八年级数学下册第16章二次根式16.1二次根式第1课时一课一练基础闯关含解析新版新人教版

八年级数学下册第十六章二次根式知识点梳理单选题1、√2×√8=（）A．4√2B．4C．√10D．2√2答案：B分析：直接利用二次根式的乘法运算法则计算得出答案．解：√2×√8=√16=4．故选B．小提示：此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确掌握运算法则是解题关键．2、如果最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，那么x的值是（）A．1B．2C．3D．4答案：D分析：根据最简二次根式的定义：二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．进行求解即可．∵最简二次根式√3x−5与√x+3是同类二次根式，∴3x−5=x+3，∴x=4，故选：D．小提示：本题考查同类二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键．3、二次根式√2x+4中的x的取值范围是（）A．x＜﹣2B．x≤﹣2C．x＞﹣2D．x≥﹣2答案：D分析：根据“二次根式有意义满足的条件是被开方数是非负数”，可得答案．由题意，得2x+4≥0，解得x ≥-2，故选：D ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数得出不等式是解题关键．4、已知a ＝√5−2，b ＝2+√5，则a ，b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．互为有理化因式答案：A分析：求出a 与b 的值即可求出答案．解：∵a ＝√5−2=√5+2(√5+2)(√5−2)＝√5+2，b ＝2+√5， ∴a ＝b ，故选：A ．小提示：本题考查了分母有理化，解题的关键是求出a 与b 的值，本题属于基础题型．5、已知：a=2−√3，b=2+√3，则a 与b 的关系是（ ）A ．相等B ．互为相反数C ．互为倒数D ．平方相等答案：C 因为a ×b =2−√32+√3=1,故选C.6、计算√8+√18的值等于（ ） A ．√26B ．4√2C ．5√2D ．2√2+2√3答案：C 分析：根据二次根式的运算法则即可求出答案．解：原式=2√2+3√2=5√2故选C ．小提示：本题考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则.7、已知max {√x,x 2,x}表示取三个数中最大的那个数，例如：当x ＝9时，max {√x,x 2,x}=max{√9,92,9}＝81．当max {√x,x 2,x}=12时，则x 的值为（ ） A ．−14B ．116C ．14D ．12答案：C分析：利用max {√x,x 2,x}的定义分情况讨论即可求解．解：当max {√x,x 2,x}=12时，x≥0①√x ＝12，解得：x ＝14，此时√x ＞x ＞x 2，符合题意； ②x 2＝12，解得：x ＝√22；此时√x ＞x ＞x 2，不合题意； ③x ＝12，√x ＞x ＞x 2，不合题意； 故只有x ＝14时，max {√x,x 2,x}=12． 故选：C ．小提示：此题主要考查了新定义，正确理解题意分类讨论是解题关键．8、下列各式中，无意义的是（ ）A ．√(−3)2B ．√(−3)33C ．√−32D ．√−(−3)答案：C分析：根据二次根式的被开方数是非负数判断即可．解：A ．原式=√9=3，故该选项不符合题意；B ．原式=−3，故该选项不符合题意；C ．原式=√−9，−9是负数，二次根式无意义，故该选项符合题意；D ．原式=√3，故该选项不符合题意；故选：C ．小提示：本题考查了二次根式有意义的条件，立方根，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．9、观察下列等式：第1个等式：a 1=1+√2=√2−1， 第2个等式：a 2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，按照上述规律，计算：a1+a2+a3+⋯+a n=（）A．√n+1−1B．√n+1−√n C．√n+1D．√n−1答案：A分析：首先根据题意，可得a1=1+√2=√2−1，a2=√2+√3=√3−√2，a3=√3+2=2−√3，a4=2+√5=√5−2⋯⋯a n=√n+1+√n=√n+1−√n，再相加即可得解．解：第1个等式：a1=1+√2=√2−1，第2个等式：a2=√2+√3=√3−√2，第3个等式：a3=√3+2=2−√3，第4个等式：a4=2+√5=√5−2，……第n个等式：a n=√n+1+√n=√n+1−√n，∴a1+a2+a3+⋯⋯+a n=√2−1+√3−√2+2−√3+⋯+√n+1−√n=√n+1−1，故A正确．故选：A．小提示：本题主要考查了数字的变化规律以及分母有理化，首先要理解题意，找到规律，并进行推导得到答案．10、如图，数轴上的点可近似表示(4√6−√30)÷√6的值是( )A．点A B．点B C．点C D．点D答案：A分析：先化简原式得4−√5，再对√5进行估算，确定√5在哪两个相邻的整数之间，继而确定4−√5在哪两个相邻的整数之间即可．原式=4−√5，由于2＜√5＜3，∴1＜4−√5＜2．故选：A．小提示：本题考查实数与数轴、估算无理数的大小，解题的关键是掌握估算无理数大小的方法．填空题11、若a+6√3=(m+n√3)2，当a，m，n均为正整数时，则√a的值为__________．答案：2√7或2√3##2√3或2√7分析：先利用完全平方公式将(m+n√3)2展开，再根据等式左右两边对应项相等得到关于m、n的方程组，进而可求解．解：∵a+6√3=(m+n√3)2=m2+3n2+2√3mn，∴a=m2+3n2，2mn=6，∵a、m、n均为正整数，∴m=1，n=3，或m=3，n=1，当m=1，n=3时，a=12+3×32=28，则√a=√28=2√7；当m=3，n=1时，a=32+3×12=12，则√a=√12=2√3．所以答案是：2√7或2√3．小提示：本题主要考查了完全平方公式在二次根式混合运算中的运用，熟记完全平方公式，以及分类讨论思想的运用，是解答的关键．12、将√45化为最简二次根式，其结果是 __．2答案：3√102分析：将分母有理化后进行化简即可．解：√452=√45×22×2=√3×3×5×22×2=3√102，所以答案是：3√102．小提示：本题考查二次根式的化简，熟练掌握二次根式的化简方法解决本题的关键．13、已知√x+5有意义，如果关于x的方程√x+5+a=3没有实数根，那么a的取值范围是__．答案：a>3．分析：把方程变形为√x+5=3−a，根据方程没有实数根可得3−a<0，解不等式即可．解：由√x+5+a=3得√x+5=3−a，∵√x+5有意义，且√x+5⩾0，∴方程√x+5=3−a没有实数根，即3−a<0，∴a>3，所以答案是：a>3．小提示：本题考查了二次根式的性质，解题关键是利用二次根式的非负性确定a的取值范围．14、如图，约定：上方相邻两数之和等于这两数下方箭头共同指向的数．示例：即4+3=7，则（1）用含x的式子表示m＝___；（2）当y＝2时，n的值为_____．答案：32x 11 4分析：（1）根据题意，可以用含x的式子表示出m；（2）根据图形，可以用x的代数式表示出y，列出关于x的分式方程，从而可以求得x的值，进而得到n的值．解：（1）由图可得m=1x +12x=32x，所以答案是：32x；（2）∵y=m+n=(1x +12x)+(12x+3)=2x+3，y=2，∴2x+3=2，解得，x=−2，∴n=12x +3=114，所以答案是：114．小提示：本题考查了分式的加减、解分式方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的代数式及分式方程及求出方程的解．15、√27+√3的结果是_________．答案：4√3分析：直接化简二次根式进而合并得出答案．原式=3√3+√3=4√3．所以答案是：4√3.小提示：此题主要考查了二次根式的加减，正确化简二次根式是解题关键．解答题16、在一个边长为（√3+√5）cm的正方形内部挖去一个边长为（√5−√3）cm的正方形（如图所示），求剩余阴影部分图形的面积．答案：4√15( cm2)．分析：用大正方形的面积减去小正方形的面积即可求出剩余部分的面积．解：剩余部分的面积为：（√3+√5）2-（√5-√3）2，=(√3+√5+√5−√3)(√3+√5−√5+√3)，=2√5×2√3，=4√15( cm2)．小提示：此题考查了二次根式的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和平方差公式是解本题的关键．17、计算：(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3答案：(1)4√3−5√5(2)1+6√2分析：(1)直接化简二次根式，进而利用二次根式的加减运算法则计算得出答案；(2)直接化简二次根式，再利用二次根式的乘除运算法则计算得出答案．(1)(4√12−2√20)−(√48+√5)=(8√3−4√5)−(4√3+√5)=8√3−4√5−4√3−√5=4√3−5√5(2)(√48−√27)÷√3+√6×2√3=(4√3−3√3)÷√3+6√2=√3÷√3+6√2=1+6√2小提示：此题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18、已知a满足|2021−a|+√a−2022=a．(1)√a−2022有意义，a的取值范围是______；则在这个条件下将|2021−a|去掉绝对值符号可得|2021−a|=______．(2)根据（1）的分析，求a−20212的值．答案：(1)a≥2022；a−2021(2)a−20212=2022分析：（1）先根据二次根式有意义的条件求出a的范围，再根据绝对值的性质化简；（2）去掉绝对值符号，然后根据二次根式的性质求解即可．（1）解：∵√a−2022有意义，∴a−2022≥0，∴a≥2022，∴2021−a<0，∴|2021−a|=a−2021；所以答案是：a≥2022；a−2021；（2）∵|2021−a|+√a−2022=a，∴a−2021+√a−2022=a，∴√a−2022=2021，∴a−2022=20212，∴a−20212=2022．小提示：本题考查了绝对值的意义，二次根式有意义的条件，二次根式的性质与化简，能求出a≥2022是解此题的关键．。

5．【教材P3练习T2变式】【2021·襄阳】若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围是( A ) A．x≥－3 B．x≥3 C．x≤－3 D．x＞－3
x＋3
新知基本功
6．【2021·绥化】若式子 xx＋0 1在实数范围内有意义，则x的 取值范围是( C )
A．x＞－1 B．x≥－1且x≠0
∴y＝2
024.∴xy＝22
024 023.
素质一练通 (1)若x，y为实数，且y> x－3＋ 3－x＋2，化简：|1y－－1y|；
解：由x3－ －3x≥ ≥00， ，得 x＝3， ∴y>2.∴|1y－－1y|＝yy－－11＝1.
素质一练通 (2)已知x，y是等腰三角形的两条边长，且x，y满足y＝4＋
人教版 八年级下
第十六章 二次根式
16.1 二次根式 第1课时 二次根式的定义
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1 (1) 2C
(2)a≥0
3 见习题 算术平方根；非负
4 数；a≥0
5A
6C 7 见习题 8 算术；≥；≥ 9A 10 B
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11 见习题 12 见习题 13 见习题 14 见习题
10．【中考·宿迁】若实数m，n满足等式|m－2|＋ n－4 ＝ 0，且m，n恰好是等腰三角形ABC的两条边的长，则 △ABC的周长是( B )
A．12 B．10 C．8 D．6 【点拨】根据|m－2|＋ n－4 ＝0得m＝2，n＝4，再根 据三角形三边关系得：三角形三边长分别为4，4，2， 故周长为10.
新知基本功
2．下列各式中不·是·二次根式的是( C )
A. x2＋1
B. 0
C. －2

新人教版八年级下册《第16章二次根式》一、选择题：（每小题4分，共40分）1．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1 2．（4分）的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．3．（4分）下列根式中属最简二次根式的是（）A．B．C．D．4．（4分）下列计算错误的是（）A．B．C．D．5．（4分）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．6．（4分）若是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5 7．（4分）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 8．（4分）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．9．（4分）若x＝﹣3，则等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3 10．（4分）已知，则的值为（）A．B．8 C．D．6 二、填空题：（每小题4分，共32分）11．（4分）已知a＝，则代数式a2﹣1的值为．12．（4分）若，则m﹣n的值为．13．（4分）如果2a﹣18＝0，那么a的算术平方根是．14．（4分）计算：＝．15．（4分）比较大小：﹣3﹣2．16．（4分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝．17．（4分）与的关系是．18．（4分）观察下列各式：①；②＝3；③，…请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：．三、解答题：（共6小题，共78分）19．（32分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．20．（8分）当x＝﹣1时，求代数式x2+2x+2的值．21．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2．22．（10分）解方程组，并求的值．23．（10分）若实数x，y满足y＝++2，求的值．24．（8分）阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值．（3）计算：．新人教版八年级下册《第16章二次根式》参考答案与试题解析一、选择题：（每小题4分，共40分）1．（4分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞1 B．x≥1 C．x≤1 D．x＜1【分析】直接利用二次根式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：由题意得：x﹣1≥0，解得：x≥1．故选：B．2．（4分）的相反数是（）A．﹣B．C．﹣D．【分析】由于互为相反数的两个数和为0，由此即可求解．【解答】解：∵+（﹣）＝0，∴的相反数是﹣．故选：A．3．（4分）下列根式中属最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据最简二次根式的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、无法化简，故本选项正确；B、＝，故本选项错误；C、＝2故本选项错误；D、＝，故本选项错误．故选：A．4．（4分）下列计算错误的是（）A．B．C．D．【分析】结合选项分别进行二次根式的除法运算、乘法运算、加减运算，然后选择正确选项．【解答】解：A、×＝7，原式计算正确，故本选项错误；B、÷＝，原式计算正确，故本选项错误；C、+＝8，原式计算正确，故本选项错误；D、3﹣＝2，原式计算错误，故本选项错误．故选：D．5．（4分）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】根据同类二次根式的定义，先化简，再判断．【解答】解：A、＝2，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故A选项错误；B、＝，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故B选项错误；C、＝，与的被开方数不同，不是同类二次根式，故C选项错误；D、＝3，与的被开方数相同，是同类二次根式，故D选项正确．故选：D．6．（4分）若是整数，则正整数n的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．5【分析】先把75分解，然后根据二次根式的性质解答．【解答】解：∵75＝25×3，∴是整数的正整数n的最小值是3．故选：B．7．（4分）设，a在两个相邻整数之间，则这两个整数是（）A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5【分析】先对进行估算，再确定是在哪两个相邻的整数之间，然后计算介于哪两个相邻的整数之间．【解答】解：∵16＜19＜25，∴4＜＜5，∴3＜﹣1＜4，∴3＜a＜4，∴a在两个相邻整数3和4之间；故选：C．8．（4分）已知a＜b，则化简二次根式的正确结果是（）A．B．C．D．【分析】由于二次根式的被开方数是非负数，那么﹣a3b≥0，通过观察可知ab必须异号，而a＜b，易确定ab的取值范围，也就易求二次根式的值．【解答】解：∵有意义，∴﹣a3b≥0，∴a3b≤0，又∵a＜b，∴a＜0，b≥0，∴＝﹣a．故选：A．9．（4分）若x＝﹣3，则等于（）A．﹣1 B．1 C．3 D．﹣3【分析】x＝﹣3时，1+x＜0，＝﹣1﹣x，再去绝对值．【解答】解：当x＝﹣3时，1+x＜0，＝|1﹣（﹣1﹣x）|＝|2+x|＝﹣2﹣x＝1．故选B．10．（4分）已知，则的值为（）A．B．8 C．D．6【分析】首先求出（a+）2＝a2++2＝10，进而得出（a﹣）2＝6，即可得出答案．【解答】解：∵，∴（a+）2＝a2++2＝10，∴a2+＝8，∴a2+﹣2＝（a﹣）2＝6，∴＝．故选：C．二、填空题：（每小题4分，共32分）11．（4分）已知a＝，则代数式a2﹣1的值为 1 ．【分析】把a＝代入a2﹣1直接计算即可．【解答】解：当a＝时，a2﹣1＝（）2﹣1＝1．故本题答案为：1．12．（4分）若，则m﹣n的值为 4 ．【分析】根据任何非负数的平方根以及偶次方都是非负数，两个非负数的和等于0，则这两个非负数一定都是0，即可得到关于m．n的方程，从而求得m，n的值，进而求解．【解答】解：根据题意得：，解得：．则m﹣n＝3＝（﹣1）＝4．故答案是：4．13．（4分）如果2a﹣18＝0，那么a的算术平方根是 3 ．【分析】先根据2a﹣18＝0求得a＝9，再根据算术平方根的定义即可求a的算术平方根．【解答】解：∵2a﹣18＝0，∴a＝9，∴a的算术平方根是3．14．（4分）计算：＝3．【分析】本题是二次根式的减法运算，二次根式的加减运算法则是合并同类二次根式．【解答】解：＝5﹣2＝3．15．（4分）比较大小：﹣3＜﹣2．【分析】先把两数平方，再根据实数比较大小的方法即可比较大小．【解答】解：∵（3）2＝18，（2）2＝12，∴﹣3＜﹣2．故答案为：＜．16．（4分）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a＝ 1 ．【分析】根据同类二次根式的定义建立关于a的方程，求出a的值．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴1+a＝4a﹣2，解得a＝1．故答案为1．17．（4分）与的关系是相等．【分析】把分母有理化，即分子、分母都乘以，化简再比较与的关系．【解答】解：∵＝，∴的关系是相等．18．（4分）观察下列各式：①；②＝3；③，…请用含n（n≥1）的式子写出你猜想的规律：＝（n+1）．【分析】从给出的三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，依此可以找出规律．【解答】解：从①②③三个式子中，我们可以发现计算出的等号后面的系数为等号前面的根号里的整数加分数的分子，根号里的还是原来的分数，即＝（n+1）．三、解答题：（共6小题，共78分）19．（32分）计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）先把各二次根式化为最简二次根式，然后去括号后合并同类二次根式；（2）根据二次根式的乘除法则运算；（3）利用平方差公式计算；（4）先把括号内的各二次根式化为最简二次根式，然后合并后进行二次根式的除法运算．【解答】解：（1）原式＝2﹣﹣2﹣＝﹣3；（2）原式＝2××＝；（3）原式＝（2）2﹣（）2＝12﹣6＝6；（4）原式＝（8﹣9）÷＝﹣÷＝﹣＝﹣．20．（8分）当x＝﹣1时，求代数式x2+2x+2的值．【分析】将代数式进行适当的变形后，将x的值代入．【解答】解：原式＝x2+2x+1+1＝（x+1）2+1，当x＝﹣1时，原式＝（）2+1＝321．（10分）先化简，再求值：（﹣）÷，其中x＝2．【分析】按照分式的性质进行化简后代入x＝2求值即可．【解答】解：原式＝•＝当x＝2时，原式＝．22．（10分）解方程组，并求的值．【分析】先根据解二元一次方程组的方法求出x、y的值，再代入进行计算即可．【解答】解：，①×2﹣②得，y＝，代入①得，3x+6×＝10，解得x ＝．故＝＝．故答案为：．23．（10分）若实数x，y满足y＝++2，求的值．【分析】根据被开方数是非负数，可得x，y的值，根据代数式求值，可得答案．【解答】解：由题意，得1﹣x≥0，1﹣x≤0，解得x＝1，当x＝1时，y＝2．当x＝1，y＝2时，＝．24．（8分）阅读下面问题：；；．试求：（1）的值；（2）（n为正整数）的值．（3）计算：．【分析】（1）（2）仿照题目所给的分母有理化的方法进行计算；（3）将每一个二次根式分母有理化，再寻找抵消规律．【解答】解：（1）＝＝＝﹣；（2）＝＝＝﹣；（3）原式＝﹣1+﹣+﹣+…+﹣+﹣＝﹣1＝10﹣1＝9．。

5 0.5{ )1(4) 4－3x ；x －4 第十六章 二次根式 16．1 二次根式 第 1 课时 二次根式的概念01基础题知识点 1 二次根式的定义1. 下列式子不是二次根式的是( B )A. B .C. D. 2. 下列各式中，一定是二次根式的是( C )A. －7C . 1＋x 2D . 3. 已知 a 是二次根式，则 a 的值可以是( C )A ．－2B ．－1C ．2D ．－54. 若 －3x 是二次根式，则 x 的值可以为答案不唯一，如：－1(写出一个即可)．知识点 2 二次根式有意义的条件5．x 取下列各数中的哪个数时，二次根式 A ．－2 B ．0C ．2D ．4 x －3有意义(D )6．(2017·广安)要使二次根式 A. x ＞2 B ．x ≥2 C ．x ＜2 D ．x ＝22x －4在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是(B)7. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？解：由－x ≥0，得 x ≤0.解：由 2x ＋6≥0，得 x ≥－3.解：由 x 2≥0，得 x 为全体实数． 4解：由 4－3x>0，得 x<3. (5) x －3 .x －4 ≥ 0，解：由 x －3 ≠ 0 得 x ≥4.(3) x 2； (2) 2x ＋6；(1) －x ；3－π13B . m 32x6 3 (1) 2x －1；2 (2)1－ x ； (3) 1－|x|；知识点 3 二次根式的实际应用8. 已知一个表面积为 12 dm 2 的正方体，则这个正方体的棱长为(B)A.1 dmB. 2 dmC. dm D ．3 dm9. 若一个长方形的面积为 10cm 2，它的长与宽的比为 5∶1，则它的长为5 2cm ，宽为02中档题10. 下列各式中：①12；②2x ；③ x 3；④ －5.其中，二次根式的个数有(A ) A ．1 个 B ．2 个C ．3 个D ．4 个 11．(2017·济宁)若 1 A. x ≥2 12x －1＋ 1 B. x ≤21－2x ＋1 在实数范围内有意义，则 x 满足的条件是(C)1C. x ＝2 1D. x ≠212. 使式子 x ＋3＋ 4－3x 在实数范围内有意义的整数 x 有(C )A ．5 个B ．3 个C ．4 个D ．2 个113. 如果式子 a ＋ ab 有意义，那么在平面直角坐标系中点 A(a ，b)的位置在(A) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限 D ．第四象限14. 使式子 －（x －5）2有意义的未知数 x 的值有 1 个．15. 若整数 x 满足|x|≤3，则使 7－x 为整数的 x 的值是 3 或－2．216. 要使二次根式 2－3x 有意义，则 x 的最大值是3．17. 当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？1解：x>2.解：x ≥0 且 x ≠1.2cm.解：－1≤x≤1.(4) x－3＋4－x.解：3≤x≤4.03综合题3a－6＋3 2－a，求此18.已知a，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a，b 满足b＝4＋三角形的周长．解：∵3a－6≥0，2－a≥0，∴a＝2，b＝4.当边长为4，2，2 时，不符合实际情况，舍去；当边长为4，4，2 时，符合实际情况，4×2＋2＝10.∴此三角形的周长为10.1（－ ）2 3 第 2 课时 二次根式的性质01 基础题 知识点 1 a ≥0(a ≥0)1．(2017·荆门)已知实数 m ，n 满足|n －2|＋ m ＋1＝0，则 m ＋2n 的值为 3． 2．当 x ＝2 017 时，式子 2 018－ x －2 017有最大值，且最大值为 2 018． 知识点 2 ( a )2＝a (a ≥0)3. 把下列非负数写成一个非负数的平方的形式：(1)5＝(15)2; 1(2)3.4＝( 3.4)2；(3)6＝( 4. 计算：( 5. 计算：6)2; (4)x ＝( x )2(x ≥0)．2 018)2＝2 018．解：原式＝0.8.3(2)(－ 4)2；3解：原式＝4. (3)(5 2)2；解：原式＝25×2＝50. (4)(－2 6)2.解：原式＝4×6＝24. 知识点 3 6．计算 a 2＝a (a ≥0) （－5）2的结果是(B )A ．－5B ．5C ．－25D ．257. 已知二次根式 x 2的值为 3，那么 x 的值是(D)A ．3B ．9C ．－3D ．3 或－3 8. 当 a ≥0 时， 9. 计算：9a 2＝3a ．解：原式＝7.解：原式＝5.(3)； 1解：原式＝3. (2) （－5）2； (1) 49； (1)( 0.8)2； (4) 6－2.1 （－ ）2 8 1解：原式＝6.知识点 4 代数式10. 下列式子不是代数式的是(C )3A. 3xB .xC ．x>3D ．x －3 11. 下列式子中属于代数式的有(A )①0；②x ；③x ＋2；④2x ；⑤x ＝2；⑥x>2；⑦ A ．5 个 B ．6 个 C ．7 个 D ．8 个 02 中档题12. 下列运算正确的是(A )A. － （－6）2 6 B ．(－ 3)2＝9 C . （－16）2＝±16 D ．－(－ 5)2＝－25 13．若 a ＜1，化简 （a －1）2－1 的结果是(D )A. a －2 B ．2－a C ．a D ．－ax 2＋1；⑧x ≠2. 14．(2017·枣庄)实数 a ，b 在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋A ．－2a ＋bB ．2a －bC ．－bD ．b（a －b ）2的结果是(A )15. 已知实数 x ，y ，m 满足 x ＋2＋|3x ＋y ＋m|＝0，且 y 为负数，则 m 的取值范围是(A)A ．m ＞6B ．m ＜6C ．m ＞－6D ．m ＜－616. 化 简 ：（2－ 5）2 5－2． 17. 在实数范围内分解因式：x 2－5＝(x ＋ 5)(x － 5)． 18. 若等式（x －2）2＝( x －2)2 成立，则 x 的取值范围是 x ≥2．19. 若 a 2＝3， b ＝2，且 ab ＜0，则 a －b ＝－7． 20. 计算：(1)－2； 1解：原式＝－2×81＝－4.解：原式＝2×10－2. (3)(2 3)2－(4 2)2；(2) 4 × 10－4；1 （2 ）23 1 （－2 ）23 解：原式＝12－32 ＝－20.(4) ＋. 1 1解：原式＝23＋23 2＝43.21. 比较 211与 3 5的大小． 解：∵(2 11)2＝22×( 11)2＝44， (3 5)2＝32×( 5)2＝45，又∵44＜45，且 2 11＞0，3 5＞0，22. 先化简 a ＋ 1＋2a ＋a 2，然后分别求出当 a ＝－2 和 a ＝3 时，原代数式的值． 解：a ＋ 1＋2a ＋a 2＝a ＋ （a ＋1）2＝a ＋|a ＋1|，当 a ＝－2 时，原式＝－2＋|－2＋1|＝－2＋1＝－1； 当 a ＝3 时，原式＝3＋|3＋1|＝3＋4＝7. 03 综合题23. 有如下一串二次根式：① 52－42；② ④ 652－162…172－82；③ 372－122； (1)求①，②，③，④的值；(2) 仿照①，②，③，④，写出第⑤个二次根式；(3) 仿照①，②，③，④，⑤，写出第个二次根式，并化简． 解：(1)①原式＝ 9＝3. ②原式＝ ③原式＝④原式＝225＝15.1 225＝35.3 969＝63. (2)第⑤个二次根式为(3)第个二次根式为化简：1012－202＝99.（4n 2＋1）2－（4n ）2. （4n 2＋1）2－（4n ）2＝ (2n ＋1)．（4n 2－4n ＋1）（4n 2＋4n ＋1）＝ （2n －1）2（2n ＋1）2＝(2n －1) 5. ∴2 11＜33 6 2 × 701 基础题16.2 二次根式的乘除 第 1 课时 二次根式的乘法知识点 1 a ·b ＝ ab (a ≥0，b ≥0) 1. 计算 2× 3的结果是(B )2. 下列各等式成立的是(D )A ．4 C ．4 5×2 3×3 5＝8 5 2＝7 5B ．5 D ．5 3×4 3×4 2＝20 52＝20 63．下列二次根式中，与 2的积为无理数的是(B )A .C .4．计算： 8× B .D . 12＝2．5. 计算：2 6×(－3 6)＝－36．6. 一个直角三角形的两条直角边分别为 a ＝2 cm ，b ＝3 cm ，那么这个直角三角形的面积为 9 2cm 2.7. 计算下列各题：1(1) 3× 5； (2) 125× 5；解：原式＝ ＝5.15. 解：原式＝(3)(－3 2)×2 7；解：原式＝－6 解：原式＝3 x .＝－6 14.知识点 2ab ＝ a · b (a ≥0，b ≥0) 8. 下列各式正确的是( D )A . （－4） × （－9）＝ －4× 16 9 ＋B .4＝ 16× 4 4C . 9＝ 4×D . 4 × 9＝ 4× 9．(2017·益阳)下列各式化简后的结果是 3 2的结果是( C )B . 6 D ．3 2 A. 5C ．2 3 1 21218 32251(4)3 xy · y .－99 4 4 991 ab 25 10a b (2) 300；(3) 16y ；3A. 6C . 18B. 12 D . 36 10．化简 （－2）2 × 8 × 3的结果是(D )A ．2 24B ．－2 24C ．－4 6D ．4 611．化简：(1) 100 × 36＝60；(2) 2y 3＝y 2y．12. 化简：(1) 4 × 225； 解：原式＝ 4× 225＝2×15＝30.解：原式＝10 3.解：原式＝4 y .解：原式＝3xy 2 13. 计算：(1)3 6×2 12；yz . 解：原式＝6 62 × 2＝36 2.(2) · . 解：原式＝ 2a 2b ＝a 2b .02中档题14. 50· a 的值是一个整数，则正整数 a 的最小值是(B ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．515．已知 m ＝(－ 3 )×(－2 21)，则有(A )A ．5＜m ＜6B ．4＜m ＜5C ．－5＜m ＜－4D ．－6＜m ＜－516. 若点 P(a ，b)在第三象限内，化简 17. 计算：(1) 75× 20× 12；a 2b2的结果是 ab ． 解：原式＝ 25 × 3 × 4 × 5 × 3 × 4 ＝60 5. (4) 9x 2y5z .2(3) － 32 × 45 × 2； 解：原式＝－3×16×2 2 ＝－96 2.(4) 200a 5b4c3(a ＞0，c ＞0)． 解：原式＝ 2 × 102·（a 2）2·a·（b 2）2·c2·c ＝10a 2b 2c 2ac .18. 交通警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是v ＝16 df ，其中 v 表示车速(单位：km /h )，d 表示刹车后车轮滑过的距离(单位：m )，f 表示摩擦因数，在某次交通事故调查中，测得 d ＝20 m ，f ＝1.2，肇事汽车的车速大约是多少？ (结果精确到 0.01 km /h )解：当 d ＝20 m ，f ＝1.2 时，v ＝16 df ＝16× 20 × 1.2＝16 24＝32 6≈78.38.答：肇事汽车的车速大约是 78.38 km /h .19. 一个底面为 30 cm ×30 cm 的长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10 cm 的长方体铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了 20 cm ，铁桶的底面边长是多少厘米？解：设铁桶的底面边长为 x cm ，则x 2×10＝30×30×20，x 2＝ 30×30×2， x ＝ 30 × 30 × 2＝30 2. 答：铁桶的底面边长是 30 cm.03综合题20. (教材 P 16“阅读与思考”变式)阅读：古希腊的几何家海伦，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了一个公式：如果一个三角形的三边长a ＋b ＋c分别为 a 、b 、c.记：p ＝ 2 “海伦公式”．，则三角形的面积 S ＝ p （p －a ）（p －b ）（p －c ），此公式称为 思考运用：已知李大爷有一块三角形的菜地，如图，测得 AB ＝7 m ，AC ＝5m ，BC ＝8 m ，你能求出李大爷这块菜地的面积吗？试试看.解：∵AB ＝7 m ，AC ＝5 m ，BC ＝8 m ，(2) （－14） × （－112）； 解：原式＝ 14 × 112 ＝ 2 × 72 × 42 ＝ 2× 72× 42 ＝28 2.a＋b＋c 7＋5＋8∴p＝＝ 2 ＝10.∴S＝p（p－a）（p－b）（p－c）＝10 × （10－7）× （10－5）× （10－8）＝10 × 3 × 5 × 2＝105 2 a 3b ab 01 基础题a a 知识点 1b ＝ b (a ≥0，b ＞0) 1. 计算： 10÷ 2＝(A ) 第 2 课时 二次根式的除法5 10 A . B ．5C . 2D . 22 2. 计算 3÷ A.13 C .2 32的结果是(B )2B .3D ．以上答案都不对3. 下列运算正确的是(D )A . 50÷ 5＝10B . 10÷2 5＝2C . 32＋42＝3＋4＝7D . 1227÷3＝3 4. 计算： 5. 计算： 3 ＝2．(1) 40÷5； 解：原式＝ 8＝2 2. 解：原式＝4.4 (3) 5÷ 215；(4) (a>0)． 解：原式＝ a 6. 解：原式＝2a.a 知识点 2b ＝ b (a ≥0，b ＞0) 6. 下列各式成立的是(A )－33 3 A . －5＝ 5＝ 5－7 －7B . －6＝ －62 32(2) 2 ；2 13 0.3 37(1) 100；1 1 D .4＝327. 实数 0.5 的算术平方根等于(C )2 1A ．2B .C . 2 x －1D .28. 如果 ＝x －2，那么 x 的取值范围是(D )A ．1≤x ≤2B ．1＜x ≤2C ．x ≥2D ．x ＞2 或 x ≤19. 化简：7 7 解：原式＝100＝10.(2)解：原式＝ 64 64 849＝ 49＝7.25a 4(3) 9b2 (b>0)．25a 4 5a 2解：原式＝ 9b2＝ 3b .知识点 3 最简二次根式10．(2017·荆州)下列根式是最简二次根式的是(C )A. B . C . D . 11. 把下列二次根式化为最简二次根式：(1) 2.5； 2 －9 2C . －9＝ 9 ＋1 4＝ 9＋ 15 149； x －1 （ ）2 x －2 203 6C.6 3＝254a2b6a 2 32 (4)3 40 .＝3 ×2 5 5 10解：原式＝2＝2 .2解：原式＝5 10.12(3) 2 ；解：原式＝2 ＝2解：原式＝3 2 × 201＝3 × 2015＝30.02中档题12.下列各式计算正确的是(C)48 3 23A. 3 ＝16B. 11÷3＝12D. ＝911 13.计算3÷2A.7 51 22 13÷5的结果是(A)2B.78(2) 5；3.ab2 27 × 123 30.9 × 121(1) 100 × 0.36；2C .D . 7 14. 在①14；② a 2＋b 2；③ 27；④ m 2＋1中，最简二次根式有 3 个． 15. 如果一个三角形的面积为 15，一边长为 3，那么这边上的高为 2 5．16. 不等式 2 2x － 6＞0 的解集是 x ＞2 ． 17. 化简或计算：解：原式＝ 9 × 121 36 × 10＝33 1 ＝ 6 1033 10 ＝ 6 × 10 ＝ 20 .(2) 12÷27×(－ 18)；解：原式＝－＝－＝－2 2.(3) ；解：原式＝＝3× 2 ＝6 3.(4) 212x ÷5 y . 2解：原式＝(1÷5) 32 × 112 62 × 10 11 1012 × 18 27 4 × 3 × 2 × 93 × 93 × 9 × 123 312x ÷ y18 3 2 18 3 1＝a·a ab ③ ＝ ab .④＝ 5 3xy＝ y .18. 如图，在 Rt △ABC 中，∠C ＝90°，S △ABC ＝ cm 2，BC ＝ cm ，AB ＝3 cm ，CD ⊥AB 于点 D.求 AC ，CD 的长．1 1解：∵S △ABC ＝2AC·BC ＝2AB·CD ，2S △ ABC ∴AC ＝ BC ＝ ＝2 6(cm )，2S △ ABC 2 18 2CD ＝ AB 03 综合题＝ 3 3 ＝3 6(cm )．19. 阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题．ab3－2ab2＋a2b 化简：b －aa(b<a<0)． a 解：原式＝b －ab （b －a ）2a ①(1) 上述解答过程从哪一步开始出现错误？请写出代号②；(2) 错误的原因是什么？(3)请你写出正确的解法． 解：(2)∵b<a ，∴b－a<0.∴(b －a)2 的算术平方根为 a －b.a(3)原式＝b －a b （b －a ）2 aa （b －a ） b＝ b －a a ②5 12xy2 y 23a＝b－a·(a－b)1＝－a·(－a ab) ＝ab.b a18 24 20 45 16.3 二次根式的加减01 基础题知识点 1 可以合并的二次根式第 1 课时 二次根式的加减 1．(2016·巴中)下列二次根式中，与 3可以合并的是(B )A. B . C . D . 2. 下列各个运算中，能合并成一个根式的是(B )A . 12－ 2B . 18－ 8C . 8a 2＋ 2aD . x 2y ＋ xy 23. 若最简二次根式2x ＋1和 4x －3能合并，则 x 的值为(C ) 1 3A ．－2B .4C ． 2D ．54. 若 m 与 18可以合并，则 m 的最小正整数值是(D )A ．18B ．8C ．4D ．2知识点 2 二次根式的加减5．(2016·桂林)计算 3 5－2 5的结果是(A )B ．2 5D ．66．下列计算正确的是(A )A . 12－3＝ 3 B . 2＋ 3＝ 5 C ．4 3－3 3＝1 D ．3＋2 2＝5 17. 计算 27－3 18－ 48的结果是(C ) A ．1B ．－1C ．－ 3－ 28. 计算 2＋( 2－1)的结果是(A)A ．2 2－1B ．2－ 2C ．1－ 2D ．2＋ 29. 长方形的一边长为 8，另一边长为 50，则长方形的周长为 14 2． 10. 三角形的三边长分别为 cm ， 11. 计算： 40 cm ， cm ，这个三角形的周长是(5 5＋2 10)cm .(1)2 3－ 2 ；1解：原式＝(2－2) 33 3＝ 2 .3 A . 5 C ．3 5 D . 2－ 1 30.3238 3 (2) 16x ＋ 64x ；解：原式＝4 ＝(4＋ 8) x ＝12 x . x ＋8 (3) 125－2 5＋ 45； 解：原式＝5 5－2 5＋3(4)(2017·黄冈) 127－6－ 3.解：原式＝3 3－6－ 3＝ 3 －02 中档题12. 若 x 与 2可以合并，则 x 可以是(A )A ．0.5B ．0.4C ．0.2D ．0.113．计算|2－ 5|＋|4－ 5|的值是(B )A ．－2B ．2C ．2 5－6D ．6－2 1 114. 计算 4 A. 3＋ 3C. 32＋3 3－ 8的结果是(B)B. D. 3－ 15. 若 a ，b 均为有理数，且 8＋ 18＋ 1 8＝a ＋b 212，则 a ＝0，b ＝ 4 . 16. 已知等腰三角形的两边长分别为 2 7和 5 5，则此等腰三角形的周长为 2 7＋10 5． 17. 在如图所示的方格中，横向、纵向及对角线方向上的实数相乘都得出同样的结果，则两个空格中的实数之和为 4 2.2 31 36 26 318. 计算： 3 ＝6 5. 6. 2x5 53 2(1) 18＋ 12－ 8－ 27； 解：原式＝3 2＋2 3－2 2－3 ＝(3 2－2 2)＋(2 3－3 3)＝ 2－ 3.(2) b 12b 3＋b 2 48b ；解：原式＝2b 2 3b ＋4b 2 ＝6b 2 3b .(3)( 45＋ 27)－( 4 3＋ 125)； 2解：原式＝3 7＝3 3－2 5＋3 3－3 3－5 3 1(4) 4( 2－ 27)－2( 3－ 2)．39 1 解：原式＝4 2－4 3－2 3＋2 3 1 9 1＝(4＋2) 2－(4＋2) 5 11 ＝4 2－ 4 3. 311 3 19. 已知 3≈1.732，求(3 27－4 43)－2( 4－ 12)的近似值(结果保留小数点后两位)．解：原式＝ 8＝3 38≈3×1.732≈4.62.3－3 3－ 3＋403 综合题20. 若 a ，b 都是正整数，且 a ＜b ， a 与 b 是可以合并的二次根式，是否存在 a ，b ，使a ＋b ＝ 75？若存在，请求出 a ，b 的值；若不存在，请说明理由． 解：∵ a 与 b 是可以合并的二次根式， a ＋ b ＝ 75， ∴ a ＋ b ＝ 75＝5 3.∵a<b ，∴当 a ＝3，则 b ＝48；5.1233b53当a＝12，则b＝27.40＋ 55第 2 课时 二次根式的混合运算01 基础题 知识点 1 二次根式的混合运算 1．化简 2( 2＋2)的结果是(A )A ．2＋2 2B ．2＋ 2C ．4D ．3 22．计算( 12－ 3)÷ 3的结果是(D )A ．－1B ．－ C. 33．(2017·南京)计算： D ．1 12＋ 8× 6的结果是 6 3．14．(2017·青岛)计算：( 24＋ 6)× 6＝13．5．计算：＝2 6．计算：(1) 3( 5－ 2)；2＋1．解：原式＝ 15－ 6.(2)( 24＋ 18)÷ 2； 解：原式＝2 3＋3.(3)( 2＋3)( 2＋2)； 解：原式＝8＋5 2.(4)( m ＋2 n )( m －3n )． 解：原式＝m － mn －6n. 知识点 2 二次根式与乘法公式 7．(2017·天津)计算：(4＋ 1 7)(4－ 7)的结果等于9． 8．(2016·包头)计算：6 9．计算：3－( 3＋1)2＝－4．(1)( 1 2－ 2)2； 1解：原式＝2.(2)( 2＋ 3)( 2－ 3)；解：原式＝－1.(3)( 5＋3 2)2.解：原式＝23＋6 10. 10．(2016·盐城)计算：(3－ 7)(3＋ 7)＋ 2(2－ 2)．32＝2 2－ ＝ 2.2解：原式＝9－7＋2 2－202中档题 11. 已知 a ＝ 5＋2，b ＝2－ B. － 5，则 a2 018b 2 017 的值为(B ) 5－2 C.1 D ．－112. 按如图所示的程序计算，若开始输入的 n 值为 2，则最后输出的结果是(C )A ．14B ．16C ．8＋5D ．14＋ 13. 计算：(1)(1－2 2)(2 2＋1)；解：原式＝－7. 3 2 3(2) 12÷( 4 ＋ 3 )；3 3 8 3解：原式＝ 12÷( 12 ＋ 12 ) 11 3＝ 12÷ 1212＝2 3×11 3 24 ＝11.(3)(4 6－4 12＋3 8)÷2 2； 解：原式＝(4 6－2 2＋6 2)÷2 ＝(4 ＝2 6＋4 3＋2. 1 2)÷2 21(4) 24× 3－4× 8×(1－ 2)0.解：原式＝2 6× 3 －4× 4 ×1 2 3 A . 5＋2 ＝2 2. 2 214.计算：(1)(1－5)( 5＋1)＋( 5－1)2；解：原式＝1－5＋5＋1－2＝2－2 5.(2)( 3＋2－1)( 3－2＋1)．解：原式＝( 3)2－( 2－1)2＝3－(2＋1－2 2)＝3－ 2－1＋2 2＝2 2.15.已知a＝7＋2，b＝7－2，求下列代数式的值：(1)ab2＋ba2；(2)a2－2ab＋b2；(3)a2－b2.解：由题意得a＋b＝( 7＋2)＋( 7－2)＝2 7，a－b＝( 7＋2)－( 7－2)＝4，ab＝( 7＋2)( 7－2)＝( 7)2－22＝7－4＝3.(1)原式＝ab(b＋a)＝3×2(2)原式＝(a—b)2＝42＝16.(3)原式＝(a＋b)(a—b)＝2 03综合题16.观察下列运算：7＝6 7.7×4＝8 7.1①由( 2＋1)( 2－1)＝1，得2＋1＝2－1；②由( 3＋2)( 3－2)＝1，得13＋2＝3－2；③由( 4＋3)( 4－3)＝1，得14＋3＝4－3；…(1)通过观察你得出什么规律？用含n 的式子表示出来；(2)利用(1)中你发现的规律计算：( 12 018＋2 017)×( 2 018＋1)．12＋1＋13＋2＋14＋3＋…＋12 017＋2 016＋解：(1)1n＋1＋n＝n＋1－n(n≥0)．(2)原式＝( 2－1＋3－2＋4－3＋…＋2 017－2 016＋2 018－2 017)×( 2 018＋1)＝(－1＋＝2 017. )(2 018＋1)5＝2 12 ＝ 4 3.类型 1 与二次根式有关的计算 1. 计算：小专题(一) 二次根式的运算(1)6 12×3 6；1解：原式＝(6×3)(2)(－44 1 5)÷5 5；3 5解：原式＝－4 5÷(5× 5 ) ＝－4 4 ＝－3. 5÷33(3) 72－2 2＋2 18；3解：原式＝6 3 2－2 2＋6 ＝12 21 2－2 2 ＝ 2 2.(4)(2 5＋ 3)×(2 5－ 3)． 解：原式＝(2 ＝20－3 ＝17. 2. 计算：5)2－( 3)2(1)3 31 4÷(－2 12 3)；1解：原式＝[3÷(－2)]＝－6＝－6 2 × 6 5 23 5÷4 39209 × 520 × 5854 × 9 9 ＝－5 5.(2)( 6＋ 10× 15)× 3； 解：原式＝3 2＋5 6× 3 ＝3 ＝18 2＋15 2 2.811 (3)3 54×(－ 9)÷7 5；解：原式＝3×(－1)×÷7＝－33 ＝－7 648÷7 548 ×6 ＝－7 10.11(4)( 12－4 8)－(3 3－4 0.5); 解：原式＝2 3－ 2－ 3＋2 ＝ 3＋ 2.(5)(3 2－ 6)2－(－3 2－ 6)2.解：原式＝(3 2－ 6)2－(3 2＋ 6)2＝18＋6－12 3－(18＋6＋12 3) ＝－24 3.3.计算：6(1)(2 018－ 3)0＋|3－ 12|－ 3； 解：原式＝1＋2 3－3－2 3 ＝－2.1 10 3 (2)(2017·呼和浩特)|2－ 15|－ 3 2×(8－ 2 )＋2. 解：原式＝ 5－2－2＋ 5＋2 ＝2 5－1. 类型 2 与二次根式有关的化简求值4．已知 a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2，求 a 2b －ab 2 的值．1 15 65 2{ ) 解：原式＝a 2b －ab 2＝ab(a －b)． 当 a ＝3＋2 2，b ＝3－2 2时，原式＝(3＋2 2)(3－2 2)(3＋2 2－3＋2 2)5. 已知实数 a ，b ，定义“★”运算规则如下：a ★b ＝的值．解：由题意，得 2★ 3＝ 3.∴ 7★( 2★ 3)＝ 7★ 3＝ 7－3＝2.b （a ≤ b ），a2－b 2（a > b ）， 求 7★( 2★ 3)6. 已知 x ＝2＋ 3，求代数式(7－4 3)x 2＋(2－ 3)x ＋ 3的值． 解：当 x ＝2＋ 3时，原式＝(7－4 3)×(2＋ 3)2＋(2－ 3)×(2＋ 3)＋ ＝(7－4 3)×(7＋ 4 3)＋4－3＋ 3 ＝49－48＋1＋ 3＝2＋ 3.1117．(2017·襄阳)先化简，再求值：(x ＋y ＋x －y )÷xy ＋y 2，其中 x ＝ 2x5＋2，y ＝ 5－2. 解：原式＝ 2xy＝x －y .（x ＋y ）（x －y ）·y(x ＋y) 当 x ＝ 5＋2，y ＝ 5－2 时，原式＝ 1 ＝2.8. 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如 3＋22＝(1＋ 2)2，善于思考的小明进行了以下探索：设 a ＋b 2＝(m ＋n 2) 2(其中 a ，b ，m ，n 均为正整数)，则有a ＋b 2＝m 2＋2n 2＋2 2mn ，∴a ＝m 2＋2n 2，b ＝2mn.这样小明就找到了一种把 a ＋b 并解决下列问题：2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索 (1) 当 a ，b ，m ，n 均为正整数时，若 a ＋b a ，b ，得 a ＝m 2＋3n 2，b ＝2mn ；3＝(m ＋n 3) 2，用含 m ，n 的式子分别表示 (2) 利用所探索的结论，找一组正整数 a ，b ，m ，n 填空：4＋2 唯一)3＝(1＋ 3)2；(答案不 (3) 若 a ＋4 3＝(m ＋n 3)2，且 a ，m ，n 均为正整数，求 a 的值．＝4 2. 32（ 5＋2）（ 5－2） 5＋2－ 5＋2{ )a＝m2＋3n2，解：根据题意，得4＝2mn.∵2mn＝4，且m，n 为正整数，∴m＝2，n＝1 或m＝1，n＝2.∴a＝7 或13.5 2 3 章末复习(一) 二次根式01基础题知识点 1 二次根式的概念及性质x ＋ 41．(2016·黄冈)在函数 y ＝ x 中，自变量 x 的取值范围是(C) A ．x >0 B ．x ≥－4C ．x ≥－4 且 x ≠0D ．x >0 且 x ≠－4 2．(2016·自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是(B)A. 10B.C. 6D. 3. 若 xy ＜0，则 x 2y 化简后的结果是(D )A ．x yB ．x －yC ．－x －yD ．－x y知识点 2 二次根式的运算4. 与－ 5可以合并的二次根式的是(C )A . 10C . 20 5．(2017·十堰)下列运算正确的是(C )A . 2＋ C . 8÷ 3＝B ．2 2＝2 D ．3 12×3 2－ 2＝6 2＝36. 计算 5÷7. 计算：5× 5所得的结果是 1． (1)(2017·湖州)2×(1－ 2)＋ 8；解：原式＝2－2＝2.2＋2 2(2)(4 3＋3 6)÷2 3； 解：原式＝43 ＝2＋2 2.13÷2 3＋3 6÷21(3)2 32－2 75＋ 0.5－327；解：原式＝2 1 2－10 3＋ 2 － 3 1 ＝(2＋2)× 2＋(－10－3)× 5 31 ＝2 2－ 3 3.(4)(3 2－2 3)(3 2＋2 3)．82B . 15 D . 25 23 33 3 7 32－ 82 25.12 3.145－1解：原式＝(3 ＝9×2－4×3 ＝6.2)2－(2 3)2知识点 3 二次根式的实际应用8. 两个圆的圆心相同，它们的面积分别是 25.12 和 50.24.求圆环的宽度 d.(π 取 3.14，结果保留小数点后两位)解：d ＝＝ 16－ ≈1.17.50.24 3.14 － 8＝4－2 答：圆环的宽度 d 约为 1.17.02中档题1 －9. 把－aa 中根号外面的因式移到根号内的结果是(A ) B ．－ aD . a1 110. 已知 x ＋x ＝ 7，则 x －x 的值为(C)A. B ．±2C ．± D.11. 在数轴上表示实数 a 的点如图所示，化简 （a －5）2＋|a －2|的结果为 3．12．(2016·青岛)计算： ＝2． 13. 计算：( 3＋2)3×( 3－2)3＝－1．14. 已 知 x ＝ 2 ，则 x 2＋x ＋1＝2．15. 已知 16－n 是整数，则自然数 n 所有可能的值为 0，7，12，15，16． 16. 计算：1(1)( 3＋1)( 3－1)－ 16＋(2)－1； 解：原式＝3－1－4＋2 ＝0.2A . －a ．－ －a(2)( 3＋ 2－ 6)2－( 2－3＋ 6)2. 解： 原式＝( 3＋ 2－ 6＋ 2－ 3＋ 6)×( 3＋ 2－ 6－ 2＋ 3－ 6)＝2 2×(2 ＝4 6－8 3－2 6) 3.17. 已知 x ＝ 3＋ 7，y ＝ 3－ 7，试求代数式 3x 2－5xy ＋3y 2 的值． 解：当 x ＝ 3＋ 7，y ＝ 3－ 7时， 3x 2－5xy ＋3y 2＝3(x 2－2xy ＋y 2)＋xy ＝3(x －y)2＋xy＝3( 3＋ 7－ 3＋ 7)2＋( 3＋ 7)×( 3－ 7) ＝3×28－4＝80.18. 教师节要到了，为了表示对老师的敬意，小明做了两张大小不同的正方形壁画准备送给老师，其中一张面积为 800 cm 2，另一张面积为 450 cm 2，他想如果再用金彩带把壁画的边镶上会更漂亮，他现在有 1.2 m 长的金彩带，请你帮助算一算，他的金彩带够用吗？如 果不够，还需买多长的金彩带？( 2≈1.414，结果保留整数)解：正方形壁画的边长分别为 800 cm ， 450 cm .镶壁画所用的金彩带长为 4×( 800＋ 450)＝4×(20 2＋15 2)＝140 2≈197.96(cm)．因为 1.2 m ＝120 cm ＜197.96 cm ，所以小明的金彩带不够用，197.96－120＝77.96≈78(cm)． 故还需买约 78 cm 长的金彩带． 03 综合题19.已知 a ，b ，c 满足|a － (1) 求 a ，b ，c 的值；8|＋ b －5＋(c － 18)20. (2) 试问以 a ，b ，c 为边能否构成三角形？若能构成三角形，请求出三角形的周长；若不能，请说明理由．解：(1)由题意，得 a － 8＝0，b －5＝0，c － 18＝0， 即 a ＝2 2，b ＝5，c ＝3 2.(2)∵2 2＋3 2＝5 2＞5，∴以 a ，b ，c 为边能构成三角形． 三角形的周长为 2 2＋3 2＋5＝5 2＋5.“”“”At the end, Xiao Bian gives you a passage. Minand once said, "people who learn to learn are very happy people.". In every wonderful life, learning is an eternal theme. As a professional clerical and teaching position, I understand the importance of continuous learning, "life is diligent, nothing can be gained", only continuous learning can achieve better self. Only by constantly learning and mastering the latest relevant knowledge, can employees from all walks of life keep up with the pace of enterprise development and innovate to meet the needs of the market. This document is also edited by my studio professionals, there may be errors in the document, if there are errors, please correct, thank you!。