高考数学一轮复习课时训练：函数与方程北师大

A级 基础达标演练

(时间：40分钟 满分：60分)

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是( )．

解析 图A没有零点，因此不能用二分法求零点．图B与图D中均为不变号零点，不能用二分法求零点；故只有C图可用二分法求零点．

答案 C

2．(2012·安康模拟)函数f(x)＝sin x－x零点的个数是( )．

A．0 B．1 C．2 D．3

解析 f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)单调递减，又f(0)＝0，∴则f(x)＝sin x－x的零点是唯一的．

答案 B

3．(★)方程|x2－2x|＝a2＋1(a＞0)的解的个数是( )．

A．1 B．2 C．3 D．4

解析 (数形结合法)∵a＞0，∴a2＋1＞1.而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．∴方程有两解．

答案 B

【点评】 本题采用数形结合法解题，画出对应函数的图象，观察函数的交点情况确定解的个数.

4．若函数f(x)＝x3－3x＋a有3个不同的零点，则实数a的取值范围是( )．

A．(－2,2) B．[－2,2]

C．(－∞，－1) D．(1，＋∞)

解析 由于函数f(x)是连续的，故只需两个极值异号即可．f′(x)＝3x2－3，令3x2－3＝0，则x＝±1，只需f(－1)f(1)<0，即(a＋2)(a－2)<0，故a∈(－2,2)．

答案 A

5．(2010·天津)函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是( )．

A．(－2，－1) B．(－1,0)

C．(0,1) D．(1,2)

解析 f(x)＝2x＋3x在R上为增函数，且f(－1)＝2－1－3＝－52，f(0)＝1，则f(x)＝2x＋3x在(－1,0)上有唯一的一个零点．

答案 B

二、填空题(每小题4分，共12分)

6．(2012·西安五校联考)函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是________．

解析 当m＝0时，x＝12为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数唯一的零点，若Δ≠0，显然函数x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)＜0，即m＜0.

答案 (－∞，0]∪{1}

7．函数f(x)＝2－x＋x2－3的零点个数是________．

解析 令2－x＋x2－3＝0，即2－x＝3－x2，

在同一坐标系中作出y＝2－x与y＝3－x2的图象如图所示，因此f(x)＝2－x＋x2－3有两个零点．

答案 2

8．若函数f(x)＝ax＋b(a≠0)有一个零点是2，那么函数g(x)＝bx2－ax的零点是________．

解析 由已知条件2a＋b＝0，即b＝－2a

g(x)＝－2ax2－ax＝－2axx＋12

则g(x)的零点是x＝0，x＝－12.

答案 0，－12

三、解答题(共23分)

9．(11分)(2012·桂林五校联考)关于x的二次方程x2＋(m－1)x＋1＝0在区间[0,2]上有解，求实数m的取值范围．

解 设f(x)＝x2＋(m－1)x＋1，x∈[0,2]，

①若f(x)＝0在区间[0,2]上有一解，

∵f(0)＝1＞0，则应有f(2)≤0，

又∵f(2)＝22＋(m－1)×2＋1，∴m≤－32.

②若f(x)＝0在区间[0,2]上有两解，则

 Δ≥00＜－m－12＜2f2≥0，，∴ m－12－4≥0，－3＜m＜1，4＋m－1×2＋1≥0.

∴ m≥3或m≤－1，－3＜m＜1，m≥－32，

∴－32≤m≤－1，

由①②可知m≤－1.

10．(12分)(2012·重庆模拟)对于函数f(x)，若存在x0∈R，使f(x0)＝x0成立，则称x0为f(x)的不动点，已知函数f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)

(1)当a＝1，b＝－2时，求f(x)的不动点；

(2)若对任意实数b，函数f(x)恒有两个相异的不动点，求a的取值范围．

解 (1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－x－3，由题意可知x＝x2－x－3，得x1＝－1，x2＝3

故当a＝1，b＝－2时，f(x)的不动点是－1,3.

(2)∵f(x)＝ax2＋(b＋1)x＋b－1(a≠0)恒有两个不动点，∴x＝ax2＋(b＋1)x＋b－1，

即ax2＋bx＋b－1＝0恒有两相异实根，

∴Δ＝b2－4ab＋4a＞0(b∈R)恒成立．

于是Δ′＝(4a)2－16a＜0解得0＜a＜1，

故当b∈R，f(x)恒有两个相异的不动点时，0＜a＜1.

B级 综合创新备选

(时间：30分钟 满分：40分)

一、选择题(每小题5分，共10分)

1．(★)方程x2＋2x－1＝0的解可视为函数y＝x＋2的图象与函数y＝1x的图象交点的横坐标，若x4＋ax－4＝0的各个实根x1，x2，…，xk(k≤4)所对应的点xi，4xi(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，则实数a的取值范围是( )．

A．R B．∅

C．(－6,6) D．(－∞，－6)∪(6，＋∞)

解析

(转化法)方程的根显然x≠0，原方程等价于x3＋a＝4x，原方程的实根是曲线y＝x3＋a与曲线y＝4x的交点的横坐标；而曲线y＝x3＋a是由曲线y＝x3向上或向下平移|a|个单位而得到的．

若交点xi，4xi(i＝1,2，…，k)均在直线y＝x的同侧，

因直线y＝x与y＝4x交点为：(－2，－2)，(2,2)；

所以结合图象可得： a＞0，x3＋a＞－2，x≥－2，或 a＜0，x3＋a＜2，x≤2，

⇒a∈(－∞，－6)∪(6，＋∞)；选D.

答案 D

【点评】 转化法能够在一定程度上简化解题过程.

2．(2012·东北三校联考)已知函数f(x)＝xex－ax－1，则关于f(x)零点叙述正确的是( )．

A．当a＝0时，函数f(x)有两个零点

B．函数f(x)必有一个零点是正数

C．当a＜0时，函数f(x)有两个零点

D．当a＞0时，函数f(x)只有一个零点

解析 f(x)＝0⇔ex＝a＋1x

在同一坐标系中作出y＝ex与y＝1x的图象，

可观察出A、C、D选项错误，选项B正确．

答案 B

二、填空题(每小题4分，共8分)

3．(2011·辽宁)已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________．

解析 由原函数有零点，可将问题转化为方程ex－2x＋a＝0有解问题，即方程a＝2x－ex有解．令函数g(x)＝2x－ex，则g′(x)＝2－ex，令g′(x)＝0，得x＝ln

2，所以g(x)在(－∞，ln 2)上是增函数，在(ln 2，＋∞)上是减函数，所以g(x)的最大值为：g(ln 2)＝2ln 2－2.因此，a的取值范围就是函数g(x)的值域，所以，a∈(－∞，2ln 2－2]．

答案 (－∞，2ln 2－2]

4．用二分法求方程x2＝2的正实根的近似解(精确度0.001)时，如果我们选取初始区间是[1.4,1.5]，则要达到精确度要求至少需要计算的次数是________．

解析 设至少需要计算n次，由题意知1.5－1.42n＜0.001，

即2n＞100，由26＝64,27＝128知n＝7.

答案 7

三、解答题(共22分)

5．(★)(10分)(2012·岳阳模拟)已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求m的取值范围，并求出该零点．

思路分析 由题意可知，方程4x＋m·2x＋1＝0仅有一个实根，再利用换元法求解．

解 ∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，

即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根．

设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.

当Δ＝0时，即m2－4＝0，

∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1(不合题意，舍去)，

∴2x＝1，x＝0符合题意．

当Δ＞0时，即m＞2或m＜－2时，

t2＋mt＋1＝0有两正或两负根，

即f(x)有两个零点或没有零点．

∴这种情况不符合题意．

综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为x＝0.

【点评】 方程的思想是与函数思想密切相关的，函数问题可以转化为方程问题来解决，方程问题也可以转化为函数问题来解决，本题就是函数的零点的问题转化为方程根的问题．

6．(12分)(2012·汉中模拟)(1)m为何值时，f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.

①有且仅有一个零点；②有两个零点且均比－1大；

(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．

解 (1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.

②法一 设f(x)的两个零点分别为x1，x2，

则x1＋x2＝－2m，x1·x2＝3m＋4.

由题意，在 Δ＝4m2－43m＋4＞0x1＋1x2＋1＞0x1＋1＋x2＋1＞0⇔

 m2－3m－4＞03m＋4－2m＋1＞0－2m＋2＞0⇔ m＞4或m＜－1，m＞－5，m＜1，

∴－5＜m＜－1.故m的取值范围为(－5，－1)．

法二 由题意，知 Δ＞0，－m＞－1，f－1＞0，即 m2－3m－4＞0，m＜1，1－2m＋3m＋4＞0.

∴－5＜m＜－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．

(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，