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初中数学竞赛模拟试题六一、选择题1．已知a 1，a 2，…，a 1998，a 1999均为正数，又有M=（a 1+a 2+a 3+…+a 1998）（a 2+a 3+…+a 1999），N=（a 1+a 2+a 3+…+a 1999）（a 2+a 3+…+a 1998），则M 与N 的大小关系是（ ）． A ．M=N B ．M<N C ．M>N D ．关系不确定2．若a 4+3a 2=b 2-3b=1，且a 2b ≠1，则6331a b b+的值为（ ） A ．36 B ．35 C ．-36 D ．-353．为了给一本书的各页标出页码，在计算机排版录入时，•录入员需击打数字键3645次，这本书的页数是（ ）A ．1 187B ．1 188C ．1 189D ．非上述答案4．设方程x+1x =1 999的两根为a ，b ，则代数式a （311b b--）的值是（ ）A ．1 998B ．1 999C ．2 000D ．2 0015．已知函数y=ax 2+bx+c 的图像的一部分如图1的所示，则a+b+c 的取值范围是（ ）A ．-2<a+b+c<0B ．-2<a+b+c<2C ．0<a+b+c<2D ．a+b+c<2 6．已知）A ．11<A 3-B 3=12<A 3+B 3<13 B ．11<A 3-B 3<12<A 3+B 3<13C ．12<A 3-B 3=13<A 3+B 3<14D ．12<A 3-B 3<13<A 3+B 3<14 二、填空题 7．若方程3x x -+3x x -+2(3)x a x x --=0只有一个实数，则a 的值为_________．8．如图2，正三角形ABC 的边长为2a ，分别以A 、B 、C 为圆心，为半径作圆，三条圆弧相交成阴影部分，则这阴影部分的面积为_________．9．已知a 、b 、c 是三个非负实数，且满足3a+2b+c=5，2a+b-3c=1，则S=3a+b-7c •的最大值与最小值分别是_________．10．如图3，在梯形ABCD 中，CE 是∠BCD 的平分线，且CE ⊥AD ，DE=2AE ，CE 把梯形成分面积为S 1和S 2两部分，若S 1=1，则S 2=_______． 11．函数的最大值或最小值是__________．12．有一人利用休假在四个城市a 、b 、c 、d 旅游．他今天在这个城市，•明天又到另一个城市，请问这人从a 城出发5天后又回到a 城的不同旅游路线有________条． 三、解答题13．已知ab ≠1且5a 2+787 643 150a+7=0，7b 2+787 643 150b+5=0，求a b． 14．如图4，已知A 1、A 2、A 3、A 4、A 5、A 6是半径为1的⊙O 的内接正方形，P 是与216A A A 及半径OA 2、OA 6相切的圆的圆心，⊙P 交半径OA 1于B ．在半径OA 3上取一点Q ，使OQ=PA 1，以Q •为圆心以OA 3为半径作一圆，该圆交⊙P 于C 、E 两点，其中C 与A 2在OA 1•的同一侧，•试证四边形OPCQ 是平行四边形，并求 123A A A 、 3A C 、 1CBA 所围成区域的面积．15．一艘船A停泊在距海岸2km处的海面上，沿海岸有一座B城，距离岸上离船最近的C点3km．一位船员因事要到B城去，已知他步行每小时走5km，划船每小时行3km，•问此船员最快几小时到达B城？答案: 一、1．C ． 解：设a 2+a 3+…+a 1998=x ，则M=（a 1+x ）（x+a 1999）=a 1x+x 2+a 1a 1999+xa 1999， N=（a 1+x+a 1999）x=a 1x+x 2+a 1999x ， 所以M-N=a 1a 1999>0，M>N ． 2．C ．解：因为a 4+3a 2=1，所以a 4=1-3a 2，a 6=a 2-3a 4=a 2-3（1-3a 2）=10a 2-3，a 2=32-±，又因为a 2≥0，所以取a 2=32-+． 因为b 2-3b=1，所以b 2=3b+1，b 3=3b 2+b=3（3b+1）+b=10b+3，．又因为a 2b ≠1，所以取． 则有6331a b b+=a 6+31b =10a 2-3+1103b +=-36． 3．B ．解：1～9页，共需9个数字．10～99页，共需2×90=180个数字．100～999页，共需3×900=2 700个数字．这样1～999页共需9+180+2 700=2 889个数字． 3 645-2 889=756（个）， 756÷4=189（页）． 4．C ．解：由x+1x=1 999，得x 2-1 999x+1=0， 由韦达定理得a+b=1 999，ab=1，所以 a （311b b--）=a （1+b+b 2）=a+ab+ab 2=a+1+b=2 000．5．C ．解：由所给图形知20,1,0,0,240,4a b c c a b a ac b a ⎧⎪⎪-+=⎪⎪=⎪<⎨⎪⎪->⎪⎪->⎪⎩ 即20,0,1,1,40,a b c a b ac b ⎧<⎪>⎪⎪=⎨⎪-=-⎪⎪->⎩故1,01,1,a b b c -<<⎧⎪<<⎨⎪=⎩所以0<a+b+c<2．6．B ．解：显然A>B ．因为（A-B ）2=A 2+B 2-2AB=2，（A+B ）2=A 2+B 2+2AB=10， 所以又因为A 3-B 3=（A-B ）（A 2+B 2+AB ）A 3+B 3=（A+B ）（A 2+B 2-AB ）而11<8××15=12， 12<4××3.2<13，所以11<A 3-B 3<12<A 3+B 3<13． 故选B ． 二、7．解：将方程去分母整理得 2x 2-4x+9-a=0， ①原分式方程只有一个实根的可能有： 方程①有相等的实根，但非0与3． 即△=0，得a=7， 相应方程的根为x=1．方程①有两个不等实根，其中一根为0，另一根不是3． 即应有9-a=0，a=9，另一根为x=2．方程①有两个不等实根，其中一根是3，另一根不是0． 即应有2×9-4×3+9-a=0，a=15，另一根是x=-1．综上所述，a 的值等于7、9、15．8．解：如图，连结BP 、CP ，易知△BPC 是等腰直角三角形． 设曲边三角形PQR 的面积为S ． 曲边四边形DERQ 的面积为S 1， 曲边四边形BDQF 的面积为S 2．则有S+S 1=2S 扇形BEP -S △BPC =14π）2-12）2=（2π-1）a 2， ①S+3S 1+3S 2=S △ABC =2， ②S+2S 1+S 2=S 扇形BEG =16π）2=3πa 2， ③ 解①、②、③ 得S=12（π）a 2．9．-111和-57（提示：由题意得730,7110,a c b c =-≥⎧⎨=-≥⎩所以37≤c ≤711，S=3（7c-3）+（7-11c ）-7c=3c-2，故S 的最小值为-57，最大值为-111）10．78（提示：延长CB 和DA 相交于F ）11． 12．60（提示：采用树形计数法进行分析） 三、13．解：令m=787 643 150 则有 5a 2+ma+7=0， ① 7b 2+mb+5=0， ② 因为ab ≠1，所以a ≠1b，b ≠0．由②有5（1b ）2+m （1b）+7=0， ③ 由①、③知a 、1b （a ≠1b ）是方程5x 2+mx+7=0的两个不同的根，则有a ·1b =75，即a b =75．14．解：连结PC 、CQ ．因为PA 1=PC ，PA 1=OQ ．所以PC=OQ ，又因为OP=OA 1-PA 1=OA 3-OQ=QA 3=QC ． 所以四边形OPCQ 是平行四边形．已知⊙O 的半径为1，设⊙P 的半径为r ，则OP=1-r ， 又∠POA 2=∠POA 6=60°． 设⊙P 切OA 6于D ．连结PD ，可得OP=PD/sin60°，r ，所以．从而OP=QA 3=1-（） 又因为∠A 1PC=∠A 1OA 3=120°．所以S 扇形PA1DC =23π（）2，S 扇形OA1A3=13π，S 扇形QCA3=13π（4-22，SQOPC 设所求区域面积为S ，则 S=S 扇形OA1A3-S 扇形QCA3-S+S QOPC +S扇形PA1DC=13（π -3（15．提示：设DC=xkm ，则步行的时间是35x -，划船的时间是3．总时间+35x-， ①将①化简得．②设k=15t-9，代入②得，两边平方化简得16x2-6kx+100-k2=0．因x为实数，故△=36k2-6 400+64k2≥0从而得k≥8，即15t-9≥8，t≥1715，故t的最小值是1715，所以船员最快1715h．即1小时8分钟到达B城．。
初中数学联赛考前辅导 模拟试题 1第一试一、选择题（每小题7分，共42分）1．已知实数a 、b 、c 满足.0)(41)1)(1(2=-+++c b c a b a 则代数式ac ab +的值是( )．2)(-A 1)(-B 1)(C 2)(D2．在ABC ∆中，AD 是边BC 上的中线，点M 、N 分别在边AB 、AC 上，且满足.90 =∠MDN 如果,2222DN DM CN BM +=+那么AD 2与22AC AB +的关系是 ( )．222)(AC AB AD A +> 222)(AC AB AD B +<222)(AC AB AD C += 2)(AD D 与22AC AB +大小不确定3．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(的图象如图所示．记.|2||||,2|||b a c b a q b a c b a P -+++=+++-=则( )．q p A >)(q p B =)(q p C <)( (D)p 、q 的大小关系不能确定4．五边形ABCDE 中，===∠=∠BC AB C A ,90 .3=+=CD AE DE 则这个五边形的面积为( )．9)(A 5.10)(B 12)(C 5.13)(D5．甲、乙、丙、丁四人做相互传球游戏，第一次甲传给其他三人中的一人，第二次由拿到球的人再传给其他三人中的一人，这样的传球共进行了4次．则第四次仍传回到甲的概率是( )．277)(A 275)(B 87)(C 6421)(D B6．如图，在 ABC 中，I C B A ,∠>∠>∠是内心．现给出三条路线：C A;I B C A I →→→→①;I A B C I →→→→② .I C A B I →→→→③ 若记它们的长度分别为,321l l l 、、则其中最短的是( )．1)(l A 2)(l B 3)(l C (D)不能确定二、填空题（每小题7分，共28分）7．已知11861832=+--++x x x x x x 则3291862x x x x -+-的值为 8．1021,,,a a a 分别表示1，2，3，4，5，6，7，8，9，0这十个数码，由此作成两个五位数10987654321,a a a a a n a a a a a m ==).(n m >则n m -的最小值是9．如图，在△ABC 中，AB=9，BC=8，CA=7，AD 为内角平分线，以AD 为弦作一圆与BC 相切，且与AB 、AC 分别交于点M 、N ．则MN=10．方程 2009223=+y x x 的整数解为第二试一、(20分)已知a 、b 、c 为正整数，二次函数c bx ax y ++=2当12≤≤-x 时， y 的最大值为7，最小值为-1，求二次函数的解析式.二、(25分)已知圆O 为△ABC 的内切圆，分别与三边AB 、BC 、CA 切于D 、E 、F 三点，AB 为最大边．求证：△ABC 为直角三角形等价于S △ABC =AD ·BD.三、(25分)已知整数)2009,,2,1( =i x i 满足,11=x |,1|||122+=-k k x x |,2|||212+=+k k x x ).1004,,2,1( =k 求200820074321222x x x x x x ++++++ 的最大值和最小值。
贵州数学竞赛初中试题贵州数学竞赛是一项旨在激发学生数学兴趣、培养数学思维能力的竞赛活动。
以下是一套模拟的初中数学竞赛试题，供同学们练习。
一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数是最小的正整数？- A. 0- B. 1- C. 2- D. 32. 如果一个三角形的三个内角之和为180度，那么这个三角形是： - A. 锐角三角形- B. 直角三角形- C. 钝角三角形- D. 不能确定3. 一个数的平方根是它本身，这个数可能是：- A. 1- B. -1- C. 0- D. 以上都是4. 圆的周长与直径的关系是：- A. 周长是直径的π倍- B. 周长是直径的2倍- C. 周长是直径的π/2倍- D. 周长是直径的2π倍5. 下列哪个是完全平方数？- A. 16- B. 17- C. 18- D. 19二、填空题（每题3分，共15分）1. 一个数的绝对值是它本身，这个数是______或______。
2. 如果一个数的立方根等于它本身，这个数是______、______或______。
3. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长度是______。
4. 一个数的倒数是1/5，那么这个数是______。
5. 一个圆的半径是5厘米，那么它的面积是______平方厘米。
三、简答题（每题10分，共20分）1. 证明勾股定理：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
2. 解释什么是黄金分割，并给出黄金分割比的值。
四、解答题（每题25分，共50分）1. 一个水池有一个进水管和一个出水管，单独打开进水管，每小时可以注满水池的1/5；单独打开出水管，每小时可以放掉水池的1/4。
现在两个管子同时打开，需要多少时间才能注满水池？2. 一个班级有40名学生，其中1/4的学生喜欢数学，1/3的学生喜欢英语。
如果班级中有5名学生同时喜欢数学和英语，那么有多少名学生只喜欢数学？五、附加题（10分）在一个平面直角坐标系中，给定三个点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 4)。
初中数学竞赛模拟试题文／安振平苟春鹏第一试（共70分）一、选择题（每小题7分，共42分）1.ａ、ｂ、ｃ、ｄ都是实数．若｜ａ＋ｂ｜＝4，｜ｃ＋ｄ｜＝2，且｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），则ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值是（）．Ａ．6 Ｂ．2 Ｃ．－2 Ｄ．－62．若实数ｘ、ｙ满足ｘ２＋ｙ２－ｘｙ－ｙ＋ｘ＜0，则有（）．Ａ．ｘ２＋ｙ２＜1 Ｂ．ｘ２＋ｙ２＝1Ｃ．ｘ２＋ｙ２＞1 Ｄ．ｘ２＋ｙ２≥13．如图1，ＡＢＣＤＥ是正五边形，ＡＰ、ＡＱ和ＡＲ是由Ａ向ＣＤ、ＣＢ和ＤＥ（或延长线）所引的垂线．设Ｏ是正五边形的中心，ＯＰ＝1，则ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ等于（）．图1Ａ．3 Ｂ．1＋Ｃ．4 Ｄ．2＋4．已知△ＡＢＣ的两边长分别为2和4，且有一个内角等于30°，则这个三角形是（）．Ａ．锐角三角形Ｂ．直角三角形Ｃ．钝角三角形Ｄ．直角三角形或钝角三角形5.正三角形ＡＢＣ的高等于⊙Ｏ的半径，⊙Ｏ在ＡＢ上滚动，切点为Ｔ，⊙Ｏ交ＡＣ、ＢＣ于Ｍ、Ｎ则（）．图1Ａ．在0°～30°变化Ｂ．在30°～60°变化Ｃ．在60°～90°变化Ｄ．保持60°不变6．已知实数ａ、ｂ、ｃ满足ａ２＋ａｂ＋ａｃ＜0，则关于ｘ的方程ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ＝0（）． Ａ．有两个不同的实根Ｂ．有两个相等的实根Ｃ．无实数根Ｄ．以上都不对二、填空题（每小题7分，共28分）1．设ｘ、ｙ、ｚ为3个非零实数，则（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘｙ／｜ｘｙ｜）＋（｜ｙｚ｜／ｙｚ）＋（ｚｘ／｜ｚｘ｜）＋（｜ｘｙｚ｜／ｘｙｚ）＝_______．2．折叠矩形纸片ＡＢＣＤ，先折出折痕（对角线）ＢＤ，再折叠使ＡＤ边与对角线ＢＤ重合，得折痕ＤＧ（图3）．若ＡＢ＝2，ＢＣ＝1，则ＡＧ＝_________．图33．某种商品，当出售价格是15元时卖出500个，价格每上涨1元，卖出的个数就要减少20个，要使售货金额取得最大值，价格应定为__________元．4．在△ＡＢＣ中，∠ＡＣＢ＝75°，Ｐ点是ＢＣ边上的一点，且ＰＣ＝2ＢＰ，∠ＡＰＣ＝60°，则∠ＡＢＣ＝_________．第二试（共70分）一、（本题满分20分）如，ＯＭ是⊙Ｏ的半径，ＡＢ切⊙Ｏ于Ｍ，连结ＯＡ、ＯＢ交⊙Ｏ于Ｃ、Ｄ两点，且ＡＣ＝ＢＤ，求证：ＡＭ＝ＢＭ．图4二、（本题满分25分）解方程组＝10，①＝10．② 三、（本题满分25分）设ｘ、ｙ、ｚ为任意实数，求证：≥．参考答案第一试一、选择题1．选Ｃ．由｜ａ＋ｂ｜＝4，得ａ＋ｂ＝±4，由｜ｃ＋ｄ｜＝2，得ｃ＋ｄ＝±2．∴｜（ａ－ｃ）＋（ｂ－ｄ）｜＝（ｃ－ａ）＋（ｄ－ｂ），即｜（ａ＋ｂ）－（ｃ＋ｄ）｜＝（ｃ＋ｄ）－（ａ＋ｂ），∴ｃ＋ｄ＞ａ＋ｂ，则ｃ＋ｄ必等于±2，ａ＋ｂ必等于－4，∴ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ等于－2或－6．故ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ的最大值为－2．2．选Ａ．对已知不等式两边乘以2，得0＞2ｘ２＋2ｙ２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋［ｘ２＋ｙ２＋1２－2ｘｙ－2ｙ＋2ｘ］＝（ｘ２＋ｙ２－1）＋（ｘ－ｙ＋1）２，即ｘ２＋ｙ２－1＜－（ｘ－ｙ＋1）２≤0．∴ｘ２＋ｙ２＜1．3．选Ｃ．∵Ｓ△ＡＣＤ＋Ｓ△ＡＢＣ＋Ｓ△ＡＤＥ＝Ｓ正五边形ＡＢＣＤＥ＝5Ｓ△ＣＯＤ，即（1／2）ＣＤ²ＡＰ＋（1／2）ＢＣ²ＡＱ＋（1／2）ＥＤ²ＡＲ＝5²（1／2）ＣＤ²ＯＰ．由ＣＤ＝ＢＣ＝ＤＥ，有ＡＰ＋ＡＱ＋ＡＲ＝5ＯＰ．又ＯＰ＝1，ＡＰ＝ＡＯ＋ＯＰ，∴ＡＯ＋1＋ＡＲ＋ＡＱ＝5，即ＡＯ＋ＡＱ＋ＡＲ＝4．4．选Ｄ．不妨设ＡＣ＝2，ＢＣ＝4，此题没有明确哪一个内角等于30°，因此三个内角都有可能等于30°，所以分以下三种情况：（第4题）①如图（1），当∠Ａ＝30°时，由ＢＣ＞ＡＣ得∠Ｂ＜∠Ａ，∴∠Ｂ＜30°，而且∠Ｃ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形；②如图（2），当∠Ｂ＝30°时，过点Ｃ作ＣＡ⊥ＡＢ，垂足为Ａ′，在Ｒｔ△Ａ′ＢＣ中，∵∠Ｂ＝30°，∴ＢＣ＝2Ａ′Ｃ，∵ＢＣ＝4，ＡＣ＝2，即ＢＣ＝2ＡＣ，∴ＡＣ＝Ａ′Ｃ，即Ａ′与Ａ重合．故∠Ａ＝90°，∴△ＡＢＣ是直角三角形．③如图（3），当∠Ｃ＝30°时，∵ＡＢ＞ＢＣ－ＡＣ，ＢＣ－ＡＣ＝2＝ＡＣ，∴ＡＢ＞ＡＣ，∴∠Ｂ＜∠Ｃ，于是有∠Ｂ＜30°，∴∠Ａ＞120°，即△ＡＢＣ是钝角三角形． 综合①、②、③得这个三角形是直角三角形或钝角三角形．5．选Ｄ．延长ＢＣ交⊙Ｏ于Ｇ，过Ｃ、Ｏ作⊙Ｏ的直径ＥＦ交⊙Ｏ于Ｅ、Ｆ，设ＣＡ交⊙Ｏ于M，连ＭＧ交ＥＦ于Ｐ（参看右图）．（第5题）由已知得ＥＦ∥ＡＢ，∠ＥＣＭ＝∠Ａ＝60°，∠ＥＣＧ＝∠Ｂ＝60°，∴∠ＥＣＭ＝∠ＥＣＧ＝60°．由于ＥＦ是⊙Ｏ的直径，由轴对称性质得ＥＧ＝ＥＭ，ＧＭ⊥ＣＥ．从而∠ＢＧＭ＝30°，∴＝60°．6．选Ａ．Δ＝ｂ２－4ａｃ，当ｃ＝0时，Δ＞0显然成立．下设ｃ≠0，将已知变形为ａ（ａ＋ｂ＋ｃ）＜0，即说明ａ与ａ＋ｂ＋ｃ异号．构造函数ｆ（ｘ）＝ｃｘ２＋ｂｘ＋ａ．∵ｆ（0）＝ａ，ｆ（1）＝ａ＋ｂ＋ｃ，∴ｆ（ｘ）的图象（抛物线）与ｘ轴有两个交点，故判别式Δ＝ｂ２－4ａｃ＞0．综上知，ｂ２＞4ａｃ．二、填空题1．填－1或7．设所求代数式的值为Ｓ，则Ｓ＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（｜ｘ｜／ｘ）²（｜ｙ｜／ｙ）²（｜ｚ｜／ｚ）＝（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）＋（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＋（ｚ／｜ｚ｜）²（ｘ／｜ｘ｜）＋（ｘ／｜ｘ｜）²（ｙ／｜ｙ｜）²（ｚ／｜ｚ｜）＝（（ｘ／｜ｘ｜）＋1）（（ｙ／｜ｙ｜）＋1）（（ｚ／｜ｚ｜）＋1）－1 （∵（ａ／｜ａ｜）＝｜ａ｜／ａ）．因为对任意实数ａ≠0，有ａ／｜ａ｜1 （ａ＞0），－1 （ａ＜0），所以当ｘ、ｙ、ｚ中至少有一个为负数时，Ｓ的值是－1；当ｘ、ｙ、ｚ均为正数时，Ｓ的值是7． 2．填（＋1）／2．（第2题）如图，设折叠后点Ａ落在ＢＤ上Ａ′点的位置，并设ＡＧ＝ｘ，则Ａ′Ｇ＝ｘ，ＤＡ′＝ＤＡ＝ＢＣ＝1，ＧＢ＝2－ｘ，且ＧＡ′⊥ＢＤ．∵ＢＤ＝＝，∴Ａ′Ｂ＝－1．在Ｒｔ△ＢＧＡ′中，Ａ′Ｇ２＋Ａ′Ｂ２＝ＧＢ２．解得ＡＧ＝ｘ＝（＋1）／2．3．填8000．设每个提价ｘ元，总金额为ｙ，则有ｙ＝500（15＋ｘ）－20ｘ（15＋ｘ）＝－20ｘ２＋200ｘ＋7500＝－20（ｘ－5）２＋8000．显然当ｘ＝5时，ｙ有最大值8000．因此要使销售金额最大，售出价格应定为15＋5＝20元，此时最大金额为8000元．4．填45°．（第4题）如图，过点Ｃ作ＣＱ⊥ＡＰ，连结ＢＱ．由∠ＡＰＣ＝60°，∠ＡＣＢ＝75°，得∠ＣＡＱ＝45°．∵ＡＱ＝ＣＱ，又∠ＰＣＱ＝30°，∴ＰＱ＝（1／2）ＰＣ＝ＢＰ．则∠ＱＢＰ＝∠ＰＱＢ＝∠ＰＣＱ＝30°．∴ＢＱ＝ＡＱ＝ＣＱ，∠ＡＢＱ＝∠ＢＡＱ＝15°，则∠ＡＢＣ＝∠ＡＢＱ＋∠ＱＢＰ＝15°＋30°＝45°．第二试一、如图，设ＡＭ＝ｘ，ＢＭ＝ｙ，ＯＭ＝ｒ，延长ＡＯ交⊙Ｏ于Ｅ，延长ＢＯ交⊙Ｏ于Ｆ．由切割线定理，得ＡＭ２＝ＡＣ²ＡＥ，ＢＭ２＝ＢＤ²ＢＦ，即（第一题）ｘ２＝ＡＣ（ＡＯ＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ＯＥ）＝ＡＣ（＋ｒ），①ｙ２＝ＢＤ（ＢＯ＋ＯＦ）＝ＢＤ（＋ＯＦ２）＝ＢＤ（＋ｒ）．② ∵ＡＣ＝ＢＤ，∴由①÷②，得ｘ２／ｙ２＝（＋ｒ）／（＋ｒ），即ｘ２－ｙ２＝（ｙ２－ｘ２）ｒ．两边平方，整理得ｘ２＋2ｒ２＋ｙ２＝2．将上式两边平方，整理得（ｘ２－ｙ２）２＝0．∴ｘ２－ｙ２＝0，ｘ＝ｙ，故ＡＭ＝ＢＭ．二、由①得－5＝－＋5，分子有理化，得16（ｘ－1）／（＋5）＝－9（ｙ－1）／（＋5）．③对①－②的变形式－＝－，作分子有理化，得（ｘ－1）／（＋）＝（ｙ－1）／（＋）．④ 由③³④，得16（ｘ－1）２／（＋5）（＋）＝－9（ｙ－1）２／（＋5）（＋）．⑤注意到⑤的左端非负，而右端非正，故有ｘ－1＝0，且ｙ－1＝0，∴ｘ＝ｙ＝1．三、在平面上建立坐标系ｘＯｙ，并取三个点Ａ（ｘ，0），Ｂ（－ｙ／2，－（／2）ｙ），Ｃ（－ｚ／2，（／2）ｚ），则｜ＡＢ｜＝＝，｜ＡＣ｜＝＝，｜ＢＣ｜＝＝．∵｜ＡＢ｜＋｜ＡＣ｜≥｜ＢＣ｜，∴≥．。
数学计算竞赛模拟试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果a和b是两个互质的正整数，那么a和b的最大公约数是：A. aB. bC. 1D. ab3. 一个圆的半径是5，那么它的面积是：A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π4. 一个数的平方根等于它本身，这个数是：A. 0B. 1C. -1D. 45. 以下哪个是二次方程的解？A. x = 2B. x = -2C. x = 3D. x = 1/2二、填空题（每题2分，共10分）6. 若一个数的立方是-27，那么这个数是________。
7. 一个数的相反数是-5，那么这个数是________。
8. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________。
9. 一个数的倒数是1/4，那么这个数是________。
10. 一个数的平方是16，这个数是________。
三、计算题（每题5分，共30分）11. 计算下列表达式的值：(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1)，当x = 2时。
12. 解方程：2x + 5 = 3x - 2。
13. 计算圆的周长，当半径是4时。
14. 计算下列多项式的值：2x^3 - 3x^2 + x - 5，当x = -1时。
四、解答题（每题15分，共30分）15. 证明勾股定理。
16. 解释什么是二项式定理，并给出一个例子。
答案一、选择题1. B2. C3. B4. A5. D二、填空题6. -37. 58. 非负数9. 410. ±4三、计算题11. 当x = 2时，(3x^2 - 2x + 1) / (x - 1) = (3*2^2 - 2*2 + 1) / (2 - 1) = (12 - 4 + 1) / 1 = 912. 2x + 5 = 3x - 2 → x = 713. 圆的周长= 2πr = 2π * 4 = 8π14. 2x^3 - 3x^2 + x - 5 = 2*(-1)^3 - 3*(-1)^2 + (-1) - 5 = -2 - 3 - 1 - 5 = -11四、解答题15. 勾股定理证明：在一个直角三角形中，直角边的平方和等于斜边的平方。
初三数学竞赛模拟试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.33333（无限循环）D. 1/32. 如果一个多项式f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b、c均为整数，且f(1) = 1，f(2) = 4，f(3) = 9，那么a的值是多少？A. 1B. 2C. 3D. 43. 一个圆的半径为r，圆心到圆上一点的距离为d，如果d = r，那么点在圆的什么位置？A. 圆内B. 圆上C. 圆外D. 不能确定4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，求第10项a10的值。
A. 32B. 35C. 41D. 475. 一个长方体的长、宽、高分别是a、b、c，如果长方体的体积是120，且a=2b，c=2a，那么b的值是多少？A. 2√5B. 2√6C. 2√10D. 2√15二、填空题（每题4分，共20分）6. 一个数的平方根是它本身，这个数是________。
7. 如果一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么它的斜边长为________。
8. 一个数的立方根是2，这个数是________。
9. 一个等比数列的首项为1，公比为2，求第5项的值是________。
10. 如果一个二次方程x^2 - 4x + 4 = 0，它的判别式Δ的值是________。
三、解答题（每题10分，共30分）11. 已知一个函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5，求f(2)的值。
12. 解不等式：2x + 5 > 3x - 2。
13. 一个圆的周长是44cm，求这个圆的半径。
四、证明题（每题15分，共30分）14. 证明：在一个直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半。
15. 证明：如果一个三角形的两边和它们之间的夹角的和等于另一个三角形的两边和它们之间的夹角的和，那么这两个三角形是相似的。
五、附加题（每题20分，共20分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求这个圆的半径。
全国初中数学竞赛初赛模拟试题一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）1．某校学生100人参加数学竞赛，其中至少有女生9人，又知参赛者中任何10人中至少有1名男生，则参赛男生人数为（ ）（A ）89 （B ）91 （C ）82 （D ）632．记()()()()()24825612121212121x x =++++⋅⋅⋅++，则是（ ） （A ）一个奇数 （B ）一个质数 （C ）一个整数的平方 （D ）一个整数的立方3．已知|2|||2|1|++--=x x x y ，且12≤≤-x ，则y 的最大值与最小值的和是（ ）（A ）–1 （B ）2 （C ）4 （D ）54．在△ABC 中，AB=AC=7，BC=4，点M 在AB 上，且BM=31AB ，过M 做EF ⊥AB ，交BC 于E ，交CA 延长线于F ，则EF 的长为（ ）（A ） 55 （B ）3335 （C ）54 （D ）56 5．抛物线2ax y =与直线1=x ，2=x ，1=y ，2=y 围成的正方形有公共点，则实数a 的取值范围是( )（A ）141≤≤a （B ）221≤≤a （C ）121≤≤a （D ）241≤≤a 6．如图，直线l1∥l 2∥l 3∥l 4，相邻两条平行线间的距离都等于h ，若正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则它的面积等于（ ）（A ）24h （B ）25h （C ）224h （D ）225h7．一个正方体的表面涂满了颜色，按如图所示将它切成27个大小相等的小立方块，设其中仅有i 个面（i=1，2，3）涂有颜色的小立方块的个数为x i 则x 1, x 2 , x 3之间的关系为（ ）（A ）x 1－x 2 + x 3 = 1 （B ）x 1+ x 2－x 3 = 1（C ）x 1 + x 2－x 3 = 2 （D ）x 1－x 2 + x 3 = 28．已知x 是无理数，且()()31++x x 是有理数，在上述假设下，有人提出了以下四个结论：（1）2x 是有理数；（2）()()31--x x 是无理数；（3）()21+x 是有理数；（4）()21-x 是无理数并说它们中有且只有n 个正确的，那么n 等于（ ）（A ）2 （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）9．从－2，－1，1，2这四个数中，任取两个不同的数作为一次函数b kx y +=的系数k ，b ，则一次函数b kx y +=的图象不经过第四象限的概率是________；10．有一张矩形纸片ABCD ，AD=9，AB=12，将纸片折叠使A 、C 两点重合，那么折痕长是 ；11．已知012=-+x x ，则2008223++x x ＝ ；12．已知ＡＢ是半径为1的圆Ｏ的直径,ＣＤ是过ＯＢ中点的弦,且ＣＤ⊥ＡＢ,以ＣＤ为直径的圆交ＡＢ于Ｅ,ＤＥ的延长线交圆Ｏ于Ｆ,连结ＣＦ,则ＣＦ=. ； 13．设⎪⎭⎫ ⎝⎛≠≠=++21012a a a x x x 且，则1242++x x x 的值为 ； 14．已知四边形的四个顶点为A （8,8），B （－4,3），C （－2，－5），D （10，－2），则四边形在第一象限内的部分的面积是 。
第二十四届“五羊杯”初中数学竞赛初一模拟试题（考试时间90分钟，满分100分）一、选择题（4选1型，共10小题，每小题选对得5分，否则得0分．本题满分50分）．1. （原创）20122的个位数字是____________.A 、2B 、4C 、6D 、82. （改编1）若实数n 满足1)2011()2012(22=-+-n n ,则代数式)2011)(2012(n n --的值是____________.A 、1B 、21 C 、0 D 、-1 3. （改编2）已知31=+x x （01x <<），则1x x -的值为_____________.A 、5B 、5-C 、51 D 、51- 4. （改编3）已知0≠abc ，并且p ba c a cbc b a =+=+=+，那么曲线p px x y ++=2一定通过第_________象限． A 、一、二、三 B 、二、三、四 C 、一、三、四 D 、二、三、四5. （改编4）一个凸多边形的每一个外角都等于30°，则这个凸多边形所有对角线的条数总共有____________.A ．42条B ．54条C ．66条D ．78条6. （改编5）甲，乙两人在长800米的直线型路上慢跑，速度分别为3米/秒和2米/秒，他们同时在两端点相向出发，一只小狗同时从甲跑向已，跑到乙处立即转身跑向甲，不断来回跑，速度为1.5米/秒.甲乙两人相遇，小狗停止.这时，小狗共跑了________. A 、230米 B 、235 米 C 、240米 D 、245米7. （改编6）如下图，多边形ABCDEFGHIJ 的相邻两边互相垂直，要求出它的周长，至少需要知道_______条边的边长．A 、3B 、4C 、5D 、68. （改编7）“回文数”是指一个整数从前向后与从后向前读都是一样的.如果忽略月和日，日历上的某些日期也是回文数，如以下三个例子：1月1日，4月14日，12月21日.在一年内（从1月1日到12月31）期间内共有_________日期是回文数.A 、32B 、33C 、34D 、359. （原创）在0, 1, 2, 3这四个数字中任选三个数，组成能被3整除的三位数，这样的三位数有__________个.A 、6B 、8C 、10D 、1210. （改编8）已知m 是方程0120122=+-x x 的一个根，则代数式312012201122+++-m m m 的值等于___________. A 、2011 B 、2012 C 、2013 D 、2014二、填空题（共10小题，每小题答对得5分，否则得0分，本题满分50分）11. （改编9）若20112011201020102012201220112011-=P ，20102010200920092011201120102010-=Q ，2012120111-=R ，则R Q P ,,的大小关系是________________(写出R Q P ,,两两大小关系)．12. （改编10）一个两位数与其反序数之和是一个完全平方数，这个平方数是__________. 13. （改编11）已知p 是质数，并且37+p 也是质数，则=-3611p _______.14. （改编12）在一次会议中，参加会议的每一个人都坐在同一张正多边形的会议桌的每一个角，每两人签一份合同，本次会议总共签了15份合同.这张会议桌的一个内角是___________度.15. （改编13）如图，将n 个边长都为1cm 的正方形按如图所示摆放，点A 1、A 2、…、A n分别是正方形的中心，则n 个这样的正方形重叠部分的面积和为 ．16. （改编14）某校初中一年级同学中，有45人参加了数学竞赛，有40人参加了英语竞赛，有38人参加了语文竞赛，其中参加数学和英语两科的共有15人，参加英语和语文两科的共有20人，参加数学和语文两科的共有19人.已知参加竞赛的同学中有114的同学得了奖，则得奖的共有______人.17. （改编15）盒子中有红球和白球各2个，小玲把球从盒子中一个一个地摸出来，则红球和白球相间出现（可以是“红白红白”也可以是“白红白红”）的可能性是 ．18. （改编16）计算5957555319753175311⨯⨯⨯+⋯⋯+⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=_________. 19. （原创）若k 个连续正整数之和为525，则k 的最大值为____________.20. （改编17）如下图，在4×3的网格中有20个格点，作出以这20个格点中的三个点为顶点的所有三角形，其中直角三角形有________个.（第18题）A 1 A 2A 3A 4。
根源杯初中数学竞赛试题根源杯初中数学竞赛是一项旨在激发学生数学兴趣、提高数学素养的竞赛活动。
以下是一套模拟试题，供参赛学生练习使用。
一、选择题（每题2分，共10分）1. 下列哪个数是最小的正整数？A. 0B. 1C. -1D. 22. 如果一个数的平方等于16，那么这个数是多少？A. 4B. -4C. 4 或 -4D. 163. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边的长度是多少？A. 5B. 6C. 7D. 84. 以下哪个表达式的结果为0？A. \( 2 - 2 \)B. \( 3 + 1 \)C. \( 4 \times 0 \)D. \( 5 \div 5 \)5. 一个数的绝对值是5，这个数可能是？A. 5B. -5C. 5 或 -5D. 0二、填空题（每题2分，共10分）1. 一个数的平方根是3，那么这个数是________。
2. 一个数的立方根是2，那么这个数是________。
3. 如果\( a \)和\( b \)互为相反数，那么\( a + b = ________ \)。
4. 一个数的倒数是\( \frac{1}{2} \)，那么这个数是________。
5. 一个数的绝对值是它本身，这个数是________或________。
三、简答题（每题5分，共20分）1. 解释什么是质数，并给出10以内的质数列表。
2. 描述什么是完全平方数，并给出10以内的完全平方数列表。
3. 解释什么是有理数和无理数，并给出各一个例子。
4. 解释什么是代数表达式，并给出一个代数表达式的例子。
四、计算题（每题10分，共30分）1. 计算下列表达式的值：\( (3x - 2y) - (5x + 4y) \)，假设\( x= 1 \)且\( y = 2 \)。
2. 解下列方程：\( 2x + 3 = 7 \)。
3. 计算下列多项式的乘积：\( (x^2 - 4)(x + 2) \)。
五、应用题（每题15分，共30分）1. 一个农场有鸡和兔子共40只，它们的腿总共有100条。
讲解初中数学竞赛试题及答案初中数学竞赛试题通常涵盖代数、几何、数论和组合等数学领域。
下面是一个模拟的初中数学竞赛试题及其答案的讲解。
题目一：代数问题题目：已知 \( a, b \) 为正整数，且满足 \( a^2 - b^2 = 1 \)，求 \( a \) 和 \( b \) 的所有可能值。
答案：根据题目中的等式 \( a^2 - b^2 = 1 \)，我们可以将其转换为 \( (a+b)(a-b) = 1 \)。
因为 \( a \) 和 \( b \) 都是正整数，所以 \( a+b \) 和 \( a-b \) 也必须是正整数，并且它们的乘积为1。
考虑到正整数的性质，可能的组合只有 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)或 \( (2, 1) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (1, 1) \)，显然不可能，因为 \( a+b \) 和\( a-b \) 不能同时为1。
对于 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \)，我们可以得到 \( a =\frac{3}{2} \) 和 \( b = \frac{1}{2} \)，但这不是正整数，所以不符合题意。
因此，我们考虑 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \) 或 \( (4, 3) \)。
对于 \( (a+b, a-b) = (3, 2) \)，我们可以得到 \( a = 2.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这同样不是正整数。
对于 \( (a+b, a-b) = (4, 3) \)，我们可以得到 \( a = 3.5 \) 和\( b = 0.5 \)，这也不是正整数。
但是，如果我们考虑 \( (a+b, a-b) = (2, 1) \) 的整数解，我们可以得到 \( a = 2 \) 和 \( b = 1 \)，这满足题目要求。
讲解：这个问题考察了平方差公式的应用，通过将等式转换为\( (a+b)(a-b) = 1 \) 并考虑正整数的性质来找到可能的解。
初中数学竞赛模拟试题(1)一、选择题（每小题6分，共30分）1．方程1)1(32=-++x x x 的所有整数解的个数是（ ）个 （A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5 2．设△ABC 的面积为1，D 是边AB 上一点，且31=AB AD ．若在边AC 上取一点E ， 使四边形DECB 的面积为43，则EACE 的值为（ ） （A ）21 （B ）31 （C ）41 （D ）513．如图所示，半圆O 的直径在梯形ABCD 的底边AB 上，且与其余三边BC ，CD ，DA 相切，若BC ＝2，DA ＝3，则AB 的长（ ） （A ）等于4 （B ）等于5 （C ）等于6 （D ）不能确定4．在直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点，称为整点。
设k 为整数，当直线2+=x y 与直线4-=kx y 的交点为整点时，k 的值可以取（ ）个 （A ）8个 （B ）9个 （C ）7个 （D ）6个5．世界杯足球赛小组赛，每个小组4个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得3分，败队得0分，平局时两队各得1分．小组赛完后，总积分最高的2个队出线进入下轮比赛．如果总积分相同，还有按净胜球数排序．一个队要保证出线，这个队至少要积（ ）分． （A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）8 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．当x 分别等于20051，20041，20031，20021，20011，20001，2000，2001，2002，2003，2004，2005时，计算代数式221xx +的值，将所得的结果相加，其和等于 ．7．关于x 的不等式x b a )2(-＞b a 2-的解是x ＜25，则关于x 的不等式b ax +＜0的解为 ．8．方程02=++q px x 的两根都是非零整数，且198=+q p ，则p ＝ ．9．如图所示，四边形ADEF 为正方形，ABCD 为等腰直角三角形，D 在BC 边上，△ABC 的面积等于98，BD ∶DC ＝2∶5．则正方形ADEF 的面积等于 ．ABFCED·DCOBA10．设有n 个数1x ，2x ，…，n x ，它们每个数的值只能取0，1，－2三个数中的一个，且++21x x …5-=+n x ，++2221x x …192=+n x ，则++5251x x (5)n x +的值是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图，凸五边形ABCDE 中，已知S △ABC ＝1，且EC ∥AB ，AD ∥BC ，BE ∥CD ， CA ∥DE ，DB ∥EA ．试求五边形ABCDE 的面积．12．在正实数范围内，只存在一个数是关于x 的方程k x x kx x +=-++3132的解，求实数k 的取值范围．13．如图，一次函数的图象过点P （2，3），交x 轴的正半轴与A ，交y 轴的正半轴与B ，求△AOB 面积的最小值．DA BCEF14．预计用1500元购买甲商品x个，乙商品y个，不料甲商品每个涨价1.5元，乙商品每个涨价1元，尽管购买甲商品的个数比预定数减少10个，总金额仍多用29元．又若甲商品每个只涨价1元，并且购买甲商品的数量只比预定数少5个，那么甲、乙两商品支付的总金额是1563.5元．（1）求x、y的关系式；（2）若预计购买甲商品的个数的2倍与预计购买乙商品的个数的和大于218，但小于210，求x、y的值．参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．C 二、填空题6．6 7．8-<x 8．－218 9．116 10．－125 三、解答题11．∵ BE ∥CD ，CA ∥DE ，DB ∥EA ，EC ∥AB ，AD ∥BC ，∴ S △BCD ＝S △CDE ＝S △DEA ＝S △EAB ＝S △ACB ＝S △ACF ＝1． 设S △AEF ＝x ，则S △DEF ＝x -1，又△AEF 的边AF 与△DEF 的边DF 上的高相等， 所以，xxAF DE -=1，而△DEF ∽△ACF ，则有 x x x AF DF S S ACF DEF -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆∆1)1(222． 整理解得 215-=x ． 故S ABCDE ＝3S △ABC ＋S △AEF ＝255+． 12．原方程可化为0)3(322=+--k x x ，①（1）当△＝0时，833-=k ，4321==x x 满足条件；（2）若1=x 是方程①的根，得0)3(13122=+-⨯-⨯k ，4-=k ．此时方程①的另一个根为21，故原方程也只有一根21=x ；（3）当方程①有异号实根时，02321<+-=k x x ，得3->k ，此时原方程也只有一个正实数根；（4）当方程①有一个根为0时，3-=k ，另一个根为23=x ，此时原方程也只有一个正实根。
综上所述，满足条件的k 的取值范围是833-=k 或4-=k 或3-≥k ． 13．解：设一次函数解析式为y kx b =+，则32k b =+，得32b k =-，令0y =得b x k =-，则OA ＝b k-．令0x =得y b =，则OA ＝b ．2221()21(32)2141292124]212.AOB b S b kk kk k k∆=⨯-⨯-=⨯--+=⨯-=⨯-+≥ 所以，三角形AOB 面积的最小值为12．14．（1）设预计购买甲、乙商品的单价分别为a 元和b 元，则原计划是1500=+by ax ， ①由甲商品单价上涨1. 5元、乙商品单价上涨1元，并且甲商品减少10个的情形，得 1529)1()10)(5.1(=++-+y b x a ．② 再由甲商品单价上涨1元，而数量比预计数少5个，乙商品单价上涨仍是1元的情形，得5.1563)1()5)(1(=++-+y b x a ， ③ 由①、②、③得⎩⎨⎧=-+=-+.5.685,44105.1a y x a y x ④－⑤×2并化简，得 1862=+y x ．（2）依题意，有218＜y x +2＜210及1862=+y x ，54＜y ＜3255， 由y 是整数，得55=y ，从而得76=x ． 答：（1）x 、y 的关系1862=+y x ； （2）预计购买甲商品76个，乙商品55个．初中数学竞赛模拟试题(2)一、选择题（每小题6分，共30分）1．已知4=-b a ，042=++c ab ，则b a +＝（ ）（A ）4 （B ）0 （C ）2 （D ）－2 2．方程xx x x ||34||=-的实根的个数为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）43．已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC 、BD 交于O ，△AOD 的面积为4，④ ⑤△BOC 的面积为9，则梯形ABCD 的面积为（ ） （A ）21 （B ）22 （C ）25 （D ）264．已知⊙O 1与⊙O 2是平面上相切的半径均为1的两个圆，则在这个平面上有（ ）个半径为3的圆与它们都相切． （A ）2 （B ）4 （C ）5 （D ）65．一个商人用m 元（m 是正整数）买来了n 台（n 为质数）电视机，其中有两台以成本的一半价钱卖给某个慈善机构，其余的电视机在商店出售，每台盈利500元，结果该商人获得利润为5500元，则n 的最小值是（ ） （A ）11 （B ）13 （C ）17 （D ）19 二、填空题（每小题6分，共30分）6．已知等腰△ABC 内接于半径为5cm 的⊙O ，若底边BC ＝8cm ，则△ABC 的面积为 ．7．△ABC 的三边长a 、b 、c 满足8=+c b ，52122+-=a a bc ，则△ABC 的周长等于 ．8．若[]x 表示不超过x 的最大整数，且满足方程[]04953=-+x x ，则x ＝ ． 9．若直线1103457323=+y x 与直线897543177=+y x 的交点坐标是（a ，b ），则222006a b +的值是 ．10．抛物线5422--=x x y 向左平移3个单位，再向上平移两个单位，得抛物线C ，则C 关于y 轴对称的抛物线解析式是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．如图所示，在△ABC 中，AC ＝7，BC ＝4，D 为AB 的中点，E 为AC 边上一点，且∠AED ＝90°＋21∠C ，求CE 的长．ADBC12．某公交公司停车场内有15辆车，从上午6时开始发车（6时整第一辆车开出），以后每隔6分钟再开出一辆．第一辆车开出3分钟后有一辆车进场，以后每隔8分钟有一辆车进场，进场的车在原有的15辆车后依次再出车．问到几点时，停车场内第一次出现无车辆？13．已知一个两位数，其十位与个位数字分别为p 、q ，二次函数p qx x y ++=2的图象与x 轴交于不同的两点A 、B ，顶点为C ，且S △ABC ≤1． （1）求p q 42-的取值范围；（2）求出所有这样的两位数pq ．14．已知n 是正整数，且12+n 与13+n 都是完全平方数．是否存在n ，使得35+n 是质数？如果存在，请求出所有n 的值；如果不存在，请说明理由．参考答案一、选择题1．B 2．A 3．C 4．D 5．C 二、填空题6．8cm 2或32cm 2 7．14 8．319 9．2018 10．3822+-=x x y 三、解答题11．作BF ∥DE 交AC 于F ，作∠ACB 的平分线交AB 于G ，交BF 于H ．则∠AED ＝∠AFB ＝∠CHF ＋21∠C 。
因为∠AED ＝90°＋21∠C ，所以∠CHF ＝90°＝∠CHB 。
又∠FCH ＝∠BCH ，CH ＝CH 。
∴ △FCH ≌△BCH 。
∴ CF ＝CB ＝4， ∴ AF ＝AC －CF ＝7－4＝3。
∵ AD ＝DB ，BF ∥DE ， ∴ AE ＝EF ＝1.5，∴ CE ＝5.5． 12．设从6时起x 分钟时停车场内第一次出现无车辆，此时总共出车S 辆，进场车y 辆，则⎪⎩⎪⎨⎧->+=-=3815)1(6x y y S S x∴ 3)1(6)15(8-->-S S ， 解得 5.55>S ．∵ S 为正整数，∴ S ＝56，即到第56辆车开出后，停车场内第一次出现无车辆．此时330)156(6=-=x ，6+60330=11.5（时） 答：到11时30分时，停车场内第一次出现无车辆． 13．（1）设A （1x ，0），B （2x ，0），（21x x ≠），则1x 、2x 是方程02=++p qx x 的两个不同的实根，所以q x x -=+21，p x x =21，042>-p q ．又442q p y c -=（c y 表示点C 的纵坐标），所以S △ABC ＝144421||||212221≤-⋅-=⋅-q p p q y x x c ，从而64)4(32≤-p q ，442≤-p q ． 故0＜442≤-p q ．（2）由（1）知，=-p q 421，2，3，4．因为2q 被4除余数为0或1，故p q 42-被4除余数也是0或1，从而=-p q 421，或4．这两个方程中符合题意的整数解有⎩⎨⎧==,32p p ⎩⎨⎧==,56p p ⎩⎨⎧==,43p p ⎩⎨⎧==.68p p 故所有两位数pq 为23，65，34，86．14．设212k n =+，213m n =+，其中k ，m 都是正整数，则)2)(2(4)13()12(43522m k m k m k n n n -+=-=+-+=+． 若12≠-m k ，则35+n 不是质数．若12=-m k ，则12235+=+=+m m k n ，于是2)35()13(2)12(12)1(222++-+=++-=+-=-n n m m m m mA DBC E FGH02<-=n ，矛盾．综上所述，不存在正整数n ，使得35+n 是质数．初中数学竞赛模拟试题(3)一、选择题（每小题6分，共30分）1.在一个凸n 边形的纸板上切下一个三角形后，剩下的是一个内角和为2160°的多边形，则n 的值为（ ）（A ）只能为12 （B ）只能为13 （C ）只能为14 （D ）以上都不对 2.已知关于x 的方程029|3|)2(62=-+--+-a x a x x 有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是（ ）（A ）a ＝0 （B ）a ≥0 （C ）a ＝－2 （D ）a ＞0或a ＝－23．若正实数a 、b 满足3++=b a ab ，则22b a +的最小值为（ ）（A ）－7 （B ）0 （C ）9 （D ）184．如图，在△ABC 中，∠C ＝Rt ∠，CD ⊥AB ，下列结论：（1）DC ·AB ＝AC ·BC ；（2）BDAD BC AC =22； （3）222111CD BC AC =+；（4）AC ＋BC ＞CD ＋AB ． 其中正确的个数是（ ）（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）15．设n 是正整数，0＜x ≤1，在△ABC 中，如果AB ＝x n +，BC ＝x n 2+，CA ＝x n 3+，BC 边上的高AD ＝n ，那么，这样的三角形共有（ ） （A ）10个 （B ）11个 （C ）12个 （D ）无穷多个 二、填空题（每小题6分，共30分） 6．实数x 、y 、z 满足：2+=y x ，012222=++z xy ，则z y x ++的值为 ．7．如果对于任意两个实数a 、b ，“*”为一种运算，定义为b a b a 2+=*，则函数42)2(2*+*=x x y （－3≤x ≤3）的最大值与最小值的和为 ．8．已知四个正数a 、b 、c 、d 满足a ＜b ＜c ＜d ，它们两两的和依从小到大的次序分别是：23、26、29、93、x 、y ，则y x +的值为 ．9．已知点P 在直角坐标系中的坐标为（0，1），O 为坐标原点，∠QPO ＝150°，且P 到Q 的距离为2，则Q 的坐标为 ．10．在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12，设能完全覆盖△ABC 的圆的半径为R ．则R 的最小值是 ． 三、解答题（每小题15分，共60分） 11．实数x 与y 使得y x +，y x -，xy ，yx四个数中的三个有相同的数值，求出所有具有这样性质的数对（x ，y ）．12．如图，△ABC 的面积为S ，作直线l ∥BC ，分别交AB 、AC 与点D 、E ，若△BED 的面积为K ．求证：K ≤41S ．13．如图，在直角坐标系内有两个点A （－1，－1），B （2，3），若M 为x 轴上一点，且使MB －MA 最大，求M 点的坐标，并说明理由．14．在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝60，以A 为圆心，AB 长为半径作圆交BC 与D ，且D 在BC 边上，若BD 和DC 的长均为正整数，求BC 的长．lABCDE参考答案一、选择题1．D 2．D 3．D 4．B 5．C一、填空题6．0 7．37 8．195 9．（1，31+），（－1，31+） 10．865或215 二、解答题11．显然，0≠y ，所以y x y x -≠+．依题意，有y x xy y x ==+或yxxy y x ==-，于是 （1）⎪⎩⎪⎨⎧==+.,y xxy xy y x 解得0=x 或1±=y ． 当0=x 时，0=y （舍去）； 当1=y 时，x x =+1，无解；当1-=y 时，x x -=-1，∴21=x ，∴⎪⎩⎪⎨⎧-==.1,21y x（2）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==-.,y x xy y x y x 解得⎪⎩⎪⎨⎧-=-=.1,21y x故数对（x ，y ）为（21，－1），（21-，－1）．12．设x ABAD=， ∵ l ∥BC ，∴x ABADAC AE ==， 由x ACAES S ABC ABE ==∆∆，得 ∴Sx S ABE =∆． 又x ABADAB BD S S ABE BDE -=-==∆∆11．∴ S S x S x x S Sx x K 4141)21()()1(22≤+--=--=⋅-=． 13．作点A 关于x 轴的对称点A ＇，作直线BA ＇交x 轴于点M ，由对称性知MA ＇＝MA ，MB －MA ＝MB －MA ＇＝A ＇B ．若N 是x 轴上异于M 的点，则NA ＇＝NA ，这时NB －NA ＝NB －NA ＇＜ A ＇B ＝MB －MA ．所以，点M 就是使MB －MA 的最大的点，MB －MA 的最大值为A ＇B ． 设直线A ＇B 的解析式为b kx y +=，则⎩⎨⎧+=+-=,23,1b k b k 解得32=k ，35=b ． 即直线A ＇B 的解析式为3532+=x y ，令0=y ，得25-=x ．故M 点的坐标为（25-，0）．，b 为正整数） 作AE ⊥BD ，垂足为E ，则AB ＝AD ＝40，BE ＝DE ＝2a ． ∵ 222)2(40a AE -=，222)2(60b aAE +-=， ∴ 2222)2(60)2(40b aa +-=-，∴ 34522000)(⨯==+b b a ， ∵ 20＜b a +＜100，∴ 只有⎪⎩⎪⎨⎧⨯=⨯=+,52,5232b b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=⨯=+.5,5224b b a 故BC 的长为50或80．初中数学竞赛模拟试题(4)一、选择题（每小题6分，共30分）1．若a 、b 都是质数，且22007a b +=，则b a +的值等于（ ）（A ）2018 （B ）2018 （C ）2018 （D ）2018 2．一个凸多边形恰好有三个内角是钝角，这样的多边形的边数的最大值是（ ）（A ）5 （B ）6 （C ）7 （D ）83．已知|2|||2|1|++--=x x x y ，且－2≤x ≤1，则y 的最大值与最小值的和是（ ）（A ）－1 （B ）2 （C ）4 （D ）5 4．在△ABC 中，若∠A ＝58°，AB ＞BC ，则∠B 的取值范围是（ ） （A ）0°＜∠B ＜64° （B ）58°＜∠B ＜64° （C ）58°＜∠B ＜122° （D ）64°＜∠B ＜122° 5．直线k x y +=21与x 轴的交点分别为A 、B ，如果S △AOB ≤1，那么，k 的取值范围是（ ）（A ）k ≤1 （B ）0＜k ≤1 （C ）－1≤k ≤1 （D ）k ≤－1或k ≥1 二、填空题（每小题6分，共30分）6．若实数a 满足3a ＜a ＜2a ，则不等式a x +＞ax -1的解集为 ． 7．设1x 、2x 是方程02)1(222=+++-k x k x 的两个实根，且8)1)(1(21=++x x ．则k 的值是 ．8．在直角坐标系中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么当MP ＋MQ 取最小值时，点M 的横坐标x ＝ ． 9．从等边三角形内一点向三边作垂线，已知这三条垂线的长分别为1，3，5．则这个等边三角形的面积是 ． 10．若正整数a 、b 、c 满足518=+bc ab ，360=-ac ab ，则a b c 的最大值是 ．三、解答题（每小题15分，共60分）11．甲、乙两个蔬菜基地，分别向A 、B 、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的合同规定向A 提供45t ，向B 提供75t ，向提供40t ．甲基地可安排60t ，乙基地可安排100t ．甲、乙与A 、B 、C 的距离千米数如表1，设运费为1元／（km ·t ）．问如何安排使总运费最低？求出最小的总运费值．12．已知p 为质数，使二次方程015222=--+-p p px x 的两根都是整数．求出p 的所有可能值．13．已知CA ＝CB ＝CD ，过A ，C ，D 三点的圆交AB 于点F ．求证：CF 为∠DCB 的平分线．14．一支科学考察队前往某条河流的上游去考察一个生态区．他们出发后以每天17km 的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km 的速度返回．在出发后的第60天，考察队行进了24km 后回到出发点．试问：科学考察队在生态区考察了多少天？参考答案一、选择题1．C 2．B 3．B 4．A 5．CACBD F二、填空题6．a a x +-<11 7．1 8．259．327 10．1018． 三、解答题11．设乙基地向A 提供xt ，向B 提供yt ，向C 提供)](100[y x +-t ，则甲基地向A 提供t x )45(-，向B 提供t y )75(-，向C 提供t y x y x ]60)[()]100(40[-+=---．依题意，总运费为)](100[1584]60)[(6)75(5)45(10y x y x y x y x w +-+++-++-+-= ]3)(2[31065x y x ++-=．∵0≤y x +≤100，0≤x ≤45，当且仅当100=+y x ，45=x 时，w 有最小值，则 960)135200(31965=+-=最小w （元）． 答：安排甲基地向A 提供0t ，向B 提供20t ，向C 提供40t ；安排乙基地向A 提供45t ，向B 提供55t ，向C 提供0t ，可使总运费最低，最小的总运费为960元．12．因为已知的整系数二次方程有整数根，所以△＝)15(4)15(4422+=---p p p p 为完全平方数，从而，15+p 为完全平方数．设215n p =+，注意到2≥p ，故4≥n ，且n 为整数．于是，)1)(1(5-+=n n p ，则1+n ，1-n 中至少有一个是5的倍数，即15±=k n （k 为正整数）．因此，11025152+±=+k k p ，)25(±=k k p ． 由p 是质数，15±k ＞1，知1=k ，=p 3或7．当3=p 时，已知方程变为0762=--x x ，解得11-=x ，72=x ；当7=p 时，已知方程变为013142=+-x x ，解得11=x ，132=x ．所以=p 3或=p 7．13．连结DF ，BD ， ∵ AC ＝CB ＝CD ，∴∠A ＝∠2，∠CDB ＝∠CBD ，∵∠A ＝∠1，∴∠1＝∠2，∴∠FDB ＝∠FBD ，∴DF ＝BF ． 又∠1＝∠2，CD ＝CB ，∴△DCF ≌△BCF ，∴∠DCF ＝∠BCF ． 即CF 为∠DCB 的平分线．A D14．设考察队到生态区用了x 天，考察了y 天，则 1)60(2517---=y x x ，即14992542=+y x ．∴ ⎩⎨⎧-=-=.4265,325t y t x （t 为整数）由⎩⎨⎧>->-,04265,0325t t 解得35253<<t ，所以1=t ． 于是，⎩⎨⎧==.23,22y x答：科学考察队在生态区考察了23天．。
