山东省青岛二中2018-2019学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

青岛市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 如图，网格纸上的正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的体积为（ ）A ．30B ．50C ．75D ．1502． 在数列{a n }中，a 1=3，a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），则该数列的前2015项的和是（ ） A ．7049 B ．7052 C ．14098 D ．141013． 下列图象中，不能作为函数y=f （x ）的图象的是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 集合{}|42,M x x k k Z ==+∈，{}|2,N x x k k Z ==∈，{}|42,P x x k k Z ==-∈，则M ，N ，P 的关系（ ）A ．M P N =⊆B ．N P M =⊆C ．M N P =⊆D ．M P N == 5． 若复数（2+ai ）2（a ∈R ）是实数（i 是虚数单位），则实数a 的值为（ ） A ．﹣2 B ．±2 C ．0 D ．26． 设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2013B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 7． 在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（ ） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°8． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ）A ．2B ．C ．D ．49． 高三（1）班从4名男生和3名女生中推荐4人参加学校组织社会公益活动，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有（ ）A ．34种B ．35种C ．120种D ．140种10．若圆226260x y x y +--+=上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为， 则a =（ ）A ． 1±B ． ±C ．D ．11．下列函数中，为偶函数的是（ ）A ．y=x+1B ．y=C ．y=x 4D ．y=x 512．某几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积是，则正视图中的x 的值是（ ）A．2 B．C．D．3二、填空题13．对任意实数x，不等式ax2﹣2ax﹣4＜0恒成立，则实数a的取值范围是．14．某校为了了解学生的课外阅读情况，随机调查了50名学生，得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据，结果用下面的条形图表示．根据条形图可得这50名学生这一天平均的课外阅读时间为小时．15．下列命题：①终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}；②在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点；③把函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度得到y=3sin2x的图象；④函数y=sin（x﹣）在[0，π]上是减函数其中真命题的序号是．16．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中①BM与ED平行；②CN与BE是异面直线；③CN与BM成60 角；④DM与BN是异面直线．以上四个命题中，正确命题的序号是（写出所有你认为正确的命题）．17．设平面向量()1,2,3,i a i =，满足1i a =且120a a ⋅=，则12a a += ，123a a a ++的最大值为 .【命题意图】本题考查平面向量数量积等基础知识，意在考查运算求解能力. 18．设直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π），对于下列四个命题： A ．M 中所有直线均经过一个定点B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积都相等其中真命题的代号是 （写出所有真命题的代号）．三、解答题19．如图，已知椭圆C，点B 坐标为（0，﹣1），过点B 的直线与椭圆C 的另外一个交点为A ，且线段AB 的中点E 在直线y=x 上． （1）求直线AB 的方程；（2）若点P 为椭圆C 上异于A ，B 的任意一点，直线AP ，BP 分别交直线y=x 于点M ，N ，直线BM 交椭圆C 于另外一点Q ． ①证明：OM •ON 为定值； ②证明：A 、Q 、N 三点共线．20．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，满足a3=8，a3﹣a2﹣2a1=0．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式（Ⅱ）记b n=log2a n，求数列{a n•b n}的前n项和S n．21．设集合A={x|0＜x﹣m＜3}，B={x|x≤0或x≥3}，分别求满足下列条件的实数m的取值范围．（1）A∩B=∅；（2）A∪B=B．22．如图，过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F的直线交C于M（x1，y1），N（x2，y2）两点，且x1x2=﹣4．（Ⅰ）p的值；（Ⅱ）R，Q是C上的两动点，R，Q的纵坐标之和为1，RQ的垂直平分线交y轴于点T，求△MNT的面积的最小值．23．已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，，过A作AE⊥CD，垂足为E，G、F分别为AD、CE的中点，现将△ADE沿AE折叠，使得DE⊥EC．（1）求证：FG∥面BCD；（2）设四棱锥D﹣ABCE的体积为V，其外接球体积为V′，求V：V′的值．24．已知函数f（x）=ax2+2x﹣lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=4，求函数f（x）的极值；（Ⅱ）若f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0，求a的取值范围；（Ⅲ）若a∈（﹣，0），设g（x）=a（1﹣x）2﹣2x﹣1﹣ln（1﹣x），求证：g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，且对（Ⅱ）中的x0，满足x0+x1＞1．青岛市第二高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】B【解析】解：该几何体是四棱锥， 其底面面积S=5×6=30， 高h=5，则其体积V=S ×h=30×5=50．故选B ．2． 【答案】B【解析】解：∵a n+1a n +2=2a n+1+2a n （n ∈N +），∴（a n+1﹣2）（a n ﹣2）=2，当n ≥2时，（a n ﹣2）（a n ﹣1﹣2）=2，∴，可得a n+1=a n ﹣1，因此数列{a n }是周期为2的周期数列． a 1=3，∴3a 2+2=2a 2+2×3，解得a 2=4， ∴S 2015=1007（3+4）+3=7052．【点评】本题考查了数列的周期性，考查了计算能力，属于中档题．3． 【答案】B【解析】解：根据函数的定义可知，对应定义域内的任意变量x 只能有唯一的y 与x 对应，选项B 中，当x ＞0时，有两个不同的y 和x 对应，所以不满足y 值的唯一性．所以B 不能作为函数图象．故选B ．【点评】本题主要考查函数图象的识别，利用函数的定义是解决本题的关键，注意函数的三个条件：非空数集，定义域内x 的任意性，x 对应y 值的唯一性．4． 【答案】A 【解析】试题分析：通过列举可知{}{}2,6,0,2,4,6M P N ==±±=±±±，所以M P N =⊆.考点：两个集合相等、子集．1 5． 【答案】C【解析】解：∵复数（2+ai ）2=4﹣a 2+4ai 是实数，∴4a=0，解得a=0． 故选：C ．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数为实数的充要条件，属于基础题．6． 【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）7． 【答案】A【解析】解：根据余弦定理可知cosA=∵a 2=b 2+bc+c 2， ∴bc=﹣（b 2+c 2﹣a 2）∴cosA=﹣ ∴A=120°故选A8．【答案】C【解析】解：设椭圆的长半轴为a，双曲线的实半轴为a1，（a＞a1），半焦距为c，由椭圆和双曲线的定义可知，设|MF1|=r1，|MF2|=r2，|F1F2|=2c，椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2∵∠F1MF2=，∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos，①在椭圆中，①化简为即4c2=4a2﹣3r1r2，即=﹣1，②在双曲线中，①化简为即4c2=4a12+r1r2，即=1﹣，③联立②③得，+=4，由柯西不等式得（1+）（+）≥（1×+×）2，即（+）2≤×4=，即+≤，当且仅当e=，e2=时取等号．即取得最大值且为．1故选C．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．9．【答案】A【解析】解：从7个人中选4人共种选法，只有男生的选法有种，所以既有男生又有女生的选法有﹣=34种．故选：A．【点评】本题考查了排列组合题，间接法是常用的一种方法，属于基础题10．【答案】B【解析】试题分析：由圆226260x y x y +--+=，可得22(3)(1)4x y -+-=，所以圆心坐标为(3,1)，半径为2r =，要使得圆上有且仅有三个点到直线10(ax y a -+=是实数）的距离为，则圆心到直线的距离等于12r，即1=，解得4a =±，故选B. 1 考点：直线与圆的位置关系.【方法点晴】本题主要考查了直线与圆的位置关系，其中解答中涉及到圆的标准方程、圆心坐标和圆的半径、点到直线的距离公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力和转化的思想方法，本题的解答中，把圆上有且仅有三个点到直线的距离为，转化为圆心到直线的距离等于12r 是解答的关键.11．【答案】C【解析】解：对于A ，既不是奇函数，也不是偶函数， 对于B ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数，对于C ，定义域为R ，满足f （x ）=f （﹣x ），则是偶函数， 对于D ，满足f （﹣x ）=﹣f （x ），是奇函数，故选：C ．【点评】本题主要考查了偶函数的定义，同时考查了解决问题、分析问题的能力，属于基础题．12．【答案】C解析：由三视图可知：原几何体是一个四棱锥，其中底面是一个上、下、高分别为1、2、2的直角梯形，一条长为x 的侧棱垂直于底面．则体积为=，解得x=．故选：C ．二、填空题13．【答案】 （﹣4，0] ．【解析】解：当a=0时，不等式等价为﹣4＜0，满足条件； 当a ≠0时，要使不等式ax 2﹣2ax ﹣4＜0恒成立， 则满足，即，∴解得﹣4＜a＜0，综上：a的取值范围是（﹣4，0]．故答案为：（﹣4，0]．【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，注意要对二次项系数进行讨论．14．【答案】0.9【解析】解：由题意，=0.9，故答案为：0.915．【答案】③．【解析】解：①、终边在y轴上的角的集合是{a|a=，k∈Z}，故①错误；②、设f（x）=sinx﹣x，其导函数y′=cosx﹣1≤0，∴f（x）在R上单调递减，且f（0）=0，∴f（x）=sinx﹣x图象与轴只有一个交点．∴f（x）=sinx与y=x 图象只有一个交点，故②错误；③、由题意得，y=3sin[2（x﹣）+]=3sin2x，故③正确；④、由y=sin（x﹣）=﹣cosx得，在[0，π]上是增函数，故④错误．故答案为：③．【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断及其应用，终边相同的角，正弦函数的性质，图象的平移变换，及三角函数的单调性，熟练掌握上述基础知识，并判断出题目中4个命题的真假，是解答本题的关键．16．【答案】③④【解析】试题分析：把展开图复原成正方体，如图，由正方体的性质，可知：①BM与ED是异面直线，所以是错误AN AC，由于几何体是正方体，所以三角形ANC 的；②DN与BE是平行直线，所以是错误的；③从图中连接,为等边三角形，所以,AN AC 所成的角为60︒，所以是正确的；④DM 与BN 是异面直线，所以是正确的．考点：空间中直线与直线的位置关系． 17．【答案】2，21+. 【解析】∵22212112221012a a a a a a +=+⋅+=++=，∴122a a +=，而222123121233123()2()2221cos ,13a a a a a a a a a a a a ++=+++⋅+=+⋅⋅<+>+≤+，∴12321a a a ++≤，当且仅当12a a +与3a 1.18．【答案】BC 【解析】【分析】验证发现，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的切线的集合， A ．M 中所有直线均经过一个定点（0，2）是不对，可由圆的切线中存在平行线得出， B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察直线的方程即可得到点的坐标．C ．对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，由直线系的几何意义可判断，D ．M 中的直线所能围成的正三角形面积一定相等，由它们是同一个圆的外切正三角形可判断出． 【解答】解：因为点（0，2）到直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）中每条直线的距离d==1，直线系M ：xcos θ+（y ﹣2）sin θ=1（0≤θ≤2π）表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的切线的集合，A ．由于直线系表示圆x 2+（y ﹣2）2=1的所有切线，其中存在两条切线平行，M 中所有直线均经过一个定点（0，2）不可能，故A 不正确；B ．存在定点P 不在M 中的任一条直线上，观察知点M （0，2）即符合条件，故B 正确；C ．由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，所以对于任意整数n （n ≥3），存在正n 边形，其所有边均在M 中的直线上，故C 正确；D ．如下图，M 中的直线所能围成的正三角形有两类，其一是如△ABB ′型，是圆的外切三角形，此类面积都相等，另一类是在圆同一侧，如△BDC 型，此一类面积相等，但两类之间面积不等，所以面积大小不一定相等， 故本命题不正确． 故答案为：BC ．三、解答题19．【答案】【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），∵点A在椭圆C上，∴，整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；（2）证明：设P（x0，y0），则，①直线AP方程为：y+=（x+），联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，直线BP的方程为：y+1=，联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，∴OM•ON=|x M||x N|=2•||•||=||=||=||=．②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，∴x Q=，y Q=，∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣，要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，将k=代入，即证：x M•x N=，由①的证明过程可知：|x M|•|x N|=，而x M与x N同号，∴x M•x N=，即A、Q、N三点共线．【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）设数列{a n}的公比为q，由a n＞0可得q＞0，且a3﹣a2﹣2a1=0，化简得q2﹣q﹣2=0，解得q=2或q=﹣1（舍），∵a3=a1•q2=4a1=8，∴a1=2，∴数列{a n}是以首项和公比均为2的等比数列，∴a n=2n；（Ⅱ）由（I）知b n=log2a n==n，∴a n b n=n•2n，∴S n=1×21+2×22+3×23+…+（n﹣1）×2n﹣1+n×2n，2S n=1×22+2×23+…+（n﹣2）×2n﹣1+（n﹣1）×2n+n×2n+1，两式相减，得﹣S n=21+22+23+…+2n﹣1+2n﹣n×2n+1，∴﹣S n=﹣n×2n+1，∴S n=2+（n﹣1）2n+1．【点评】本题考查等比数列的通项公式，错位相减法求和等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力，考查函数与方程思想、化归与转化思想，注意解题方法的积累，属于中档题．21．【答案】【解析】解：∵A={x|0＜x﹣m＜3}，∴A={x|m＜x＜m+3}，（1）当A∩B=∅时；如图：则，解得m=0，（2）当A∪B=B时，则A⊆B，由上图可得，m≥3或m+3≤0，解得m≥3或m≤﹣3．22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+，由，消去y得，x2﹣2pkx﹣p2=0（*）由题设，x1，x2是方程（*）的两实根，∴，故p=2；（Ⅱ）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），∵T在RQ的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|．得，又，∴，即4（y3﹣y4）=（y3+y4﹣2t）（y4﹣y3）．而y3≠y4，∴﹣4=y3+y4﹣2t．又∵y3+y4=1，∴，故T（0，）．因此，．由（Ⅰ）得，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，=．因此，当k=0时，S△MNT有最小值3．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．23．【答案】【解析】解：（1）证明：取AB中点H，连接GH，FH，∴GH∥BD，FH∥BC，∴GH∥面BCD，FH∥面BCD∴面FHG∥面BCD，∴GF∥面BCD（2）V=又外接球半径R=∴V′=π∴V：V′=【点评】本题考查的知识点是直线与平面平等的判定及棱锥和球的体积，其中根据E点三条棱互相垂直，故棱锥的外接球半径与以AE，CD，DE为棱长的长方体的外接球半径相等，求出外接球半径是解答本题的关键点．24．【答案】【解析】满分（14分）．解法一：（Ⅰ）当a=4时，f（x）=4x2+2x﹣lnx，x∈（0，+∞），．…（1分）由x∈（0，+∞），令f′（x）=0，得．xf′（x）﹣0 +f（x）↘极小值↗故函数f（x）在单调递减，在单调递增，…（3分）f（x）有极小值，无极大值．…（4分）（Ⅱ），令f′（x）=0，得2ax2+2x﹣1=0，设h（x）=2ax2+2x﹣1．则f′（x）在（0，1）有唯一的零点x0等价于h（x）在（0，1）有唯一的零点x0当a=0时，方程的解为，满足题意；…（5分）当a＞0时，由函数h（x）图象的对称轴，函数h（x）在（0，1）上单调递增，且h（0）=﹣1，h（1）=2a+1＞0，所以满足题意；…（6分）当a＜0，△=0时，，此时方程的解为x=1，不符合题意；当a＜0，△≠0时，由h（0）=﹣1，只需h（1）=2a+1＞0，得．…（7分）综上，．…（8分）（说明：△=0未讨论扣1分）（Ⅲ）设t=1﹣x，则t∈（0，1），p（t）=g（1﹣t）=at2+2t﹣3﹣lnt，…（9分），由，故由（Ⅱ）可知，方程2at2+2t﹣1=0在（0，1）内有唯一的解x0，且当t∈（0，x0）时，p′（t）＜0，p（t）单调递减；t∈（x0，1）时，p′（t）＞0，p（t）单调递增．…（11分）又p（1）=a﹣1＜0，所以p（x0）＜0．…（12分）取t=e﹣3+2a∈（0，1），则p（e﹣3+2a）=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3﹣lne﹣3+2a=ae﹣6+4a+2e﹣3+2a﹣3+3﹣2a=a（e﹣6+4a﹣2）+2e﹣3+2a＞0，从而当t∈（0，x0）时，p（t）必存在唯一的零点t1，且0＜t1＜x0，即0＜1﹣x1＜x0，得x1∈（0，1），且x0+x1＞1，从而函数g（x）在（0，1）内有唯一的零点x1，满足x0+x1＞1．…（14分）解法二：（Ⅰ）同解法一；…（4分）（Ⅱ），令f′（x）=0，由2ax2+2x﹣1=0，得．…（5分）设，则m∈（1，+∞），，…（6分）问题转化为直线y=a与函数的图象在（1，+∞）恰有一个交点问题．又当m∈（1，+∞）时，h（m）单调递增，…（7分）故直线y=a与函数h（m）的图象恰有一个交点，当且仅当．…（8分）（Ⅲ）同解法一．（说明：第（Ⅲ）问判断零点存在时，利用t→0时，p（t）→+∞进行证明，扣1分）【点评】本题考查函数与导数等基本知识，考查推理论证能力和运算求解能力，考查函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合的思想，考查运用数学知识分析和解决问题的能力．。

青岛市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知椭圆（0＜b ＜3），左右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，则b 的值是（ ）A． B．C．D．2． 在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =A 、22B 、23C 、24D 、253． 已知三个数1a -，1a +，5a +成等比数列，其倒数重新排列后为递增的等比数列{}n a 的前三 项，则能使不等式1212111n na a a a a a +++≤+++成立的自然数的最大值为（ ） A ．9 B ．8 C.7D ．5 4． 如图，空间四边形ABCD 中，M、G 分别是BC 、CD 的中点，则等（）A ．B ．C ．D ．5． 有下列关于三角函数的命题 P 1：∀x ∈R ，x ≠k π+（k ∈Z ），若tanx ＞0，则sin2x ＞0；P 2：函数y=sin （x ﹣）与函数y=cosx 的图象相同；P 3：∃x 0∈R ，2cosx 0=3；P 4：函数y=|cosx|（x ∈R ）的最小正周期为2π，其中真命题是（ ） A ．P 1，P 4B ．P 2，P 4C ．P 2，P 3D ．P 1，P 26． 定义运算：,,a a ba b b a b ≤⎧*=⎨>⎩．例如121*=，则函数()sin cos f xx x =*的值域为（）A ．22⎡-⎢⎣⎦B ．[]1,1-C ．,12⎤⎥⎣⎦D ．1,2⎡-⎢⎣⎦ 7． 设全集U={1，2，3，4，5}，集合A={2，3，4}，B={2，5}，则B ∪（∁U A ）=（ ） A ．{5} B ．{1，2，5}C ．{1，2，3，4，5}D ．∅8． 若复数z 满足=i ，其中i 为虚数单位，则z=（ ）A ．1﹣iB ．1+iC ．﹣1﹣iD ．﹣1+i9． 设双曲线=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=x ，则该双曲线的离心率为（ ）A ．B ．2C ．D ．10．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >），以双曲线C 的一个顶点为圆心，为半径的圆被双曲线C 截得劣弧长为23a π，则双曲线C 的离心率为（ ）A ．65BCD 11．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．12．不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，那么（ ） A ．a ＜0，△＜0 B ．a ＜0，△≤0C ．a ＞0，△≥0D ．a ＞0，△＞0二、填空题13．下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1:||f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1()f x x=在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ． 14．若函数f （x ）=3sinx ﹣4cosx ，则f ′（）= ．15．在ABC ∆中，有等式：①sin sin a A b B =；②sin sin a B b A =；③cos cos a B b A =；④sin sin sin a b cA B C+=+.其中恒成立的等式序号为_________. 16．为了近似估计π的值，用计算机分别产生90个在[﹣1，1]的均匀随机数x 1，x 2，…，x 90和y 1，y 2，…，y 90，在90组数对（x i ，y i ）（1≤i ≤90，i ∈N *）中，经统计有25组数对满足，则以此估计的π值为．17．设a抛掷一枚骰子得到的点数，则方程x2+ax+a=0有两个不等实数根的概率为．18．如图是根据部分城市某年6月份的平均气温（单位：℃）数据得到的样本频率分布直方图，其中平均气温的范围是．已知样本中平均气温不大于22.5℃的城市个数为11，则样本中平均气温不低于25.5℃的城市个数为．三、解答题19．已知f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求函数的单调区间；（2）若x∈[1，3]时，f（x）＞1﹣4c2恒成立，求实数c的取值范围．20．已知等差数列{a n}，等比数列{b n}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．（Ⅰ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅱ）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项和S n．21．为了了解湖南各景点在大众中的熟知度，随机对15～65岁的人群抽样了n人，回答问题“湖南省有哪几个（Ⅱ）从第2，3，4组回答正确的人中用分层抽样的方法抽取6人，求第2，3，4组每组各抽取多少人？（Ⅲ）在（Ⅱ）抽取的6人中随机抽取2人，求所抽取的人中恰好没有第3组人的概率．22．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点．（1）求证：平面PDC⊥平面PAD；（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．23．数列{a n}满足a1=，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．（Ⅰ）证明数列{tan2a n}是等差数列，并求数列{tan2a n}的前n项和；（Ⅱ）求正整数m，使得11sina1•sina2•…•sina m=1．24．已知函数y=x+有如下性质：如果常数t＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．（1）已知函数f（x）=x+，x∈[1，3]，利用上述性质，求函数f（x）的单调区间和值域；（2）已知函数g（x）=和函数h（x）=﹣x﹣2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得h（x2）=g（x1）成立，求实数a的值．青岛市第二高级中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案） 一、选择题1． 【答案】D【解析】解：∵|AF 1|+|AF 2|=|BF 1|+|BF 2|=2a=6，|AF 2|+|BF 2|的最大值为8，∴|AB|的最小值为4，当AB ⊥x 轴时，|AB|取得最小值为4，∴=4，解得b 2=6，b=．故选：D ．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2． 【答案】A【解析】1237k a a a a a =++++17672a d ⨯=+121(221)d a d ==+-， ∴22k =． 3． 【答案】C【解析】试题分析：因为三个数1,1,5a a a -++等比数列，所以()()()2115,3a a a a +=-+∴=，倒数重新排列后恰好为递增的等比数列{}n a 的前三项，为111,,842，公比为，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以为首项，12为公比的等比数列，则不等式1212111n n a a a a a a +++≤+++等价为()1181122811212n n ⎛⎫-- ⎪⎝⎭≤--，整理，得722,17,n n n N +≤∴≤≤≤∈，故选C. 1考点：1、等比数列的性质；2、等比数列前项和公式. 4．【答案】C【解析】解：∵M、G 分别是BC 、CD的中点，∴=，= ∴=++=+=故选C【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将化为++，是解答本题的关键．5．【答案】D【解析】解：对于P1，∀x∈R，x≠kπ+（k∈Z），若tanx＞0，则sin2x=2sinxcosx==＞0，则P1为真命题；对于P2，函数y=sin（x﹣）=sin（2π+x﹣）=sin（x+）=cosx，则P2为真命题；对于P3，由于cosx∈[﹣1，1]，∉[﹣1，1]，则P3为假命题；对于P4，函数y=|cosx|（x∈R），f（x+π）=|cos（x+π）|=|﹣cosx|=|cosx|=f（x），则f（x）的最小正周期为π，则P4为假命题．故选D．【点评】本题考查全称性命题和存在性命题的真假，以及三角函数的图象和周期，运用二倍角公式和诱导公式以及周期函数的定义是解题的关键，属于基础题和易错题．6．【答案】D【解析】考点：1、分段函数的解析式；2、三角函数的最值及新定义问题.7．【答案】B【解析】解：∵C U A={1，5}∴B∪（∁U A）={2，5}∪{1，5}={1，2，5}．故选B．8．【答案】A【解析】解：=i，则=i（1﹣i）=1+i，可得z=1﹣i．故选：A．9．【答案】C【解析】解：由已知条件知：；∴；∴；∴．故选C．【点评】考查双曲线的标准方程，双曲线的渐近线方程的表示，以及c2=a2+b2及离心率的概念与求法．10．【答案】B考点：双曲线的性质．11．【答案】A【解析】解：因为四个面是全等的正三角形，则．故选A12．【答案】A【解析】解：∵不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为R ，∴a ＜0，且△=b 2﹣4ac ＜0，综上，不等式ax 2+bx+c ＜0（a ≠0）的解集为的条件是：a ＜0且△＜0．故选A ．二、填空题13．【答案】①② 【解析】试题分析：子集的个数是2n，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()241f x x =-为偶函数，故错误.对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n个；对于奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 14．【答案】 4 ．【解析】解：∵f ′（x ）=3cosx+4sinx ， ∴f ′（）=3cos+4sin=4．故答案为：4．【点评】本题考查了导数的运算法则，掌握求导公式是关键，属于基础题．15．【答案】②④ 【解析】试题分析：对于①中，由正弦定理可知sin sin a A b B =，推出A B =或2A B π+=，所以三角形为等腰三角形或直角三角形，所以不正确；对于②中，sin sin a B b A =，即sin sin sin sin A B B A =恒成立，所以是正确的；对于③中，cos cos a B b A =，可得sin()0B A -=，不满足一般三角形，所以不正确；对于④中，由正弦定理以及合分比定理可知sin sin sin a b cA B C+=+是正确，故选选②④．1 考点：正弦定理；三角恒等变换．16．【答案】 ．【解析】设A （1，1），B （﹣1，﹣1），则直线AB 过原点，且阴影面积等于直线AB 与圆弧所围成的弓形面积S 1，由图知，，又，所以【点评】本题考查了随机数的应用及弓形面积公式，属于中档题．17．【答案】．【解析】解：∵a 是甲抛掷一枚骰子得到的点数， ∴试验发生包含的事件数6，∵方程x 2+ax+a=0 有两个不等实根， ∴a 2﹣4a ＞0，解得a ＞4， ∵a 是正整数， ∴a=5，6，即满足条件的事件有2种结果，∴所求的概率是=，故答案为：【点评】本题考查等可能事件的概率，在解题过程中应用列举法来列举出所有的满足条件的事件数，是解题的关键．18．【答案】9．【解析】解：平均气温低于22.5℃的频率，即最左边两个矩形面积之和为0.10×1+0.12×1=0.22，所以总城市数为11÷0.22=50，平均气温不低于25.5℃的频率即为最右面矩形面积为0.18×1=0.18，所以平均气温不低于25.5℃的城市个数为50×0.18=9．故答案为：9三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）由题意：f′（x）=3x2+6ax+3b 直线6x+2y+5=0的斜率为﹣3；由已知所以﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）所以由f′（x）=3x2﹣6x＞0得心x＜0或x＞2；所以当x∈（0，2）时，函数单调递减；当x∈（﹣∞，0），（2，+∞）时，函数单调递增．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）（2）由（1）知，函数在x∈（1，2）时单调递减，在x∈（2，3）时单调递增；所以函数在区间[1，3]有最小值f（2）=c﹣4要使x∈[1，3]，f（x）＞1﹣4c2恒成立只需1﹣4c2＜c﹣4恒成立，所以c＜或c＞1．故c的取值范围是{c|c或c＞1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）【点评】本题主要考查函数在某点取得极值的条件和导数的几何意义，以及利用导数解决函数在闭区间上的最值问题和函数恒成立问题，综合性较强，属于中档题．20．【答案】【解析】解：（I）设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．∴1+d=q，2（1+2d）﹣q2=1，解得或．∴a n=1，b n=1；或a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1，b n=3n﹣1．（II）当时，c n=a n b n=1，S n=n．当时，c n=a n b n=（2n﹣1）3n﹣1，∴S n=1+3×3+5×32+…+（2n﹣1）3n﹣1，3S n=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，∴﹣2S n=1+2（3+32+…+3n﹣1）﹣（2n﹣1）3n=﹣1﹣（2n﹣1）3n=（2﹣2n）3n﹣2，∴S n=（n﹣1）3n+1．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由频率表中第4组数据可知，第4组总人数为，再结合频率分布直方图可知n=，∴a=100×0.01×10×0.5=5，b=100×0.03×10×0.9=27，；（Ⅱ）因为第2，3，4组回答正确的人数共有54人，∴利用分层抽样在54人中抽取6人，每组分别抽取的人数为：第2组：人；第3组：人；第4组：人（Ⅲ）设第2组2人为：A1，A2；第3组3人为：B1，B2，B3；第4组1人为：C1．则从6人中随机抽取2人的所有可能的结果为：（A1，A2），（A1，B1），（A1，B2），（A1，B3），（A1，C1），（A2，B1），（A2，B2），（A2，B3），（A2，C1），（B1，B2），（B1，B3），（B1，C1），（B2，B3），（B2，C1），（B3，C1）共15个基本事件，其中恰好没有第3组人共3个基本事件，∴所抽取的人中恰好没有第3组人的概率是：．【点评】本题考查了频率分布表与频率分布直方图，考查了古典概型的概率计算，解题的关键是读懂频率分布直方图．22．【答案】【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD∵CD⊆平面PDC，∴平面PDC⊥平面PAD；（2）取AD中点O，连接EO，∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC过O作OF⊥AC于F，连接EF，则∵EO、OF是平面OEF内的相交直线，∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角由PA=2，得EO=1，在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×=∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF==∴cos∠EFO==【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．23．【答案】【解析】（Ⅰ）证明：∵对任意正整数n，a n∈（﹣，），且tana n+1•cosa n=1（n∈N*）．故tan2a n+1==1+tan2a n，∴数列{tan2a n}是等差数列，首项tan2a1=，以1为公差．∴=．∴数列{tan2a n}的前n项和=+=．（Ⅱ）解：∵cosa n＞0，∴tana n+1＞0，．∴tana n=，，∴sina1•sina2•…•sina m=（tana1cosa1）•（tana2•cosa2）•…•（tana m•cosa m）=（tana2•cosa1）•（tana3cosa2）•…•（tana m•cosa m﹣1）•（tana1•cosa m）=（tana1•cosa m）==，由，得m=40．【点评】本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．24．【答案】【解析】解：（1）由已知可以知道，函数f（x）在x∈[1，2]上单调递减，在x∈[2，3]上单调递增，f（x）min=f（2）=2+2=4，又f（1）=1+4=5，f（3）=3+=；f（1）＞f（3）所以f（x）max=f（1）=5所以f（x）在x∈[1，3]的值域为[4，5]．（2）y=g（x）==2x+1+﹣8设μ=2x+1，x∈[0，1]，1≤μ≤3，则y=﹣8，由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤时，g（x）单调递减，所以递减区间为[0，]；当2≤u≤3，即≤x≤1时，g（x）单调递增，所以递增区间为[，1]；由g（0）=﹣3，g（）=﹣4，g（1）=﹣，得g（x）的值域为[﹣4，﹣3]．因为h（x）=﹣x﹣2a为减函数，故h（x）∈[﹣1﹣2a，﹣2a]，x∈[0，1]．根据题意，g（x）的值域为h（x）的值域的子集，从而有，所以a=．。

2018-2019学年高二（上）期末数学试卷2带答案一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为（结果用反三角函数值表示）2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．715．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．816．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分36分）本大题共12小题，每个空格填对得3分，否则一律得0分.1．（3分）直线3x﹣4y﹣5=0的倾斜角的大小为arctan（结果用反三角函数值表示）【分析】根据所给的直线3x﹣4y﹣5=0，得到直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，得到tanα=，α∈[0，π]，根据倾斜角的范围和正切的反三角函数的值域确定结果．【解答】解：∵直线3x﹣4y﹣5=0，∴直线的斜率时，直线的斜率是倾斜角的正切，∴tanα=，α∈[0，π]，∴α=arctan，故答案为：arctan．【点评】本题考查反三角函数的应用及直线的倾斜角与斜率的关系，本题解题的关键是理解反三角函数的值域和倾斜角的范围，本题是一个基础题．2．（3分）若=（﹣5，4），=（7，9），则与同向的单位向量的坐标是（，）．【分析】根据坐标运算求出向量，再求与同向的单位向量即可．【解答】解：∵=（﹣5，4），=（7，9），∴=（12，5），||==13；∴与同向的单位向量的坐标为=（，）．故答案为：（，）．【点评】本题考查了平面向量的坐标运算与单位向量的应用问题，是基础题目．3．（3分）若线性方程组的增广矩阵为，解为，则a+b=2．【分析】根据增广矩阵的定义得到是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知是方程组的解，即，则a+b=1+1=2，故答案为：2．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．（3分）行列式中中元素﹣3的代数余子式的值为7，则k=3．【分析】由题意可知求得A12=﹣=k+4，代入即可求得k的值．【解答】解：由题意可知：设A=，元素﹣3的代数余子式A12=﹣=k+4，∴k+4=7，∴k=3，故答案为：3．【点评】本题考查三阶行列式的代数余子式的定义及行列式的运算，考察计算能力，属于基础题．5．（3分）以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的方程是（x+1）2+（y﹣5）2=17．【分析】由中点坐标公式求出圆心，由两点间距离公式求出圆半径，由此能求出圆的方程．【解答】解：∵点P（3，4）和点Q（﹣5，6），∴以点P（3，4）和点Q（﹣5，6）为一条直径的两个端点的圆的圆心为（﹣1，5），圆的半径r===．∴圆的方程为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．故答案为：（x+1）2+（y﹣5）2=17．【点评】本题考查圆的方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意中点坐标公式和两点间距离公式的合理运用．6．（3分）若顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，则该抛物线的准线方程为x=﹣2．【分析】由已知得抛物线的焦点F（2，0），由此能求出该抛物线的准线方程．【解答】解：∵顶点在原点的抛物线的焦点与圆x2+y2﹣4x=0的圆心重合，∴抛物线的焦点F（2，0），∴该抛物线的准线方程为x=﹣2．故答案为：x=﹣2．【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线、圆的性质的合理运用．7．（3分）在△ABC中，|AB|=3，|BC|=7，|CA|=5，则在方向上的投影是．【分析】利用余弦定理求出A，则与的夹角为π﹣A．【解答】解：cosA===﹣．∴在方向上的投影是||•cos（π﹣A）=3×=．故答案为．【点评】本题考查了平面向量的夹角，余弦定理，属于基础题．8．（3分）已知双曲线kx2﹣y2=1的一条渐进线的方向向量=（2，﹣1），则k=．【分析】根据题设条件知求出渐近线的斜率，建立方程求出k．【解答】解：∵双曲线kx2﹣y2=1的渐近线的一条渐近线的方向向量=（2，﹣1），∴渐近线的斜率为=，∴k=．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意公式的合理运用．9．（3分）在正三角形ABC中，D是BC上的点，AB=3，BD=1，则=．【分析】利用向量的加法法则化，展开后利用数量积运算得答案．【解答】解：如图，∵AB=3，BD=1，∠B=60°，∴===．故答案为：．【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量的加法法则，是基础题．10．（3分）已知F1、F2是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的两个焦点，P 是双曲线C上一点，且⊥，若△PF1F2的面积为16，则b=4．【分析】Rt△PF1F2中，由勾股定理及双曲线的定义，△PF1F2面积为16，即可求出b．【解答】解：设|PF1|=m，|PF2|=n，⊥，得∠F1PF2=90°，∴m2+n2=4c2，△PF1F2的面积为16，∴mn=32∴4a2=（m﹣n）2=4c2﹣64，∴b2=c2﹣a2=16，∴b=4．故答案为：4．【点评】本题给出双曲线的焦点三角形为直角三角形及它的面积，着重考查了勾股定理、双曲线的定义和简单几何性质等知识．11．（3分）若点O和点F分别为椭圆+y2=1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则|OP|2+|PF|2的最小值为2．【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x，y），根据P（x，y）在椭圆上可得到x、y的关系式，表示出|OP|2+|PF|2，再将x、y的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x，y），则有+y2=1，解得y2=1﹣，因为|OP|2+|PF|2=x2+y2+（x+1）2+y2=x2+（x+1）2+2﹣x2=（x+1）2+2，此二次函数对应的抛物线的对称轴为x=﹣1，|OP|2+|PF|2的最小值为2．故答案为：2．【点评】本题考查椭圆的方程、几何性质、两点间的距离公式、二次函数的单调性与最值等，考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力．12．（3分）在平面直角坐标系中，两个动圆均过点A（1，0）且与直线l：x=﹣1相切，圆心分别为C1、C2，若动点M满足2=+，则M的轨迹方程为y2=2x﹣1．【分析】由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，利用2=+，确定坐标之间的关系，即可求出M的轨迹方程．【解答】解：由抛物线的定义可得动圆的圆心轨迹方程为y2=4x，设C1（a，b），C2（m，n），M（x，y），则∵2=+，∴2（x﹣m，y﹣n）=（a﹣m，b﹣n）+（1﹣m，﹣n），∴2x=a+1，2y=b，∴a=2x﹣1，b=2y，∵b2=4a，∴（2y）2=4（2x﹣1），即y2=2x﹣1．故答案为：y2=2x﹣1．【点评】本题考查轨迹方程，考查向量知识的运用，考查学生分析解决问题的能力，确定坐标之间的关系是关键．二、本大题共4小题，每小题4分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.13．（4分）“”是“方程组有唯一解”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件D．既不充分又不必要条件【分析】根据两直线间的位置关系，从而得到答案．【解答】解：由⇔a1 b2≠a2 b1，⇔直线a1x+b1y=c1和直线a2x+b2y=c2不平行，⇔方程组有唯一解，故选：C．【点评】本题考查了充分必要条件，考查了直线之间的位置关系，是一道基础题．14．（4分）某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：当S=0时，满足继续循环的条件，故S=1，k=1；当S=1时，满足继续循环的条件，故S=3，k=2；当S=3时，满足继续循环的条件，故S=11，k=3；当S=11时，满足继续循环的条件，故S=2059，k=4；当S=2049时，不满足继续循环的条件，故输出的k值为4，故选：A【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环的次数不多，或有规律时，常采用模拟循环的方法解答．15．（4分）已知集合P={（x，y）||x|+2|y|=5}，Q={（x，y）|x2+y2=5}，则集合P∩Q中元素的个数是（）A．0 B．2 C．4 D．8【分析】做出P与Q中表示的图象，确定出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：对于P中|x|+2|y|=5，当x＞0，y＞0时，化简得：x+2y=5；当x＞0，y＜0时，化简得：x﹣2y=5；当x＜0，y＞0时，化简得：﹣x+2y=5；当x＜0，y＜0时，化简得：﹣x﹣2y=5，对于Q中，x2+y2=5，表示圆心为原点，半径为的圆，做出图形，如图所示，则集合P∩Q=∅，即P∩Q中元素的个数是0个，故选：A．【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．16．（4分）已知对称轴为坐标轴的双曲线的渐进线方程为y=±x（a＞0，b＞0），若双曲线上有一点M（x0，y0），使b|x0|＜a|y0|，则该双曲线的焦点（）A．在x轴上B．在y轴上C．当a＞b时，在x轴上D．当a＞b时，在y轴上【分析】利用题设不等式，令二者平方，整理求得﹣＞0，即可判断出焦点的位置．【解答】解：∵a|y0|＞b|x0|≥0∴平方a2y02＞b2x02∴﹣＞0∴焦点在y轴故选：B．【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．考查了学生分析问题和解决问题的能力．三、解答题（本大题满分48分）本大题共5小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（8分）已知：、、是同一平面内的三个向量，其中=（1，2）（1）若||=2，且∥，求的坐标；（2）若||=，且+2与2﹣垂直，求与的夹角θ．【分析】（1）设，由||=2，且∥，知，由此能求出的坐标．（2）由，知，整理得，故，由此能求出与的夹角θ．【解答】解：（1）设，∵||=2，且∥，∴，…（3分）解得或，…（5分）故或．…（6分）（2）∵，∴，即，…（8分）∴，整理得，…（10分）∴，…（12分）又∵θ∈[0，π]，∴θ=π．…（14分）【点评】本题考查平面向量的坐标运算和数量积判断两个平面垂直的条件的灵活运用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．18．（8分）已知直线l经过点P（﹣2，），并且与直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，求直线l的方程．【分析】根据条件求出直线l的倾斜角，可得直线l的斜率，再用点斜式求得直线l的方程．【解答】解：由于直线l0：x﹣y+2=0的斜率为，故它的倾斜角为，由于直线l和直线l0：x﹣y+2=0的夹角为，故直线l的倾斜角为或，故直线l的斜率不存在或斜率为﹣．再根据直线l经过点P（﹣2，），可得直线l的方程为x=﹣2，或y﹣=﹣（x+2），即x=﹣2，或x+y﹣1=0．如图：【点评】本题主要考查直线的倾斜角和斜率，两条直线的夹角，用点斜式求直线的方程，属于基础题．19．（10分）如图所示，A（2，0）、B、C是椭圆E：+=1（a＞b＞0）上的三点，BC过椭圆E的中心且斜率为1，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点内构成正三角形．（1）求椭圆E的方程；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得a=2，再由正三角形的条件可得a=b，解得b，进而得到椭圆方程；（2）由题意写出A点坐标，直线CB方程，联立直线方程与椭圆方程可求得交=|OA|•|y B﹣y C|，代入数值即可求得面积．点C、B的纵坐标，S△ABC【解答】解：（1）A的坐标为（2，0），即有a=2，椭圆长轴的一个端点与短轴的两个端点构成正三角形，可得a=b，解得b=2，则椭圆E的方程为，（2）直线BC的方程为y=x，代入椭圆方程x2+3y2=12，得y=x=±，=|OA|•|y B﹣y C|=×2=6，∴S△ABC△ABC的面积为6．【点评】本题考查求椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系、三角形面积公式，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．20．（10分）如图所示的封闭区域的边界是由两个关于x轴对称的半圆与截取于同一双曲线的两段曲线组合而成的，其中上半圆所在圆的方程是x2+y2﹣4y﹣4=0，双曲线的左右顶点A、B是该圆与x轴的交点，双曲线与该圆的另两个交点是该圆平行于x轴的一条直径的两个端点．（1）求双曲线的方程；（2）记双曲线的左、右焦点为F1、F2，试在封闭区域的边界上求点P，使得∠F1PF2是直角．【分析】（1）根据上半个圆所在圆的方程得出两圆的圆心与半径，再求出双曲线的顶点坐标与标准方程；（2）设点P的坐标，根据∠F1PF2是直角得出方程x2+y2=8，分别与双曲线和圆的方程联立，即可求出点P的坐标，注意检验，排除不合题意的坐标．【解答】解：（1）上半个圆所在圆的方程为x2+y2﹣4y﹣4=0，圆心为（0，2），半径为2；则下半个圆所在圆的圆心为（0，﹣2），半径为2；双曲线的左、右顶点A、B是该圆与x轴的交点，即为（﹣2，0），（2，0），即a=2，由于双曲线与半圆相交于与x轴平行的直径的两端点，则令y=2，解得x=±2，即有交点为（±2，2）；设双曲线的方程为﹣=1（a＞0，b＞0），则﹣=1，且a=2，解得b=2；所以双曲线的方程为﹣=1；（2）双曲线的左、右焦点为F1（﹣2，0），F2（2，0），若∠F1PF2是直角，设点P（x，y），则有x2+y2=8，由，解得x2=6，y2=2；由，解得y=±1（不满足题意，应舍去）；所以在封闭区域的边界上所求点P的坐标为（±，）和（±，﹣）．【点评】本题考查了双曲线的标准方程的求法问题，也考查了圆与圆、圆与双曲线的位置关系，是综合性题目．21．（12分）对于曲线C：f（x，y）=0，若存在非负实常数M和m，使得曲线C 上任意一点P（x，y）有m≤|OP|≤M成立（其中O为坐标原点），则称曲线C 为既有外界又有内界的曲线，简称“有界曲线”，并将最小的外界M0成为曲线C 的外确界，最大的内界m0成为曲线C的内确界．（1）曲线y2=4x与曲线（x﹣1）2+y2=4是否为“有界曲线”？若是，求出其外确界与内确界；若不是，请说明理由；（2）已知曲线C上任意一点P（x，y）到定点F1（﹣1，0），F2（1，0）的距离之积为常数a（a＞0），求曲线C的外确界与内确界．【分析】（1）由外确界与内确界的概念，结合曲线方程，数形结合得答案；（2）由题意求出曲线C的方程，进一步得到x的范围，把x2+y2转化为含有x的代数式，分类讨论得答案．【解答】解：（1）y2=4x的图象为开口向右的抛物线，抛物线上的点到原点的距离的最小值为0，无最大值，∴曲线y2=4x不是“有界曲线”；∵曲线（x﹣1）2+y2=4的轨迹为以（1，0）为圆心，以2为半径的圆，如图：由图可知曲线（x﹣1）2+y2=4上的点到原点距离的最小值为1，最大值为3，则曲线（x﹣1）2+y2=4是“有界曲线”，其外确界为3，内确界为1；（2）由已知得：，整理得：（x2+y2+1）2﹣4x2=a2，∴，∵y2≥0，∴，∴（x2+1）2≤4x2+a2，∴（x2﹣1）2≤a2，∴1﹣a≤x2≤a+1，则=，∵1﹣a≤x2≤a+1，∴（a﹣2）2≤4x2+a2≤（a+2）2，即，当0＜a＜1时，2﹣a，则，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为；当1≤a≤2时，2﹣a，则，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当2＜a≤3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴0，则曲线C的外确界与内确界分别为，0；当a＞3时，a﹣2，则a﹣3≤﹣1≤a+1，∴，则曲线C的外确界与内确界分别为，．【点评】本题考查曲线的外确界与内确界的求法，体现了分类讨论的数学思想方法，理解题意是关键，注意函数与方程思想的合理运用，属难题．。

青岛市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知函数()x e f x x=，关于x 的方程2()2()10f x af x a -+-=（a R Î）有3个相异的实数根，则a 的取值范围是（ ）A ．21(,)21e e -+?-B ．21(,)21e e --?-C ．21(0,)21e e --D ．2121e e 禳-镲睚-镲铪【命题意图】本题考查函数和方程、导数的应用等基础知识，意在考查数形结合思想、综合分析问题解决问题的能力．2． 已知定义在R 上的函数f （x ）满足f （x ）=，且f （x ）=f （x+2），g （x ）=，则方程g （x ）=f （x ）﹣g （x ）在区间[﹣3，7]上的所有零点之和为（ ） A ．12B ．11C ．10D ．93． 命题：“∀x ∈R ，x 2﹣x+2＜0”的否定是（ ） A ．∀x ∈R ，x 2﹣x+2≥0 B ．∃x ∈R ，x 2﹣x+2≥0 C ．∃x ∈R ，x 2﹣x+2＜0 D ．∀x ∈R ，x 2﹣x+2＜04． 函数y=﹣lnx （1≤x ≤e 2） 的值域是（ ）A ．[0，2]B ．[﹣2，0]C ．[﹣，0]D ．[0，]5． 已知i 是虚数单位，则复数等于（ ）A ．﹣ +iB ．﹣ +iC ．﹣iD ．﹣i6． 下列判断正确的是（ ）A ．①不是棱柱B ．②是圆台C ．③是棱锥D ．④是棱台7． 已知e 为自然对数的底数，若对任意的1[,1]x e∈，总存在唯一的[1,1]y ∈-，使得2ln 1yx x a y e -++=成立，则实数a 的取值范围是（ ）A.1[,]e eB.2(,]e eC.2(,)e +∞D.21(,)e e e+【命题意图】本题考查导数与函数的单调性，函数的最值的关系，函数与方程的关系等基础知识，意在考查运用转化与化归思想、综合分析问题与解决问题的能力．8． 设公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4232()a a a =+，则74S a =（ ） A ．74 B ．145C ．7D ．14 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式及其前n 项和，意在考查运算求解能力.9． 已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）A． B．C．D．10．设为虚数单位，则（ ）A ．B ．C ．D ．11．设△ABC 的三边长分别为a 、b 、c ，△ABC 的面积为S ，内切圆半径为r，则，类比这个结论可知：四面体S ﹣ABC 的四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，内切球半径为r ，四面体S ﹣ABC 的体积为V ，则r=（ ） A． B． C．D ．12．集合{}{}2|ln 0,|9A x x B x x =≥=<,则AB =（ ）A ．()1,3B ．[)1,3C ．[]1,+∞D ．[],3e二、填空题13．在△ABC 中，，，，则_____．14．已知点A （2，0），点B （0，3），点C 在圆x 2+y 2=1上，当△ABC 的面积最小时，点C 的坐标为 ．15．已知角α终边上一点为P （﹣1，2），则值等于 ．16．已知圆C 1：（x ﹣2）2+（y ﹣3）2=1，圆C 2：（x ﹣3）2+（y ﹣4）2=9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM|+|PN|的最小值 ．17．袋中装有6个不同的红球和4个不同的白球，不放回地依次摸出2个球，在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为 ．18．如图，P 是直线x ＋y －5＝0上的动点，过P 作圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的两切线、切点分别为A 、B ，当四边形P ACB 的周长最小时，△ABC 的面积为________．三、解答题19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥ABCD S -中，底面ABCD 为菱形，Q P E 、、分别是棱AB SC AD 、、的中点，且⊥SE 平面ABCD .（1）求证：//PQ 平面SAD ； （2）求证：平面⊥SAC 平面SEQ .20．设f （x ）=x 2﹣ax+2．当x ∈，使得关于x 的方程f （x ）﹣tf （2a ）=0有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．21．（本题满分13分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ，且与直线1l ：062=+-y x 相切，设点A 为圆上 一动点，⊥AM x 轴于点M ，且动点N 满足OM OA ON )2133(21-+=，设动点N 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）若动直线2l ：m kx y +=与曲线C 有且仅有一个公共点，过)0,1(1-F ，)0,1(2F 两点分别作21l P F ⊥，21l Q F ⊥，垂足分别为P ，Q ，且记1d 为点1F 到直线2l 的距离，2d 为点2F 到直线2l 的距离，3d 为点P到点Q 的距离，试探索321)(d d d ⋅+是否存在最值？若存在，请求出最值.22．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，其中常数b ，c ∈R ．（Ⅰ）若任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0，f （2+x ）≤0，试求实数c 的取值范围；（Ⅱ）若对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4，试求实数b 的取值范围．23．已知函数()21ln ,2f x x ax x a R =-+∈． （1）令()()()1g x f x ax =--，讨论()g x 的单调区间；（2）若2a =-，正实数12,x x 满足()()12120f x f x x x ++=，证明12x x +≥．24．在平面直角坐标系xOy 中，点B 与点A （﹣1，1）关于原点O 对称，P 是动点，且直线AP 与BP 的斜率之积等于﹣．（Ⅰ）求动点P 的轨迹方程；（Ⅱ）设直线AP 和BP 分别与直线x=3交于点M ，N ，问：是否存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．青岛市第二中学校2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案）一、选择题D1．【答案】第Ⅱ卷（共90分）2．【答案】B【解析】解：∵f（x）=f（x+2），∴函数f（x）为周期为2的周期函数，函数g（x）=，其图象关于点（2，3）对称，如图，函数f（x）的图象也关于点（2，3）对称，函数f（x）与g（x）在[﹣3，7]上的交点也关于（2，3）对称，设A，B，C，D的横坐标分别为a，b，c，d，则a+d=4，b+c=4，由图象知另一交点横坐标为3，故两图象在[﹣3，7]上的交点的横坐标之和为4+4+3=11，即函数y=f（x）﹣g（x）在[﹣3，7]上的所有零点之和为11．故选：B．【点评】本题考查函数的周期性，函数的零点的概念，以及数形结合的思想方法．属于中档题．3．【答案】B【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：“∀x∈R，x2﹣x+2＜0”的否定是∃x∈R，x2﹣x+2≥0．故选：B．【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．4．【答案】B【解析】解：∵函数y=lnx在（0，+∞）上为增函数，故函数y=﹣lnx在（0，+∞）上为减函数，当1≤x≤e2时，若x=1，函数取最大值0，x=e2，函数取最小值﹣2，故函数y=﹣lnx（1≤x≤e2）的值域是[﹣2，0]，故选：B【点评】本题考查的知识点是对数函数的值域与最值，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．5． 【答案】A 【解析】解：复数===，故选：A ．【点评】本题考查了复数的运算法则，属于基础题．6． 【答案】C【解析】解：①是底面为梯形的棱柱； ②的两个底面不平行，不是圆台； ③是四棱锥； ④不是由棱锥截来的， 故选：C ．7． 【答案】B【解析】8． 【答案】C.【解析】根据等差数列的性质，4231112()32(2)a a a a d a d a d=+⇒+=+++，化简得1a d =-，∴1741767142732a dS d a a d d⋅+===+，故选C.9． 【答案】B【解析】解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f （x ）的图象，再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．故选B【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f （x ）的图象，再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．10．【答案】C【解析】【知识点】复数乘除和乘方【试题解析】 故答案为：C 11．【答案】 C【解析】解：设四面体的内切球的球心为O ， 则球心O 到四个面的距离都是R ， 所以四面体的体积等于以O 为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和．则四面体的体积为∴R= 故选C ．【点评】类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（或猜想）．12．【答案】B 【解析】试题分析：因为{}{}|ln 0|1A x x A x x =≥==≥,{}{}2|9|33B x x B x x =<==-<<,所以A B ={}|13x x ≤<，故选B.考点：1、对数函数的性质及不等式的解法；2、集合交集的应用.二、填空题13．【答案】2【解析】【知识点】余弦定理同角三角函数的基本关系式【试题解析】因为所以又因为解得：再由余弦定理得：故答案为：214．【答案】（，）．【解析】解：设C（a，b）．则a2+b2=1，①∵点A（2，0），点B（0，3），∴直线AB的解析式为：3x+2y﹣6=0．如图，过点C作CF⊥AB于点F，欲使△ABC的面积最小，只需线段CF最短．则CF=≥，当且仅当2a=3b时，取“=”，∴a=，②联立①②求得：a=，b=，故点C的坐标为（，）．故答案是：（，）．【点评】本题考查了圆的标准方程、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．【答案】．【解析】解：角α终边上一点为P（﹣1，2），所以tanα=﹣2．===﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查二倍角的正切函数，三角函数的定义的应用，考查计算能力．16．【答案】5﹣4．【解析】解：如图，圆C1关于x轴的对称圆的圆心坐标A（2，﹣3），半径为1，圆C2的圆心坐标（3，4），半径为3，|PM|+|PN|的最小值为圆A与圆C2的圆心距减去两个圆的半径和，即：﹣4=5﹣4．故答案为：5﹣4．【点评】本题考查圆的对称圆的方程的求法，考查两个圆的位置关系，两点距离公式的应用，考查转化思想与计算能力，考查数形结合的数学思想，属于中档题．17．【答案】．【解析】解：方法一：由题意，第1次摸出红球，由于不放回，所以袋中还有5个不同的红球和4个不同的白球故在第1次摸出红球的条件下，第2次摸出的也是红球的概率为=，方法二：先求出“第一次摸到红球”的概率为：P 1=，设“在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸到红球”的概率是P 2再求“第一次摸到红球且第二次也摸到红球”的概率为P==，根据条件概率公式，得：P 2==，故答案为：【点评】本题考查了概率的计算方法，主要是考查了条件概率与独立事件的理解，属于中档题．看准确事件之间的联系，正确运用公式，是解决本题的关键．18．【答案】【解析】解析：圆x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0的标准方程为（x －1）2＋（y ＋2）2＝9. 圆心C （1，－2），半径为3，连接PC ，∴四边形P ACB 的周长为2（P A ＋AC ） ＝2PC 2－AC 2＋2AC ＝2PC 2－9＋6.当PC 最小时，四边形P ACB 的周长最小． 此时PC ⊥l .∴直线PC 的斜率为1，即x －y －3＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －5＝0x －y －3＝0，解得点P 的坐标为（4，1）， 由于圆C 的圆心为（1，－2），半径为3，所以两切线P A ，PB 分别与x 轴平行和y 轴平行， 即∠ACB ＝90°，∴S △ABC ＝12AC ·BC ＝12×3×3＝92.即△ABC 的面积为92.答案：92三、解答题19．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定定理，可先证明PQ 与平面内的直线平行，则线面平行，所以取SD 中点F ，连结PF AF ,，可证明AF PQ //，那就满足了线面平行的判定定理了；（2）要证明面面垂直，可先证明线面垂直，根据所给的条件证明⊥AC 平面SEQ ，即平面⊥SAC 平面SEQ . 试题解析：证明：（1）取SD 中点F ，连结PF AF ,. ∵F P 、分别是棱SD SC 、的中点，∴CD FP //，且CD FP 21=. ∵在菱形ABCD 中，Q 是AB 的中点，∴CD AQ //，且CD AQ 21=，即AQ FP //且AQ FP =. ∴AQPF 为平行四边形，则AF PQ //.∵⊄PQ 平面SAD ，⊂AF 平面SAD ，∴//PQ 平面SAD .考点：1.线线，线面平行关系；2.线线，线面，面面垂直关系.【易错点睛】本题考查了立体几何中的线与面的关系，属于基础题型，重点说说垂直关系，当证明线线垂直时，一般要转化为线面垂直，证明线与面垂直时，即证明线与平面内的两条相交直线垂直，证明面面垂直时，转化为证明线面垂直，所以线与线的证明是基础，这里经常会搞错两个问题，一是，线与平面内的两条相交直线垂直，线与平面垂直，很多同学会记成一条，二是，面面垂直时，平面内的线与交线垂直，才与平面垂直，很多同学会理解为两个平面垂直，平面内的线都与另一个平面垂直，需熟练掌握判定定理以及性质定理. 20．【答案】【解析】设f（x）=x2﹣ax+2．当x∈，则t=，∴对称轴m=∈（0，]，且开口向下；∴时，t取得最小值，此时x=9∴税率t的最小值为．【点评】此题是个指数函数的综合题，但在求解的过程中也用到了构造函数的思想及二次函数在定义域内求最值的知识．考查的知识全面而到位！21．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查了圆的标准方程、向量的坐标运算，轨迹的求法，直线与椭圆位置关系；本题突出对运算能力、化归转化能力的考查，还要注意对特殊情况的考虑，本题难度大.（2）由（1）中知曲线C 是椭圆，将直线2l ：m kx y +=代入 椭圆C 的方程124322=+y x 中，得01248)34(222=-+++m kmx x k由直线2l 与椭圆C 有且仅有一个公共点知， 0)124)(34(4642222=-+-=∆m k m k ，整理得3422+=k m …………7分且211||k k m d +-=，221||kk m d ++=1当0≠k 时，设直线2l 的倾斜角为θ，则|||tan |213d d d -=⋅θ，即||213kd d d -= ∴2222121213211||4||||)()(km k d d k d d d d d d d +=-=-+=+ ||1||16143||42m m m m +=+-= …………10分∵3422+=k m ∴当0≠k 时，3||>m∴334313||1||=+>+m m ，∴34)(321<+d d d ……11分 2当0=k 时，四边形PQ F F 21为矩形，此时321==d d ，23=d∴34232)(321=⨯=+d d d …………12分综上1、2可知，321)(d d d ⋅+存在最大值，最大值为34 ……13分22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为x ∈[﹣1，1]，则2+x ∈[1，3]， 由已知，有对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立，任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，故f （1）=0，即1为函数函数f （x ）的一个零点． 由韦达定理，可得函数f （x ）的另一个零点， 又由任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，∴[1，3]⊆[1，c]， 即c ≥3（Ⅱ）函数f （x ）=x 2+bx+c 对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4恒成立，即f （x ）max ﹣f （x ）min ≤4，记f （x ）max ﹣f （x ）min =M ，则M ≤4．当||＞1，即|b|＞2时，M=|f （1）﹣f （﹣1）|=|2b|＞4，与M ≤4矛盾；当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f （1），f （﹣1）}﹣f （）=﹣f （）=（1+）2≤4，解得：|b|≤2， 即﹣2≤b ≤2，综上，b 的取值范围为﹣2≤b ≤2．【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．23．【答案】（1）当0a ≤时，函数单调递增区间为()0,+∞，无递减区间，当0a >时，函数单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭；（2）证明见解析. 【解析】试题解析：（2）当2a =-时，()2ln ,0f x x x x x =++>，由()()12120f x f x x x ++=可得22121122ln 0x x x x x x ++++=， 即()()212121212ln x x x x x x x x +++=-，令()12,ln t x x t t t ϕ==-，则()111t t t tϕ-'=-=，则()t ϕ在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()11t ϕϕ≥=，所以()()212121x x x x +++≥，又120x x +>，故12x x +≥， 由120,0x x >>可知120x x +>．1考点：函数导数与不等式．【方法点晴】解答此类求单调区间问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错. 解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：（1）利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．（2）将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号. 24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为点B 与A （﹣1，1）关于原点O 对称，所以点B 得坐标为（1，﹣1）． 设点P 的坐标为（x ，y ）化简得x 2+3y 2=4（x ≠±1）．故动点P 轨迹方程为x 2+3y 2=4（x ≠±1）（Ⅱ）解：若存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，设点P 的坐标为（x 0，y 0）则．因为sin ∠APB=sin ∠MPN ，所以所以=即（3﹣x 0）2=|x 02﹣1|，解得因为x 02+3y 02=4，所以故存在点P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等，此时点P 的坐标为．【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．。

青岛市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0；命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=，则下列判断：①p 且q是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④¬p 是真命题，其中正确的是（ ）A ．①④B ．②③C ．③④D ．②④2． 若函数f （x ）=2sin （ωx+φ）对任意x 都有f （+x ）=f （﹣x ），则f （）=（ ）A ．2或0B ．0C ．﹣2或0D ．﹣2或23． 若函数)1(+=x f y 是偶函数，则函数)(x f y =的图象的对称轴方程是（ ）] A ．1=x B ．1-=x C ．2=x D ．2-=x4． 若复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，则a=（ ）A ．3B ．6C ．9D ．125． 口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黒球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黒球的概率是（ ）A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.76． 已知集合{}|5A x N x =∈<，则下列关系式错误的是（ ）A ．5A ∈B ．1.5A ∉C ．1A -∉D ．0A ∈ 7． 已知d 为常数，p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p 是￢q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8． 在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，点E 为底面ABCD 上的动点．若三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则E 点位于（ ）A ．点A 处B ．线段AD 的中点处C ．线段AB 的中点处D ．点D 处9． 关于函数2()ln f x x x=+，下列说法错误的是（ ） （A ）2x =是()f x 的极小值点（ B ） 函数()y f x x =-有且只有1个零点 （C ）存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立（D ）对任意两个正实数12,x x ，且21x x >，若12()()f x f x =，则124x x +>10．设函数()''y f x =是()'y f x =的导数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()0''0f x =.已知函数()3211533212f x x x x =-+-，则1232016...2017201720172017f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）A ．2013B ．2014 C ．2015 D ．20161111] 11．命题“∃x ∈R ，使得x 2＜1”的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，都有x 2＜1B ．∃x ∈R ，使得x 2＞1C ．∃x ∈R ，使得x 2≥1D ．∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥112．若函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m ≥0或m ＜﹣1B ．m ＞0或m ＜﹣1C ．m ＞1或m ≤0D ．m ＞1或m ＜0二、填空题13．下列命题：①集合{},,,a b c d 的子集个数有16个； ②定义在R 上的奇函数()f x 必满足(0)0f =；③2()(21)2(21)f x x x =+--既不是奇函数又不是偶函数； ④A R =，B R =，1:||f x x →，从集合A 到集合B 的对应关系f 是映射； ⑤1()f x x=在定义域上是减函数． 其中真命题的序号是 ．14．方程（x+y ﹣1）=0所表示的曲线是 ．15．若6()mx y +展开式中33x y 的系数为160-，则m =__________．【命题意图】本题考查二项式定理的应用，意在考查逆向思维能力、方程思想． 16．log 3+lg25+lg4﹣7﹣（﹣9.8）0= ．17．已知tan()3αβ+=，tan()24πα+=，那么tan β= .18．已知双曲线的一条渐近线方程为y=x ，则实数m 等于 ．三、解答题19．如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AC=3，BC=4，AA 1=4，AB=5，点D 是AB 的中点．（1）求证：AC ⊥BC 1；（ 2）求证：AC 1∥平面CDB 1．20．已知函数．（Ⅰ）若曲线y=f （x ）在点P （1，f （1））处的切线与直线y=x+2垂直，求函数y=f （x ）的单调区间；（Ⅱ）若对于∀x ∈（0，+∞）都有f （x ）＞2（a ﹣1）成立，试求a 的取值范围；（Ⅲ）记g （x ）=f （x ）+x ﹣b （b ∈R ）．当a=1时，函数g （x ）在区间[e ﹣1，e]上有两个零点，求实数b 的取值范围．21．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S ．22．已知曲线C 的极坐标方程为4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系； （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）若P （x ，y ）是曲线C 上的一个动点，求3x+4y 的最大值．23．（本小题满分12分）在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 均为正方形，CF ⊥平面ABCD ，BG ⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．（1）求证：平面AGH ⊥平面EFG ； （2）求二面角D FG E --的大小的余弦值．24．△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，asinAsinB+bcos2A=a．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若c2=b2+a2，求B．青岛市第二中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1． 【答案】D【解析】解：∵命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0是假命题，命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=是真命题，∴①不正确，②正确，③不正确，④正确．故选D ．2． 【答案】D【解析】解：由题意：函数f （x ）=2sin （ωx+φ），∵f （+x ）=f （﹣x ），可知函数的对称轴为x==，根据三角函数的性质可知，当x=时，函数取得最大值或者最小值．∴f （）=2或﹣2故选D ．3． 【答案】A 【解析】试题分析：∵函数)1(+=x f y 向右平移个单位得出)(x f y =的图象，又)1(+=x f y 是偶函数，对称轴方程为0=x ，∴)(x f y =的对称轴方程为1=x .故选A ． 考点：函数的对称性. 4． 【答案】A【解析】解：复数z===．由条件复数z=（其中a ∈R ，i 是虚数单位）的实部与虚部相等，得，18﹣a=3a+6，解得a=3． 故选：A ．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，考查计算能力．5． 【答案】C【解析】解：∵口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球， 在口袋中摸球，摸到红球，摸到黑球，摸到白球这三个事件是互斥的 摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28， ∵摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件， ∴摸出黑球的概率是1﹣0.42﹣0.28=0.3， 故选C ．【点评】本题考查互斥事件的概率，注意分清互斥事件与对立事件之间的关系，本题是一个简单的数字运算问题，只要细心做，这是一个一定会得分的题目．6． 【答案】A【解析】试题分析：因为{}|5A x N x =∈< ，而1.5,1,.5,1N N A A ∉-∉∴∉-∉，即B 、C 正确，又因为0N ∈且05<，所以0A ∈，即D 正确，故选A. 1考点：集合与元素的关系. 7． 【答案】A【解析】解：p ：对于任意n ∈N *，a n+2﹣a n+1=d ；q ：数列 {a n }是公差为d 的等差数列，则￢p ：∃n ∈N *，a n+2﹣a n+1≠d ；￢q ：数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，由￢p ⇒￢q ，即a n+2﹣a n+1不是常数，则数列 {a n }就不是等差数列，若数列 {a n }不是公差为d 的等差数列，则不存在n ∈N *，使得a n+2﹣a n+1≠d ，即前者可以推出后者，前者是后者的充分条件， 即后者可以推不出前者， 故选：A ．【点评】本题考查等差数列的定义，是以条件问题为载体的，这种问题注意要从两个方面入手，看是不是都能够成立．8． 【答案】A【解析】解：如图，E 为底面ABCD 上的动点，连接BE ，CE ，D 1E ， 对三棱锥B ﹣D 1EC ，无论E 在底面ABCD 上的何位置， 面BCD 1 的面积为定值，要使三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大，则侧面BCE 、CAD 1、BAD 1 的面积和最大， 而当E 与A 重合时，三侧面的面积均最大，∴E 点位于点A 处时，三棱锥B ﹣D 1EC 的表面积最大．故选：A ．【点评】本题考查了空间几何体的表面积，考查了数形结合的解题思想方法，是基础题．9． 【答案】 C【解析】22212'()x f x x x x-=-+=，'(2)0f =，且当02x <<时，'()0f x <，函数递减，当2x >时，'()0f x >，函数递增，因此2x =是()f x 的极小值点，A 正确；()()g x f x x =-，221'()1g x x x =-+-2217()24x x-+=-，所以当0x >时，'()0g x <恒成立，即()g x 单调递减，又11()210g e e e =+->，2222()20g e e e=+-<，所以()g x 有零点且只有一个零点，B 正确；设2()2ln ()f x xh x x x x==+，易知当2x >时，222ln 21112()x h x x x x x x x x =+<+<+=，对任意的正实数k ，显然当2x k >时，2k x <，即()f x k x<，()f x kx <，所以()f x kx >不成立，C 错误；作为选择题这时可得结论，选C ，下面对D 研究，画出函数草图可看出（0，2）的时候递减的更快，所以124x x +>10．【答案】D 【解析】1120142201520161...2201720172017201720172017f f f f f f ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()12201620162=⨯⨯=，故选D. 1 考点：1、转化与划归思想及导数的运算；2、函数对称的性质及求和问题.【方法点睛】本题通过 “三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠都有对称中心()()00,x f x ”这一探索性结论考查转化与划归思想及导数的运算、函数对称的性质及求和问题，属于难题.遇到探索性结论问题，应耐心读题，分析新结论的特点，弄清新结论的性质，按新结论的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.本题的解答就是根据新结论性质求出()311533212f x x x x =-+-的对称中心后再利用对称性和的.第Ⅱ卷（非选择题共90分）11．【答案】D【解析】解：命题是特称命题，则命题的否定是∀x ∈R ，都有x ≤﹣1或x ≥1，故选：D ．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．12．【答案】A【解析】解：∵函数f （x ）=3﹣|x ﹣1|+m 的图象与x 轴没有交点， ∴﹣m=3﹣|x ﹣1|无解，∵﹣|x ﹣1|≤0，∴0＜3﹣|x ﹣1|≤1，∴﹣m ≤0或﹣m ＞1， 解得m ≥0或m ＞﹣1 故选：A ．二、填空题13．【答案】①② 【解析】试题分析：子集的个数是2n，故①正确.根据奇函数的定义知②正确.对于③()241f x x =-为偶函数，故错误.对于④0x =没有对应，故不是映射.对于⑤减区间要分成两段，故错误. 考点：子集，函数的奇偶性与单调性．【思路点晴】集合子集的个数由集合的元素个数来决定，一个个元素的集合，它的子集的个数是2n个；对于奇函数来说，如果在0x =处有定义，那么一定有()00f =，偶函数没有这个性质；函数的奇偶性判断主要根据定义()()()(),f x f x f x f x -=-=-，注意判断定义域是否关于原点对称.映射必须集合A 中任意一个元素在集合B 中都有唯一确定的数和它对应；函数的定义域和单调区间要区分清楚，不要随意写并集.1 14．【答案】 两条射线和一个圆 ．【解析】解：由题意可得x 2+y 2﹣4≥0，表示的区域是以原点为圆心的圆的外部以及圆上的部分．由方程（x+y ﹣1）=0，可得x+y ﹣1=0，或 x 2+y 2=4，故原方程表示一条直线在圆外的地方和一个圆，即两条射线和一个圆，故答案为：两条射线和一个圆．【点评】本题主要考查直线和圆的方程的特征，属于基础题．15．【答案】2-【解析】由题意，得336160C m =-，即38m =-，所以2m =-．16．【答案】．【解析】解：原式=+lg100﹣2﹣1=+2﹣2﹣1=， 故选：【点评】本题考查了对数的运算性质，属于基础题．17．【答案】43【解析】试题分析：由1tan tan()241tan πααα++==-得1tan 3α=， tan tan[()]βαβα=+-tan()tan 1tan()tan αβααβα+-=++13433133-==+⨯． 考点：两角和与差的正切公式． 18．【答案】 4 ．【解析】解：∵双曲线的渐近线方程为y=x ， 又已知一条渐近线方程为y=x ，∴ =2，m=4，故答案为4．【点评】本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，求得渐近线方程为y=x ，是解题的关键．三、解答题19．【答案】【解析】解：（1）∵ABC ﹣A 1B 1C 1为直三棱柱，∴CC 1⊥平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，∴CC 1⊥AC …∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AB 2=AC 2+BC 2，∴AC ⊥CB …又C 1C ∩CB=C ，∴AC⊥平面C1CB1B，又BC1⊂平面C1CB1B，∴AC⊥BC1…（2）设CB1∩BC1=E，∵C1CBB1为平行四边形，∴E为C1B的中点…又D为AB中点，∴AC1∥DE…DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1…【点评】本题考查直线与平面垂直，直线与直线垂直，直线与平面平行的证明，考查逻辑推理能力．20．【答案】【解析】解：（Ⅰ）直线y=x+2的斜率为1，函数f（x）的定义域为（0，+∞），因为，所以，，所以，a=1．所以，，．由f'（x）＞0解得x＞2；由f'（x）＜0，解得0＜x＜2．所以f（x）的单调增区间是（2，+∞），单调减区间是（0，2）．（Ⅱ），由f'（x）＞0解得；由f'（x）＜0解得．所以，f（x）在区间上单调递增，在区间上单调递减．所以，当时，函数f（x）取得最小值，．因为对于∀x∈（0，+∞）都有f（x）＞2（a﹣1）成立，所以，即可．则．由解得．所以，a的取值范围是．（Ⅲ）依题得，则．由g'（x）＞0解得x＞1；由g'（x）＜0解得0＜x＜1．所以函数g（x）在区间（0，1）为减函数，在区间（1，+∞）为增函数．又因为函数g （x ）在区间[e ﹣1，e]上有两个零点，所以，解得． 所以，b的取值范围是．【点评】本题考查导数与曲线上某点的切线斜率的关系，利用导数求函数的单调区间以及函数的最值．21．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n na a a a ++-=+得2214n na a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分） ∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >得n a =． （6分）（Ⅱ）∵1112n n a a +==+， （9分）∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为11111)(1)2222n +++=． （12分） 22．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由4ρ2cos 2θ+9ρ2sin 2θ=36得4x 2+9y2=36，化为；（Ⅱ）设P （3cos θ，2sinθ），则3x+4y=，∵θ∈R ，∴当sin （θ+φ）=1时，3x+4y 的最大值为．【点评】本题考查了椭圆的极坐标方程、三角函数的单调性与值域，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．23．【答案】【解析】【命题意图】本题主要考查空间直线与平面间的垂直关系、空间向量、二面角等基础知识，意在考查空间想象能力、逻辑推理能力，以及转化的思想、方程思想．∵GH∈平面AGH，∴平面AGH⊥平面EFG．……………………………5分24．【答案】【解析】解：（Ⅰ）由正弦定理得，sin2即sinB（sin2A+cos2A）=sinA∴sinB=sinA，=（Ⅱ）由余弦定理和C2由（Ⅰ）知b2=2a2，故c2=（2+）a2，可得cos2B=，又cosB＞0，故cosB=所以B=45°【点评】本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．解题的过程主要是利用了正弦定理和余弦定理对边角问题进行了互化．。

青岛市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 设曲线2()1f x x =+在点(,())x f x 处的切线的斜率为()g x ，则函数()cos y g x x =的部分图象 可以为（ ）A ．B ． C. D ． 2． 下列结论正确的是（ ）A ．若直线l ∥平面α，直线l ∥平面β，则α∥β．B ．若直线l ⊥平面α，直线l ⊥平面β，则α∥β．C ．若直线l 1，l 2与平面α所成的角相等，则l 1∥l 2D ．若直线l 上两个不同的点A ，B 到平面α的距离相等，则l ∥α3． 已知,,a b c 为ABC ∆的三个角,,A B C 所对的边，若3cos (13cos )b C c B =-，则sin :sin C A =（ ）A ．2︰3B ．4︰3C ．3︰1D ．3︰2 【命题意图】本题考查正弦定理、余弦定理，意在考查转化能力、运算求解能力．4． 函数2()45f x x x =-+在区间[]0,m 上的最大值为5，最小值为1，则m 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．[]2,4C ．(,2]-∞D ．[]0,25． 直线的倾斜角是（ ）A ．B ．C ．D ． 6． 全称命题：∀x ∈R ，x 2＞0的否定是（ ）A ．∀x ∈R ，x 2≤0B ．∃x ∈R ，x 2＞0C ．∃x ∈R ，x 2＜0D ．∃x ∈R ，x 2≤07． 在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，a=5，b=4，cosC=，则△ABC 的面积是（ ） A ．16B ．6C ．4D ．88． 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为（ ）A ．2sin 2cos 2αα-+B ．sin 3αα+C. 3sin 1αα+ D ．2sin cos 1αα-+ 9． 设a ＞0，b ＞0，若是5a 与5b的等比中项，则+的最小值为（ ）A ．8B ．4C ．1D ．10．若命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假，则（ ） A ．“p ∨q ”为假B ．p 假C ．p 真D ．不能判断q 的真假11．已知函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2（a －x ），x ＜12x ，x ≥1若f （－6）＋f （log 26）＝9，则a 的值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．112．设集合M={x|x ≥﹣1}，N={x|x ≤k}，若M ∩N ≠￠，则k 的取值范围是（ ）A ．（﹣∞，﹣1]B ．[﹣1，+∞）C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）二、填空题13．要使关于x 的不等式2064x ax ≤++≤恰好只有一个解，则a =_________. 【命题意图】本题考查一元二次不等式等基础知识，意在考查运算求解能力. 14．曲线y=x+e x 在点A （0，1）处的切线方程是 ．15．如图，长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB=2，AD=1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角的余弦值是 ．16．已知定义域为（0，+∞）的函数f （x ）满足：（1）对任意x ∈（0，+∞），恒有f （2x ）=2f （x ）成立；（2）当x ∈（1，2]时，f （x ）=2﹣x ．给出如下结论：①对任意m ∈Z ，有f （2m ）=0；②函数f （x ）的值域为[0，+∞）；③存在n ∈Z ，使得f （2n +1）=9；④“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”的充要条件是“存在k ∈Z ，使得（a ，b ）⊆（2k ，2k+1）”；其中所有正确结论的序号是 ．17．函数1()lg(1)1f x x x =++-的定义域是 ▲ ．18．已知数列{a n }满足a 1=1，a 2=2，a n+2=（1+cos 2）a n +sin2，则该数列的前16项和为 ．三、解答题19．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为4的正方形，EF ∥AD ， 平面ADEF ⊥平面ABCD ，且BC=2EF ，AE=AF ，点G 是EF 的中点． （Ⅰ）证明：AG ⊥平面ABCD ；（Ⅱ）若直线BF 与平面ACE 所成角的正弦值为，求AG 的长．20．（本小题满分12分）数列{}n b 满足：122n n b b +=+，1n n n b a a +=-，且122,4a a ==. （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前项和n S .21．已知△ABC的三边是连续的三个正整数，且最大角是最小角的2倍，求△ABC的面积．22．武汉市为增强市民交通安全意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20，25），第2组[25，30），第3组[30，35），第4组[35，40），第5组[40，45]，得到的频率分布直方图如图所示．（1）分别求第3，4，5组的频率；（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？（3）在（2）的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．23．已知数列{a n }的首项为1，前n 项和S n 满足=+1（n ≥2）．（Ⅰ）求S n 与数列{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =（n ∈N *），求使不等式b 1+b 2+…+b n ＞成立的最小正整数n ．24．（本题满分12分）为了了解某地区心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机地对入院的50人进行了问 卷调查，得到了如下的22⨯（1（2）在上述抽取的6人中选2人，求恰有一名女性的概率.（3）为了研究心肺疾病是否与性别有关，请计算出统计量2K ，判断心肺疾病与性别是否有关？（参考公式：))()()(()(2d b c a d c b a bc ad n K ++++-=，其中d c b a n +++=）青岛市第二中学2018-2019学年高二上学期数学期末模拟试卷含解析（参考答案） 一、选择题1． 【答案】A【解析】试题分析：()()()()()2,cos 2cos ,,cos cos g x x g x x x x g x g x x x ==-=--=，()cos y g x x ∴=为奇函数，排除B ，D ，令0.1x =时0y >，故选A. 1 考点：1、函数的图象及性质；2、选择题“特殊值”法. 2． 【答案】B【解析】解：A 选项中，两个平面可以相交，l 与交线平行即可，故不正确； B 选项中，垂直于同一平面的两个平面平行，正确；C 选项中，直线与直线相交、平行、异面都有可能，故不正确；D 中选项也可能相交． 故选：B ．【点评】本题考查平面与平面，直线与直线，直线与平面的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．3． 【答案】C【解析】由已知等式，得3cos 3cos c b C c B =+，由正弦定理，得sin 3(sin cos sin cos )C B C C B =+，则sin 3sin()3sin C B C A =+=，所以sin :sin 3:1C A =，故选C ．4． 【答案】B 【解析】试题分析：画出函数图象如下图所示，要取得最小值为，由图可知m 需从开始，要取得最大值为，由图可知m 的右端点为，故m 的取值范围是[]2,4.考点：二次函数图象与性质．5．【答案】A【解析】解：设倾斜角为α，∵直线的斜率为，∴tanα=，∵0°＜α＜180°，∴α=30°故选A．【点评】本题考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，属于基础题，应当掌握．6．【答案】D【解析】解：命题：∀x∈R，x2＞0的否定是：∃x∈R，x2≤0．故选D．【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．7．【答案】D【解析】解：∵a=5，b=4，cosC=，可得：sinC==，∴S △ABC =absinC==8．故选：D ．8． 【答案】A 【解析】试题分析：利用余弦定理求出正方形面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ；利用三角形知识得出四个等腰三角形面积ααsin 2sin 112142=⨯⨯⨯⨯=S ；故八边形面积2cos 2sin 221+-=+=ααS S S .故本题正确答案为A.考点：余弦定理和三角形面积的求解.【方法点晴】本题是一道关于三角函数在几何中的应用的题目，掌握正余弦定理是解题的关键；首先根据三角形面积公式ααsin 21sin 1121=⨯⨯⨯=S 求出个三角形的面积αsin 24=S ；接下来利用余弦定理可求出正方形的边长的平方()αcos 2-1122+，进而得到正方形的面积()ααcos 22cos 2-11221-=+=S ，最后得到答案.9． 【答案】B 【解析】解：∵是5a 与5b的等比中项， ∴5a •5b=（）2=5，即5a+b =5， 则a+b=1，则+=（+）（a+b ）=1+1++≥2+2=2+2=4，当且仅当=，即a=b=时，取等号，即+的最小值为4，故选：B【点评】本题主要考查等比数列性质的应用，以及利用基本不等式求最值问题，注意1的代换．10．【答案】B【解析】解：∵命题“p ∧q ”为假，且“¬q ”为假， ∴q 为真，p 为假； 则p ∨q 为真，故选B．【点评】本题考查了复合命题的真假性的判断，属于基础题．11．【答案】【解析】选C.由题意得log2（a＋6）＋2log26＝9.即log2（a＋6）＝3，∴a＋6＝23＝8，∴a＝2，故选C.12．【答案】B【解析】解：∵M={x|x≥﹣1}，N={x|x≤k}，若M∩N≠￠，则k≥﹣1．∴k的取值范围是[﹣1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了交集及其运算，考查了集合间的关系，是基础题．二、填空题13．【答案】±.【解析】分析题意得，问题等价于264++≤只有一解，x ax++≤只有一解，即220x ax∴280∆=-=⇒=±，故填：±.a a14．【答案】2x﹣y+1=0．【解析】解：由题意得，y′=（x+e x）′=1+e x，∴点A（0，1）处的切线斜率k=1+e0=2，则点A（0，1）处的切线方程是y﹣1=2x，即2x﹣y+1=0，故答案为：2x﹣y+1=0．【点评】本题考查导数的几何意义，以及利用点斜式方程求切线方程，注意最后要用一般式方程来表示，属于基础题．15．【答案】0【解析】【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线A1E与GF所成的角的余弦值．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，∵AA1=AB=2，AD=1，点E、F、G分别是DD1、AB、CC1的中点，∴A1（1，0，2），E（0，0，1），G（0，2，1），F（1，1，0），=（﹣1，0，﹣1），=（1，﹣1，﹣1），=﹣1+0+1=0，∴A1E⊥GF，∴异面直线A1E与GF所成的角的余弦值为0．故答案为：0．16．【答案】①②④．【解析】解：∵x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．∴f（2）=0．f（1）=f（2）=0．∵f（2x）=2f（x），∴f（2k x）=2k f（x）．①f（2m）=f（2•2m﹣1）=2f（2m﹣1）=…=2m﹣1f（2）=0，故正确；②设x∈（2，4]时，则x∈（1，2]，∴f（x）=2f（）=4﹣x≥0．若x∈（4，8]时，则x∈（2，4]，∴f（x）=2f（）=8﹣x≥0．…一般地当x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]，f（x）=2m+1﹣x≥0，从而f（x）∈[0，+∞），故正确；③由②知当x∈（2m，2m+1），f（x）=2m+1﹣x≥0，∴f（2n+1）=2n+1﹣2n﹣1=2n﹣1，假设存在n使f（2n+1）=9，即2n﹣1=9，∴2n=10，∵n∈Z，∴2n=10不成立，故错误；④由②知当x ∈（2k ，2k+1）时，f （x ）=2k+1﹣x 单调递减，为减函数， ∴若（a ，b ）⊆（2k，2k+1）”，则“函数f （x ）在区间（a ，b ）上单调递减”，故正确．故答案为：①②④．17．【答案】()()1,11,-⋃+∞考点：定义域18．【答案】 546 ．【解析】解：当n=2k ﹣1（k ∈N *）时，a 2k+1=a 2k ﹣1+1，数列{a 2k ﹣1}为等差数列，a 2k ﹣1=a 1+k ﹣1=k ；当n=2k （k ∈N *）时，a 2k+2=2a 2k ，数列{a 2k }为等比数列，．∴该数列的前16项和S 16=（a 1+a 3+...+a 15）+（a 2+a 4+...+a 16） =（1+2+...+8）+（2+22+ (28)=+=36+29﹣2 =546．故答案为：546．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n 项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．【答案】【解析】（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：因为AE=AF ，点G 是EF 的中点， 所以AG ⊥EF ．又因为EF ∥AD ，所以AG ⊥AD ．…因为平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ∩平面ABCD=AD ， AG ⊂平面ADEF ， 所以AG ⊥平面ABCD ．…（Ⅱ）解：因为AG ⊥平面ABCD ，AB ⊥AD ，所以AG 、AD 、AB 两两垂直． 以A 为原点，以AB ，AD ，AG 分别为x 轴、y 轴和z 轴，如图建立空间直角坐标系 则A （0，0，0），B （4，0，0），C （4，4，0）， 设AG=t （t ＞0），则E （0，1，t ），F （0，﹣1，t ），所以=（﹣4，﹣1，t），=（4，4，0），=（0，1，t ）．…设平面ACE的法向量为=（x ，y ，z ），由=0，=0，得，令z=1，得=（t ，﹣t ，1）． 因为BF 与平面ACE所成角的正弦值为，所以|cos＜＞|==，…即=，解得t 2=1或．所以AG=1或AG=．…【点评】本题考查线面垂直的证明，考查满足条件的线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．【答案】（1）122n n b +=-；（2）222(4)n n S n n +=-++． 【解析】试题分析：（1）已知递推公式122n n b b +=+，求通项公式，一般把它进行变形构造出一个等比数列，由等比数列的通项公式可得n b ，变形形式为12()n n b x b x ++=+；（2）由（1）可知122(2)n n n n a a b n --==-≥，这是数列{}n a 的后项与前项的差，要求通项公式可用累加法，即由112()()n n n n n a a a a a ---=-+-+211()a a a +-+求得．试题解析：（1）112222(2)n n n n b b b b ++=+⇒+=+，∵1222n n b b ++=+，又121224b a a +=-+=，∴2312(21)(2222)22222221nn n n a n n n +-=++++-+=-+=--.∴224(12)(22)2(4)122n n n n n S n n +-+=-=-++-. 考点：数列的递推公式，等比数列的通项公式，等比数列的前项和．累加法求通项公式． 21．【答案】【解析】解：由题意设a=n 、b=n+1、c=n+2（n ∈N +），∵最大角是最小角的2倍，∴C=2A ，由正弦定理得，则，∴，得cosA=，由余弦定理得，cosA==，∴=，化简得，n=4，∴a=4、b=5、c=6，cosA=，又0＜A ＜π，∴sinA==，∴△ABC 的面积S===．【点评】本题考查正弦定理和余弦定理，边角关系，三角形的面积公式的综合应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，属于中档题．22．【答案】【解析】解：（1）由题意可知第3组的频率为0.06×5=0.3，第4组的频率为0.04×5=0.2，第5组的频率为0.02×5=0.1；（2）第3组的人数为0.3×100=30，第4组的人数为0.2×100=20，第5组的人数为0.1×100=10；因为第3，4，5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为：第3组=3；第4组=2；第5组=1；应从第3，4，5组各抽取3，2，1名志愿者．（3）记第3组3名志愿者为1，2，3；第4组2名志愿者为4，5；第5组1名志愿者为6；在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者有：（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）；共有15种，第4组2名志愿者为4，5；至少有一名志愿者被抽中共有9种，所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为．【点评】本题考查列举法计算基本事件数及事件发生的概率，频率分布直方图，考查计算能力．23．【答案】【解析】解：（Ⅰ）因为=+1（n≥2），所以是首项为1，公差为1的等差数列，…则=1+（n﹣1）1=n，…从而S n=n2．…当n=1时，a1=S1=1，当n＞1时，a n=S n﹣S n﹣1=n2﹣（n﹣1）2=2n﹣1．因为a1=1也符合上式，所以a n=2n﹣1．…（Ⅱ）由（Ⅰ）知b n===，…所以b1+b2+…+b n===，…由，解得n＞12．…所以使不等式成立的最小正整数为13．…【点评】本小题主要考查数列、不等式等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想24．【答案】【解析】【命题意图】本题综合考查统计中的相关分析、概率中的古典概型，突出了统计和概率知识的交汇，对归纳、分析推理的能力有一定要求，属于中等难度.。

青岛市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知在R 上可导的函数f （x ）的图象如图所示，则不等式f （x ）•f ′（x ）＜0的解集为（ ）A ．（﹣2，0）B ．（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）C ．（﹣∞，﹣2）∪（0，+∞）D ．（﹣2，﹣1）∪（0，+∞）2． 过点（2，﹣2）且与双曲线﹣y 2=1有公共渐近线的双曲线方程是（ ）A ．﹣=1B ．﹣=1 C ．﹣=1 D ．﹣=13． 直线x+y ﹣1=0与2x+2y+3=0的距离是（ ）A ．B ．C ．D ．4． 已知a=，b=20.5，c=0.50.2，则a ，b ，c 三者的大小关系是（ ）A ．b ＞c ＞aB ．b ＞a ＞cC ．a ＞b ＞cD ．c ＞b ＞a5． 如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是（ ）A ． =B ．∥C ．D ．6． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1()1ex f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ）A ．－1B ．12C ．1D 【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．7． （理）已知tan α=2，则=（ ）A． B．C． D．8． 函数2-21y x x =-，[0,3]x ∈的值域为（ ） A. B. C. D.9． 函数f （x ）=x 2﹣x ﹣2，x ∈[﹣5，5]，在定义域内任取一点x 0，使f （x 0）≤0的概率是（ ） A ． B ．C ．D ．10．已知函数f （x ）=1+x﹣+﹣+…+，则下列结论正确的是（ ）A ．f （x ）在（0，1）上恰有一个零点B ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有一个零点C ．f （x ）在（0，1）上恰有两个零点D ．f （x ）在（﹣1，0）上恰有两个零点11．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k =A 、22B 、23C 、24D 、2512．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.二、填空题13．若x 、y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x －2y ＋1≤02x －y ＋2≥0x ＋y －2≤0，z ＝3x ＋y ＋m 的最小值为1，则m ＝________．14．计算：×5﹣1= ．15．在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为 ． ①函数y=2x 3+3x ﹣1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对∀x ，y ∈R ．若x+y ≠0，则x ≠1或y ≠﹣1； ③若实数x ，y 满足x 2+y 2=1，则的最大值为；④若△ABC 为锐角三角形，则sinA ＜cosB ．⑤在△ABC 中，BC=5，G ，O 分别为△ABC的重心和外心，且•=5，则△ABC 的形状是直角三角形．16．如图，正方形''''O A B C 的边长为1cm ，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长为 ．1111]17．【泰州中学2018届高三10月月考】设函数()()21xf x ex ax a =--+，其中1a <，若存在唯一的整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是18．已知点A 的坐标为（﹣1，0），点B 是圆心为C 的圆（x ﹣1）2+y 2=16上一动点，线段AB 的垂直平分线交BC 与点M ，则动点M 的轨迹方程为 ．三、解答题19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S ．20．如图，点A 是以线段BC 为直径的圆O 上一点，AD ⊥BC 于点D ，过点B 作圆O 的切线，与CA 的延长线相交于点E ，点G 是AD 的中点，连接CG 并延长与BE 相交于点F ，延长AF 与CB 的延长线相交于点P ． （1）求证：BF=EF ；（2）求证：PA是圆O的切线．21．已知，其中e是自然常数，a∈R（Ⅰ）讨论a=1时，函数f（x）的单调性、极值；（Ⅱ）求证：在（Ⅰ）的条件下，f（x）＞g（x）+．22．函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示（Ⅰ）求函数f（x）的解析式（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中a＜c，f（A）=，且a=，b=，求△ABC的面积．23．已知顶点在坐标原点，焦点在x轴上的抛物线被直线y=2x+1截得的弦长为，求此抛物线方程．24．已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a的取值集合A（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．青岛市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题1．【答案】B【解析】解：由f（x）图象单调性可得f′（x）在（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）大于0，在（﹣1，0）上小于0，∴f（x）f′（x）＜0的解集为（﹣∞，﹣2）∪（﹣1，0）．故选B．2．【答案】A【解析】解：设所求双曲线方程为﹣y2=λ，把（2，﹣2）代入方程﹣y2=λ，解得λ=﹣2．由此可求得所求双曲线的方程为．故选A．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程，解题时要注意公式的灵活运用．3．【答案】A【解析】解：直线x+y﹣1=0与2x+2y+3=0的距离，就是直线2x+2y﹣2=0与2x+2y+3=0的距离是：=．故选：A．4．【答案】A【解析】解：∵a=0.50.5，c=0.50.2，∴0＜a＜c＜1，b=20.5＞1，∴b＞c＞a，故选：A．5．【答案】D【解析】解：由图可知，，但不共线，故，故选D．【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．6． 【答案】C【解析】令()()()()111e xg x f x kx k x =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1111101e k g k -⎛⎫=-+< ⎪-⎝⎭．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()10ex g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．7． 【答案】D【解析】解：∵tan α=2，∴===．故选D ．8． 【答案】A 【解析】试题分析：函数()222112y x x x =--=--在区间[]0,1上递减，在区间[]1,3上递增，所以当x=1时，()()min 12f x f ==-，当x=3时，()()max 32f x f ==，所以值域为[]2,2-。

青岛第二中学2018-2019高二上学期期考试数学（理）试题(时间：120分钟 满分：150分)第Ⅰ卷(选择题 共50分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．命题“对任意的”的否定是 （ ） A ．不存在 B ．存在 C ．存在D ．对任意的2.“”是“方程表示椭圆”的 （ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3．抛物线的准线方程是 （ ）A ．B ．C ．D ． 4．给定下列命题:①“”是“”的充分不必要条件; ②; ③ ④命题的否定. 其中真命题的序号是( )A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④5.的导数是（ ）A.B.C. D.6. 设椭圆的两个焦点分别为，过作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P,若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ ） A ．BC ．3210x R x x ∈-+≤，3210x R x x ∈-+≤，3210x R x x ∈-+≤，3210x R x x ∈-+>，3210x R x x ∈-+>，0AB >221Ax By +=24y x =116y =-116y =1y =-1y =1x >2>x "6,21sin "παα≠≠则若;"00,0"的逆否命题且则若===y x xy "01,"0200≤+-∈∃x x R x 使23x y x =+226(3)x x x ++263x x x ++22(3)x x +226(3)x xx -+12F F 、2F 12F PF ∆2127．设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A. B. C. D.8．已知函数,则 ( )A. B. 0 C.9．过点P （2，-2）且与- y 2=1有相同渐近线的双曲线方程是 ( )A ．B ．C ．D ．10．某班级有50名学生，其中有30名男生和20名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为86，94，88，92，90，五名女生的成绩分别为88，93，93，88，93．下列说法一定正确的是（ ）A ．这种抽样方法是一种分层抽样B ．这种抽样方法是一种系统抽样C ．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D ．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数 11．已知x 与y 之间的几组数据如下表：假设根据上表数据所得线性回归直线方程为a x b yˆˆˆ+=．若某同学根据上表中前两组数据1(，)0和2(，)2求得的直线方程为a x b y '+'=，则以下结论正确的是（ ）A ．a ab b '>'>ˆˆ， B ．a a b b '<'>ˆˆ， C ．a a b b '>'<ˆˆ， D ．a a b b'<'<ˆˆ， 12．已知点P 是椭圆)00(181622≠≠=+y x y x ，上的动点，21F F 、为椭圆的左、右焦点，O 是坐标原点，若M 是12F PF ∠平分线上一点，且10F M MP ⋅=，则OM 的取值范围是（ ）l 2(0)y ax a =≠y 24y x =±28y x =±24y x =28y x =()sin 2()3f x x xf π'=+()3f π'=12-12-22x 14222=-x y 12422=-y x 12422=-x y 14222=-y xA ．0(，)3B ．0(，)22C ．22(，)3D ．0(，)4第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分． 13．圆0222=-+x y x 与圆0422=++y y x 的公切线有_________条．14．已知实数0[∈x ，]8，随机输入x ，执行如右图所示的程序框图，则输出的x 不小于55的概率为__________．15．若命题p 的逆命题是q ，命题r 是命题q 的否命题，则p 是r 的________命题． ． 16．设椭圆12222=+b ya x 与双曲线的离心率分别为1e ，2e ，有下列结论：①121<e e ；②22221=+e e ；③121>e e ；④121=e e ；⑤221<+e e ．其中正确的是 ．三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分) 已知：0>a ，02082>--x x p ：，01222>-+-a x x q ：，且p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．22221(0)x y a b a b-=>>其中18．(本小题满分12分) 袋中有大小相同的红球和白球各1个，每次任取1个，有放回地摸三次．（Ⅰ）写出所有基本事件；（Ⅱ）求三次摸到的球恰有两次颜色相同的概率； （Ⅲ）求三次摸到的球至少有1个白球的概率．19．(本小题满分12分) 某校为了解高一期末数学考试的情况，从高一的所有学生数学试卷中随机抽取n 份试卷进行成绩分析，得到数学成绩频率分布直方图（如图所示），其中成绩在50[，)60的学生人数为6．（Ⅰ）求直方图中x 的值；（Ⅱ）试估计所抽取的数学成绩的平均数； （Ⅲ）试根据样本估计“该校高一学生期末数学考试成绩70≥”的概率．20．(本小题满分12分)已知点2(-P ，)3-，圆C ：9)2()4(22=-+-y x ，过P 点作圆C 的两条切线，切点分别为A 、B ． （Ⅰ）求过P 、A 、C 三点的圆的方程； （Ⅱ）求直线AB 的方程．x21．(本小题满分12分) 已知抛物线2:4C y x=与直线24y x=-交于A，B两点．（Ⅰ）求弦AB的长度；（Ⅱ）若点P在抛物线C上，且ABP∆的面积为12，求点P的坐标．22．(本小题满分12分) 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于12，它的一个顶点恰好是抛物线2x=的焦点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P2(，)3，Q2(，)3-在椭圆上，A、B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点．①若直线AB的斜率为12，求四边形APBQ面积的最大值；②当A、B运动时，满足于BPQAPQ∠=∠，试问直线AB的斜率是否为定值？若是，请求出定值，若不是，请说明理由．青岛二中2018—2019学年第一学段模块考试高二数学（理科）参考答案一、选择题：CBABABBCACCB 13 2 14 1/4 15逆否16 123三、解答题：【解析】19．（1）03.0；（2）4.76；（3）7.0；20. 【答案】（1）()46121122=⎪⎭⎫ ⎝⎛++-y x ；（2）02556=-+y x【解析】试题分析：(Ⅰ)设A （x 1,y 1)、B(x 2,y 2),由2244y x y x=-⎧⎨=⎩得x 2-5x+4=0,Δ>0． 法一：又由韦达定理有x 1+x 2=5,x 1x 2=4,∴12|x x -=法二：解方程得：x=1或4，∴A 、B 两点的坐标为（1,-2)、（4,4）∴=(Ⅱ)设点2(,)4o o y P y ,设点P 到AB 的距离为d,则d =,∴S △PAB =21·53=12，∴2482o o y y --=． ∴2482o o y y --=±，解得6o y =或4o y =- ∴P 点为（9，6）或（4，-4）．考点：直线与椭圆的位置关系点评：直线与圆锥曲线相交，联立方程利用韦达定理是常用的思路21．（Ⅰ）2211612x y +=;（Ⅱ）①max S =21． 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆中的相关定义和方程，可知b =2221,2c a c b a ==+，即可求出求解a ，b ，进而求得标准方程．（Ⅱ）设直线方程，将直线方程和椭圆方程联立，通过消元，转化为一元二次方程去解决．①设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=，得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t ，由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=，可知当0=t ，max S ．②当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k ，则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=-，将其与椭圆方程联立整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ，可得2143)32(82kkk x +-=+ 同理PB 的直线方程为)2(3--=-x k y ，可得228(23)234k k x k ++=+，2121222161248,3434k k x x x x k k --+=-=++，12121212()4ABy y k x x kk x x x x -+-==--，化简即可求得AB 的斜率为定值．22试题解析：解：(1）设椭圆C 的方程为，则b =．由2221,2c a c b a ==+，得4a = ∴椭圆C 的方程为2211612x y +=． （2）①解：设1122(,),(,)A x y B x y ，直线AB 的方程为t x y +=21， 代入2211612x y +=， 得01222=-++t tx x 由0∆>，解得44<<-t由韦达定理得12,22121-=-=+t x x t x x ． 四边形APBQ 的面积2213483621t x x S -=-⨯⨯=∴当0=t，max S = ②解：当APQ BPQ ∠=∠，则PA 、PB 的斜率之和为0，设直线PA 的斜率为k)0(12222>>=+b a b y a x则PB 的斜率为k -，PA 的直线方程为3(2)y k x -=- 由223(2)(1)1(2)1612y k x x y -=-⎧⎪⎨+=⎪⎩。

2018-2019学年山东省青岛市青岛第二中学高二上学期期末数学试题一、单选题1．双曲线2214x y -=的焦点坐标是（ ）A ．())12F F ，B ．((1200F F ，C ．())12F F ， D ．((1200F F ， 【答案】C【解析】由双曲线的标准方程，分析可得a 、b 的值以及焦点的位置，计算可得c 的值，由双曲线的焦点坐标公式分析可得答案． 【详解】解：根据题意，双曲线2214x y -=，其中2a =，1b =，其焦点在x 轴上，则c =则双曲线的焦点坐标为())12F F ，；故选：C ． 【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及几何性质，关键是由双曲线的标准方程分析a 、b 的值，属于基础题．2．某位同学将自己近10次的数学考试成绩一一记录进行分析．10次的成绩分别记为x 1，x 2，…x 10，下面给出的指标可以用来评估该同学数学成绩稳定程度的是（ ） A ．x 1，x 2，…x 10的平均数 B ．x 1，x 2，…x 10的标准差 C ．x 1，x 2，…x 10的最大值 D ．x 1，x 2，…x 10的中位数【答案】B【解析】利用平均数，中位数估计数据的集中程度，方差和标准差估计数据的稳定程度，即可得出结论． 【详解】解：平均数，中位数估计数据的集中程度， 方差和标准差估计数据的稳定程度，而最大值并不能很好的估计稳定程度， 故选：B ． 【点睛】考查了平均数、中位数、方差和标准差估计数据的特性，属于基础题．3．两枚骰子，设出现的点数之和分别为9，10，11的概率分别为p 1，p 2，p 3，则（ ） A ．p 1＜p 2＝p 3 B ．p 1＞p 2＞p 3C ．p 1＝p 2＞p 3D ．p 1＞p 2＝p 3【答案】B【解析】列表，分别计算出出现的点数之和是9、10、11的概率p 1，p 2，p 3，比较即可． 【详解】解：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共36种则出现点数之和为9的概率1436p =则出现点数之和为10的概率2336p = 则出现点数之和为11的概率3236p = 123p p p ∴＞＞， 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是古典概型及其概率计算公式，属于基础题．4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数茎叶图，后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x 表示：则7个剩余分数的方差为（ ）A ．36B ．1169C ．367D．7【答案】C【解析】利用平均数求x ，再把7个数据代入方差公式. 【详解】去掉1个最高分99，去掉1个最低分97，剩下7个数为：87，90，90，91，91，94，90x +， 所以979090919194(90)917x +++++++=，解得：4x =，所以22222(8791)2(9091)2(9191)2(9491)3677s -+⨯-+⨯-+⨯-==. 【点睛】本题考查平均数和方差的计算，考查从茎叶图提取信息、处理信息的能力. 5．已知a ＞0，椭圆x 2+a 2y 2＝2a 的长轴长是短轴长的3倍，则a 的值为（ ） A ．13B ．3C ．133或D【答案】C【解析】先把椭圆方程化为标准方程，然后根据题意列出方程组，解出a 即可． 【详解】解：2222x a y a +=可变为22122x y a a+=，0a >，由题意得22229a a a a ⎧>⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，解得3a =，或22292a aaa⎧>⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩解得13a =，故3a =或13a = 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单性质，属于基础题，注意题意的长轴的数轴． 6．下列命题正确的是（ ）A ．到x 轴距离为3的点的轨迹方程是x ＝3B ．方程1yx=表示的曲线C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线 C ．方程|x ﹣y |+（xy ﹣1）2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线 D ．3x 2﹣2y 2﹣3x +m ＝0通过原点的充要条件是m ＝0【答案】D【解析】根据曲线与方程的定义，对4个选项分别进行判断即可得出结论． 【详解】解：A 选项：到x 轴距离为3的点的轨迹方程是3=±y ，故A 错误；B 选项：方程1yx=表示的曲线C 是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线，除去原点，故B 错误；C 选项：方程2||(1)0x y xy -+-=，即x y =且1xy =，即点(1,1)或(1,1)--；故C 错误；D 选项：223230x y x m --+=通过原点，则0m =；当0m =时223230x y x --=通过原点，故D 正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查了命题的真假判断，曲线与方程的定义，属于基础题．7．已知点F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 是FN 的中点，则M 点的纵坐标为（ ）A ．B ．4C ．±D ．±4【答案】C【解析】求出抛物线的焦点坐标，推出M 的坐标，然后求解，得到答案． 【详解】由题意，抛物线2:8C y x =的焦点(2,0)F ，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，若M 为FN 的中点，如图所示，可知M 的横坐标为1，则M 的纵坐标为±， 故选C ．【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 8．青岛二中戏剧节中，6个MT 除人文MT 有两个节目参加决赛外，其他MT 各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT 两支队伍不同时被抽到的概率为（ ） A ．121B ．2021C ．17D ．57【答案】B【解析】从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有2742A =种可能，人文MT 两支队伍同时被抽到的共有2种情况，利用正难则反法，求出即可． 【详解】解：从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有2742A =种可能，人文MT 两支队伍同时被抽到的共有2种情况， 所以人文MT 两支队伍不同时被抽到的概率为22014221-=， 故选：B ． 【点睛】考查古典概型概率的应用，本题还用了对立事件求概率的方法，属于基础题． 9．已知A （1，0，0），B （0，﹣1，1），OA OB λ+u u u r u u u r 与OB uuu r（O 为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（ ） A ．66B ．66±C ．62D ．62±【答案】C【解析】运用向量的坐标运算及夹角公式直接求解即可． 【详解】解：(1,0,0)(0,,)(1,,)OA OB λλλλλ+=+-=-u u u r u u u r，∴|||OA OB OB λ+==u u u r u u u r u u u r()2OA OB OB λλ+=u u u r u u u r u u u r Q g ，∴cos302λ︒=， ∴4λ，则0λ>，∴2λ=． 故选：C ． 【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题． 10．有下列四个命题：①已知1e u r 和2e u u r 是两个互相垂直的单位向量，a =r 21e +u r 32e u u r ，1b ke =-u r r 42e u u r ，且a r ⊥b r ，则实数k ＝6；②已知正四面体O ﹣ABC 的棱长为1，则（OA OB +u u u r u u u r ）•（CA CB +u u u r u u u r）＝1； ③已知A （1，1，0），B （0，3，0），C （2，2，3），则向量AC u u u r 在AB u u u r上正投影的数④已知1a e =-ur r 223e e +u u r u r ，1b e =-+u r r 32e +u u r 23e u r ，c =-r 31e +u r 72e u u r （{1e u r ，2e u u r ，3e u r }为空间向量的一个基底），则向量a r，b r，c r不可能共面． 其中正确命题的个数为（ ） A ．1个 B ．2个C ．3个D ．4个【答案】C【解析】利用向量的基本概念逐一进行判断，即可得出结论． 【详解】解：①Q a =r 21e +u r 32e u u r ，1b ke =-u r r 42e u u r ，且a b ⊥r r，2212121122(23)(4)2()(38)12()2120a b e e ke e k e k e e e k ∴=+-=+--=-=r r u r u u r u r u u r u r u r u u r u u rg g g ，解得6k =，所以①正确．②()()OA OB CA CB OA CA OA CB OB CA OB CB ++=+++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r g g g g g11cos6011cos9011cos9011cos60001=⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒+⨯⨯︒++=，所以②正确． ③(1,1,3)AC =u u u r ，(1,2,0)AB =-u u u r，向量AC u u u r 在AB u u u r上正投影||AC AB AB ===u u u r u u u rg u u u r ③正确．④假设向量a r ，b r ，c r共面，则a xb yc =+r r r ，所以123123122(32)(37)e e e x e e e y e e -+=-+++-+u r u u r u u r u r u u r u u r u r u u r ， 1231232(3)(37)2e e e x y e x y e xe -+=--+++u r u u r u u r u r u u r u u r ，所以13x y =--，237x y -=+，12x =，得12x =，12y =-，所以向量a r ，b r ，c r共面，所以④不正确．即正确的有3个， 故选：C ． 【点睛】本题考查向量的基本概念，向量垂直，共面，正投影等，属于中档题．11．过双曲线()2222100x y a b a b-=＞，＞的右焦点且垂直于X 轴的直线与双曲线交于A ，B 两点，若y 轴上存在一点D （0，b ），使得2ADB π∠=，则此双曲线的离心率的值是（ ） ABC ．2D．2+【答案】B【解析】设出双曲线的右焦点，令x c =，代入双曲线的方程，解得A ，B 的坐标，2ADB π∠=，运用向量数量积的坐标表示，再由离心率公式，求解即可．【详解】解：双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点2(,0)F c ，令x c =，可得2b y a=±，可得2(,)b A c a -，2(,)bB c a ，又(0,)D b ，90BDA ∠=︒，即0DB DA =u u u r u u u rg ，可得：(c ，2)(b c a g ，2)0b b a--=，可得42220b c b a+-=，可得42420e e -+=，1e >，解得e =故选：B ． 【点睛】本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用转化思想，以及向量数量积的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12．已知过抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且AF =u u u r 3FB u u u r，抛物线的准线l 与x 轴交与点C ，AA 1垂直l 于点A 1，若四边形AA 1CF的面积为l 的方程为（ ）A ．x =B ．x =-C ．x ＝﹣2D ．x ＝﹣1【答案】D【解析】由题意得过焦点的直线的斜率存在且不为零，设直线方程，联立直线与抛物线的方程，由根与系数的关系及向量的关系得到A 点的坐标，代入抛物线方程可得参数的关系，由四边形的时梯形求出面积即可求出参数p 的值，进而求出准线方程． 【详解】解：由题意得抛物线的准线方程：2p x =-，焦点坐标(2pF ，0)，设(,)A x y ，0y >，(,)B x y ''，0y '<，3AF FB =uu u r uu r ，(2p x ∴-，)3(2p y x '-=-，21)33y x p x ''∴=-，13y y '=-，直线AB 的斜率存在且不为零，设2p x my =+，代入抛物线方程：22y px =整理得：2220y pmx p --=，2y y pm '∴+=，而13y y y '=-∴=，y '=2p x =+，点(,)A x y 在抛物线上可得：232)2p p p =+，∴1=，四边形1AACF 的面积为1AACF 是直角梯形，所以面积为：11(||||)2AA CF y +=g g而1||22pAA x p p =+=+=，||CF p =，1||||3AA CF p ∴+=，∴1322p p ==g ，所以准线方程：1x =-．故选：D ． 【点睛】考查直线与抛物线的位置关系，及根与系数的关系的应用，属于中档题．二、填空题13．命题“∀x ∈R ，x 2﹣2ax ﹣1≥0”的否定是_____． 【答案】∃x 0∈R ，x 02﹣2ax 0﹣1＜0．【解析】根据全称命题的否定为特称命题即可得到结论． 【详解】解：命题为全称命题，则命题“x R ∀∈，2210x ax --…”的否定是0x R ∃∈，200210x ax --<，故答案为：0x R ∃∈，20210x ax --<． 【点睛】本题主要考查含有量词的命题的否定，属于基础题．14．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A ＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A 的概率为_____． 【答案】15【解析】利用分层抽样的性质求出高一学生抽取2名，高二学生抽取2名，高三学生抽取1名，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数2510n C ==，记A = “两名一等奖来自同一年级”，则事件A 包含的基本事件个数22222m C C =+=，由此能求出事件A 的概率． 【详解】解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT 的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5240240240120⨯=++2，高二学生抽取：5240240240120⨯=++2， 高三学生抽取：5120240240120⨯=++1， 再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n 25C ==10，记A = “两名一等奖来自同一年级”，则事件A 包含的基本事件个数m 2222C C =+=2，∴事件A 的概率为p 21105m n ===． 故答案为：15【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、分层抽样的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．15．高二级部期中考试前组织了一次模拟，并随机抽取了部分高二学生的数学检测成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩μ＝_____．【答案】103.2【解析】根据频率分布直方图，能估计该次检测的平均成绩． 【详解】解：根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩：(650.005750.008850.012950.015μ=⨯+⨯+⨯+⨯1050.0241150.0181250.0101350.0051450.003)10103.2+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=故答案为：103.2 【点睛】本题考查平均数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．16．已知椭圆C 1：222211x y a b +=1（a 1＞0，b 1＞0）与双曲线C 2：222222x y a b -=1（a 2＞0，b 2＞0）相同的焦点F 1，F 2（F 1，F 2分别为左右焦点），若点P 是C 1和C 2在第一象限内的交点，|F 1F 2|＝|PF 2|，设C 1和C 2的离心率分别是e 1，e 2，则e 2﹣e 1的取值范围是_____ 【答案】（23，+∞） 【解析】设椭圆与双曲线的焦距为12||2F F c =，1||PF t =，由题意可得122a a c -=，用2e 表示出1e ，结合二次函数的性质即可求21e e -的取值范围． 【详解】解：设椭圆与双曲线的焦距为12||2F F c =，1||PF t =，由题意可得， 122t c a ∴+=，222t c a -=， 122t a c ∴=-，222t a c =+，122222a c a c ∴-=+， 122a a c ∴-=，∴12112e e -=，21221e e e =+， 则2222122222222122121e e e e e e e e e -=-==+++，21e >Q ，2101e ∴<<，则22212(0,3)e e +∈，212(3e e ∴-∈，)+∞．故答案为：2(3，)+∞．【点睛】本题考查了双曲线和椭圆的简单性质以及离心率的问题，考查了转化思想，属于中档题．三、解答题17．盒子中装有大小相同的3个编号分别为A 1，A 2，A 3的红球，2个编号为B 1，B 2的黑球，1个号为C 1的黄球，从盒子中任就摸出4个球，求至少有2个红球的概率． 【答案】45【解析】利用排列组合求出所有的可能性和满足条件的可能性，再用古典概型概率公式求出． 【详解】解：根据题意，从盒子中任意摸出4个球，总共有46360A =种，从盒子中任意摸出4个球，只有2个红球共有3324216⨯⨯=种， 从盒子中任意摸出4个球，有3个红球共有132472⨯⨯=种， 所以至少有2个红球的概率为2167243605+=． 【点睛】考查了排列组合法，古典概型概率公式的应用，属于基础题．18．已知集合21{|312}{|1}2A y y x x x B x x m ⎡⎤==-+∈-=-≤⎢⎥⎣⎦，，，，命题p ：t ∈A ，命题q ：t ∈B ，并且命题p 是命题q 的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围． 【答案】[14-，74] 【解析】利用二次函数的图象求出集合A ，解不等式||1x m -„求出集合B ，再利用命题p 是命题q 的必要而不充分条件，得到B A Ü，利用集合间包含关系即可求出m 的取值范围． 【详解】解：231y x x =-+Q ，1[,2]2x ∈-，∴当32x =时，2335()31224min y =-⨯+=-，当12x =-时，21111()3()1224max y =--⨯-+=，∴集合5[4A =-，11]4， ||1x m -Q „，11m x m ∴-+剟，∴集合[1B m =-，1]m +，Q 命题p 是命题q 的必要而不充分条件，B A ∴Ü，∴5 1411 14mm⎧--⎪⎪⎨⎪+⎪⎩…„，1744m∴-剟，∴实数m的取值范围为：1[4-，7]4．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，属于基础题．19．为了调查消费者的维权意识，青岛二中的学生记者在五四广场随机调查了120名市民，按他们的年龄分组：第1组[20.30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70），得到的频率分布直方图如图所示．（1）若要从被调查的市民中选1人采访，求被采访人恰好在第2组或第5组的概率；（2）已知第1组市民中男性有2人，学生要从第1组中随机抽取3名市民组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．【答案】（1）0.45（2）0.8【解析】（1）设第2组[30，40)的频率为2f，利用概率和为1，求出第二组的概率，把第五组加起来即可，（2）设第1组[20，30)的频数1n，求出1n，记第1组中的男性为1x，2x，女性为1y，2y，3y，4y列出随机抽取3名市民的基本事件，列出至少有两名女性的基本事件，然后求解至少有两名女性的概率．【详解】解：（1）设第2组[30，40)的频率为21(0.0050.010.020.03)100.35f=-+++⨯=；第4组的频率为0.01100.1⨯=所以被采访人恰好在第2组或第5组的概率为10.350.10.45P =+=； （2）设第1组[20，30)的频数1n ，则11200.005106n =⨯⨯=， 记第1组中的男性为1x ，2x ，女性为1y ，2y ，3y ，4y随机抽取3名市民的基本事件是：1(x ，2x ，1)y ，1(x ，2x ，2)y ，1(x ，2x ，3)y ，1(x ，2x ，4)y ，1(x ，2y ，1)y ，1(x ，3y ，2)y ，1(x ，1y ，3)y ，1(x ，4y ，1)y ，1(x ，2y ，4)y ，1(x ，3y ，4)y ，2(x ，2y ，1)y ，2(x ，3y ，2)y ，2(x ，1y ，3)y ，2(x ，4y ，1)y ，2(x ，2y ，4)y ，2(x ，3y ，4)y ，1(y ，2y ，3)y ，1(y ，2y ，4)y ，2(y ，3y ，4)y ，1(y ，3y ，4)y 共20种其中至少有两名女性的基本事件是：1(x ，2y ，1)y ，1(x ，3y ，2)y ，1(x ，1y ，3)y ，1(x ，4y ，1)y ，1(x ，2y ，4)y ，1(x ，3y ，4)y ，2(x ，2y ，1)y ，2(x ，3y ，2)y ，2(x ，1y ，3)y ，2(x ，4y ，1)y ，2(x ，2y ，4)y ，2(x ，3y ，4)y ，1(y ，2y ，3)y ，1(y ，2y ，4)y ，2(y ，3y ，4)y ，1(y ，3y ，4)y 共16种，所以至少有两名女性的概率为160.820=． 【点睛】本题考查古典概型概率公式的应用概率的求法，考查计算能力，属于基础题． 20．PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5浓度的数据如下表：（1）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆyb =•x ˆa +； （2）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（1）求出的线性回归方程，预测此时PM 2.5的浓度为多少？（参考公式：()()121()ˆniii nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆa y b=-•x ；参考数据：51i =∑x i ＝540，51i =∑y i＝420）【答案】（1）y 关于x 的线性回归方程为ˆy =0.72x +6.24（2）此时PM 2.5的浓度为150.24微克/立方米【解析】（1）根据回归系数公式计算回归系数，得出回归方程； （2）将200x =代入回归方程计算． 【详解】解：（1）1(100102108114116)1085x =⨯++++=，1(7880848890)845y =⨯++++=．()()51(8)(6)(6)(4)06486144ii i xx y y =--=-⨯-+-⨯-++⨯+⨯=∑，()5222221(8)(6)068200i i x x =-=-+-+++=∑．∴1440.72200b==$，$840.72108 6.24a=-⨯=． y ∴关于x 的线性回归方程为$0.72 6.24y x =+． （2）当200x =时，$0.72200 6.24150.24y =⨯+=． ∴此时 2.5PM 的浓度为150.24微克/立方米．【点睛】本题考查了线性回归方程的解法及利用回归方程进行数值估计，属于基础题． 21．已知抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5． （1）求抛物E 的方程．（2）直线l 与抛物线E 相交于两点A ，B ，过点A ，B 分别作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x轴于B 1，原点O 到直线l 的距离为1．求1111AA BB +的最大值． 【答案】（1）x 2＝4y （2）174【解析】（1）抛物线中到焦点的距离转化为到准线的距离；（2）由题意得直线的斜率存在且不为零，设直线方程，代入抛物线中，由根与系数的关系得到纵坐标的关系，原点到直线的距离得出斜率和截距的关系，求出距离1||AA ，1||BB 用纵坐标表示，再由二次函数求出最大值．【详解】解：（1）设(M x ，)(0)y x >，联立方程组：22y xx py=⎧⎨=⎩解得：2x p =， 抛物线中，准线方程：2px =-，到焦点距离等于到准线的距离，||5MF =， 2()52pp ∴--=，解得：2p =，所以抛物线方程为：24x y =；（2）由题意可得直线l 的斜率一定存在， 设l 的方程为：y kx b =+，0b >， 原点O 到直线l 的距离为1得：2211k b =⇒=-，(,)A x y ，0y >，(,)B x y ''，0y '>，联立方程组：24y kx bx y=+⎧⎨=⎩得：2440x kx b --=， 216160k b ∆=+>，即20k b +>且4x x k '+=，4xx b '=-，22()242424y y k x x b k b b b ''∴+=++=+=+-，22216x x yy b ''==，而222111111424124()4||||y y b b AA BB y y yy b p p'++-+=+===-++''， 当114p =时最大且为：174， 即1111||||AA BB +的最大值为：174． 【点睛】考查抛物线的性质，及直线与抛物线相交的得出坐标的关系，再由二次函数求出最大值．属于中档题．22．如图，已知椭圆C ：2222x y a b+=1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，A （2，0）是椭圆的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线交椭圆于P ，Q 两点，且|PQ |＝3．（1）求椭圆的方程；（2）过点A 的直线l 与椭圆交于另一点B ，垂直于l 的直线l ′与直线l 交于点M ，与y 轴交于点N ，若FB ⊥FN 且|MO |＝|MA |，求直线l 的方程．【答案】（1）22143x y +=（2）直线l 方程为：x ＝±26y +2 【解析】（1）由2232b PQ aa ⎧==⎪⎨⎪=⎩得：2a =，3b = （2）由于直线l 过点A ，可设l 方程为：2x my =+，求出点M ，N 的坐标，根据向量的数量积和点在椭圆上，即可求出m 的值，即可求出直线l 的方程 【详解】解：（1）由2232b PQ aa ⎧==⎪⎨⎪=⎩得：2a =，3b = 所以椭圆方程为22143x y +=，（2）由于直线l 过点A ，可设l 方程为：2x my =+，由题意可知0m ≠，与直线:1PQ x =联立，得1(1,)M m-， 直线MN 与直线l 垂直，可得直线MN 方程为：11(1)y m x mx m m m=---=-+- 令0x =．得1(0,)N m m-，设0(2b my +，0)y ，FB FN ⊥， 所以0FB FN =u u u r u u u rg ，即0y m =-⋯①，由B 点在椭圆上，代入椭圆方程得：2200(2)143my y ++=⋯②，联立①②，得26m =， 所以直线l 方程为：262x y =+， 【点睛】本题考查椭圆的标准方程及简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，向量运算，考查计算能力，属于中档题．23．已知抛物线C ：y 2＝2px （p ＞0）与圆22()42p D x y -+=：无公共点，过抛物线C 上一点M 作圆D 的两条切线，切点分别为E ，F ，当点M 在抛物线C 上运动时，直线EF 都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围． 【答案】（0，π）【解析】联立圆的方程和抛物线方程，可得x 的方程，由方程有非负数解，可得4p >，由E ，F 既在圆D 上，又在以DM 为直径的圆上，可得切点弦EF 的方程，考虑关于0y 的方程有解，可得当M 运动时，直线EF 都不通过的点构成一个区域是圆G ，由圆的面积公式可得范围． 【详解】解：抛物线2:2(0)C y px p =>与圆22:()42p D x y -+=无公共点，可得22244p x px px -++=即22404p x px ++-=无非负数解， 即有△224(4)164p p =--=，解得42p x --=或42p -+，可得4p >，π设20(2y M p ，0)y 总在圆D 外部，即22200()422y p y p -+>对一切实数0y 都成立，由242222200002()224244y y y p p p y p p -+=++…，即244p >，即4p >成立， 点E ，F 在圆22:()42p D x y -+=上，也在以(2p D ，0)，20(2y M p ，0)y 为直径的圆上．即在200()()()022y px x y y y p--+-=上， 上面两个圆的方程相减可得：222000()402244y y p p x y y p --++-=， 即为直线EF 的方程，化为22001()(4)04224x p p y y y x p --++-=，2px ≠，关于0y 的二次方程有实数根， ∴2214()(4)04224x p p y x p ∆=--+-…， 即222281604p p x y x p --+-+…，即直线EF不经过圆22228164p pGx y xp--+-+=的内部的每一个点．当M运动时，直线EF都不通过的点构成一个区域是圆G，这个区域的面积是2222816()4()1644P PPpππ---=g，取值范围是(0,)π．【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，考查直线方程和抛物线方程，以及圆的切点弦方程求法，考查化简运算能力，属于难题．。

2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m＞0”的一个（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件=0.则y关于x的函数的图象形状大致是（）4.（单选题.5分）若实数x.y满足|x|-ln 1yA.B.C.D.5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-26.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π67.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.118.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24 C. 14D.09.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1) D. (3π4，2)10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ）A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥211.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD 中.底面ABCD 是边长为2的正方形.侧面SAD 是以SD 为斜边的等腰直角三角形.若 2√2≤SC ≤4 .则四棱锥S-ABCD 的体积取值范围为___ ． 16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C 为半圆的直径AB 延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P 作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC 的面积的最大值为___ ．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.9918.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE；（Ⅱ）点M在线段EF上运动.求平面MAB与平面ADE所成锐二面角余弦值的取值范围．19.（问答题.12分）已知数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n+2.数列{b n}满足b n=log2a n（Ⅰ）求数列{a n}.{b n}的通项公式；（Ⅱ）求证：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy中.曲线C1：{x=2t 2+2y=t2−1（t为参数）．以坐标原点O 为极点.x轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．（Ⅰ）求C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称；（Ⅱ）判断曲线C1与曲线C2的位置关系.若相交.求出弦长．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．2017-2018学年山东省青岛二中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析试题数：23.满分：1501.（单选题.5分）已知z为复数z的共轭复数.（1-i）z=2i.则z =（）A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i【正确答案】：A【解析】：把已知等式变形.利用复数代数形式的乘除运算化简求得z.再由共轭复数的概念得答案．【解答】：解：由（1-i）z=2i.得z=2i1−i =2i(1+i)(1−i)(1+i)=−1+i .∴ z=−1−i .故选：A．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算.考查复数的基本概念.是基础题．2.（单选题.5分）一次实验：向如图所示的正方形中随机撒一大把豆子.经查数.落在正方形中的豆子的总数为N粒.其中m（m＜N）粒豆子落在该正方形的内切圆内.以此估计圆周率π为（）A. mNB. 2mNC. 3mND. 4mN【正确答案】：D【解析】：根据几何概型的概率公式.即可以进行估计.得到结论．【解答】：解：设圆的半径为1．则正方形的边长为2. 根据几何概型的概率公式可以得到 π×122×2=mN .即 π=4m N . 故选：D ．【点评】：本题主要考查几何概型的应用.根据几何概型的概率公式.进行估计是解决本题的关键.比较基础．3.（单选题.5分）“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】：B【解析】：根据对数函数的图象和性质.解对数不等式.利用充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】：解：当“（m-1）（a-1）＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {m ＜1a ＜1.此时log a m 可能无意义.故“log a m ＞0”不一定成立.而当“log a m ＞0”时.则 {m ＞1a ＞1 或 {0＜m ＜10＜a ＜1.“（m-1）（a-1）＞0”成立. 故“（m-1）（a-1）＞0”是“log a m ＞0”的一个必要不充分条件.故选：B ．【点评】：本题主要考查充分条件和必要条件的判断.根据对数的性质是解决本题的关键.比较基础．4.（单选题.5分）若实数x.y 满足|x|-ln 1y =0.则y 关于x 的函数的图象形状大致是（ ） A.B.C.D.【正确答案】：B【解析】：由条件可得 y= 1e|x| .显然定义域为R.且过点（0.1）.当x＞0时.y= 1e x.是减函数.从而得出结论【解答】：解：若变量x.y满足|x|-ln 1y=0.则得 y= 1e|x|.显然定义域为R.且过点（0.1）.故排除C、D．再由当x＞0时.y= 1e x.是减函数.故排除A.故选：B．【点评】：本题主要考查指数式与对数式的互化.指数函数的图象和性质的综合应用.以及函数的定义域、值域、单调性、函数图象过定点问题.属于中档题．5.（单选题.5分）已知（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为70.则实数a的值为（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：根据（1-2x）5展开式的通项公式.写出（2+ax）（1-2x）5的展开式中含x2项的系数.列方程求出a的值．【解答】：解：（1-2x）5展开式的通项公式为T r+1= C5r•（-2x）r.∴（2+ax）（1-2x）5的展开式中.含x2项的系数为2×C52(−2)2+aC51(−2)=70 .解得a=1．故选：A．【点评】：本题考查了二项式展开式通项公式的应用问题.是基础题．6.（单选题.5分）如图.网格纸上小正方形的边长为1.粗线画出的是某几何体的三视图.则该几何体的外接球的体积是（）A.14πB.28πC. 7√14π3D. 7√14π6【正确答案】：C【解析】：作出几何体的直观图.得出外接球的半径.代入体积公式计算得出答案．【解答】：解：几何体为三棱锥.直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD.是长方体的一部分.三度为：2.1.3.棱锥的外接球就是长方体的外接球.球的直径为：√22+12+32 = √14 .∴外接球半径R= √142．∴外接球的体积V= 43π×(√142)3= 7√14π3．故选：C．【点评】：本题考查了棱锥的三视图.棱锥与外接球的位置关系.体积公式.属于中档题．7.（单选题.5分）数列{a n}的首项为3.{b n}为等差数列且b n=a n+1-a n（n∈N*）.若b3=-2.b10=12.则a8=（）A.0B.3C.8D.11【正确答案】：B【解析】：先利用等差数列的通项公式分别表示出b3和b10.联立方程求得b1和d.进而利用叠加法求得b1+b2+…+b n=a n+1-a1.最后利用等差数列的求和公式求得答案．【解答】：解：依题意可知{b1+2d=−2b1+9d=12求得b1=-6.d=2∵b n=a n+1-a n.∴b1+b2+…+b n=a n+1-a1.∴a8=b1+b2+…+b7+3= (−6+6)×72+3=3故选：B．【点评】：本题主要考查了数列的递推式．考查了考生对数列基础知识的熟练掌握．8.（单选题.5分）如图.在△ABC中.D是AB边上的点.且满足AD=3BD.AD+AC=BD+BC=2.CD= √2 .则cosA=（）A. 13B. √24C. 14D.0 【正确答案】：D【解析】：设BD=x.可求AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.由cos∠ADC=-cos∠BDC .利用余弦定理可得x 的值.进而可求AD.AC 的值.由余弦定理可求cosA 的值．【解答】：解：设BD=x.则AD=3x.AC=2-3x.BC=2-x.易知：cos∠ADC=-cos∠BDC .由余弦定理可得：9x 2+2−(2−3x )22×√2×3x =- x 2+2−(2−x )22×√2×x . 解得：x= 13 .故：AD=1.AC=1.∴cosA= AD 2+AC 2−CD 22AD×AC =0． 故选：D ．【点评】：本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用.考查了数形结合思想.属于基础题．9.（单选题.5分）已知 a =2∫xdx 10.函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的部分图象如图所示.则函数 f (x −π4)+a 图象的一个对称中心是（ ）A. (−π12，1)B. (π12，2)C. (7π12，1)D. (3π4，2)【正确答案】：C【解析】：利用定积分求出a 的值.根据函数f （x ）的图象求出f （x ）的解析式.再利用三角函数的图象与性质求f （x- π4 ）+a 的对称中心．【解答】：解： a =2∫xdx 10 =2× 12 x 2 |01 =1. 函数 f (x )=Asin (ωx +φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2) 的图象知.A=2. T 4 = π3 - π12 = π4 .∴T= 2πω =π.解得ω=2；又2× π12 +φ= π2 .解得φ= π3 ；∴f （x ）=2sin （2x+ π3 ）.∴f （x- π4 ）+a=2sin （2x- π6 ）+1；令2x- π6 =kπ.k∈Z .则x= π12 + kπ2 .k∈Z .当k=1时.x= 7π12 .∴f （x- π4 ）+a 的一个对称中心为（ 7π12 .1）．故选：C ．【点评】：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题.也考查了定积分的计算问题.是中档题．10.（单选题.5分）直线x=2与双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线交于A.B 两点.设P 为双曲线上任一点.若 OP⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ （a.b∈R .O 为坐标原点）.则下列不等式恒成立的是（ ） A.a 2+b 2≥1B.|ab|≥1C.|a+b|≥1D.|a-b|≥2【正确答案】：C【解析】：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y ．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．利用 OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .可得P 坐标.代入双曲线方程.再利用重要不等式的性质即可得出结论．【解答】：解：双曲线 x 24 -y 2=1的渐近线为：y=± 12 x ．把x=2代入上述方程可得：y=±1．不妨取A （2.1）.B （2.-1）．OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =a OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +b OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2a+2b.a-b ）．代入双曲线方程可得：(2a+2b )24 -（a-b ）2=1.化为ab= 14 ．∴ 14 =ab ≤(a+b 2)2 .化为：|a+b|≥1． 故选：C ．【点评】：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、向量坐标运算性质、重要不等式的性质.考查了推理能力与计算能力.属于难题．11.（单选题.5分）如图所示：在杨辉三角中.斜线上方箭头所连的数组成一个齿形的数列：记这个数列前n 项和为S n .则S 16等于（ ）A.128B.144C.155D.164 【正确答案】：D【解析】：由图中锯齿形数列排列.发现规律：奇数项的第n 项可以表示成正整数的前n 项和的形式.偶数项构成以3为首项.公差是1的等差数列．由此再结合等差数列的通项与求和公式.即可得到S 16的值．【解答】：解：根据图中锯齿形数列的排列.发现a 1=1.a 3=3=1+2.a 5=6=1+2+3.....a 15=1+2+3+ (8)而a 2=3.a 4=4.a 6=5.….a 16=10.∴前16项的和S 16=[1+（1+2）+（1+2+3）+…+（1+2+…+8）]+（3+4+5+…+10）=（1×8+2×7+3×6+…+7×2+8×1）+(10+3)×82 =164故选：D ．【点评】：本题以杨辉三角为例.求锯齿形数列的前n 项和.着重考查了等差数列的通项与求和公式和归纳推理的一般方法等知识点.属于基础题．12.（单选题.5分）已知函数f （x ）=lnx+x 2+x ．正实数x 1.x 2满足f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.则下述结论中正确的一项是（ ）A.x 1+x 2≥ √5−12B.x 1+x 2＜√5−12 C.x 1+x 2≥ √5+12D.x 1+x 2＜√5+12 【正确答案】：A【解析】：得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.这样令t=x 1x 2.t ＞0.容易求得函数t-lnt 的最小值为1.从而得到（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.解这个关于x 1+x 2的一元二次不等式即可得出要证的结论．【解答】：由f （x 1）+f （x 2）+x 1x 2=0.即lnx 1+x 12+x 1+lnx 2+x 22+x 2+x 1x 2=0.从而（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）=x 1x 2-ln （x 1x 2）.令t=x 1x 2.则由h （t ）=t-lnt 得.h′（t ）= t−1t. 可知.h （t ）在区间（0.1）上单调递减.在区间（1.+∞）上单调递增.∴h （t ）≥h （1）=1.∴（x 1+x 2）2+（x 1+x 2）≥1.又x 1+x 2＞0.因此x 1+x 2≥√5−12成立． 故选：A ．【点评】：本题考查了函数的单调性问题.考查导数的应用以及换元思想、转化思想.不等式的解法.属于中档题．13.（填空题.5分）若实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4.则目标函数z=2x+y 的最大值为___ ． 【正确答案】：[1]10【解析】：画出约束条件表示的可行域.判断目标函数z=2x+y 的位置.求出最大值．【解答】：解：作出实数x.y 满足 {x −y +1≤0x +y −3≥0y ≤4的可行域如图： 目标函数z=2x+y 在 {y =4x −y +1=0的交点A （3.4）处取最大值为z=2×3+4=10． 故答案为：10．【点评】：本题考查简单的线性规划的应用.正确画出可行域.判断目标函数经过的位置是解题的关键．14.（填空题.5分）已知| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.sin （ π2+2θ ）=___ ．【正确答案】：[1] 725【解析】：根据向量的数量积运算和三角函数的化简即可求出答案．【解答】：解：∵| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=4.| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3. OA ⃗⃗⃗⃗⃗ •OB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0. OC ⃗⃗⃗⃗⃗ =sin 2 θOA⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴| OC⃗⃗⃗⃗⃗ |2=|sin 2θ• OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +cos 2θ• OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=sin 4θ| OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+cos 4θ| OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2sin 2θcos 2θ OA ⃗⃗⃗⃗⃗ • OB ⃗⃗⃗⃗⃗ . =16sin 4θ+9cos 4θ.=16sin 4θ+9（1-sin 2θ）2=25sin 4θ-18sin 2θ+9=25（sin 2θ- 925 ）2+14425 . ∴当sin 2θ= 925 时.| OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值. ∴sin （ π2+2θ ）=cos2θ=1-2sin 2θ=1-2× 925 = 725 .故答案为： 725【点评】：本题考查了向量的数量积运算和三角函数的化简求值.属于中档题15.（填空题.5分）四棱锥S-ABCD中.底面ABCD是边长为2的正方形.侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形.若2√2≤SC≤4 .则四棱锥S-ABCD的体积取值范围为___ ．【正确答案】：[1] [4√33，83]【解析】：由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2或SC=4时.四棱锥S-ABCD的高最小.当SA⊥平面ABCD.则四棱锥高最大.分别求出对应的高.则四棱锥S-ABCD的体积取值范围可求．【解答】：解：如图.由题意可知.平面SAB⊥平面ABCD.当SC= 2√2时.过S作SO⊥AB.垂足为O.连接AC.OC.设OA=x.在△OAC中.由余弦定理可得OC2=x2+8−4√2x×√22=x2−4x+8 .在Rt△SOA中.有OS2=SA2-x2=4-x2.在Rt△SOC中.有OS2+OC2=SC2.即4-x2+x2-4x+8=8.求得x=1．∴ OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；当SC=4时.可得∠BAS为钝角.同理求得OS=√3．此时(V S−ABCD)min=13×4×√3=4√33；∴当SA⊥平面ABCD时. (V S−ABCD)max=13×4×2=83．∴四棱锥S-ABCD的体积取值范围为：[4√33，83]．故答案为：[4√33，83]．【点评】：本题考查棱锥体积的求法.考查空间想象能力与逻辑思维能力.是中档题．16.（填空题.5分）在如图所示的平面中.点C为半圆的直径AB延长线上的一点.AB=BC=2.过动点P作半圆的切线PQ.若PC= √2 PQ.则△PAC的面积的最大值为___ ．【正确答案】：[1]4 √5【解析】：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.利用两点间距离公式推导出点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.由此能求出△PAC的面积的最大值．【解答】：解：以AB所在直线为x轴.以AB的垂直平分线为y轴.建立平面直角坐标系.∵AB=BC=2.∴C（3.0）.设P（x.y）.∵过动点P作半圆的切线PQ.PC= √2 PQ.∴ √(x−3)2+y2 = √2• √x2+y2−1 .整理.得x2+y2+6x-11=0.∴点P的轨迹方程是以（-3.0）为圆心.以r=2 √5为半径的圆.∴当点P在直线x=-3上时.△PAC的面积的最大.∴（S△PAC）max= 1×4×2√5 =4 √5．2故答案为：4 √5．【点评】：本题考查三角形面积的最大值的求法.是中档题.解题时要认真审题.注意两点间距离公式的合理运用．17.（问答题.12分）在一次“K12联盟”联考中.我校高三有理科学生500名.已知此次考试中的英语成绩服从正态分布N（120.400）.数学成绩的频率分布直方图如图：（Ⅰ）如果成绩在140（含140）分以上的为特别优秀.则在此次联考中我校英语、数学特别优秀的大约各多少人？（Ⅱ）已知我校英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.现以我校理科学生的成绩来评估此次联考中所有学生的总体状况.若从数学或英语特别优秀的同学中随机抽取3名学生.求这三人中两科都特别优秀人数的分布列和数学期望．参考公式及数据：若X～N（μ.σ2）.则P（μ-σ≤x≤μ+σ）=0.68.P（μ-2σ≤x≤μ+2σ）=0.96.P （μ-3σ≤x≤μ+3σ）=0.99【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意可得英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）].乘以500可得英语成绩特别优秀的人数；由频率分布直方图可得数学成绩特别优秀的概率.乘以500得数学成绩特别优秀的人数；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人.则X 的所有可能取值为0.1.2.3.求出概率.列出频率分布列.再由期望公式求期望．【解答】：解：（Ⅰ）英语成绩服从正态分布N （120.400）.则μ=120.σ=20. 则英语成绩特别优秀的概率为P （X≥140）= 12 [1-P （120-20≤X≤120+20）]= 12×(1−0.68)=0.16 ．∴英语成绩特别优秀的人数为500×0.16=80人；数学成绩特别优秀的概率为P （X≥140）=0.008× 20×12=0.08 ． ∴数学成绩特别优秀的人数为500×0.08=40人；（Ⅱ）英语和数学两科都特别优秀的理科生共有30人.则单科优秀的有60人． X 的所有可能取值为0.1.2.3．P （X=0）= C 603C 903 = 17115874 ；P （X=1）= C 301C 602C 903 = 8851958 ；P （X=2）= C 302C 601C 903 = 4351958 ；P （X=3）= C 303C 903 = 2035874 ．X 的分布列为：数学期望值为EX=0× 5874 +1× 1958 +2× 1958 +3× 5874 =1．【点评】：本题考查了频率分布直方图.考查了正态分布的应用问题.考查了离散型随机变量的分布列与期望.是中档题．18.（问答题.12分）如图.已知梯形ABCD.AB || CD.AD=DC=BC.∠ADC=120°.四边形ACFE 为正方形.且平面ACFE⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）点M 在线段EF 上运动.求平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由已知求解三角形可得BC⊥AC .由平面ACFE⊥平面ABCD.结合面面垂直的性质得BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）建立空间坐标系.令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.根据坐标表示出两个平面的法向量.结合向量的有关运算求出二面角的余弦值关于λ的表达式.再利用函数的有关知识求出余弦的范围．【解答】：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中.由∠ADC=120°.得∠ABC=60°. ∵AB || CD .设AD=DC=CB=1.∴AB=2.则AC 2=AB 2+BC 2-2AB•BC•cos60°=3. ∴AB 2=AC 2+BC 2.得BC⊥AC ．∵平面ACFE⊥平面ABCD.平面ACFE∩平面ABCD=AC. BC⊂平面ABCD. ∴BC⊥平面ACFE ；（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可建立分别以直线CA.CB.CF 为x 轴.y 轴.z 轴的如图所示空间直角坐标系. 令FM=λ（0≤λ≤ √3 ）.则A （ √3 .0.0）.B （0.1.0）.M （λ.0. √3 ）.E （ √3，0，√3 ）.D （ √32，−12，0 ）．AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- √3 .1.0）. BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（λ.-1. √3 ）. AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ −√32，−12，0 ）. AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0，0，√3) ． 设 m ⃗⃗ =（x.y.z ）为平面MAB 的一个法向量. 由 {m ⃗⃗ •AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√3x +y =0m ⃗⃗ •BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −y +√3z =0.取x=1.得 m ⃗⃗ =（1. √3 . 1−√33λ ）.设平面ADE 的一个法向量为 n ⃗ =（a.b.c ）.由 {n ⃗ •AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =−√32a −12b =0n ⃗ •AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =√3c =0.取b= √3 .得 n ⃗ =(−1，√3，0) .设平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角为θ（0°＜θ＜90°）. 则cosθ= |m⃗⃗⃗ •n ⃗ |m ⃗⃗⃗ |•|n ⃗ || = 22×√1+3+(1−√33λ)2=√3√(λ−√3)2+12．∵λ∈[0. √3 ].∴cosθ∈[ √55，12 ]．即平面MAB 与平面ADE 所成锐二面角余弦值的取值范围为[ √55，12 ]．【点评】：本题考查平面与平垂直的证明.考查空间想象能力和思维能力.训练了利用空间向量求二面角的余弦值.是中档题．19.（问答题.12分）已知数列{a n }的前n 项和为S n .a 1=2.且对任意正整数n.都有a n+1=3S n +2.数列{b n }满足b n =log 2a n（Ⅰ）求数列{a n }.{b n }的通项公式； （Ⅱ）求证：1b 12+1b 22+⋯+1b n2≤5n−14n【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用递推关系式求出数列的通项公式． （Ⅱ）利用放缩法求出数列的和．【解答】：解：（Ⅰ）数列{a n}的前n项和为S n.a1=2.且对任意正整数n. 都有a n+1=3S n+2.则：当n≥2时.a n=3S n-1+2整理得：a n+1-a n=3a n.即：a n+1a n=4（常数）.所以：a n=2•4n−1=22n−1．由于数列{b n}满足b n=log2a n.所以b n=2n-1．证明：（Ⅱ）由于b n=2n-1.所以：1b n2=1(2n−1)2＜1(2n−1)2−1= 14(1n−1−1n) .则：1b12+1b22+⋯+1b n2= 112+132+⋯+1(2n−1)2≤1+14[(1−12)+(12−13)+⋯+(1n−1−1n)] =1+ 14(1−1n) = 5n−14n．故：1b12+1b22+⋯+1b n2≤5n−14n．【点评】：本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用.放缩法在数列求和中的应用．20.（问答题.12分）如图.曲线C由下半椭圆C1：y2a2+x2b2=1(a＞b＞0)(y≤0)和部分抛物线C2：y=x2−1(y≥0)连接而成.C1与C2的公共点为A.B.其中C1的离心率为√32．（Ⅰ）求a.b的值；（Ⅱ）过点A的直线l与C1.C2分别交于点P.Q.（均异于点A.B）.是否存在直线l.使得以PQ为直径的圆恰好过B点.若存在.求出直线l的方程；若不存在.请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1.且A （-1.0）.B （1.0）是上半椭圆C 1的左右顶点.设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2-1.联立解得a.b 的值； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）.由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）.代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0.设点P 的坐标为（x P .y P ）.由求根公式.得点P的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）.由 {y =k (x +1)y=x 2−1，y ≥0.得点Q的坐标为（k+1.k 2+2k ）.由假设可得BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即可得出k ．【解答】：解：（Ⅰ）在C 1.C 2的方程中.令y=0.可得b=1. 且A （-1.0）.B （1.0）是下半椭圆C 1的左右顶点. 设C 1的半焦距为c.由 ca = √32 及a 2-c 2=b 2. 可得a=2.所以a=2.b=1； （Ⅱ）由（Ⅰ）.下半椭圆C 1的方程为 y 24 +x 2=1（y≤0）. 由题意知.直线l 与x 轴不重合也不垂直.设其方程为y=k （x+1）（k≠0）. 代入C 1的方程.整理得（k 2+4）x 2+2k 2x+k 2-4=0. 设点P 的坐标为（x P .y P ）.因为直线l 过点A.所以x=-1是方程的一个根. 由求根公式.得x P = 4−k 24+k 2 .y P = 8k4+k 2 . 所以点P 的坐标为（ 4−k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. 同理.由 {y =k (x +1)y =x 2−1，y ≥0.得点Q 的坐标为（k+1.k 2+2k ）.所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =（- 2k 24+k 2 . 8k4+k 2 ）. BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =（k.k 2+2k ）.假设存在直线l.使得以PQ 为直径的圆恰好过B 点.可知BP⊥BQ .所以 BP ⃗⃗⃗⃗⃗ • BQ ⃗⃗⃗⃗⃗ =0.即（- 2k 24+k 2 ）•k+ 8k 4+k 2 •（k 2+2k ）=0. 即-2k 3+8k 3+16k 2=0. 因为k≠0.解得k=- 83. 经检验.k=- 83 符合题意.故存在.且直线l的方程为y=- 83（x+1）．【点评】：本题考查了直线与椭圆、抛物线相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、圆的性质、向量垂直与数量积的关系.考查了推理能力与计算能力.属于中档题．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=e x. g(x)=−a2x2−x .（其中a∈R.e为自然对数的底数.e=2.71828…）．（1）令h（x）=f（x）+g′（x）.若h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.求实数a的值；（2）在（1）的条件下.设m为整数.且对于任意正整数n. ∑(in )n＜mni=1.求m的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数.求出h（x）的解析式.求出函数的导数.通过讨论a的范围.求出函数的单调区间.从而求出函数的最小值.求出a的值即可；（2）得到1+x≤e x.令x=- kn （n∈N*.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- kn≤ e−k n .得到(1−kn)n≤ e(−k n)n=-e-k.累加.通过放大不等式.证明即可．【解答】：解：（1）因为g′（x）=-ax-1.所以h（x）=e x-ax-1.由h（x）≥0对任意的x∈R恒成立.即h（x）min≥0.由h′（x）=e x-a.（i）当a≤0时.h′（x）=e x-a＞0.h（x）的单调递增区间为R.所以x∈（-∞.0）时.h（x）＜h（0）=0.所以不满足题意．（ii）当a＞0时.由h′（x）=e x-a=0.得x=lna.x∈（-∞.lna）时.h′（x）＜0.x∈（lna.+∞）时.h′（x）＞0.所以h（x）在区间（-∞.lna）上单调递减.在区间（lna.+∞）上单调递增. 所以h（x）的最小值为h（lna）=a-alna-1．设φ（a）=a-alna-1.所以φ（a）≥0. ①因为φ′（a）=-lna.令φ′（a）=-lna=0.得a=1.所以φ（a ）在区间（0.1）上单调递增.在区间（1.+∞）上单调递减. 所以φ（a ）≤φ（1）=0. ② 由 ① ② 得φ（a ）=0.则a=1． （2）由（1）知e x -x-1≥0.即1+x≤e x . 令x=- kn （n∈N *.k=0.1.2.3.….n-1）.则0＜1- k n ≤ e −kn .所以 (1−k n )n ≤ e (−k n )n=-e -k .所以 ∑ni=1 (i n )n = (1n )n + (2n )n +…+ (n−1n )n + (n n )n≤e -（n-1）+e -（n-2）+…+e -2+e -1+1 =1−e −n 1−e −1 ＜ 11−e−1 =1+ 1e−1 ＜2. 所以 ∑n i=1 (i n )n＜2. 又 (13)3+ (23)3+ (33)3＞1. 所以m 的最小值为2．【点评】：本题考查了函数的单调性、最值问题.考查导数的应用.是一道中档题．22.（问答题.10分）在直角坐标系xOy 中.曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．以坐标原点O为极点.x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0． （Ⅰ）求C 1的普通方程与曲线C 2的直角坐标方程.并说明方程所表示的曲线名称； （Ⅱ）判断曲线C 1与曲线C 2的位置关系.若相交.求出弦长．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）直接利用转换关系.把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．【解答】：解：（Ⅰ）曲线C 1： {x =2t 2+2y =t 2−1 （t 为参数）．转换为直角坐标方程为：x-2y-4=0．（x≥2）．故该曲线表示一条射线．曲线C2：ρ2-10ρcosθ-6ρsinθ+25=0．转换为直角坐标方程为：x2+y2-10x-6y+25=0.整理得：（x-5）2+（y-3）2=9.该曲线表示以（5.3）为圆心.3为半径的圆．（Ⅱ）由于该圆是以（5.3）为圆心.3为半径.所以与射线x-2y-4=0．（x≥2）有两个交点．圆心到射线的距离d=√12+22=√5 .所以弦长l=2 √32−(√5)2 =4．【点评】：本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换.点到直线的距离公式的应用．23.（问答题.0分）已知函数f（x）=ln（|x+2|+|x-3|-m）．（Ⅰ）当m=8时.求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≥2的解集是R.求m的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）先求得|x+2|+|x-3|＞8.然后分类讨论去绝对值号.求解即可得到答案．（Ⅱ）由关于x的不等式f（x）≥2.得到|x+2|+|x-3|≥m+e2．因为已知解集是R.根据绝对值不等式可得到|x+2|+|x-3|≥5.令m+e2≤5.求解即可得到答案．【解答】：解：（Ⅰ）由题设知：当m=8时：|x+2|+|x-3|＞8.不等式的解集是以下三个不等式组解集的并集：{x≥3x+2+x−3＞8.或{−2＜x＜3x+2+3−x＞8.或{x≤−2−x−2−x+3＞8.解得函数f（x）的定义域为（-∞.-7）∪（9.+∞）；（2）不等式f（x）≥2即|x+2|+|x-3|≥m+e2.∵x∈R时.恒有|x+2|+|x-3|≥|（x+2）-（x-3）|=5.∴不等式|x+2|+|x-3|≥m+e2解集是R.等价于m+e2≤5.∴m的取值范围是（-∞.5-e2]．【点评】：本题主要考查绝对值不等式的应用问题.题中涉及到分类讨论的思想.考查学生的灵活应用能力.属于中档题目．。

N MD 1C 1B 1A 1DCA学年第一学期高二年级期末质量抽测 数 学 试 卷（理科）（满分150分，考试时间 120分钟）考生须知： 1． 本试卷共6页，分第Ⅰ卷选择题和第Ⅱ卷非选择题两部分。

2． 答题前考生务必将答题卡上的学校、班级、姓名、考试编号用黑色字迹的签字笔填写。

3． 答题卡上第I 卷(选择题)必须用2B 铅笔作答，第II 卷(非选择题)必须用黑色字迹的签字笔作答，作图时可以使用2B 铅笔。

请按照题号顺序在各题目的答题区内作答，未在对应的答题区域内作答或超出答题区域作答的均不得分。

4． 修改时，选择题部分用塑料橡皮擦涂干净，不得使用涂改液。

保持答题卡整洁，不要折叠、折皱、破损。

不得在答题卡上做任何标记。

5． 考试结束后，考生务必将答题卡交监考老师收回，试卷自己妥善保存。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．)（1）抛物线210y x =的焦点到准线的距离为（A ）52（C ）5 （C ）10 （D ）20 （2）过点(2,1)-且倾斜角为060的直线方程为(A) 10y --=( B) 330y --=( C)10y -+=( D)330y -+=（3）若命题p 是真命题，命题q 是假命题，则下列命题一定是真命题的是(A)p q ∧ （B ）()p q ⌝∨ (C)()p q ⌝∧ (D )()()p q ⌝∨⌝（4）已知平面α和直线,a b ，若//a α，则“b a ⊥”是“b α⊥”的(A)充分而不必要条件 ( B )必要而不充分条件 ( C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （5）如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点,M N 分别是面对角线111A B B D 与的中点，若1,,,DA DC DD ===a b c 则MN =CA 1俯视图侧（左）视图正（主）视图(A)1()2+-c b a ( B) 1()2+-a b c ( C) 1()2-a c ( D) 1()2-c a（6）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>(A) y =( B) y x = ( C) 12y x =± ( D) 2y x =± （7）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积是(A )2+ ( B)2( C)4+ ( D)4（8）从点(2,1)P -向圆222220x y mx y m +--+=作切线，当切线长最短时m 的值为（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2（9）已知点12,F F 是椭圆22:14x C y +=的焦点，点M 在椭圆C 上且满足1223MF MF += 则12MF F ∆的面积为(A)3(B) 2(C ) 1 (D) 2 (10) 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 是左侧面11ADD A 上的一个动点，满足11BC BM ⋅=，则1BC 与BM 的夹角的最大值为 (A) 30︒ ( B) 45︒ ( C ) 60︒ ( D) 75︒P D 1C 1B 1A 1D C BAD 1C 1B 1A 1D第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）(11)若命题2:R,220p x x x ∃∈++>，则:p ⌝ ． (12) 已知(1,3,1)=-a ，(1,1,3)=--b ，则-=a b ______________.(13)若直线()110a x y +++=与直线220x ay ++=平行，则a 的值为____ .(14)如图，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设 11AD AA ==， 2AB =，P 是11C D 的中点，则11B C A P 与所成角的大小为____________， 11BC A P ⋅=___________.(15)已知P 是抛物线28y x =上的一点，过点P 向其准线作垂线交于点E ，定点(2,5)A ，则PA PE +的最小值为_________；此时点P 的坐标为_________ .(16)已知直线:10l kx y -+=()k ∈R ．若存在实数k ，使直线l 与曲线C 交于,A B 两点，且||||AB k =，则称曲线C 具有性质P ．给定下列三条曲线方程： ① y x =-； ② 2220x y y +-=； ③ 2(1)y x =+． 其中，具有性质P 的曲线的序号是________________ .三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）(本小题满分14分)已知圆22:2410C x y x y +--+=. (I)求过点(3,1)M 的圆C 的切线方程；(II)若直线:40l ax y -+=与圆C 相交于,A B 两点，且弦AB的长为a 的值．（18）(本小题满分14分)在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，60DAB ∠=︒，ACBD O =，11AB AA ==.(I)求证：111//OC AB D 平面；N MDCBAP(II)求证：1111AB D ACC A ⊥平面平面； (III)求三棱锥111A AB D -的体积. （19）(本小题满分14分)已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>，且经过点(0,1)A -．(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；(Ⅱ)如果过点3(0,)5B 的直线与椭圆交于,M N 两点（,M N 点与A 点不重合），求证：AMN ∆为直角三角形．（20）(本小题满分14分)如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ABCD ⊥底面，底面ABCD 为直角梯形，//,90,AD BC BAD ∠=︒22PA AD AB BC ====，过AD 的平面分别交PB PC ，于,M N 两点.（I ）求证：//MN BC ；（II ）若,M N 分别为,PB PC 的中点，①求证：PB DN ⊥；②求二面角P DN A --的余弦值.（21）(本小题满分14分)抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠是抛物线上两个动点，F 为抛物线的焦点，且8AF BF +=. （I ） 求p 的值；（II ） 线段AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点是否为定点，若是，求出交点坐标，若不是，说明理由；（III ）求直线l 的斜率的取值范围.高二年级期末质量抽测数学试卷参考答案及评分标准 （理科）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（11）2:,220p x x x ⌝∀∈++≤R（12） 6 （13）1或2- （14）60︒；1 （15）5；(2,4) （16）②③ 三、解答题(本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) （17）（本小题满分14分）解：（I ）圆C 的方程可化为22(1)(2)4x y -+-=，圆心(1,2)C ，半径是2.…2分①当切线斜率存在时，设切线方程为1(3)y k x -=-，即310kx y k --+=. ……3分因为2d ===，所以34k =. …………6分 ②当切线斜率不存在时，直线方程为3x =，与圆C 相切. ……… 7分所以过点(3,1)M 的圆C 的切线方程为3x =或3450x y --=. ………8分（II ）因为弦AB 的长为所以点C 到直线l 的距离为11d ==. ……10分 即11d ==. …………12分所以34a =-. …………14分O 1ABCDA 1B 1C 1D 1O（18）（本小题满分14分）证明：(I) 如图，在直平行六面体1111ABCD A B C D -中，设11111AC B D O =，连接1AO .因为1111//AA CC AA CC =且，所以四边形11AAC C 是平行四边形.所以1111//AC AC AC AC =且. ……1分因为底面ABCD 是菱形， 所以1111//O C AO O C AO =且. 所以四边形11AOC O 是平行四边形.所以11//AO OC . ……2分 因为111AO AB D ⊂平面，111OC AB D ⊄平面所以111//OC AB D 平面. ……4分(II)因为11111AA A B C D ⊥平面，111111B D A B C D ⊂平面，所以111B D AA ⊥. ……5分 因为底面ABCD 是棱形，所以1111B D AC ⊥. ……6分 因为1111AA AC A =，所以1111B D ACC A ⊥平面. ……7分 因为1111B D AB D ⊂平面， ……8分 所以1111AB D ACC A ⊥平面平面. ……9分 (III)由题意可知，11111AA A B C D ⊥平面，所以1AA 为三棱锥111A A B D -的高. ……10分因为111111111111111332A AB D A A B D A B D V V S AA --∆==⋅=⨯⨯所以三棱锥111A AB D -. ……14分(19)（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为椭圆经过点(0,1)A -，e =， 所以1b =. ……1分由c e a ===，解得2a =. ……3分 所以椭圆C 的标准方程为2214x y +=． ……4分（Ⅱ）若过点3(0,)5的直线MN 的斜率不存在，此时,M N 两点中有一个点与A 点重合，不满足题目条件． ……5分若过点3(0,)5的直线MN 的斜率存在，设其斜率为k ，则MN 的方程为35y kx =+，由223514y kx x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩可得222464(14)0525k x kx ++-=. ……7分设1122(,),(,)M x y N x y ，则122122245(14)64,25(14)0k x x k x x k ⎧+=-⎪+⎪⎪⋅=-⎨+⎪⎪∆>⎪⎩， ……9分 所以1212266()55(14)y y k x x k +=++=+， 221212122391009()52525(14)k y y k x x k x x k -+⋅=⋅+++=+. ……11分因为(0,1)A -，所以1122121212(,1)(,1)()1AM AN x y x y x x y y y y ⋅=+⋅+=++++22264100925(14)25(14)k k k -+=-+++26105(14)k ++=+所以AM AN ⊥,AMN ∆为直角三角形得证． ……14分(20)（本小题满分14分）证明：（I ）因为底面ABCD 为直角梯形， 所以//BC AD .因为,,BC ADNM AD ADNM ⊄⊂平面平面所以//BC ADNM 平面. ……2分 因为,BC PBC PBCADNM MN ⊂=平面平面平面，所以//MN BC . ……4分 （II ）①因为,M N 分别为,PB PC 的中点，PA AB =，所以PB MA ⊥. ……5分 因为90,BAD ∠=︒ 所以DA AB ⊥.因为PA ABCD ⊥底面，所以DA PA ⊥. 因为PAAB A =，所以DA PAB ⊥平面. 所以PB DA ⊥. ……7分 因为AMDA A =，所以PB ADNM ⊥平面因为DN ADNM ⊂平面，所以PB DN ⊥. ……9分 ②如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系A xyz -. ……10分 则(0,0,0),(2,0,0),(2,1,0),(0,2,0),(0,0,2)A B C D P . ……11分由（II ）可知，PB ADNM ⊥平面，所以ADNM 平面的法向量为(2,0,2)BP =-. ……12分 设平面PDN 的法向量为(,,)x y z =n 因为(2,1,2)PC =-，(0,2,2)PD =-, 所以00PC PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n .即220220x y z y z +-=⎧⎨-=⎩.令2z =，则2y =，1x =. 所以(1,2,2)=n所以cos ,622BP BP BP⋅〈〉===n n n .所以二面角P DN A --的余弦值为6. ……14分(21)（本小题满分14分）解:（I ）因为抛物线22(0)y px p =>与直线1y x =+相切，所以由221y px y x ⎧=⎨=+⎩ 得：2220(0)y py p p -+=>有两个相等实根. …2分即2484(2)0p p p p ∆=-=-=得：2p =为所求. ……4分 （II ）法一：抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………5分 设直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点(,0)C m . 由C 在AB 的垂直平分线上，从而AC BC =………6分即22221122()()x m y x m y -+=-+. 所以22221221()()x m x m y y ---=-.即12122112(2)()444()x x m x x x x x x +--=-=-- ………8分 因为12x x ≠，所以1224x x m +-=-. 又因为126x x +=，所以5m =， 所以点C 的坐标为(5,0).即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 法二：由112212(,),(,)()A x y B x y x x ≠可知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y kx m =+.由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得222(24)0k x km x m +-+=. ………5分 所以12221224216160km x x k m x x k km -⎧+=⎪⎪⎪⋅=⎨⎪∆=-+>⎪⎪⎩. ………6分因为抛物线24y x =的准线1x =.且8AF BF +=，所以由定义得1228x x ++=，则126x x +=. ………7分 所以232km k +=.设线段AB 的中点为00(,)M x y . 则12003,32x x x y k m +===+. 所以(3,3)M k m +. ………8分 所以线段AB 的垂直平分线的方程为13(3)y k m x k--=--. ………9分 令0y =，可得2335x m mk =++=.即直线AB 的垂直平分线l 与x 轴的交点为定点(5,0). ………10分 （III ）法一：设直线l 的斜率为1k ，由（II ）可设直线l 方程为1(5)y k x =-.设AB 的中点00(,)M x y ，由12032x x x +==.可得0(3,)M y .因为直线l 过点0(3,)M y ，所以012y k =-.………11分 又因为点0(3,)M y 在抛物线24y x =的内部，所以2012y <.…12分 即21412k < ，则213k <.因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分 法二：设直线l 的斜率为1k ，则11k k =-.由（II ）可知223km k =-.因为16160km ∆=-+>，即1km <， …11分 所以2231k -<.所以213k >.即21113k >.所以2103k <<.…12分 因为12x x ≠，则10k ≠. …13分 所以1k的取值范围为((0,3).………14分。

高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．已知为等差数列，，，则数列的公差（ ） {}n a 135105a a a ++=24699a a a ++={}n a d =A ． B ． C ． D ．2-1-21【答案】A【分析】根据等差数列下标和性质和通项公式直接求解即可.【详解】由等差数列性质知：，，13533105a a a a ++==2464399a a a a ++==，，.335a ∴=433a =432d a a ∴=-=-故选：A.2．双曲线的焦点坐标是（ ）2213y x -=A ．B ．C ．D ．()0,2±()2,0±()(0,【答案】B【分析】根据双曲线方程可得，然后根据可得，最后得出结果. ,a b 222c a b =+c【详解】由题可知：双曲线的焦点在轴上，且 x 1,a b ==2222c a b c ∴=+⇒=所以双曲线的焦点坐标为 ()2,0±故选：B3．已知抛物线C ：，焦点为F ，点到在抛物线上，则（ ）()220y px p =>1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭AF =A ．3 B ．2 C ．D ．9454【答案】D【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】因为点在抛物线上，，解得， 1,14A ⎛⎫⎪⎝⎭12p∴=2p =利用抛物线的定义知 524A p AF x =+=故选：D4．直线与直线平行，则两直线间的距离为（ ）:120l x y m -+=2:610l mx y +-=A B C D 【答案】B【分析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离. m 【详解】由两直线平行，得，故， 216m -⨯=⨯3m =-当时，，，此时， 3m =-1:3690l x y --=2:3610l x y -+=12//l l 故两直线平行时. 3m =-又之间的距离为 12,l l d =故选：B.5．圆心在x 轴上且过点的圆与y 轴相切，则该圆的方程是（ ） (A ． B ． 2240x y x +-=2240x y x ++=C ． D ．2240x y y +-=2240x y y ++=【答案】A【分析】根据题意设出圆的方程，列式即可求出．【详解】依题可设圆的方程为，所以，解得．()()2220x a y r r -+=>()2213a r a r ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩2,2a r ==即圆的方程是． 2240x y x +-=故选：A ．6．如图，在直三棱柱中，，．为的中点，则直111ABC A B C -1AB BC ==120ABC ∠=︒M 11A C 线与平面所成的角为（ ）BM 11ABB AA ．15°B ．30°C ．45°D ．60°【答案】B【分析】设点到平面的距离为，通过等体积法求得，再求线面角的正M 11A B B h 1111B A B M M A B B V V --=h 弦即可得解.【详解】如图所示：不妨设，，由余弦定理可得,12AB BC ===120ABC ∠=︒11AC AC ==，11B M ===所以BM ===， 111111111222A B M A B C S S ==⨯⨯=△△11122A B B S =⨯=△设点到平面的距离为，M 11A B B h则，1111111111133B A B M M A B B A B M A B B V V S BB S h --=⇒⋅=⋅⇒=△△解得 h =所以直线与平面所成角的正弦值为， BM 11ABB A 12h BM =所以直线与平面所成角为30°. BM 11ABB A 故选：B.【点睛】关键点点睛：本题的解题关键是通过等体积法求得点到平面的距离，再由高比斜M 11A B B 线段可得线面角的正弦.7．已知等差数列的前n 项和为，公差，若（，），则{}n a n S 2d =-2022n n S S -=*n ∈N 2021n ≤1a =（ ） A ．2023 B ．2022C ．2021D ．2020【答案】C【分析】根据题意令可得，结合等差数列前n 项和公式写出，进而得到关于的1n =12021S S =2021S 1a 方程，解方程即可.【详解】因为，令，得， 2022n n S S -=1n =12021S S =又，， 20211202120211010S a d =+⨯2d =-11a S =所以，有， 202112021(2020)S a =-112021(2020)a a =-解得. 12021a =故选：C8．已知斜率为1的直线与椭圆相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，AB 的中()2222:10x y C a b a b +=>>点为P ，若直线OP 的斜率为，则椭圆C 的离心率为（ ）．12-A ．BCD ．5712【答案】B【分析】这是中点弦问题，注意斜率与椭圆a ,b 之间的关系. 【详解】如图：依题意，假设斜率为1的直线方程为：，联立方程：y x m =+，解得：，代入得， 22221y x m x y a b =+⎧⎪⎨+=⎪⎩21222211m bx x a b +=-+y x m =+222211m a y a b =+故P 点坐标为，由题意，OP 的斜率为， 222222,1111m m b a a b a b ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭12-即，化简得：，，，222222111211m a a b m b a b +=--+2212b a =22222a b b c ==+22212c b a ==e =故选：B.二、多选题9．已知为等差数列的前n 项和，且，，则下列结论正确的是（ ） n S {}n a 113a =-333S =-A ．B ．是先递减后递增的数列 215n a n =-{}n aC ．是和的等比中项D ．的最小值为12a 8a 48a n S 49-【答案】ACD【分析】根据题干条件得到，从而求出通项公式，判断出是递增数列；求出，，2d =81a=129a =，从而判断C 选项，根据，可知在时取得最小值，求出最小4881a =710a =-<810a =>n S 7n =值，从而判断D 选项.【详解】由题意得：，因为，所以．所以通项公式为：313333S a d =+=-113a =-2d ={}n a ，A 选项正确；由于，所以为递增数列，B 选项错误；通()1321215n a n n =-+-=-20d =>{}n a 过计算可得：，，，其中，C 正确；因为为递增数列，且81a=129a =4881a =212848a a a =⋅{}n a ，，故在时取得最小值，，D 选项正确．710a =-<810a =>n S 7n =74749S a==-故选：ACD10．已知两点，若直线上存在点，使得，则称该直线为“点定差直()()2,0,2,0A B -P 2PA PB -=线”，下列直线中，是“点定差直线”的有（ ） A ． B ． 1y x =+31y x =+C ． D ．24y x =+3y =+【答案】AD【分析】先求出P 点的轨迹方程为的右支，结合双曲线的渐近线斜率与选项中直线斜率2213y x -=进行比较，得到有无交点，进而求出答案.【详解】因为，故P 点的轨迹方程为双曲线的右支，其中，，则2PA PB AB -=<1a =2c =，所以双曲线为（），渐近线方程为，的斜率为222413b c a =-=-=2213y x -=0x >y =1y x =+，故与（）有交点，A 正确； 1<2213y x -=0x >的斜率，且与y 轴交点为，故与（）无交点，B 错误；31y x =+3>()0,12213y x -=0x >的斜率y 轴交点为，故与（）无交点，C 错误； 24y x =+2>()0,42213y x -=0x >（）有交点，D 正确.3y =+<2213y x -=0x >故选：AD11．已知数列为等差数列，为等比数列，的前项和为，若，{}n a {}n b {}n a n n S 16113a a a π++=，则（ ） 1598b b b =A ． 1111S π=B ． 210461sin2a ab b +=C ． 3783a a a π++=D ． 374b b +≥【答案】ACD【分析】根据题意得，，再根据等差数列与等比数列的性质依次求解即可得答案. 6a π=52b =【详解】解：因为数列为等差数列，为等比数列，，，{}n a {}n b 16113a a a π++=1598b b b =所以，即，，即，1611633a a a a π+==+6a π=315958b b b b ==52b =对于A 选项，，故正确；()1111161111112a a S a π+===对于B 选项，，所以，故错误；对于C 选项，2210646522,4a a a b b b π+====21046sinsin 12a ab b π+==设等差数列的公差为，则，故正确； {}n a d 37866663233a a a a d a d a d a π++=-++++==对于D 选项，由得，故，当且仅当时等号成52b =37,0b b >374b b +≥==372b b ==立，故正确； 故选：ACD12．棱长为2的正方体的侧面(含边界)内有一动点，则（ ）1111ABCD A B C D -11ABB A PA ．若，则 1111,1B P mB B nB A m n =++= 1110B P B D ⋅= B ．若，则11(01)A P A B λλ=<< 110C P B D ⋅= C ．若，则 ()11111111,22B P PA A E A C A D ==+ 1123E B P A ⋅=-D ．若，则存在非零向量使()1111112A E A C A D =+ 1B P 111B P A E ⋅=-【答案】BCD【分析】对于每一个选项中所出现的向量用基底表示，然后通过分析或计算数量积就可以对每一个选项进行判断.【详解】对于A ，，1111,1B P mB B nB A m n =++=则 11111111(1())B P n B B nB A B B A B B n B =+-=-+ ，111111()B P B B B A B B n BP nBA ⇒-=-⇒= 从而可知点在线段上，由于不垂直侧面，故不成立，所以A 错误； P 1BA 11B D 11ABB A 1110B P B D ⋅=对于B ，易证，，从而可知平面，111A C B D ⊥11BC B D ⊥1B D ⊥11A BC 由，可知点在线段上，因此，所以，B 正确；11(01)A P A B λλ=<< P 1BA 11B D C P ⊥110C P B D ⋅=对于C ， 11B P A E ⋅= ()()11111111111224PA AC A D PA AC A D +=+⋅⋅()()11111111111112431()6B A B AC AD AC A D B B A +=+=⨯⋅+⋅()11111111()26B B A B A D B A =+⋅+11111111111111221()6B B B B B A B A D A B A A A B D ⋅+⋅+⋅+⋅=，故C 正确； 12(0040)63=+-+=-对于D ，设，1111B P B B B A λμ=+所以11B P A E ⋅= ()()1111111111111111(222)()AC A D A B A D B B B A B B B A λμλμ+=++⋅+⋅ ()111111112(2)B B B A A B A D λμ+⋅=+11111111111111221()2B B B B B A B A D A B A D A B A λλμμ⋅+⋅+⋅+=⋅，得，从而可知不会是零向量，故D 正确.1(004)0221μμ+-+-==-=12μ=1B P 故选：BCD三、填空题13．已知圆柱的轴截面是边长为2的正方形，则圆柱的表面积为________. 【答案】6π【详解】试题分析：由题意得，所以圆柱的表面积为 22,2r h ==22+26.r rh πππ=【解析】圆柱的表面积14．已知等比数列满足：，，，则公比______. {}n a 127a =91243a =230a a <q =【答案】13-【分析】根据等比数列的通项公式可得，结合即可求出公比.891=a a q 232310a a a q =<【详解】设等比数列的公式为q ， 则，即， 891=a a q 8127243q =解得，13q =±又，所以，232310a a a q =<0q <所以.13q =-故答案为：.13-15．已知 为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点 在双O ()2222:10,0x y C a b a b-=>>)FP 曲线 上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为C P C A B OAPB ______.【答案】##120.5【分析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩C C OAPB 形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得， C a b =c ==1a b ==所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为， C 221x y -=C 0x y ±=则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，， C OA PA ⊥OB PB ⊥OA OB ⊥所以，四边形为矩形，OAPB 设点，则，不妨设点为直线上的点，()00,P x y 22001x y -=A 0x y -=.2200122OAPB x y S PA PB -=⋅==矩形故答案为：.1216．数列满足，前12项的和为298，则______．{}n a ()2141nn n a a n ++-=-1a =【答案】4【分析】当为偶数时，可求出前项中偶数项的和；当为奇数时，可用表示出前项中奇数n 12n 1a 12项的和，从而可求出的值.1a 【详解】当为偶数时，， n 241n n a a n ++=-所以，，， 247a a +=6823a a +=101239a a =+所以 ；1220418669a a a a a a +++=++当为奇数时，，即n 241n n a a n +-=-241n n a a n +=+-所以，，，，313a a =+5311114a a a =+=+7511933a a a =+=+9712760a a a =+=+，11913595a a a =+=+所以()()11226101543792811S a a a a a a a a a a a a =+++++++++++，所以. 1696205298a =++=14a =故答案为：.4四、解答题17．已知直线，以点为圆心的圆C 与直线l 相切．120l y --=()0,2-(1)求圆C 的标准方程；(2)过点的直线交圆C 于A ，B 两点，且，求的方程． ()3,1-l '8AB =l '【答案】(1) 22(2)25x y ++=(2)或 3x =4390x y +-=【分析】（1）根据点到直线的距离公式求出半径，即可得到圆C 的标方程；r （2）根据弦长公式可求出圆心C 到直线的距离，再根据点到直线的距离公式结合分类讨论思想l '即可求出．【详解】（1）设圆C 的半径为r ，∵C 与l 相切，∴，5r ==∴圆C 的标准方程为．22(2)25x y ++=（2）由可得圆心C 到直线的距离．||8AB =l '3d ==∴当的斜率不存在时，其方程为，此时圆心到的距离为3，符合条件； l '3x =(0,2)C -3x =当的斜率存在时，设，圆心C 到直线的距离，解得，l ':1(3)l y k x +=-'l '3d ==43k =-此时的方程为，即．l '41(3)3y x +=--4390x y +-=综上，的方程为或．l '3x =4390x y +-=18．已知是各项均为正数的等比数列，.{}n a *31260,16,a a a n N -==∈（I ）求数列{an }的通项公式； （II ）若数列{bn }的通项bn 满足，求{bn }的前n 项和Sn 的最小值及取得最小值时n 的值.92nb n a +=【答案】（I ）；（II ）当时，取得最小值为4nn a =4n =n S 16-【分析】（I ）设出公比，由已知列出方程求出首项和公比即可； （II ）求得，得出，利用二次函数性质可求. 29n b n =-n S 【详解】（I ）设等比数列的公比为，且，{}n a q 0q >则，解得，23111216016a a a q a a a q ⎧-=-=⎨==⎩144a q =⎧⎨=⎩4n n a ∴=（II ），，92nb n a +=()22log 9log 4929n n n b a n ∴=-=-=-，()()2272984162n n n S n n n -+-∴==-=--则当时，取得最小值为.4n =n S 16-19．已知抛物线，拋物线C 上横坐标为1的点到焦点F 的距离为3．()2:20C y px p =>（1）求抛物线C 的方程及其准线方程；（2）过的直线l 交抛物线C 于不同的两点A ，B ，交直线于点E ，直线BF 交直线()1,0-4x =-于点D ，是否存在这样的直线l ，使得？若不存在，请说明理由；若存在，求出直线=1x -//DE AF l 的方程．【答案】（1）抛物线C 的方程为，准线方程为；（2）存在直线或28y x =2x =-1)y x +．1)y x =+【分析】（1）根据抛物线的定义即可求得抛物线的标准方程以及准线飞航程.（2）设出直线的方程，联立直线的方程和抛物线的方程，消去后根据判别式l (1)y k x =+(0)k ≠y 大于零求得的取值范围，写出韦达定理.结合得到直线与直线的斜率相等，由此列k //DE AF DE AF 方程，解方程求得的值，也即求得直线的方程. k l 【详解】（1）因为横坐标为的点到焦点的距离为,所以,解得, 所以， 13132p+=4p =28y x =即准线方程为.2x =-（2）显然直线的斜率存在,设直线的方程为,.l l (1)y k x =+(0)k ≠1122(,),(,)A x y B x y 联立得，消去得.28(1)y xy k x ⎧=⎨=+⎩y 2222(28)0k x k x k +-+=由,解得所以.224(28)40k k ∆=-->k <<k <<0k ≠由韦达定理得,. 212282k x x k -+=121=x x 直线的方程为,BF 22(2)2y y x x =--又,所以,所以,1D x =-2232D y y x -=-223(1,)2yD x ---因为,所以直线与直线的斜率相等 //DE AF DE AF 又,所以.(4,3)E k --221133232y k x yx -+-=--整理得,即,121222yy k x x =+--1212(1)(1)22k x k x k x x ++=+--化简得,,即.121211122x x x x ++=+--121212122()412()4x x x x x x x x -+-=-++12+7x x =所以,整理得, 2282=7k k -289k =解得. 经检验,符合题意.k =k =所以存在这样的直线,直线的方程为或． l l 1)y x +1)y x =+20．已知数列满足，. {}n a 11a =()*11n n n n a a a a n ++-=∈N (1)求数列的通项公式；{}n a (2)记，其中表示不超过的最大整数，如，. []lg n n b a =-[]x x []0.60=[]lg 661=（i ）求、、；1b 23b 123b （ii ）求数列的前项的和. {}n b 1000【答案】(1)； 1n a n=(2)（i ），，；（ii ）. 10b =231b =1232b =1893【分析】（1）推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可求得数列的通项1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭{}n a 公式；（2）（i ）利用对数函数的单调性结合题中定义可求得、、的值；1b 23b 123b （ii ）分别解不等式、、，结合题中定义可求得数列的前0lg 1n ≤<1lg 2n ≤<2lg 3n ≤<{}n b 1000项的和.【详解】（1）解：因为，，则，可得， 11a =()*11n n n n a a a a n ++-=∈N 221a a -=212a =，可得，以此类推可知，对任意的，.331122a a -=313a =N n *∈0n a ≠由，变形为， ()11N n n n n a a a a n *++-=∈111111n n n n n n a a a a a a +++-=-=是一个以为公差的等差数列，且首项为，1n a ⎧⎫∴⎨⎩⎭1111a =所以，，因此，. ()1111n n n a =+-⋅=1n a n=（2）解：（i ），则， [][]lg lg n n b a n =-=[][]1lg100b ===，则，故，1023100<< 1lg10lg 23lg1002=<<=[]23lg 231b ==，则，故；1001231000<<2lg100lg123lg10003=<<=[]123lg1232b ==（ii ），当时，即当时，， lg10003= 0lg 1n ≤<110n ≤<[]lg 0n b n ==当时，即当时，， 1lg 2n ≤<10100n ≤<[]lg 1n b n ==当时，即当时，， 2lg 3n ≤<1001000n ≤<[]lg 2n b n ==因此，数列的前项的和为.{}n b 100009190290031893⨯+⨯+⨯+=21．如图，在四棱锥中，面．，四边形满足P ABCD -PA ⊥ABCD 2PA AB AD ===ABCD ，，，点为中点，点为边上的动点AB AD ⊥//BC AD 4BC =M PC E BC（Ⅰ）求证：平面．//DM PAB （Ⅱ）是否存在点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出线段的长度；若不存E P DE B --23BE 在，说明理由．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）存在，．23【解析】（Ⅰ）由题意有，，又，以以为空间坐标原点建立如图所示空PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥A 间直角坐标系．证明，，为共面向量即得．DM AP AB（Ⅱ）设，，求出平面的一个法向量，平面的一个法向量为，利用(2,,0)E a 04a <<PDE BDE AP法向量夹角的余弦的绝对值等于求得即可．23a 【详解】（Ⅰ）因为平面，所以，，又，所以，，PA ⊥ABCD PA AD ⊥PA AB ⊥AB AD ⊥PA AB AD 两两垂直．以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，如下图所示． A 则，，，(0,0,2)P (2,0,0)B (0,2,0)D (2,4,0)C点为中点，故 M PC (1,2,1)M 故，(1,0,1)DM =又，(0,0,2)AP =u u u r(2,0,0)AB =u u u r 所以1122DM AP AB =+u u u u r u u u r u u u r 所以，，为共面向量，平面，DM AP ABDM ⊄PAB 所以平面． //DM PAB （Ⅱ）设，(2,,0)E a 04a <<依题意可知平面的法向量为，，BDE (0,0,2)AP =u u u r (0,2,2)DP =-(2,2,0)DE a =-u u u r 设平面的法向量为，则，PDE (,,)n x y z =2202(2)0n DP y z n DE x a y ⎧⋅=-+=⎨⋅=+-=⎩令，则． 1z =2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭r 因为二面角的余弦值为，P DE B --23所以， 2cos ,3AP n AP n AP n⋅==⋅u u u r ru u u r r uuu r r ，解得或．23=1a =3a =所以存在点符合题意，E 当或时，二面角的余弦值为．1BE =3BE =P DE B --23【点睛】方法点睛：本题考查证明线面平行，考查二面角问题，解题方法是空间向量法，建立空间直角坐标系后，证明线面平行，只要证明直线的方向向量可用平面的一个基底表示即可，而二面角则是利用二面角的余弦值与二面角的两个面的法向量夹角的余弦值相等或相反求解．22．已知椭圆经过点)(2222:10y xC a ba b+=>>2⎫⎪⎪⎭(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A，B是椭圆C的上，下顶点，点P是直线上的动点，直线PA与椭圆C的另一交6y=点为E，直线PB与椭圆C的另一交点为F．证明：直线EF过定点．【答案】(1)；2219yx+=(2)证明见解析.【分析】（1）根据题意，列出的方程组，通过解方程组，即可求出答案.,a b（2）法一：设，，；当时，根据点的坐标写出直线PA的方)(,6P t)(11,E x y)(22,F x y0t≠,A P程，与椭圆方程联立，可求出点的坐标；同理可求出点的坐标，然后即可求出直线EF的方E F程，从而证明直线EF过定点.法二：首先根据时直线EF的方程为，可判断出直线EF过的定点M必在y轴上，设为0=t0x=；然后同方法一，求出点，的坐标，根据，即可求出的值.)(0,M m E F ME MF∥m【详解】（1）由题意，知，解得，．222224519a ba b cca⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩3a=1b=所以椭圆C的标准方程为．2219yx+=（2）法一：设，，，)(,6P t)(11,E x y)(22,F x y当时，直线PA的方程为，由，得．0t≠33y xt=+223399y xtx y⎧=+⎪⎨⎪+=⎩)(22120t x tx++=解得，所以．所以． 1221t x t =-+212331t y t -=+222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝同理可得．2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝所以直线EF 的斜率为， )()()()()()(22222222222222733327313399391624612991EFt t t t t t t t t k t t t t t t t t t ----+--+-++===++++++所以直线EF 的方程为，整理得， 222233932141t t t y x t t t ⎛--⎫-=+⎪ ++⎭⎝293342t y x t -=+所以直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝当时，点E ，F 在y 轴上，EF 的方程为，显然过点．0=t 0x =30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝综上，直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝法二：当点P 在y 轴上时，E ，F 分别与B ，A 重合，直线EF 的方程为， 0x =若直线EF 过定点M ，则M 必在y 轴上，可设． )(0,M m 当点P 不在y 轴上时，设，，，)()(,60P t t ≠)(11,E x y )(22,F x y 则直线PA 的方程为，由，得，33y x t =+223399y x t x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩)(22120t x tx ++=解得，所以，所以， 1221t x t =-+212331t y t -=+222233,11t t E t t ⎛⎫-- ⎪ ++⎭⎝同理可得，2226273,99t t F t t ⎛⎫- ⎪ ++⎭⎝所以，． )(222332,11m t m tME t t ⎛⎫--- ⎪=-⎪ ++⎭⎝)(22232796,99m t m t MF t t ⎛⎫-++- =⎪⎪ ++⎭⎝ 因为E ，F ，M 三点共线，所以，ME MF∥所以， )()(222222327933261919m t m m t m t tt t t t +-+---⨯=⨯++++整理得，)()(22330m t -+=因为，所以，解得，即． 230t +>230m -=32m =30,2M ⎛⎫⎪ ⎭⎝所以直线EF 过定点．30,2⎛⎫⎪ ⎭⎝。

2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（ ） A ．112B ．16C ．14D ．123．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√314．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（ ） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（ ）A ．|PF |与d 无关B ．|PF |＝dC ．|PF|=d2D ．|PF |＝2d6．过三点A （1，2），B （3，2），C （1，﹣6）的圆交y 轴于M ，N 两点，则|MN |＝（ ） A ．√3B ．2√3C ．√13D ．2√137．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p 满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p 按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n +a n +7n的最小值为（ ）A ．172B ．192C ．10D ．118．已知抛物线C ：y 2＝4x 与过焦点F 的一条直线相交于A ，B 两点，过点F 且垂直于弦AB 的直线交抛物线的准线l 于点M ，则下列结论正确的是（ ） A ．准线l 的方程是x ＝﹣2B ．以AB 为直径的圆与y 轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为3310．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√211．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)12．已知双曲线C：x2﹣y2＝4，点M为双曲线右支上的一个动点，过点M分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B两点，则（）A．双曲线的离心率为2B．存在点M，使得四边形OAMB为正方形C．四边形OAMB的面积为2D．四边形OAMB的周长最小值为2√2三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A，B，C为三个随机事件，若A与B是互斥事件，B与C是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P（A∪B）＝．14．已知抛物线C的准线与圆M：（x﹣1）2+（y+1）2＝4相切，请写出一个抛物线C的标准方程为．15．已知P（x0，y0）是圆C：（x﹣1）2+y2＝1上任意一点，则y0+1x0+1的取值范围为．16．（3分）已知数列{a n}的通项公式a n＝2n+1，记b m为{a n}在区间[m+2，2m+2）（m∈N*）内项的个数，则b4＝；使得不等式b m+1﹣b m＞1048成立的m的最小值为．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．22．（12分）已知双曲线W：2x2﹣2y2＝1与椭圆C：x 2a2+y2b2=1(a＞b＞0)的焦点相同，点P是W和C在第一象限的公共点，记W的左，右焦点依次为F1，F2，|PF2|=√22．（1）求C的标准方程；（2）设点Q在C上且在第一象限，QF1，QF2的延长线分别交C于点E1，E2，设r1，r2分别为△QF1E2，△QF2E1的内切圆半径，求r1﹣r2的最大值．2023-2024学年山东省青岛市高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知直线l 的一方向向量为(1，√3)，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°解：设直线l 的倾斜角为θ，θ∈[0°，180°），则tan θ=√3，∴θ＝60°． 故选：B ．2．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为（ ） A ．112B ．16C ．14D ．12解：甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，甲中靶的概率为34，乙中靶的概率为23，甲乙射击相互独立，则两人都中靶的概率为P =34×23=12． 故选：D ．3．已知双曲线C ：x 25−y 2b2=1的焦距为6，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为（ ）A ．√3B ．2C ．4D ．√31解：根据题意可得2√5+b 2=6，∴b 2＝4，∴双曲线的虚半轴长b ＝2， ∴根据双曲线的几何性质可得：双曲线C 的焦点到渐近线的距离为b ＝2． 故选：B ．4．某校要从高一、高二、高三共2023名学生中选取60名组成亚运会志愿者，若先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除23名，再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性（ ） A ．都相等且为602023 B ．都相等且为3100C ．不完全相等D ．都不相等解：先用简单随机抽样的方法从2023名学生中剔除20名，每个个体被抽取的概率相等， 再从剩下的2000名学生中按分层抽样的方法抽取60名，则每名学生入选的可能性为602023．故选：A ． 5．点P 在椭圆C ：x 23+y 24=1上，F （0，1），点P 到直线y ＝4的距离为d ，则（ ）A．|PF|与d无关B．|PF|＝d C．|PF|=d2D．|PF|＝2d解：∵在椭圆C：x23+y24=1中，a＝2，b=√3，c＝1，∴椭圆的上准线方程为y=a2c=4，e=ca=12∴|PF|d=e=12，∴|PF|=12d．故选：C．6．过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（）A．√3B．2√3C．√13D．2√13解：过三点A（1，2），B（3，2），C（1，﹣6）的圆，圆心分别在直线x＝2，y＝﹣2的直线上，故圆心坐标为E（2，﹣2），故半径r=|AE|=√17，故圆的方程为（x﹣2）2+（y+2）2＝17，令x＝0，解得y1=√13−2，y2=−√13−2，故|MN|＝|y1﹣y2|=2√13．故选：D．7．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几何？现有这样一个相关的问题：已知正整数p满足三三数之剩二，将符合条件的所有正整数p按照从小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，记数列{a n}的前n项和为S n，则S n+a n+7n的最小值为（）A．172B．192C．10D．11解：由题意，可知a n＝2+3•（n﹣1）＝3n﹣1，n∈N*，故数列{a n}是以2为首项，3为公差的等差数列，∴S n＝2n+n(n−1)2•3=32n2+12n，∴S n+a n+7n=32n2+12n+3n−1+7n=32n2+72n+6n=32n+6n+72≥2√3n2⋅6n+72＝2×3+72=192，当且仅当32n=6n，即n＝2时，等号成立，∴当n＝2时，S n+a n+7n取得最小值为192．故选：B．8．已知抛物线C：y2＝4x与过焦点F的一条直线相交于A，B两点，过点F且垂直于弦AB的直线交抛物线的准线l于点M，则下列结论正确的是（）A．准线l的方程是x＝﹣2B．以AB为直径的圆与y轴相切C．|AB||MF|的最小值为2D．△ABM的面积最小值为2解：由题意知，焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，即选项A错误；设直线AB的方程为x＝ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立{x=ty+1y2=4x，得y2﹣4ty﹣4＝0，所以y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4，所以x1+x2＝t（y1+y2）+2＝4t2+2，x1x2=y12⋅y224⋅4=1，所以|AB|＝x1+x2+p＝4t2+2+2＝4t2+4，线段AB的中点为（x1+x22，y1+y22），即（2t2+1，2t），其到y轴的距离为2t2+1，而以线段AB为直径的圆的半径为12|AB|＝2t2+2≠2t2+1，因此以AB为直径的圆不与y轴相切，即选项B错误；选项C，因为MF与AB垂直，所以直线MF的斜率为﹣t，其方程为y＝﹣t（x﹣1），联立{y=−t(x−1)x=−1，解得{x=−1y=2t，即M（﹣1，2t），所以点M到直线AB的距离|MF|=2√t+1=2√t2+1，所以|AB||MF|=22√t2+1=2√t2+1≥2，当且仅当t＝0时，等号成立，所以|AB||MF|的最小值为2，即选项C正确；选项D，△ABM的面积S=12|AB|•|MF|=12×（4t2+4）×2√t2+1=4(t2+1)32≥4，当且仅当t＝0时，等号成立，所以△ABM的面积最小值为4，即选项D错误．故选：C．二、多项选择题：本大题共4小题.每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9．为调研某地空气质量，连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值，依次为35，26，17，23，33，56，41，31，30，33，则（）A．这组数据的极差为39B．这组数据的众数为33C．这组数据的中位数为31或33D．这组数据的第60百分位数为33解：连续10天测得该地PM2.5（PM2.5是衡量空气质量的重要指标，单位：ug/m3）的日均值从小到大为：17，23，26，30，31，33，33，35，41，56，对于A，这组数据的极差为56﹣17＝39，故A正确；对于B，这组数据的众数为33，故B正确；对于C，这组数据的中位数为31+332=32，故C错误；对于D，10×60%＝6，∴这组数据的第60百分位数为33，故D正确．故选：ABD．10．下列有关直线与圆的结论正确的是（）A．方程kx﹣y+3k+1＝0表示的直线必过点（﹣3，1）B．过点（2，5）且在x，y轴上的截距相等的直线方程为x+y﹣7＝0C．圆C1：(x−1)2+y2=1和圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0的公共弦所在的直线方程为x+2y﹣2＝0D．若圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，则b=−1±√2解：对于A：因为kx﹣y+3k+1＝0，所以y﹣1＝k（x+3），即直线过点（﹣3，1），故A正确；对于B：设直线y＝kx+b，代入点（2，5）得2k+b＝5，令x＝0，则y＝b＝5﹣2k，令y＝0，则x=−bk=−5−2kk，由5﹣2k=−5−2kk，得（5﹣2k）（k+1）＝0，所以5﹣2k＝0或k+1＝0，解得k=52或k＝﹣1，当k＝﹣1时，b＝7，所以y＝﹣x+7，b=−1±√2当k=52时，b＝0，所以y=52x，故B不正确；对于C：已知圆C1：(x−1)2+y2=1，即x2+y2﹣2x＝0，圆C2：x2+y2−4x−4y+4=0，两式相减得：2x+4y﹣4＝0，即x+2y﹣2＝0，故C正确；对于D；因为圆（x﹣1）2+y2＝4上恰有3个点到直线y＝x+b的距离等于1，所以圆心（1，0）到直线的距离等于半径的一半，即√2=1，解得b=−1±√2，故D正确．故选：ACD．11．在等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则（）A．{a n a n+1}的公比为9B．{log3a n+1}的前20项和为210C．{a n}的前20项积为3200D．∑n k=1(a k+a k+1)=2(3n−1−1)解：等比数列{a n}中，a1＝1，a4＝27，则q3=a4a1=27，即q＝3，所以a n＝3n﹣1，A ：a n a n+1a n−1a n=a n+1a n−1=9，A 正确；B ：log 3a n +1＝lo g 33n =n ，故前20项和为1+2+ (20)20(1+20)2=210，B 正确； C ：{a n }的前20项积为1×3×32×…×319＝3190，C 错误； D ：∑ n k=1（a k +a k +1）＝a 1+a 2+…+a n +（a 2+a 3+…+a n +1）=1−3n1−3+3(1−3n)1−3＝2（3n ﹣1），D 错误； 故选：AB ．12．已知双曲线C ：x 2﹣y 2＝4，点M 为双曲线右支上的一个动点，过点M 分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B 两点，则（ ） A ．双曲线的离心率为2B ．存在点M ，使得四边形OAMB 为正方形C ．四边形OAMB 的面积为2D ．四边形OAMB 的周长最小值为2√2解：对于A ，易知双曲线C 为等轴双曲线，a ＝b ＝2，c =√a 2+b 2=2√2，则离心率为e =ca=√2，故A 错误；对于B ，双曲线C ：x 2﹣y 2＝4的渐近线为y ＝±x ， 则四边形OAMB 为矩形，又双曲线右顶点为(√2，0)， (√2，0) 到直线y ＝±x 的距离均为√2√2=1，故矩形OAMB 为正方形，即存在点M ，即M 为双曲线右顶点时，使得四边形OAMB 为正方形，故B 正确；对于C ，设M （x 0，y 0），则x 02−y 02=4，由点到直线的距离得|MA |=00√2，|MB |=00√2， 四边形OAMB 的面积为|MA |•|MB |=00√2•00√2=x 02−y 022=2，故C 正确；对于D ，根据双曲线的对称性，不妨设M 在第一象限，B 在第四象限，则x 0＞y 0，x 0≥2， 因为|MA |=002，|MB |=002，所以|MA |+|MB |=√2x 0≥2√2， 四边形OAMB 的周长为2（|MA |+|MB |）≥4√2，周长最小值为4√2，故D 错误． 故选：BC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．设A ，B ，C 为三个随机事件，若A 与B 是互斥事件，B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，则P （A ∪B ）＝12． 解：设A ，B ，C 为三个随机事件，A 与B 是互斥事件， B 与C 是相互对立事件，且P(A)=16，P(C)=23，∴P （B ）＝1﹣P （C ）＝1−23=13，则P （A ∪B ）＝P （A ）+P （B ）=16+13=12．故答案为：12．14．已知抛物线C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，请写出一个抛物线C 的标准方程为 y 2＝4x （答案不唯一） ．解：因为抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆M ：（x ﹣1）2+（y +1）2＝4相切，当焦点在x 轴正半轴时，可得准线方程为x ＝﹣1，可得抛物线方程为：y 2＝4x （本题答案不唯一）．（y 2＝4x ，y 2＝﹣12x ，x 2＝﹣4y ，x 2＝12y ，中任意一个即可）．故答案为：y 2＝4x （答案不唯一）．15．已知P （x 0，y 0）是圆C ：（x ﹣1）2+y 2＝1上任意一点，则y 0+1x 0+1的取值范围为 [0，43] ．解：设k =y 0+1x 0+1，变形可得k （x 0+1）﹣y 0﹣1＝0， 则k =y 0+1x 0+1的几何意义为直线k （x +1）﹣y ﹣1＝0的斜率， P （x 0，y 0）是圆C ：x 2+y 2﹣2x ＝0上任意一点， 则√1+k 2≤1，解得0≤k ≤43，即k =y 0+1x 0+1的取值范围为[0，43]．故答案为：[0，43]．16．（3分）已知数列{a n }的通项公式a n ＝2n +1，记b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数，则b 4＝ 6 ；使得不等式b m +1﹣b m ＞1048成立的m 的最小值为 12 ． 解：∵a n ＝2n +1，b m 为{a n }在区间[m +2，2m +2）（m ∈N *）内项的个数， ∴22n ﹣1+1＝2n +1+2（b 2n ﹣1﹣1）⇒b 2n−1=22n−2−n +1=22n−1−1−2n−12+12， 22n +1＝2n +3+2（b 2n ﹣1）⇒b 2n =22n−1−n =22n−1−2n2，∴b n=2n−1−n2+1−(−1)n4，b4＝6，b m+1﹣b m＞1048⇒2m−m+12+1−(−1)m+14−2m−1+m2−1−(−1)m4＞1048⇒2m+（﹣1）m＞2097，∴m的最小值为12．故答案为：6，12．四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（10分）已知点A（﹣2，1），B（2，4），C（2，1）中恰有两个点在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上．（1）求E的标准方程；（2）若点M（x1，y1），N（x2，y2）在E上，且x1x2＝﹣4，证明：直线MN过定点．（1）解：由抛物线的对称性可知点A（﹣2，1），C（2，1）在抛物线E：x2＝2py（p＞0）上，所以4＝2p，即p＝2，故抛物线E的标准方程为x2＝4y．（2）证明：设直线MN为y＝kx+b，联立{y=kx+bx2=4y，得x2﹣4kx﹣4b＝0，因为M（x1，y1），N（x2，y2），所以x1x2＝﹣4b＝﹣4，即b＝1，所以直线MN为y＝kx+1，过定点（0，1）．18．（12分）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝2，a n+1＝S n+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=1log2a n⋅log2a n+2，记数列{b n}的前n项和为T n，证明T n＜34．解：（1）∵a n+1＝S n+2，∴当n≥2时，a n＝S n﹣1+2，两式相减，得a n+1﹣a n＝a n，即a n+1＝2a n，又∵a1＝2，∴a2＝S1+2＝2+2＝4，满足上式，即数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以a n=2n；证明：（2）∵b n=1log2a n⋅log2a n+2=1log22n⋅log22n+2=1n(n+2)=12(1n−1n+2)，∴T n＝b1+b2+⋯+b n=12[(1−13)+(12−14)+⋯+(1n−1−1n+1)+(1n−1n+2)]=12（1+12−1n+1−1n+2）=34−12(1n+1+1n+2)＜34．19．（12分）已知点A（﹣1，0），B（2，0），动点M满足2|MA|＝|MB|．（1）求动点M的轨迹方程；（2）一条光线从点C（2，1）射出，经x轴反射与动点M的轨迹交于E，F两点，其中|EF|=2√3，求反射光线所在直线的方程．解：（1）设M（x，y），又A（﹣1，0），B（2，0），且2|MA|＝|MB|，∴2√(x+1)2+y2=√(x−2)2+y2，两边平方化简可得（x+2）2+y2＝4，∴点M的轨迹方程为（x+2）2+y2＝4；（2）设点C（2，1）关于x轴的对称点为P，则P（2，﹣1），根据对称性设反射光线所在直线l的方程为y+1＝k（x﹣2），k＜0，由（1）知点M的轨迹为圆E：（x+2）2+y2＝4，圆心E（﹣2，0），半径r＝2，又反射光线所在直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0被圆E所截弦|EF|=2√3，∴圆心E（﹣2，0）到直线l：kx﹣y﹣1﹣2k＝0的距离d=√r2−(|EF|2)2=√4−3=1，又d=|4k+1|√k+1=1，k＜0，解得k=−815，∴反射光线所在直线l的方程为y+1=−815（x﹣2），即8x+15y﹣1＝0．20．（12分）现从某校高二年级的等级考物理成绩中随机取100名学生的原始成绩（满分100分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求这100名学生的原始成绩的中位数；（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，再从这7人中选取2人，求这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率；（3）若在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．求在[50，70）内的平均成绩z，并估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差s2．解：（1）由频率分布直方图得：[40，70）的频率为（0.005+0.010+0.020）×10＝0.35，[40，80）的频率为（0.005+0.010+0.020+0.030）×10＝0.65，∴这100名学生的原始成绩的中位数为：70+0.5−0.350.30×10=75．（2）从原始成绩在[80，90）和[90，100]内的学生中通过分层随机抽样的方法共抽取7人，则[80，90）内抽取7×0.0250.025+0.010=5人，[90，100]内抽取7×0.0100.025+0.010=2人，再从这7人中选取2人，基本事件总数n=C72=21，这2人的原始成绩都在[80，90）内包含的基本事件个数m=C52=10，∴这2人的原始成绩都在[80，90）内的概率为P=mn=1021；（3）在[50，60）内数据的平均成绩x=57，方差S12=8；在[60，70）内数据的平均成绩y=63，方差S22=11．在[50，60）内有100×0.010×10＝10人，在[60，70）内有100×0.020×10＝20人，∴在[50，70）内的平均成绩z=57×10+63×2030=61，估计在[50，70）内数据的原始成绩的方差为：s2=130{10×[8+（61﹣57）2]+20×[11+（61﹣63）2]}＝8．21．（12分）在通信技术中由0和1组成的序列有着重要作用，序列中数的个数称为这个0﹣1序列的长度．如010*******是一个长度为10的0﹣1序列．长为n的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列个数设为a n，长度为1的0﹣1序列为：0，1，都满足数列{a n}，a1＝2；长度为2且满足数列{a n}的0﹣1序列为：00，01，10，a2＝3．（1）求a3，a4；（2）求数列{a n}中a n+2，a n+1，a n的递推关系；（3）记S n是数列{a n}的前n项和，证明：a n+2﹣S n为定值．解：（1）由题意知：a3＝5，设长为4的0﹣1序列中任何两个1不相邻的序列有a4个，考虑最后一个数：若最后一位是0，则只要前3位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a3个，若最后一位是1，则倒数第二位是0，只要前2位任何两个1不相邻即可，满足要求的序列有a2个，所以a4＝a3+a2＝8；（2）考虑长度为n+2的0﹣1序列最后一个数：如果最后一位是0，则只要前n+1位任何两个1不相邻，则满足要求的序列有a n+1个；若最后一位是1，则倒数第二位是0，于是只要前n位任何两个1不相邻即可，则满足要求的序列有a n个，所以a n+2＝a n+1+a n；证明：（3）因为a n +2＝a n +1+a n ，所以（a n +3﹣S n +1）﹣（a n +2﹣S n ）＝a n +3﹣a n +2﹣（S n +1﹣S n ）＝a n +1﹣a n +1＝0， 所以数列{a n +2﹣S n }是常数列，所以a n +2﹣S n ＝a 3﹣S 1＝3为定值．22．（12分）已知双曲线W ：2x 2﹣2y 2＝1与椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的焦点相同，点P 是W 和C 在第一象限的公共点，记W 的左，右焦点依次为F 1，F 2，|PF 2|=√22．（1）求C 的标准方程； （2）设点Q 在C 上且在第一象限，QF 1，QF 2的延长线分别交C 于点E 1，E 2，设r 1，r 2分别为△QF 1E 2，△QF 2E 1的内切圆半径，求r 1﹣r 2的最大值．解：（1）由题意知：{|PF 1|−|PF 2|=√2|PF 1+|PF 2|=2a |PF 2|=√22，所以a =√2，又因为√a 2−b 2=1， 所以b ＝1，则椭圆的标准方程为x 22+y 2=1；（2）设Q （x 0，y 0），E 1（x 1，y 1），E 2（x 2，y 2），显然x 0＞0，y 0＞0，y 1＜0，y 2＜0， 由椭圆定义知：△QF 1E 2，△QF 2E 1的周长均为l =4√2，所以r 1=2S △QF1E 2l =|F 1F 2|(y 0−y 2)l =0222，同理r 2=0122，所以r 1−r 2=1222， 设直线QF 1：x ＝my ﹣1，m =x 0+1y 0， 将直线QF 1方程代入椭圆C 的方程x 22+y 2=1得：（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0， 所以y 0y 1=−1m 2+2=−1(x 0+1y 0)2+2=−y 02x 02+2x 0+1+2y 02=−y 023+2x 0， 即y 1=−y 03+2x 0，同理y 2=−y 03−2x 0， 所以r 1−r 2=1222=√2x 0y 09−4x 02=√2x 0y 0x 022+9y 02≤√2x 002√x 02×9y 02=13， 当且仅当x 0=3√55，y 0=√1010时等号成立， 所以r 1﹣r 2的最大值为13．。

2018-2019学高二（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．D．2．某位同学将自己近10次的数学考试成绩一一记录进行分析．10次的成绩分别记为x1，x2，…x10，下面给出的指标可以用来评估该同学数学成绩稳定程度的是（）A．x1，x2，…x10的平均数B．x1，x2，…x10的标准差C．x1，x2，…x10的最大值D．x1，x2，…x10的中位数3．两枚骰子，设出现的点数之和分别为9，10，11的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1＜p2＝p3B．p1＞p2＞p3C．p1＝p2＞p3D．p1＞p2＝p34．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．5．已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（）A．B．3 C．D．6．下列命题正确的是（）A．到x轴距离为3的点的轨迹方程是x＝3B．方程表示的曲线C是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线C．方程|x﹣y|+（xy﹣1）2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线D．3x2﹣2y2﹣3x+m＝0通过原点的充要条件是m＝07．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 是FN的中点，则M点的纵坐标为（）A．2B．4 C．±2D．±48．青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为（）A．B．C．D．9．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与（O为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（）A．B．C．D．10．有下列四个命题：①已知和是两个互相垂直的单位向量，＝2+3，＝k﹣4，且⊥，则实数k＝6；②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（+）•（+）＝1；③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；④已知＝﹣2+，＝﹣+3+2，＝﹣3+7（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个11．过双曲线的右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若y轴上存在一点D（0，b），使得，则此双曲线的离心率的值是（）A．B．C．2 D．12．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝3，抛物线的准线l与x轴交与点C，AA1垂直l于点A1，若四边形AA1CF的面积为，则准线l的方程为（）A．B．C．x＝﹣2 D．x＝﹣1二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∀x∈R，x2﹣2ax﹣1≥0”的否定是．14．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．15．高二级部期中考试前组织了一次模拟，并随机抽取了部分高二学生的数学检测成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩μ＝．16．已知椭圆C1：+＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）相同的焦点F1，F2（F1，F2分别为左右焦点），若点P是C1和C2在第一象限内的交点，|F1F2|＝|PF2|，设C1和C2的离心率分别是e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是三、解答题（本大题共7小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．盒子中装有大小相同的3个编号分别为A1，A2，A3的红球，2个编号为B1，B2的黑球，1个号为C1的黄球，从盒子中任就摸出4个球，求至少有2个红球的概率．18．已知集合，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．19．为了调查消费者的维权意识，青岛二中的学生记者在五四广场随机调查了120名市民，按他们的年龄分组：第1组[20.30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70），得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若要从被调查的市民中选1人采访，求被采访人恰好在第2组或第5组的概率；（Ⅱ）已知第1组市民中男性有2人，学生要从第1组中随机抽取3名市民组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．20．PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5浓度的数据如下表：（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程＝•x +； （Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM 2.5的浓度为多少？（参考公式：＝，＝﹣•；参考数据：x i ＝540，y i＝420）21．已知抛物线E ：x 2＝2py （p ＞0）的焦点为F ，点M 是直线y ＝x 与抛物线E 在第一象限内的交点，且|MF |＝5． （1）求抛物E 的方程．（2）直线l 与抛物线E 相交于两点A ，B ，过点A ，B 分别作AA 1⊥x 轴于A 1，BB 1⊥x 轴于B 1，原点O 到直线l 的距离为1．求的最大值．22．如图，已知椭圆C ：+＝1（a ＞b ＞0）的右焦点为F ，A （2，0）是椭圆的右顶点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l与椭圆交于另一点B，垂直于l的直线l′与直线l交于点M，与y 轴交于点N，若FB⊥FN且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆无公共点，过抛物线C上一点M作圆D的两条切线，切点分别为E，F，当点M在抛物线C上运动时，直线EF都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．双曲线的焦点坐标是（）A．B．C．D．解：根据题意，双曲线，其中a＝2，b＝1，其焦点在x轴上，则c＝，则双曲线的焦点坐标为（±，0）；故选：C．2．某位同学将自己近10次的数学考试成绩一一记录进行分析．10次的成绩分别记为x1，x2，…x10，下面给出的指标可以用来评估该同学数学成绩稳定程度的是（）A．x1，x2，…x10的平均数B．x1，x2，…x10的标准差C．x1，x2，…x10的最大值D．x1，x2，…x10的中位数解：平均数，中位数估计数据的集中程度，方差和标准差估计数据的稳定程度，而最大值并不能很好的估计稳定程度，故选：B．3．两枚骰子，设出现的点数之和分别为9，10，11的概率分别为p1，p2，p3，则（）A．p1＜p2＝p3B．p1＞p2＞p3C．p1＝p2＞p3D．p1＞p2＝p3解：先后抛掷两枚骰子，出现的点数共有：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（3，5），（3，6），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4），（4，5），（4，6），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），（5，5），（5，6），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），（6，6），共36种P1＝＞P2＝＞P3＝，故选：B．4．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：则7个剩余分数的方差为（）A．B．C．36 D．解：∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87，90，90，91，91，94，90+x．∴这组数据的平均数是＝91，∴x＝4．∴这这组数据的方差是（16+1+1+0+0+9+9）＝．故选：B．5．已知a＞0，椭圆x2+a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为（）A．B．3 C．D．解：x2+a2y2＝2a可变为，a＞0，由题意得，解得a＝3．或解得a＝故选：C．6．下列命题正确的是（）A．到x轴距离为3的点的轨迹方程是x＝3B．方程表示的曲线C是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线C．方程|x﹣y|+（xy﹣1）2＝0表示的曲线是一条直线和一条双曲线D．3x2﹣2y2﹣3x+m＝0通过原点的充要条件是m＝0解：A选项：到x轴距离为3的点的轨迹方程是y＝±3，故A错误；B选项：方程表示的曲线C是直角坐标平面上第一、三象限的角平分线，除去原点，故B错误；C选项：方程|x﹣y|+（xy﹣1）2＝0，即x＝y且xy＝1，即点（1，1）或（﹣1，﹣1）；故C错误；D选项：3x2﹣2y2﹣3x+m＝0通过原点，则m＝0；当m＝0时3x2﹣2y2﹣3x＝0通过原点，故D正确．故选：D．7．已知点F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M 是FN的中点，则M点的纵坐标为（）A．2B．4 C．±2D．±4解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N．若M为FN的中点，可知M的横坐标为：1，则M的纵坐标为：．故选：C．8．青岛二中戏剧节中，6个MT除人文MT有两个节目参加决赛外，其他MT各有一个节目参加决赛，一共7个节目，在决赛中，要从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，则人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为（）A．B．C．D．解：从这7支队伍中随机抽取两支队伍比赛，总共有种可能，人文MT两支队伍同时被抽到的共有2种情况，所以人文MT两支队伍不同时被抽到的概率为1﹣，故选：B．9．已知A（1，0，0），B（0，﹣1，1），+λ与（O为坐标原点）的夹角为30°，则λ的值为（）A．B．C．D．解：，∴，，∴，∴，则λ＞0，∴．故选：C．10．有下列四个命题：①已知和是两个互相垂直的单位向量，＝2+3，＝k﹣4，且⊥，则实数k＝6；②已知正四面体O﹣ABC的棱长为1，则（+）•（+）＝1；③已知A（1，1，0），B（0，3，0），C（2，2，3），则向量在上正投影的数量是；④已知＝﹣2+，＝﹣+3+2，＝﹣3+7（{，，}为空间向量的一个基底），则向量，，不可能共面．其中正确命题的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个解：①∵＝（2+3）•（k）＝2k（）2+（3k﹣8）•﹣12（）2＝2k﹣12＝0，解得k＝6，所以①正确．②（）•（+）＝＝1×1×cos60°+1×1×cos90°+1×1×cos90°+1×1×cos60°+0+0＝1，所以②正确．③，，向量在上正投影＝＝＝，所以③正确．④假设向量，，共面，则＝x+y，所以＝x（﹣+3+2）+y（﹣3+7），＝（﹣x﹣3y）+（3x+7y）+2x，所以1＝﹣x﹣3y，﹣2＝3x+7y，1＝2x，得x＝，y＝﹣，所以向量，，共面，所以④不正确．故选：C．11．过双曲线的右焦点且垂直于X轴的直线与双曲线交于A，B 两点，若y轴上存在一点D（0，b），使得，则此双曲线的离心率的值是（）A．B．C．2 D．解：双曲线的右焦点F2（c，0），令x＝c，可得y＝±，可得A（c，﹣），B（c，），又D（0，b），∠BDA＝90°，即＝0，可得：（c，）（c，﹣﹣b）＝0，可得c2+b2﹣＝0，可得e4﹣4e2+2＝0，e＞1，可得e＝．故选：B．12．已知过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，且＝3，抛物线的准线l与x轴交与点C，AA1垂直l于点A1，若四边形AA1CF的面积为，则准线l的方程为（）A．B．C．x＝﹣2 D．x＝﹣1解：由题意得抛物线的准线方程：x＝﹣，焦点坐标F（，0），设A（x，y），y＞0，B（x'，y'），y'＜0，＝3，∴（﹣x，﹣y）＝3（x'﹣，y'）∴x'＝p﹣x，y'＝﹣y，直线AB的斜率存在且不为零，设x＝my+，代入抛物线方程：y2＝2px整理得：y2﹣2pmx ﹣p2＝0，∴y+y'＝2pm，而y'＝﹣y∴y＝，y'＝﹣，x＝+，点A（x，y）在抛物线上可得：3p2＝2p（），∴m＝1，四边形AA1CF的面积为，而四边形AA1CF是直角梯形，所以面积为：•（|AA1|+|CF|）•y＝6，而|AA1|＝x+＝mp+p＝2p，|CF|＝p，∴|AA1|+|CF|＝3p，∴•3p•p＝6∴p＝2，所以准线方程：x＝﹣1．故选：D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）13．命题“∀x∈R，x2﹣2ax﹣1≥0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2ax0﹣1＜0 ．解：命题为全称命题，则命题“∀x∈R，x2﹣2ax﹣1≥0”的否定是∃x0∈R，x02﹣2ax0﹣1＜0，故答案为：∃x0∈R，x02﹣2ax0﹣1＜0．14．青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，再从5位同学中选出2名一等奖记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A的概率为．解：青岛二中高一高二高三三个年级数学MT的学生人数分别为240人，240人，120人，现采用分层抽样的方法从中抽取5名同学参加团队内部举办的趣味数学比赛，则高一学生抽取：5×＝2，高二学生抽取：5×＝2，高三学生抽取：5×＝1，再从5位同学中选出2名一等奖，基本事件个数n＝＝10，记A＝“两名一等奖来自同一年级”，则事件A包含的基本事件个数m＝＝2，∴事件A的概率为p＝＝＝．故答案为：．15．高二级部期中考试前组织了一次模拟，并随机抽取了部分高二学生的数学检测成绩绘制成如图所示的频率分布直方图．根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩μ＝103.2 ．解：根据频率分布直方图，估计该次检测的平均成绩：μ＝65×0.005×10+75×0.008×10+85×0.012×10+95×0.015×10+105×0.024×10+115×0.018×10+125×0.010×10+135×0.005×10+145×0.003×10＝103.2．故答案为：103.2．16．已知椭圆C1：+＝1（a1＞0，b1＞0）与双曲线C2：﹣＝1（a2＞0，b2＞0）相同的焦点F1，F2（F1，F2分别为左右焦点），若点P是C1和C2在第一象限内的交点，|F1F2|＝|PF2|，设C1和C2的离心率分别是e1，e2，则e2﹣e1的取值范围是（，+∞）解：设椭圆与双曲线的焦距为|F1F2|＝2c，|PF1|＝t，由题意可得，∴t+2c＝2a1，t﹣2c＝2a2，∴t＝2a1﹣2c，t＝2a2+2c，∴2a1﹣2c＝2a2+2c，∴a1﹣a2＝2c，∴，e1＝，则e2﹣e1＝e2﹣＝＝，∵e2＞1，∴0＜＜1，则∈（0，3），∴e2﹣e1∈（，+∞）．故答案为：（，+∞）．三、解答题（本大题共7小题，满分70分，解答须写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．盒子中装有大小相同的3个编号分别为A1，A2，A3的红球，2个编号为B1，B2的黑球，1个号为C1的黄球，从盒子中任就摸出4个球，求至少有2个红球的概率．解：根据题意，从盒子中任意摸出4个球，总共有＝360种，从盒子中任意摸出4个球，只有2个红球共有3×3×24＝216种，从盒子中任意摸出4个球，有3个红球共有1×3×24＝72种，所以至少有2个红球的概率为＝．18．已知集合，命题p：t∈A，命题q：t∈B，并且命题p是命题q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．解：∵y＝x2﹣3x+1，x，∴当x＝时，y min＝（）2﹣3×+1＝﹣，当x＝﹣时，y max＝（﹣）2﹣3×（﹣）+1＝，∴集合A＝[﹣，]，∵|x﹣m|≤1，∴m﹣1≤x≤m+1，∴集合B＝[m﹣1，m+1]，∵命题p是命题q的必要而不充分条件，∴B⫋A，∴，∴﹣，∴实数m的取值范围为：[﹣，]．19．为了调查消费者的维权意识，青岛二中的学生记者在五四广场随机调查了120名市民，按他们的年龄分组：第1组[20.30），第2组[30，40），第3组[40，50），第4组[50，60），第5组[60，70），得到的频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）若要从被调查的市民中选1人采访，求被采访人恰好在第2组或第5组的概率；（Ⅱ）已知第1组市民中男性有2人，学生要从第1组中随机抽取3名市民组成维权志愿者服务队，求至少有两名女性的概率．解：（Ⅰ）设第2组[30，40）的频率为f2＝1﹣（0.005+0.01+0.02+0.03）×10＝0.35；第4组的频率为0.01×10＝0.1所以被采访人恰好在第2组或第5组的概率为P1＝0.35+0.1＝0.45；（Ⅱ）设第1组[20，30）的频数n1，则n1＝120×0.005×10＝6，记第1组中的男性为x 1，x 2，女性为y 1，y 2，y 3，y 4随机抽取3名市民的基本事件是：（x 1，x 2，y 1），（x 1，x 2，y 2），（x 1，x 2，y 3），（x 1，x 2，y 4）（x 1，y 2，y 1），（x 1，y 3，y 2），（x 1，y 1，y 3），（x 1，y 4，y 1），（x 1，y 2，y 4），（x 1，y 3，y 4），（x 2，y 2，y 1），（x 2，y 3，y 2），（x 2，y 1，y 3），（x 2，y 4，y 1），（x 2，y 2，y 4），（x 2，y 3，y 4），（y 1，y 2，y 3），（y 1，y 2，y 4），（y 2，y 3，y 4），（y 1，y 3，y 4）共20种其中至少有两名女性的基本事件是：（x 1，y 2，y 1），（x 1，y 3，y 2），（x 1，y 1，y 3），（x 1，y 4，y 1），（x 1，y 2，y 4），（x 1，y 3，y 4），（x 2，y 2，y 1），（x 2，y 3，y 2），（x 2，y 1，y 3），（x 2，y 4，y 1），（x 2，y 2，y 4），（x 2，y 3，y 4），（y 1，y 2，y 3），（y 1，y 2，y 4），（y 2，y 3，y 4），（y 1，y 3，y 4）共16种， 所以至少有两名女性的概率为．20．PM 2.5是指空气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物（也称可入肺颗粒物），为了探究车流量与PM 2.5的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与PM 2.5浓度的数据如下表：（Ⅰ）根据上表数据，用最小二乘法，求出y 关于x 的线性回归方程＝•x +； （Ⅱ）若周六同一时间段车流量200万辆，试根据（Ⅰ）求出的线性回归方程，预测此时PM 2.5的浓度为多少？（参考公式：＝，＝﹣•；参考数据：x i ＝540，y i＝420） 解：（Ⅰ）×（100+102+108+114+116）＝108，（78+80+84+88+90）＝84．＝（﹣8）×（﹣6）+（﹣6）×（﹣4）+0+6×4+8×6＝144，＝（﹣8）2+（﹣6）2+0+62+82＝200．∴＝，＝84﹣0.72×108＝6.24．∴y关于x的线性回归方程为＝0.72x+6.24．（II）当x＝200时，＝0.72×200+6.24＝150.24．∴此时PM2.5的浓度为150.24微克/立方米．21．已知抛物线E：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，点M是直线y＝x与抛物线E在第一象限内的交点，且|MF|＝5．（1）求抛物E的方程．（2）直线l与抛物线E相交于两点A，B，过点A，B分别作AA1⊥x轴于A1，BB1⊥x轴于B1，原点O到直线l的距离为1．求的最大值．解：（1）设M（x，y）（x＞0），联立方程组：解得：x＝2p，抛物线中，准线方程：x＝﹣，到焦点距离等于到准线的距离，|MF|＝5，∴2p﹣（﹣）＝5，解得：p＝2，所以抛物线方程为：x2＝4y；（2）由题意可得直线l的斜率一定存在，设l的方程为：y＝kx+b，b＞0，原点O到直线l的距离为1得：1＝⇒k2＝b2﹣1，A（x，y），y＞0，B（x'，y'），y'＞0，联立方程组：得：x2﹣4kx﹣4b＝0，△＝16k2+16b＞0，即k2+b＞0且x+x'＝4k，xx'＝﹣4b，∴y+y'＝k（x+x'）+2b＝4k2+2b＝4b2+2b﹣4，yy'＝＝b2，而+＝＝＝＝﹣4（）2++4，当＝时最大且为：，即的最大值为：．22．如图，已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，A（2，0）是椭圆的右顶点，过F且垂直于x轴的直线交椭圆于P，Q两点，且|PQ|＝3．（1）求椭圆的方程；（2）过点A的直线l与椭圆交于另一点B，垂直于l的直线l′与直线l交于点M，与y 轴交于点N，若FB⊥FN且|MO|＝|MA|，求直线l的方程．解：（1）由得：a＝2，b＝，所以椭圆方程为+＝1，（2）由于直线l过点A，可设l方程为：x＝my+2，由题意可知m≠0，与直线PQ：x＝1联立，得M（1，﹣），直线MN与直线l垂直，可得直线MN方程为：y＝﹣m（x﹣1）﹣＝﹣mx+m﹣令x＝0．得N（0，m﹣），设b（my0+2，y0），FB⊥FN，所以•＝0，即y0＝﹣m…①，由B点在椭圆上，带入椭圆方程得：+＝1…②，联立①②，得m＝±，所以直线l方程为：x＝±y+2，23．已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆无公共点，过抛物线C上一点M作圆D的两条切线，切点分别为E，F，当点M在抛物线C上运动时，直线EF都不通过的点构成一个区域，求这个区域的面积的取值范围．解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）与圆无公共点，可得x2﹣px++2px＝4即x2+px+﹣4＝0无非负数解，即有△＝p2﹣4（﹣4）＝16，解得x＝或，可得p＞4，π设M（，y0）总在圆D外部，即（﹣）2+y02＞4对一切实数y0都成立，由（﹣）2+y02＝++≥，即＞4，即p＞4成立，点E，F在圆上，也在以D（，0），M（，y0）为直径的圆上．即在（x﹣）（x﹣）+y（y﹣y0）＝0上，上面两个圆的方程相减可得：（﹣）x﹣y0y++4﹣＝0，即为直线EF的方程，化为y02（﹣）﹣y0y+（x+4﹣）＝0，x≠，关于y0的二次方程有实数根，∴△＝y2﹣4（﹣）（x+4﹣）≥0，即x2+y2﹣x+≥0，即直线EF不经过圆Gx2+y2﹣x+＝0的内部的每一个点．当M运动时，直线EF都不通过的点构成一个区域是圆G，这个区域的面积是π•＝，取值范围是（0，π）．。

山东省青岛市崂山区第二中学2018年高二数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知椭圆和双曲线，给出下列命题：ks*5@u①对于任意的正实数，曲线都有相同的焦点；②对于任意的正实数，曲线都有相同的离心率；③对于任意的非零实数，曲线都有相同的渐近线；④对于任意的非零实数，曲线都有相同的离心率．其中正确的为（）A．①③ B．①④ C．②③ D．②④参考答案：C略2. 某人要制作一个三角形,要求它的三条高的长度分别为,则此人（）A．不能作出这样的三角形B．能作出一个锐角三角形C．能作出一个直角三角形D．能作出一个钝角三角形参考答案：D3. 如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度随时间变化的图象可能是( )参考答案：B略4. 函数的图象如图，其中、为常数，则下列结论正确的是（）A. B. C. D. 参考答案：A5. 曲线C：y=e x同曲线C在x=0处的切线及直线x=2所围成的封闭图形的面积为（）A．e+1 B．e﹣1 C．e2﹣1 D．e2﹣5参考答案：D【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】求出函数的导数，可得切线的斜率和切点，由斜截式方程可得切线的方程，分别作出曲线和切线及x=2，得到封闭图形．再由定积分（e x﹣x﹣1）dx，计算即可得到所求面积．【解答】解：y=e x的导数为y′=e x，可得在x=0处的切线斜率为k=1，切点为（0，1），可得切线的方程为y=x+1，分别作出曲线和切线及x=2，得到如图的封闭图形．则封闭图形的面积为（e x﹣x﹣1）dx=（e x﹣x2﹣x）|=（e2﹣2﹣2）﹣（e0﹣0﹣0）=e2﹣5．故选：D．6. 已知f(x)＝a ln x＋x2(a>0)．若对任意两个不等的正实数x1，x2都有>2恒成立，则a的取值范围是 ()．A．(0,1] B．(1，＋∞)C．(0,1) D．[1，＋∞)参考答案：D由k＝知，f′(x)＝＋x≥2，x∈(0，＋∞)恒成立，即a≥x(2－x)恒成立．∵x(2－x)的最大值为1，∴a≥1.7. 焦点为，经过点的双曲线标准方程为A. B. C. D.参考答案：A8. 条件，条件，则是的（）（A）充分非必要条件（B）必要不充分条（C）充要条件（D）既不充分也不必要的条件参考答案：A略9. 已知一个几何体的三视图如图所示，且该几何体的体积为，则a的值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的体积即可．【详解】解：由三视图可知，几何体的直观图如图：是一个三棱锥和一个三棱柱的组合体，底面都是的等腰直角三角形，高为，所以体积为：，解得．故选：A．【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键，属于简单题．10. 已知函数，，且，当时，是增函数，设，，，则、、的大小顺序是（）。

青岛市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 已知四个函数f （x ）=sin （sinx ），g （x ）=sin （cosx ），h （x ）=cos （sinx ），φ（x ）=cos （cosx ）在x ∈[﹣π，π]上的图象如图，则函数与序号匹配正确的是（）A ．f （x ）﹣①，g （x ）﹣②，h （x ）﹣③，φ（x ）﹣④B ．f （x ）﹣①，φ（x ）﹣②，g （x ）﹣③，h （x ）﹣④C ．g （x ）﹣①，h （x ）﹣②，f （x ）﹣③，φ（x ）﹣④D ．f （x ）﹣①，h （x ）﹣②，g （x ）﹣③，φ（x ）﹣④2．已知双曲线﹣=1的一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，且双曲线的渐近线方程为y=±x ，则该双曲线的方程为（ ） A．﹣=1B ．﹣y 2=1 C ．x 2﹣=1 D．﹣=13． 已知,,x y z 均为正实数，且22log x x =-，22log y y -=-，22log z z -=，则（ ）A ．x y z <<B ．z x y <<C ．z y z <<D ．y x z << 4． 在等差数列{}n a 中，11a =，公差0d ≠，n S 为{}n a 的前n 项和.若向量13(,)m a a =，133(,)n a a =-， 且0m n ?，则2163n n S a ++的最小值为（ ）A ．4B ．3 C．2 D ．92【命题意图】本题考查等差数列的性质，等差数列的前n 项和，向量的数量积，基本不等式等基础知识，意在考查学生的学生运算能力，观察分析，解决问题的能力．5． 已知集合},052|{2Z x x x x M ∈<+=，},0{a N =，若∅≠N M ，则=a （ ）A ．1-B ．C ．1-或D ．1-或2- 6． 在《张邱建算经》中有一道题：“今有女子不善织布，逐日所织的布比同数递减，初日织五尺， 末一日织一尺，计织三十日”，由此推断，该女子到第10日时，大约已经完成三十日织布总量的（ ） A ．33% B ．49% C ．62% D ．88%7．如图给出的是计算的值的一个流程图，其中判断框内应填入的条件是（）A．i≤21 B．i≤11 C．i≥21 D．i≥118．已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（）A．（﹣1，2] B．（﹣2，2] C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1）9．设函数的集合，平面上点的集合，则在同一直角坐标系中，P中函数的图象恰好经过Q中两个点的函数的个数是A4B6C8D1010．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，则其侧视图的面积是（）A ．B ．C ．1D ．11．已知随机变量X 服从正态分布N （2，σ2），P （0＜X ＜4）=0.8，则P （X ＞4）的值等于（ ） A ．0.1 B ．0.2 C ．0.4 D ．0.612．已知全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}，则集合{2，7，8}是（ ） A ．M ∪NB ．M ∩NC ．∁I M ∪∁I ND ．∁I M ∩∁I N二、填空题13．一个总体分为A ，B ，C 三层，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为15的样本，若B 层中每个个体被抽到的概率都为，则总体的个数为 ．14．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________． 15．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12n n n S λ-+<+｜对一切n N *∈恒成立，则λ的取值范围是___________．【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力． 16．已知△ABC 的面积为S ，三内角A ，B ，C 的对边分别为，，．若2224S a b c +=+， 则sin cos()4C B π-+取最大值时C = ．17．当时，4x＜log a x ，则a 的取值范围 ．18．平面向量，满足|2﹣|=1，|﹣2|=1，则的取值范围 ．三、解答题19．过抛物线y 2=2px （p ＞0）的焦点F 作倾斜角为45°的直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AB 的长为8，求抛物线的方程．20．已知p ：2x 2﹣3x+1≤0，q ：x 2﹣（2a+1）x+a （a+1）≤0（1）若a=，且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围． （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）如图, 矩形ABCD 的两条对角线相交于点()2,0M ,AB 边所在直线的方 程为360x y --=点()1,1T -在AD 边所在直线上. （1）求AD 边所在直线的方程； （2）求矩形ABCD 外接圆的方程.22．已知点（1，）是函数f （x ）=a x （a ＞0且a ≠1）的图象上一点，等比数列{a n }的前n 项和为f （n ）﹣c ，数列{b n }（b n ＞0）的首项为c ，且前n 项和S n 满足S n ﹣S n ﹣1=+（n ≥2）．记数列{}前n项和为T n ，（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）若对任意正整数n ，当m ∈[﹣1，1]时，不等式t 2﹣2mt+＞T n 恒成立，求实数t 的取值范围（3）是否存在正整数m ，n ，且1＜m ＜n ，使得T 1，T m ，T n 成等比数列？若存在，求出m ，n 的值，若不存在，说明理由．23．（本题满分15分）若数列{}n x 满足：111n nd x x +-=（d 为常数， *n N ∈），则称{}n x 为调和数列，已知数列{}n a 为调和数列，且11a =，123451111115a a a a a ++++=.（1）求数列{}n a 的通项n a ；（2）数列2{}nna 的前n 项和为n S ，是否存在正整数n ，使得2015n S ≥？若存在，求出n 的取值集合；若不存在，请说明理由.【命题意图】本题考查数列的通项公式以及数列求和基础知识，意在考查运算求解能力.24．（本小题满分12分）111]在如图所示的几何体中，D 是AC 的中点，DB EF //. （1）已知BC AB =，CF AF =，求证：⊥AC 平面BEF ； （2）已知H G 、分别是EC 和FB 的中点，求证： //GH 平面ABC .青岛市二中2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】解：图象①是关于原点对称的，即所对应函数为奇函数，只有f（x）；图象②④恒在x轴上方，即在[﹣π，π]上函数值恒大于0，符合的函数有h（x）和Φ（x），又图象②过定点（0，1），其对应函数只能是h（x），那图象④对应Φ（x），图象③对应函数g（x）．故选：D．【点评】本题主要考查学生的识图、用图能力，从函数的性质入手结合特殊值是解这一类选择题的关键，属于基础题．2．【答案】B【解析】解：已知抛物线y2=4x的焦点和双曲线的焦点重合，则双曲线的焦点坐标为（，0），即c=，又因为双曲线的渐近线方程为y=±x，则有a2+b2=c2=10和=，解得a=3，b=1．所以双曲线的方程为：﹣y2=1．故选B．【点评】本题主要考查的知识要点：双曲线方程的求法，渐近线的应用．属于基础题．3．【答案】A【解析】考点：对数函数，指数函数性质． 4． 【答案】A【解析】5． 【答案】D 【解析】试题分析：由{}{}1,2,025,0522--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈<<-=∈<+=Z x x x Z x x x x M ，集合{}a N ,0=， 又φ≠N M ，1-=∴a 或2-=a ，故选D ． 考点：交集及其运算． 6． 【答案】B 【解析】7． 【答案】D【解析】解：∵S=并由流程图中S=S+故循环的初值为1 终值为10、步长为1故经过10次循环才能算出S=的值，故i ≤10，应不满足条件，继续循环∴当i≥11，应满足条件，退出循环填入“i≥11”．故选D．8．【答案】C【解析】解：由f（x）=x2﹣6x+7=（x﹣3）2﹣2，x∈（2，5]．∴当x=3时，f（x）min=﹣2．当x=5时，．∴函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]．故选：C．9．【答案】B【解析】本题考查了对数的计算、列举思想a＝－时，不符；a＝0时，y＝log2x过点(，－1)，(1,0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝时，y＝log2(x＋)过点(0，－1)，(，0)，此时b＝0，b＝1符合；a＝1时，y＝log2(x＋1)过点(－，－1)，(0，0)，(1，1)，此时b＝－1，b＝1符合；共6个10．【答案】B【解析】解：由三视图知几何体的直观图是半个圆锥，又∵正视图是腰长为2的等腰三角形，俯视图是半径为1的半圆，∴半圆锥的底面半径为1，高为，即半圆锥的侧视图是一个两直角边长分别为1和的直角三角形，故侧视图的面积是，故选：B．【点评】本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．11．【答案】A【解析】解：∵随机变量ξ服从正态分布N（2，o2），∴正态曲线的对称轴是x=2P（0＜X＜4）=0.8，∴P（X＞4）=（1﹣0.8）=0.1，故选A ．12．【答案】D【解析】解：∵全集I={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合M={3，4，5}，集合N={1，3，6}， ∴M ∪N={1，2，3，6，7，8}， M ∩N={3}；∁I M ∪∁I N={1，2，4，5，6，7，8}； ∁I M ∩∁I N={2，7，8}， 故选：D ．二、填空题13．【答案】 300 ．【解析】解：根据分层抽样的特征，每个个体被抽到的概率都相等，所以总体中的个体的个数为15÷=300．故答案为：300．【点评】本题考查了样本容量与总体的关系以及抽样方法的应用问题，是基础题目．14．【答案】【解析】解析：∵f （x ）是偶函数，∴f （－x ）＝f （x ）恒成立， 即（－x ）（e －x ＋a e x ）＝x （e x ＋a e －x ）， ∴a （e x ＋e －x ）＝－（e x ＋e －x ），∴a ＝－1. 答案：－115．【答案】31λ-<<【解析】由2211111123(1)2222n n n S n n--=+⨯+⨯++-⋅+，211112222nS =⨯+⨯+…111(1)22n n n n -+-⋅+⋅，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-，所以1242n n n S -+=-，于是由不等式12|142n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<． 16．【答案】4π 【解析】考点：1、余弦定理及三角形面积公式；2、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数.1【方法点睛】本题主要考查余弦定理及三角形面积公式、两角和的正弦、余弦公式及特殊角的三角函数，属于难题.在解与三角形有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答，解三角形时三角形面积公式往往根据不同情况选用下列不同形式111sin ,,(),2224abc ab C ah a b c r R++.17．【答案】 ．【解析】解：当时，函数y=4x的图象如下图所示若不等式4x ＜log a x 恒成立，则y=log a x 的图象恒在y=4x的图象的上方（如图中虚线所示）∵y=log a x 的图象与y=4x 的图象交于（，2）点时，a=故虚线所示的y=log a x 的图象对应的底数a 应满足＜a ＜1故答案为：（，1）18．【答案】[，1]．【解析】解：设两个向量的夹角为θ，因为|2﹣|=1，|﹣2|=1，所以，，所以，=所以5=1，所以，所以5a2﹣1∈[]，[，1]，所以；故答案为：[，1]．【点评】本题考查了向量的模的平方与向量的平方相等的运用以及通过向量的数量积定义，求向量数量积的范围．三、解答题19．【答案】【解析】解：由题意可知过焦点的直线方程为y=x﹣，联立，得，设A（x1，y1），B（x2，y2）根据抛物线的定义，得|AB|=x1+x2+p=4p=8，解得p=2．∴抛物线的方程为y2=4x．【点评】本题给出直线与抛物线相交，在已知被截得弦长的情况下求焦参数p的值．着重考查了抛物线的标准方程和直线与圆锥曲线位置关系等知识，属于中档题．20．【答案】【解析】解：p：，q：a≤x≤a+1；∴（1）若a=，则q：；∵p ∧q 为真，∴p ，q 都为真；∴，∴；∴实数x 的取值范围为；（2）若p 是q 的充分不必要条件，即由p 能得到q ，而由q 得不到p ；∴，∴；∴实数a 的取值范围为．【点评】考查解一元二次不等式，p ∧q 真假和p ，q 真假的关系，以及充分不必要条件的概念．21．【答案】（1）320x y ++=；（2）()2228x y -+=．【解析】试题分析：（1）由已知中AB 边所在直线方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直，结合点()1,1T -在直线AD 上，可得到AD 边所在直线的点斜式方程，即可求得AD 边所在直线的方程；（2）根据矩形的性质可得矩形ABCD 外接圆圆心纪委两条直线的交点()2,0M ，根据（1）中直线，即可得到圆的圆心和半径，即可求得矩形ABCD 外接圆的方程.（2）由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩解得点A 的坐标为()0,2-,因为矩形ABCD 两条对角线的交点为()2,0M ,所以M 为距形ABCD 外接圆的圆心, 又AM ==从而距形ABCD 外接圆的方程为()2228x y -+=.1考点：直线的点斜式方程；圆的方程的求解.【方法点晴】本题主要考查了直线的点斜式方程、圆的方程的求解，其中解答中涉及到两条直线的交点坐标，圆的标准方程，其中（1）中的关键是根据已知中AB 边所在的直线方程以及AD 与AB 垂直，求出直线AD 的斜率；（2）中的关键是求出A点的坐标，进而求解圆的圆心坐标和半径，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力.22．【答案】【解析】解：（1）因为f（1）=a=，所以f（x）=，所以，a2=[f（2）﹣c]﹣[f（1）﹣c]=，a3=[f（3）﹣c]﹣[f（2）﹣c]=因为数列{a n}是等比数列，所以，所以c=1．又公比q=，所以；由题意可得：=，又因为b n＞0，所以；所以数列{}是以1为首项，以1为公差的等差数列，并且有；当n≥2时，b n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1；所以b n=2n﹣1．（2）因为数列前n项和为T n，所以==；因为当m∈[﹣1，1]时，不等式恒成立，所以只要当m∈[﹣1，1]时，不等式t2﹣2mt＞0恒成立即可，设g（m）=﹣2tm+t2，m∈[﹣1，1]，所以只要一次函数g（m）＞0在m∈[﹣1，1]上恒成立即可，所以，解得t＜﹣2或t＞2，所以实数t的取值范围为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）T1，T m，T n成等比数列，得T m2=T1T n∴，∴ 结合1＜m ＜n 知，m=2，n=12【点评】本题综合考查数列、不等式与函数的有关知识，解决此类问题的关键是熟练掌握数列求通项公式与求和的方法，以及把不等式恒成立问题转化为函数求最值问题，然后利用函数的有关知识解决问题．23．【答案】（1）1n a n=，（2）详见解析.当8n =时911872222015S =⨯+>>，…………13分∴存在正整数n ，使得2015n S ≥的取值集合为{}*|8,n n n N ≥∈，…………15分24．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）根据DB EF //,所以平面BEF 就是平面BDEF ,连接DF,AC 是等腰三角形ABC 和ACF 的公共底边，点D 是AC 的中点，所以BD AC ⊥,DF AC ⊥,即证得⊥AC 平面BEF 的条件；（2）要证明线面平行，可先证明面面平行，取FC 的中点为，连接GI ，HI ，根据中位线证明平面//HGI 平面ABC ,即可证明结论.试题解析：证明：（1）∵DB EF //，∴EF 与DB 确定平面BDEF .如图①，连结DF . ∵CF AF =，D 是AC 的中点，∴AC DF ⊥.同理可得AC BD ⊥. 又D DF BD = ，⊂DF BD 、平面BDEF ，∴⊥AC 平面BDEF ，即⊥AC 平面BEF .考点：1.线线，线面垂直关系；2.线线，线面，面面平行关系.【方法点睛】本题考查了立体几何中的平行和垂直关系，属于中档题型，重点说说证明平行的方法，当涉及证明线面平行时，一种方法是证明平面外的线与平面内的线平行，一般是构造平行四边形或是构造三角形的中位线，二种方法是证明面面平行，则线面平行，因为直线与直线外一点确定一个平面，所以所以一般是在某条直线上再找一点，一般是中点，连接构成三角形，证明另两条边与平面平行.。