人教版高中数学必修一函数知识点(精简版)

人教版高一数学必修一知识点梳理(实用版)编制人：______审核人：______审批人：______编制单位：______编制时间：__年__月__日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。

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(名师选题)人教高中数学必修一第五章三角函数知识点归纳总结(精华版)单选题1、若sinα+cosαsinα−cosα=12，则tan (α+π4)的值为（ ） A ．−2B ．2C ．−12D ．12 答案：C分析：利用弦化切和两角和的正切展开式化简计算可得答案. 因为sinα+cosαsinα−cosα=12．所以tanα+1tanα−1=12，解得tanα=−3， 于是tan (α+π4)= tanα+tanπ41−tanαtanπ4=−3+11−(−3)=−12．故选：C.2、已知sinαcosα=12，则tanα+1tanα的值为（ ） A ．12B ．−12C ．−2D ．2答案：D解析：根据题中条件，由切化弦，将所求式子化简整理，即可得出结果. ∵sinαcosα=12， ∴tanα+1tanα=sinαcosα+cosαsinα=sin 2α+cos 2αsinαcosα=112=2，故选：D.3、设0<α<π，sinα+cosα=713，则1−tanα1+tanα的值为（ ）A ．177B ．717C ．−177D ．−717 答案：C分析：依题意可知π2<α<π，得到cosα−sinα<0，再利用正余弦和差积三者的关系可求得cosα−sinα的值，将所求关系式切化弦，代入所求关系式计算即可． 由sinα+cosα=713，平方得到1+sin2α=49169，∴sin2α=49169−1=−120169=2sinαcosα，0<α<π， ∴ π2<α<π，∴cosα<0，而sinα>0， ∴cosα−sinα<0； 令t =cosα−sinα(t <0)， 则t 2=1−sin2α，∴t 2=1−sin2α=1+120169=289169，t <0∴t =−1713∴ 1−tanα1+tanα=cosα−sinαcosα+sinα=137(cosα−sinα)=137×(−1713)=−177，故选：C ．4、若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r 为（ ） A ．5−1sin1B ．1sin1+32C ．5sin11+sin1D ．5+51+sin1 答案：C分析：先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径r 的等式，由此求解出r 的值.设扇形的半径为R ，圆心角为α，面积为S ，因为2R +αR =20， 所以S =12αR 2=(10−R )R ≤(10−R+R 2)2=25，取等号时10−R =R ，即R =5，所以面积取最大值时R =5,α=2， 如下图所示：设内切圆圆心为O ，扇形过点O 的半径为AP ，B 为圆与半径的切点， 因为AO +OP =R =5，所以r +rsin∠BPO =5，所以r +rsin1=5， 所以r =5sin11+sin1，故选：C.5、设函数f(x)=2sin (ωx +φ)−1(ω>0)，若对于任意实数φ，f(x)在区间[π4,3π4]上至少有2个零点，至多有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A ．[83,163)B ．[4,163)C ．[4,203)D ．[83,203)答案：B分析：t =ωx +φ，只需要研究sint =12的根的情况，借助于y =sint 和y =12的图像，根据交点情况，列不等式组，解出ω的取值范围. 令f(x)=0，则sin (ωx +φ)=12 令t =ωx +φ，则sint =12则问题转化为y =sint 在区间[π4ω+φ,3π4ω+φ]上至少有两个，至少有三个t ，使得sint =12，求ω的取值范围.作出y =sint 和y =12的图像，观察交点个数，可知使得sint =12的最短区间长度为2π，最长长度为2π+23π，由题意列不等式的：2π≤(3π4ω+φ)−(π4ω+φ)<2π+23π 解得：4≤ω<163.故选：B小提示：研究y =Asin (ωx +φ)+B 的性质通常用换元法（令t =ωx +φ），转化为研究y =sint 的图像和性质较为方便.6、cos 2π12−cos 25π12=（ ） A ．12B ．√33C ．√22D ．√32 答案：D分析：由题意结合诱导公式可得cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−sin 2π12，再由二倍角公式即可得解. 由题意，cos 2π12−cos 25π12=cos 2π12−cos 2(π2−π12)=cos 2π12−sin 2π12 =cos π6=√32. 故选：D.7、已知函数f(x)=a 2x−6+3（a >0且a ≠1）的图像经过定点A ，且点A 在角θ的终边上，则sinθ−cosθsinθ+cosθ=（ ） A ．−17B ．0C ．7D ．17 答案：D分析：由题知A(3,4),进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. 解:令2x −6=0得x =3,故定点A 为A(3,4), 所以由三角函数定义得tanθ=43， 所以sinθ−cosθsinθ+cosθ=tanθ−1tanθ+1=43−143+1=17故选：D8、若y =f (x )的图像与y =cosx 的图象关于x 轴对称，则y =f (x )的解析式为（ ）A．y=cos(−x)B．y=−cosxC．y=cos|x|D．y=|cosx|答案：B分析：根据f(−x)、−f(x)、f(|x|)与|f(x)|的图象特征依次判断即可得到结果.对于A，y=cos(−x)=cosx，图象与y=cosx重合，A错误；对于B，∵y=f(x)与y=−f(x)图象关于x轴对称，∴y=−cosx与y=cosx图象关于x轴对称，B正确；对于C，当x≥0时，y=cos|x|=cosx，可知其图象不可能与y=cosx关于x轴对称，C错误；对于D，将y=cosx位于x轴下方的图象翻折到x轴上方，就可以得到y=|cosx|的图象，可知其图象与y= cosx的图象不关于x轴对称，D错误.故选：B.9、将一条闭合曲线放在两条平行线之间，无论这条闭合曲线如何运动，只要它与两平行线中的一条直线只有一个交点，就必与另一条直线也只有一个交点，则称此闭合曲线为等宽曲线，这两条平行直线间的距离叫等宽曲线的宽比．如圆所示就是等宽曲线．其宽就是圆的直径．如图所示是分别以A、B、C为圆心画的三段圆弧组成的闭合曲线Γ（又称莱洛三角形），下列关于曲线Γ的描述中，正确的有（）（1）曲线Γ不是等宽曲线；（2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB的长；（3）曲线Γ是等宽曲线且宽为弧AB的长；（4）在曲线Γ和圆的宽相等，则它们的周长相等；（5）若曲线Γ和圆的宽相等，则它们的面积相等．A．1个B．2个C．3个D．4个答案：B分析：若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为1，根据定义逐项判断即可得出结论.2若曲线Γ和圆的宽相等，设曲线Γ的宽为1，则圆的半径为12，（1）根据定义，可以得曲线Γ是等宽曲线，错误； （2）曲线Γ是等宽曲线且宽为线段AB 的长，正确； （3）根据（2）得（3）错误；（4）曲线Γ的周长为3×16×2π=π，圆的周长为2π×12=π，故它们的周长相等，正确；（5）正三角形的边长为1，则三角形对应的扇形面积为π×126=π6，正三角形的面积S =12×1×1×√32=√34， 则一个弓形面积S =π6−√34， 则整个区域的面积为3(π6−√34)+√34=π2−√32， 而圆的面积为π(12)2=π4，不相等，故错误；综上，正确的有2个， 故选：B.小提示：本题主要考查新定义，理解“等宽曲线”得出等边三角形是解题的关键． 10、f(x)=−sinx−xcosx+x 2在[−π,π]的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．答案：C分析：先由函数为奇函数可排除A ，再通过特殊值排除B 、D 即可.由f(−x)=−sin(−x)+xcosx+x2=−−sinx−xcosx+x2=−f(x)，所以f(x)为奇函数，故排除选项A.又f(π)=−sinπ−πcosπ+π2=−ππ2−1<0，则排除选项B,D故选：C填空题11、如图所示，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为4√3，则这个圆锥的体积为___________.答案：128√2π81分析：作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理求出cos∠P′OP=2π3，求出底面圆的半径r，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积.作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为PP′，由余弦定理可得：cos∠P′OP=OP2+OP′2−PP′22OP·OP′=42+42−(4√3)22×4×4=−12∴cos∠P′OP=2π3.设底面圆的半径为r,则有2πr=2π3·4,解得r=43,所以这个圆锥的高为ℎ=√16−169=8√23，则这个圆锥的体积为V=13Sℎ=13πr2ℎ=13π×169×8√23=128√2π81.所以答案是：128√2π81.小提示：立体几何中的翻折叠（展开）问题要注意翻折（展开）过程中的不变量.12、自行车大轮48齿，小轮20齿，大轮转一周小轮转___________周．答案：125分析：通过两个车轮转动的齿数相同，计算即可得出结果.∵两个车轮转动的齿数相同，大轮有48齿，小轮有20齿，∴当大轮转动一周时，大轮转动了48个齿，∴小轮转动4820=125周.所以答案是：125.13、若cosα=−35,α为第二象限的角，则sin(π−α)=__________．答案：45分析：先根据同角三角函数的关系求出sinα，再结合诱导公式即可求出sin(π−α).∵cosα=−35,α为第二象限的角，∴sinα=√1−cos2α=45，∴sin(π−α)=sinα=45.所以答案是：45.小提示：本题考查同角三角函数的关系以及诱导公式的应用，属于基础题.14、若α∈(π2，π)，且cos2α−sinα=14，则tanα=_____.答案：−√33分析：根据同角平方和关系可解得sinα=12，进而根据角的范围可得α=5π6，进而可求.因为cos2α−sinα=14，所以4(1－sin2α)－4sinα－1=0即4sin 2α+4sin α－3=0 ，∴解得sin α=12或sin α=−32（舍去）．∵α∈(π2，π)，∴α=5π6，因此tan α=tan5π6=−√33． 所以答案是：−√33 15、已知cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)，则cos(2α+7π12)=__．答案：−31√250分析：先求出cos(2α+π3)=−725，sin(2α+π3)=2425，再利用和差角公式即可求解. ∵cos(α+π6)=35，α∈(0，π2)． ∴(α+π6)∈(0，π2)，(2α+π3)∈(0，π)．cos(2α+π3)=2cos(α+π6)−1=2×(35)2−1=−725． ∴sin(2α+π3)=√1−cos(2α+π3)=2425．∴cos(2α+7π12)=cos(2α+π3+π4)=cos(2α+π3)cos π4−sin(2α+π3)sin π4 =−725×√22−2425×√22=−31√250． 所以答案是：−31√250. 解答题16、已知函数y =asin (2x −π3)+b (a >0).(1)求出该函数的单调递减区间；(2)当x ∈[0,π2]时，f (x )的最小值是−2，最大值是√3，求实数a ，b 的值.答案：(1)[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z(2)a =2，b =−2+√3分析：(1)利用整体代入法即可求解y =asin (2x −π3)+b 的单调减区间；(2)结合x ∈[0,π2]，利用正弦函数的性质求出sin (2x −π3)的取值范围，然后结合已知条件求解即可. (1)结合已知条件和正弦函数性质，由2k π+π2≤2x −π3≤2k π+3π2，k ∈Z ，解得k π+5π12≤x ≤k π+11π12，k ∈Z ，故函数f (x )的单调递减区间为[k π+5π12,k π+11π12]，k ∈Z .(2)令t =2x −π3，∵0≤x ≤π2，∴−π3≤t ≤2π3，∴由正弦函数性质得，−√32≤sint =sin(2x −π3)≤1，故f (x )min =−√32a +b =−2，f (x )max =a +b =√3，由{−√32a +b =−2a +b =√3，解得{a =2b =−2+√3. 17、已知函数f (x )={cosx,−π⩽x <0,sinx,0⩽x ⩽π.（1）作出该函数的图象； （2）若f (x )=12，求x 的值；（3）若a ∈R ，讨论方程f (x )=a 的解的个数．答案：（1）图见解析；（2）x =−π3或π6或5π6；（3）当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3． 分析：（1）根据正余弦函数的图象即可画出； （2）讨论x 的范围根据解析式即可求解；（3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，结合图象即可得出. （1）f (x )的函数图象如下：（2）当−π≤x <0时，f (x )=cosx =12，解得x =−π3，当0≤x ≤π时，f (x )=sinx =12，解得x =π6或5π6，综上，x =−π3或π6或5π6； （3）方程f (x )=a 的解的个数等价于y =f (x )与y =a 的图象的交点个数，则由（1）中函数图象可得，当a >1或a <−1时，解的个数为0；当−1⩽a <0或a =1时，解的个数为1；当0⩽a <1时，解的个数为3．18、已知函数f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1的最大值为1.(1)求函数f (x )的单调递减区间；(2)若x ∈[0，π2]，求函数f (x )的值域.答案：(1)[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k ∈Z(2)[0,1]分析：(1)利用三角恒等变换化简函数解析式为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，ωx ＋φ整体替换进行单调区间的求解；(2)求出ωx ＋φ整体范围，根据正弦型函数图像求其值域﹒（1）f (x )=2cos 2x 2+√3sin x +a −1 =cosx +√3sinx +a =2sin (x +π6)+a ．由f(x)max=2+a=1，解得a=−1．又f(x)=2sin(x+π6)−1，则2kπ+π2≤x+π6≤2kπ+3π2，k∈Z，解得2kπ+π3≤x≤2kπ+4π3，k∈Z，所以函数的单调递减区间为[2kπ+π3,2kπ+4π3]，k∈Z；（2）由x∈[0，π2]，则x+π6∈[π6，2π3]，所以12≤sin(x+π6)≤1，所以0≤2sin(x+π6)−1≤1，所以函数f(x)的值域为[0,1]．。

函数复习主要知识点一、函数的概念与表示1、映射（1）映射：设A、B 是两个集合，如果按照某种映射法则f，对于集合A 中的任一个元素，在集合B 中都有唯一的元素和它对应，则这样的对应（包括集合A、B 以及A 到B 的对应法则f）叫做集合A 到集合B 的映射，记作f：A→B。

注意点：（1）对映射定义的理解。

（2）判断一个对应是映射的方法。

一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三要素①定义域②对应法则③值域二、函数的解析式与定义域1、求函数定义域的主要依据：（1）分式的分母不为零；（2）偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义；（3）指数函数的底数必须大于零且不等于1；2 求函数定义域的两个难点问题（1）已知f (x)的定义域是[ - 2, 5] , 求f ( 2x+3) 的定义域。

（2）已知f (2x－1的) 定义域是[ - 1, 3] , 求f ( x的定义域三．函数的奇偶性1.定义: 设y=f(x)，x∈A，如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =f (x) ，则称y=f(x)为偶函数。

如果对于任意x ∈A，都有f (-x) =-f (x) ，则称y=f(x)为奇函数。

2.性质：①y=f(x)是偶函数⇔y=f(x)的图象关于y 轴对称, y=f(x)是奇函数⇔y=f(x)的图象关于原点对称,②若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(0)=0③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[两函数的定义域D1，D2，D1∩D2要关于原点对称]3.奇偶性的判断①看定义域是否关于原点对称②看f(x)与f(-x)的关系b四、函数的单调性1、函数单调性的定义：2 设 y = f [g (x )]是定义在 M 上的函数，若 f(x)与 g(x)的单调性相反，则 y = f [g (x )]在 M 上是减函数；若 f(x)与 g(x)的单调性相同，则 y = f [g (x )]在 M 上是增函数。

经典高中数学最全必修一函数性质详解及知识点总结及题型详解分析一、函数的概念与表示1、映射：1对映射定义的理解;2判断一个对应是映射的方法;一对多不是映射,多对一是映射集合A,B 是平面直角坐标系上的两个点集,给定从A →B 的映射f:x,y →x 2+y 2,xy,求象5,2的原象.3.已知集合A 到集合B ＝｛0,1,2,3｝的映射f:x →11-x ,则集合A 中的元素最多有几个写出元素最多时的集合A.2、函数;构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 待定系数法：在已知函数解析式的构造时,可用待定系数法; 例1 设)(x f 是一次函数,且34)]([+=x x f f ,求)(x f配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式,求()f x 的解析式,[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时,常用配凑法;但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域,而是()g x 的值域;例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ,求 ()f x 的解析式三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时,还可以用换元法求()f x 的解析式;与配凑法一样,要注意所换元的定义域的变化; 例3 已知x x x f 2)1(+=+,求)1(+x f四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时,一般用代入法; 例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称,求)(x g 的解析式五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约,则可以对变量进行置换,设法构造方程组,通过解方程组求得函数解析式;例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f例6 设)(x f 为偶函数,)(x g 为奇函数,又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式六、赋值法：当题中所给变量较多,且含有“任意”等条件时,往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值,使问题具体化、简单化,从而求得解析式;例7 已知：1)0(=f ,对于任意实数x 、y,等式)12()()(+--=-y x y x f y x f 恒成立,求)(x f七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系,则可以递推得出系列关系式,然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式;例8 设)(x f 是+N 上的函数,满足1)1(=f ,对任意的自然数b a , 都有ab b a f b f a f -+=+)()()(,求)(x f1、求函数定义域的主要依据：1分式的分母不为零；2偶次方根的被开方数不小于零,零取零次方没有意义；32 2 (21)x x 已知f －的定义域是[-1,3],求f()的定义域1求函数值域的方法①直接法：从自变量x 的范围出发,推出y=fx 的取值范围,适合于简单的复合函数； ②换元法：利用换元法将函数转化为二次函数求值域,适合根式内外皆为一次式； ③判别式法：运用方程思想,依据二次方程有根,求出y 的取值范围；适合分母为二次且x ∈R 的分式；④分离常数：适合分子分母皆为一次式x 有范围限制时要画图； ⑤单调性法：利用函数的单调性求值域； ⑥图象法：二次函数必画草图求其值域； ⑦利用对号函数四．1．定义:2.性质：①y=fx 是偶函数⇔y=fx 的图象关于y 轴对称, y=fx 是奇函数⇔y=fx 的图象关于原点对称,②若函数fx 的定义域关于原点对称,则f0=0③奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇两函数的定义域D 1 ,D 2,D 1∩D 2要关于原点对称31、函数单调性的定义：2 设()[]x g f y =是定义在M 上的函数,若fx 与gx 的单调性相反,则()[]x g f y =在M 上是减函数；若fx 与gx 的单调性相同,则()[]x g f y =在M 上是增函数;时,1)(>x f ,⑴求证：)(x f 在R 上是增函数； ⑵若4)3(=f ,解不等式2)5(2<-+a a f 3函数)26(log 21.0x x y -+=的单调增区间是________4高考真题已知(31)4,1()log ,1a a x a x f x x x -+<⎧=⎨>⎩是(,)-∞+∞上的减函数,那么a 的取值范围是A (0,1)B 1(0,)3C 11[,)73D 1[,1)7一：函数单调性的证明1.取值 2,作差 3,定号 4,结论 二：函数单调性的判定,求单调区间x a x y += 0>a xax y -= 0>a 三：函数单调性的应用1.比较大小 例：如果函数c bx x x f ++=2)(对任意实数t 都有)2()2(-=+t f t f ,那么 A 、)4()1()2(f f f << B 、)4()2()1(f f f <<C 、)1()4()2(f f f << C 、)1()2()4(f f f <<2.解不等式例：定义在－1,1上的函数()f x 是减函数,且满足：(1)()f a f a -<,求实数a 的取值范围; 例：设是定义在上的增函数,,且,求满足不等式的x 的取值范围.3.取值范围例: 函数 在上是减函数,则 的取值范围是_______．例：若(31)41()log 1a a x a x f x x x -+≤⎧=⎨>⎩是R 上的减函数,那么a 的取值范围是A.(0,1)B.1(0,)3C.11[,)73D.1[,1)74. 二次函数最值例：探究函数12)(2+-=ax x x f 在区间[]1,0的最大值和最小值;例：探究函数12)(2+-=x x x f 在区间[]1,+a a 的最大值和最小值;5.抽象函数单调性判断例：已知函数)(x f 的定义域是),0(+∞,当1>x 时,0)(>x f ,且)()()(y f x f xy f +=⑴求)1(f ,⑵证明)(x f 在定义域上是增函数⑶如果1)31(-=f ,求满足不等式)21()(--x f x f ≥2的x 的取值范围例：已知函数fx 对于任意x ,y ∈R ,总有fx ＋fy ＝fx ＋y ,且当x >0时,fx <0,f 1＝－错误!.1求证：fx 在R 上是减函数； 2求fx 在－3,3上的最大值和最小值．例：已知定义在区间0,＋∞上的函数fx 满足f 错误!＝fx 1－fx 2,且当x >1时,fx <0. 1求f 1的值；2判断fx 的单调性；3若f 3＝－1,解不等式f |x |<－2.六．函数的周期性：1．定义若⇔≠=+)0)(()(T x f T x f )(x f 是周期函数,T 是它的一个周期;说明：nT 也是)(x f 的周期推广若)()(b x f a x f +=+,则)(x f 是周期函数,a b -是它的一个周期对照记忆()()f x a f x a +=-说明：()()f a x f a x +=-说明：2．若)()(x f a x f -=+；)(1)(x f a x f =+；)(1)(x f a x f -=+；则)(x f 周期是2a1 已知定义在R 上的奇函数fx 满足fx+2=－fx ,则,f 6的值为A －1B 0C 1 D22 定义在R 上的偶函数()f x ,满足(2)(2)f x f x +=-,在区间-2,0上单调递减,设( 1.5),(2),(5)a f b f c f =-==,则,,a b c 的大小顺序为_____________3 已知f x 是定义在实数集上的函数,且,32)1(,)(1)(1)2(+=-+=+f x f x f x f 若则f 2005= .4 已知)(x f 是-∞+∞，上的奇函数,)()2(x f x f -=+,当0≤≤x 1时,fx=x,则f=________ 例11 设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且对任意实数x 恒满足)()2(x f x f -=+,当]2,0[∈x 时22)(x x x f -=⑴求证：)(x f 是周期函数；⑵当]4,2[∈x 时,求)(x f 的解析式；⑶计算：1、已知函数54)(2+-=mx x x f 在区间),2[+∞-上是增函数,则)1(f 的范围是A 25)1(≥fB 25)1(=fC 25)1(≤fD 25)1(>f2、方程0122=++mx mx 有一根大于1,另一根小于1,则实根m 的取值范围是_______八．指数式与对数式 1．幂的有关概念1零指数幂)0(10≠=a a 2负整数指数幂()10,n na a n N a-*=≠∈ 3正分数指数幂()0,,,1m n m na a a m n N n *=>∈>； 5负分数指数幂()110,,,1m nm nmnaa m n N n a a-*==>∈>60的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2．有理数指数幂的性质3．根式根式的性质:当n 是奇数,则a a n n =；当n 是偶数,则⎩⎨⎧<-≥==00a aa aa a n n4．对数1对数的概念:如果)1,0(≠>=a a N a b ,那么b 叫做以a 为底N 的对数,记)1,0(log ≠>=a a N b a2对数的性质：①零与负数没有对数 ②01log =a ③1log =a a3对数的运算性质 logMN=logM+logN对数换底公式：)10,10,0(log log log ≠>≠>>=m m a a N aNN m m a 且且 对数的降幂公式：)10,0(log log ≠>>=a a N N mnN a n a m 且 1 213323121)()1.0()4()41(----⨯b a ab 2 1.0lg 10lg 5lg 2lg 125lg 8lg ⋅--+x 名称 指数函数 对数函数 一般形式 Y=a x a>0且a ≠1 y=log a x a>0 , a ≠1 定义域 -∞,+ ∞ 0,+ ∞ 值域 0,+ ∞ -∞,+ ∞ 过定点 ０,1 1,０ 图象 指数函数y=a x 与对数函数y=log a x a>0 , a ≠1图象关于y=x 对称数相同,如果底数相同,可利用指数函数的单调性；指数相同,可以利用指数函数的底数与图象关系对数式比较大小同理记住下列特殊值为底数的函数图象：3、研究指数,对数函数问题,尽量化为同底,并注意对数问题中的定义域限制4、指数函数与对数函数中的绝大部分问题是指数函数与对数函数与其他函数的（1）1、平移变换：左+ 右- ,上+ 下- 即①函数图象及变化规则掌握几类基本的初等函数图像是学好本内容的前题1、基本函数1一次函数、2二次函数、3反比例函数、4指数函数、5对数函数、6三角函数;2、图象的变换1平移变换左加右减①函数y=fx+2的图象是把函数y=fx的图像沿x轴向左平移2个单位得到的；反之向右移2个单位②函数y=fx-3的图象是把函数y=fx的图像沿y轴向下平移3个单位得到的；反之向上移3个单位2对称变换①函数y=fx 与函数y=f-x 的图象关于直线x=0对称； 函数y=fx 与函数y=-fx 的图象关于直线y=0对称；函数y=fx 与函数y=-f-x 的图象关于坐标原点对称；②如果函数y=fx 对于一切x ∈R 都有fx+a=fx-a,那么y=fx 的图象关于直线x=a对称;③y=f-1x 与y=fx 关于直线y=x 对称 ⑤y=fx →y=f|x|3、伸缩变换y=afxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的纵坐标伸长a>1或缩短0<a<1到原来的a 倍;y=faxa>0的图象,可将y=fx 的图象上的每一点的横坐标缩短a>1或伸长0<a<1到原来的a 倍;十．函数的其他性质1．函数的单调性通常也可以以下列形式表达：1212()()0f x f x x x ->- 单调递增1212()()0f x f x x x -<- 单调递减2．函数的奇偶性也可以通过下面方法证明：()()0f x f x +-= 奇函数 ()()0f x f x --= 偶函数3．函数的凸凹性：1212()()()22x x f x f x f ++<凹函数图象“下凹”,如：指数函数 1212()()()22x x f x f x f ++>凸函数图象“上凸”,如：对数函数。

高中数学必修一函数知识点函数是数学中一个非常重要的概念，在高中数学必修一的课程中，函数的内容占据了很大的比重。

学好函数，不仅可以帮助我们更好地理解数学知识，还可以提高我们的数学解题能力。

下面，我们就来系统地总结一下高中数学必修一中的函数知识点。

一、函数的定义在数学中，函数是对两个集合之间的一种特殊关系的描述。

简单来说，函数就是一个输入与输出之间的对应关系。

如果对于集合A中的每一个元素，都存在且仅存在一个元素与之对应在集合B中，那么这样的对应关系就可以称为一个函数。

通常用f(x)来表示函数，其中x为自变量，f(x)为因变量。

二、函数的性质1. 定义域和值域：函数的定义域是指所有自变量可以取得的值的集合，通常用D(f)表示；而函数的值域是指所有因变量可能取得的值的集合，通常用R(f)表示。

2. 增减性和奇偶性：函数的增减性指的是函数在定义域内的某个区间上是增函数还是减函数；而函数的奇偶性则是指当自变量取相反数时因变量的取值是否相同。

3. 周期性：如果对于所有x∈D(f)，都有f(x)=f(x+T)成立，那么该函数就具有周期性，其中T为函数的周期。

4. 单调性：若对于定义域内任意的x₁、x₂（x₁<x₂），有f(x₁)≤f(x₂)或f(x₁)≥f(x₂)成立，则函数具有单调性。

5. 奇偶性：如果对于定义域内任意的x，有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)成立，那么该函数就具有奇函数或偶函数的性质。

三、常见的函数类型1. 一元一次函数：一元一次函数的一般形式为f(x)=kx+b，其中k和b为常数，代表了斜率和截距。

2. 一元二次函数：一元二次函数的一般形式为f(x)=ax²+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。

3. 幂函数：幂函数是一种形如f(x)=xⁿ的函数，其中n为常数。

4. 指数函数：指数函数是一种形如f(x)=aⁿ的函数，其中a为常数，n为变量。

5. 对数函数：对数函数是指以对数形式表示的函数，常见的以10为底或以自然对数e为底的对数函数。

高中数学必修一第三章函数的概念与性质知识点梳理单选题>0，1、已知函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数，对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2若a,b∈R,a+b<0，则f(a)+f(b)的值（）A．恒大于0B．恒小于0C．等于0D．无法判断答案：B解析：根据函数为幂函数以及函数在(0,+∞)的单调性，可得m，然后可得函数的奇偶性，结合函数的单调性以及奇偶性，可得结果.由题可知：函数f(x)=(m2−m−1)x m3−1是幂函数则m2−m−1=1⇒m=2或m=−1>0又对任意的x1,x2∈(0,+∞)且x1≠x2，满足f(x1)−f(x2)x1−x2所以函数f(x)为(0,+∞)的增函数，故m=2所以f(x)=x7，又f(−x)=−f(x)，所以f(x)为R单调递增的奇函数由a+b<0，则a<−b，所以f(a)<f(−b)=−f(b)则f(a)+f(b)<0故选：B>小提示：本题考查幂函数的概念以及函数性质的应用，熟悉函数单调递增的几种表示，比如f(x1)−f(x2)x1−x20,[f(x1)−f(x2)]⋅(x1−x2)>0，属中档题.<0，且f(2)=0，则不2、定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1,x2∈[0,+∞),(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1等式xf(x)>0的解集是（）A．(−2,2)B．(−2,0)∪(2,+∞)C．(−∞,−2)∪(0,2)D．(−∞,−2)∪(2,+∞)分析：依题意可得f(x)在[0,+∞)上单调递减，根据偶函数的性质可得f (x )在(−∞,0)上单调递增，再根据f(2)=0，即可得到f (x )的大致图像，结合图像分类讨论，即可求出不等式的解集； 解：因为函数f(x)满足对任意的x 1,x 2∈[0,+∞),(x 1≠x 2)，有f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1<0，即f(x)在[0,+∞)上单调递减，又f (x )是定义在R 上的偶函数，所以f (x )在(−∞,0)上单调递增， 又f(2)=0，所以f (−2)=f (2)=0，函数的大致图像可如下所示：所以当−2<x <2时f (x )>0，当x <−2或x >2时f (x )<0， 则不等式xf(x)>0等价于{f(x)>0x >0 或{f(x)<0x <0，解得0<x <2或x <−2，即原不等式的解集为(−∞,−2)∪(0,2)； 故选：C3、已知函数f (x )对于任意x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，且当x >0时，f (x )>2，若已知f (2)=3，则不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为（ ） A ．(2,+∞)B ．(1,+∞)C ．(3,+∞)D ．(4,+∞)分析：设g (x )=f (x )−2，分析出函数g (x )为R 上的增函数，将所求不等式变形为g (3x −2)>g (4)，可得出3x −2>4，即可求得原不等式的解集. 令g (x )=f (x )−2，则f (x )=g (x )+2，对任意的x 、y ∈R ，总有f (x )+f (y )=f (x +y )+2，则g (x )+g (y )=g (x +y )， 令y =0，可得g (x )+g (0)=g (x )，可得g (0)=0，令y =−x 时，则由g (x )+g (−x )=g (0)=0，即g (−x )=−g (x )， 当x >0时，f (x )>2，即g (x )>0，任取x 1、x 2∈R 且x 1>x 2，则g (x 1)+g (−x 2)=g (x 1−x 2)>0，即g (x 1)−g (x 2)>0，即g (x 1)>g (x 2)， 所以，函数g (x )在R 上为增函数，且有g (2)=f (2)−2=1，由f (x )+f (2x −2)>6，可得g (x )+g (2x −2)+4>6，即g (x )+g (2x −2)>2g (2)， 所以，g (3x −2)>2g (2)=g (4)，所以，3x −2>4，解得x >2. 因此，不等式f (x )+f (2x −2)>6的解集为(2,+∞). 故选：A. 4、函数f(x)=0√x−2定义域为（ ）A ．[2，+∞)B ．(2，+∞)C ．(2，3)∪(3，+∞)D ．[2，3)∪(3，+∞) 答案：C分析：要使函数有意义，分母不为零，底数不为零且偶次方根被开方数大于等于零. 要使函数f(x)=0√x−2有意义，则{x −3≠0x −2>0，解得x >2且x ≠3， 所以f(x)的定义域为(2,3)∪(3,+∞). 故选：C.小提示：具体函数定义域的常见类型： （1）分式型函数，分母不为零；（2）无理型函数，偶次方根被开方数大于等于零；（3）对数型函数，真数大于零；（4）正切型函数，角的终边不能落在y轴上；（5）实际问题中的函数，要具有实际意义.5、下列函数既是偶函数又在(0,+∞)上单调递减的是（）A．y=x+1x B．y=−x3C．y=2−|x|D．y=−1x2答案：C分析：逐项判断函数奇偶性和单调性，得出答案.解析：A项y=x+1x，B项y=−x3均为定义域上的奇函数，排除；D项y=−1x2为定义域上的偶函数，在(0,+∞)单调递增，排除；C项y=2−|x|为定义域上的偶函数，且在(0,+∞)上单调递减.故选：C.6、函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，在公共定义域内，下列结论一定正确的是（）A．f(x)+g(x)为奇函数B．f(x)+g(x)为偶函数C．f(x)g(x)为奇函数D．f(x)g(x)为偶函数答案：C分析：依次构造函数，结合函数的奇偶性的定义判断求解即可.令F1(x)=f(x)+g(x)，则F1(−x)=f(−x)+g(−x)=−f(x)+g(x)≠−F1(x),且F1(−x)≠F1(x)，∴F1(x)既不是奇函数，也不是偶函数，故A、B错误；令F2(x)=f(x)g(x)，则F2(−x)=f(−x)g(−x)=−f(x)g(x)=−F2(x),且F2(−x)≠F2(x)，∴F2(x)是奇函数，不是偶函数，故C正确、D错误；故选：C7、已知f(2x−1)=4x2+3，则f(x)=（）．A．x2−2x+4B．x2+2x C．x2−2x−1D．x2+2x+4答案：D分析：利用换元法求解函数解析式. 令t =2x −1，则x =t+12，f (t )=4(t+12)2+3=t 2+2t +4；所以f(x)=x 2+2x +4. 故选：D.8、下列四组函数中，表示相同函数的一组是（ ） A ．f(x)=x 2−x x，g (x )=x −1B ．f(x)=√x 2，g(x)=(√x)2C ． f (x )=x 2−2，g (t )＝t 2－2D ．f (x )=√x +1⋅√x −1，g(x)=√x 2−1 答案：C分析：根据相同函数的判断原则进行定义域的判断即可选出答案. 解：由题意得： 对于选项A ：f(x)=x 2−x x的定义域为{x|x ≠0}，g(x)=x −1的定义域为R ，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故A 错误；对于选项B ：f(x)=√x 2的定义域为R ，g(x)=(√x)2的定义域为{x|x ≥0}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故B 错误；对于选项C ：f (x )=x 2−2的定义域为R ，g (t )=t 2−2的定义域为R ，这两函数的定义域相同，且对应关系也相同，所以表示相同的函数，故C 正确；对于选项D ：f (x )=√x +1⋅√x −1的定义域为{x|x ≥1}，g(x)=√x 2−1的定义域为{x|x ≤−1或x ≥1}，所以这两个函数的定义域不同，不表示相同的函数，故D 错误. 故选：C 多选题9、已知f(2x −1)=4x 2，则下列结论正确的是A ．f(3)=9B ．f(−3)=4C ．f(x)=x 2D ．f(x)=(x +1)2答案：BD解析：利用换元法求出f(x)的解析式，再对选项进行一一验证，即可得答案. 令t =2x −1⇒x =t+12，∴f(t)=4(t+12)2=(t +1)2.∴f(3)=16,f(−3)=4,f(x)=(x +1)2. 故选：BD.小提示：本题考查换元法求函数的解析式、函数值的求解，考查运算求解能力，属于基础题.10、已知函数f (x )={kx +1,x ≤0log 2x,x >0，下列是关于函数y =f [f (x )]+1的零点个数的判断，其中正确的是（ ）A ．当k >0时，有3个零点B ．当k <0时，有2个零点C ．当k >0时，有4个零点D ．当k <0时，有1个零点 答案：CD解析：令y ＝0得f [f (x )]=−1，利用换元法将函数分解为f （x ）＝t 和f （t ）＝﹣1，作出函数f （x ）的图象，利用数形结合即可得到结论．令y =f [f (x )]+1=0，得f [f (x )]=−1，设f （x ）＝t ，则方程f [f (x )]=−1等价为f （t ）＝﹣1， ①若k ＞0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有两个根其中t 2＜0，0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 2＜0，此时x 有两解， 由f （x ）＝t 1∈（0，1）知此时x 有两解，此时共有4个解， 即函数y ＝f [f （x ）]+1有4个零点．②若k ＜0，作出函数f （x ）的图象如图：∵f （t ）＝﹣1，∴此时方程f （t ）＝﹣1有一个根t 1，其中0＜t 1＜1，由f （x ）＝t 1∈（0，1），此时x 只有1个解，即函数y ＝f [f （x ）]+1有1个零点． 故选：CD ．小提示：本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断，利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题．11、下列函数既是偶函数，在(0,+∞)上又是增函数的是（）A．y=x2+1B．y=2x C．y=|x|D．y=|1x−x|答案：AC分析：根据偶函数的定义和增函数的性质，逐个分析判断即可得解.对A，开口向上，且对称轴为x=0，所以y=x2+1是偶函数，在(0,+∞)上是增函数，故A正确；对B，y=2x为奇函数，故B错误；对C，y=|x|为偶函数，当x∈(0,+∞)时，y=x为增函数，故C正确；对D，令f(x)=|1x −x|，f(−x)=|1−x+x|=|1x−x|=f(x)为偶函数，当x∈(0,1)，y=1x−x为减函数，故D错误，故选：AC填空题12、有对应法则f：（1）A＝{0，2}，B＝{0，1}，x→x2；（2）A＝{－2，0，2}，B＝{4}，x→x2；（3）A＝R，B＝{y|y＞0}，x→1x2；（4）A＝R，B＝R，x→2x＋1；（5）A＝{(x，y)|x，y∈R}，B＝R，(x，y)→x＋y.其中能构成从集合A到集合B的函数的有________(填序号)．答案：（1）(4)分析：利用函数的定义判断.（1）由函数的定义知，正确；（2）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（3）当x＝0时，B中不存在数值与之对应，故错误；（4）由函数的定义知，正确；（5）因为集合A不是数集，故错误；所以答案是：（1）(4)13、函数y=√7+6x−x2的定义域是_____.答案：[−1,7].分析：由题意得到关于x的不等式，解不等式可得函数的定义域.由已知得7+6x−x2≥0,即x2−6x−7≤0解得−1≤x≤7，故函数的定义域为[−1,7].小提示：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．14、已知函数f(x)={|lnx|,x>0，x2+4x+3,x≤0，若函数g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1恰有8个零点，则m的范围为___________．答案：2≤m<3解析：设f(x)=t，则g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，转化为t2−4t+m+1=0，由g(x)有8个零点，转化为方程f(x)=t，t∈(0,3]有4个不同的实根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，利用数形结合法求解.画出函数f(x)={|lnx|,x>0,x2+4x+3,x≤0,的图像如图所示，设f(x)=t，由g(x)=[f(x)]2−4f(x)+m+1=0，得t2−4t+m+1=0．因为g(x)有8个零点，所以方程f(x)=t有4个不同的实根，结合f(x)的图像可得在t∈(0,3]内有4个不同的实根．所以方程t2−4t+m+1=0必有两个不等的实数根，即m+1=−t2+4t在t∈(0,3]内有2个不同的实根，画出函数y=−t2+4t的图象，如图所示：结合图像可知，3≤m+1<4，故2≤m<3．小提示：方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解解答题15、已知幂函数f(x)=(m2−2m+2)x3k−k2(k∈Z)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增.（1）求函数f(x)的解析式；（2）若f(2x−1)<f(2−x)，求x的取值范围：（3）若实数a,b(a,b∈R∗)满足2a+3b=7m，求3a+1+2b+1的最小值.答案：（1）f(x)=x2；（2）(−1,1)；（3）2．分析：（1）由幂函数定义得m值，由单调性得k的范围，结合奇偶性得k值．（2）利用偶函数和单调性解不等式；（3）由（1）得2a+3b=7，用“1”的代换凑配出定值，由基本不等式得最小值．（1）f(x)是幂函数，则m2−2m+2=1，m=1，又f(x)是偶函数，所以3k−k2=k(3−k)是偶数，f(x)在(0,+∞)上单调递增，则3k−k2>0，0<k<3，所以k=1或2．所以f(x)=x2；（2）由（1）偶函数f(x)在[0,+∞)上递增，f(2x−1)<f(2−x)⇔f(|2x−1|)<f(|2−x|)⇔|2x−1|2<|2−x|2⇔−1<x<1．所以x的范围是(−1,1)．（3）由（1）2a+3b=7，2(a+1)+3(b+1)=12，a>0,b>0，3 a+1+2b+1=112(3a+1+2b+1)[2(a+1)+3(b+1)]=112(12+9(b+1)a+1+2(a+1)b+1)≥112(12+2√9(b+1)a+1×4(a+1)b+1)=2，当且仅当9(b+1)a+1=4(a+1)b+1，即a=2,b=1时等号成立．所以3a+1+2b+1的最小值是2．。

但我们心中永远有一个不灭的心愿。

是雄鹰，要翱翔羽天际！是骏马，要驰骋于疆域！要堂堂正正屹 立于天地！努力！坚持！拼搏！成功！一起来看看包括一对一多对一 考点二、函数的概念 1 函数设和是两个非空的数集，如果按照某种确定的对应关系， 对于集合中的任意一个数，在集合中都存在确定的数与之对应，那么， 就称对应→为集合到集合的一个函数。

记作=,其中叫自变量，的取值范围叫函数的定义域;与的值相对 应的的值函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

函数是特殊的映射，是非空数集到非空数集的映射。

2 函数的三要素定义域、值域、对应关系。

这是判断两个函数是否为同一函数的依据。

3 区间的概念设,,且 ①,={ ⑤,+∞={>}⑥[,+∞={≥}⑦-∞,={ 考点三、函数的表示方法 1 函数的三种表示方法列表法图象法解析法 2 分段函数定义域的不同部分，有不同的对应法则的函数。

注意两点①分段函数是一个函数，不要误认为是几个函数。

②分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并 集。

考点四、求定义域的几种情况①若是整式，则函数的定义域是实数集; ②若是分式，则函数的定义域是使分母不等于 0 的实数集; ③若是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于 0 的实数集合; ④若是对数函数，真数应大于零。

⑤因为零的零次幂没有意义，所以底数和指数不能同时为零。

⑥若是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部 分式子都有意义的实数集合; ⑦若是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际 问题【人教版高一数学必修一第一章知识点解析函数及其表示】。

高中数学必修一函数知识点总结高中数学必修一的函数部分主要包括函数的定义、函数的性质、函数的图像与变化规律、函数的应用等方面的知识点。

下面是一份关于该部分知识点的详细总结。

一、函数的定义1. 定义域和值域：函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围，值域是函数的所有可能的因变量的取值范围。

2. 函数的表示方法：函数可以用公式、关系式、图像、表格等形式表示。

3. 函数的图像：函数的图像是由函数的各个值构成的点的集合，可以用直角坐标系来表示。

二、函数的性质1. 奇函数和偶函数：若对于定义域内的任何实数x，有f(-x) = -f(x)，则函数f为奇函数；若对于定义域内的任何实数x，有f(-x) = f(x)，则函数f为偶函数。

2. 单调性：函数在定义域上的增减关系称为函数的单调性。

若对于定义域内的任意两个实数x1和x2，有f(x1) ≤ f(x2)，则函数f在该区间上递增；若对于定义域内的任意两个实数x1和x2，有f(x1) ≥ f(x2)，则函数f在该区间上递减。

3. 周期性：若存在常数T>0，对于定义域内的任意实数x，有f(x+T) = f(x)，则称函数f具有周期性，T为函数f的周期。

4. 奇偶性：若函数f(x)满足f(-x) = f(x)，则称函数f为偶函数；若函数f(x)满足f(-x) = -f(x)，则称函数f为奇函数。

三、函数的图像与变化规律1. 零点：函数f(x)在定义域内的一个实数x，使得f(x) = 0，称为函数f(x)的零点。

即f(x) = 0的解即为函数的零点。

2. 极值点：函数在定义域内取得最大值或最小值的点称为函数的极值点。

极大值点是局部最大值点，极小值点是局部最小值点。

3. 拐点：函数图像上的一点，使得该点两侧的曲线分别凸向上和凸向下，并且在该点的左右连续性方向上函数的变化趋势相反，称为函数的拐点。

4. 渐近线：若函数的图像在某个方向上无限地靠近一条直线，且与该直线的距离无限缩小，那么称该直线为函数图像的渐近线。

高一数学必修1函数知识点一、函数的概念与表示函数是数学中描述变量之间依赖关系的一种基本工具。

在高中数学的学习中，函数的概念和性质是重中之重。

函数通常由两个数集之间的对应关系来定义，其中一个数集中的每一个元素都与另一个数集中的唯一元素相对应。

这种对应关系可以用一个表达式或公式来表示，我们称之为函数的解析式。

例如，y = f(x) = 2x + 3 就是一个简单的线性函数，其中x是自变量，y是因变量，函数的值是自变量x的两倍再加上3。

这个函数可以用图像的形式在坐标系中表示，它的图像是一条直线。

二、函数的性质函数的性质包括单调性、奇偶性、周期性等。

了解函数的性质有助于我们更好地理解函数的行为和特点。

1. 单调性：函数的单调性描述了函数值随自变量变化的趋势。

如果对于所有的x1 < x2，都有f(x1) ≤ f(x2)，那么我们称这个函数在该区间上是增函数。

相反，如果f(x1) ≥ f(x2)，那么它是减函数。

2. 奇偶性：函数的奇偶性描述了函数图像相对于y轴的对称性。

如果对于所有的x，都有f(-x) = -f(x)，那么这个函数是奇函数。

如果f(-x) = f(x)，那么这个函数是偶函数。

3. 周期性：周期性是指函数在某个固定的区间内重复其值的特性。

如果存在一个正数T，使得对于所有的x，都有f(x + T) = f(x)，那么函数具有周期T。

三、函数的图像函数的图像是函数在坐标系中的表现形式，通过图像我们可以直观地了解函数的性质。

例如，线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一个抛物线，指数函数的图像随着底数的不同会有不同的形状。

1. 线性函数：y = ax + b (a ≠ 0)，其中a是斜率，b是截距。

斜率决定了直线的倾斜程度，截距决定了直线与y轴的交点位置。

2. 二次函数：y = ax^2 + bx + c (a ≠ 0)，其图像是一个抛物线。

二次函数的开口方向、顶点位置和对称轴都与系数a、b、c有关。

数学必修一函数重点知识整理1. 函数的定义：函数是一种特殊的关系，它将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

用数学符号表示为：y = f(x)，其中x为自变量，y为因变量，f为函数名。

2. 定义域和值域：函数的定义域是自变量的取值范围，值域是因变量的所有可能取值的范围。

3. 函数的图像：函数的图像是函数在平面直角坐标系上的表示，用于直观地了解函数的性质和特点。

4. 函数的性质：a. 奇偶性：若对于任意x，有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于任意x，有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数。

b. 单调性：若对于任意x1和x2，若x1<x2，则f(x1)<f(x2)或f(x1)>f(x2)，则函数为单调函数。

c. 周期性：若对于任意x，有f(x+T) = f(x)，则T为函数的周期。

5. 函数的运算：a. 四则运算：函数相加、相减、相乘、相除的结果仍是函数。

b. 复合函数：若函数f和g满足f的值域是g的定义域，定义h(x) = f(g(x))，则h为函数f和g的复合函数。

6. 函数的特殊类型：a. 一次函数：函数f(x) = ax + b，其中a和b为常数，且a≠0。

b. 幂函数：函数f(x) = ax^b，其中a和b为常数，且a≠0。

c. 指数函数：函数f(x) = a^x，其中a>0且a≠1。

d. 对数函数：函数f(x) = loga(x)，其中a>0且a≠1。

7. 函数的极限：a. 函数在某点的极限：若对于任意给定的ε>0，存在对应的δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)-L|<ε，则称函数f在x0处的极限为L。

b. 函数的无穷大极限：若对于任意给定的M>0，存在对应的δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)>M或f(x)<-M，则称函数f在x0处的极限为正无穷大或负无穷大。