，以及二次方程根的分布等因此解不等式在数学中有着极其重要的地位，是高考的必考内容之一 学生练习1．不等式4x >x9的解集是（ ）A {x | x <－23或x >23} B {x | x >－23且x ≠23} C {x | －23<x <0或x >23} D {x | －23<x <23}答案: C2．不等式1622----x x x <0的解集是（ ） A {x |－2<x <3} B {x |x <－2或x >3} C {x |x >－2} D {x |x <3} 答案: B3．不等式1-x >x －3的解集是（ ）A {x |3≤x <5}B {x |3<x ≤5}C {x |1≤x <3或3<x <5}D {x |1≤x <5} 答案: D4．不等式1－lg (2x －1)>lgx 的解集是（ ）A {x |－2<x <25} B {x |0<x <25} C {x |21<x <25} D {x |x >21}答案: C5．不等式组⎩⎨⎧≥-≤--0)(0)5)(2(a x x x x 与不等式(x －2)(x －5)≤0同解，则a 的取值范围是（ ）A a >5B a <2C a ≤5D a ≤2答案: D 提示: 不等式组⎩⎨⎧≥-≤--0)(0)5)(2(a x x x x 的解是2≤x ≤5且x (x －a )≥0, 即要求x (x －a )≥0的解包含2≤x ≤5，∴ a <26．不等式x 2>－3的解集是（ ） A {x |x <－32} B {x |x <－32或x >0} C {x |x >－32且x ≠0} D {x |－32<x <0}答案: B7．不等式4x 33x 2--<2的解集是（ ）A {x |x >45}B {x |x <45或x >34}C {x |x >34}D {x |45<x <34}答案: B8．不等式ax 2＋ax ＋(a －1)<0的解集是全体实数，则a 的取值范围是（ ）A (－∞, 0)B (－∞, 0)∪(34,+∞) C (－∞, 0] D (－∞, 0]∪(34,+∞) 答案: C 提示: 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)<0的解集是全体实数, ∴a =0时成立，当a <0时, 判别式△<0,得a <0时成立，∴a ∈(－∞, 0] 9．不等式log 31324-+x x <log 31(8－x )的解集是（ ） A {x |23<x <2或x >7} B {x |23<x <8} C {x |23<x <2或7<x <8} D {x |x <－4} 答案: C 提示: 324-+x x >0, 8－x >0且324-+x x >8－x , 解得23<x <2或7<x <8 10．若不等式f (x )≥0的解集是F , 不等式g (x )<0的解集是G ，则不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 的解集是A ()R C F GB ()RC F G C F ∪GD F ∩G 答案: B 提示: f (x )<0的解集是F , g (x )≥0的解集是R C G , ∴不等式组⎩⎨⎧≥<0)(0)(x g x f 的解集是()R C F G 11．不等式1-x <x －2的解集是（ ）A (－∞,255-)∪(255+,+∞)B (255-,255+) C (1,+∞) D (255+,+∞) 答案: D 12．解不等式ax 2＋bx ＋2>0得到解集{x |－21<x <31}，那么a ＋b 的值等于 A 10 B －10 C 14 D －14答案: D 提示: x 1＋x 2=－61, 13．不等式(x －3)(x ＋2)(5－x )>0的解集是答案: x <－2或3<x <514．不等式9 x＋2·3x +1－24>0的解集是答案: x >log 3 2 提示: 设3x =t , t 2＋6t －16>0, t >2或t <－8, ∴x >log 3 2 15．函数y =[lg (x 2－2x －2)]21-的定义域是答案: x <－1或x >3 16．设全集I =R ，集合M ={x |2x >2}, N ={x |log x 7>log 37}，那么M ∩R C N =答案: {x | x ≥3或x ≤－2}提示: M ＝{x | x >2或x <－2}, N ={x | 1<x <3}, ∴M ∩R C N = {x | x ≥3或x ≤－2}17．满足不等式5121<05 n <321的最小整数n 是 答案: n =618．若0<a <1，则关于x 的不等式a 2x －1≤a (x －1)的解集是 答案: x ≥－a1 提示: (a 2－a )x ≤1－a , ∵0<a <1, ∴a 2－a <0, x ≥－a 1 19．不等式a 1022--x x >105lga (a >0, a ≠1)的解集是答案: 当0<a <1时,－3<x <5; 当a >1时, x <－3或x >5提示: 105lga ＝a 5, 当0<a <1时,x 2－2x －10<5, ∴－3<x <5; 当a >1时, x 2－2x －10>5, ∴x <－3或x >520．不等式log sinx (x 2－9)>0的解集是 答案: {x | －10<x <－π或3<x <π}提示: 0<sinx <1且0<x 2－9<1, ∴{x |－2π<x <－π或0<x <π或…}并且{x | －10<x <－3或3<x <10}, ∴{x | －10<x <－π或3<x <π}21．曲线x 2y －2x ＋y =0的最高点的坐标是答案: (1, 1)提示: △=4－4y 2≥0, y 2≤1, y max =1, 此时x =1, ∴最高点的坐标是(1, 1) 22．解关于x 的不等式a x -2<1+x 答案：当a ≤－2时，解集为空集；当a >－2时,2a ≤x <a ＋1 提示： 2x －a >0, x ＋1>0, 2x －a <x ＋1, ∴x >2a , x >－1, 当a ≤－2时,解得x <a ＋1<－1,矛盾；当a >－2时, 2a >－1， ∴2a ≤x <a ＋1 23．已知正三角形ABC 的三个顶点是A (－a , 0), B (a , 0), C (0, 3a )，其中a >0，连接AB 边上的点P (x , 0)及AC 边上的点Q 的线段PQ 把△ABC 的面积二等分,求|PQ |的最大值和最小值 答案：最小值是2a ， 最大值是3a 提示：|AP ||AQ |sin 60°= 3a 2, |AP |=x ＋a , ∴|AQ |=a x a +22 |PQ |2=(x ＋a )2＋(a x a +22)2－4a 2cos 60°≥2a 2, ∴|PQ |的最小值是2a ，再讨论函数的增减性，得当x =0或x =a 时,取得最大值为3a24 已知6<a <10, 2a ≤b ≤2a ,c =a ＋b , 则c 的取值范围是（ ） A 9≤c ≤30 B 9≤c ≤18 C 9<c <30 D 15<c ≤30 答案：C 提示： 23a <c <3a , ∴9<c <30 25 不等式6x 2 ＋5x <4的解集为（ ）A (－∞，－4/3)∪(1/2, +∞)B (－4/3, 1/2)C (－∞, －1/2)∪(4/3, +∞)D (－1/2, 4/3)答案：B 26 a >0, b >0, 不等式a >x 1>－b 的解集为（ ） A －b 1<x <0或0<x <a1 B x <－b 1或x >a 1 C －a 1<x <0或0<x <b 1 D －a 1<x <b 1 答案：B27 与不等式023≥--xx 同解的不等式是（ ） A (x －3)(2－x ) ≥0 B 0<x －2≤1 C 32--x x ≥0 D (x －3)(2－x )>0 答案：B 提示：023≥--x x 的解是2<x ≤3, 0<x －2≤1的解也是2<x ≤328 不等式 12-x >x －2 的解集是（ ） A {x ｜1<x <5} B {x ｜21≤x <5} C {x ｜2≤x <5} D {x ｜x >2} 答案：B29 若f (x )=x 31, 则当x >1时，f (x ) f －1(x )(填>, <或=) 答案：<30 当0≤x ≤2时，f (x )=4327122x x ++-⋅+ 的最大值为 ;最小值为 答案：－3；－11 提示：f (x )=4327122x x ++-⋅+＝2(2x －3)2－11, 当x =0时,最大值为－3，当x =log 23时,最小值为－1131 函数f (x )=log 2 (x 2－4), g (x )=22x k - (k <－1), 则f (x )g (x )的定义域为答案：[2k , －2)∪(2, +∞) 提示：x 2－4>0, 得x >2或x <－2, x －2k ≥0,得x ≥2k , ∴x ∈[2k , －2)∪(2, +∞)32 A ={x 023122≥++-x x x }, B ={x ｜x 2＋(a －5)x －5a <0}, 若A ∩B ＝{x ｜21≤x <5}, 则a 的取值范围是 答案：[－21, 1]提示：A ={x | －1<x <－2)或x ≥21}, B ={x | －a <x <5}, ∴ －1≤－a ≤21, a ∈[－21, 1] 33 不等式x 2－22x －2<0的解集是 答案：－1－3<x <1＋3 提示：x 2－22x －2<0,其中2x ＝|x |, 解得1－3<|x |<1＋3, ∴－1－3<x <1＋334 若x 、y ∈R , 且x 2＋y 2=1,则 (1＋xy )(1－xy )的最大值为 ;最小值为 答案：1；43 35若二次方程x 2－2mx ＋4x ＋2m 2－4m －2=0有实根，则两根之积的最大值为答案：10＋46提示：x 2－2mx ＋4x ＋2m 2－4m －2=0有实根，∴△≥0, 解得－6≤x ≤6, x 1x 2=2m 2－4m －2, 当m =－6时, x 1x 2取最大值为10＋4636 解不等式：(x ＋4)(x ＋5)2>(3x －2)(x ＋5)2答案：x <－3且x ≠－5 37 解不等式：3451820422≥+-+-x x x x 答案：x ∈(－∞, 1)∪[2, 3]∪(4, +∞)38 解不等式：x x x 71215>--+ 答案：无解提示：有定义域知x ≥21, 当x ≥21时, 移项后两边平方得5x ＋1>7x ＋2x －1＋21x 2-x 7, ∴1x 2-x 7<1－2x , 1－2x <0, ∴原不等式无解 39解不等式：245x x --≥x 答案：(─5≤x ≤─1+14/2)两种解法，其一为数形结合 40解不等式1)1(22+-x x <)1(2+x x 解：x 2─1<x 12+x ,(1) x ≤─1, x ∈ϕ; (2)─1<x<0, x ∈(─3/3,0); (3)0≤x ≤1, x ∈[0,1], (4) x>1,x ∈(1,+∞) 综合得：x ∈(─3/3,+∞)41．在我国西部某一地区，有四个农庄A ，B ，C ，D 恰好坐落在边长为2km 的正方形顶点上，为发展经济，政府决定建立一个使得任何两个农庄都有通道的道路网，道路网由一条中心道及四条支道组成，要求各农庄到中心道的距离相等，（如图）（1） 若道路网总长度不超过55km,试求中心道长的取值范围；（2） 问中心道长为何值时，道路网的长度最短？解：(1)设中心道的长为2xkm,(0<x<1),依题意，2x+42)1(1x -+≤55,范围为[1/2,7/6](2)设y=2x+42)1(1x -+,y ≥2+23,此时，x=1─3/3, 中心长为2(1─3/3) 42． 解关于x 的不等式：)22(223x x x x a --<-（其中a >0）解原不等式得：即),12()12(2222-<-x x x a0)14)(4(),14()14(4<--∴-<-x x x x x a a)0,(log ,14,104a a a x 此时不等式的解集为时当<<<<此时不等式无解时当,0)14(,12<-=x a)log ,0(,41,14a a a x 此时不等式的解集为时当<<>43 220,2a a a x x a <-≥+设且为常数，解不等式 ⎩⎨⎧≥+≥-⎪⎩⎪⎨⎧++>-≥+≥-002220022*******a x x a a ax x x a a x x a 或解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∴a a 22,22原不等式的解集为：课前后备注。
