第2章信号的采样与重建

实验二信号的采样与重建一，实验目的（1）通过观察采样信号的混叠现象，进一步理解奈奎斯特采样频率的意义。

（2）通过实验，了解数字信号采样转换过程中的频率特征。

（3）对实际的音频文件作内插和抽取操作，体会低通滤波器在内插和抽取中的作用。

二，实验内容（1）采样混叠，对一个模拟信号Va(t)进行等间采样，采样频率为200HZ，得到离散时间信号V(n).Va（t）由频率为30Hz,150Hz,170Hz,250Hz,330Hz的5个正弦信号的加权和构成。

Va(t)=6cos(60pi*t)+3sin(300pi*t)+2cos(340pi*t)+4cos(500pi*t )+10sin(660pi*t)观察采样后信号的混叠效应。

程序：clear,close all,t=0:0.1:20;Ts=1/2;n=0:Ts:20;V=8*cos(0.3*pi*t)+5*cos(0.5*pi*t+0.6435)-10*sin(0.7*pi*t);Vn=8*cos(0.3*pi*n)+5*cos(0.5*pi*n+0.6435)-10*sin(0.7*pi*n);subplot(221)plot(t,V),grid on,subplot(222)stem(n,Vn,'.'),gridon,05101520-40-200204005101520-40-2002040（2）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，N=100，按因子M=2作抽取：（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。

分别显示输入输出序列在时域和频域中的特性。

程序：clear;N=100; M=2;f1=0.043; f2=0.31; n=0:N-1;x=sin(2*pi*f1*n)+sin(2*pi*f2*n); y1=x(1:2:100);y2=decimate(x,M,'fir'); figure(1);stem(n,x(1:N));title('input sequence'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(2); n=0:N/2-1; stem(n,y1);title('output sequence without LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(3); m=0:N/M-1;stem(m,y2(1:N/M));title('output sequence with LP'); xlabel('n');ylabel('fudu'); figure(4);[h,w]=freqz(x);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the input sequence'); xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(5);[h,w]=freqz(y1);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP'); xlabel('w');ylabel('fudu'); figure(6);[h,w]=freqz(y2);plot(w(1:512),abs(h(1:512)));title('frequency spectrum of the output sequence without LP'); xlabel('w');ylabel('fudu');0102030405060708090100-2-1.5-1-0.500.511.52input sequencenf u d u05101520253035404550-2-1.5-1-0.500.511.52output sequence without LPnf u d u05101520253035404550-1.5-1-0.50.511.5output sequence with LPnf u d u0.511.522.533.505101520253035404550frequency spectrum of the input sequencewf u d u00.51 1.52 2.53 3.551015202530frequency spectrum of the output sequence without LPwf u d u00.51 1.52 2.53 3.5510152025frequency spectrum of the output sequence without LPwf u d u（3）输入信号X(n)为归一化频率f1=0.043，f2=0.31的两个正弦信号相加而成，长度N=50，内插因子为2.（1）不适用低通滤波器；（2）使用低通滤波器。

2.10）。
sin (t nT )
h(t nT )
T
(t nT )
T
内插公式表明：连续函数 xa (t) 可以由它的采样值xa (nT ) 来 表示，它等于 xa (nT )乘上对应的内插函数的总和，如图2.10
所示。
19
图2.10 采样内插恢复
在每一个采样点上，由于只有该采样值对应的内插函数 为1，其他采样点处的内插函数值为零，所以保证了各采样点 上信号值不变，而采样之间的信号则由各采样值内插函数的 波形延伸迭加而成。
Ts

2 Ts 2

n
(t

nT )e
jmst dt
1 Ts
Ts 2
Ts 2

(t )e
jmst dt

1 Ts

M (t)
a e jmst m
m

1 Ts

e jmst
m

Xˆ a ( j) xa (t)M (t)e jt dt
va (t) 6cos(60t) 3sin(300t) 2cos(340t) 4cos(500t) 10sin(660t)
n
n
这种采样可看作是对周期冲激函数的调幅过程，称之 为冲激采样或理想采样。
理想采样的时间波形图见图2.6(b)所示。 9
xa (t)
xa (t)
0
p(t)

0
xˆa (t)

0
t
0
M (t)
t
0

0
xˆa (t)
t

0
t t t
xˆa (t) xa (t) p(t)

Y0 z
n
nL x n z

X zL
j 0

jL
Y e X e
y0(m)频谱中不仅包含基带频率，而且包含以采 样频率的谐波为中心的基带的镜像。
为恢复基带信号并去除不需要的镜像分量，有必 要用一数字低通滤波器对信号y0(m)进行滤波。
技术指标
通带波动 δ
H j max 1 20lg 20lg1 1 , c 20lg 1 1 H j min
最小阻带衰减 At
1 1 At 20lg 20lg 2 , r 20lg 2 H j max
xn , x' n 0, n 0, M ,2M 其他
xn xn
k
n kM
M 1 l 0

1 xn M
e
j 2 l n M
, n
ym xMm xMm
第2章 信号的采样与重建
2.1 数字信号处理系统的模拟接口
2.2 模拟信号的采样与重建
采样信号的频谱
采样的恢复
采样内插公式
2.3采样与重建中的模拟低通滤波器 指标特性

滤波器的幅频特性
低通滤波器在通带内逼近1，阻带内逼近0
性能要求：
1 1 H j 1, c H j 2 , r
d
G d 2
,

/L
/L
Xe
d
j , L
,
Gx(0) L
如要求y(0)=x(0)，则应有G=L，即对理想的内插器要 求能恢复抽取前的信号，增益Ｇ必须等于Ｌ。

数字信号的采样与重建理论数字信号的采样与重建理论是数字信号处理的基础知识之一，无论在通信领域还是在音频视频处理中都有着重要的应用。

本文将详细介绍数字信号的采样与重建理论，并分点列出其步骤。

一、数字信号的采样理论：1. 什么是采样：采样是将连续时间下的模拟信号转换为离散时间下的数字信号的过程。

可以理解为在一段时间内，对模拟信号进行快照，记录下每个时刻的值。

2. 采样的基本原理：根据奈奎斯特采样定理，采样频率必须大于信号最高频率的两倍，才能完全还原原始信号。

这是为了避免采样信号中出现混叠现象。

3. 采样过程的步骤：a. 确定采样频率：根据信号的最高频率，确定合适的采样频率。

b. 选择采样方法：常见的采样方法有单值采样和多值采样两种。

c. 采样信号：按照确定的采样频率和方法，对模拟信号进行采样。

d. 采样定理检验：检验采样频率是否满足奈奎斯特采样定理。

4. 采样的影响：采样会引入一些错误，如抽取样本的时间不准确、量化误差等。

这些误差在采样频率足够高的情况下可以被忽略，但在低采样率下可能会导致信号失真。

二、数字信号的重建理论：1. 什么是重建：重建是将离散时间下的数字信号恢复为连续时间下的模拟信号的过程。

它是采样的逆过程。

2. 重建的基本原理：通过使用滤波器，将采样信号中的高频成分去除，从而恢复出原始信号。

这里使用的滤波器通常称为插值滤波器。

3. 重建过程的步骤：a. 插值滤波器的设计：根据采样的方式选择合适的插值滤波器。

b. 重建信号：将采样信号通过插值滤波器进行滤波，恢复出原始信号。

4. 重建的影响：重建过程中可能会引入一些误差，如滤波器的失真、重建过程中的噪声等。

这些误差可以通过合理的设计和调整来减小。

总结：数字信号的采样与重建理论是数字信号处理的基础知识，对于保留信号的重要信息和减小误差都起到了重要的作用。

在实际应用中，我们需要根据具体的需求和系统特性来选择合适的采样与重建方法，以保证信号的准确性和完整性。