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同济线性代数习题四答案

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同济线性代数习题四答案

同济线性代数习题四答案

线性代数是大学数学课程中的一门重要学科，它研究的是向量空间和线性映射等概念。同济大学的线性代数课程在教学中注重理论与实践的结合，通过习题的训练来提高学生的解题能力。以下是同济线性代数习题四的答案，希望能对同济大学的学生们有所帮助。

第一题：设A是一个n阶矩阵，证明：如果对于任意的n维非零列向量x，都有Ax=0，则A是零矩阵。

解答：我们需要证明如果对于任意的n维非零列向量x，都有Ax=0，则A是零矩阵。

假设A不是零矩阵，即存在某个元素a[i][j]不为0。我们可以构造一个非零列向量x，使得Ax=0。

设x为n维列向量，其中第i个元素为1，其余元素为0。则Ax的第j个元素为a[i][j]，而其他元素都为0。由于a[i][j]不为0，所以Ax不为零向量。

这与题目中的条件矛盾，因此假设不成立，即A是零矩阵。

第二题：设A是一个n阶矩阵，证明：如果对于任意的n维非零列向量x，都有Ax=x，则A是单位矩阵。

解答：我们需要证明如果对于任意的n维非零列向量x，都有Ax=x，则A是单位矩阵。

假设A不是单位矩阵，即存在某个元素a[i][j]不等于δ[i][j]（其中δ[i][j]为Kronecker delta符号，当i=j时为1，否则为0）。我们可以构造一个非零列向量x，使得Ax不等于x。 设x为n维列向量，其中第i个元素为1，其余元素为0。则Ax的第j个元素为a[i][j]，而x的第j个元素为0。由于a[i][j]不等于δ[i][j]，所以Ax不等于x。

这与题目中的条件矛盾，因此假设不成立，即A是单位矩阵。

通过以上两题的证明，我们可以看出线性代数中的一些基本概念和性质。在解题过程中，我们需要运用到矩阵的基本操作和性质，如矩阵乘法、矩阵的零矩阵和单位矩阵等。通过不断练习习题，我们可以加深对线性代数知识的理解，提高解题能力。

线性代数作为一门重要的学科，不仅在数学领域中有广泛应用，还在其他学科中有着重要的地位。例如，在工程学中，线性代数被广泛应用于电路分析、信号处理和控制系统等方面。在计算机科学中，线性代数则是计算机图形学和机器学习等领域的基础。因此，掌握线性代数知识对于学生们的学习和发展具有重要意义。

同济大学的线性代数习题四涵盖了矩阵的基本性质和运算，通过解题可以加深对线性代数知识的理解。希望同济大学的学生们能够通过不断练习习题，提高解题能力，掌握线性代数知识，并能在实际应用中灵活运用。

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线性代数第四版同济大学课后习题答案

线性代数第四版同济大学课后习题答案

第一章 行列式 1 利用对角线法则计算下列三阶行列式

(1)381141102

解 381141102

2(4)30(1)(1)118

0132(1)81(4)(1)

2481644

(2)bacacbcba

解 bacacbcba

acbbaccbabbbaaaccc

3abca3b3c3

(3)222111cbacba

解 222111cbacba

bc2ca2ab2ac2ba2cb2

(ab)(bc)(ca)

(4)yxyxxyxyyxyx 解 yxyxxyxyyxyx x(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x3 3xy(xy)y33x2 yx3y3x3 2(x3y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4

解 逆序数为0 (2)4 1 3 2

解 逆序数为4 41 43 42 32

(3)3 4 2 1

解 逆序数为5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1

(4)2 4 1 3

解 逆序数为3 2 1 4 1 4 3

(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n)

解 逆序数为2)1(nn

3 2 (1个)

5 2 5 4(2个)

7 2 7 4 7 6(3个)

(2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2)

《线性代数》同济大学第四版课后答案

《线性代数》同济大学第四版课后答案

《线性代数》同济⼤学第四版课后答案

线性代数同济⼤学第四版课后答案习题⼀

习题⼀1-5 SslO(3)

1 1 1 a

b c a2 b2 c2

^c^+cc^+ab^-ac^-bc^-cb2 -(a-b)(b-c)(c-a).

(4)

X v X+ V

解v x+ V X

■

:v+v * V

⼆MvH") i+i:论+i ')+(.r+v) VX-1'34-C T+I)3-.T32

解逆序数为4: 4h 43, 42. 32，3

解逆序数为5: 3 2.3 L 42. 4 1,2 L4

L利⽤对⾓线法则计算下列三阶⾏列式:

2 0 1

-18 3

(1) 1

(1)

1

+

■

X

V

X

1

c

V

-

+V

T

1

⽅

沪=3.n (.Y+>)-i^3- 3.T2

=-2(.?+V^

⼯按⾃然数从⼩到⼤为标准次序.求下列各排列的逆序数：(1)1 23 4

(2)4 13 2

(3)34 2 1

(4)24 1 3

(5)1 3 …(2沪1) 2 4 …O);

(6)1 3 ?… (⼒—1) (2?z) (2n-2)…* ⼯

（1）

解逆序数为0

解逆序数为3: 2 1.4 1.4 3-(5)

解逆序数为观驴：32(1 个)

5 2,5 4(2 个)

7 2, 7 4. 7 6(3 个)

(”1)2, 011)4, (”1)6,…为(”1)(”2) (n-1 个)

(6)

解逆序数为乃(『Li):32(1 个)

5 2,5 4(2 ^t) (2n-1)2, (2n-l)4, (”1)6,…、(2/L1)(2/L2)(n-l

个)42(1 个)

6 2,6 4(2 个)

(5)2, (2M)4, (2n)6,…,(2n)(2n-2) (n-1个)

3.写出四阶⾏列式中含有因⼦GU723的项.

解含因⼦①畑的项的⼀般形式为(-])%的冰X町

其中帀是2和4构成的排列,这种排列共有两个,即24和42.所以含因⼦a^a23的项分别是(-1 )衍1似23他刃44⼆(⼀1 )^11^32^44=-^!凶曲的轴(⼀1 )%1攸曲琢也⼫(T )%1⼝滋34偽⼫&1也刃曲42?

同济大学第四版线性代数习题解答

同济大学第四版线性代数习题解答

线性代数答案解答

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式：

（1）381141102； （2）bacacbcba

（3）222111cbacba； （4）yxyxxyxyyxyx.

解 （1）381141102811)1()1(03)4(2

)1()4(18)1(2310

=416824

=4

（2）bacacbcbacccaaabbbcbabacacb

3333cbaabc

（3）222111cbacba222222cbbaacabcabc

))()((accbba

（4）yxyxxyxyyxyx

yxyxyxyxyyxx)()()(333)(xyxy

33322333)(3xyxxyyxyyxxy

)(233yx

2.按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数：

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 … )12(n 2 4 … )2(n；

（6）1 3 … )12(n )2(n )22(n … 2.

解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为2)1(nn：

3 2 1个

5 2，5 4 2个

同济大学4版线性代数答案05

同济大学4版线性代数答案05

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1

第五章 相似矩阵及二次型

3 设x为n维列向量 xTx1 令HE2xxT

证明H是对称的正交阵

证明 因为

HT(E2xxT)TE2(xxT)TE2(xxT)T

E2(xT)TxTE2xxT

所以H是对称矩阵

因为

HTHHH(E2xxT)(E2xxT)

E2xxT2xxT(2xxT)(2xxT)

E4xxT4x(xTx)xT

E4xxT4xxT

E

所以H是正交矩阵

4 设A与B都是n阶正交阵 证明AB也是正交阵

证明 因为A B是n阶正交阵 故A1AT B1BT

(AB)T(AB)BTATABB1A1ABE

故AB也是正交阵

5 求下列矩阵的特征值和特征向量:

(1)201335212;

解

3)1(201335212||EA

故A的特征值为1(三重)

对于特征值1 由

000110101101325213~EA 得方程(AE)x0的基础解系p1(1 1 1)T

向量p1就是对应于特征值1的特征值向量.

(2)633312321;

解

)9)(1(633312321||EA

故A的特征值为10 21 39

对于特征值10 由

000110321633312321~A