驻波和行波的关系

音箱驻波以及音箱摆放的方法000驻波(standingwave)频率和振幅均相同、振动方向一致、传播方向相反的两列波叠加后形成的波。

波在介质中传播时其波形不断向前推进，故称行波;上述两列波叠加后波形并不向前推进，故称驻波。

例如，如图所示，一弦线的一端与音叉一臂相连，另一端经支点O并跨过滑轮后与一重物相连。

音叉振动后在弦线上产生一自左向右传播的行波，传到支点O后发生反射，弦线中产生一自右向左传播的反射波，当弦长接近1/2波长的整数倍时。

两列波叠加后弦线上各点的位移为(设音叉振动规律为u=Acosωt)u(x，t)=2Asin(x)sin(ωt)=A(x)sin(ωt)，弦线上每个固定的点均作简谐运动，但不同点的振幅不同，由x值决定。

振幅为零的点称为波节，振幅最大处称为波腹。

波节两侧的振动相位相反。

相邻两波节或波腹间的距离都是半个波长。

在行波中能量随波的传播而不断向前传递，其平均能流密度不为零;但驻波的平均能流密度等于零，能量只能在波节与波腹间来回运行。

测量两相邻波节间的距离就可测定波长。

各种乐器，包括弦乐器、管乐器和打击乐器，都是由于产生驻波而发声。

为得到最强的驻波，弦或管内空气柱的长度L必须等于半波长的整数倍，即，k为整数，λ为波长。

因而弦或管中能存在的驻波波长为，相应的振动频率为，υ为波速。

k=1时，称为基频，除基频外，还可存在频率为kn1的倍频。

入射波(推进波)与反射波相互干扰而形成的波形不再推进(仅波腹上、下振动，波节不移动)的波浪，称驻波。

驻波多发生在海岸陡壁或直立式水工建筑物前面。

紧靠陡壁附近的海水面随时间虽作周期性升降，海水呈往复流动，但并不向前传播，水面基本上是水平的，这就是由于受岸壁的限制使入射波与反射波相互干扰而形成的。

波面随时间作周期性的升降，每隔半个波长就有一个波面升降幅度为最大的断面，称为波腹;当波面升降的幅度为0时的断面，称为波节。

相邻两波节间的水平距离仍为半个波长，因此驻波的波面包含一系列的波腹和波节，腹节相间，波腹处的波面的高低虽有周期性变化，但此断面的水平位置是固定的，波节的位置也是固定的。

七、驻波教案教学目的1．知道驻波现象及什么是波节、波腹，驻波是一种特殊的干预现象．2．理解驻波的形成过程，理解驻波与行波的区别，理解空气柱共鸣的条件．教具驻波演示仪、投影仪、水槽、音叉、玻璃管．教学过程●引入新课一列波在向前传播的途中遇到障碍物或者两种介质的分界面时，会发生反射，如果反射波和原来向前传播的波相互叠加，会发生什么现象呢？●进行新课【板书】*第七节驻波一、驻波【演示】如课本图10－31所示，把弦线的一端A固定在电磁打点计时器的振针上，另一端跨过定滑轮拴一个砝码盘，盘上放砝码，将弦线拉平．在靠近定滑轮的B处，用一个尖劈把弦线支起来．接通电磁打点计时器的电源，振针振动时，有一列波向定滑轮的一侧传播，并在B处发生反射．改变尖劈的位置，来调节AB的长度，当尖劈调到某适当位置时，可以看到，弦线会分段振动起来．仔细观察这时弦线振动情况(课本10－32)，可以看到：【板书】1．波节——弦线上有些点始终是静止不动的，这些点叫做波节．波腹——在波节和波节之间的那段弦线上，各质点以相同的频率、相同的步调振动，但振幅不同，振幅最大的那些点叫做波腹．在相邻的两段弦线上，质点的振动方向是相反的．相邻的两个波节(或波腹)之间的距离等于半个波长，即等于λ/2．【板书】2．驻波——波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，这种现象叫做驻波．行波——驻波跟前面讲过的波形向前传播的那种波显然是不同的，相对于驻波来说波形向前传播的那种波叫行波．【板书】3．两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同的波叠加，形成驻波．【板书】4．振幅相同、频率相同波的叠加．课本 10－33中用虚线表示两列沿相反方向传播的振幅相同、频率相同波的叠加，用实线表示这两列波叠加后形成的合成波．图中画出了每隔T/8周期波形的变化情况．由图可以看出，合成波在波节的位置(图中的“·〞表示)，位移始终为零．在两波节之间，各质点以相同的步调在振动，两波节之间的中点振幅最大，就是波腹(图中用“＋〞表示)．由此可知，驻波有如下特点：【板书】5．驻波——特殊的干预现象驻波也是一种波的干预现象，但是一种特殊的干预现象．其特殊性表现在两个方面：【板书】6．波源特殊驻波是由频率相同，振幅相同，振动方向相同，而传播方向相反的两列波叠加而成的．【板书】7．波形特殊波形虽然随时间而改变，但是不向任何方向移动，相邻两波节间质点运动方向一致，但振幅不同，波节两侧的质点振动方向总是相反．从上述弦线上驻波的形成来看，可以认为驻波是一种特殊的干预现象．从驻波的振动情况来看，可以认为驻波是组成弦线的无数有相互联系的质点的一种振动模式．实际上，只要设法激起弦线的振动(弹、拉、打击等)，就能在弦线上产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是弦乐器发声的原理．管乐器是否是这样呢？【演示】在盛有水的容器中插入一根粗玻璃管，管口上方放一个正在发声的音叉，慢慢向上提起玻璃管，当管内空气柱到达一定长度时，可以听到空气柱发出较强的声音这时，从音叉发出并进入玻璃管的声波和经水面反射回来的反射波相互叠加，在空气柱内产生驻波，玻璃管开口处为波腹，水面处为波节，空气柱的长度l＝λ/4、l＝3λ/4、l＝5λ/4时．课本图10－34(乙、丙、丁)，都会产生驻波．【板书】8．空气柱产生驻波条件l＝(2n＋1)/4(n＝0，1，2，3 )空气柱内的驻波可看作空气柱的一种振动模式，所以上述现象可看作音叉和空气柱发生了共鸣．实际上，只要设法激起空气柱的振动(如吹奏)，就能使空气柱产生驻波，并在周围空气中发出声波，这就是管乐器发声的原理．在上述实验中，如果测出空气柱的长度l，就可以测出声波的波长λ．如果音叉的频率f，还可测出声波的速度v＝λf．【例】一玻璃管坚直插入一水槽中，在玻璃管上端有一发声音叉，频率为200Hz，上下移动玻璃管，测到相邻两次共鸣时管中空气柱的长度差为34cm，如课本图10－34所示，试求声速．分析与解：由于玻璃管中的空气要产生共鸣，空气柱长L等于λ/4的奇数倍，因此相邻两次共鸣的空气柱长度差：△L＝λ/2根据：△L＝λ/2＝34cm所以：λ＝68cm＝又：v＝λ/T＝λf＝×500＝340m/s●稳固练习对着一只空罐子唱歌，当唱到某一单调(即某一频率)时，声音会特别响亮，同时罐子会发生振动，这是什么缘故？(2)课本图10－34甲所示的情景中，如果音叉的频率是400Hz，管在水面上的局部至少为多长时，管内空气柱会产生共鸣？(设这时空气中的声速为340m/s)●作业1．复习本节课文．2．课本练习五第(1)、(2)题．参考题驻波的说法正确的选项是：[ ]A．两列向相反方向传播的波叠加就一定会产生驻波B．在驻波中有些质点始终静止不动；相邻的两个这样的质点的距离相距半个波长C．驻波各质点都有相同的振幅D．驻波中各质点的振动频率相同说法正确的选项是：[ ]A．波节处质点始终静止B．波腹处质点的振幅最大C．波腹处质点的位移有时可能为零D．相邻的两个波节之间的距离为一个波长如图10－23所示，在弦上的A、B两点间形成了如下图的驻波，且两点间距离，那么波长为：[ ]A．1mB．C．3mD．4m(4)弦ab之间某时刻形成的驻波如图10－24所示，那么经过半个周期后波形应是下列图中的哪一个？[ ]驻波与行波的区别是[ ]A．驻波中的质点振动形式不向外传播，而行波的波形那么外传播B．行波在传播过程中，质点沿波前进的方向移动，而驻波不同C．行波向外传播能量，而驻波不向外传播能量D．在形成驻波的区域内，存在着所有质点位移都为零的时刻，而行波在传播过程中不存在这样的时刻．如图10－25所示，在玻璃管的上端有振动频率未知的音叉，现使音叉发声，并将玻璃管上提，当玻璃管口离水面距离为17cm，那么刚好能听到空气柱共鸣(声音在空气中传播速度v＝340m/s)，那么音叉的频率为：[ ]A．200HzB．1000HzC．500HzD．100Hz说明驻波与行波的区别1．物理意义不同：驻波是两列波的特殊干预现象，行波是一列波在介质中的传播．2．质点振动不同：相邻波节间质点运动方向一致．波节两侧质点振动方向总相反．3．波形不同：波形向前传播的是行波，波形不向任何方向传播的是驻波．天津市武清区杨村一中郎荣福。

12-5 驻波1、理解驻波形成的条件和特点驻波及其形成，了解驻波和行波的区别；2、理解驻波中的相位和能量，建立半波损失的概念。

重点：驻波形成的条件和特点、驻波方程的建立、驻波中的相位和能量；难点：驻波的形成，半波损失课堂讲授（MCAI教学）1个学时干涉是特定条件下波的叠加，驻波是特定条件下波的干涉。

一、驻波的产生及特征1、产生条件：两列波：（1）满足相干条件；（2）相同振幅；（3）速度相同；（5）沿同一直线相向传播相遇而产生驻波。

2、驻波的特征(1)某些点始终不动—波节，某些点振动最大—波腹。

(2)波腹、波节等间隔稳定分布(波形没有跑动)。

(3)媒质质元分段振动，各分段步调一致，振幅不同。

二、驻波方程分析1、驻波方程：设两列平面相干波沿x轴正、负向传播，在x=0处相位相同。

右行波：1cos2πνλ⎛⎫=-⎪⎝⎭xy A t左行波：x 轴上的合振动为：122cos 2cos 2ππνλ=+=x y y y A t 2、驻波的振幅 由驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=x y A t 与时间无关的因子为振幅分布因子，与时间有关的为谐振动因子。

振幅为：2cos 2πλxA(1) 驻波的振幅沿x 轴周期变化。

(2) 波腹——振幅最大最大振幅为2A 由22cos 22πππλλ=⇒=±xxA A k 相邻两波腹间距12λ+∆=-=k k x x x 波腹处坐标：2λ=±⋅x k （k = 0，1，2，…）(3) 波节——振幅为零 由22cos 20(21)2πππλλ=⇒=±+x x A k (21)4λ=±+x k 相邻两波节的间距12λ+∆=-=k k x x x3、驻波的相位 2cos 2πνλ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x y A t驻波方程2cos 2cos 2ππνλ=xy A t 可写为： 2c o s 2c o s 2(c o s 20)ππνπλλ=>x x y A t 2cos 2cos(2)(cos 20)ππνππλλ=+<x xy A t驻波的相位与坐标无关，说明不象行波随位置依次落后，即驻波的相位不向前传播。

§10．5 机械波的驻波两列相干波，如果振幅相等，传播方向相反，它们的合成波将不是行波而是驻波。

驻波的特性下文将加以说明，首先注意到形成驻波共有5个条件，即相干波源3个条件加上振幅相等、传播方向相反两个条件。

（一）驻波的数学表式在[例题10．4C]已提到驻波与行波的数学表式有明显的不同。

现在用一个较简单的例子全面分析驻波与行波的不同特点。

设有两列相干波（都是一维余弦行波）分别沿x 轴正负方向传播，其表式可按（10．1．18）与（10．1．19）式表示如下：[两相干行波叠加成驻波的例子，]（10．5．1） 沿x 轴正向传播的行波（10．5．2） 沿x 轴负向传播的行波为简单起见，上式选取x 轴原点的初相。

上述两相干波的叠加结果，按余弦函数的化和为积方法可得：（10．5．3）合振幅（10．5．4） 从此式可知驻波表式由一个含x 的简谐函数和一个含 t 的简谐函数的乘积组成。

这与行波的表式不同，如（10．5．1）及（10．5．2）行波式所示，行波式由一个含x 与t 的简谐函数表示。

（二）驻波有波腹，行波无波腹为了形象化地认识驻波的特点，先看一看驻波的波形图。

将相角代入驻波表式（10．5．3）便可得到，。

这就是时刻各质点位置坐标x 与它的振动位移y 的关系式。

此余弦函数式的曲线图在（图10．5a ）中已画出，的最大值为2A 1，出现在，与等位置。

这就是此驻波在时刻的波形曲线。

将相角代入（10．5．3）式得，。

这就是此驻波在时刻的波形曲线表式。

此波形曲线已描绘在（图10．5a ）中，其最大位移位置仍然在 与等处。

12A A =012==ϕϕ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=λπωx t A y 2cos 11⎪⎭⎫ ⎝⎛+=λπωx t A y 2cos 22012==ϕϕt x A y y y ωλπcos 2cos 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A A 2cos 210=t ω1cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 210=t ωy 0=x 2λ=x λ=x 0=t ω3πω=t 21cos =t ω⎪⎭⎫ ⎝⎛=λπx A y 2cos 13πω=t 0=x 2λ=x 驻波的例子 节 腹 节 腹 节 腹 （图10．5a ）驻波的例子将相角代入（10．5．3）式得，。

第三十七讲：§9-5驻波一、驻波的形成1、驻波形成的条件：在同一直线上相向传播的两列同振幅、频率、波速的波的叠加，是一种波的干涉现象。

2、图示3、特点：其波形不变，与行波不同；不是振动的传播，而是媒质中各质点都作稳定的振动。

二、驻波的波动方程右行波：左行波：合成波：)(2cos1λνπxtAy-=)(2cos2λνπxtAy+=()()t y x AtxAyyy==+=πνλπ2cos2cos221其中()x A x A=λπ22为驻波的振幅，是x 函数；()t y t =πν2cos 为质点作简谐振动，是t 函数。

1、驻波振幅的分布特点——波腹与波节①波腹公式：推导：当12cos=x λπ，()A x A 2=，振幅最大，为波腹。

12cos =x λπ⇒πλπk x ±=2 ⇒ 2λk x ±= ,2,1,0=k②波节公式：推导：当02cos=x λπ，()0=x A ，振幅最小，为波节。

02cos =x λπ⇒()2122πλπ+±=k x ⇒ ()412λ+±=k x ,2,1,0=k③两个相邻波腹（波节）之间的间距 21λ=-=∆+k k x x x2、驻波相位的分布特点①波节两侧点的振动相位相反，即相位差为π。

,,,k kx 2102=±=λ(),2,1,0412=+±=k k x λ②波节之间点的振动相位相同。

即相位差为π2。

③各质点的振幅一定，仅在平衡位置附近做往复运动，顾其波形不变。

3、驻波的能量驻波振动中无位相传播，也无能量的传播。

一个波段内不断地进行动能与势能的相互转换，并不断地分别集中在波腹和波节附近而不向外传播。

①波节处主要集中于势能（越靠近波节就越大，∵dx dy E P ∝）。

②波腹处主要集中于动能（越靠近波腹就越大，∵221υm E k =）。

③其他各质点是动能和势能共存。

④驻波不传递能量，与行波不同。