线性微分方程的常数变易法

微分方程中常数变易法的应用杨秀香【摘要】利用微分方程中常数变易法、线性代数以及微分方程理论，研究伯努利方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、二阶变系数齐次线性微分方程、二阶变系数非齐次线性微分方程、n阶非齐次线性微分方程、非齐次线性微分方程组的解法，得到各类方程的通解与特解。

%Using the variation of constants in differential equation, the knowledge of linear algebra and theory of differentiale⁃quation to research Bernoulli equations, two order nonhomogeneous linear differential equations with constant coefficients, two order homogeneous linear differential equation with variable coefficient, two order variable coefficient linear differential equation, n order nonhomogeneous linear differential equations, and non-homogeneous linear differential equations, the general solution and special solution of equations are got.【期刊名称】《渭南师范学院学报》【年(卷),期】2016(031)008【总页数】6页(P9-13,30)【关键词】常数变易法;微分方程;求解;应用【作者】杨秀香【作者单位】渭南师范学院数理学院，陕西渭南714099【正文语种】中文【中图分类】O175.1常数变易法是解微分方程的一种很特殊的方法,常微分方程教材中是在求解一阶非齐次线性微分方程时提出的,这种方法指的是将一阶线性齐次微分方程通解中的常数变易成待定的函数,代入原方程从而确定方程的解。

2.2 一阶线性方程与常数变易公式(First order linear differential equationand constant variation formula )[教学内容] 1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程; 2.介绍一阶线性非齐次方程的常数变易公式; 3. 介绍电学知识和基尔霍夫定律; 4. 认识Bernoulli 方程及其通过变量替换化为一阶线性方程的解法; 5. 介绍其他可化为一阶线性方程的例子.[教学重难点] 重点是知道一阶线性非齐次方程的解法，难点是如何根据方程的形式引入新的变量变换使得新方程为一阶线性方程.[教学方法] 自学1、4；讲授2、3 课堂练习 [考核目标]1. 熟练运用常数变易公式;2. 知道⎰dx bx sin e ax 计算和一些三角函数恒等式; 3. 知道电学一些知识，如电容电流公式、电感电压公式和基尔霍夫定律; 4. 知道溶液混合问题建模; 5. 认识Bernoulli 方程并会经过适当变换化为线性方程求解. 6. 知道交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程.1. 认识一阶线性齐次方程和一阶线性非齐次方程（First order (non)homogeneous linear differential equation ） (1) 称形如y p(x)dxdy=的方程为一阶线性齐次方程，其中p(x)连续； 称形如q(x)y p(x)dxdy+=的方程为一阶线性非齐次齐次方程，其中q(x) p(x),连续且q(x)不恒为零. (2) 当0y ≠时，改写y p(x)dxdy=为 1C dx p(x)|y |ln ,dx p(x)y dy dx, p(x)y dy +===⎰⎰⎰，其中⎰dx p(x)表示P(x)的一个原函数(antiderivative). 因此，y p(x)dxdy =通解(general solution)为1C p(x)dx e C ~,e C ~y =⎰±=，此外y=0也是解. 综上，y p(x)dxdy =的解为C ,e C y p(x)dx⎰=为任意常数. (3) 常数变易法：如何求q(x)y p(x)dxdy+=的解呢？ 假定上述线性非齐次方程有如下形式的解 ⎰=p(x)dxeC(x)y ，则代入原方程来确定C(x)，q(x)p(x)C(x)e e p(x) C(x)e (x)' C dxdy p(x)dxp(x)dx p(x)dx +⎰=⎰+⎰=， 即q(x)e(x)' C p(x)dx=⎰，C q(x)dx eC(x) q(x), e(x)' C p(x)dx-p(x)dx+⎰=⎰=⎰-，此处C 为任意常数,⎰⎰q(x)dx ep(x)dx-为函数q(x)ep(x)dx-⎰一个原函数.综上，一阶线性非齐次方程的通解为⎰⎰⎰⎰+⎰=+⎰⋅⎰=q(x)dx eeCeC)q(x)dx e(ey(x)p(x)dx-p(x)dxp(x)dxp(x)dx-p(x)dx.2. 一些实际应用例子（Applications ） 例28. 电容器的充电和放电模型RC 电路：假定开始电容C 上没有电荷，电容两端电压为0，合上开关1后，电池E 对电容C 开始充电，电池电压为E ，电阻阻值为R ，电容C 两端电压逐渐上升. 写出充电过程中，电容C 两端电压随时间变化的规律.解：设U(t)表示在时刻t 时电容两端电压，则根据电学知识，电容两端电量Q=U C ，电流I =dtdU C dt dQ =, 电阻两端电压为R I=dt dUR . 由基尔霍夫定律知，闭合回路上压降为零.即有0dt dU RC U E =--. 改写为 RC EU RC 1dt dU +⋅-=，这是一个一阶线性非齐次方程. 记RCE q(t) ,RC 1p(t)=-=, 由常数变易公式得到， C~e E )C ~(Ee e )C ~dt RCE e (e )C ~q(t)dt e(eU(t)RC tRC t RC t RC t RC t p(t)dtp(t)dt----+=+=+=+⎰⎰=⎰⎰再注意到初始条件U(0)=0，-E C ~0,C ~e Ee U(0)00==+=，因此，RC tEe E U(t)--=.例29. 考察如下RL 电路图，设电源E 的电压为0 U sin wt,U E m m >=为常数，求电感线圈上电流I 随时间的变化规律，设t=0时，I=0.解：设I(t)表示时刻t 时电感线圈上电流强度，则由电学知识有，电感线圈两端电压为dtdI L . 由基尔霍夫定律知，闭合回路电压降为零. 于是 0dtdIL I R E =--. 改写为sin wt U L1L I R dt dIm +-=, 这是一个一阶线性非齐次方程. 记wt sin L Uq(t) ,L R p(t)m =-=, 由常数变易公式得到，)C ~dt sin wt LU e (e )C ~q(t)dt e(eI(t)m L RtL Rt p(t)dtp(t)dt⎰⎰+=+⎰⎰=--.b a bt cos b bt sin a e bt))isin bt (cos e b a ib)(a Im()e ib a 1Im()dt e Im(dt )Im(e e dt bt sin e 22at a 22ib)t(a ib)t (a ibt at at +-=+⋅+-=+===++⎰⎰⎰22t LR m LRtm m LRt w (R/L) wt)cos w sin wt L R(e LU dt sin wt e LUdt sin wt L U e+-==⎰⎰令2222w(R/L)w φsin ,w(R/L)R/L φ cos +-=+=，于是由B sin A cos B cos A sin B)sin(A +=+知，22t LR mm LRt w (R/L)φ)sin(wt e L U dt sin wt L U e++=⎰，于是L Rt22m e C ~w (R/L)φ)sin(wt LU I(t)-+++=.再注意到初始条件I(0)=0，22m0022m w(R/L)φsin L U C ~0,C ~e e w (R/L)φsin LU I(0)+-==++=，因此，t LR 22m22mew(R/L)sin(φL Uw (R/L)φ)sin(wt LUI(t)-+-++=).练习23. (1) 求dt bt cos e at ⎰； (2) 改写 t cos b sin t a +为θ)sin(t ba 122++，给出θ所满足的条件. (3) 由 Euler 公式b sin i b cos e ib+=和R b a, ,e e e b)i(a b i a i ∈=⋅+推导出:b asin sin b cos a cos b)cos(a b,sin a cos b cos a sin b)sin(a -=++=+和b))sin(a b)(sin(a 21b cos a sin -++=， b))cos(a b)(cos(a 21b cos a cos -++=. 作业24. （1） 如例28中RC 电路图，设E=10V , R=100Ω, C=0.01 F, 开始时刻电容C 上电压为零并在此刻合上开关1，问经过多长时间电容C 两端电压为V 5U 1=?（2）如下RL 电路图，设E, R, L 均为正的常数，求开关闭合后电路中电流强度I(t)，假定I(0)=0.例30. 溶液混合问题：设容积为V （单位3m ）的密封容器装着某种溶液如下图，从A 以速度r （单位/s m 3）流入浓度为0C e >（常数）的相同溶液，经充分混合后在B 以相同速度r 流出容器, 假设时刻t=0时，容器溶液浓度为0，问容器中浓度随时间变化的规律.解：设时刻t 时容器溶液浓度为C(t)，则C(0)=0，且由溶质出入平衡，也即流入减去流出等于容器内溶质变化量，由微元法建立如下等式：V C(t))Δt)(C(t C(t)Δt r C Δt r e -+≈-，即e C VrC V r dt dC +-=. (以下略) 作业25. 假设伊利湖的存水量为34m 1048⨯，从休伦湖流入和从安大略湖流出的速度都是每年34m 1035⨯，在t=0时刻，伊利湖的污染物浓度时休伦湖的5倍. 如果流出的水是完全混合好的湖水，问使得伊利湖的污染物浓度减少到休伦湖2倍需要多少时间？（假定休伦湖污染物浓度为常数0C e >） 3. Bernoulli 方程及其解法称形如R n ,y q(x)y p(x)dxdyn ∈+=为Bernoulli 方程. 解法：当0y ≠时，改写原方程1n , n)q(x)(1y p(x) n)(1dxdy y n)-(1n -1n -≠-+-=, 令n)q(x)(1n)p(x)u (1dx du ,y u n1-+-==-，这是一个一阶线性非齐次方程. 例31 求解方程2y x xy6dx dy -=. 解：经过观察，原方程是一个Bernoulli 方程, n=2. （1）当0y ≠时，改写原方程为 x 2)(1y x62)(1dx dy 2)y-(1212---=--，令21y u -=，则 x u x6dx du +-=. 由常数变易公式得到， 6276-dx x6dx x6x C8x C)dx x (x )C xdx e(eu(x)+=+=+⎰⎰=⎰⎰-.返回原变量得到62x C8x y 1+=.(2) 当y=0时，容易验证0y =也是原方程的解. 作业26. 求解方程（1）33y x y x dxdy=+； （2）1y(1) ,y xy 'y x 22==-. 4. 交换自变量和因变量化非线性方程为一阶线性方程 例32. 求解（1）2y 2x y dx dy -=； （2）33yx xy 1dx dy -=. 解：(1) 这是一个一阶方程，非线性方程，不是Bernoulli 方程.(a) 当0y ≠时，交换自变量和因变量而改写原方程为 y x y2y y 2x dy dx 2-=-=. 这是一个一阶线性方程. 由常数变易公式得到， C)y)dy (e(ex dy y2dy y2+-⎰⎰=⎰-，即 |)y |ln (C y C)y)dy (y1(y x 222-=+-=⎰为所求方程的通积分. (b) 当y=0时，已验证y=0也是原方程的一个解. (2) 结合Bernoulli 方程来完成，留作练习.作业27. 求解方程（1）3y x y dx dy +=； （2） y2y x dx dy 22+=.5. 一些一阶线性方程的理论 （1）考虑方程q(x)y p(x)dxdy=+，其中p(x), q(x)都是以w>0为周期的连续函数. 用常数变易公式证明：（a) 若0q(x)≡，则方程任一非零解都以w 为周期的周期函数充要条件是p(x)的平均值.0p(x)dx w 1(x)p w==⎰ (b) 若q(x)不恒为零，则方程有唯一w 周期解充要条件是0p(x)dx w1(x)p w0≠=⎰, 试求出此解. （参见丁同仁、李承治《常微分方程教程》P36 习题5， 6）。

一阶线性微分方程的几种解法和思路分析魏明彬【摘要】常数变易法是求解线性微分方程的重要方法.数学家是如何想到的,是一个值得探讨的问题.讨论了得到常数变易法的思路.在求解一阶线性微分方程的过程中,根据“任何一个未知函数总可以表示为一个已知的恒不为零的函数和一个待定函数之积”,自然地得到了常数变易法.【期刊名称】《成都师范学院学报》【年(卷),期】2014(030)007【总页数】3页(P122-124)【关键词】线性方程;常数变易法;通解【作者】魏明彬【作者单位】成都师范学院数学系,成都611130【正文语种】中文【中图分类】O175线性微分方程可以说是大家最熟悉的一类微分方程。

讨论线性微分方程的文章也很多。

例如，文[1]借助于因变量代换，得到了三阶变系数线性微分方程的若干新的可积类型。

文[2]给出一类二阶变系数线性微分方程的通解公式。

文[3]将几类变系数线性微分方程化为常系数的线性微分方程 ,从而求得它们的通解。

文[4]探讨了一阶线性自治非齐次微分方程组的特解,以及一阶线性齐次微分方程组的基本解组的求解问题,并提出新的特殊解法,从而得到其通解。

文[5]介绍了一阶线性微分方程及一阶线性微分方程组的解法。

上述文献(以及其他许多文献)，都是从科研角度出发，主要讨论一些特定类型的线性微分方程的解法。

而本文从教学角度出发，主要讨论导出求解一阶线性微分方程的常数变易法的思路。

这样做，有利于引导学生的思考，培养他们的自学能力。

我们称y′+p(x)y=f(x) (1)为一阶线性非齐次微分方程，其中p(x),f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，称y′+p(x)y=0 (2)为(与(1)对应的)一阶线性齐次微分方程。

我们求解方程(1)，通常有三种方法。

一种是积分因子法。

先将方程(1)改写为方程dy+p(x)y dx=f(x)dx (3)一般而言，微分方程(3)不是恰当微分方程。

但是，对微分(3)的两边同时乘以非零因子μ(x)=e∫p(x)dx后，得到的新方程e∫p(x)dxdy+e∫p(x)dxp(x)y dx=e∫p(x)dxf(x)dx(4)却是一个恰当微分方程。

解微分方程的方法微分方程是数学中的重要概念，它在物理、工程、经济学等领域都有着广泛的应用。

解微分方程是数学分析中的一个重要课题，本文将介绍解微分方程的几种常见方法。

一、分离变量法。

分离变量法是解微分方程最常用的方法之一。

对于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程，我们可以通过将方程两边分别关于x和y进行积分来求解。

具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 对两边进行积分，得到解函数y(x)。

二、特征方程法。

特征方程法适用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的一阶线性微分方程。

具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+P(x)y=Q(x)的形式；2. 求解特征方程r+P(x)=0，得到特征根r；3. 根据特征根的不同情况，得到通解形式。

三、常数变易法。

常数变易法适用于形如dy/dx+P(x)y=Q(x)的一阶线性微分方程。

具体步骤如下：1. 将方程写成dy/dx+P(x)y=Q(x)的形式；2. 通过乘以一个适当的积分因子来将方程转化为恰当微分方程；3. 求解恰当微分方程，得到通解形式。

四、变量分离法。

变量分离法适用于形如dy/dx=f(x)g(y)的微分方程。

具体步骤如下：1. 将方程写成dy/g(y)=f(x)dx的形式；2. 对两边同时积分，得到∫(1/g(y))dy=∫f(x)dx；3. 对两边进行积分，得到解函数y(x)。

五、常系数线性微分方程的求解。

常系数线性微分方程是指系数为常数的线性微分方程。

求解常系数线性微分方程的方法包括特征方程法、常数变易法等。

总结：解微分方程的方法有很多种，本文介绍了分离变量法、特征方程法、常数变易法、变量分离法以及常系数线性微分方程的求解方法。

在实际问题中，选择合适的方法来解微分方程是非常重要的，希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解和应用微分方程的解法。

一阶线性微分方程通解公式引言在微积分中，线性微分方程是一种非常重要的方程形式。

一阶线性微分方程是指关于未知函数及其导数的一阶方程，且方程可以写成如下形式：$$\\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$$其中，P(x)和Q(x)分别是给定的函数。

解一阶线性微分方程的通解公式可以帮助我们找到方程的所有解。

解一阶线性微分方程的通解公式我们使用常数变易法来解一阶线性微分方程。

假设方程的解为y(x)，且y(x)的导数为$\\frac{dy}{dx}$，则通解公式可表示为：$$y(x) = \\frac{1}{\\mu(x)} \\left(\\int \\mu(x)Q(x)dx + C\\right)$$其中，$\\mu(x)$是一个称为积分因子的函数，C是一个任意常数。

求解积分因子为了求解积分因子$\\mu(x)$，我们需要满足以下条件：1.积分因子$\\mu(x)$是一个非零函数，即$\\mu(x) \ eq 0$。

2.方程$\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right) = \\mu(x)Q(x)$是一个恰当微分方程。

为满足第二个条件，我们引入一个新的函数M(x,y)，使得$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} +P(x)y\\right)]$。

利用偏导数的性质，我们可以得到：$$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\mu'(x)\\left(\\frac{dy}{dx} +P(x)y\\right) + \\mu(x)\\left(\\frac{d}{dx}\\frac{dy}{dx} + P'(x)y +P(x)\\frac{dy}{dx}\\right)$$化简上式，并与$\\frac{\\partial M}{\\partial x} = \\frac{\\partial}{\\partial y}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right)]$进行对比，得到：$$\\mu'(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right) +\\mu(x)\\left(\\frac{d}{dx}\\frac{dy}{dx} + P'(x)y + P(x)\\frac{dy}{dx}\\right) = \\frac{d}{dx}[\\mu(x)\\left(\\frac{dy}{dx} + P(x)y\\right)]$$对以上公式重新整理，得到：$$\\mu'(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)\\frac{d^2y}{dx^2} + \\mu(x)P'(x)y =\\mu'(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)P(x)\\frac{dy}{dx} + \\mu(x)P'(x)y$$ 进一步简化，得到：$$\\mu(x)\\frac{d^2y}{dx^2} = \\mu(x)P(x)\\frac{dy}{dx}$$根据以上结果，我们可以得到一个关于$\\mu(x)$的常微分方程：$$\\frac{d^2\\mu(x)}{dx^2} = P(x)\\frac{d\\mu(x)}{dx}$$求解上述常微分方程，找到$\\mu(x)$后，我们就可以利用通解公式求解一阶线性微分方程的解。