《勾股定理》

1 / 10

预习课程˙勾股定理

1. 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么222abc．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CABcba

2. 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.ABCDSabcababc正方形 DCBA

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.Scabababc正方形EFGH GFEH

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()112222ABCDababSabc梯形

222.abc

cbacbaEDCBA

3. 勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABCACBCABABC在中如果那么是直角三角形。 勾股定理

新知学习

2 / 10

预习课程˙勾股定理

4. 勾股数：

满足222abc的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一、应用勾股定理求直角三角形的第三边

【例1】 （2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）

A5 B C D5或

【练一练】（2012广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）

A. 365 B. 1225 C. 94 D. 334

初中数学 第1页

勾股定理

一、探索勾股定理

【知识点1】勾股定理

定理内容：在RT△中，

勾股定理的应用：在RT△中，知两边求第三边，关键在于确定斜边或直角

典型题型

1、对勾股定理的理解

（1）已知直角三角形的两条直角边长分别为a, b，斜边长c，则下列关于a,b,c的关系不成立的是（ ）

A、c²- a²=b² B、c²- b²=a²

C、a²- c²=b² D、 a²+b²= c²

（2）在直角三角形中，∠A=90°，则下列各式中不成立的是（ ）

A、BC²- AB²=AC² B、BC²- AC²=AB²

C、AB²+AC²= BC² D、AC²+BC²= AB²

2、应用勾股定理求边长

（3）已知在直角三角形ABC中，AB=10 cm, BC=8 cm,

求AC的长.

（4）在直角△中，若两直角边长为a、b，且满足√α2−6α+9+|b−4|=0，则该直角三角形的斜边长为 ．

3、利用勾股定理求面积

（5）已知以直角△的三边为直径作半圆，其中两个半圆的面积为25π，16π，求另一个半圆的面积。

（6）如图（1），图中的数字代表正方形的面积，则正方形A的面积为 。

（7）如图（2），三角形中未知边x与y的长度分别是x= ,y= 。

（8）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8，则AB的长为（ ）

A、6 B、8 C、10 D、12

（9）在直线l上依次摆放着七个正方形（如图4所示）。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是SS12、、SSSSSS341234、，则=_____________。

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

1 《勾股定理》练习题一

1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )

A． h2 B． h2 C． h2 D． h2

2. 直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )

A． 12cm2 B． 10cm 2 C． 8cm2 D． 6cm2

3.下列命题是真命题的个数有( )

①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为

②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为

③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1

④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是( )

A． + 2m B． +m C．2( +m) D．2 +m

5.如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )

A．10 −15 B．10−5 C．5 −5 D．20−10

6.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7.小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米

A．0.7 B． 0.8 C．0.9 D．1.0

8.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )

A．6 B． 8 C．10 D．12