小学数学竞赛第十一讲 做立体模型

29．3课题学习制作立体模型【学习目标】1.通过根据三视图制作主体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程。

体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。

2.通过自主探索、合作探究讨论，使学生加深以投影和视图的认识。

3.通过动手实践，培养学生创新精神与创造发明的意识。

【学习重点】让学生亲身经历发现规律，深入研究、应用所学知识的过程。

【学习难点】学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中培养科学的研究态度。

【学习准备】刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。

【学习过程】【创设情境提出任务】情境1 以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所示的立体模型。

活动形式：学生小组交流物体的形状，然后动手制作。

情境2 按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型。

活动方式：小组交流三视图所表示的物体是什么形状的，然后动手制作。

【创设情境研究问题】下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。

（1）指出其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图纸描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；（2）画出上面图形能折叠成多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；（3）如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的表面积各是多少？活动方式：学生动手操作【课堂小结反思收获】1、物体的三视图、展开图、立体图形之间是相互联系的，三者可以互相转化。

2、物体的三视图、展开图在生产当中应用庄广泛，学习本章内容为我们以后的生产实践奠定基础。

3、从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图玫由三视图得出立体图形，从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系对于培养空间想象能力上非常重要。

【课题拓展布置作业】三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，具体例子写一篇短文，介绍三视图、展开图的应用。

立体图形的初步认识(教案)一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够识别和命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体和球体。

2. 学生能够理解立体图形的特征，包括它们的面的数量、边的长度和角的个数。

过程与方法：1. 学生通过观察、触摸和搭建立体模型，培养空间想象能力和动手操作能力。

2. 学生能够使用简单的几何语言描述立体图形的特征。

情感态度价值观：1. 学生培养对数学的兴趣和好奇心，感受数学与实际生活的联系。

2. 学生在团队合作中培养沟通能力和合作精神。

二、教学重点与难点：重点：1. 学生能够识别和命名常见的立体图形。

2. 学生能够理解立体图形的特征，包括面的数量、边的长度和角的个数。

难点：1. 学生能够理解和运用立体图形的几何语言描述特征。

2. 学生能够通过观察和触摸准确识别立体图形。

三、教学准备：教师准备：1. 立体图形模型或图片。

2. 几何画板或白板。

3. 练习题或活动材料。

学生准备：1. 笔记本和笔。

2. 搭建立体模型的材料（如纸板、剪刀、胶水等）。

四、教学过程：1. 导入：教师通过展示一些日常生活中的立体图形，如盒子、球体等，引起学生对立体图形的兴趣。

引导学生观察和描述这些立体图形的特征。

2. 探究活动：学生分组进行探究活动，使用教师提供的立体图形模型或图片，观察和触摸这些立体图形。

学生通过合作，尝试用几何语言描述立体图形的特征，如面的数量、边的长度和角的个数。

3. 教学讲解：教师根据学生的探究结果，进行讲解，明确立体图形的特征和命名规则。

举例说明如何识别和命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体和球体。

4. 练习与巩固：学生完成一些练习题，巩固对立体图形的理解和命名。

教师引导学生运用几何语言准确描述立体图形的特征。

5. 总结与反思：教师引导学生总结本节课所学的内容，回顾立体图形的特征和命名规则。

学生分享自己的学习体会和收获。

五、课后作业：学生完成一些课后练习题，巩固对立体图形的理解和命名。

29．3 课题学习制作立体模型1．能依据简单物体的三视图制作原实物图形；(要点 )2．能依据实物图制作睁开图，依据睁开图确立实物图．(难点 )一、情境导入下边的每一组平面图形都是由四个等边三角形构成的．(1)指出此中哪些可折叠成多面体．把上边的图形描在纸上，剪下来，叠一叠，考证你的答案；(2)画出由上边图形能折叠成的多面体的三视图，并指出三视图中是如何表现“长对正，高平齐，宽相等” 的；(3)假如上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的体积和表面积各是多少？二、合作研究研究点一：依据三视图判断立体模型【种类一】由三视图获得立体图形如图，是一个实物在某种状态下的三视图，与它对应的实物图应是()分析：从俯视图能够看出直观图的下边部分为圆台，从左视图和主视图能够看出是一个站立的圆台．只有 A 知足这两点，应选 A.方法总结：此题考察三视图的辨别和判断，熟记一些简单的几何体的三视图是解答此题的要点．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 1 题【种类二】依据三视图判断实物的构成状况学校小卖部货架上摆放着某品牌方便面，它们的三视图如图，则货架上的方便面起码有()A．7盒B．8盒C．9 盒D．10盒分析：察看图形得第一层有 4 盒，第二层最罕有 2 盒，第三层最罕有 1 盒，因此起码共有 7 盒．应选 A.方法总结：考察对三视图的掌握程度和灵巧运用的能力，同时也考察空间想象能力．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 2 题【种类三】综合性问题如图是一个几何体从三个方向看所获得的形状图．(1)写出这个几何体的名称；(2)画出它的一种表面睁开图；(3)若从正面看的高为3cm，从上边看三角形的边长都为2cm，求这个几何体的侧面积．分析： (1)只有棱柱的主视图和左视图才能出现长方形，依据俯视图是三角形，可获得此几何体为三棱柱；(2)此几何体的表面睁开图由三个长方形和两个三角形构成；(3)侧面积由 3 个长方形构成，它的长和宽分别为3cm 和 2cm，计算出一个长方形的面积，乘以 3 即可．解： (1)正三棱柱；(2)如下图：(3)3× 3× 2＝ 18(cm2)．答：这个几何体的侧面积为18cm2.方法总结：此题主要考察由三视图确立几何体和求几何体的侧面积等有关知识，要点是知道棱柱的侧面都是长方形，上下底面是几边形就是几棱柱．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第8 题研究点二：平面图的睁开与折叠【种类一】依据睁开图判断原实物体如下图为立体图形的睁开图，请写出对应的几何体的名称．分析：在此题的解答过程中，能够着手进行折纸，也能够依据常有立体图形的平面睁开图的特点做出判断．解：几何体分别为五棱柱、圆柱与圆锥．方法总结：娴熟掌握常有立体图形的平面睁开图的特点，是解决此类问题的要点．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 4 题【种类二】判断几何体的睁开图如下图的四幅平面图中，是三棱柱的表面睁开图的有________( 只填序号 )．分析：三棱柱的两底睁开是三角形，侧面睁开是三个矩形，依据题设可知①②③ 切合题意，故答案为①②③ .方法总结：此题考察了几何体的睁开图，注意两底面是对面，睁开是两个全等的三角形，侧面睁开是三个矩形．变式训练：见《学练优》本课时练习“讲堂达标训练”第 6 题【种类三】睁开与折叠的综合性问题如图是一个正方体的表面睁开图，标明了 A 字母的是正方体的正面，假如正方体的左面与右边标明的数相等．(1)求 x 的值；(2)求正方体的上边和底面的数字之和．分析： (1)正方体的表面睁开图，由相对面之间必定相隔一个正方形可确立出相对面，而后列出方程求解即可；(2)确立出上边和底面上的两个数字为 3 和 1，而后相加即可．解：依据正方体的表面睁开图中相对面之间必定相隔一个正方形，可得“A”与“－ 2”是相对面，“3”与“1是”相对面，“x”与“ 3x－ 2”是相对面．(1)∵正方体的左面与右边标明的数字相等，∴x＝3x－ 2，解得 x＝ 1；(2)∵标明了 A 字母的是正方体的正面，左面与右边标明的数字相等，∴上边和底面上的两个数字为 3 和 1，∴上边和底面上的数字之和为3＋ 1＝ 4.方法总结：此题主要考察了正方体相对两个面上的数字，注意正方体是空间图形，从相对面下手剖析、解答问题．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后稳固提高”第 2 题三、板书设计一、学习目的；二、工具准备；三、详细活动；四、课题拓广．三视图和平面睁开图是以不一样方式描述立体图形的，它们在生产实质中有直策应用．了解这方面的例子，能够丰富实践知识，进一步认识三视图和平面睁开图.。

人教版九年级下册数学29.3 课题学习制作立体模型一、教学目标知识与技能通过根据三视图制作主体模型的实践活动，体验平面图形向立体图形转化的过程。

体会用三视图表示立体图形的作用，进一步感受立体图形与平面图形之间的联系。

过程与方法通过自主探索、合作探究讨论，使学生加深以投影和视图的认识。

情感态度与价值观通过动手实践，培养学生创新精神与创造发明的意识。

二、教学重、难点重点：让学生亲身经历发现规律，深入研究、应用所学知识的过程。

难点：学生通过手工制作，实现理论与实践的结合；在探索解决实际问题的过程中培养科学的研究态度。

三、准备材料刻度尺、剪刀、胶水、胶带、硬纸板、马铃薯（或萝卜）等。

四、教学过程【创设情境提出任务】情境1、以硬纸板为主要材料，分别做出下面的两组视图所示的立体模型。

活动形式：学生小组交流物体的形状，然后动手制作。

情境2、按照下面给出的两组视图，用马铃薯（或萝卜）做出相应的实物模型。

活动方式：小组交流三视图所表示的物体是什么形状的，然后动手制作。

【创设情境研究问题】下面的每一组平面图形都是由四个等边三角形组成的。

（1）指出其中哪些可以折叠成多面体，把上面的图纸描在纸上，剪下来，叠一叠，验证你的答案；（2）画出上面图形能折叠成多面体的三视图，并指出三视图中是怎样体现“长对正，高平齐，宽相等”的；（3）如果上图中小三角形的边长为1，那么对应的多面体的表面积各是多少？活动方式：学生动手操作。

]五、课堂小结1.物体的三视图、展开图、立体图形之间是相互联系的，三者可以互相转化。

2.物体的三视图、展开图在生产当中应用庄广泛，学习本章内容为我们以后的生产实践奠定基础。

3.从技能上说，认识平面图形与立体图形的联系，有助于根据需要实现它们之间的相互转化，即学会画三视图玫由三视图得出立体图形，从能力上说，认识平面图形与立体图形的联系对于培养空间想象能力上非常重要。

六、布置作业三视图和展开图都是与立体图形有关的平面图形，了解有关生产实际，具体例子写一篇短文，介绍三视图、展开图的应用。

讲解重点：按照一定的方法，一层一层地数或一列一列地数。

师：先猜一猜，这个图形中有多少块小方块呢？生1：我猜有10块。

生2：我猜有11块。

师：你为什么猜10块呢？你为什么猜11块呢？生：（学生说出自己的猜想）师：我们观察图形，在外部直接看，最多能看到几个小方块？生：8块。

师：你们猜想的都比8块要多，那么我们接下来就来看看，到底你们的猜想是不是正确的呢？现在我们要怎么做？生：一层一层地数。

师：真棒，像例题一一样，碰到这样的，我们要用一定的方法数，才有可能不会数错，那咱们先来一层一层地数。

生：上层有1块，中层有3块，下层有7块，所以最后将这几层的方块数加起来，1+3+7=11（块）。

师：看来是我们的×同学猜对了，按照我们的方法数是11块，你们也可以按照一列一列地数数看，是不是也是11块呢？生：是！师：按照这样方法去数数，不会数错，但是如果每次我们都要像这样将图形进行拆分，然后再来数，会感觉有些麻烦，想一想，我们能不能够直接的算出来呢？生：……师：我们能不能从图中看出中层比上层多几块？生：能！多2块！时：既然比上层多两个，那么中层的方块数应该是多少块？生：1+2=3（块）！师：很好，那我们能不能看出下层比中层多多少块方块？生：能！多4块！师：那么下层的方块块数你会怎么算呢？生：3+4=7（块）师：然后将这几个数相加，是不是和我们数出来的块数是一样的呢？生：是，都是11块！师：想一想，为什么我们可以这样进行加法来算出每层的个数呢？生：（学生自由思考）板书：方法一：1+3+7=11（块）方法二：1+（1+2）+（1+2）+4=11（块）答：图中有11块小方块。

1.数一数，下面图中有多少块小方块？板书：5+1=6（块）答：有6块小方块。

2. 2. 下图中有多少块小方块？板书：5+5+3+1=14（块）答：有14块小方块。

3. 观察下面图形，你能画出每一层小方块拼成的图形吗？板书：上层：中层：下层：4. 数一数，下图中哪个图形的小方块的块数多，多多少块？。

《生活中的立体图形》教案设计范文一、教学目标：知识与技能：1. 学生能够识别和命名常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体和球体。

2. 学生能够理解立体图形的特征和属性，如面、边、角等。

3. 学生能够运用立体图形的知识解决实际生活中的问题。

过程与方法：1. 学生通过观察、比较和操作立体模型，培养空间想象能力和动手能力。

2. 学生通过小组合作和讨论，培养团队协作能力和解决问题的能力。

情感态度价值观：1. 学生能够体验到数学与生活的紧密联系，增强对数学的兴趣和信心。

2. 学生能够培养空间思维能力，提高创新意识和创造力。

二、教学内容：本节课主要内容是立体图形的认识。

教师会引导学生观察生活中常见的立体图形，如正方体、长方体、圆柱体和球体。

教师会向学生介绍这些立体图形的特征和属性，如面、边、角等。

教师会组织学生进行小组合作，让学生通过观察、比较和操作立体模型，培养空间想象能力和动手能力。

教师会通过实例讲解如何运用立体图形的知识解决实际生活中的问题。

三、教学重点与难点：重点：1. 学生能够识别和命名常见的立体图形。

2. 学生能够理解立体图形的特征和属性。

难点：1. 学生能够运用立体图形的知识解决实际生活中的问题。

2. 学生能够培养空间想象能力和动手能力。

四、教学方法与手段：教学方法：1. 观察法：学生通过观察生活中常见的立体图形，培养空间想象能力。

2. 操作法：学生通过动手操作立体模型，培养动手能力。

3. 小组合作法：学生通过小组合作和讨论，培养团队协作能力和解决问题的能力。

教学手段：1. 实物模型：教师准备各种立体模型，帮助学生直观地认识立体图形。

2. 多媒体课件：教师使用多媒体课件，展示立体图形的图片和动画，增强学生的学习兴趣。

五、教学过程：1. 导入新课：教师通过展示生活中常见的立体图形，如魔方、可乐瓶、篮球等，引起学生对立体图形的兴趣，并提问学生是否知道这些图形的名称和特征。

2. 自主探究：学生通过观察和操作立体模型，自主探究立体图形的特征和属性。

第十一讲 几何综合二内容概述综合运用各种方法处理具有相当难度的几何问题，掌握几何变换的初步技巧，例如平移、翻转、旋转以及等积变形，必要时可利用辅助线进行分析.典型问题兴趣篇：1．图11 -1中有半径分别为5厘米、4厘米、3厘米的三个圆，A 部分（即两小圆重叠部分）的面积与阴影部分的面积相比，哪个大？大多少？答案：一样大【解析】如右图所示，半径为5厘米的圆与半径为4厘米的圆面积之差为22549πππ⨯-⨯=，它等于半径为3厘米的圆面积239ππ⨯=，同时等于图中阴影部分面积与B 部分面积之和．而小圆面积又等于A 部分的面积与B 部分面积之和，因此A 部分的面积与阴影部分面积相等.2．如图11-2，在两个同心圆上有一条两端点都在大圆上的线段与小圆相切，其长度为10厘米，求阴影部分的面积．(π取3.14)答案:78.5平方厘米【解析】如右图所示，从圆心连结其中一个端点，长度为大圆半径，再从圆心向线段做垂线，长度为小圆半径，图中的三角形为直角三角形,由勾股定理可得222525R r -==，所以图中阴影部分面积为()22222578.5R r R r ππππ-=⨯-== 平方厘米．3．如图11 -3，图中最大的长方形面积是27，最小的长方形面积是5，求阴影部分的面积．答案:16【解析】最大的长方形面积与最小的长方形面积之差为27-5=22，剩下部分空白面积与阴影面积相等，因此图中空白面积为22÷2=11，阴影部分总面积为27-11=16．4．如图11-4，大正方形中有三个小正方形，右上角正方形的面积为27，左下角正方形的面积为12，中间阴影正方形的2个顶点分别位于右上角和左下角正方形的中心，请问：中间阴影正方形的面积是多少？答案:18.75【解析】中间阴影正方形的右上角和左下角的两个正方形的面积分别为27÷4=6.75和12÷4=3，阴影正方形中的2个小阴影长方形面积的乘积等于2个阴影正方形面积的乘积6.75×3=20.25=4.52.因此一个小阴影长方形面积为4.5，所以阴影正方形的总面积为 6.75+3+4.5+4.5=18.75.5．如图11-5，将一个梯形分成四个三角形，其中两个三角形的面积分别为10与12．已知梯形的上底长度是下底的23，请问：阴影部分的总面积是多少？答案:23【解析】设上底为2x，则下底为3x，由此可以求出图中两个空白三角形的高分别为10×2÷2x=10x，12×2÷3x=8x，则梯形的面积为(2x+3x)×（10x+8x）÷2=5x×18x÷2=45．所以阴影部分的总面积为45-10-12=23．6．图11-6是由一个边长为2厘米的正方形和一个长为5厘米的长方形拼成的，线段MN把它们各分成两部分．已知A、B两块的面积和是C、D两块面积和的1.5倍，请问：长方形的宽是多少厘米？答案:4.8厘米 【解析】如下图，将原图补成一个长方形，则对角线分成的两部分面积相等，由A 、B 两块的面积和是C 、D 两块面积和的1.5倍可知，长方形E 的面积为A 、B 两块的面积和的13．设长方形的宽为x 厘米，则有()()11252223x x ⨯+⨯=-⨯，解得x=4.8，即长方形的宽为4.8厘米．7．图11-7中四边形ABCD 为平行四边形，三角形MAB 的面积为11平方厘米，三角形MCD 的面积为5平方厘米．请问：平行四边形ABCD 的面积是多少平方厘米？答案:12平方厘米【解析】由M 点分别向AB 、CD 作高，垂足分别为E 、F ，如右图所示． 则△MAB 的面积为MF ×AB ÷2=11，即MF ×AB=22． △MCD 的面积为ME ×CD ÷2=5，即ME ×CD=10．所以平行四边形ABCD 的面积为EF ×AB=MF ×AB-ME ×AB=22-10=12平方厘米．8．如图11 -8所示，平行四边形ABED 与平行四边形AFCD 的面积都是30平方厘米，其中AF 垂直ED 于0，AO 、OD 、AD 分别长3、4、5厘米．求三角形OEF 的面积和周长.答案:面积为13.5平方厘米，周长为18厘米【解析】平行四边形ABED的面积等于AO×DE=3×DE=30，由此可以求得DE=lO，OE=6．平行四边形AFCD的面积等于DO×AF=4×AF=30，由此可以求得AF=7.5，OF=4.5．则△OEF的面积等于EO×OF÷2=6×4.5÷2=27÷2=13.5平方厘米，由沙漏模型得AO：OF=AD：EF=2：3，则EF=7.5．所以△OEF的周长为4.5+6+7.5=18厘米．9．如图11-9，四边形ABCD是直角梯形，AB=4，AD=5，DE=3．求：(1)三角形OBC的面积；(2)梯形ABCD的面积．答案:(l) 7.5 (2) 40【解析】(1)△OBC的面积等于△OAD的面积，为DE XAD÷2=5×3÷2—7.5．(2)由于△ABD的面积等于AB×AD÷2=4×5÷2=10，则△ABO的面积等于10 -7.5=2.5．由任意四边形模型可求得△ODC的面积等于7.5×7.5÷2.5=22.5．所以梯形ABCD的面积为7.5+7.5+2.5+22.5=40．10．有一些黑、白两种颜色的小正方体积木，把它们摆成如图11-10所示的形状．已知相邻的积木颜色不同（有公共面的两块积木叫做相邻的积木），标有A的积木为黑色，请问：图中共有黑色积木多少块？答案:15块【解析】从正面看，从前往后共有三层，由题目条件，第一层应有3块黑色积木，第二层应有5块黑色积木，第三层应有7块黑色积木，共计15块黑色积木．拓展篇：1．如图11-11，正方形ABCD 的面积是64平方厘米，E 、F 分别为所在半圆弧的中点．求阴影部分的面积．(π取3.14)答案:73.12平方厘米【解析】从图中可以看吕，两块空白图形的面积等于半圆面积加上正方形面积减去△AED 的面积，即28842812241.12π⨯+⨯÷-⨯÷=.而阴影部分面积等于整个图形面积减去空白的面积，即288441.1273.12π⨯+⨯-=平方厘米.2．图11-12中阴影部分的面积是25平方厘米，求圆环的面积．(π取3.14)答案:157平方厘米【解析】记大圆半径为R ，小圆半径为r ，那么圆环的面积为()22R r π-，只要能够求出22R r -即可．阴影部分是两个等腰直角三角形的面积差，等于()2212R r -，所以22R r -= 22550⨯=厘米．由此可得圆环面积等于50×3.14=157平方厘米.3．如图11-13，在半径为4厘米的圆中有两条互相垂直的线段．请问：阴影部分面积与空白部分面积哪一个大，大多少平方厘米？答案:阴影面积比空白面积大8平方厘米【解析】如右图所示，利用对称性添加辅助线，从图中可以看出，除去中间的阴影长方形之外，其他部分阴影面积与空白面积相等，因此阴影面积比空白面积大8平方厘米 .4．如图11-14，一个六边形的6个内角都是120°，其连续四边的长依次是1厘米、9厘米、9厘米、5厘米，求这个六边形的周长．答案:42厘米【解析】为便于描述，将六边形剩余两条边的长度分别设为a厘米和b厘米．如上图所示，将图形补成一个等边三角形，最上方的应该是一个边长为9厘米的等边三角形，左下方则是一个边长为1厘米的等边三角形，由此可得最大的等边三角形边长为1+9+9=19厘米，这样a=19-9-5=5，从而b=19-1-a=13．所以六边形的周长就等于9+9+5+1+5+13=42厘米．5．如图11-15，在长方形ABCD中，AB=30厘米，BC=40厘米，P为BC上一点，PQ垂直于AC，PR垂直于BD.求PQ与PR的长度之和．答案:24厘米 【解析】利用勾股定理可得AC=50厘米，所以OB=OC=25厘米.而长方形ABCD的面积等于30×40=1200平方厘米，所以△BOC 的面积等于14×1200=300平方厘米．如图，连结OP ，观察△OPB 与△OPC ，它们分别以OB 和OC 为底，是一对等底三角形，而对应的高就是PR 和PQ ，因此面积和就等于()()()225212.5OB PR OC PQ PR PQ PR PQ ⨯+⨯÷=⨯+÷=⨯+而这个面积和就是△BOC 的面积，等于300平方厘米，所以12.5×(PR +PQ)=300平方厘米，由此可得PR+PQ=300÷12.5=24厘米.6．如图11-16，八边形的8个内角都是135。