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数学六年级上册教学设计《等差数列135…之和与正方形数的关系》人教版一. 教材分析《等差数列135…之和与正方形数的关系》是人教版六年级数学上册的一节内容。
本节课主要让学生理解等差数列的性质，掌握等差数列的前n项和公式，并能运用公式解决实际问题。
通过探索等差数列135…之和与正方形数的关系，培养学生发现规律、归纳总结的能力。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的基本运算，对数学概念有一定的理解能力。
但是，对于等差数列和正方形数的关系，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生通过观察、操作、思考、交流等活动，自主探索并发现等差数列135…之和与正方形数的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握等差数列的前n项和公式，能运用公式解决实际问题。
2.过程与方法：培养学生发现规律、归纳总结的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养他们勇于探索、积极思考的精神。
四. 教学重难点1.重点：等差数列的前n项和公式的理解和运用。
2.难点：发现等差数列135…之和与正方形数的关系，并归纳总结。
五. 教学方法1.引导发现法：教师引导学生观察、操作、思考、交流，让学生自主探索等差数列135…之和与正方形数的关系。
2.归纳总结法：教师引导学生总结等差数列前n项和的公式，培养学生归纳总结的能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作课件，展示等差数列135…之和与正方形数的关系的图形和数据。
2.学习素材：准备一些关于等差数列和正方形数的例子，供学生练习和思考。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示等差数列135…的图形和数据，引导学生观察和思考等差数列的特点。
2.呈现（10分钟）教师呈现等差数列135…之和与正方形数的关系的例子，让学生进行观察和操作。
3.操练（10分钟）学生分组讨论，尝试解决一些关于等差数列和正方形数的问题，教师巡回指导。
4.巩固（10分钟）教师引导学生总结等差数列前n项和的公式，并让学生进行一些相关的练习。
第二讲: 等差数列一, 数列有关知识点:⒈ 数列的定义: 按一定次序排列的一列数叫做数列.注意: ⑴数列的数是按一定次序排列的, 因此, 如果组成两个数列的数相同而排列次序不同, 那么它们就是不同的数列；⒉ 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项（或首项）, 第2项, …, 第n 项, ….例如, 上述例子均是数列, 其中①中, “4”是这个数列的第1项（或首项）, “9”是这个数列中的第6项.⒊数列的一般形式: , 或简记为, 其中是数列的第n 项结合上述例子, 帮助学生理解数列及项的定义.②中, 这是一个数列, 它的首项是“1”, “”是这个数列的第“3”项, 等等/4.等差数列的定义. －=..（n ≥2.n ∈N ）后一项减前一项为一定值, 我们把这个定值叫公差, 用d 表示5.等差数列的通项公式: （每一项都可用通项公式来表示）d n a a n )1(1-+=6.数列的前n 项和.数列中, 称为数列的前n 项和, 记为.求和公式:总和=(首项+末项)×项数÷2=等差中项×项数等差数列的前项和公式1:等差数列的前项和公式2:二.例题精讲例1, 认识数列: 等差数列:3、6、9、 (96)这是一个首项为3,末项为96,项数为32,公差为3的数列。
例2, 有一个数列: 4.7、10、13.…、25, 这个数列共有多少项提示 仔细观察可以发现, 后项与其相邻的前项之差都是3, 所以这是一个以4为首项, 以公差为3的等差数列, 根据等差数列的项数公式即可解答。
解: 由等差数列的项数公式:项数=(末项-首项)÷公差+1,可得,项数=(25-4)÷3+1=8,所以这个数列共有8项。
例3.有一等差数列: 2, 7,12,17, …, 这个等差数列的第100项是多少？提示: 仔细观察可以发现, 后项与其相邻的前项之差等于5, 所以这是一个以2为首项, 以公差为5的等差数列, 根据等差数列的通项公式即可解答解: 由等差数列的通项公式:第几项=首项+(项数-1)×公差,可得,第100项=2+(1OO-1)×5=497,所以这个等差数列的第100项是497。
数学六年级上册教案《等差数列135…之和与正方形数的关系》人教版一. 教材分析《等差数列135…之和与正方形数的关系》是人教版六年级数学上册的一节内容。
本节课主要让学生理解等差数列的性质，掌握等差数列的前n项和公式，并能运用该公式解决实际问题。
通过探究等差数列135…之和与正方形数的关系，培养学生的逻辑思维能力和创新能力。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的基本运算，具备一定的数学思维能力。
但是，对于等差数列和正方形数的概念，他们可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生逐步理解这两个概念，并探究它们之间的关系。
三. 教学目标1.知识与技能：让学生掌握等差数列的前n项和公式，能运用该公式解决实际问题；2.过程与方法：通过探究等差数列135…之和与正方形数的关系，培养学生独立思考、合作交流的能力；3.情感态度与价值观：培养学生对数学的兴趣，提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.重点：等差数列的前n项和公式的理解和运用；2.难点：等差数列135…之和与正方形数的关系的探究。
五. 教学方法采用启发式教学法、小组合作法、案例分析法等多种教学方法，引导学生主动探究、积极参与，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.准备相关课件和教学素材；2.准备正方形数和等差数列的例子；3.准备黑板和粉笔。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示正方形数和等差数列的例子，引导学生观察、思考，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍等差数列的概念，引导学生理解等差数列的性质。
然后，呈现等差数列的前n项和公式，并通过具体例子解释公式的含义。
3.操练（10分钟）让学生分组讨论，每组选择一个正方形数，计算其对应的等差数列135…之和。
然后，各组汇报结果，交流解题思路。
4.巩固（10分钟）出示一些有关等差数列135…之和与正方形数关系的练习题，让学生独立完成，检验学生对知识的掌握程度。
数学六年级上册说课稿《等差数列135…之和与正方形数的关系》人教版一. 教材分析《等差数列135…之和与正方形数的关系》是人教版六年级数学上册的一节课。
本节课主要让学生通过探究等差数列135…之和与正方形数的关系，理解等差数列的性质，掌握等差数列的求和公式，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
教材中给出了两个正方形数的例子，让学生通过计算和观察，发现等差数列135…之和与正方形数的关系，从而引导学生归纳总结等差数列的求和公式。
二. 学情分析六年级的学生已经掌握了正方形数的性质和求和公式，对等差数列有一定的了解。
但学生在求等差数列的和时，可能还不太熟练，需要通过练习来提高。
学生在探究等差数列135…之和与正方形数的关系时，可能会有难度，需要教师的引导和启发。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：让学生理解等差数列135…之和与正方形数的关系，掌握等差数列的求和公式。
2.过程与方法目标：通过观察、计算、归纳等方法，让学生探究等差数列135…之和与正方形数的关系，培养学生的逻辑思维能力和探究能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队合作精神，使学生在探究过程中体验到数学的乐趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：让学生理解等差数列135…之和与正方形数的关系，掌握等差数列的求和公式。
2.教学难点：引导学生探究等差数列135…之和与正方形数的关系，让学生理解并掌握等差数列的求和公式。
五. 说教学方法与手段本节课采用讲授法、引导法、探究法、小组合作法等多种教学方法，结合多媒体课件、黑板等教学手段，引导学生观察、计算、归纳等差数列135…之和与正方形数的关系，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入：以两个正方形数的例子引入本节课的主题，激发学生的兴趣。
2.探究：让学生通过计算和观察，发现等差数列135…之和与正方形数的关系，引导学生归纳总结等差数列的求和公式。
3.讲解：教师对等差数列的求和公式进行讲解，让学生理解并掌握。
第四讲等差数列（下）1、巩固等差数列中求解和、项数、公差的公式，复习前一讲内容；2、学会应用等差数列求解生活中的问题；3、培养学生数感，激发学生对数学的兴趣，提高学员数学学习的自信.掌握等差数列中公差、首项、末项、项数等各个名词代表的意义，以及计算的公式和方法：（1）通项公式中更注重n ma a n m d-=-⨯（）的应用.（2）项数公式11nn a a d=-÷+（）始终贯穿整个等差数列的专题.（3）求和公式：和＝(首项＋末项)×项数÷2（4）注意中项定理在题目中的运用，找出需要的数量关系.在本讲中除了巩固如上内容，添加1＋2＋3＋……＋（n－1）＋n＋（n－1）＋……＋3＋2＋1＝n²在等差数列解题中的应用.兔读一本书，第一天读30页，从第二天起，每天读的页数都必须比前一天多4页，最后一天读了70页刚好读完，这本书共有几页？【解析】先求小红看了几天，（70－30）÷4＋1＝11天，再求这本书总页数：（30＋70）×11÷2＝550页. 解答：这本书共有550页.计算：1＋2＋3＋……＋19＋20＋19＋……＋3＋2＋1【解析】方法一：分两个等差数列求和计算，（1＋20）×20÷2＋（19＋1）×19÷2＝400.方法二：1＋2＋3＋……＋(n-1)＋n ＋(n-1)＋……＋3＋2＋1＝n ²，20×20＝400.解答：1＋2＋3＋……＋19＋20＋19＋……＋3＋2＋1＝400.把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210÷7＝30，所以，这7个讲演者：得分：讲演者：得分：数分别是15，20，25，30，35，40，45.解答：第1个数是15，第6个数是40.编号为1-9的九个盒子中共放有351颗小玻璃珠，除编号为1的盒子外，每个盒子里的小玻璃珠都比前一号盒子多同样多的颗数.（1）如果1号盒子内放有11颗小玻璃珠，那么后面的盒子比它前一号的盒子多放几颗？（2）如果3号盒子内放了23颗小玻璃珠，那么8号盒子中放了几颗？【解析】根据等差数列的中项定理：最中间的盒子5号盒子颗数是351÷9＝39.（1）公差＝（39－11）÷（5－1）＝7；（2）公差＝（39－23）÷（5－3）＝8，8号盒子＝23＋（8－3）×8＝63.解答：（1）7颗；（2）63颗.计算：4＋5＋6＋……＋98＋99＋98＋97＋……＋5＋4＋3【解析】使用1＋2＋3＋……＋(n-1)＋n＋(n-1)＋……＋3＋2＋1＝n²这个公式求解.解答：原式＝99×99－1－2－3－2－1＝9801－9＝9792.小王和小李同时开始工作，小王第一个月得到1000元工资，以后每个月多得60元；小高第一个月得到500元工资，以后每月多得45元.两人工作一年后，所得工资总数相差多少元？【解析】方法一：小王一年工资总和是1000×12＋60＋60×2＋60×3＋……＋60×11＝12000＋60×（1＋2＋3＋……＋11）＝12000＋3960＝15960；小李一年工资总和是500×12＋45＋45×2＋45×3＋……＋45×11＝6000＋45×（1＋2＋3＋……＋11）＝6000＋2970＝8970；两人工资总数相差15960－8970＝6990. 方法二：第一个月两个人的工资差是500元，第二个月两个人的工资差是500＋15，第三个月两个人的工资差是500＋15×2，以此类推，第12个月两个人的工资差是500＋15×11.工资总数相差：500×11＋15×（1＋2＋3＋……＋11）＝5500＋990＝6990.解答：两人工作一年后，所得工资总数相差6990元.魔术师表演魔术，刚开始，桌上的盒子里放着3个乒乓球，第一次，他从盒子里拿出1个球，把它变成3个后全部放回盒子里；第二次，他从盒子里拿出2个球，把每个球变成3个后，又全部放回盒子里，……，第十次他从盒子里拿出10个球，把每个球变成3个后，再全部放回盒子里.请你算一算，现在盒子里一共有多少个兵乓球？【解析】方法一：魔术师第一次，拿出1个放回3个，实际上多了2个；第二次，拿出2个放回3×2个，实际上多了2×2个；以此类推；第十次，拿出10个放回3×10个，实际上多了2×10个.一共多了2＋2×2＋……＋2×10＝2×（1＋2＋……＋10）＝110，一共有110＋3＝113个.方法二：魔术师总共拿出来的乒乓球数是1＋2＋……＋10＝55，放回去的总数是3×（1＋2＋……＋10）＝＝165，一共有3＋165－55＝113个.解答：现在盒子里一共有113个兵乓球.已知一个等差数列的前15项的和为450，前20项的和为750，请问：这个等差数列的公差是多少？首项是多少？【解析】方法一：由等差数列的求和公式可知：首项＋末项＝和×2÷项数，所以第1项＋第15项＝450×2÷15＝60，第1项＋第20项＝750×2÷20＝75；所以第20项和第15项相差75－60＝15，公差＝15÷（20－15）＝3；第15项与第1项的差是3×（14－1）＝42，根据和差问题，第一项＝（60－42）÷2＝9.方法二：有等差数列的中项定理可知，前15项的中间项是第8项＝450÷15＝30；前20项750，那么后5项的和为750－450＝300，所以第18项为300÷5＝60；从而求出公差＝（60－30）÷（18－8）＝3.首项＝30－（8－1）×3＝9.解答：这个等差数列的公差是3，首项是9.计算：260－1－2－3－4－……－19－20【解析】解答：原式＝260－（1＋2＋3＋4＋……＋19＋20）＝50兔从七月一日开始写毛笔字，第一天写了6个，以后每天比前一天多写相同数量的毛笔字，结果全月共写1116个毛笔字，兔每天比前一天多写几个毛笔字？【解析】根据等差数列的中项定理：第16天写毛笔字1116÷31＝36（个）；那么，兔每天比前一天多写（36－6）÷（16－1）＝2（个）毛笔字.解答：兔每天比前一天多写2个毛笔字.黑白两种颜色的珠子，一层黑，一层白，排成正三角形的形状（如图），当白珠子比黑珠子多10颗时，一共用了多少颗白珠子？【解析】将两排作为一组，可以发现每组白珠就比黑珠多1颗，现在白珠共比黑珠多10颗，说明有10组，那么共有20排，双数排是白珠，一共用了2＋4＋6＋8＋……＋18＋20＝110（颗）.解答：当白珠子比黑珠子多10颗时，一共用了110颗白珠子.将同学们编为两组，做脑筋急转弯的游戏，一组出题，另一组回答，轮流进行.同学们有很多这样的题目，谨举两例，抛砖引玉.什么话可以世界通用?【脑筋急转弯答案：电话】数字0到1之间加一个什么号，才能使这个数比0大，而比1小呢？答案：加个“.”成为“0.1”【脑筋急转弯答案：加个“.”成为“0.1”】这种训练，对数学审题和逻辑思维能力的培养非常有效.。
第四讲等差数列（下）1、巩固等差数列中求解和、项数、公差的公式，复习前一讲内容；2、学会应用等差数列求解生活中的问题；3、培养学生数感，激发学生对数学的兴趣，提高学员数学学习的自信。
掌握等差数列中公差、首项、末项、项数等各个名词代表的意义，以及计算的公式和方法：（1）通项公式中更注重n ma a n m d-=-⨯（）的应用。
（2）项数公式11nn a a d=-÷+（）始终贯穿整个等差数列的专题。
（3）求和公式：和＝(首项＋末项)×项数÷2（4）注意中项定理在题目中的运用，找出需要的数量关系。
在本讲中除了巩固如上内容，添加1＋2＋3＋……＋（n－1）＋n＋（n－1）＋……＋3＋2＋1＝n²在等差数列解题中的应用。
兔读一本书，第一天读30页，从第二天起，每天读的页数都必须比前一天多4页，最后一天读了70页刚好读完，这本书共有几页？【解析】先求小红看了几天，（70－30）÷4＋1＝11天，再求这本书总页数：（30＋70）×11÷2＝550页。
解答：这本书共有550页。
计算：1＋2＋3＋……＋19＋20＋19＋……＋3＋2＋1【解析】方法一：分两个等差数列求和计算，（1＋20）×20÷2＋（19＋1）×19÷2＝400。
方法二：1＋2＋3＋……＋(n-1)＋n ＋(n-1)＋……＋3＋2＋1＝n ²，20×20＝400。
解答：1＋2＋3＋……＋19＋20＋19＋……＋3＋2＋1＝400。
把210拆成7个自然数的和，使这7个数从小到大排成一行后，相邻两个数的差都是5，那么，第1个数与第6个数分别是多少？【解析】由题可知：由210拆成的7个数一定构成等差数列，则中间一个数为210÷7＝30，所以，这7个讲演者：得分：讲演者：得分：数分别是15，20，25，30，35，40，45。
师：嗯,不错。
那么同学们知道了这个等差数列的通项公式：5)1(3⨯-+=n a n , 经过计算,可以写成：25-=n a n 。
怎么来求我们最后的问题呢？ 生：把数字代到n 里,就可以算了。
师：就是这样。
现在同学们一起来算一下最后答案是多少。
生：第38项是188,第69项是343。
师：最后我们可以写成18838=a ,34369=a 。
同学们都很棒,已经会利用等差数列了。
经过第一题的学习,同学们可以帮老师归纳一下,等差数列的问题 应该怎么做了吗？同学们先讨论,然后告诉老师。
【给学生分组讨论,老师可走动询问各组的讨论结果】师：好了,老师刚刚问了几个同学,都很不错。
接下来呢,我们请一位同学来 帮我们归纳一下,哪位同学自告奋勇。
生：我们可以先找到题目中给出的信息有哪些,比如这道题给出了首项、公差, 所以我们可以求出它的通项公式,然后再把数字代进去,就可以了。
师：大家掌声鼓励一下。
这位同学不仅学会了等差数列的基本知识,还能自己归纳方法了。
我们平时做题的时候也要这样,不断归纳,我们做题就能越 来越快,越来越轻松。
我相信聪明的同学们应该都学会了,还有疑问的同 学可以举手或者下课后问老师和同学,一定要把疑问解决。
【课件再次展示计算过程,老师可以把同学的归纳再整理一下】板书：1a =3,d =8-3=5,n a =1a +（n-1）d=3+（n-1）×5=5n-2,38a =5×38-2=188,69a =5×69-2=343答：第38项是188,第69项是343。
练习一：（6分钟）等差数列1,4,7,10,13,…的第20项和第89项。
分析：这个题目的题型和难度与例题相同,解题方法和上题也相同。
学生在听懂例题后再来做这道题,难度较小。
【课件出示练习题,挑选两位同学上台板演,教师走动指导。
然后讲解计算过程,重点指导一些不懂的学生】板书：1a =1,d=4-1=3,最低一级作为第15项,15a =100,正中间一级是第8项,8a =（1a +15a ）÷2=（100+30）÷2=65答：正中间一级的宽是65厘米。
