浅析常数变易法

二阶常微分方程边值问题求解的常数变易法2009-8-31数理方程所解决的问题与高等数学（微积分）教科书中的常微分方程有很大区别，其中最显著的特点是多数微分方程的条件是边值问题，即知道未知函数在自变量变化区域的边界上的取值。

这就是所谓的边值问题。

最简单的是二阶常微分方程的两点边值问题。

二阶常微分方程的解是一个一元函数，关于这个一元函数的信息，知道的不多，除了微分方程本身提供的之外，还有未知函数在一个区间的两个端点处的值。

微积分所教给我们的技巧是先求出常微分方程的通解，再根据两个条件确定通解中的两个任意常数。

进入这门课之初，先回顾初值问题，再思考边值问题。

在边值问题中，数理方程课程内容中出现了一个历史上非常著名的函数，即格林函数。

对力的分析中普遍使用一个方程：F=ma 。

这是著名的牛顿第二定律，其中，F 表示力，m 表示物体的质量，而a 表示物体运动的加速度。

由于加速度的物理意义可解释为物体运动时位移变量对时间的二阶导数，再结合使用虎克定律，就得出简单的振动所满足的二阶常微分方程02=+''y y ω如果考虑外力作用，该方程化为更一般的情况⎩⎨⎧='==+''βαω)0(,)0()(2y y x f y y 两个初始条件可解释为已经知道初始位移和初始速度。

求解上面方程需要用常数变易法。

先回顾一阶常微分方程求解的方法，然后再讨论二阶常微分方程的常数变易法。

一、一阶常微分方程初值问题的常数变易法一阶常微分方程常数变易法，用于解源函数不为零的常微分方程问题⎩⎨⎧=>=+'α)0(0),()()(y x x f x ry x y 先求解简化的（源函数为零）的方程：0)()(=+'x ry x y由分离变量：ry dxdy-=，→ rdx y dy -= 积分：c rx y +-=ln ，→ )exp()(rx C x y -=应用常数变易法，假设简化前的方程的解具有与简化后方程的解有相同形式，将常数替换为待定的函数，即)exp()()(rx x u x y -=求导数，得)exp()()exp()()(rx x u r rx x u x y ---'=')()exp()(x ry rx x u --'=将其代入化简前的方程，得等式)()exp()(x f rx x u =-'，→ )()exp()(x f rx x u ='积分，得C d f r x u x+=⎰)()ex p()(ξξξ代入表达式)exp()()(rx x u x y -=，得)ex p(])()ex p([)(0rx C d f r x y x-+=⎰ξξξ应用初始条件，得解函数⎰--+-=xd f x r rx x y 0)()](ex p[)ex p()(ξξξα从两部分解读解函数的意义。

常微分方程的常数变易法及其应用[摘 要]本文归纳整理了常微分方程常数变易法的几个应用. [关键词]常数变易法; 微分方程; 齐次; 系数Constant Variating Method and Application in Ordinary Differential EquationAbstract This paper is summarised several applications of constant variating method in ordinary differential equationKeywords constant variating method ; differential equation ; homogeneous coefficient一、关于常数变易法 []4常数变易法是微分方程中解线性微分方程的方法，就是将齐次线性微分方程通解中的c 变换为函数()x c ,它是拉格朗日(Lagrangr Joseph Louis,1736-1813)十一年的研究成果，微分方程中所用的仅是他的结论。

二、常数变易法的几个应用1.常数变易法在一阶线性非齐次微分方程中的应用[]75.3，一阶线性非齐次微分方程)()(x Q y x P dxdy+= （1） 它所对应的齐次方程为y x P dxdy)(= （2） y x P dxdy)(=是变量分离方程，它的通解为 ⎰=dxx p ce y )( （3）下面讨论一阶线性非齐次微分方程（1）的解法。

方程（2）与方程（1）既有联系又有区别设想它们的解也有一定的联系，（3）中的c 恒为常数，它不可能是（1）的解，要使（1）具有形如（3）的解，c 不再是常数，将是()x c 的待定函数，为此令()()P x dxy c x e ⎰= （4）两边积分得到()()()()()P x dxP x dx dy dc x e c x P x e dx dx⎰⎰=+ 将（4）．（5）代入（1），得到()()()()()()()()()P x dxP x dx P x dx dc x e c x P x e P x c x e Q x dx⎰⎰⎰+=+ （5）即()()()P x dx dc x Q x e dx-⎰= 两边积分得()()()P x dxc x Q x e dx c -⎰=+⎰（6）这里c 是任意的常数，将()()()P x dx c x Q x e dx c -⎰=+⎰代入()()P x dxy c x e ⎰=得到()()()()()() =()P x dxP x dx P x dx P x dx P x dxy e Q x e dx c ce e Q x e dx--⎛⎫⎰⎰=+ ⎪⎝⎭⎰⎰⎰+⎰⎰这就是方程)()(x Q y x P dxdy+=的通解 例1 求方程1(1)(1)x n dyx ny e x dx++-=+的通解，这里的n 为常数.解 将方程改写为(1)1x n dy ny e x dx x -=++ （7）先求对应齐次方程01dy ny dx x -=+的通解，得 (1)n y c x =+ 令()(1)n y c x x =+ （8） 微分得到()(1)(1)()n dy dc x x n x c x dx dx=+++ （9） 将（8）、（9）代入（7）中再积分，得 ()x c x e c =+ 将其代入（8）中，即得原方程的通解(1)()n x y x e c =++ 这里c 是任意的常数例2 求方程22dy y dx x y =-的通解. 解 原方程改写为2dx x y dy y=- （10） 把x 看作未知函数，y 看作自变量，这样，对于x 及dxdy来说，方程（10）就是一个线性 先求齐次线性方程2dx x dy y= 的通解为2x cy = （11） 令2()x c y y =，于是2()2()dx dc y y c y y dy dy=+ 代入（10），得到()ln c y y c =-+ 从而原方程的通解为2(ln )x y c y =- 这里c 是任意的常数,另外0y =也是方程的解. 初值问题为了求初值问题00()()()dyP x y Q x dx y x y ⎧=+⎪⎨⎪=⎩常数变易法可采用定积分形式，即（4）可取为 ⎰=xx d p e x c y 0)()(ττ （12）代入（1）化简得.0()()()xx p d c x Q x e ττ-⎰'=积分得⎰+⎰=-x x d p c ds es Q x c sx 00)()()(ττ代入（12）得到⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q ece y sx xx xx 000)()()()(ττττττ将初值条件0x x =、0y y =代入上式0y c =于是所求的初值问题为⎰⎰⎰+⎰=--xx d p d p d p ds es Q eey y sx xx xx 0000)()()(0)(ττττττ或⎰⎰+⎰=x x d p d p ds e s Q ey y sxxx 00)()(0)(ττττ定理①一阶非齐线性方程（1）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2）之解； ②若()y y x =是（2）的非零解，而()y y x =是（1）的解，则（2.28）的通解可表为()()y cy x y x =+，其中c 为任意常数；③方程（2）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2）的解.证明 ①设12,y y 是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使)()(2211x Q py dxdy x Q py dxdy +=+=两式相减有1212()()d y y p y y dx-=- 说明非齐线性方程任意两个解的差12y y -是对应的齐次线性方程的解. ②因为(()())()()(()()()()d cy x y x dy x d y x c p cy p y Q x p cy y Q x dx dx dx+=+=++=++故结论②成立.③因为12121212()()()(),(),()d y y d y y d cy p cy p y y p y y dx dx dx+-==+=- 故结论③成立.2.常数变易法在二阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]1我们知道常数变易法用来求非齐次线性微分方程的通解十分有效，现将常数变易法应用于二阶常系数非齐次线性微分方程中.该方法是新的,具有以下优点：①无需求非齐次方程的特解，从而免去记忆二阶微分方程各种情况特解的形式；②无需求出相应齐次方程的全部解组，仅需求出一个即可；③可得其通解公式.现考虑二阶常系数非齐次线性微分方程)(x f qy y p y =+''+'' （1） 其对应的齐次方程为0=+'+''qy y p y （2） 下面对（2）的特征方程02=++q pr r （3）x有实根和复根加以考虑①若r 为（3）的一实根，则rx e y =是（2）的一解，由常数变易法，可设（1）的解为rx e x c y )(=通过求导可得()()()()rxrxrxrxrx ex c r e x c r e x c y e x rc e c y 22+'+''=''+'=' （4）将（4）和()rx e x c y =代入（1）化简得()()()()x f e x c p r x c rx -='++''2 这是关于)(x c '的一阶线性方程，其通解为()dx dx x f e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （5）②若r 为（3）的一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，则f 为（2）一解，由常数变易法，可设（1）的解为()bx e x c y ax sin = ，与情形①的推到类似，不难求得方程（1）的通解公式为⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（6）例1求six y y y =-'+''2的通解 解 相应的特征方程为022=-+r r 有解1=r ，故设非齐次方程的解为()x e x c y =对其求导得()()()()()xxxxx ex c e x c e x c y e x c e x c y +'+''=''+'='2代入原方程化简得()()x si e x c x c x n 3-='+'' 其通解为()⎰---+-=='x x x x ce e x co x si bxdx si e e x c 323s n 251n )( 所以()()231s n 3101c e c e x co x si x c x x +++-=-- 从而原方程的通解为()x x x e c e c x co x si e x c y 221s n 3101)(+++-==- 例2求x e y y y =+'+''44的通解 解 相应的特征方程为0442=++r r 有解4,2=-=p r 且，有公式（5），得其通解为()[]()⎰⎰+-+-⨯--=dx dx e e e e y x x x x ][424222dx c e e x x ⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-13231= x x xe c xe c e 222191--++3.常数变易法在三阶常系数非齐次线性微分方程中的应用[]2前文中对二阶常系数非齐次线性微分方程的解法进行了讨论，以下对一般的 三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+'''详细论述，此方法弥补了一般情况下只有特殊()x f 才能求解的缺陷，扩大了()x f 的适用范围.由前面知，二阶常系数非齐次线性微分方程 )(x f qy y p y =+''+'' 对应齐次微分方程的特征方程02=++q pr r ①若r 为实特征根，通解为dx dx e e e y x p r x p r rx ⎰⎰++-=][)()2( （1） ②若r 为一复根，不妨设,bi a r +=R b a ∈,，且0≠b ，通解为 ⎰⎰++-=dx bxsi bxdxsi e x f e bx si e y x a p x a p ax )n n )((n 2)()2(（2）三阶常系数非齐次线性微分方程()x f sy y q y p y =+'+''+''' （3） 则对应的齐次方程为0=+'+''+'''sy y q y p y （5） 其对应的齐次方程023=+++s qr pr r （6）若r 为其一实根，λ为方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（根，则方程（3）的通解为① 当λ为实根时，()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ ② 当λ为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠bdx dx bx bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(sin n )(n 证明 因为特征方程（5）是三阶方程，所以它至少有一实根，不妨设r 为特征方程一实根，则rx e y =是（4）的一解，这时可设（3）的解为(),rx e x c y =将其代入（3）中可得()()()()()()rx e x f x c s qr pr r x c q pr r x c p r x c -=++++'+++''++'''23223)(3)(因为r 为特征方程一根，所以 023=+++s qr pr r ，因此()()()()rx e x f x c q pr r x c p r x c -='+++''++'''23)(3)(2这是关于()x c '的二阶常系数非齐次线性微分方程，其特征方程，其特征方程为 ()()023322=+++++q pr r p r λλ 若其根为λ为实根，则由二阶方程通解公式（1）可得 ()()()[]⎰⎰-++++-='dx dx e x f e e e x c rx x p r x p r x 332)(λλλ 那么（3）的通解为()()[]{}dx dx dx e x f e e e e y rx p r x p r x rx -++++-⎰⎰=)(332λλλ若其根为复根时，不妨设,bi a ±=λR b a ∈,，且0≠b 则由二阶方程通解公式（2）可得()()⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛='--dx dx bx si bx si e e x f bx si e x c ax rx ax2n n n 那么（3）的通解为dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 例1 求解方程ax e y y y y =+'+''+'''的通解. 解 对应的齐次方程的特征方程为 0123=+++r r r 其根为i r i r r -==-=321,1,方程0)23(322=+++++q r r p r λλ）（，即0222=+-λλ， 其根为i i -=+=1,121λλ 所以取 11,1,===b a r 代入公式dx dx bx si bxdx si e x f bx si e e y x r a ax rx ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎰⎰+-2)(n n )(n 则其通解为dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n 求解过程只需依次积分即可dx dx x si bx si e bx si e e y x xx ⎰⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-2n n n ()dx dx x si c x co x si e bx si e e x x x ⎰⎰⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-=-21n s n 21n dx dx x si c dx x si x co e dx x si e x si e e x x x x ⎰⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-212n 1n s 21n 121n ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=-dx c tx c c sx c x si e e x x 21o o 21n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=⎰⎰⎰-xdx si e c xdx co e c dx e e x x x x n s 21212⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-312212n 2c s 241c x si c x co e c c e e x x xx x e c x si c c x co c c e -+⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=31221n 2s 241令33122211,2,2c C c c C c c C =⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=那么方程的通解为x x e C x si C x co C e y -+++=321n s 41（为任意常数3,21,C C C ）.4.常数变易法在二阶变系数非齐次线性微分方程中的应用[]8,6二阶变系数微分方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''()()()其对应的齐次方程在某区间上连续，如果其中x f x q x p ,,的通解为2211y c y c y +=那么可以通过常数变易法求得非齐次方程的通解 设非齐次方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''具有形式()()2211~y x c y x c y += 的特解，其中()()x c x c 21,是两个待定函数，对y ~求导数得()()()()x c y x c y y x c y x c y 22112211~'+'+'+'=' 我们补充一个的条件()()02211='+'x c y x c y 这样()()2211~y x c y x c y '+'=' 因此()()()()22112211~y x c y x c y x c y x c y ''+''+''+''='' 将其代入()()()()x f y x q y x p x y =+'+''化简得()()x f c y x c y =''+''2211联立方程()()02211='+'x c y x c y 解得 ()()211221y y y y x f y x c '-'-=' ()()211212y y y y x f y x c '-'=' 积分并取得一个原函数 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'-=211221 ()()dx y y y y x f y x c ⎰'-'=211212 则所求的特解为=y ~()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212所以方程()()()()x f y x q y x p x y =+'+''的通解为 2211y c y c y +=()dx y y y y x f y y ⎰'-'-211221+ ()⎰'-'dx y y y y x f y y 211212例1 求方程x y xy ='-''1的通解解 方程x y xy ='-''1对应的齐次方程为 01='-''y xy 由y x y '=''1得dx xy d y 11='⋅' 积分得c x y ln ln ln +='即cx y ='，得其通解为21c x c y +=所以对应的齐次方程的两个线性无关的特解是12和x ，为了求非齐次方程的一个特解y ~，将21,c c 换成待定函数()()x c x c 21,，且()()x c x c 21,满足下列方程 ()()()()⎩⎨⎧='⋅+'='⋅+'x x c x c x x c x c x 212120201 解得()211='x c ()2221x x c -=' ()x x c 211= ()3261x x c -= 于是原方程的一个特解为()()3221311~x x c x x c y =⋅+= 从而原方程的通解322131x c x c y ++=参考文献 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常数变易法在二阶常微分方程中的应用
在求解常微分方程的复杂问题时，经常会引入到与现有方法相比更容易解题的
变换方式----常数变易法。

本文就常数变易法在二阶常微分方程中的应用进行论述，供相关爱好者参考。

常数变易法即将原题中的变量同时变化形式改为变量与常数的乘积形式，然后
经过简便变化（取商）或拆解，获得解决方案。

二阶常微分方程式，也就是字面意思一个变量值随时间变化而变化的函数，它是表达不能简单运算的动态系统的表达式。

对于其解决方法，常数变易法可有效大大的减少解方程的时间，使得计算工作不再累苦变得轻松自如，有着成倍效率的提升。

该方法主要用于解给定某些常数求另一些常数或一组常数的不定积分，而各种解决方案则可用常数变易法求mean。

比如，给定了某个方程：
y''+4y'+4y = 5x
E（x）：y''+4y'+4y=5x
设常数m^2，则有
y''+4y'+4(y+m^2)=5x
y+m^2介于左右两边，令其积分即可得到
y=-5/8x+m^2/2
可得m^2/2=-5x+y
m^2=-10x+2y
故，求的特解为
y=-5/8x- 5/4x+2y
显然，常数变易法在二阶常微分方程的解决中提供了科学的技术提示，能够有
效的完成工作，从而给出有效的解决方式。

总之，常数变易法作为在解常微分方程中的一种变易技术，被用于二阶常微分方程的解决中能够有不错的效果，极大地减少解题时间，更加便捷、深刻，从而成为解决复杂问题的有用工具。

常数变易法在高等数学中的应用常数变易法是高等数学中一种重要的概念，其在数学中的定义是改变不同函数的常数值，以便解决更复杂或难以求解的问题。

它是一种运用数学原理将难以求解的问题转换为容易求解的问题的技术。

常数变易法在实际应用中是许多科学研究的基础，包括数学研究、物理学研究、化学研究等。

首先，常数变易法的定义首先涉及到数学定义，即改变数学函数中的常数值，以便解决更复杂的问题。

在常数变易法中，函数中的一次项，二次项，三次项等都是有限的。

改变常数值，可以使函数在某些范围内发生变化，从而用比原函数更容易求解的函数来表达原函数的形式。

常数变易法的形式可以分为解析方法，迭代方法，置换方法等多种方法，其中，解析方法是最常用的，它是改变不同函数的常数值，以便用数学分析计算出函数的解析表达式。

其次，常数变易法在实际应用中也得到了广泛应用。

它主要应用于物理学中求解复杂的物理模型，例如有关重力场、磁场等物理模型。

常数变易法在物理学中可以帮助研究人员分析物理模型中的特征参数，快速构建出满足物理现象的函数表达式，从而获得理论研究的重要信息。

此外，常数变易法也可以应用于数学建模，使研究人员可以利用常数变易法构建出适合模型的函数表达式，从而揭示出模型的内在规律，更好地提高模型的分析精度。

最后，常数变易法在化学研究中也有着重要作用。

如在原子和分子力学研究中，常数变易法可以更好地分析出原子与原子之间的相互作用，从而更完善地描述物质的性质。

此外，常数变易法也可以用于解析复杂的化学缩写定律，帮助研究者更仔细地分析物质之间的相互作用，使化学研究变得更有效率。

通过以上分析，我们可以看出，常数变易法在高等数学中的应用十分广泛，它不仅是物理学和化学研究的重要基础，同时也是数学建模中的重要手段。

它能够帮助研究人员以更精确有效的方式快速求解原来难以解决的问题，更有利于揭示解决问题的更深层次内容，也为科学研究奠定了坚实的基础。

综上所述，常数变易法的应用在当今的科学研究中扮演着至关重要的角色，它在高等数学中的应用必然会带来更多的便利和有益的研究结果，使科学家们能够得到更多的收获。

常数矩阵微分方程基解矩阵的计算方法常数矩阵微分方程基解矩阵是指对于一个m阶常系数矩阵微分方程组x′(x)=xx(x)，其中x(x)为x的函数，x为常数矩阵，基解矩阵是一组线性无关的解所构成的矩阵。

计算常数矩阵微分方程基解矩阵的方法主要有以下几种：常数变易法、指数矩阵法、特征值法。

一、常数变易法
使用常数变易法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.假设基解矩阵为x(x)，则存在常数矩阵x，使得
x(x)=xx^xx。

2.对基解矩阵进行求导，并代入微分方程，得到
xxx(x)(x)=xx(x)，其中x(x)(x)表示第n阶导数。

3.解出x(x)(x)，得到x的表达式。

4.代入x=0时的初始条件，求解得到x的具体值。

5.将x代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

二、指数矩阵法
使用指数矩阵法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。

2.将特征值分别代入指数函数的表达式中，得到特征向量的指数函数形式。

3.将特征向量的指数函数形式构成的矩阵x和其逆矩阵x^(-1)代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

三、特征值法
使用特征值法求解常数矩阵微分方程基解矩阵的步骤如下：
1.求解常数矩阵x的特征值和特征向量。

2.将特征向量的形式代入基解矩阵的表达式中，得到基解矩阵。

在实际计算中，选择哪种方法取决于方程的形式、矩阵的性质和计算的复杂程度。

以上三种方法均可得到常数矩阵微分方程的基解矩阵，计算方法相对较为简单，但对于高阶矩阵微分方程，计算工作量可能较大，需要根据具体情况选择合适的方法。

常数变易公式例子(一)常数变易公式常数变易公式是数学中常用的一种方法，通过适当引入一个常数，可以使复杂的计算问题变得简单。

在很多应用中，常数变易公式都有非常重要的作用。

本文将通过列举一些例子，并详细解释常数变易公式的作用和原理。

例子一：求和公式假设我们要计算1加到100的和，即求1+2+3+...+100。

由于数字较多，一一相加的方法显然不够高效。

这时，我们可以运用常数变易公式来简化问题。

首先，我们定义一个常数C，并将1+100写成(1+C)+(100−C)的形式。

这样，我们可以得到(1+C)+(100−C)=101。

接下来，我们将(2+C)+(99−C)写成(2+C)+(99−C)=101，以此类推。

最终，我们得到了1+2+3+...+100=50∗101=5050。

通过引入常数C，我们将复杂的计算问题简化为了一个简单的公式。

例子二：平均数公式假设有一组数1,2,3,...,10，我们要求这组数的平均值。

同样地，我们可以运用常数变易公式来简化问题。

首先，我们定义一个常数C，并将这组数写成[(1+C)+(10−C)]/2的形式。

这样，我们可以得到[(1+C)+(10−C)]/2=11/2=。

通过引入常数C，我们将求平均值的计算变得更加简单了。

例子三：代数公式常数变易公式在代数中也经常被使用。

例如，要求(x+2)(x+3)的值，我们可以使用常数变易公式来辅助计算。

首先，我们定义一个常数C，并将(x+2)(x+3)写成(x+C+2−C)(x+C+3−C)的形式。

这样，我们可以得到(x+C+2−C)(x+C+3−C)=x2+5x+6−C2。

通过引入常数C，我们将复杂的运算转化为了一个简单的公式。

例子四：几何公式常数变易公式在几何中也有应用。

例如，要求一个矩形的面积，我们可以使用常数变易公式来简化计算。

假设矩形的长为L，宽为W，我们可以定义一个常数C，并将面积LW写成(L+C)(W−C)的形式。

这样，我们可以得到(L+C)(W−C)=LW−C2。

常数变易公式例子常数变易公式简介常数变易公式是数学中的一个重要概念，用于描述在一定条件下常数的变化规律。

它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。

在本文中，我们将通过列举一些例子，并详细讲解这些例子，来介绍常数变易公式的应用。

例子1：速度与位移的关系当一个物体在直线运动中，速度的大小是常数，但是方向可以变化。

根据常数变易公式，可以得出速度与位移之间的关系式为：位移 = 速度 × 时间例如，一个物体以10 m/s的速度向前运动了5秒，则它的位移为50米。

例子2：密度与体积的关系在物理学中，密度是物质单位体积的质量。

假设一个物质的密度是常数，则密度与体积之间的关系可以用常数变易公式表示为：质量 = 密度 × 体积例如，一个物体的密度为2g/cm³，体积为10cm³，则它的质量为20克。

例子3：光速与频率的关系在光学中，光速是光在真空中传播的速度，约为3×10^8米/秒。

根据常数变易公式，光速与频率之间的关系可以表示为：波长 = 光速 / 频率例如，当光速为3×108米/秒，频率为5×1014赫兹时，对应的波长为600纳米。

例子4：力与加速度的关系在牛顿力学中，力可以通过牛顿第二定律与加速度之间的关系来描述。

根据常数变易公式，力与加速度之间的关系可以表示为：力 = 质量 × 加速度例如，一个质量为2千克的物体受到的力为10牛顿，则它的加速度为5米/秒²。

总结本文中我们通过列举了四个例子来说明常数变易公式的应用。

从速度与位移、密度与体积、光速与频率、力与加速度这四个例子中，我们可以看到在不同的领域中，常数变易公式都有着重要的作用。

它能够帮助我们理解和描述事物之间的关系，同时也为实际问题的解决提供了数学上的支持。

通过学习和应用常数变易公式，我们可以更好地理解和分析各种现象，为科学研究和工程应用提供有力的工具。

常数变易法的解释我们来看下面的式子：y’＋P(x).y ＝Q(x) (1)对于这个式子最正常的思路就是“分离变量”（因为之前所学的思想无一不是把变量分离再两边积分）。

所以我们的思维就集中在如何将（1）式的x和y分离上来。

起初的一些尝试和启示先直接分离看一下：dy/dx＋P(x)·y ＝Q(x)＝> dy ＝( Q(x)－P(x).y ).dx (2)从中看出y不可能单独除到左边来，所以是分不了的。

这时想想以前解决“齐次方程”时用过的招数：设y/x ＝u ＝> y ＝u·x . 将y ＝u·x代入(1)式:u’·x＋u＋P(x)·u·x ＝Q(x)＝> u’·x＋u·(1＋P(x)·x) ＝Q(x)＝> du/dx·x ＝Q(x)－u(1＋P(x)·x)＝> du ＝[Q(x)－u.(1＋P(x).x)].(1/x).dx (3)这时u又不能单独除到左边来，所以还是宣告失败。

不过，这里还是给了我们一点启示：如果某一项的变量分离不出来，那使该项成为零是比较好的选择。

因为这样“变量分离不出”这个矛盾就消失了——整个一项都消失了，还需要分什么呢。

比如说，对于（3）式，如果x＝－1/P(x)，那么那一项就消失了；再比如说，对于（2）式，如果P(x)＝0，那么那一项也消失了。

当然这些假设都是不可能的，因为x和P(x)等于几是你无法干预的。

不过我们可以这么想：如果我们巧妙地构造出一个函数，使这一项等于零，那不就万事大吉了。

Ok，好戏开场了。

进一步：变量代换法筒子们可能觉得要构造这么一个函数会很难。

但结果会让你跌破眼镜。

y＝u·v就是这么符合要求的一个函数。

其中u和v都是关于x的函数。

这样求y对应于x的函数关系就转变成分别求u对应于x的函数关系和v对应于x的函数关系的问题。

常数变易法常数变易法是指将一个不定方程的自变量做变换，使其中一变量恒定，从而可以将原来的不定方程转化成一个定方程，较容易求解。

在公式表示中，它可以用x=ax+b来表示，其中a和b是常数。

这种转换技术被广泛应用于数学建模、科学实验数据处理等领域，在理解和解决许多问题中都起着重要作用。

本文旨在介绍常数变易法，其中包括其工作原理，用法，应用和优缺点。

定义：常数变易法是指将一个不定方程的一个自变量x变换成新的自变量y，以使其中一变量x恒定为常数，即：y=ax+ba,b 为常数）工作原理：在进行常数变易前，首先把不定方程中的自变量x系数变为常数。

假设原不定方程为：ax+by+c=0若 x=ax+b，常数变易后得：ay+bx+c=0此时可以看出x的系数从a变为b，系数都变为了常数，这就是常数变易法的工作原理。

用法：常数变易法的用法很简单，只要把不定方程中出现的自变量变换成新的自变量，使其中一变量恒定为常数，即可轻松求解出原本不定方程的解。

其具体步骤如下：1.不定方程中出现的自变量x变换成新的自变量，使其中一变量恒定为常数，即x=ax+b。

2. 代入新的自变量y，把原来的不定方程变成一个定方程；3.过求解定方程的相应方法，即可得到解析解。

应用：常数变易法在数学分析、数学建模和科学实验数据处理等领域有着广泛的应用。

1.学分析：常数变易法可以用来解决不定方程，从而能够用于解决各种类型的数学问题，比如求两个方程的交点、求曲线极值点、求参数范围等等。

2.学建模：常数变易法也可以用来分析和表示复杂的关系，从而用于数学建模，比如把复杂的方程变换成简单的方程便于分析，或者用变量把原来不易理解的数据变成易于理解的数据。

3.学实验数据处理：常数变易法也可以用来处理科学实验数据，比如用变量把原来复杂的实验数据表示成容易理解的数据，或者把数据变换到一个更容易处理的坐标系。

优缺点：常数变易法有其优点也有其缺点。

优点：1.以把不定方程变换成定方程，从而便于求解；2.以用来分析和模拟复杂的关系，从而用于数学建模；3.以用来处理科学实验数据，从而更容易理解和处理数据。

用常数变易法解伯努利方程和一类黎卡提方
程
伯努利方程和黎卡提方程是一类常用的微分方程，可以使用常数变易法来求解。

常数变易法是求解常微分方程的一种有效方法，它是根据线性微分方程的性质，利用积累量的概念使故障变换成第一阶线性微分方程，以解决非线性微分方程问题。

下面我将以求解伯努利方程来说明这种解法。

伯努利方程一般表示为：dy/dx=f(x,y)，要求求解的函数为y(x)，其中函数f(x, y)的特殊形式可以写成yg=f。

首先，根据f(x, y)和定解求出一
阶积分：yg=f，即可解出积分常数C。

然后就可以得到求解结果：y(x)=C+∫f(x,y)dx
类似地，对于一类黎卡提方程也可以用常数变易法求解。

一类黎卡提方程一般表示为：y'＝F（x,y,y'），y(x0)=y0，其中F （x,y,y'）的特殊形式可以写成：yg＝[F（x,y,y'）+y']，然后将
一阶积分变换成二阶比分：yg＝f，然后求出积分常数C的值，最终得到求解结果：y（x）=C1+∫f1dx+C2∫f2dx。

总结：在求解伯努利方程和一类黎卡提方程时，可以借助常数变易法来求解，它是求解微分方程中有效且快捷的方法。

首先将积分得到常数，然后可以求出积分常数，最终求出求解结果，实现了解方程的目标。

常数变易法的原理
1、常数变易法是解线性微分方程行之有效的一种方法。

它是拉格朗日十一年的研究成果，我们所用仅是他的结论，并无过程。

2、这是在求一阶线性非齐次微分方程时所用的一种方法，对于一阶线性非齐次微分方程，y+P（x）y=Q（x）。

二分算法a的概念：就是通过折半查找来进行枚举。

二分答案就是直接对答案进行枚举查找，接着判断答案是否合法。

如果合法，就将答案进一步靠近，如果不合法，就接着判断。

这样就可以大大的减少时间。

我们进行二分答案的时候，会对判断到的答案进行验证是否正确，看看这个答案是小还是大了。

所以，要进行这个算法的时候，就必须要保证数据有单调性。

出现“最大值最小”或“最小值最大”但多时间都可以使用二分，二分法“可以把最优化问题转化为判定性问题。

一阶微分方程常数变易法的求解过程
一阶微分方程常数变易法是求解一些一阶微分方程的常用方法。

其基本思想是将常数看做一个函数，通过对该函数求导得到微分方程的通解。

具体过程如下：
1. 对微分方程进行变量分离，得到dy/dx=f(x)g(y)，其中f(x)和g(y)为两个函数。

2. 将f(x)和g(y)分别移项，将含y的项移到左边，含x的项移到右边，得到g(y)dy=f(x)dx。

3. 对两边同时积分，得到∫g(y)dy=∫f(x)dx+C，其中C为任意常数。

4. 对左边的积分进行求解，设常数C为h(x)，即
∫g(y)dy=h(x)+C1，其中C1为任意常数。

5. 将h(x)+C1代入右边的积分中，得到∫f(x)dx=h(x)+C1。

6. 对右边的积分求导，得到f(x)=h'(x)。

7. 由于h(x)和h'(x)都是常数，因此将其合并为一项，得到
f(x)=C。

8. 将C代入通解中，得到y=F(x)+C，其中F(x)为∫g(y)dy的反函数，也是左边积分的解。

因此，一阶微分方程常数变易法的求解过程就是将常数看做一个函数，对其进行求导和积分得到微分方程的通解。

一阶线性微分方程的解法一、引言微分方程是数学中的一种重要工具，用于描述自然界中的各种变化规律。

其中，一阶线性微分方程是最基本、最常见的微分方程类型之一。

本文旨在介绍一阶线性微分方程的解法，包括常数变易法和常系数法两种方法。

二、常数变易法常数变易法是一种求解一阶线性非齐次微分方程的常用方法。

设待解方程为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$$其中，$P(x)$和$Q(x)$是已知函数，$y$是未知函数。

1. 求解齐次方程将方程改写为：$$\frac{dy}{dx}+P(x)y=0$$解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。

2. 特解的猜测对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=u(x)y_h$，其中$u(x)$是待定函数。

3. 求解待定函数将$y_p$代入原方程，解得待定函数$u(x)$。

4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。

三、常系数法对于具有形如$\frac{dy}{dx}+ay=b$的一阶线性非齐次微分方程，我们可以使用常系数法进行求解。

1. 求解齐次方程将方程改写为$\frac{dy}{dx}+ay=0$，解这个方程得到齐次方程的通解$y_h$。

2. 特解的猜测对于非齐次方程，我们猜测其特解为$y_p=C$，其中$C$是常数。

3. 求解待定常数将$y_p$代入原方程，解得待定常数$C$。

4. 得到通解将齐次方程的通解$y_h$与特解$y_p$相加，得到原方程的通解$y=y_h+y_p$。

四、实例分析现以一个具体的例子来说明一阶线性微分方程的解法。

考虑方程$\frac{dy}{dx}+2xy=x^2$，我们首先求解齐次方程$\frac{dy}{dx}+2xy=0$，得到齐次方程的通解$y_h=Ce^{-x^2}$，其中$C$为常数。

然后猜测非齐次方程的特解为$y_p=Ax^2$，将其代入原方程，得到待定常数$A=\frac{1}{2}$。

常数变易法常数变易法是常微分方程学科所特有的一种方法，它是连接非齐次线性微分方程与相应的齐次线性微分方程的桥梁。

一、常数变易法的出现刚接触到微分方程时，我们所用到的解方程的方法非常简单。

我们一般将不同形式的方程转化为可积分的形式，如方程()dy P x y dx=，我们通过变量分离得出其解为()p x dx y c e ⎰= 。

而对于非齐次线性微分方程()()dy P x y Q x dx=+,注意到其解y=y(x)是x的函数形式，所以方程右边可以写成()[()]()Q x y P x y x +，这是即可分离变量将方程写成()(())()dy Q x P x dx yy x =+，两边同时积分得()()()Q x dxP x dxy x y e e⎰⎰=± 因为其中的y(x)未知，所以()()Q x dxy x e⎰±未知，可记为c(x)即该方程的形式解为()()P x dxy c x e⎰= ，将该形式解带入原方程即可得到c(x)的表达式，再代入形式解就可以得到原方程的通解。

对比非齐次线性微分方程与相应的齐次微分方程，两者通解在形式上的差别就在于后者中的常数c 在前者中变易为函数c(x)，这就是常数变易法。

二、常数变易法的可行性学过高等代数，我们在代数学中求解代数方程时根本没有见到过代数方程中有什么常数变易法，也不存在代数方程中的常数变易法，为什么在常微分方程中就可以用了呢？原因是常微分方程是以函数作为未知量的方程用c(x)代替c 后，代入方程整理就能够产出齐次方程的项，剩下的项等于非齐次方程的项，故一定能找到一个c(x)，使得它经过微分运算后得到原方程的非齐次项。

即只要知道方程的解的结构，将其带入原方程就可以得到其通解。

如()dyP x y dx=，其通解为()p x dxy c e ⎰= 若令其中的c 为c(x)，则dy dx 在原来形式（P(x)y ）上会多出一项，我们就让这一项等于Q(x)即可得到c(x)的表达式，进而就得到()()dy P x y Q x dx=+的通解。