高考数学二轮复习 小题综合限时练五 文

限时练(五)

(限时：40分钟)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1.已知全集U＝R，集合A＝x|xx－2<0，则∁UA等于( )

A.(－∞，0] B.[2，＋∞)

C.[0，2] D.(－∞，0]∪[2，＋∞)

解析 依题意得A＝{x|0

答案 D

2.若复数z＝cos θ－35＋sin θ－45i是纯虚数，则tanθ－π4的值为( )

A.－7 B.－17 C.7 D.－7或－17

解析 依题意得cos θ－35＝0，sin θ－45≠0，即cos θ＝35，sin θ＝－45，tan θ＝－43，tanθ－π4＝tan θ－11＋tan θ＝7，故选C.

答案 C

3.已知数列{an}为等比数列，a5＝1，a9＝81，则a7＝( )

A.9或－9 B.9

C.27或－27 D.－27

解析 依题意得a27＝a5a9＝81，又a7＝a5q2＝q2>0，因此a7＝9，故选B.

答案 B

4.直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x＋1＝0有两个不同交点的一个充分不必要条件是( )

A.－3

C.m<1 D.0

解析 依题意，直线x－y＋m＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同的交点的充要条件是圆心到直线的距离小于圆的半径，即|1＋m|2<2，－3

答案 D

5.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是( )

A.63 B.31 C.27 D.15

解析 依题意，执行程序框图，进行第一次循环时，S＝02＋1＝1<50，i＝3；进行第二次循环时，S＝12＋1＝2<50，i＝7；进行第三次循环时，S＝22＋1＝5<50，i＝15；进行第四次循环时，S＝52＋1＝26<50，i＝31；进行第五次循环时，S＝262＋1>50，i＝63，此时结束循环，输出i的值是63，故选A.

答案 A

6.在△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝30°，CD是边AB上的高，则CD→·CB→＝( )

A.－94 B.94 C.274 D.－274

解析 依题意得CD＝ACsin 30°＝32，CB→在CD→方向上的投影等于32，因此CB→·CD→＝32×32＝94，故选B.

答案 B

7.某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是( )

A.33 B.23 C.332 D.233

解析 依题意，几何体是一个侧放的正三棱柱(上、下底面左右正对)，其中底面边长是2、高是3，因此其体积等于34×22×3＝33，故选A.

答案 A

8.半球内有一个内接正方体，则这个半球的体积与正方体的体积之比为( )

A.5π∶6 B.6π∶2 C.π∶2 D.5π∶12

解析 依题意，设球的半径为R、正方体的棱长为a，则有R2＝a2＋22a2，即Ra＝62.因此该半球的体积与正方体的体积之比等于23πR3∶a3＝6π∶2，故选B.

答案 B

9.已知x>1，y>1，且ln x，12，ln y成等比数列，则xy有( )

A.最小值e B.最小值e

C.最大值e D.最大值e

解析 依题意得ln x·ln y＝14(ln x>0，ln y>0)，ln x＋ln y≥2ln x·ln y＝1，即ln(xy)≥1，xy≥e，当且仅当x＝y＝e时取等号，因此xy有最小值e，故选A.

答案 A

10.设函数f(x)＝ax＋2，x≥2，12x－1，x<2，对于任意的实数x1≠x2都有f（x1）－f（x2）x1－x2<0成立，则

实数a的取值范围为( )

A.a<0 B.a≤0 C.a≤－118 D.a<－118

解析 依题意，函数f(x)在R上是减函数，于是有a<0，2a＋2≤122－1，解得a≤－118，故选C.

答案 C

11.函数f(x)＝a，x＝1，12|x－1|＋1，x≠1，若关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0有五个不同的实数解，则a的取值范围是( )

A.(1，2) B.1，32∪32，2

C.32，2 D.1，32

解析 令f(x)＝t，则2t2－(2a＋3)t＋3a＝0，即(2t－3)·(t－a)＝0，t＝32或t＝a.依题意，在坐标平面内画出函数y＝f(x)(注意当x≠1时，f(x)的值域为(1，2))的大致图象.若a＝32，此时方程f(x)＝32有三个不同的实根，关于x的方程2f2(x)－(2a＋3)f(x)＋3a＝0仅有三个不同的实数解，因此a≠32.结合图象可知，满足题意的实数a的取值范围是1，32∪32，2，故选B.

答案 B

12.定义在0，π2上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)

A.3f π4>2 fπ3 B.2f π6>fπ4

C.f(1)<2f π6sin 1 D.3f π6

解析 记g(x)＝f（x）sin x，则当x∈0，π2时，sin x>0，cos x>0.由f(x)－f′(x)tan x<0知g′(x)＝f′（x）sin x－f（x）cos xsin2 x＝－cos x[f（x）－f′（x）tan x]sin2 x>0，g(x)

是增函数.又0<π6<π3<π2，因此有gπ6

答案 D

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上)

13.从1，2，3，4这四个数中一次随机取两个，则取出的这两数字之和为偶数的概率为________.

解析 依题意，从1，2，3，4中任取两个数共有6种不同的取法，其中取出的两个数字之和为偶数(即相应的奇偶性相同)的取法共有2种，因此所求的概率等于26＝13.

答案 13

14.在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且∠A＝60°，若S△ABC＝1534，且5sin

B＝3sin C，则△ABC的周长等于________.

解析 依题意得12bcsin A＝34bc＝1534，即bc＝15，5b＝3c，解得b＝3，c＝5.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝19，a＝19，因此△ABC的周长等于a＋b＋c＝8＋19.

答案 8＋19

15.设不等式组x≥1，x－2y＋3≥0，y≥x所表示的平面区域是Ω1，平面区域Ω2与Ω1关于直线3x－4y－9＝0对称，对于Ω1中的任意一点A与Ω2中的任意一点B，|AB|的最小值为________.

解析 依题意，在坐标平面内画出不等式组表示的平面区域Ω1及直线3x－4y－9＝0，结合图形可知，在该平面区域内所有的点中，点(1，1)到直线3x－4y－9＝0的距离最近，该距离等于|3×1－4×1－9|5＝2，因此|AB|的最小值等于2×2＝4.

答案 4

16.若双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支相交于A，B两点，若△F1AB是以点A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2＝________.

解析 依题意，设|AF1|＝|AB|＝m，则|BF1|＝2m，|AF2|＝m－2a，|BF2|＝2m－2a.又|AF2|＋|BF2|＝|AB|，

因此(m－2a)＋(2m－2a)＝m，4a2＝m22.

在Rt△AF1F2中，4c2＝|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2＝5－222m2.

因此e2＝4c24a2＝5－22.

答案 5－22