二次根式知识梳理

《二次根式》知识梳理

本章的知识结构框图：

一、二次根式的概念

1．代数式)0(≥a a 叫二次根式，a m 也是。 2．二次根式有意义的条件：0≥a 3．训练题型

设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）

x 231- （2）x 2

- （3）122+-x x （4）4

1--x x 二、二次根式的性质

1．性质

性质1

⎪⎩

⎪

⎨⎧-==).0(),0(0),0(2a ＜a a a ＞a a

性质2

()

()02

≥=a a a

性质3 ()0,0≥≥⋅=

b a b a ab

性质4

()0,0〉≥=

b a b

a

b a 2．训练题型

利用二次根式的性质进行计算或化简，例：

（1）72，41 （2）()0182

≥x x （3）3a （4）()092〉b a

b

（5）

()23π- （6）

()

3,122-=+-x x x

3、常见问题和解决技巧

（1）重要公式不理解

被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。 口诀化方法解决：去帽子，套棍子。 （2）化简二次根式不熟练

在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。 强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。 化简顺序：从数字到字母。

（3）化去根号内的分母时结果错位

解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用

再分母有理化

三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义

（1）被开方数中各因式的指数都为1；

（2）被开方数不含分母（根号内不含分母） （3）分母里不含根号。

“因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3．训练题型

()⎩⎨

⎧≤-≥==)0(02a a a a a a x x x x 222=x x x

x x 22=x x x x x x 22222⋅=⋅=x x x =2=

⋅=x 2

x x 2x

例题1 判断下列二次根式是不是最简二次根式：

;

)4(24)3(42)2(;3

5)

1(23

b a x a a +

（5）)1()12(32-≥++a a a

例题2 将下列二次根式化成最简二次根式：

);

0()2();

0(4)1(23〉〉-+〉n m n m n

m y y x )0b a ()b a )(b a ()3(22≥≥+-

例题3 下列二次根式中，哪些是同类二次根式？

)

0(),0(2,,27

1,

24,12334〉-〉a ab a b a b a

例题4 合并下列各式中的同类二次根式：

;323

1

32122)1(++-

xy b xy a xy +-3)2(

4．常见问题和解决技巧

解系数是无理数的方程或不等式时不会合并同类项 强化训练找系数，如

解系数是无理数不等式，系数化成1时，忘记判断系数是正数还是负数，不等号该不该变号。

四、二次根式的计算

1．二次根式的加法和减法

二次根式相加减的一般过程是：先把各个人次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。

注意：不是同类二次根式的根式不能合并，保留在结果中。 训练题型

022)23(=--x x x 5323=-x x 5323≥-

例题1 计算：

例题2 计算：

例题3 解不等式：2x+

9

5445-〉x 2． 二次根式的乘法和除法

利用上述性质,可进行二次根式的乘除.

二次根式相乘,被开方数相乘,根指数不变.

两个二次根式相除,被开方数相除,根指数不变

注：一般情况下，先将被开方数相乘、除，然后再化简。 训练题型 例题1 计算:

例题2 计算:

3．分母有理化

（1）定义 把分母中的根号化去，叫做分母有理化。

分母有理化的方法，一般是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式，使分母不含根号。

（运用其它途径，也可达到分母有理化的目的） 两个含有二次根式的代数式相乘，如果他们的积不含有二次根式，我们就称这两个含有二次根式的代数式互为有理化因式。有理化因式不唯一

（2）有理化因式

①形如 a 的有理化因式 是它本身及它的倍数，不唯一； ②形如b n a m +的有理化因式 构造平方差公式结构； 分母有理化

类似b a b a +

+,的有理化因式分别为b a b a -+,，注意它们的区别。

（3）有理化方法

①分子分母同乘以有理化因式 。

强调：分子不要急于运用乘法分配律，先观察分子分母能否约分。如：

②利用因式分解的知识将m-n 写成(

)

n m )n m (+- 的形式,绝对不能讲成将

m-n 分解因式。如

4．二次根式的计算可操作化的问题

（1）纯加减法：先化简，再加减（再合并）。 例

（2）纯乘除法：先乘除，再化简 选取课外例题

对于全乘除法在新教材中有两种计算法：

33

13241354233222)758

1

()3125.0(+=+--=

+--b

ab

b a b a b b a 363232)0(32==

÷=>÷66

3

1232122122=

⨯⨯==

÷()

x

y x x xy x y x x x

y x y xy x x

y x y xy x

322322

32

232

2·22·31283

128===⨯

÷⨯÷=⨯÷n m n m n m n m n m n m n m n m n m -+-=+-+-=--)

)(()

)(())((n

m n m n m n

m n m --+=

--))((