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勾股定理

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戴氏教育 初二数学VIP资料

中考、高考培训学校 衔接班学生专用 辅导老师：陈文芳

第 1 页 共 17 页 勾股定理

1.已知一直角三角形的木板，三边的平方和为1800cm2,则斜边长为（ ）.

（A）80cm (B)30cm (C)90cm (D）120cm.

2.直角三角形中，以直角边为边长的两个正方形的面积分别为36和64，那么以斜边为边长的正方形的面积是（ ）

A.54 B.100 C.72 D.120

3、有两棵树，一棵高6米，另一棵高2米，两树相距5米．一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 米.

A.4 B.5 C.3 D.41

4、直角三角形两条直角边的长分别为8和6，则斜边上的高为（ ）

（A）2.4 （B）4.8 （C）1.2 （D）10

5、直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（ ）

A、321SSS B、321SSS

C、321SSS D、无法判断

6、如图字母A所代表的正方形的面积是 ( )

A.、20 B. 24 C、30 D. 74

7、如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,

要爬行的最短路程(取3)是( )

A.20cm B.10cm C.14cm D.无法确定.

8、一个等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，则底边上的高为________cm． S3S2S157A戴氏教育 初二数学VIP资料

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9、现有一长5米的梯子，架靠在建筑物的墙上,它们的底部在地面的水平距离是3米,则梯子可以到达建筑物的高度是___________米。

10．一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）

A. 第三边一定为10 B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48 D. 第三边可能为10

11．直角三角形的斜边为20cm，两条直角边之比为3∶4，那么这个直角三角形的周长为（ ）

A . 27cm B. 30cm C. 40cm D. 48cm

考点归纳

勾股定理（★★★★★）、求最短距离（★★★★★）、实际应用（★★★★★）

考点精讲

１．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边戴氏教育 初二数学VIP资料

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第 3 页 共 17 页 的平方和等于斜边的平方

２.勾股定理的证明

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法，用拼图的方法验证勾股定理的思路是：

①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变

②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理

常见方法如下：

方法一：4EFGHSSS正方形正方形ABCD，2214()2abbac，化简可证．

方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422Sabcabc

大正方形面积为222()2Sabaabb 所以222abc

方法三：1()()2Sabab梯形，2112S222ADEABESSabc梯形，化简得证

３.勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题。 cbaHGFEDCBAbacbaccabcababccbaEDCBA戴氏教育 初二数学VIP资料

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第 4 页 共 17 页 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．

典型例题

类型一：勾股定理的直接用法

1、在Rt△ABC中，∠C=90°(1)已知a=6， c=10，求b， (2)已知a=40，b=9，求c； (3)已知c=25，b=15，求a.

【变式1】:如图∠B=∠ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少?

2、在ABC中，90C．⑴已知6AC，8BC．求AB的长⑵已知17AB，15AC，求BC的长

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【变式2】:

⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

3、如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

4、如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

BAC

5、若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。

21EDCBA戴氏教育 初二数学VIP资料

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【变式3】:

（1）等边三角形的边长为2，求它的面积。

（2）直角三角形周长为12cm，斜边长为5cm，求直角三角形的面积。

（3）若直角三角形的三边长分别是n+1，n+2，n+3，求n。

类型二：勾股定理的构造应用

2、如图，已知：在中，，，. 求：BC的长.

【变式4】：（1）如图，已知：，，于P.

求证：.

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（2）已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。

（3）已知：如图，AD=4，CD=3，∠ADC=90°，AB=13，∠ACB=90°，•求图形中阴影部分的面积．

（4）已知一直角三角形的斜边长是2，周长是2+6，求这个三角形的面积．

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类型三：勾股定理的实际应用

（一）用勾股定理求两点之间的距离问题

3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点。

（1）求A、C两点之间的距离。

（2）确定目的地C在营地A的什么方向。

【变式5】（1）如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了

m

ABCDE 戴氏教育 初二数学VIP资料

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（2）如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？

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勾股定理

勾股定理

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预习课程˙勾股定理

1. 勾股定理的内容：

如果直角三角形的两直角边分别是a、b，斜边为c，那么222abc．即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方。

注：勾——最短的边、股——较长的直角边、弦——斜边。

CABcba

2. 勾股定理的证明：

（1）方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.ABCDSabcababc正方形 DCBA

（2）方法二:将四个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形：

22222142.Scabababc正方形EFGH GFEH

（3）方法三：“总统”法.如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形：

2()()112222ABCDababSabc梯形

222.abc

cbacbaEDCBA

3. 勾股定理的逆定理：

如果三角形中两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

即222,,ABCACBCABABC在中如果那么是直角三角形。 勾股定理

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预习课程˙勾股定理

4. 勾股数：

满足222abc的三个正整数，称为勾股数．勾股数扩大相同倍数后，仍为勾股数．常用勾股数：3、4、5； 5、12、13；7、24、25；8、15、17。

一、应用勾股定理求直角三角形的第三边

【例1】 （2013黔西南州）一直角三角形的两边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）

A5 B C D5或

【练一练】（2012广州）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则点C到AB的距离是（ ）

A. 365 B. 1225 C. 94 D. 334

勾股定理(讲义)

勾股定理(讲义)

勾股定理

一、知识归纳

1．勾股定理

内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；

表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a，b，斜边为c，那么222abc

2．勾股定理的适用范围

勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形

3．勾股定理的应用

①已知直角三角形的任意两边长，求第三边

在ABC中，90C，则22cab，22bca，22acb

②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系

二、题型

题型一：直接考查勾股定理

例１. 在ABC中，90C

⑴已知6AC，8BC．求AB的长

⑵已知17AB，15AC，求BC的长

解：

题型二：应用勾股定理建立方程

例２.⑴在ABC中，90ACB，5ABcm，3BCcm，CDAB于D，CD＝

⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为

⑶已知直角三角形的周长为30cm，斜边长为13cm，则这个三角形的面积为

BAC21EDCBAABCDE例３.如图ABC中，90C，12，1.5CD，2.5BD，求AC的长

例4.如图RtABC，90C3,4ACBC,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积

题型三：实际问题中应用勾股定理

例5.如图有两棵树，一棵高8cm，另一棵高2cm，两树相距8cm，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 m

三、勾股定理的逆定理知识归纳

1. 勾股定理的逆定理：

如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形，其中c为斜边。

2. 常用的平方数

112＝_______，122＝_______，132＝_______，142＝_______，152＝_______，162＝_______，172＝_______，182＝_______，192＝_______，202＝_______，252＝_______．

勾股定理 2

勾股定理 2

勾股定理单元测试题

一、选择题

1、下列各组数中，能构成直角三角形的是（ ）

A：4，5，6 B：1，1，2 C：6，8，11 D：5，12，23

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝12，b＝16，则c的长为（ ）

A：26 B：18 C：20 D：21

3、在平面直角坐标系中，已知点P的坐标是(3,4)，则OP的长为（ ） A：3 B：4 C：5 D：7

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°,c＝10，则a的长为（ ） A：5 B：10 C：25 D：5

5、等边三角形的边长为2，则该三角形的面积为（ ）

A、43 B、3 C、23 D、3

6、若等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则底边上的高为（ ）

A、6 B、7 C、8 D、9

二、填空题

1、若一个三角形的三边满足222bca，则这个三角形是 。

2、木工师傅要做一个长方形桌面，做好后量得长为80cm，宽为60cm，对角线为100cm，则这个桌面 。（填“合格”或“不合格” ）

3、直角三角形两直角边长分别为3和4，则它斜边上的高为__________。

4、如右图将矩形ABCD沿直线AE折叠,顶点D恰好落 在BC边上F处,已知CE=3,AB=8,则BF=___________。 三、解答题

1、（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB， BC=6，AC=8， 求AB、CD的长

勾股定理 3

勾股定理 3

1 《勾股定理》练习题一

1．等边三角形的高是h，则它的面积是( )

A． h2 B． h2 C． h2 D． h2

2. 直角三角形的周长为12cm，斜边长为5cm，其面积为( )

A． 12cm2 B． 10cm 2 C． 8cm2 D． 6cm2

3.下列命题是真命题的个数有( )

①直角三角形的最大边长为 ，短边长为1，则另一条边长为

②已知直角三角形的面积为2，两直角边的比为1：2，则它的斜边长为

③在直角三角形中，若两条直角边长为n2−1和2n，则斜边长为n2+1

④等腰三角形面积为12，底边上的高为4，则腰长为5

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4.直角三角形的面积为S，斜边上的中线长为m，则这个三角形的周长是( )

A． + 2m B． +m C．2( +m) D．2 +m

5.如图，已知边长为5的等边ΔABC纸片，点E在AC边上，点F在AB边上，沿着EF折叠，使点A落在BC边上的点D的位置，且ED⊥BC，则CE的长是( )

A．10 −15 B．10−5 C．5 −5 D．20−10

6.如果直角三角形的三条边长分别为2、4、a，那么a的取值可以有( )

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

7.小明搬来一架2.5米长的木梯，准备把拉花挂在2.4米高的墙上，则梯脚与墙脚的距离为( )米

A．0.7 B． 0.8 C．0.9 D．1.0

8.一个直角三角形的斜边长比直角边长大2，另一直角边长为6，则斜边长为( )

A．6 B． 8 C．10 D．12